MATEMATICAS 9ºLic. SANDRA PATRICIA SALTARIN GOMEZ

2013ÁREA: Matemáticas

ASIGNATURA: Álgebra

INTENSIDAD HORARIA SEMANAL: 5 Horas

TEMA: Números complejos.

PROYECTOS TRANSVERSALES:

Lectoescritura: lecturas referentes al origen de los números complejos.LOGRO:COGNITIVOInterpreta las distintas ampliaciones de los conjuntos numéricos desde los naturales hasta los complejos.PRAXIOLÓGICOUtiliza las operaciones en los distintos conjuntos numéricos en la solución de situaciones problémicas.ACTITUDINALValora la importancia de comprender las distintas ampliaciones de los conjuntos numéricos.ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOSEl primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso general y sistemático de los números complejos.NÚMEROS COMPLEJOS: Ante todo destacamos que lo siguiente es solo una breve descripción del origen de números complejos, y no tiene para nada la idea de hacer un análisis matemático del tema. Simplemente se intenta dar una somera idea del porque han sido creado, o cual fue la circunstancia que llevó a la creación de los mismos.Todos los números que conocemos y usamos están englobados en una categoría matemática, llamada Número Reales, que seguramente te acuerdas cuando estudiabas algebra en el secundario. Desde la utilización misma de los números siempre han surgido diferente problemas que pudieron resolverse mediante las armas algebraicas del momento, y se debió crear o inventar nuevos artilugios para lograr una solución de los mismos, por ejemplo el número cero, los números negativos, fraccionarios, etc.Así fue como nació la necesidad de inventar los números complejos, que se crearon cuando los matemáticos se encontraron con el problema de resolver la raíz cuadrada de un número negativo.Explicación: Como no todos los problemas pueden resolverse con números reales, se aprendió que era posible calcular la raíz cúbica de —1 o de —8. Sabemos por ejemplo, que la raíz cúbica de -1 es igual a -1.

Simplemente porque (ahora al revés) (—1)3 = —1.Igualmente, la raíz cúbica de -8 es igual a -2, porque (—2)3 = —8.

Hasta acá todo bien, pero que pasa cuando se quería obtener, por ejemplo, la raíz cuadrada de -4, cuanto es?....si probamos con 2 no puede ser porque 22 = 4, y si probamos con -2, tampoco es porque (-2)2=4, también dá 4.

Como se observa es imposible obtener un valor para una raíz de índice par, en este caso 2 (cuadrada), de un numero negativo, entonces frente a este inconveniente, se inventaron los números que comenzaremos a utilizar en este capítulo: los números complejos.

El símbolo que se utiliza para simbolizarlos es la letra (i), de imaginarios, porque son números que no se pueden representar en las coordenadas reales como hacemos habitualmente. Corresponde al gran matemático Leonhard Euler, la designación de tal simbología.En 1777 el matemático suizo Leonhard Euler introdujo el símbolo i (por “imaginario”), que después de eso se adoptó de manera general, y por definición: i2=-1Entonces para el ejemplo anterior, en donde se desea obtener, la raíz cuadrada de -4, la respuesta es: 2i de tal manera que si hacemos al revés, es decir, 2i . 2i = 4. i2= 4. (-1)=-4, valor correctoLos números complejos tienen muchas aplicaciones importantes en tecnología o ingeniería, sobretodo en electrónica y electricidad. Hacen mucho más fácil el trabajar con vectores y con problemas que implican corriente alterna (ca).

¡ANALIZA¡Cuando se presentan ecuaciones de la forma x + 3 = 0, se encuentra que la solución es un número real; lo mismo ocurre con ecuaciones de la forma x2 - 3 = 0, es decir las soluciones son valores numéricos que pertenecen a los reales.

¿Qué podemos decir de la solución para ecuaciones de la forma x2 + 3 = 0?Veamos:

Esto quiere decir que la solución de la ecuación debe ser la raíz cuadrada de -3, el cual no es posible debido a que la radicación para índice par no está definida para cantidades negativas en los números Reales.

Todo lo anterior crea la necesidad de determinar un nuevo conjunto numérico que contenga las soluciones de la ecuaciones de este tipo. Veamos de qué conjunto se trata.

NÚMEROS IMAGINARIOS

Solucionar la ecuación: X2 + 4 = 0Veamos:

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2013En el conjunto de los números Reales no hay valores que satisfagan esta ecuación, pero se puede seguir el proceso así:

En este proceso, 2 es la raíz cuadrada de 4.Ahora es llamada UNIDAD IMAGINARIA y se representa con la letra i.Luego la solución de la ecuación dada es:

Por tanto:Los números que se representan de la forma bi reciben el nombre de CANTIDADES IMAGINARIAS PURAS.

En la expresión bi, b representa el valor de la cantidad imaginaria, mientras que i es la unidad imaginaria cuyo valor es . Cabe resaltar que con estas cantidades imaginarias se pueden hacer operaciones como se hace en los monomios algebraicos.

Por ejemplo:

Sumar:

Ejemplo 2: consulta como sería: = ¿??

POTENCIAS DE i

Antes de estudiar los números complejos y sus operaciones es necesario conocer los valores de las potencias de i.Por ejemplo:

La pregunta sería ahora, ¿cómo calcular una potencia de i que sea mayor que 4? Veamos un ejemplo:Calcular: i25 = ¿?

Para resolverlo, basta dividir el exponente de la potencia dada por 4, determinar el residuo y compararlo con los exponentes básicos. Por ejemplo:

y sobra 1. Por lo tanto:

EJERCICIOSCalcula el valor exacto de las siguientes potencias de i:

Ahora bien los números reales y los números imaginarios son subconjuntos de otro conjunto llamado NÚMEROS COMPLEJOS, el cual denotaremos con la letra C.

NÚMEROS COMPLEJOS

Toda cantidad que se pueda expresar de la forma a + bi se denomina número complejo, a y b son valores reales; a recibe el nombre de parte real, mientras que bi es la parte imaginaria.En otras palabras, un número complejo es aquel que está compuesto por una parte real y una parte imaginaria.

Son ejemplos de números complejos:

3 + 2i; -6 - 3i; -7 + 6i, etc…

Ahora bien, todo número complejo tiene un conjugado, así como todo real tiene un número opuesto.

Luego se define como expresión CONJUGADA a un número complejo que se diferencia de otro, únicamente, en el signo de la parte imaginaria.Por ejemplo:El complejo: 7 + 3i, tiene como conjugada: 7 – 3i -3-5i, tiene como conjugada: -3 + 5i

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: llevar a la forma a + bi el complejo:

EJERCICIOS

Lleva a la forma a + bi:

1.

2.

3.

4.

5.

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OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

A continuación analizaremos la forma de desarrollar operaciones entre complejos, además de examinar las propiedades que se cumplen en ellas.

1. ADICIÓN Para sumar números complejos se utiliza la reducción de términos semejantes; es decir, para sumar números complejos se suman algebraicamente las partes reales entre si y de igual forma las partes imaginarias.Por ejemplo:Sumar: (5 + 7i) + (-3 + i) = 5 + (-3) + 7i + i

= 2 + 8i

Ej. 2: (-7 + 2i) + (4 - 3i) = (-7 + 4) + (2i – 3i) = -3 – iEj. 3: halla la suma de

Sol. Como vemos, primero hay que transformar los complejos a la forma a + bi.

Adicionamos las cantidades:(-7 + 6i) + (-2 - 15i) = -7 – 2 + 6i – 15i = -9 – 9i

EJERCICIOS

Efectúa las siguientes operaciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2. SUSTRACCIÓN

Para hallar la diferencia entre dos números complejos basta cambiar el signo del sustraendo y reducir entre sí tanto las partes reales como las partes imaginarias.Por ejemplo:Restar 5 – 7i de 4 + iSol:

Determinamos cual es el sustraendo y cuál es el minuendo.Minuendo: 4 + iSustraendo: 5 – 7i. Luego la operación se plantea así:

Ejemplo 2:

De 7 – 3i restar su conjugada.

Sol:

(7 – 3i) – (7 + 3i) = 7 – 3i – 7 – 3i = 7 – 7 – 3i – 3i = 0 – 6i

NOTA : todo número complejo tiene un conjugado que es igual a él, pero con signo contrario en la parte imaginaria.

EJERCICIOS

Restar:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

3. MULTIPLICACIÓN

Para multiplicar números complejos:a. Se desarrolla la operación como si fueran

binomios algebraicos.b. Se reemplazan las potencias de i por sus valores

respectivos.c. Se reducen términos semejantes.

Por ejemplo:

Desarrollar la siguiente operación:

Para realizar la operación aplicamos la propiedad distributiva.

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Ejemplo 2: multiplicar:

Antes de proceder a realizar la multiplicación es necesario llevar los números complejos a la forma a + bi.

Luego:

Por tanto, multiplicaremos:

EJERCICIOS

Efectúa los siguientes productos

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

4. DIVISIÓN

Para dividir cantidades complejas se procede de la siguiente manera:

a. Se expresa la operación en forma fraccionaria.b. Se multiplican ambos elementos de la fracción

por la expresión conjugada del denominador.c. Se desarrollan los productos indicados,

presentando el resultado en forma discriminada, es decir, diferenciando la parte real de la parte imaginaria.

Veamos un ejemplo:

Calcular el cociente:

Sol:

a.

b.

c.

Ejemplo 2.

Dividir:

Solución:

EJERCICIOS

Desarrolla las operaciones indicadas.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

REPRESENTACION GRÁFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Anteriormente se efectuaron todas las operaciones con cantidades complejas que daban como resultado otra cantidad compleja de la forma a + bi.

Esta forma se puede representar como pareja ordenada (a, b) en la que la primera componente (a) corresponde a la parte real y la segunda (b) a la parte imaginaria del número complejo.

Por ejemplo: representar como pareja ordenada el complejo (-5 + 7i)

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2013Veamos la solución:(-5 + 7i) = (-5, 7)

Sabemos que toda pareja ordenada determina un punto en el plano cartesiano, por tanto toda cantidad compleja se puede representar gráficamente como un punto. Cabe resaltar que en el eje vertical será representada la parte imaginaria y en el horizontal la parte real.Luego:

REPRESENTACION VECTORIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Al trazar un segmento dirigido desde el origen del plano hasta el punto determinado por la pareja ordenada, obtenemos la representación vectorial de la cantidad compleja.Por ejemplo: Al unir el punto (0, 0) del plano con el punto (-5, 7) se obtiene la representación vectorial de la cantidad compleja correspondiente a esa pareja.

Es decir: OA = -5 + 7i

NORMA DE UN VECTOR

Se define la NORMA de un número complejo como la longitud del vector que representa.Esta NORMA se calcula aplicando la el teorema de Pitágoras así:

NOTA: antes de calcular la NORMA de un número complejo es necesario expresar dicho número como una pareja ordenada de la forma (a, b) para así aplicar la ecuación.

Por ejemplo:

Representa vectorialmente la siguiente cantidad compleja y calcula su norma. -6 + 3i

SOL: se expresa el complejo en forma canónica:

-6 + 3i = (-6, 3)

El vector que representa sería:

Luego su norma se calcula así:

ACTICLASS

Representa en forma canónica y vectorial los siguientes vectores, y luego calcula la norma de cada uno de ellos.

1.

2.3.

4.

5.

EJE IMAGINARIO (Y)

EJE REAL (X)

(-5, 7)

A

O