Guía para la Presentación de Resultados en Laboratorios Docentes

Prof. Norge Cruz Hernández

Departamento de Física Aplicada I Escuela Politécnica Superior

Universidad de Sevilla Curso 2015-2016

16 de octubre de 2015

§I Introducción

Las ciencias naturales tratan de explicar los fenómenos del mundo que nos rodea

a partir de modelos y teorías. Un paso fundamental consiste en hacer experimentos que sirven de base a la teoría y/o que la ponen a prueba.

Medir una magnitud es compararla cuantitativamente con otra de su misma naturaleza tomada como unidad patrón. Cuando decimos que una pared tiene 4,5 m de ancho estamos indicando que el metro patrón cabe cuatro veces y media en el ancho de esa pared. O al decir que un preparado químico tiene 18,4 g estamos comparando la masa del preparado con las de 18 pesitas de un gramo y con cuatro pesitas de décimas de gramos, estableciendo una equivalencia entre las masas de estas pesas y la del preparado. La Metrología es la ciencia de la medida. Su objeto fundamental es el estudio y evolución de las propiedades medibles, las escalas de medida, los sistemas de unidades, y los métodos y técnicas de medición, así como la valoración de la calidad de las mediciones y su mejora constante, facilitando el progreso científico, el desarrollo tecnológico, el bienestar social y la calidad de vida.

Sin mediciones correctas no hay I+D ni calidad, y sin lo anterior no hay desarrollo, competitividad, ni futuro para la economía.

A continuación enumeramos algunos conceptos que serán de uso intensivo a lo largo del trabajo en el laboratorio:

Magnitud: Propiedad de un fenómeno, cuerpo o sustancia, que puede expresarse cuantitativamente mediante un número y una referencia (habitualmente una unidad de medida). Mensurando: Magnitud que se desea medir.

Durante el trabajo experimental en el laboratorio podemos realizar mediciones directas o indirectas. En el primer caso usamos un instrumento de medida. En el segundo caso, las medidas indirectas, se obtienen a partir del uso de una expresión

matemática o método de aproximación numérico. Por ejemplo, cuando medimos con un cronómetro el tiempo de caída libre de un cuerpo estamos realizando una medición directa. Si el valor medido lo utilizamos para calcular la aceleración de la gravedad, entonces la determinación de la gravedad es una medición indirecta.

Toda medición, directa ó indirecta, está sujeta a cierta incertidumbre y no debe expresarse como un número exacto. La matemática y las teorías físicas trabajan con números exactos, pero el trabajo experimental en los laboratorios requiere el uso de números aproximados. Y las operaciones matemáticas con los números aproximados no dan tampoco resultados exactos, sino aproximados, por lo que es necesario definir un método de expresar correctamente las medidas directas e indirectas. Solamente así podremos estar seguros de hasta qué punto son ciertas las leyes, teorías y modelos de una ciencia, y hasta qué cifra es confiable el resultado de un análisis clínico, químico, botánico, o físico.

§II Errores Durante cualquier medición tienen lugar una serie de errores provenientes de

distintas fuentes: el propio mensurando (definición y/o realización práctica), el instrumento de medida, las condiciones ambientales, el operador, etc., los cuales se clasifican en sistemáticos y aleatorios. Los primeros pueden cancelarse o corregirse, si se conocen sus causas, mientras que sobre los segundos, de comportamiento impredecible, no puede actuarse de la misma manera. Ambos errores contribuyen a la incertidumbre de la medida, aunque debe quedar bien claro que son distintos de esta.

A continuación definiremos algunos conceptos relacionados con los errores: Errores absoluto y relativo: Cualquier error puede expresarse en valor absoluto (error absoluto) o en valor relativo (error relativo). Así, si al medir una magnitud �, se encuentra una magnitud distinta �� , más o menos cercano a �, la diferencia �� �� se denomina error absoluto (��). El error absoluto puede ser positivo o negativo (no hay que confundirlo con el valor absoluto del error) y tiene las mismas dimensiones que la magnitud que se mide. En algunas mediciones, como las de longitud, este error suele denominarse desviación del valor nominal. El error relativo, se define como �� � �

,

nos ofrece mayor idea de la dimensión del error absoluto, al compararlo con el valor � de la magnitud medida. El error absoluto no lo podemos conocer, lo único que podemos es estimarlo. Error aleatorio: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas, varía de manera impredecible (Figura 1).

El error aleatorio oscila en torno a un valor medio y se supone que procede de variaciones temporales y espaciales de las magnitudes de influencia (temperatura, humedad, presión, etc.). No es posible compensar el error aleatorio de una medida, pero puede reducirse incrementando el número de observaciones, a fin de disminuir la dispersión en torno al valor medio. Error sistemático: Componente del error de medida que, en mediciones repetidas permanece constante o varía de manera predecible (Figura 1).

El error sistemático no puede eliminarse totalmente, pero puede reducirse o incluso corregirse, si se identifican sus causas. Por ejemplo, el error obtenido al medir una pieza a una temperatura distinta de la de referencia, puede corregirse teniendo en cuenta la dilatación o contracción sufrida por la pieza. Cuando no es posible aplicar una corrección, debe sumarse todo el error sistemático a la incertidumbre de medida expandida. Corrección: Compensación de un efecto sistemático estimado. Puede ser: aditiva, multiplicativa, o deducirse de una tabla.

Figura 1. Histograma de una medición realizada varias veces.

§III Exactitud y precisión Exactitud: Proximidad entre el valor medio y el valor verdadero de un mensurando. Precisión. Proximidad entre las indicaciones o los valores medidos obtenidos en mediciones repetidas de un mismo objeto, o de objetos similares bajo condiciones especificadas (Figura 1).

El concepto de exactitud de un instrumento de medida se refiere a la capacidad de dar valores o indicaciones próximas al valor verdadero de la magnitud medida. Una medición, o el resultado, es más exacto cuanto más pequeño es el error sistemático de medida; es decir, cuanto menor es la diferencia entre el valor medio de los resultados obtenidos y el valor convencionalmente verdadero de la magnitud.

La idea de precisión de un instrumento de medida refleja la capacidad de dar valores o indicaciones próximas entre sí al efectuar mediciones repetidas (Figura 1). Una medición, es más precisa cuanto menor es la dispersión que presentan entre sí los resultados obtenidos.

Aunque en el lenguaje de la calle, exactitud y precisión suelen tomarse como sinónimos, en metrología, la diferenciación entre ambos es muy clara. En la figura 2, el centro de la diana representa el valor convencionalmente verdadero y los distintos puntos, los resultados de medida obtenidos en una serie de repeticiones.

Figura 2.

§IV Incertidumbre de medida

Se le llama incertidumbre (uncertainty) de medida a un parámetro no negativo

asociado al resultado de una medición, que caracteriza la dispersión de los valores y que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando. También podemos llamarle así a la medida del error posible en el valor estimado del mensurando, proporcionado como resultado de una medición, o la estimación que expresa el campo de valores dentro del cual se halla el verdadero valor del mensurando. Por ejemplo, cuando medimos una magnitud �, nuestro resultado lo escribimos como � � �� �. La incertidumbre (llamada incertidumbre expandida en la “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” - GUM) es el valor que se coloca a continuación del , es decir, �. Esto significa que el valor verdadero de � se encuentra en el intervalo ��� � �,�� � ��.

A continuación señalamos otros conceptos que serán de uso común a lo largo de este manual. Incertidumbre típica: Incertidumbre del resultado de la medida, expresada en forma de desviación típica y se denota como ����, siendo � la magnitud medida.

Incertidumbre típica relativa: Se llama así al valor ����� y se expresa en %. El número

así calculado nos indica una forma de comparación porcentual del valor de la incertidumbre típica con el valor de la medida.

Incertidumbre típica combinada: Incertidumbre típica del resultado de una medición, que se obtiene a partir de los valores de otras magnitudes, igual a la raíz cuadrada positiva de una suma de términos, siendo éstos las varianzas o covarianzas de esas otras magnitudes, ponderadas en función de la variación del resultado de medida con la variación de dichas magnitudes. Habitualmente se denota como �����.

Incertidumbre típica combinada relativa: Se llama así al valor ������ y se expresa en %.

El número así calculado nos indica una forma de comparación porcentual del valor de la incertidumbre típica combinada con el valor de la medida. Incertidumbre expandida (en algunos textos simplemente �): Magnitud que define un intervalo en torno al resultado de una medición, y en el que se espera encontrar una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser atribuidos razonablemente al mensurando. Habitualmente a la incertidumbre expandida de la medida � se le denota ����. Factor de cobertura. Factor numérico utilizado como multiplicador de la incertidumbre típica, para obtener la incertidumbre expandida. Habitualmente a este factor se le denota como �. Así, podemos escribir ���� � �����. Un factor de cobertura típico, toma valores comprendidos entre 2 y 3.

A la hora de expresar el resultado de una medición de una magnitud física, es

obligado dar alguna indicación cuantitativa de la calidad del mismo o, dicho de otro modo, de la confianza que se tiene en él. Sin dicha indicación, las mediciones no pueden compararse entre sí, ni con otros valores de referencia. Esto se indica en la forma: � �, donde � es el resultado más probable y � es la incertidumbre de medida asociada al mismo.

El concepto de incertidumbre es relativamente nuevo en la historia de la medición, por lo que muchos libros de texto continúan utilizando únicamente conceptos como error y análisis de errores, los cuales han formado parte desde hace mucho tiempo de la práctica de la medición. Sin embargo, estos conceptos, sin llegar a desaparecer, han evolucionado.

En la metrología actual sigue hablándose de error, pero no tanto de análisis de errores, en el sentido que a éste se le daba hasta hace unos años, sino de estimación de incertidumbres. Es claro que hay que indagar sobre los posibles errores existentes en una medición, con objeto de eliminarlos o corregirlos, pero ninguna corrección es total, por lo que siempre existirá una incertidumbre asociada al resultado final. La incertidumbre es consecuencia del error, existiendo métodos internacionalmente aceptados para su estimación.

Existen numerosas fuentes de errores, y por tanto de incertidumbres, entre ellas: a) definición incompleta del mensurando b) realización imperfecta de la definición del mensurando c) muestra no representativa del mensurando, la muestra analizada

puede no representar al mensurando definido d) conocimiento incompleto de los efectos de las condiciones

ambientales sobre la medición, o medición imperfecta de dichas condiciones ambientales

e) lectura sesgada de instrumentos analógicos, por parte del técnico f) resolución finita del instrumento de medida o umbral de

discriminación

g) valores inexactos de los patrones de medida o de los materiales de referencia

h) valores inexactos de constantes y otros parámetros tomados de fuentes externas y utilizados en el algoritmo de tratamiento de los datos

i) aproximaciones e hipótesis establecidas en el método y en el procedimiento de medida

j) variaciones en las observaciones repetidas del mensurando, en condiciones aparentemente idénticas. Estas fuentes no son necesariamente independientes, y algunas de ellas, de a) a

i), pueden contribuir en j). Por supuesto, un efecto sistemático no identificado no puede ser tenido en cuenta en la evaluación de la incertidumbre del resultado de una medición, aunque contribuirá a su error.

Las incertidumbres se agrupan en dos categorías, según su método de evaluación, “tipo A” y “ tipo B”. Estas categorías se refieren a la incertidumbre y no sustituyen a las palabras “aleatorio” y “sistemático” .

• tipo A: Están relacionadas con magnitudes estimadas a partir de un determinado número de observaciones repetidas e independientes, y como incertidumbre típica de dicha estimación se toma la desviación típica experimental de la medida.

• tipo B: Están relacionadas con magnitudes cuyo método de estimación no ha sido a partir de observaciones repetidas.

A modo de receta, el proceso general a seguir para estimar la incertidumbre es el

siguiente: 1. Expresar matemáticamente la relación existente entre el mensurando � y las

magnitudes de entrada �� de las que éste depende según � � ��� , �!, … , �#�. La función � debe contener todas las magnitudes, incluyendo todas las correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.

2. Obtener una estimación $ del mensurando �, utilizando las estimaciones de entrada � , �!, … �# de las magnitudes � , �!, … �# tal que

$ � �%� ,�!, … , �#& (1)

a) Si la magnitud de entrada �� es estimada a partir de ' observaciones

repetidas e independientes ��, , ��,!, …��,(, es decir, tipo A; entonces la estimación de la entrada �� será la media aritmética de todas las medidas, es decir:

∑=

=n

ikii x

nx

1,

1 (2)

y como incertidumbre típica �����:

( )( )( )1

1

2,

−

−=∑

=

nn

xxxu

n

ikii

iA (3)

b) Si la magnitud de entrada �� no es estimada a partir de observaciones

repetidas, es decir, tipo B; entonces la estimación de �� y la incertidumbre típica ����� se obtendrán a partir de decisiones científicas basadas en el conocimiento disponible sobre la posible variabilidad de la medida, lo que permite asociarle un determinado tipo de distribución (normal, rectangular, etc.). Este conocimiento puede provenir de:

� resultados de mediciones anteriores � experiencia o conocimientos generales sobre el comportamiento y

las propiedades de los materiales e instrumentos utilizados � especificaciones del fabricante � datos de certificados de calibración u otros tipos de certificados � incertidumbres asignadas a valores de referencias o constantes

naturales procedentes de libros y manuales. c) Si tenemos en una medida ambos tipos de incetirdumbre, entonces la

combinación de ambas la hacemos a partir de la expresión:

����� � )%�*����&! � %�+����&!

3) A continuación se obtiene la incertidumbre típica combinada ���$� como:

( ) ( )∑=

∂∂=

N

ii

ic xu

x

fyu

1

2

2

(4)

Cada ����� es una incertidumbre típica evaluada como se ha descrito en el paso 2), dependiendo si es de tipo A y/o de tipo B. La incertidumbre típica combinada ���$� es una desviación típica estimada y caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando �.

4) Obtener la incertidumbre expandida � multiplicando la incertidumbre típica combinada ���$� por un factor de cobertura � y su correspondiente nivel de confianza asociado.

5) Indicar el resultado de la medición en la forma � � $ �, indicando las unidades de $ y de �. Indicar asimismo el valor de � utilizado para obtener � � ���$� y el nivel de confianza asociado al intervalo $ �.

Desde un punto de vista práctico, la propuesta inicial del Comité Internacional

de Pesas y Medidas (CIPM) supuso desechar la hipótesis de que todas las contribuciones de incertidumbre respondiesen a leyes normales; trabajar siempre con desviaciones típicas o varianzas; y no identificar la incertidumbre con un intervalo de confianza sino directamente con la desviación típica resultante �. La multiplicación de esta última por un factor de cobertura �, habitualmente entre 2 y 3, y que debe especificarse siempre como parte del resultado de medida, permite obtener unos valores de incertidumbre expandida � “más fiables” para las decisiones habituales en la mayor parte de las aplicaciones, especialmente en la industria, de forma que: � � ���$�.

Sin embargo, subsistía la necesidad de armonizar la incertidumbre expandida de los resultados de las medidas, por lo que la segunda recomendación del CIPM en 1986 ya adelantó que esta cuestión estaba siendo considerada por un grupo de trabajo de ISO (Organización Internacional de Normalización) en el que también estaban representadas otras organizaciones.

El trabajo de dicho grupo se publicó formalmente en 1993 y además de presentar el cálculo de la incertidumbre típica combinada ���$� a partir de las recomendaciones del CIPM, indicó cómo caracterizar la incertidumbre expandida mediante un factor � resultante de establecer un cierto nivel de confianza.

Posteriormente se comenzó a trabajar en un primer suplemento de la GUM que estableciera las bases para “propagar” distribuciones en vez de varianzas (es decir, ���$� siguiendo las expresiones 4 y 5), mediante técnicas adecuadas como el método de Monte Carlo o la fórmula de Welch-Satterthwaite. Desde el año 2004 existía un borrador de dicho documento que se ha hecho oficial en otoño del 2007 publicado por la Organización Internacional de Metrología Legal (OIML).

En este curso seguiremos el procedimiento recomendado por la GUM para la estimación de las incertidumbres de medida. En esencia, las contribuciones consideradas determinan una función modelo con n variables de entrada, � , �!, …�#. Para cada una de ellas, ��, hay que conocer su valor, estimado por ��, y su desviación típica, �����, además de un parámetro que caracterice la confianza de la desviación típica, lo que suele hacerse facilitando el número de grados de libertad que es tanto mayor cuanto mayor sea la fiabilidad de �����. Posteriormente usaremos la propagación de los grados de libertad para obtener el grado de libertad efectivo, siguiendo la fórmula de Welch-Satterthwaite (WS):

�-�$�./00 �1

23$3�� �����4-

.�#

�5

./00 � �-�$�

∑23$3�� �����4

-

.�#�5

Finalmente, con este ./00 obtenemos el valor de � a partir de la distribución t-

Student (Tabla I.1, del apéndice I). Ejemplo 1:

Queremos medir el tiempo 7 de caída libre de un cuerpo desde una altura determinada. Para ello nos vamos al edificio “Torre Caja Madrid”, y desde una altura de 240 m aproximadamente y por el hueco del ascensor, dejamos caer libremente un cuerpo. Medimos el tiempo de caída libre empleando un cronómetro.

Debido a que el tiempo de caída depende de factores impredecibles que influyen en la aleatoriedad de la medición del tiempo, vamos a repetir el experimento 8 � 10 veces y así obtenemos los valores 7 , 7!,…7 � que se presentan en la siguiente tabla. No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7�;� 7,2 6,8 7,0 7,0 7,2 6,8 7,0 7,0 6,8 7,2

Con estos valores calculamos el valor medio de todas las mediciones realizadas.

∑=

=10

1101

iimedio tt (7)

y como resultado obtenemos 7</=�> � 7,0;.

Con los datos de la misma tabla calculamos la componente de incertidumbre debido al hecho de haber repetido la medida varias veces (tipo A).

( )( )

( )11010

10

1

2

−

−=∑

=imedioi

A

tttu (8)

�*�7� � 0,052;

Tenemos la información, a través de otros métodos y manuales, de que el cronómetro que hemos utilizado tiene una incertidumbre tipo B muy pequeña comparada con la incertidumbre tipo A que hemos calculado antes. Así, la incertidumbre típica de nuestra medida será:

��7� � �*�7� � 0,052; (9)

A continuación debemos calcular el valor de la incertidumbre expandida: ��7� � ���7� (10)

Nuestro experimento los hemos repetido 8 � 10 de forma independiente cada uno de ellos. El número de grados de libertad para este experimento se calcula como:

. � 8 � 1 En este caso tenemos . � 9. A continuación buscamos en la tabla I.1 (Apéndice

I) los valores del factor � que corresponden con un determinado % de confiabilidad. Para ello hemos cogido el fragmento de la tabla donde se localiza . � 9.

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09

Supongamos que queremos expresar nuestro resultado con una confiabilidad del

68,27 %. Entonces de la tabla obtenemos que � � 1,06, y: ��7� � ���7� ��7� � 0.055;

Finalmente expresamos nuestra respuesta de la forma: “El tiempo de caída libre de nuestro cuerpo ha sido �7,000 0,055�;, con un

factor de cobertura � � 1,06, que representa el 68,27 % de confiabilidad.”

Esto significa, que si volvemos a repetir la medida, en las mismas condiciones, obtendremos un valor que se encontrará en el intervalo �7,000 � 0,055; 7,00 �0,055�; con una probabilidad del 68,27 %.

También podíamos haber escogido nuestro resultado con una confiabilidad del 90 %. Entonces de la tabla obtenemos que � � 1,83, y: ��7� � ���7�

��7� � 0.095;

El resultado de nuestra medida se debe expresar entonces de la forma: “El tiempo de caída libre de nuestro cuerpo ha sido �7,000 0,095�;, con un

factor de cobertura � � 1,83, que representa el 90 % de confiabilidad.” Y así, para un determinado intervalo de confianza obtendremos un valor

diferente de k y con ello un valor distinto de U. Normalmente K suele adoptarse para recubrimientos importantes de la distribución de Y, por ejemplo, 95% o 99,7 %. En el seno de EA (European co-operation for Accreditation) se adopta un factor de cobertura que corresponda a un recubrimiento del 95% .

Así, siguiendo la norma de la EA siempre expresaremos la respuesta final de una medición para un 95 % de confiabilidad. En este ejemplo le corresponde un valor � � 2,26, y: ��7� � ���7�

��7� � 0.12;

El resultado de nuestra medida, de acuerdo con la EA, se debe expresar entonces

de la forma: “El tiempo de caída libre de nuestro cuerpo ha sido �7,00 0,12�;, con un

factor de cobertura � � 2,26, que representa el 95 % de confiabilidad.” A continuación nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Qué sucederá en el caso de

que repetimos nuestro experimento un gran número de veces (8 → ∞)? En este caso el número de grados de libertad se calcula como . � ∞, y el fragmento de la tabla I1 que debemos usar es el siguiente:

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 ∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

Esto significa que en el intervalo �7</=�> � ��7�, 7</=�> � ��7�� se encontrará el

valor más probable de la medición con una probabilidad del 68,27%, en el intervalo �7</=�> � 2��7�, 7</=�> � 2��7�� con una probabilidad de 95,45%, y en el intervalo �7</=�> � 3��7�, 7</=�> � 3��7�� con una probabilidad del 99,73%. Estos valores coinciden con los intervalos y los correspondientes % de confiabilidad para una distribución normal.

Finalmente debemos señalar que el procedimiento explicado en este ejemplo para 8 � 10, será el mismo para cualquier 8 N 1.

Ejemplo 2: Supongamos ahora que queremos medir, de forma indirecta, el valor de la

aceleración de la gravedad O. Para ello, además del tiempo 7 medido en el Ejemplo 1, será necesario conocer la altura P desde la que ha caído el cuerpo, y usar la siguiente expresión:

2

2

t

hg = (11)

Medimos la altura una vez y obtenemos un valor de P � 240,1R, y además

hemos conocido, por otros métodos, que la incertidumbre de tipo B en la medida de la altura es muy pequeña en comparación con otras componentes de incertidumbres en el experimento, pudiendo tomar ��P� � 0,0R.

Sustituimos los valores de P y 7 en la expresión (11) y calculamos O:

O � 9,80 R;!

A continuación calculamos la incertidumbre típica combinada ��O� a partir de la

expresión (4) y de la ��7� calculada en (9):

�!�O� � ST-UVW X! �!�7� (12)

��O� � 0,1436 R;!

Seguidamente calculamos la incertidumbre expandida ��O� � ���O�. Para el

cálculo del factor de cobertura �, primeramente indicaremos en una tabla toda la información de que disponemos de las variables de las que depende O. En este caso 7 y P:

Magnitud Valor Y� � E Z 7,00; 0,052; 9 [ 240,1R \ 0,0; -

Con estos valores calculamos el número de grados de libertad efectivos ./00 para O, a través de la fórmula de Welch-Satterthwaite (WS):

./00 � �-�O�

∑23O3�� �����4

-

.�#�5

Como O depende solamente de 7 entonces nos quedará:

./00 � �-�O�23O37 ��7�4

-

.V

./00 � 9 Siguiendo la norma de la EA expresaremos la respuesta final de la medición para

un 95 % de confiabilidad. En este ejemplo le corresponde un valor � � 2,26, lo que nos lleva a ��O� � 0,33R ;!] .

El resultado final lo expresaremos de la forma: “Al medir indirectamente la aceleración de la gravedad en la zona

correspondiente al edificio Torre Caja Madrid, en Madrid, se obtiene un valor de �9,80 0,33�<^_ con un factor de cobertura � � 2,26, que representa el 95 % de

confiabilidad.” §V Resolución de un instrumento

Se le llama resolución a la mínima variación de la magnitud medida que da lugar a una variación perceptible de la indicación correspondiente.

La resolución contribuye a la incertidumbre de medida, por cuanto supone un límite a la apreciación del valor de la magnitud. Si la resolución del instrumento con el que medimos es ` entonces, supondremos en este curso, que el valor de la medida que hacemos puede obtenerse con igual probabilidad en cualquier punto dentro del intervalo

S� � a! , � � a

!X. Así, los posibles valores de la medida que realizamos pueden

describirse mediante una distribución rectangular de probabilidad, de amplitud ` y se

cumplirá que �!��� � a_ !, lo que supone una incertidumbre típica ���� �

√ ! ` para

cualquier medida que realicemos. Aquí estamos suponiendo que nuestra medida se

encuentra en el intervalo S� � a! , � � a

!X con un 100 % de confiabilidad, lo que significa

(a falta de más información sobre la calibración del instrumento) ���� � a! .

En algunos casos solamente podemos saber que nuestra medida se encuentra entre un valor mínimo �<�( y otro valor máximo �<��. Entonces supondremos que la medida se encontrará con igual probabilidad dentro del intervalo ��<�(, �<��� y que el valor se puede calcular mediante la expresión � � �cdef�cg

! y una incertidumbre típica

���� � �cgT�cde√ ! . ���� � ��cgT�cde�

! con un 100 % de confiabilidad. En ambos

casos, como estamos considerando una distribución de probabilidad continua, tomaremos que el número de grados de libertad en esta medida es . � ∞, para los casos en que usemos la fórmula de WS para obtener el número de grados de libertad efectivo.

En el apéndice II de estos apuntes explicaremos con más detalle como calcular la incertidumbre tipo B debido a los instrumentos de medición.

Ejemplo 3: Queremos medir la longitud h de una varilla que tiene forma cilíndrica y de

diámetro i j 0,1RR. Para ello utilizamos una regla graduada en milímetros. La menor división de la regla es de 1RR, es decir, la resolución ` � 1RR. Debido a que la varilla es muy fina realizaremos la medición una vez. Al comparar la longitud de la varilla con la regla, observamos que la medida se encuentra entre los valores 15 y 16 RR, pero no somos capaces de decidir cuál de los dos valores tomar. En este caso

debemos tomar que nuestra medida es h � k<<f l<<! � 15,5RR. Tomando que la

medida sigue una distribución rectangular de amplitud ` y centrada en h, entonces la

incertidumbre típica �+�h� � a√ ! . Finalmente obtenemos ��h� � �+�h� � 0,29RR. La

incertidumbre expandida para este instrumento es ��h� � a! � 0,5RR, correspondiente

a una confiabilidad del 100 %. De ambos valores obtenemos � � m�n���n� � √3. Finalmente

expresamos, “La longitud de la barra ha sido de �15,5 0,5�RR, con un factor de cobertura de � � √3, que representa el 100 % de confiabilidad.”

Si más adelante quisiéramos usar el número de grados de libertad correspondiente a esta medición, debemos tomar . � ∞. Ejemplo 4

Queremos medir la misma barra del Ejemplo 3, pero usando un instrumento digital que tiene una resolución ` � 0,01RR. Con este dispositivo obtenemos una longitud de h � 15,23RR. En este caso nuestra medida se encontrará, con toda

seguridad, en el intervalo, Sh � a! , h � a

!X. Tomando que nuestra medida sigue una

distribución rectangular de amplitud ` y centrada en h entonces la incertidumbre típica

�+�h� � a√ !.

Finalmente obtenemos ��h� � �+�h� � 0,0029RR. La incertidumbre

expandida para este instrumento es ��h� � a! � 0,005RR, correspondiente a una

confiabilidad del 100 %. A partir de ambos valores obtenemos � � m�n���n� � √3.

Finalmente expresamos, “La longitud de la barra ha sido de �15,230 0,005�RR, con un factor de cobertura de � � √3, que representa el 100 % de confiabilidad.”

Si más adelante quisiéramos usar el número de grados de libertad correspondiente a esta medición, debemos tomar . � ∞. Ejemplo 5

Queremos hacer el mismo experimento del Ejemplo 1, pero esta vez usando un cronómetro digital con resolución ` � 0,1;. Con el objetivo de ganar en simplicidad, vamos a suponer que el experimento se realiza 10 veces y que se obtienen los mismos valores de la tabla del Ejemplo 1. Aplicando la expresión (7) calculamos el valor medio del tiempo de caída libre medido y obtenemos 7</=�> � 7,0;. A continuación debemos calcular la componente de incertidumbre (tipo A) asociada a la repetibilidad del experimento usando la expresión (8), �*�7� � 0,052;. Seguidamente calculamos la incertidumbre asociada a la resolución (tipo B) del instrumento siguiendo los mismos

argumentos del Ejemplo 4, y obtenemos la incertidumbre típica �+�7� � a√ !.

Finalmente la incertidumbre típica asociada a la determinación de 7 será la combinación cuadrática debido a la repetibilidad de las mediciones y a la resolución del instrumento.

�!�7� � �*!�7� � �+!�7� (13) ��7� � 0.059;

En el siguiente paso calculamos el número de grados de libertad efectivos de

esta medición a través de la fórmula de WS, teniendo en cuenta que la incertidumbre típica consta de dos componentes.

./00 � �-�$�

∑23$3�� �����4

-

.�#�5

./00 � �-�7��*-�7�.* � �+-�7�.+

./00 � �0.060;�-�0.052;�-9 � �0.029;�-∞

./00 � 16

A continuación buscamos en la tabla I.1 (Apéndice I) los valores del factor � que corresponden con un determinado % de confiabilidad. Para ello hemos cogido el fragmento de la tabla donde se localiza . � 16.

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54

Siguiendo la norma de la EA expresaremos la respuesta final de la medición para

un 95 % de confiabilidad. En este ejemplo le corresponde un valor � � 2,12, lo que nos lleva a ��7� � 0,13;.

Finalmente, expresaremos la medida final del tiempo en la forma: “El tiempo de caída libre de nuestro cuerpo ha sido �7,00 0,13�;, con un factor de cobertura de � � 2,12, que representa el 95 % de confiabilidad.” Ejemplo 6

Supongamos ahora que queremos medir, de forma indirecta, el valor de la aceleración de la gravedad O de forma similar a como lo hicimos en el Ejemplo 2, pero midiendo el tiempo como en el Ejemplo 5. El valor de la altura desde donde cae el cuerpo se ha medido usando una cinta métrica cuya resolución es ̀ � 0,1R, con lo

cual la incertidumbre típica en la medida de P es ��P� � a√ !. El cálculo de la

aceleración de la gravedad lo realizamos a partir de la expresión (11), y obtenemos O � 9,80<^_.

A continuación calculamos la incertidumbre típica combinada ��O� a partir de la expresión (4):

�!�O� � S !V_X! �!�P� � ST-UVW X

! �!�7� (14)

��O� � 0,17 R;!

El siguiente paso será el cálculo de ./00 para O, a través de la fórmula de Welch-

Satterthwaite (WS):

./00 � �-�O�23O37 ��7�4

-

.V �23O3P ��P�4

-

.U

Los valores a sustituir en la ecuación anterior de WS serán:

Magnitud Valor Y� � E Z 7,00; 0,060; 16 [ 240,1R 0,029R ∞ Se obtiene así:

./00 � o0,17 R;!p-

o�4P7q 0,060;p-16

./00 � 17

El siguiente paso será el cálculo de la incertidumbre expandida ��O� � ���O�. Para ello buscamos en la tabla I.1 (Apéndice I) los valores del factor � que corresponden con un determinado % de confiabilidad. Para ello hemos cogido la fila de la tabla donde se localiza . � 17.

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51

Siguiendo la norma de la EA expresaremos la respuesta final de la medición para un 95 % de confiabilidad. En este ejemplo le corresponde un valor � � 2,11, lo que nos lleva a ��O� � 0,36 <^_.

Finalmente, expresaremos: “Al medir indirectamente la aceleración de la gravedad en la zona correspondiente al edificio Torre Caja Madrid, en Madrid, se obtiene un valor de �9,80 0,36�<^_ con un factor de cobertura � � 2,11, que

representa el 95 % de confiabilidad.” §VI Número de cifras significativas en el resultado de una medición

Los valores numéricos de la estimación de una magnitud � y de su incertidumbre

típica y/o típica combinada ���� y/o de su incertidumbre expandida ���� no deben darse con un número excesivo de cifras. Actualmente se ha establecido el redondeo de la incertidumbre a dos cifras significativas en la presentación de los resultados finales, aunque durante los cálculos intermedios es necesario mantener cifras suplementarias para evitar la propagación de errores de redondeo en cálculos posteriores.

A la hora de presentar los resultados finales se redondea por exceso o por defecto dependiendo de la tercera cifra significativa. En el caso de que la tercera cifra significativa sea 5, entonces si la segunda es par se redondea por defecto, mientras que si la segunda es impar se redondea por exceso. Por ejemplo, ���� � 10,78RΩ se redondea a 11RΩ, y un valor tal como ���� � 28,05�st deberá redondearse al valor inferior ���� � 28�st. Además, las estimaciones de la medida (directa ó indirecta) deben redondearse de acuerdo con sus incertidumbres; por ejemplo, si $ � 10,05762Ω con ���$� � 27RΩ, entonces el valor de $ deberá redondearse a 10,058Ω. §VII Gráficos experimentales, ajustes lineales.

Muchas veces el objetivo de un conjunto de mediciones es comprobar una ley propuesta teóricamente, o a partir de una ley ya aceptada determinar una magnitud. Si al representar gráficamente las mediciones, éstas se ajustan a una recta, entonces podemos calcular la pendiente o la ordenada en el origen de dicha recta (Figura 3). Ambos parámetros estarán relacionados con magnitudes físicas que pretendemos calcular.

Para ello se toman medidas de las dos variables de interés, que llamaremos � e $, y se hace una tabla de valores: X x1 x2 x3 x4 ... xi ... xn Y y1 y2 y3 y4 ... yi ... yn

y con las parejas de abscisa y de ordenada se representan los puntos en un gráfico �uv$. Si los puntos quedan bastante alineados, se traza la mejor recta que ajusta esos puntos y una vez representada se calcula la pendiente. A continuación se extrapola la recta hasta el eje y para encontrar la ordenada en el origen. Si al representar los puntos, se alinean sobre una curva, lo recomendado es introducir algún cambio de variable y probar con otro gráfico (en vez de �uv$., probar con �!uv$, o con √�uv$, o con �T uv$, o con hwO���uv$, o con otros cambios de variables) hasta que se obtenga una recta. La línea recta es el gráfico experimental de mayor confiabilidad.

Para representar los puntos de manera que resulte cómodo hacer mediciones sobre el gráfico se recomiendan tener en cuenta lo siguiente (ver figura):

Figura 3

1. Escoja una escala cómoda en cada eje: múltiplos de 10, de 2, o de 5. Esto es, que

el milímetro del eje tenga valores como: 1; 10; 100; 0,1; 0,01; etc.: o como 2; 20; 200; 0,2; 0,02; etc. Es igual si es múltiplo de 5. Pero tomar divisiones múltiplos de 3, 6, 7, 9 u otros valores (inclusive el 4 y el 8) facilita equivocarse al colocar el punto en el papel, o al leer algún valor interpolado en el gráfico: no son escalas fáciles de leer.

2. Represente en los ejes aproximadamente los intervalos de valores en que aparecerán los puntos experimentales. No tiene sentido tomar una escala de 0 a 100 para representar valores experimentales entre 50 y 65.

3. Trazar la recta, a simple vista, que más se acerque a los puntos representados, es decir, la recta que mejor se ajuste.

4. Calcular la pendiente de la recta al marcar dos puntos, ���, $�� y , ��x , $x� sobre ésta:

ab

ab

xx

yym

−−= (15)

Estos puntos se deben escoger próximos a los extremos del intervalo de medición para no perder cifras significativas del intervalo. No tiene sentido hacer mediciones en un intervalo de 100 unidades de la variable � y escoger un intervalo de �x � �� de 8 o 10 unidades para calcular la pendiente, pues equivale a reducir las cifras significativas del resultado.

5. Tome las escalas gráficas de forma tal que un milímetro (1 mm) de la escala coincida con el orden decimal de la última cifra significativa que se conoce en las mediciones.

La medición de la ordenada en el origen puede lograrse extrapolando hasta el eje $, leyendo directamente la escala en la intercepción con el eje de las ordenadas. Esto será así si el eje $ se levanta sobre el punto � � 0 del eje �. Si la escala del eje � estuviera desplazada del origen, la ordenada en el origen deberá ser calculada a partir de la ecuación general de la recta, conocida su pendiente y las coordenadas de un punto cualquiera.

Figura 4

En la descripción del método que debemos seguir para obtener el gráfico de la

Figura 3, no hemos tenido en cuenta la resolución de los instrumentos usados para medir los valores que hemos representado en los ejes � e $. Cada valor que situamos en la gráfica debe tener asociado una incertidumbre, con lo cual cada punto se convierte en una pequeña ventana rectangular por donde puede pasar la mejor recta (Figura 4). Si la incertidumbre de los instrumentos es menor que la escala del eje, entonces no tiene sentido hablar de esta ventana. Sin embargo, en el caso de que sean valores comparables sí es necesario considerar que no son puntos, sino ventanas. Así, los valores de la pendiente y ordenada en el origen de la mejor recta y sus incertidumbres dependerán de los instrumentos utilizados, pues en la representación gráfica se han tenido en cuenta las incertidumbres de los pares ���, $��.

En la figura 4 podemos observar que existen infinidad de rectas que pueden pasar por todas las ventanas representadas. De todas ellas podremos obtener una con pendiente máxima R<�� y otra con pendiente mínima R<�(. El valor de la pendiente que nos interesa se debe encontrar en el intervalo �R<�(, R<���. Existen métodos para estimar, mediante el gráfico, la incertidumbre de la pendiente y la ordenada en el origen, pero no será objetivo de estos apuntes.

§VIII Ajuste por el método de los mínimos cuadrados

Existe un método matemático para calcular la pendiente y la ordenada en el origen de la mejor recta para un conjunto de puntos experimentales. Se conoce como el método de los mínimos cuadrados. En este método se toman las coordenadas ���, $�� de ' puntos experimentales: x x1 x2 x3 x4 ... xi ... xn y y1 y2 y3 y4 ... yi ... yn

y se supone que satisfacen la ecuación de una recta: $ � R� � y tal que para cada valor �� medido experimentalmente se podría calcular un valor teórico $V� que debería coincidir, o estar muy próximo al valor experimental $�. El método de los mínimos cuadrados establece que si los parámetros R y y son los de la recta de mejor ajuste, las diferencias �$V� � $��, deberán ser mínimas. Como las diferencias en cuestión son positivas y negativas, se consideran entonces sus valores al cuadrado para que sean siempre positivas, �$V� � $��!. En esta aproximación se está suponiendo que las incertidumbres asociadas con las medidas de cada punto ��, $� son despreciables comparadas con la aleatoriedad de los puntos (Figura 3). Si consideramos que la mejor recta también puede ser aquella que pase por una ventana formada por las incertidumbres (Figura 4), entonces sí estaríamos considerando el hecho de que cada uno de nuestros valores ha sido determinado con cierta incertidumbre. Sin embargo, ese caso no será incluido en estos apuntes.

La hipótesis básica del método es definiendo la suma v como:

( )∑=

−+=n

iii ybmxS

1

2 (16)

existirá un valor para R y un valor para y que hagan mínima esta suma.

La condición de mínimo la podemos escribir como:

0=∂∂m

S

0=∂∂b

S

De estas se obtiene un sistema de dos ecuaciones lineales y dos incógnitas R y y. Finalmente se obtienen los valores para la mejor recta:

2

11

2

111

−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

xxn

yxyxnm (17)

n

xmyb

n

ii

n

ii ∑∑

==−

= 11 (18)

Nótese que con las expresiones deducidas para m y b, se puede calcular la

pendiente y la ordenada en el origen de la recta que mejor ajusta estos puntos, estén bien alineados o muy dispersos, parezcan una recta o una parábola, u otra curva.

Sin embargo, se puede calcular el coeficiente de correlación z,

−

−

−=

∑∑∑∑

∑∑∑

====

===2

11

2

2

11

2

111

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

yynxxn

yxyxnr (19)

que nos indica como de bueno ha sido nuestro ajuste.

Si el coeficiente de correlación queda próximo a la unidad, la correlación es buena, pero en la medida en que se aproxima a cero significa que la dispersión es muy grande. El coeficiente de correlación no puede resultar mayor que la unidad.

La estimación de la incertidumbre típica combinada de la pendiente ���R� y la incertidumbre típica combinada de la ordenada en el origen ���y� se calculan a partir de las siguientes expresiones:

( )( )

( ) ( )∑

∑

=

=

−−

−−= n

ii

n

iii

c

xxn

bmxymu

1

2

1

2

2 (20)

( )( )

( ) ( )∑

∑∑

=

==

−−

−−= n

ii

n

ii

n

iii

c

xxnn

xbmxy

bu

1

2

1

2

1

2

2 (21)

Solamente nos queda decir, que en el caso de hacer el ajuste por el método de los

mínimos cuadrados, el número de grados de libertad asociado con la determinación de R y y es . � ' � 2. Ejemplo 7

Queremos medir, de forma indirecta, la aceleración de la gravedad O. Para ello vamos a dejar caer un cuerpo desde diferentes alturas, y mediremos el tiempo de caída libre para cada altura. La relación matemática entre estas parejas de datos �7, P� será la expresión (11), que ahora escribiremos de la forma:

P � !O7! (22)

Como se puede observar, la relación que hay entre cada una de las alturas P y el

correspondiente tiempo 7 es cuadrática. Así, si representamos un gráfico con los pares

de puntos �7!, P� debemos obtener una recta cuya pendiente será R � !O, lo que

significa que si calculamos R podremos conocer O � 2R. Las medidas de las alturas las hacemos con el mismo instrumento del Ejemplo 2, es decir, ��P� � 0,0R y las medidas del tiempo las hacemos una vez para cada altura con el mismo instrumento que el Ejemplo 1, ��7� � �+�7� � 0,0;.

Así, tomamos los datos que se presentan en la siguiente tabla: P�R� 100 130 160 200 240 7!�;!� 20 27 33 41 49

Con estos datos hacemos un gráfico similar al de la Figura 3, donde en el eje de las abscisas tomamos 7! y en el eje de las ordenadas los valores de P. Después aplicamos la ecuación (17) y obtenemos la pendiente R � 4,865 <^_ y ��R� � 0,082 <^_ con un número de grados de libertad .< � ' � 2 � 3. Además, el coeficiente de correlación z calculado a partir de la expresión (19) es z � 0,9996 indicando que el ajuste a la recta ha sido adecuado.

Con estos datos podemos calcular el valor de O � 2R � 9,73 <^_. El valor de la

incertidumbre típica ���O� se calcula a partir de la ecuación (4). ��O� � 2��R� (23)

��O� � 0,16 R;!

A continuación calculamos el número de grados de libertad efectivos ./00 a través de la fórmula WS:

./00 � �-�O�23O3R ��R�4

-

.<

./00 � 3

El siguiente paso será el cálculo de la incertidumbre expandida ��O� � ���O�.

Para ello buscamos en la tabla I.1 (Apéndice I) los valores del factor � que corresponden con un determinado % de confiabilidad. Para ello hemos cogido el fragmento de la tabla donde se localiza . � 3.

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22

Siguiendo la norma de la EA expresaremos la respuesta final de la medición para

un 95 % de confiabilidad. En este ejemplo le corresponde un valor � � 3,18, lo que nos lleva a ��O� � 0,53 <^_.

Finalmente, expresaremos: “Al medir indirectamente la aceleración de la gravedad en la zona correspondiente al edificio Torre Caja Madrid, en Madrid, se obtiene un valor de �9,80 0,53�<^_ con un factor de cobertura � � 3,18, que

representa el 95 % de confiabilidad.”

APENDICE I Tabla I.1 Valor de � a partir de la distribución t-Student, para . grados de libertad, que define un intervalo de incertidumbre en torno a la medida �, desde �– �� hasta X���, con un una confiabilidad de K%.

Grados de libertad

C�%� E 68,27 90 95 95,45 99 99,73 1 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 235,80 2 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 19,21 3 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 9,22 4 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 6,62 5 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,51 6 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 4,90 7 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,53 8 1,07 1,86 2,31 2,37 2,36 4,28 9 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,09 10 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 3,96 11 1,05 1,80 2,20 2,25 3,11 3,85 12 1,04 1,78 2,18 2,23 3,05 3,76 13 1,04 1,77 2,16 2,21 3,01 3,69 14 1,04 1,76 2,14 2,20 2,98 3,64 15 1,03 1,75 2,13 2,18 2,95 3,59 16 1,03 1,75 2,12 2,17 2,92 3,54 17 1,03 1,74 2,11 2,16 2,90 3,51 18 1,03 1,73 2,10 2,15 2,88 3,48 19 1,03 1,73 2,09 2,14 2,86 3,45 20 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,42 25 1,03 1,71 2,06 2,11 2,79 3,33 30 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,27 35 1,01 1,70 2,03 2,07 2,72 3,23 40 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,20 45 1,01 1,68 2,01 2,06 2,69 3,18 50 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,16 100 1,005 1,660 1,984 2,025 2,626 3,077 ∞ 1,000 1,645 1,960 2,000 2,576 3,000

APENDICE II. Incertidumbre tipo B

Como ya hemos comentado al inicio de estos apuntes, el acto de medir es

comparar una cantidad de magnitud, mensurando, con otra cantidad de referencia de la misma clase que se adopta como patrón, ya sea empleando un instrumento comparador y haciendo intervenir en el proceso de patrones o materiales de referencia que materializan valores próximos al del mensurando, o aplicando exclusivamente un instrumento de medida sobre el mensurando (medida absoluta directa). La segunda opción no es sustancialmente distinta de la primera. En efecto, aunque en este caso la comparación se realiza contra la escala del instrumento, previamente tuvieron que utilizarse patrones o materiales de referencia para establecerla inicialmente en el instrumento. Así mismo, también se emplean patrones o materiales de referencia para comprobarla periódicamente (calibración).

Para que las medidas sean metrológicamente representativas, es decir posean trazabilidad, los instrumentos deben comprobarse periódicamente mediante su calibración, operación consistente en enfrentar el instrumento o patrón a calibrar (calibrando) a otros elementos conocidos, con trazabilidad, para determinar cuantitativamente las diferencias existentes. El resultado de la calibración de un elemento debe figurar adecuadamente en cualquier medida en la que intervenga dicho elemento.

Existen varias magnitudes que no son objeto de la medición pero que tienen un efecto sobre el resultado de la medición. Así, las variaciones de temperatura afectan a las dimensiones geométricas de los cuerpos por lo que la temperatura es una magnitud de influencia en la medida de longitudes.

Otros ejemplos: • Las densidades de las masas que se comparan en una balanza son magnitudes de

influencia debido al empuje que aquellas experimentan en el aire según el principio de Arquímedes.

• La temperatura de un conductor influye sobre su resistencia eléctrica de forma que la medida de dicha resistencia depende de la temperatura del conductor.

• La determinación de la longitud de onda de un láser está afectada por la presión atmosférica, la temperatura, la humedad relativa y la composición del aire. No siempre es posible medir en las condiciones de referencia donde se calibró el

instrumento. En este caso, los valores obtenidos deben corregirse para que resulten similares a los que se habrían obtenido si los valores de las magnitudes de influencia significativas hubiesen sido los de referencia. Se denomina corrección a la modificación que debe introducirse en el valor sin corregir, a veces designado valor bruto, para obtener el valor corregido. Aunque en algunos casos se utilizan correcciones multiplicativas, las más frecuentes son las correcciones aditivas que proporcionan el valor corregido sumando la corrección al valor bruto. Es decir, si en un instrumento de medida obtenemos el valor �� debemos sumarle la correspondiente corrección por no encontrarnos en las condiciones de referencia. Así el valor final medido será: � � �� � t siendo t el valor de la corrección.

Además de las correcciones por medir en condiciones distintas a las de referencia, la calibración periódica de cualquier instrumento de medida para dotarle de

trazabilidad determina la aparición de la corrección de calibración, que también debe ser tenida en cuenta en la corrección final de nuestra medida.

Durante el proceso de calibración de un instrumento lo que hacemos es estimar la corrección que debemos aplicar cuando posteriormente intentemos medir con este instrumento. Para ello, medimos un determinado patrón con el instrumento y así definimos la corrección como:

corrección�t� = valor del patrón – indicación del instrumento

La corrección a utilizar por cada uno de los instrumentos en un laboratorio se realiza a través de un modelo matemático, que en muchos casos depende de cada medida. Sin embargo, existen algunas componentes de la corrección que son comunes a muchos instrumentos de medida. Por ejemplo, digamos que estamos usando un sensor para medir una magnitud P, y que leemos a través de su escala el valor h. Entonces, el valor de la medición lo escribimos como: P � h � t

La corrección sería: t � `|� � }~ � }� � }�

donde: `|� es la contribución por deriva del sensor desde su última calibración }~ es la corrección por la temperatura a la que se realiza la medición }� es la corrección asociada a la división de la escala }� es la corrección asociada al cero del instrumento

La incertidumbre típica de la corrección se calculará como: �!�t� � �!�`|�� � �!�}~� � �!�}�� � �!�}��

A continuación debemos conocer el número de grados de libertad para cada uno de las componentes de la corrección, y finalmente usando la fórmula de Welch-Satterthwaite (u otro método como el de Monte Carlo) calculamos el factor de cobertura � para el 95% de confiabilidad. Así obtendremos el valor final de ��P�, que es la incertidumbre que verdaderamente nos interesa. En la web de los profesores de la asignatura podrán encontrar algunos ejemplos de certificados de calibración para diferentes instrumentos.

Este procedimiento es complicado y por ello exige de la ayuda de profesionales e instituciones que se dedican a emitir certificados de calibración de instrumentos, por ejemplo: Centro Español de Metrología.

En este curso solamente usaremos la corrección debido a la escala del instrumento, cuya incertidumbre tipo B hemos calculado a partir de una distribución de probabilidad rectangular constante alrededor del punto de medida.

En el apartado “§V Resolución de un instrumento”, hemos visto como calcular la incertidumbre típica de un instrumento cuando no tenemos una información detallada sobre éste. Entonces tomamos la resolución del instrumento ̀ como la mínima escala. A

partir de ahí calculamos � � a! y � � a

!√q . Sin embargo, en muchos casos sí tenemos

información más detallada sobre la resolución del instrumento.

Por ejemplo, algunos polímetros incluyen la información como la que aparece en la siguiente tabla, escaneada del catálogo de un polímetro:

Fígura II.1 Información del catálogo de un polímetro en el laboratorio.

A continuación explicaremos como manejar la información que viene en este

catálogo. Lo que llaman "resolution" (resolución) es la última cifra que veremos al encender el polímetro, que no significa que sea lo que el polímetro es capaz de "resolver" cuando toma una lectura. Los polímetros (voltímetros, amperímetros, etc) son instrumentos complejos cuya resolución no puede simplificarse a la última cifra significativa sino que depende del rango en el que te mueves y de la lectura que estés tomando. Por ejemplo, si queremos medir 1,5 V en DC estaríamos en el rango de 2 V, y

la ultima cifra que veremos en el polímetro será "1 mV", es decir veremos algo como: 1,502u. Para calcular la componente de incertidumbre debida a la lectura de la escala ��}��, debemos tomar los datos de "accuracy" (precisión) en ese rango, es decir: 0,5 % de la lectura +2 digitos, es decir:

� � 1,502 ∗ 0,005u � 2 ∗ 1Ru � 9,5Ru siendo � la semi-amplitud del rango de medición. Como el texto de las especificaciones no dice nada, le podemos asignar una distribución rectangular, por lo que la componente de incertidumbre sería:

��}�� � �√3

Si no tenemos ninguna otra información sobre el instrumento, entonces

finalmente:

�+ � �√3 � 5,5Ru

Si usamos el instrumento para realizar una única medida, entonces

� � � � 9,5Ru

Así, finalmente escribiremos nuestra medida como: u � �1,5020 0,0095�u

Si más adelante queremos usar este valor para una propagación cuadrática y obtener una incertidumbre típica combinada, entonces debemos tomar:

�+ � �√3 � 5,5Ru

Sin embargo, con esto solo tenemos una componente de la incertidumbre. Para

calcular la incertidumbre de una medida realizada con ese polímetro necesitaremos además conocer la incertidumbre de calibración y la deriva del instrumento (entre otras posibles componentes). Definiendo un modelo matemático simple de tipo aditivo, bastaría componer cuadráticamente esas tres componentes para tener la incertidumbre combinada. El factor de cobertura k se puede calcular usando la formula de Welch-Satterthwaite a partir de los grados efectivos de libertad de cada componente para la probabilidad que desees (habitualmente el 95,45 %). Si queremos simplificar podemos “suponer” que la distribución de probabilidad de la incertidumbre combinada (que hemos calculado al componer esas tres componentes) es una distribución normal (gausiana), por lo que el k correspondiente a una probabilidad del 95,45 % sería k=2.

Si queremos usar las especificaciones de los equipos es importante y fundamental saber que no debemos malinterpretarlas. Además de las especificaciones es necesario calibrar los equipos. Lo que los fabricantes llaman " accuracy" no es un sustitutivo de la incertidumbre de calibración. La calibración de los instrumentos debe realizarse en centros especializados como el Centro

Español de Metrología. Así, aunque tengamos las especificaciones de un instrumento, debemos tener muy presente que para expresar correctamente una medida se debe obtener el certificado de calibración (ver ejemplo en las web de los profesores) antes de ser usados.

Bibliografía A continuación presentamos la bibliografía utilizada para hacer este documento.

Se recomienda al alumno el uso de los siguientes materiales: � An introduction to uncertainty in measurement using the GUM (Guide to

the Expression of Uncertainty in Measurement). Autores: Les Kirkup y Bob Frenkel. Disponible en la Biblioteca de la Escuela Politécnica de la Universidad de Sevilla.

� Recomendaciones del CEM para la Enseñanza Metrología. Centro Español de Metrología, Enero de 2011. (http://www.cem.es:8081/cem/es_ES/common/pop_externo.jsp?url=../documentacion/generales/Recomendaciones%20CEM%20Ensenanza%20Metrologia.pdf)

� GUM DIGITAL 2010 (GUM 1995 con ligeras correcciones). Centro Español de Metrología, 2008. (http://www.cem.es/sites/default/files/gum20digital1202010.pdf)