UNIDAD N 6: Productos Notables

INACAP

SEDE SUR

MATEMTICA I

LGEBRA GUA N5

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicacin algebraica como en la aritmtica se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicacin simplifica la obtencin del resultado. stos productos reciben el nombre de productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicacin.

Algunos de ellos son los siguientes:

1.Cuadrado del Binomio

Recordemos que a la expresin algebraica que consta de dos trminos se le llama binomio. El producto de un binomio por s mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio a+b, multiplicando trmino a trmino, se obtendra:

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

b

ab

a

b

ba

ab

a

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

pero si comparamos la expresin

(

)

2

b

a

+

con el resultado de su expansin

2

2

2

b

ab

a

+

+

podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Donde representa al primer trmino del binomio y al segundo.

Si tomamos como ejemplo al binomio ab, ocurre lo mismo que para a+b slo que en la reduccin de trminos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferencindose slo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la frmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer trmino ms (o menos) el doble del producto del primer trmino por el segundo ms el cuadrado del segundo trmino

La estructura que representa esta frmula es:

Algunos ejemplos:

i.

(

)

(

)

2

2

2

2

2

4

4

2

2

2

2

b

pb

p

b

b

p

p

b

p

+

+

=

+

+

=

+

ii.

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

16

24

9

4

4

3

2

3

4

3

n

mn

m

n

n

m

m

n

m

+

+

=

+

+

=

+

iii.

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

2

10

25

5

2

5

5

y

xy

x

y

y

x

x

y

x

+

+

=

+

+

=

-

1.1 Representacin Geomtrica del Cuadrado del Binomio

El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representacin geomtrica en el plano.

Consiste en considerar el rea de un cuadrado de lado a+b y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos a y b :

a

a

b

b

a

b

Con ellos se construye un trazo de longitud a+ b:

b

a

+

b

a

+

b

a

+

y con l un cuadrado de la misma longitud:

Si se extienden los extremos de los trazos a y b stos dividen al cuadrado en cuatro reas menores: dos cuadrados, uno de lado a y otro menor de lado b, y dos rectngulos de largo a y ancho b.

La suma de las reas de estos cuadrados y rectngulos es igual al rea total del cuadrado de lado a+ b, es decir:

2. Suma por Diferencia

Consideremos el producto de la suma de dos trminos

b

a

+

por su diferencia

b

a

-

. Al desarrollar el producto:

(

)

(

)

2

2

b

a

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

a

-

=

-

+

-

=

-

+

Podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Es decir, la suma de dos trminos por su diferencia es equivalente a la diferencia de los cuadrados de los trminos. La frmula para el producto notable suma por diferencia se enuncia como sigue:

El producto de una suma de dos trminos por su diferencia es igual al cuadrado del primer trmino menos el cuadrado del segundo

Algunos ejemplos son:

(

)

(

)

2

5525

xxx

+-=-

(

)

(

)

2

5525

xxx

+-=-

(

)

(

)

224

339

aaa

-+=-

(

)

(

)

224

339

aaa

-+=-

(

)

(

)

5454108

2626436

pqpqpq

++=-

(

)

(

)

5454108

2626436

pqpqpq

++=-

2.1 Representacin Geomtrica de la Suma por Diferencia

Para representar la suma por diferencia, utilizaremos un rectngulo de largo a+b y ancho ab. Considere dos trazos a y b cualesquiera:

a

a

b

b

a

b

Con el trazo a se construye el siguiente cuadrado:

A este cuadrado se le agrega un rectngulo de lados a y b:

De este rectngulo (de lados a y a+b) se le recorta un rectngulo de lados a y b (el achurado en la figura):

quedando:

El rea buscada es la del rectngulo de lados a+b y ab, para lo que debemos recortarle a la figura anterior el cuadrado de lado b,

Finalmente, la representacin geomtrica de la suma por diferencia se puede resumir por el siguiente esquema:

3. Multiplicacin de Binomios con un Trmino Comn

Este producto notable corresponde a la multiplicacin de binomios de la forma

b

a

+

por

c

a

+

. Al desarrollar el producto

(

)

(

)

(

)

bc

a

c

b

a

c

a

b

a

+

+

+

=

+

+

2

se observa que la estructura es la siguiente:

La frmula para el producto de BINOMIOS CON UN TRMINO COMN se enuncia como sigue:

Cuadrado del primer trmino, ms la suma de los trminos distintos multiplicada por el trmino comn y ms el producto de los trminos distintos

Ejemplos:

(

)

(

)

(

)

6

5

2

3

2

3

2

3

2

2

+

+

=

+

+

+

=

+

+

x

x

x

x

x

x

, observa que

=

=

+

6

2

3

5

5

3

(

)

(

)

(

)

56

7

8

7

8

7

8

2

2

-

+

=

+

-

+

=

-

+

-

a

a

a

a

a

a

, observa que

=

=

+

-

-

-

56

7

8

1

7

8

(

)

(

)

(

)

108

21

12

9

12

9

12

9

2

2

+

+

=

+

+

+

=

-

-

-

-

-

-

-

p

p

p

p

p

p

, observa que

=

=

+

-

-

-

-

108

12

9

1

12

9

3.1 Representacin Geomtrica de la Multiplicacin de Binomios con un Trmino Comn

Se consideran tres trazos a, b y c de medidas distintas, por ejemplo:

a

a

b

b

c

c

a

b

c

Con ellos se construyen dos trazos de longitudes a+b y a+c:

Y a partir de estos se construye un rectngulo de lados a+b y a+c:

De aqu podemos establecer la siguiente igualdad entre reas:

(

)

(

)

bc

ac

ab

a

c

a

b

a

+

+

+

=

+

+

2

El siguiente esquema muestra este producto:

(

)

(

)

bc

ac

ab

a

c

a

b

a

+

+

+

=

+

+

2

A continuacin presentamos otros productos notables con sus respectivas frmulas:

Cubo de un binomio

(

)

3

3223

33

abaababb

+=+++

(

)

3

3223

33

abaababb

-=-+-

Cuadrado de un trinomio

(

)

2

222

222

abcabcabacbc

++=+++++

(

)

2

222

222

abcabcabacbc

--=++--+

Suma y resta de cubos

(

)

(

)

2233

abaabbab

+-+=+

(

)

(

)

2233

abaabbab

-++=-