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UTEPSA- ELEMENTOS DE ÁLGEBRA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA PRIVADA

DE SANTA CRUZ

FACULTAD DE TECNOLOGÍA

GUÍA

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA

SEMESTRE II - 2016

Santa Cruz, Bolivia

2


I.- IDENTIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA

Sigla : EXT-110

Nombre de la Asignatura : Elementos de Álgebra

Horas Académicas : 80 horas

Pre-requisito : EXT-100 Elementos de Aritmética

Carreras : Ingeniería de Sistemas, Ingeniería en Redes y

Telecomunicaciones, Ingeniería en Administración Petrolera,

Ingeniería en Electrónica y Sistemas, Ingeniería Industrial y

Comercial, Ingeniería Informática y Sistemas Administrativos.

II.- OBJETIVO GENERAL

El estudiante debe realizar con precisión y rapidez las operaciones fundamentales

algebraicas, aplicar estos conocimientos en la resolución de ecuaciones e inecuaciones de

diferentes tipos. Además de plantear problemas que requieran el uso del lenguaje algebraico, así

como la utilización de las leyes y propiedades trigonométricas. También, partiendo de su ecuación

general graficar la figuras geométricas básicas y viceversa.

III.- PLAN TEMATICO

TEMA CONTENIDO DE LA MATERIA Horas teóricas

Horas prácticas

# de clases

I

Fundamentos

de Álgebra

• Introducción. • Potencia y radicales • Terminología básica. • Polinomios. • Operaciones con polinomios • Productos notables y factorización. • Simplificación de expresiones algebraicas

racionales. • Operaciones con expresiones algebraicas

racionales.

5

15

5

• Conceptos Básicos. • Ecuación: Lineal, cuadrática, racional,

3


II

Ecuaciones

irracional, con valor absoluto, exponencial y logarítmica. Problemas de aplicación con ecuación.

• Sistemas de ecuaciones con dos y tres variables. Problemas de aplicación.

5 15 5

III

Inecuaciones

• Introducción • Inecuación: Lineal, cuadrática, racional y con

valor absoluto.

4 8 3

IV

Trigonometría

• Conceptos básicos. • Triángulos rectángulos. Razones

trigonométricas y Teorema de Pitágoras. Problemas de aplicación.

• Triángulos oblicuángulos. Ley de senos y cosenos. Problemas de aplicación.

• Demostración de identidades trigonométricas

4

12

4

V

Geometría

Analítica

• Introducción • La recta y sus ecuaciones. Problemas de

aplicación. • Gráfica y ecuación de figuras cónicas

(parábola, circunferencia, elipse). Ejercicios de aplicación ingenieril.

4

8

3

IV.- ORIENTACIONES PARA LA ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO DE

APRENDIZAJE DURANTE EL DESARROLLO DE LA MATERIA

Prologo

Esta materia debe contribuir en la formación del egresado en dos aspectos fundamentales,

primero establecer las bases fundamentales para el aprendizaje y comprensión del cálculo y por

otra parte entrenar y reforzar su razonamiento para el análisis y aplicación en asignaturas de la

especialidad.

Este material está conformado por cinco unidades donde en primera instancia se hace una

remembranza del lenguaje algebraico mediante su representación simbólica, se revisan leyes de

exponentes y radicación como una herramienta para resolver problemas mediante operaciones

con polinomios relacionándolo con productos notables, factorización y fracciones algebraicas que

representan el antecedente para ingresar a la segunda unidad donde se toma dicha plataforma

como base para el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones .

4


Tomando en cuenta las habilidades desarrolladas hasta este punto se aborda la tercera

unidad con el tema de Inecuaciones y la determinación del conjunto solución.

Posteriormente con la cuarta unidad se ingresa al cálculo de ángulos, funciones

trigonométricas y resolución de triángulos con el tema de Trigonometría. Para luego finalizar con

Geometría Analítica.

Normas básicas en clase

a) El proceso de aprendizaje durante toda la materi a es “integral”.-

La misión de la UTEPSA es “lograr que cada estudiante desarrolle una experiencia

académica de calidad, excelencia, con valores, responsabilidad social, innovación, competitividad,

y habilidades emprendedoras”. Por esto no te sorprendas si además de ser evaluado en

contenidos propios de la materia, el docente evalúa también aspectos como puntualidad, pro

actividad, ortografía, etc. Nunca pierdas de vista que lo se te exige es por tu propio beneficio.

b) Asistencia y puntualidad.-

Asistir a clases y hacerlo de manera puntual, es una manera de demostrar que

somos responsables:

• Tu asistencia es importante en TODAS las clases. Por si surgiera un caso de fuerza mayor, en

el reglamento de la Universidad se contemplan tres faltas por módulo (Art. 13 Inc. B y C del

Reglamento Estudiantil UPTESA). Si sobrepasas esta cantidad de faltas PERDERAS EL

DERECHO A TOMAR LA EVALUACIÓN FINAL de la materia. Se considera “asistencia” estar

al inicio, durante y al final de la clase.

• Esfuérzate por estar en la clase a la hora de inicio. Se dará un margen de 10 minutos de

tolerancia. después de estos, podrás entrar tan pronto como el docente considere que tu

ingreso no será una distracción para la clase o después de la hora de descanso, de esta

manera no perjudicaremos el avance de la clase distrayendo a los compañeros.

• Si te retiras de la clase antes de que esta termine, tampoco registraras asistencia completa.

• Ten especial cuidado con la asistencia y la puntualidad los días de evaluación. Normalmente

la fecha de pruebas, es comunicada con varios días de antelación, esto te permite

programarlos como ocasiones a las que tienes que darles una espacial atención.

• Si confirmas la materia el 2do o 3er día de clases, ya tienes acumuladas automáticamente las

faltas de los días que no has asistido. Favor tómalo en cuenta.

5


c) Comportamiento en clases.-

• Los estudiantes y los docentes, evitamos beber y comer en el aula. De ninguna

manera podemos fumar dentro de esta.

• A fin de evitar interrupciones, los celulares se apagarán al entrar al aula o se pondrán en modo

silencioso para atender llamadas o mensajes SOLO en caso de emergencia.

• Cualquier falta de respeto a los compañeros, al docente, al personal de apoyo o al personal

administrativo, será severamente sancionada de acuerdo al reglamento de la Universidad. En

todo caso confiamos en que todos respetaremos las normas de conducta adecuadas.

V.- OBJETIVOS Y ACTIVIDADES DE CADA UNIDAD

UNIDAD 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

A.- Objetivos

• Realizar las operaciones fundamentales con polinomios

• Simplificar expresiones algebraicas aplicando los casos de factorización.

• Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas

fraccionarias.

B.- Actividades de aprendizaje

Practico # 1 Tema: Polinomios

1) Con los siguientes polinomios determina el número de términos y el grado respecto a la

variable x, luego determinar el valor de f(x) para 2=x

a) 64)( 23 ++−= xxxxf b) 6)( 2 −+= xxxf

c) 623)( 2 +−= xxxf d) 10542)( 23 −−−= xxxxf

2) Con los siguientes polinomios determina el número de términos y el grado respecto a la

variable “x”, luego determinar el valor para x = - 2

1

3 2 22) ( ) 2 2 ) ( ) 3 2 3

3a f x x x x b g x x x= − − + − = − +

3) Realizar los siguientes cálculos:

a) Sea: F(x)= x2 + 3x – 1; Hallar: ( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 1

2F F

F F

−

−

−

−

6


b) Sea: F(x)= x3 – 3x + 1; Hallar: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 1

2 1 2

F F F

F F F −

− +

− −

c) Calcula: � � ��, SI �� 3� � 1

d) Si( ) ( )

1 ;

1x

xf

x

+=−

y ( ) g ;

1x

x

x=

+ Hallar: (2) (1)

2 (2) (1)

f g

f g

+− ⋅

e) Calcular: � � � ��, Si �� 3� 1

4) Simplificar y reducir términos semejantes

a) { }3 5 2 3x x y x y+ + − − b) ( )2 3 2 2 3 2 2 2 33 2 4 5 6a b ab a b ab ab ab a b + − + − + −

c) [ ] [ ] [ ]3 5 2 2 6 3 7 3 4m n mn m n mn m n mn+ − − + − − + −

d) 1 2 4 1

3 5 15 2x x x x+ + − e) 2 2 2 27 2 5 5

2 35 3 4 2

ab a b abc a b ab abc+ − − − +

f) 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 21 2 5 1 5 1 1 1 1 5 12 5

14 3 7 2 6 4 4 6 14 2 3mn m n m n m n n m n m m n m nm− − + − + − − + + − − − +

g) 2 2 2 2 2 2 2 22 1 1 7 1 3 1 4 1

3 5 3 10 2 5 2 9 2x y xy xy y xy xy x y xy y xy x y− − + − + − + + + + +

h) 2 2 2 2 23 1 5 7 3 1 12

4 2 6 3 4 6 3a ab b a ab b b ab− + − + − + − −

i) 2 2 3 2 2 33 2 10,4 31 0,6 0, 2 6

8 5 4x y xy y x y xy y+ + − − − + −

5) Si 3 2( ) 4 6 2 3P x x x x= + − + , 3( ) 2 7Q x x x= − + y 2( ) 7 2 1R x x x= − + , hallar:

a) ( ) ( ) ( )P x Q x R x+ + (Sol.: 3 26 13 5 11x x x+ − + )

b) ( ) ( ) ( )P x Q x R x− − (Sol.: 3 22 5x x x− − − )

c) ( ) 3 ( ) 2 ( )P x Q x R x+ − (Sol.: 3 210 8 22x x x− − + )

6) Si 2 2( , ) 5 3 7f x y x xy y= − + , 2 21 7( , ) 5

3 2g x y x xy y= − + y 2( , ) 13 3h x y xy y= − , hallar:

a) ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y h x y− + (Sol.: 2 214 115

3 2x xy y+ + )

b) 2 ( , ) ( , ) ( , )f x y g x y h x y− − (Sol.:) 2 229 2714

3 2x xy y− +

7


c) 1

( , ) 3 ( , ) 2 ( , )2

f x y h x y g x y+ − (Sol.: 2 211 95 25

6 2 2x xy y+ − )

7) Si 2( , ) 3 4 2P x y x xy= − − , 2 2( , ) 3 2Q x y x xy y= − − y 2( , ) 2 3R x y y xy= − + , calcular el

valor de 2E P Q R= − + (Sol.: 2 25 1x y+ + )

8) Dados los polinomios 2 31( ) 7 2P x x x= − − , 3

2 ( ) 5 2 3P x x x= − + , 3 23( ) 4 5 3 6P x x x x= − − + −

calcular [ ] ( )1 2 1 1 32P P P P P− − − + (Sol.: 3 28 19 4x x x− + + − )

9) Multiplicar los siguientes polinomios

a) 2 21 3 5 3

2 5 6 2x y xy x + ⋅ −

b) ( ) ( )yxzxyxyzyzx 3354 333 +⋅−+

c) ( ) ( )4 2 36 2 5 3m mn n m n+ + ⋅ d) [ ] [ ]ax by m n+ × −

e) 3 2 2 21 4

2 62 3

ab a a b ab a b − + + ⋅

f) ( ) ( )2 23 5 6 8 3 46x x x x+ − ⋅ − +

g) ( )5 2 5 1 5 2 4 2 313 12 3 2

3

a a a a ax x x x x− + + +⋅+ + −

10) Multiplicar: 2 3x y z− + por 3 4x y z− − . Hallar la suma de los coef. del resultado (Sol.: - 24)

11) Restar 7 3xy xz yz− − del doble de la suma de las siguientes expresiones: 3 2 4xy xz yz+ − y

3 2 5yz xy xz− − . (Sol.: xy xz yz+ + )

12) Qué expresión hay que sumar al producto ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 3x x y x x y x y x y + − − + − −

para obtener 3 32 3x y xy+ . (Sol.: 3 34 7x y xy− )

13) Si 5 31( ) 4 2

3P x x x x= − − , 3 4

( ) 53

Q x x x= + y ( ) 2R x x= − hallar:

a) [ ]2( )R x (Sol.: 2 4 4x x− + )

b) [ ]0 ( ) ( )4 ( ) ( ) ( )

2

Q x R xP x Q x R x

⋅− ⋅ − (Sol.: 5 4 3 24 5 2 2011 1

5 2 3 3x x x x x− − − − − )

14) Dividir las siguientes expresiones algebraicas

a) ( )5 3 2xa a a a+ − ÷ b)

2 4 2 3

2

3 520

2 31

3

x x y y x

x

− +

c)

2 3 2 1 2

1 2 1

5 7 8

4 4 2 2

n n n

n

x x x

x x x x x

+ +

+ −

− −

+ − −

d) ( ) ( )3 2 14 6 3x x x x+ − + ÷ − e) ( ) ( )5 2 23 5 12 15 2y y y y+ − + +÷

8


f) ( ) ( )6 5 4 2 38 16 6 24 18 36 4 3x x x x x x x− + + + − +÷ g) ( ) ( )2 232 54 12 8 9n m mn n m− + ÷ −

15) Con los siguientes polinomios, hallar ( ) ( )P x Q x÷

a) 3 2( ) 2 5 3 5 ; Q( ) 3P x x x x x x= − − + = − b) 4 3 2 2( ) 5 2 7 ; Q( ) 3P x x x x x x x x= − + − + = −

c) 3 26( ) 3 5 ; Q( ) 6 2

5P x x x x x x= − + = − + d) 5 2 3 3 2( ) 6 7 1 ; Q( ) 3P x x x x x x x x= − + − + = − +

16) Al dividir 5 4 3 2( ) 6 5 26 33 24 6P x x x x x x= + − + − + entre 2Q( ) 2 3 1x x x= − + , calcule la suma de

los coeficientes del cociente. (Sol.: R=13)

17) Dividir 4 2( ) 2 1P x x x x= − − + entre 2Q( ) 1x x x= + + y calcular el producto de los términos del

cociente. (Sol.: 3R x= )

Practico # 2 Tema: Productos Notables

Desarrollar los siguientes productos notables

a) ( )223 ba + b) ( )323 nm+ c) ( )32 3 23 5 a b a b− d2

2 3

5 7m n

+

e) ( )2

12,5 2x y+ f) ( )34 2 48 7 x x y− g) 323 4

2 5

a b

b

+

h)

3

2

3

2

x y

y x

+

i) 3

5 67 4

8 7x y −

j) 1 1

ab abab ab

− +

k) ( )( )3 3c a b d d b a c− − − − + +

Practico # 3 Tema: Factorización

Factorizar los siguientes polinomios:

1) 3ax2 – 3a. 13) x3 – 6xy + 12xy2 – 8y3. 24) (x2 – 2xy)(a+1) + y2(a+1)

2) 2a2x – 4abx + 2b2x. 14) 32a5x – 48a3bx+ 18ab2x 26) a2x – 4b2x + 2a2y – 8b2y.

3) a3 – 3a2 – 28a. 15) 4x2 + 32x – 36. 27) a4 – (a – 12)2.

4) 3ax3 + 3ay3. 16) (a+b)(a2 – b2)–(a2 – b2) 28) 2x4 + 6x3 – 56x2.

5) x4 – 3x2 – 4. 17) x6 – 25x3 – 54. 29) 9(x – y)3 – (x – y).

6) 2ax2 – 4ax + 2a 18) a3b + 2a2bx + abx2 – aby2 30) 64a – 125a4.

7) 2a3 + 6a2 – 8a. 19) 81x4y + 3xy4. 31) a7 + 6a5 – 55a3.

8) 3x3– x2y – 3xy2+y3 20) x – 3x2 – 18x3. 32) 7x6 + 32a2x4 – 15a4x2.

9


9) 6ax2 – ax – 2a. 21) am3 – 7am2 + 12am. 33) 2x4 + 5x3 – 54x – 135.

10) n4 – 81. 22) 28x3y – 7xy3. 34) (x + y)4 – 1.

11) 8ax2 – 2a. 23) x4 – 8x2 – 128. 35) 3a5 + 3a3 + 3a.

12) x3 – 6x2 – 7x. 24) 18x2y + 60xy2 + 50y3. 36) 4a2x3 – 4a2.

En los siguientes ejercicios descomponer en cuatro factores.

1) a6 – 1. 7) a5 – a3b2 – a2b3 + b5. 13) a2x3 + 2ax3 – 8a2 – 16a.

2) a4 – 2a2b2 + b4. 8) a4 – 25a2 + 144. 14) 5ax3 + 10ax2 – 5ax – 10a

3) 2x4 + 6x3 – 2x–6. 9) a4 + 2a3 – a2 – 2a. 15) x8 + x4 – 2.

4) 16x4 – 8x2y2 + y4. 10) m6 – 729. 16) a2x2+ a2x+ 6a2–x2–x + 6.

5) 12ax4 + 33ax2–9a. 11) x5 – x3y2 + x2y3 – y5. 17) 3abx2 – 12ab +3bx2 – 12b

6) x6 – 7x3 – 8. 12) (a2+2a)2–2(a2+2a)–3 18) x2(x2–y2)–(2x – 1)(x2 – y2)

Descomponer en cinco y seis factores.

1) x8 – y8. 5) 2a4 – 2a3 – 4a2 – 2a2b2 + 2ab2 – 4b2 8) a6 + a3b3 – a4 – ab3.

2) 3 – 3x6. 6) a7 – ab6. 9) x7 + x4 – 81x3 – 81.

3) x17 – x 7) a6x2 – x2 + a6x – x. 10) 3x6 – 75x4 – 48x2 + 1200.

4) (a2 - ax)(x4 – 82x2 + 81).

Resolver los siguientes ejercicios por regla de Ruffini.

1) x3+ x2 – x – 1.

2) 2x3 – x2 –18 x + 9.

3) 8a4 – 18a3 – 75a2 + 46a + 120.

4) x6+ 6x5+ 4x4- 42x3- 113x2- 108x - 36.

5) a6- 32a4+ 18a3+ 247a2 – 162a – 360.

Practico # 4 Tema: Potenciación y Radicación

Aplicando propiedades de potenciación y radicación simplificar las siguientes expresiones

a) ( )2323 yx− b) ( ) ( )3133 −− ⋅ nn xyyx c) 32 189 xx −

d)

41 2 2

0 2 3

a b c

a b c

−− −

−

e) ( )323 22x x − f)

1 2 2 1

2 2

x y x y

y x

− − − −

− −

+−

10


g)2 2

2 2

2

2

a ab b

x xy y

− ++ +

h) 2

22

2 156

9

x xx x

x

− −− − ⋅−

i)7 4

714

x x

x

j) ( )

10 10

5 36

x x

x y− k)

2 27 3 9 7 n nn nb b− −⋅ l) 3 5 15 1032a b

m) ( )

( )

4214

28

x x y

x y

−+

n)

a a ba b b a

b b

x x

x x

−+ − ⋅

o)

5 10 5x y y

x x⋅

p)

nn

nnn x

x

xx

1

1

1

÷

⋅ −

+

q)

2 32 3 3 5

3 2 3 2

a ba b a b a b

a b a b

x x x

x x

−− + −

− +

⋅ ⋅ ÷

r) ( )

223 3

-12 8 0

12 3 2

x xy

y z y x

zx y z

−−

−

−− −

s) ( )( )

5 3 113 4 2

53 1 332 2

11 43

22

5x y zx y z

xy

−

−− −

Practico # 5 Tema: Operaciones con fracciones a lgebraicas

Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

1)2 2 3

3

x x

x

− −−

2) 2 4

3 6

ax bx

ay by

++

3)2 2

2 22

y x

x xy y

−+ +

4)2

2

20

7 10

a a

a a

− −− +

5)3 2

3

4 21

9

x x x

x x

+ −−

6)3

4 3

1

1

a

a a a

+− + −

7)4 2

4 2

6 7

8 9

a a

a a

+ −+ −

8) 3 2

3

3 9

27

m n m n mn

m

+ +−

9) 4 2

4

8 15

9

x x

x

− +−

10) 2

3 2

16 25

12 7 10

a x x

a a a

−− −

11)4 2

2

4 15 4

8 20

a a

a a

− −− −

12) 2

3 4 6 8

6 5 4

an a bn b

n n

− − +− −

13) ( )

( )

22

2

4 3

2 9

a x

a x

− −+ −

14) 4 2

3 2

49

2 63

x x

x x x

−+ −

15) ( )( )

( )( )2 2

2 2

2 9

2 3 6

x x x

x x x x

− − −

− − + −

11


16) ( )( )( )( )

2 2

2 2

4 4 4 4 1

6 2 5 2

a a a a

a a a a

− + − +

+ − − + 17)

( )( )( )( )

3 3

4 3 2 2

3 1

1

x x x

x x x x

− −

+ + −

18) ( ) ( )( )( )

2 2

2 2

4 4 3 7 30

2 7 3 4 12 9

x x x x

x x x x

+ − + −

− + + + 19)

( )( )( )( )2 2

2 2

1 8 16

4 1

x x x

x x x

− − +

− −

20) 3 2

3 2

3 4

8 12

x x

x x x

+ −+ − −

21)3 2

4 3 2

8 12

2 7 20 12

x x x

x x x x

− − +− − + −

Realizar las siguientes operaciones algebraicas

1) 2

2 3 4 7

3 2 6

x

x x x x

−+ −− + − − 2)

1 12

3 6 6 12 12 24

a a

a a a

+− ++ + +

3) 2

1 1x

a ax a x+ +

− 4)

2

2

2 1 2

12 8 16 8 6 2

x x x

x x x x

+ + −+ − + −

5)

2

2

1 2 2 6

3 3 6 6 9 9

a a a a

a a a

− − + −− ++ − − 6)

2

2 2 3 3

1 3a b a

a ab b a b a b

+ − +− + + +

7)

2

2 3

1 2 3

1 1 1

x x

x x x+ −

− − − 8)

9)

3

3 2

3 1

1 1 1

a a a

a a a a

+ −+ −+ − + + 10)

11)

3 2 5 4 1

20 10 40 20 60 30

a a a

a a a

− + −+ −+ + + 12)

2 2 2 2 2

2 2 2

3 10 16 6

2 8 4 2

x xy y x y x xy

x xy y x xy x y

− − − −× ×− − +

13) 2 2 2

2 3 2 2

2 2 8 4

16 4 4

x x x x x x

x x x x x

+ − − +× ×− + + +

14 ( )( )

( )2 22 2

2 22

m n x m n x

m mn mxm x n

+ − − −×

+ −+ −

15) 3 2 3

2 2 2

2 2

2 2 1

a ab x x x

ax x a x b x x

+ −× ×− + +

16)2 2

2

5 6 6 25

3 15 30 2 4

a a a a

a a a a

− + −× ×− − − −

17) 2 2 2

2 2 2

4 4 2 4 6 6

3 6 3 2

x ax a ax a a x

ax a ax a x ax a

+ + − +× ×− + + +

18) 2 3 2

2 2

a 81 11 2 12 5

2 10 36 2 18 2 22

a a a a

a a a a

− + − +× × ×− − + +

19) 2 2 3 2

2 2 2

7 10 3 4 2 3

6 7 2 15 2 8

a a a a a a a

a a a a a a

+ + − − − −× ×− − + − − −

20) ( )

4 4 2

23 2 4 3 2

27 1

3 9 33

x x x x x

x x x x x x xx x

+ +× × ×− + − + −+

21) 2 2 2

2 2 2

8 7 36 42

11 30 1 4 5

a a a a a

a a a a a

− + − − −× ÷− + − − −

22) 4 2 2

2 3 2

27 20 100 100

7 30 3 9 3

x x x x x

x x x x x x

− + + −× ÷+ − + + −

23) 2 2 2

2 2 2

8 10 3 4 9 8 14 3

6 13 6 3 2 9 12 4

x x x x x

x x x x x x

− − − + +× ÷+ + + + +

24) ( )( )

( )2 22 2

2 2 22

a b c a c b a b c

a ab ac aa b c

+ − + − + +× ÷+ −− −

1 1 5

2 2 3 3 6 6 18 18

x x x

x x x x

+ −− + −+ − − −

2 3

2 2 3 6 12

2 2 4 8

x x

x x x x

+ ++ −− + + −

12


Practico # 6 Tema: Lenguaje algebraico

1) Asocie cada enunciado con sus expresiones algebraicas:

a A un número se le quita su tercera parte x ; x 1+

b Los 2/7 de un número 13x+

c El número que supera a x en 13 unidades 27 x

d El número total de zapatos que calzan las personas que hay en

una casa. 3

xx−

e La edad de mi abuelo hace 13 años 13x

f El espacio recorrido en x horas por un móvil que va a 13 km/h. 13x−

g Dos números enteros consecutivos 2x

h Un número impar y su anterior 6 12x x+

i Un múltiplo de 6 más su doble 20x >

j Un múltiplo de 6 mas su mitad ; 1n n+

k Un número mayor que 20 0,15x

l La edad de una persona y la que tendrá el año que viene 0,15x x+

m El 15% de una cantidad 0,07x x−

n El precio de un pantalón aumentado en un 15% 6 3x x+

o El precio de una camisa disminuido en un 7% 2 1;2 1x x+ −

2) Traduzca al lenguaje algebraico las siguientes expresiones

a) El triple de un número

b) El triple de un número más cinco unidades

c) La mitad de un número

d) Los tres quintos de un número menos uno

e) Un número más su mitad

f) Dos números cuya diferencia es 7

g) Los tres quintos del resultado de restarle un a un número

h) Un número entero más su anterior

i) Un número entero más su siguiente

13


j) Los tres cuartos del anterior de un número entero dado.

k) El producto de un número entero por su anterior.

l) El cociente de un número entero entre su siguiente.

3) De la figura dada, exprese con un monomio.

a) El perímetro

b) El área

c) El volumen del cubo que se puede formar

4) Escriba el área y el perímetro de estas figuras utilizando la incógnita y los números que

aparecen:

a)

b)

5) Exprese el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos mediante un polinomio.

a)

b)

UNIDAD 2 ECUACIONES

A.- Objetivos

• Identificar y resolver ecuaciones lineal, cuadrática, racional, irracional, exponencial,

logarítmica y con valor absoluto.

• Resolver sistemas de ecuaciones de 2 y tres variables.

• Resolver problemas planteando ecuaciones.

• Resolver problemas cuyo planteamiento de solución involucre sistemas de ecuaciones.

14



Practico # 1 Tema: Ecuaciones lineales, cuadrát icas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas y con valor absoluto.

1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer gr ado

a) ( ) ( ) ( )71 5 2 3 25 3 4 4 3X X X x+ − + − + = − − + − +

b) ( ) ( ){ }3 8 15 6 3 2 5 4 29 5x x x x− + − − + − − + − + − = −

c) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 5 7 1 2 7 4 0x x x x x x− + + − + − + + =

d) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )22 3 3 4 3 2 1 2x x x x x x x− + − = + − − + − +

e) ( ) ( ) ( )( )2 2 25 2 5 3 2 1 5 3 10 0x x x x x− − + + − + − =

f) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 23 1 5 2 2 3 5 2 1 0x x x x x− − − − + − + − =

g) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 3 3 1 5 3 4 5 1 4 12x x x x x x x− − + + − − + − + = −

h) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )3 5 6 3 2 6 3 4 1 3 9 1 2 0x x x x x x− + − + − − + − =

i) ( ) ( ) ( ) ( )2 25 1 6 3 7 3 2 5 2x x x x x x x− − − − = − − + −

j) ( ) ( )( ) ( )2 23 7 5 2 1 2 3 1x x x x x− − + − = − − − +

k) ( ) ( ) ( )2 2 226 7 4 2 5x x x x+ − − = − −

l) ( ) ( ) ( )2 26 3 5 2 1 3x x x+ − − + + = −

m) ( )( ) ( ) ( )25 2 3 4 3 5x x x x+ + − − = −

n) 5 1 1 3

310 5 2

x x x− − −− = −

o) 5 9 1

15 5 3

x xx

− −− = − −

p) ( ) ( )3 2 2 3 3 6

4 3 6 4

x x x x− − −− = −

2) Resolver las siguientes ecuaciones de segundo g rado

a) 260 8 157x x= +

b) ( ) ( )2 22 2 3 80x x− − + = −

c) ( ) ( )1 5 2 2x x x− − − =

d) ( )( ) ( )4 4 2 4 3x x x x− + − = +

e) ( ) ( )3 32 3 37y y− − − =

f) ( )2 2 52 3

3

yy

−+ − =

g) ( ) ( ) ( )21 2 14 5 53

4 5 5x x x− + − = −

15


h) 3 3

5 837

3 3x x − − − =

i) 2 1 10

2 2x x+ − =

j) ( ) ( ) ( )3 32 1 3 4 8x x x x+ − − = + +

k) ( ) ( ) ( )22 7 3 5 2y y y y− + = + −

l) ( )( ) ( )( )1 2 2 3 4 14 0x x x x x− + − − + − + =

m) ( ) ( )2 221 11 199 3 2x x x x− + + = − −

3) Resolver las siguientes ecuaciones racionales

a) 2

11 9 47

x x

x x

+ +− = −

b) ( )2 22

2 31

2 2x x x x− =

− −

c) 2

5 6 53

1 81 xx− =

+−

d) 2 2

22 2

z z

z z

++ =+

e) 2

3 10

1 1x x− =

+ −

f) ( )( )( )

5 2 7 31 0

7 5 1

x x

x x

− +− =

−

g) 4 2 1

5 3 24

x x

x x

+ +− =+ +

h) 3 1 1

2 2 1x x x− =

+ − +

i) 1 1 2 9

1 1 3

x x x

x x x

− + ++ =+ − +

j) 2

5 3 60

1 1 1x x x− − =

+ − −

k) 2

3 2 8

4 3 7 12x x x x= +

− − − +

l) 1 1 1

3 3 4 4 12 12x x x+ =

− + −

m) 2

3 1 1 7

2 6 6 247 12

x

x xx x

− = ++ ++ +

n) 2 2 2

1 1 1

3 4 2 8 8 12x x x x x x+ =

+ − + − − +

o) 2 2 2

1 1 1

2 15 6 2 8x x x x x x+ =

− − + − + −

p) 2 2 2

2 2 5 2

8 7 49 6 7

x x x

x x x x x

− − −= −+ + − − −

q) 3 2 2 3

4 3 1 2

x x x x

x x x x

− − + +− = −− − + +

r) 2 2 2

4 5 2 3 2 50

15 7 2 12 7 10 20 29 5

x x x

x x x x x x

+ + −− − =+ − − − − +

4) Resolver las siguientes ecuaciones irracionales

a) 7312 −=−− xxx

b) 02123 =−++− xxx

c) 3342 =−+ xx

d) 82 7

7x x

x= + +

+

e) 452 =+− xx

f) xxx 2315 =−−−

g) 6

3 53

xx

+ + =+

h) 8 2x x x+ + =

16


i) 3312 =++− xx

j) 3 1 5 16 1x x x+ + = +

k) 45x

x+ =

l) 011376 =+−++− xxx

m) 10 11 10 4 11x m x x m x+ + = + −

5) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciale s

a) 3 48 ( : 3,5237)x Soluc x= ≅

b) 8

2 ( : 1,7549)27

x Soluc= −

c)

d) 22 3 3 3 0 ( : 1)x x Soluc x⋅ − + = =

e) 1 13 3 3 63 ( : 3)x x x Soluc x− ++ − = =

f) 2 3 12 8 ( : 6)x x Soluc x− += = −

g) 2 13 9 810 ( : 2)x x Soluc x+ ++ = =

h) 32 3 ( :Sin solución)x Soluc− = −

i) 12

35 2 ( : 2)

5x

xSoluc x−

−= + =

j) 1

27 ( : 3,2958)x

Soluc xe

= ≅ −

k)

l) 3 25 2 5 375 ( : 1)x x Soluc x+ +− ⋅ = =

m) 24 6 2 5 0 ( : 0; log 5)x x Soluc x x− ⋅ + = = =

n) 1 2 3 43 3 3 3 3 363 ( : 5)x x x x x Soluc x− − − −+ + + + = =

6) Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas

a) 2 log log( 6) 3log 2 ( : 12)x x Soluc x− + = =

b) ( )22 24 log 1 log 625 ( : 2)x Soluc x+ = = ±

c) ( ) ( )2 2 13log 1 log 1 log ( : 5)

12x x Soluc x+ − − = = ±

d) ( ) ( )ln 3 ln( 1) ln 3 ln 1 ( : 5)x x x Soluc x− + + = + + =

e) ( )log 3 log( 6) 1 ( : 7)x x Soluc x+ − − = =

f) ( )2log 7 110 2 ( : 2; 5)x x Soluc x x− + = = =

g) ( ) ( )2log 3 36 1 log 3 ( : 1; 6)x x x Soluc x x+ + = + + = =

h) ( )4 log 2 log 1 2 log 4 ( : 2)x x Soluc x− − = =

i) 4 2 2 4log log log log 2 ( : 16)x x Soluc x+ = =

12 4 80 ( : 5,2479)x Soluc x+ + = ≅

2 1 13 3 2 0 ( : in sol.)x x Soluc S+ +− + =

17


j) 4log4

1log 4 0 ( : ; 16)

16xx Soluc x x− = = =

k) 2log log 2=2 ( : 2; 8)

2 log 2x

x

xSoluc x x

+= =

−

l) 6

log 14 log 7 log 1 ( : 2)5

x x Soluc x+ + + − = =

7) Resolver las siguientes Ecuaciones con Valor Abs oluto.

32

4)

52)

25)

73)

=−+

=−

=+

=+

x

xd

xc

xb

xa

22

3)

793)

37)

592)

=−+

−=−

−=−

=−

x

xh

xxg

xxf

xe

23

1)

5335)

5432)

47)

=−+

+=−

+=+

−=

x

xl

xxk

xxj

xxi

134)

1125)

432

83)

52

2)

=+

=−

=−+

=−+

xp

xo

x

xn

x

xm

Practico # 2 Tema: Problemas de Aplicación de ecuaciones (ABP)

1. Si a un número le restan 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?

2. Descomponer el número 120 en dos sumandos de modo que uno sea el doble del otro.

3. Hallar dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 380. (Soluc: 19 y 20)

4. Calcular un número positivo sabiendo que su triple más el doble de su cuadrado es 119.

(Soluc: 7)

5. Una dama pesa 13 kg más que su marido y entre ambos alcanzan 161 kg. ¿Cuál es el peso

de cada uno?

6. En un corral hay gallinas y conejos, contándose en total 57 cabezas y 160 patas. ¿Cuántos

ejemplares hay de cada especie?

7. El jornal mensual de un repartidor de pizzas es de 1300 Bs fijos más 140 Bs por día de

trabajo. ¿Cuántos días habrá trabajado si en un mes ganó 5080 Bs?

8. La tercera, la cuarta, la quinta, y la sexta parte de mi dinero suman 6 Bs menos de los que

llevo ¿Cuánto llevo?

9. Dividimos el número 60 en dos partes, de manera que un tercio de la primera y un tercio de la

segunda sumen 14. Si llamamos x a la primera parte, ¿cómo se tiene que expresar la

segunda parte? ¿Cuáles son esas dos partes?

10. Juan ha leído ya la quinta parte de un libro. Cuando lea 90 páginas más, todavía le quedará la

mitad del libro. ¿Cuántas páginas tiene el libro? ¿Cuántas páginas lleva leídas? (Soluc: 300

págs; 60 págs)

18


11. Pedro vendió los dos quintos de una colección de cómics que tenía y luego compró 100 más.

Tras esto tenía el mismo número que si hubiese comprado desde el principio 10 cómics.

¿Cuántos cómics tenía Pedro al principio? (Soluc: 150 cómics)

12. En un texto matemático babilónico que se conserva en una tablilla en el Museo Británico de

Londres se lee: “Restamos al área de un cuadrado su lado y obtenemos 870”. Hallar el lado

de dicho cuadrado. (Soluc: 30)

13. Un campo está plantado con un total de 250 árboles, entre olivos y almendros. Si el doble de

almendros son 10 menos que el total de los olivos, ¿Cuántos almendros habrá? ¿y cuántos

olivos? (Soluc: 80 almendros y 170 olivos)

14. Problema del bambú (texto indio del siglo IX): Un bambú que mide 30 codos y que se eleva

sobre un terreno plano se rompe en un punto por la fuerza del viento, de forma que la punta

se queda ahora colgando a 16 codos del suelo. ¿A qué altura se ha roto? (Soluc: 23 codos)

15. Un grupo de personas se encuentra en una sala de multicines. La mitad se dirige a la sala A,

la tercera parte opta por la sala B y una pareja decide ir a la cafetería. ¿Cuántas personas

componían el grupo? (Soluc: 12 personals)

16. Ángel guardó fotos en tres cajones. En el primer cajón puso la cuarta parte más 8 fotos, en el

segundo puso la mitad menos dos fotos, y en el tercero puso la quinta parte ¿Cuántas fotos

repartió?

17. El largo de una habitación, que es 461 pies, excede en 11 pies a 9 veces el ancho. Hallar el

ancho. (Sol: 50 pies)

Practico # 3 Tema: Sistemas de ecuaciones

Resuelva por el método de reducción los siguientes sistemas de ecuaciones

=+=−93

6122)1

yx

yx

−=+−=+

)21(36

1)6(2)2

yx

xy

123)

2 9

x y

x y

+ = − =

2

2 34)13

3 2 6

x y

x y

+ = + =

=+

=+

576

15

43)5

yx

yx

−+=−

−+=−

110

287

24

23

129

15

)6yx

xy

=+

=+

72

112

3

)7y

x

yx

=−+

=−−+

12

5

62

24

7

36)8yxx

xyyx

−=−+−

−=−−−

136

3

8

3

724

2

)9y

xyyx

xxyx

−=−

+=−−

yxxy

yyx

3

35

236

2312

)10 ( ) ( )

=−

+−

−=−

01

11

3

5

64

)11

yx

yxxy

=−−−=

−+

053

42

12

1

4

)13

yx

y

x

y

x

19


( ) ( )( )

=−++−+=+

6323

323)14

22

yxyx

yxx ( ) ( )( ) ( )

=+−−+−−=−yxx

yxx

32315

6312)15

22

=−

−=−

12

11

203

30

1

65)16yx

yx

−−=

−+

−−=

+−

5

3

1

1

5

7

2

2

)17

y

y

x

x

y

y

x

x

+=

+−

−−=

+−

2

10

4

6

123

7

632

7

)18

yyx

yxyx ( ) ( )( ) ( )

=+−−−=−

253

64)19

xyyx

yxxy

+=

−=−

4

3310

2

5

4

)20y

x

yx

−=−+−

+−

+−=+−

2

1

2

12

1

3

2

)21

yx

yx

yx

yx

( )

( )

=−−+

−=−−+

401262

60517

52

)23x

y

yx

Resuelva usando el método por determinantes los siguientes sistemas de ecuaciones

=−+−=−−

=++

13

1426

132

)

zyx

zyx

zyx

a

=+−−=++

=++

352

1243

8324

)

zyx

zyx

zyx

b

−=−+=+−

−=−+

276

38523

35437

)

zyx

zyx

zyx

c

=−+=−+−=+−

33326

30433

654

)

zyx

zyx

zyx

d

=−+−=+−

=−+

10151212

1586

61049

)

zyx

zyx

zyx

e

−=+−=+

=+

6

1

1

)

xz

zy

yx

f

=+−

−=−+

=−+

0636

5263

3332

)

zyx

zyx

zyx

g

=−+

=−+

=++

36310

0365

21343

)

zyx

zyx

zyx

h

=−−

=+−

=+−

52

108

43

)

xyz

zxy

zyx

i

−=−−

−=+−

+=+−

53

7

62

4

45

2

)

yx

z

xz

y

zy

x

j

−=−−

=−−−

=−+−

52

042

32

)

xzy

zxyx

zyyx

k

+=−

−=−

+=++

10

2

3

2

4

5

5

4

7

)

xzy

yzx

yyx

n

1) Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €. ¿Cuánto le costó

cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10% y en la venta del televisor

ganó el 15%?

2) ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 cm y que su base es el

triple de su altura?

3) Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú

me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

20


4) En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16% de los hombres y el 20% de las

mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay

en la empresa?

5) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a

dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras.

¿Cuál es ese número?

6) Un fabricante de bombillas gana 0,3euros por cada bombilla que sale de la fábrica, pero pierde

0,4 euros por cada una que sale defectuosa. Un día en el que fabricó 2100 bombillas obtuvo un

beneficio de 484,4 euros. ¿Cuántas bombillas buenas y cuántas defectuosas fabrico ese día?

7) La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana. Hace diez años, la suma de las

edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?

8) José dice a Eva: “Mi colección de discos compactos es mejor que la tuya ya que si te cedo 10

tendríamos la misma cantidad”. Eva le responde: “Reconozco que llevas razón. Solo te faltan 10

para doblarme en número”. ¿Cuántos discos tiene cada uno?

9) Laura ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Irene ha comprado otro abrigo 25

euros más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20% , con lo que solo ha pagado 8 euros

más que Laura. ¿Cuál era el precio de cada abrigo?

10) Un empresario quiere distribuir una gratificación entre sus empleados. Se da cuenta de que si da

a cada uno 80 euros le sobran 20 euros y si da a cada uno 90 euros le faltan 40 euros. ¿Cuántos

empleados tiene?, ¿Cuánto dinero tiene para repartir?

UNIDAD 3 INECUACIONES

A.- Objetivos

• Identificar y resolver inecuaciones lineal, cuadrática, racional.

• Aplicar propiedades de valor absoluto en la resolución de inecuaciones.


Practico # 1

1) Resolver las siguientes ecuaciones de primer gr ado

a) 9 218 46x x< +− b) 15 23 13 22x x+ > + c) ( )10 7 2 5x x> +

d) ( ) ( )8 21 3 5 11x x− > − e) ( ) ( )4 3 7 9 2x x− − < − − f) 5 19 11 3

7

xx

− < − +

21


g) 5 109 6

17

xx

− < + h) 5 12 9 7

11 4

x x+ +≥−

i) 12 8 13

5 15 10

x x−+ >−

j) 7 13 11 8

12 18 6 15

x x+ > − k) 21 13 17 1

8 12 16 4

x x+ < − l) ( ) 22 1 19 2 3 5

3 13 3

x x x x x− + −+ ≥

m) ( ) ( )7 1 2 5 25 2 7 3

2 3 3 2 3

x xx x− − ≥ − − + n) ( ) ( ) ( )5 3 1 8

1 3 3 5 22 4 3 3

x x x x− − − ≥ + − −

o) 5 3 2 13 3 19 : ,

8 2 4 2 17

x x xSoluc

− + + ≤ + − +∞

2) Resolver las siguientes Inecuaciones Cuadrática s y de Grado Mayor. a) 2 16 0x − < b) 210 1x− < c) 2 5 4 0x x− + <

d) 2 2 3 0x x+ − ≥ e) 2 3 10 0x x− − ≤ f) ( ) ( )2 22 21 1x x+ < −

g) ( ) ( )2 21 1 4x x+ − − < h) 2 10 25 0x x− + ≤ i) 2 4 0x + <

j) 2 4 0x + < k) 4 2 0x x+ < l) ( )31 0x − >

m) 4 1 0x − < n) 3 0x x− < o) 3 28 17 10 0x x x− + − >

p) 3 23 18 40 0x x x− − + < q) 3 26 12 8 0x x x− + − < r) 8 256 0x − >

s) 4 213 36 0x x− + > t) 4 3 24 7 22 24 0x x x x− − + + < u) 5 35 4 0x x x− + >

3) Resolver las siguientes inecuaciones racionales.

a) 3

1x

> b)8

4x

≤ c) 5

02x

<−

d) 2

14x

≤−

e) 2

04

x

x

− <−

f) 1

12

x

x

− <−

2

2

10

9

x

x

+ <+

g) 3 5

23

x

x

− ≥−

h) 3

15

x

x

− ≤−

i) 2

2

6 80

4 3

x x

x x

− + >− +

j) 2

2

7 121

3 2

x x

x x

− + <− +

k) 1 3

4 2

x x

x x

− −<− −

l) 1 2

02 1x x

− <− −

m) 12

33

xx

x> +

+ n)

3 2 46

1 2x x x+ + <

− − o)

4 71

1 4x x+ < −

− +

p) 2

8 1 11

9 20 x-4 x-5

x

x x

− + > +− +

q) 2

5 20 2

3 1 9 1 3 1x x x− <

+ − − r)

2 2 2

1 1 1

1x x x x x> −

+ − −

22


4) Resolver las siguientes Inecuaciones con Valor Absoluto. a) 5 2x− < b) 2 9 1x− < c) 6 1x− >

d) 3 8 4x− > e) 1

13

x

x

− ≤−

f) 2 5

12

x

x

− <+

g) 1

23

x

x

− >−

h) 4

23x

>−

i) 3

15x

<−

j) 3 5

41

x

x

+ >+

k) 7 5 0x x− − − < l) 9 5 0x x− − − >

m) 2 3 6 0x x− − − < n) 4 5 8 0x x− − − < o) 3 6

01 2

x x

x x

− −− ≤+ −

p) 4 6

02 3

x x

x x

− −− <+ −

q)5 1

2 1 2x x≥

− − r) 2 10 6x − < 2 5 4 10x x− − <

UNIDAD 4 TRIGONOMETRIA

A.- Objetivos

• Aplicar el Teorema de Pitágoras y sus razones trigonométricas en la resolución de triángulos

rectángulos.

• Aplicar ley de senos y cosenos en la resolución de triángulos oblicuángulos.

• Plantear y resolver problemas de aplicación de triángulos rectángulos y oblicuángulos.

• Demostrar identidades usando las identidades básicas.


Practico # 1 Tema: Triángulos Rectángulos

1) Resolver el triangulo ABC, rectángulo en B, con los datos dados en cada uno de los

siguientes incisos.

a) A=34°; b=12,7cm

b) A=41°27´; b=18,83cm

c) A=58°40´; a=63,4cm

d) b=60m; c=43cm

e) b=37,9cm; c=18,5cm

f) c=31,6cm; a=12,3cm

g) b=141m; c=0,18km

23


2) Determinar el valor de las 5 funciones trigonomé tricas restantes del ángulo θ .

2

a) csc 3

θ = 15

b) tan 36

θ = )csc 4c θ = d)sec 6θ =

5

e)cos3

θ = 5

f) tan6

θ =

3) Si 2

tan5

A = ; hallar el valor de:

a) y=sen2A + cos2A b) x=cot2A + sec2A c) m=tanA*cotA+sen2A

d) y=cos2A*cotA - sen2A*csc2A

Si tanA= 4/3; y cosB= 12/13. determinar el valor de:

a) y=senA – cosB b) x=sec2A – tan2A c) m=csc2B – cot2B

d) t= sen3A*cosA + cos3A*senA

4) En las siguientes graficas hallar el valor de “ x”.

a)

D

A C B

2x+1520+3x

b)

17-2x

D

BA

C

7x-3

c)

4x-13 8-3x

DB

AC

d) 55º35º

x

e)

v

x62º

24


Practico # 2 Tema: Problemas ABP (Triángulos Re ctángulos)

1. Resuelve el triangulo rectángulo cuya suma de catetos es de 252,4 metros y su diferencia es de

7,6 metros.(Halla sus ángulos y la hipotenusa). Sol: Hip: 178,55; ángulo A = 46°43´29´´ y B=43°16´ 31´´

2. Dos fuerzas que forman un ángulo recto, actúan sobre un cuerpo. Si el valor de la resultante es

de 20 Newton (unidades de fuerza), y una de las fuerzas forma un ángulo de 50° con la

resultante, calcular el valor de cada fuerza. Sol: F 1 = 15,3209N y F2 = 12,85N

3. Un rectángulo ABCD, tiene como base AB = 4,2m; altura BC = 1,47m. Hallar la medida del

ángulo que forma la diagonal AC con la base. Sol: 19°17´24´´

4. Un poste de alumbrado tiene una altura de 4m. Un observador está parado frente al poste a una

distancia de 2m del mismo. Si la estatura del observador es 1,7m. ¿Cuál es la longitud de la

sombra que proyecta el observador sobre el piso? Sol: 1,48metros

5. Una escalera se encuentra apoyada contra un muro, de manera que la distancia entre el pie de

la escalera y el muro es de 1,2 metros. ¿A qué altura del suelo se apoya la escalera y cuál es su

largo si se forma con él un ángulo de 70°? Sol: Alto=3,30m; largo = 3,51m

6. La altura de un triangulo isósceles tiene una longitud da 10cm, y uno de los ángulos iguales mide

30°20´10´´. Calcular las medidas de: a) los tres lados del triangulo. b) los ángulos del triangulo.

Sol: a) 19,8m; 19,8m y 34,18m

7. Una escalera de 3m esta recostada sobre una pared vertical y sobre el piso horizontal y forma un

ángulo de 63°18´ con la horizontal. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?

Sol: 2,68metros

8. Desde un punto situado a 2m sobre el nivel del piso, un hombre de 1,7m observa la torre de un

edificio situado a 20m sobre la horizontal. Si el ángulo que forma la visual con la horizontal es de

45°, ¿Cuál es la altura del edificio? Sol: 23,7metros

9. La base de un triangulo isósceles mide 8 metros y el ángulo opuesto a la base 30°. Determinar

las longitudes de las tres alturas del triangulo. Sol: h 1 = 7,72m; h 2 = 7,72m y h 3 = 14,93m

10. Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580 metros sobre el nivel del mar, se divisa

un barco con un ángulo de depresión de 24°. ¿A qué distancia de la base de la torre está

ubicado el barco? Sol: 1302,7m

11. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del

suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: La parte superior, con un ángulo

de elevación de 30° y la parte inferior con en ángulo de depresión de 45°. Determina la altura del

edificio de enfrente. Sol: 12,62m

25


12. Un observador ve un globo aerostático con un ángulo de elevación de 30°. Acercándose 800m,

el globo se ve con un ángulo de 40°. Determina a qué altura se encuentra el globo. Sol:

1480,68m

13. Un ingeniero va en un avión que vuela sobre el mar a 800m, de altura y observa los barcos B1 y

B2 con ángulos de depresión 34° y 62° respectivamente. Determiné la distancia entre los barcos.

Sol: 760,688m

14. Una bodega de forma rectangular, tiene 40m de largo por 20m de ancho, se desea cubrir con un

techo a dos aguas iguales, dispuesto longitudinalmente, de modo que la luz de caballete tenga

100°. Determinar el número de m2 que se desea cubrir. Sol: 1040m 2.

Practico # 3 Tema: Triángulos Oblicuángulos

1) Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos

a) 50º , 67º , 7A B a cm= = = b) 44º , 86º , 18A B a cm= = =

c) 88º , 55º , 14C A a cm= = = d) 95º , 9 , 12C a cm c cm= = =

e) 45º , 14 , 12A a cm c cm= = =

2) Calcula el valor de “x” en cada una de las sigui entes figuras:

a)

45º 60º

100 m

x

c)

30º60º

15 m

x

b)

45º

20º

40 m

x

d x

30º

135 º

50 m

26


3) Resolver los siguientes triángulos

a)

60º 48º

3.7 cm

A B

C

b)

18º

120º

17 cm

A

B

C

c)

12 cm

7 cm

8 cmA

B

C d)

A

B

C

119º

81 cm

89 cm

Problemas ABP (Triángulos oblicuángulos) 1) Un rodadero para niños en un parque tiene 30 pies de longitud y un ángulo de elevación de

36º con respecto al piso. La escalera para subir al rodadero mide 18 pies de largo. ¿Qué

ángulo de elevación con respecto al piso tiene la escalera?

2) Un poste está inclinado 11º con respecto a la vertical del sol. El poste emite una sombra de

80 pies de largo sobre el piso cuando el ángulo de elevación del sol es de 20º. ¿Cuál es la

longitud del poste?

3) Dos carreteras recta se cruzan en un punto P formando un ángulo de 42º. En un punto R de

una de las carreteras hay un edificio que está a 368 m de P, y en un punto S de la otra

carretera, hay un edificio que está a 426 m de P. Determina la distancia entre R y S.

4) En un momento dado, cuando un avión estaba directamente arriba de una carretera resta que

une a dos pueblos, los ángulos de elevación con respeto a estos pueblos eran de 21,2º y

12,3º. Determine las distancias del avión a cada uno de los pueblos en dicho instante,

considerando una separación de 8,45 km entre los puntos representativos de los pueblos.

5) Un terreno triangular tiene lados de longitudes 5 m, 3m y 2,5 m. Halle el ángulo de mayor

medida.

6) Las diagonales de un paralelogramo se cortan en los

puntos medios respectivamente. Una de las diagonales

mide 8 cm y la otra mide 6 cm, y el ángulo que se forma

entre ellos es de 50º. Encuentre la medida de los lados

del paralelogramo.

27


Practico # 4 Tema: Demostración de identidades

a) cos

1csc sec

sen x x

x x+ = b)

1 cos

cos 1

sen x x

x sen x

− =+

c) sec

tan cot

xsen x

x x=

+ d)

1 cos

1 cos

x sen x

sen x x

− =+

e) 1

sec tan sec tan

x xx x

= +−

f) 1 1

csc csc cot tan

xx x x

= +−

g) 2

2 2cotcsc cos

csc 1

xx sen x x

x= + +

− h) 3

tan sec

1 cos

x sen x x

sen x x

− =+

i) 1

tan cot sen cos

x xx x

+ = j) 22

1 1sec cos

cos secx x

x x+ = +

k) 21 12sec

1 1 x

sen x sen x+ =

+ − l) ( ) cos cos 1 tan sen x x x x+ = +

m) 2 2 cos

sec tan sec tan

sen x xx x

x x

+ = −+

n) 2 21tan sec

csc x x

sen x x+ =

⋅

UNIDAD 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA

A.- Objetivos

• Identificar las ecuaciones de cada figura geométrica y graficarlas.

• Hallar la ecuación de una figura geométrica dado algunos datos.

• Aplicar la ecuación de las figuras geométricas en la solución de problemas.


Práctico # 1 Tema: Graficar figuras geométrica s

1) Hallar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a) (-2,5); (4,3) y (7,-2). Soluc. : 23,56

b) (2,-5);(-3,4) y (0,-3) Soluc. : 20,74

2) Demostrar analíticamente que las rectas que unen los puntos medios de los lados adyacentes

del cuadrilátero A(-3,2), B(5,4), C(7,-6) y D(-5,-4) forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es

igual a la suma de las diagonales del primero.

28


3) Hallar el valor de “k” para que la recta que pasa por los puntos (2,3) y (5,0) y la recta que pasa

por los puntos (k,-2) y (1,1); sean:

a) Paralelas (Sol: 4) b) Perpendiculares. (Sol: - 2)

4) En cada uno de los siguientes casos encontrar la ecuación general de la recta con las

condiciones dadas:

a) 3m= − e intercepta con al eje “y” en –2.

b) 1

3m= − e intercepta al eje “x” en 3.

c) Intercepta al eje “x” en� � y al eje “y” en�

.

5) Encontrar la ecuación general de la recta que satisface las siguientes condiciones.

a) Pasa por (1,1) y es paralela a la recta que pasa por: (3,2) y (-5,7).

b) Pasa por (1,3) y es paralela al eje “x”.

c) Pasa por (1,3) y es perpendicular al eje “y”

d) Pasa por (0,1) y es perpendicular a la recta que pasa por: (1,2) y (-2,3)

e) Pasa por (-1,2) y es paralela a la recta: y-x-1=0

f) Pasa por (3,-2) y es perpendicular a la recta que: 2x-3y-4=0.

6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

a)

− 0,3

141P y

−6

21,

2

52P b) P1(-3, -7 ) y P2(5,

2

9− )

c)

−−2

9,

2

31P y

5

1,

4

32P d) P1(5, -1 ) y P2(-8, 4)

7) Graficar y hallar la ecuación de la recta con las siguientes características

a) ( ) 5,2,1 =mP b) ( ) 2,2,1 −=−− mP c) ( ) 1,5,3 −=mP

d) ( )3

1,3,1 −=− mP e)

3

8,4,

2

1 =

− mP

8) Realizar los siguientes ejercicios de la ecuación lineal

a) Hallar la ecuación lineal perpendicular de la recta 0842 =−+ xy

b) Hallar la ecuación lineal perpendicular de la recta 2+−= xy

c) Hallar el ángulo entre la recta 3+−= xy y la recta 12

1 −= xy

29


d) Hallar el ángulo entre la recta 12 +−= xy y la recta que pasa por los puntos ( )3,31 −P y

( )2,42 −P

9) Hallar el punto vértice y el foco de las siguientes parábolas

a) 017682 =+−− yxy b) 0641242 =+−− yxx

10) Hallar la ecuación de la parábola

a) Cuyo vértice en el origen y el foco en el punto ( )3,01 −P

b) Cuyo vértice esta en el punto ( )4,2V y el foco en el punto ( )4,7F

c) Cuyo vértice esta en el punto ( )1,3V y el foco en el punto ( )5,3F

d) La directriz de una parábola es la recta 01=−y y su foco es el punto ( )3,4−F

11) Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias y graficar

a) 422 =+ yx b) 202422 =−−+ yxyx c) 06444 22 =−+ yx

d) 0124622 =−−++ yxyx e) 314622 22 =−−+ yxyx

12) Resolver los siguientes ejercicios

a) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro ( )6,5−C y radio = 9

b) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro ( )3,2C y radio = 5

c) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro está definido por los puntos ( )1,21P

y ( )4,52P

d) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 5, y su centro es el punto de

intersección de la recta 12 −= xy y la recta 5+−= xy

30


VI.- SISTEMA DE EVALUACIÓN PRESENCIAL

PRIMER y SEGUNDO PARCIAL

30 PUNTOS

PORTAFOLIO

20 PUNTOS

EXAMEN FINAL

50 PUNTOS Primer Parcial:

Clase Nro. 8 o 9

(Unidad 1: Fundamentos de Algebra

Unidad 2: Ecuaciones)

Preguntas practicas y problemas ABP

Segundo Parcial:

Clase Nro. 14 o 15

(Unidad 2: Ecuaciones

Unidad 3: Inecuaciones

Unidad 4: Trigonometría)


15 ptos.

15 ptos.

1. Utilizar FACEBOOK Investigaciones (LIMAT)

Control de Lectura, videos.

Ambos presentar el forma digital mediante un comentario en la página y un mapa conceptual por escrito.

2. Prácticos EXTRA CLASE (Subidos

a la red o de la Guía MAAP 3. Trabajos diarios en CLASES

NOTA: Se debe formar un portafolio con

los prácticos diarios en clases, los prácticos extra clases, las investigaciones

y control de lectura.

Ultima clase 19 o 20

Todo lo avanzado


EVALUACIÓN FORMATIVA EVALUACIÓN CONTINUA EVALUACIÓN FORMATIVA

VII.- BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

• Lazo Q., S. (2010). Álgebra con Trigonometría y Geometría Analítica. Bolivia: Ediciones

Populares.

• Swokiwski, E.W. y Cole, J.A. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica.

México: Cengage Learning.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

• Zill. D.(2012).Álgebra y Trigonometría. 3era Edición. México. McGraw-Hill/Interamericana.

• Larson R. y otros (2008). Cálculo. México: McGraw-Hill/Interamericana.

• Larson, R; Hostetler,R.(2006) Cálculo y Geometría Analítica. Colombia. MacGraw Hill.

32


MATERIAL COMPLEMENTARIO

• El siguiente material de apoyo es el resultado de una compilación de textos de los principales autores sobre el tema publicados en libros o en fuentes confiables de internet. En muchos casos, algunas porciones del texto, han sido adaptadas al contexto local con el único fin de que resulten más beneficiosas para el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

• El único objetivo de este compilado, es entregar a los estudiantes un documento con información seleccionada.

33


UNIDAD 1 FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Identificar y aplicar la nomenclatura utilizada en álgebra

• Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios

• Simplificar expresiones algebraicas aplicando los casos de factorización.

• Realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas

fraccionarias.

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS.-

Término.- Es la parte más pequeña del álgebra, que consta de los siguientes elementos:

+3x2

Coeficiente

Parte Literal

Exponente

Signo

Expresión algebraica .- Es la suma y resta de varios términos. 2 2 2 15 3

2x yz xy z x− +

Términos semejantes.- Dos o más términos son semejantes, si tienen iguales partes literales.

Ejemplo: zyx 324 ; zyx 327− y 2 36x y z− son términos semejantes

Reducción de términos semejantes.- Se suman o restan los coeficientes de los términos

semejantes y se copia la misma parte literal.

Ejemplo :

( ) ( ) ( ){ }[ ] [ ]{ }

{ }

- 3 – – – 4 2 3

- 3 – 4 2 3

- 3 – 4 2 3

-3 4 2 3 2 4 7

m m n m m n n

m m n m m n n

m m n m m n n

m m n m m n n m n

+ − + − + + − +

+ − + + + − − − +

=

=

=− + + − − − ++ + − − + + + − = − + −

Monomio .- Es aquella expresión que consta de un solo término: Ejemplos: 3x, zyx 324 , yx2

3

2−

Polinomio.- Es la expresión que consta de dos o más términos.

Ejemplos: 3x + 5y ; 232 534 zyx −+

34


Grado de un polinomio: Es el mayor exponente que tiene una expresión algebraica. Puede ser

absoluto y relativo con relación a una letra

-Grado absoluto: es el grado del término de mayor exponente del polinomio

Ejemplo: x3 + 3x2 – 8x +12 es de tercer grado

-Grado relativo con relación a una letra: es el mayor exponente de dicha letra en el

polinomio

Ejemplo: a4b2 + 5 a3b3 + 7 es de cuarto grado con relación a la letra “a”, y es de

tercer grado con relación a “b”

1.2 POTENCIACIÓN y RADICACIÓN.-

Definición.- Es la operación geométrica que tiene por objeto multiplicar por sí mismo un número

llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.

naP = donde a = base n = exponente

Ej: 1) 53 = 5 · 5 · 5 = 125 2) 322222225 =⋅⋅⋅⋅= 3) 4

9

2

3

2

3

2

32

=⋅=

Definición.- La radicación es la operación inversa de la potenciación y consiste en hallar la base

conocidos el exponente y la potencia.

n nP a P a= ⇔ =

Por ejemplo 24 = porque 24 2=

POTENCIACIÓN RADICACIÓN

1) m n m na a a +⋅ = 1) cbacba ⋅⋅=⋅⋅

2)

mm n

n

aa

a−=

2)

a a

b b=

3) ( )n n na b a b⋅ = ⋅ 3) m n m na a×=

35


4)

n n

n

a a

b b =

4)

mn m na a=

5)

( )mn n ma a ⋅= 5) n na a=

6) 1n

na

a− =

;

n na b

b a

− =

7)

10 =a

1.3 OPERACIONES BÁSICAS ENTRE POLINOMIOS.-

Suma.- Para sumar dos o más polinomios se debe escribir los polinomios uno a continuación de

otro separados por un signo de suma, luego se realiza la reducción de términos

semejantes.

Ej. Hallar la suma de los siguientes polinomios:

3 2 22 3 4P x x y xy= − +

2 32 5Q x y y= −

3 2 33R x x y y= − +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 2 2 2 3 3 2 3

3 2 2 2 3 3 2 3

3 3 2 2 2 2 3 3

3 2 2 3

Sumando 2 3 4 2 5 3

2 3 4 2 5 3

2 3 2 4 5 3

3 2 4 2

P Q R x x y xy x y y x x y y

x x y xy x y y x x y y

x x x y x y x y xy y y

x x y xy y

+ + = − + + − + − +

= − + + − + − +

= + + − + − + + − +

= − + −

Resta.- Para restar un polinomio de otro se efectúa la suma del polinomio minuendo con el

opuesto del polinomio sustraendo.

Ej. Hallar la diferencia al restar 3 2 22 3P x x y xy= − + de 3 25 4 2Q x x y= − +

( ) ( )

( ) ( )

3 2 3 2 2

3 2 3 2 2

3 3 2 2 2

3 2 2

Restando 5 4 2 2 3

5 4 2 2 3

5 2 4 3 2

3 2

Q P x x y x x y xy

x x y x x y xy

x x x y x y xy

x x y xy

− = − + − − +

= − + − + −

= − + − + − +

= − − +

36


Multiplicación.- La multiplicación de dos polinomios se efectúa multiplicando cada uno de los

términos del primero por cada uno de los términos de segundo y sumando los

productos obtenidos.

Ej. Calcular el producto de 2 32 5Q x y y= − por 3 2 22 3P x x y xy= − +

( ) ( )( ) ( )2 3 3 2 2

2 3 2 2 3 3 2 2

5 4 2 3 3 3 3 2 4 5

5 4 2 3 3 2 4 5

Multiplicando 2 5 2 3

2 2 3 5 2 3

4 6 2 10 15 5

4 6 8 15 5

Q P x y y x x y xy

x y x x y xy y x x y xy

x y x y x y x y x y xy

x y x y x y x y xy

⋅ = − ⋅ − +

= − + − − +

= − + − + −= − − + −

División.- Es una operación que tiene por objeto encontrar el cociente de dos cantidades dadas

(el dividendo y el divisor) de tal manera que el divisor multiplicado por el cociente

reproduzca el dividendo.

Ej: Efectuar la división ( ) ( )4 3 2 2 3 4 2 26 7 2x x y x y xy y x xy y− + + − ÷ − −

4 3 2 2 3 46 7x x y x y xy y− + + − 2 22x xy y− −2 23 2x xy y− +4 3 2 26 3 3x x y x y− + +

3 2 2 34 4x y x y xy− + +3 2 2 34 2 2x y x y xy− −

2 2 3 42x y xy y− −2 2 3 42x y xy y− + +0 0 0+ +

Divisor

Cociente

Residuo

Dividendo

Expresar como fracción mixta: 4 3 2 2 3 4

2 22 2 2 2

6 7 03 2

2 2

x x y x y xy yx xy y

x xy y x xy y

− + + − = − + +− − − −

1.4 PRODUCTOS NOTABLES

1) ( )2 2 22x y x xy y+ = + + 2) ( )2 2 22x y x xy y− = − +

3) ( )3 3 2 2 33 3x y x x y xy y+ = + + + 4) ( )3 3 2 2 33 3x y x x y xy y− = − + −

5) ( )( ) 2 2x y x y x y+ − = −

Ej: a) ( ) ( )3 2 2

22 2 2 2 43 3 3 92 3

2 2 2 4

x x x xy y y xy y − = − + = − +

37


b) ( ) ( ) ( )2 2 22 3 2 3 2 3 4 9x x x x+ − = − = −

1.5 BINOMIO DE NEWTON

( ) nnnnnnn bbannnn

bannn

bann

bnaaba ++−−−+−−+−++=+ −−−− ....4*3*2*1

)3)(2)(1(

3*2*1

)2)(1(

2*1

)1( 4433221

Ej: Desarrollar (x + y) 4 = ( ) 4322344 464 yxyyxyxxyx ++++=+

1.6 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL .- Factorizar una expresión algebraica significa escribirla

como un producto equivalente a ella.

1.6.1 Factor Común

a) ( )3 2 2 3 4 5 4 3 2 2 2 3 215 10 20 15 5 5 2 4 3m n m n m n m n m n m n m n m n+ + − = + + −

b) ( ) ( ) ( ) ( )1x a b a b a b x+ + + = + ⋅ +

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 23 6 4 8 3 6 4 8 3 2 4 2 2 3 4m mn m n m mn m n m m n m n m n m− + − = − + − = − + − = − +

1.6.2 Trinomio Cuadrado Perfecto

Ej:

( )22 24 12 9 2 3x xy y x y− + = −

1.6.3 Diferencia de cuadrados: ( ) ( )2 2a b a b a b− = + ⋅ −

a) ( ) ( )2 29 3 3x y x y x y− = − + b) ( ) ( )4 6 2 3 2 3100 10 10m n m n m n− = − ⋅ +

1.6.4 Trinomio de la forma: cbxx ++2

( ) ( )2x px q x a x b si a b p y a b q+ + = + ⋅ + + = ⋅ =

Ej: ( ) ( )2 5 6 .... ....x x x x+ + = + ⋅ +

Se busca dos números cuyo producto sea “6”, y su suma 5

38


( ) ( ): 2 3 5 ; : 2 3 6S suma P producto= + = = + ⋅ + =

( ) ( )2 5 6 2 3x x x x⇒ + + = + ⋅ +

1.6.5 Trinomio de la forma: 2ax bx c+ +

Método del aspa simple

Ej:

Método de Aurelio Baldor (Baldor Algebra pág 163)

1.6.6 Cubo de la suma o diferencia de dos cantidade s

( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b± = ± + ±

Ej:

( )3 2 32 36 12 8 2x x y xy y x y− + − = −

1.6.7 Potencias De Igual Exponente

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

( )( ...... )

( )( ...... )

( )( ...... )

n n n n n n

n n n n n n

n n n n n n

a b a b a a b a b b Sólo si n es impar

a b a b a a b a b b para n par o impar

a b a b a a b a b b para n par

− − − −

− − − −

− − − −

+ = + − + − +− = − + + + +− = + − + + −

Ej: ( )( )5 4 2332 2 2 4 8 16x x x x x x+ = + − + − +

1.6.8 Regla de Ruffini

Son de la forma: ( ) ( )( )3 2ax bx cx d x x xα β φ+ + + = ± ± ±

Ejemplo: Resolver =−−+ 22 23 xxx

39


Se trabaja con los cocientes exactos del término independiente ( )1; 2± ± . El objetivo es

eliminar el último término (-2).

1 2 -1 -2

1 3

1Probamos con 1

1 . 1= 1

PASO 1

1Se ubica el

resultado aquí

Se suma 2+1=3

1 2 -1 -2

1 3 2 0

1Multiplicamos

2 · 1= 2

PASO 3

1

Se suma -2+2=0

3 2

Cumplimos con el objetivo de eliminar el último término. Hasta este punto el polinomio factorizado

es ( )( )21 3 2x x x− + + . Se puede seguir factorizando con el método de Ruffini o con cualquier

otro caso. Seguiremos con Ruffini.

1 2 -1 -2

1 3 2 0

1

Probamos con -1Y multiplicamos

PASO 4

1

Se forman los factores (x-1)(x+1)

3 2

1 2 0

-1 -1 -2

Se forman los factores (x-1)(x2+3x+2)

1 0

-2 -2

Se forman los factores (x-1)(x+1)(x+2)

Probamos con -2Y multiplicamos

Por tanto la ( ) ( ) ( )3 22 2 1 1 2x x x x x x+ − − = + − + producto de tres binomios.

40


1.7 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

a) 2 2

( ) ( )

( )( ) ( )( )

bx ax x b a x a b x x

a b a b a b a b a b a ba b

− − − − −= = = = −+ − + − + +−

b)

( )( )4 2 2

4 24

2 22

22

1 1 1

1 1 11 :

11q

a a a

a aaaaa a aa

aa

− − + + − − = = = − −

c) 2 2 2 2

2 2 2

1 1 1 1 11 * 1

1q

a a a aa

a aa a a a

− − − − ÷ − = ÷ = = −

1.8 MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

El mínimo común múltiplo es el producto obtenido al tomas todos los factores, comunes y no

comunes, elevados a su mayor exponente.

Ej: Hallar el m.c.m. de: 2 2 2 2 3 3 4 42 2 ; 4 8 4 ; ;x y x xy y x y x y− − + − −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2

22 2 2 2 2

3 3 2 2

4 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

4 8 4 4 2 2

x y x y x y x y

x xy y x xy y x y

x y x y x xy y

x y x y x y x y x y x y

− = − = − +

− + = − + = −

− = − + +

− = − + = − + +

Los factores comunes y no comunes con mayor exponente son:

2 2 2 2 22 ; ; ; ;x y x y x xy y x y+ − + + +

Por tanto, el m.c.m. = ( )( ) ( )( )22 2 2 2 22 x y x y x xy y x y+ − + + +

41


1.9 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Suma y Resta.-

a) ( )

2 2 2 2 2 2

3 2 1 23 2 1 2 3 2 1 2 1

1 1 1 1 1 1

x xx x x x x

x x x x x x

− + ++ − − + +− + = = =+ + + + + +

b) 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 5 2 2

x y x y y x

x xy y x xy y x xy y

− − −− ++ − + + − −

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

4 3 2 2 3 2

2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y y x

x y x y x y x y x y x y

x y x y x y x y y x x y

x y x y x y

x y x xy y y xy x

x y x y x y

x y x y x yx y

x y x y x y x y x y x y x y x y

− − −= − ++ − + + − +

− + − − − + − +=

+ − +

− − − + + − −=

+ − +

− + +−= = =+ − + + − + + +

Multiplicación y División.-

a) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 24 4 2

2 2 22 5 2 2

a b a b a b a ba b a b a b

a b a b a b a b a ba ab b a ab b

+ − + −− − +⋅ = ⋅ =− − + − −− + − −

b) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2

2 2 2

2 2 22 2 4

2 22 2

x a a a x a xax x a a ax xz a

x x a x a a x a xx x ax a a x

+ − + + −+ − − − − +÷ = ⋅− + − − + +− + − −

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 2 2

2 1 1

a a a x a x a

x x a a x a a

+ − + − += ⋅ =− − − + +

42


UNIDAD 2 ECUACIONES


• Identificar una ecuación y resolverla.

• Interpretar problemas para plantear ecuaciones de primer y segundo grado y resolverlas por

cualquier método.

• Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2 y 3 incógnitas.

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS

Ecuación.- Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por

un signo igual. La expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión

de la derecha. Una o ambas expresiones pueden contener variables.

Una ecuación es una igualdad que se cumple sólo para determinados valores de las variables.

Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de dichas

variables.

= 6 - 5x3x+2Miembro izquierdo Miembro derecho

Identidad.- Una identidad es una igualdad que se cumple siempre para cualquier valor que tomen

sus variables.

2.2. ECUACIÓN DE PRIMER GRADO (Ecuación Lineal)

ax + b = 0 Para a ≠ 0Forma General

Un método para resolver una ecuación lineal con una incógnita consiste en transportar todos los

términos que contienen la incógnita a un miembro de la ecuación y los términos independientes o

constantes al otro miembro.

Ejemplos

1.- ( ) ( ) ( ) ( )23 3 5 7 1 2 7 4 0x x x x x x− + + − + − + + =

43


2 2 23 9 5 35 2 14 4 0

9 5 35 14 4

305 30 6

5

x x x x x x

x x x

x x x

− + + − − − − + =− + − = − + −

−− = − = =−

2.- 4 5 3

6 3 2

x x x−− = . . (6,3,2) 6m c m =

Se obtiene el m.c.m. de todos los denominadores de la ecuación. El m.c.m. se multiplica por cada

término en la ecuación, se simplifican los denominadores y se realizan las operaciones.

4 5 36 6 6

6 3 22(4 5) 3 3 8 10 9

58 9 10 16 10

8

x x x

x x x x x x

x x x x x

−⋅ − ⋅ = ⋅

− − = ⋅ → − + =

− − = − → − = − → =

2.3. ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO (Ecuación cuadrática )

ax2 + bx+c = 0 Para a ≠ 0Forma General

Para resolver una ecuación cuadrática se utilizan comúnmente dos métodos: utilizando

Factorización y aplicando la Formula General. En ambos casos, es necesario escribir la ecuación

en su forma general. Toda ecuación cuadrática tiene dos soluciones.

2.3.1 Resolución por factorización .- Se utiliza cualquier criterio de factorización.

Ejemplos

1.- ( )23 1 9 9x x+ = +

( )

( )( )

2 2

2 2

3 2 1 6 9 3 6 3 9 9

3 6 3 9 9 0 3 3 6 0

factorizando tenemos 3 3 2 0

cada factor se iguala a cero 3 3 0 ; 2 0

de cada factor se despeja x. 1 ; 2

x x x x x x

x x x x x

x x

x x

x x

+ + = + → + + = +

+ + − − = → − − =− − =

− = − == =

44


1.- 23 2x x=

( )23 2 0

factorizando tenemos x 3 2 0

cada factor se iguala a cero 0 ; 3 2 0

2de cada factor se despeja x. 0 ;

3

x x

x

x x

x x

− =− == − =

= =

2.3.2 Resolución por fórmula general

a

cabbx

2

42 −±−=

Donde: cab 42 −=∆ es conocido también como discriminante.

Del análisis del discrimínate tenemos:

1º) Si 0=∆ entonces se tienen raíces iguales

2º) Si ∆ > 0 entonces se tienen raíces reales

3º) Si ∆ < 0 entonces se tienen raíces imaginarias

Ejemplo

1.- ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1 2 2 1x x x x x x+ − + + = − +

( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2

2

2 6 3 2 2 2

2 6 3 2 2 2 0 3 5 2 0

Aplicando la formula general, donde a=3 ; b=5 ; c=-2 se obtiene

5 5 4 3 2 5 49 5 7

2 3 6 6

Por lo tanto las raices de la ecuacion so

x x x x x x

x x x x x x x x

x

+ − + + = − −

+ − − − + + = → + − =

− ± − − − ± − ±= = =⋅

1 2

1 2

5 7 5 7n: ;

6 61

; 23

x x

x x

− + − −= =

= = −

2.4. ECUACIÓN RACIONAL

Para resolver ecuaciones racionales se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo

común múltiplo de los denominadores.

45


Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones extrañas provenientes de

la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no

lo son de la ecuación original.

Ejemplo

1.- 2

5 3 60

1 1 1x x x− − =

+ − − ( ) ( ). . 1 1m c m x x= − +

Por condición de la ecuación x 1

Se obtiene el m.c.m. de todos los denominadores de la ecuación. El m.c.m. se multiplica por cada

término en la ecuación, se simplifican los denominadores y se realizan

≠ ±

las operaciones.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

5 3 61 1 1 1 1 1 1 1 0

1 1 1 1

1 5 1 3 6 0

15 5 3 3 6 0 8 4

2

x x x x x x x xx x x x

x x

x x x x

− + ⋅ − − + ⋅ − − + ⋅ = − + ⋅+ − − +

− ⋅ − + ⋅ − =

− − − − = → − = → = −

2.- 3 3 3 9

2 2 2

x

x x

+ = +− −

( ). . 2 2m c m x= −

Por condición de la ecuación x 2≠

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 3 3 92 2 2 2 2 2

2 2 22 3 3 2 3 2 9

6 6 3 6 18 3 6 2

Sin embargo, x=2 no puede ser solución de la ecuación dada, ya que presenta división por cero.

Por tanto, la ecuación propuesta no ti

xx x x

x xx x

x x x x

+− ⋅ = − ⋅ + − ⋅− −

⋅ + = − ⋅ + ⋅+ = − + → = → =

ene solución.

2.5. ECUACIÓN IRRACIONAL

Son aquellas donde la incógnita aparece como una cantidad subradical. Para resolver una

ecuación radical se despeja uno de los radicales y se elevan ambos miembros de la ecuación a

una potencia igual al índice de la raíz, esta operación se efectúa hasta eliminar todos los

radicales.

Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta

que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la

dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de

la ecuación.

46


Ejemplo

1.- 5 3 2x x+ − − =

( ) ( ) ( )

( ){ }

2 2 22

22

5 2 3

5 2 3 5 2 4 3 3

5 4 3 4 3 4 4 3

1 3 1 3 1 3 4

Como x = 4 verifica la ecuación, entonces Cs = 4

x x

x x x x x

x x x x

x x x x

+ = + −

+ = + − → + = + − + −

+ − − + = − → = −

= − → = − → = − → =

2.6. ECUACIÓN LOGARÍTMICA

Las ecuaciones que contienen expresiones logarítmicas, donde la variable se encuentra en el

argumento o en la base del logaritmo, son llamadas ecuaciones logarítmicas. Se resuelven

aplicando propiedades de logaritmos y/o convirtiendo en ecuaciones exponenciales equivalentes.

Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

Ejemplo

1.- ( ) ( )2log 2 log 11 2 log 5x x+ − = −

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

{ }

2

2 22 2

2 2 2

1 2

log 2 log 11 2 log 5

log 2 11 log 5 2 11 5

22 2 25 10 3 10 3 0

13 1 3 0 ; 3

31

x = no verifica la ecuación, x = 3 sí verifica la ecuación entonces Cs= 33

x x

x x x x

x x x x x

x x x x

+ − = −

⋅ − = − → ⋅ − = −

− = − + → − + =

− − = → = =

2.- ( )4 3

1log log 2

2x + =

( )

( ) ( )

{ }

4 3

1

23 3

2

1log log 2 aplicando definición de logaritmos

2

4 log 2 2 log 2

3 2 7

x = 7 verifica la ecuación, entonces Cs= 7

x

x x

x x

+ =

= + → = +

= + → =

47


2.7. ECUACIÓN EXPONENCIAL

Las aquellas ecuaciones que contienen variables en el exponente. Se puede resolver aplicando

logaritmos a ambos miembros de la ecuación y propiedades de logaritmos. También, si la base de

las potencias de ambos miembros de la ecuación es la misma, los exponentes han de ser iguales.

Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial.

Ejemplos

1.- 2 13 2x x+ −=

( ) ( )

( )

2 1log 3 log 2

2 log 3 1 log 2 log 3 2 log 3 log 2 log 2

log 3 log 2 2 log 3 log 2 log 3 log 2 2 log 3 log 2

2 log 3 log 27,1285

log 3 log 2

x x

x x x x

x x x

x x

+ −=+ = − → + = −

− = − − → − = − −− −= → = −

−

2.- 2

322

4

xx

−

=

23

2

2 2 3 2 2 3 4 3

22

22 2 2 2 2 2 2

4 3 2 4 2

xx

x x x x x x

x x x x

−

− − − − −

=

⋅ = → = → =− = → = − → = −

2.8 ECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO

Para todo número real x, el valor absoluto se define como

<−=>

=0

00

0,

xx

x

xx

x

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

1)nn na a a= = si n es número entero par 6) Si b 0, b x bx x b> < ∧< >⇔ −

2) a b a b⋅ = 7) b x bx x b⇔ ∨> < −>

3) 0, a a

Si bb b

≠ = 2 28) Si b 0, b x bx ⇔> < <

4) Si b 0, =b x=b x x b⇔ ∨ = −> 2 29) Si b 0, b x bx ⇔> > >

2 25) Si b 0, =b x = bx ⇔>

48


Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utilizan las propiedades del 1-5 de la tabla de

propiedades.

Ejemplos

1.- 2 6x − =

Utilizando la propiedad 4, se tiene

2 6 2 6

8 4

x x

x x

− = ∨ − = −= ∨ = −

2.- 3

13

xx

+ = −

( )

Por la propiedad 4, si x-1 0 x 1

3 31 1

3 33 0

Así, la única solución mayor que 1 es x = 3

x xx x

x x

> → >+ += − ∨ = − −

= ∨ =

3.- 2 1 1x x+ = +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ][ ]

2 2 2 2

Por la propiedad 5

2 1 1 2 1 1 0

2 1 1 2 1 1 0

3 2 0

20 ;

3

x x x x

x x x x

x x

x x

+ = + → + − + =

+ − + + + + =

+ =

= = −

2.9 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que

conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que

satisfacen dichas ecuaciones.

2.9.1 Sistemas de Ecuaciones lineales con dos incóg nitas

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = + =

Forma general

Cada ecuación, gráficamente representa una recta, la solución del sistema de ecuaciones es el

PUNTO DE INTESECCIÓN de ambas rectas ( , )PI x y , estos valores satisfacen la igualdad en

cada ecuación.

De acuerdo a los resultados que se obtienen, un sistema de ecuaciones puede ser:

49


a) Sistema compatible determinado

b) Sistema compatible indeterminado

c) Sistema incompatible

Para hallar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede utilizar

cualquiera de los siguientes métodos:

a) Método de reducción:

Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones: ( )

( )

3 2 1 2 1

5 3 1 2

x y

x y

− =

+ =

UNICA SOLUCION

50


Eliminando ”x” Eliminando “y”

• Multiplicando por 5 la ecuación (1)

Multiplicando por (-3) la ecuación (2)

( )

( )

3 2 1 2 5

5 3 1 3

x y

x y

− = ×

+ = × −

• Multiplicando por 3 la ecuación (1)

• Multiplicando por (2) la ecuación (2)

( )

( )

3 2 1 2 3

5 3 1 2

x y

x y

− = ×

+ = ×

• Sumando las ecuaciones (3) y (4)

( )

( )

15 10 60 3

15 9 3 4

19 57

x y

x y

y

− =

− − = −− =

• Despejando “y” tenemos: 3y = −∴

• Sumando las ecuaciones (3) y (4)

• Despejando “x” tenemos: 2x =∴

b) Método por determinantes:

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

+ = + =

Sea el sistema de ecuaciones: se tiene:

1 11 2 2 1

2 2

a ba b a b

a b∆ = = −

Diagonal Secundaria

Diagonal Principal

1 1 1 2 2 1

2 2

c b c b c bx

c b

−= =∆

1 1 1 2 2 1

2 2

a c a c a cy

a c

−= =∆

Ejemplo.- Resolver si siguiente sistema de ecuaciones: ( )

( )

3 11 1

2 3

1 41 2

3 2

x y

x y

+ − + =

− + − = −

Reduciendo la ecuación (1) y (2) a su forma general, se tiene:

51


( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 1 6 (1 )

2 1 3 4 6 ( 2 )

x y

x y

+ + − =

− − + = −

( )

( )

3 2 1 1

2 3 8 2

x y

x y

+ = −

− =

3 23 ( 3) 2 2 9 4 13

2 3∆ = = ⋅ − − ⋅ = − − = −

−

1 2 13( 1) ( 3) 8 2 3 16 1

8 3 13x

− −= = − ⋅ − − ⋅ = − = =− −

3 1 26

3 8 2 ( 1) 24 2 22 8 13

y−

= = ⋅ − ⋅ − = + = = −−

Por tanto la solución es 1 ; 2x y= = −

2.9.2 Sistemas de Ecuaciones lineales con tres incó gnitas

También se utiliza el método de determinantes para resolver el sistema de ecuaciones de tres

incógnitas que necesariamente se utilizara tres ecuaciones. Se utilizara el método de Cramer

para resolverlo. Observen la lógica de la solución de un determinante de 3 x 3

Algebraicamente se resuelve de la siguiente manera

( ) ( ) ( )1 1 1

2 2 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2

3 3 3

a b c

a b c a b c b c b a c a c c a b a b

a b c

∆ = = + ⋅ − − ⋅ − + ⋅ −

Observe los signos del determinante, están ordenados como “+” , “-“ , “+”

Ejemplo.- Resolver si siguiente sistema de ecuaciones:

3 2 1

4 3 0

2 7

x y z

x y z

x y z

+ − = − − =

− + =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 2 1

4 1 3 3 1 1 2 3 2 4 1 1 3 1 4 2 1 1

1 2 1

3 1 6 2 4 3 1 8 1 21 14 7 28

−∆ = − − = − − − − − − − + − − − −

−

= − − − + − − + = − − + = −

52


( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2 1

0 1 3 1 1 1 2 3 2 0 1 7 3 1 0 2 7 1

7 2 1

56 1 1 6 2 21 1 7 7 42 7 2

28

x

−= − − = − − − − − − − + − − − −

−

−= − − − − = − − − = =−

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

3 1 1

4 0 3 3 0 1 7 3 1 4 1 1 3 1 4 7 1 0

1 7 1

28 3 21 1 4 3 1 4 63 7 28 1

28

y

−= − = − − − − − + − −

= − + − = − − = = −−

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

3 2 1

4 1 0 3 1 7 2 0 2 4 7 1 0 1 4 2 1 1

1 2 7

84 3 7 2 28 1 7 21 56 7 3

28

z = − = − − − − + − − − −

−= − − + − = − − − = =−

APLICACIONES.- Hallar las corrientes 1I , 2I e 3I del siguiente circuito.

10 V

3 Ω

6 Ω

3 Ω

3 Ω

Por la ley de Thevenin tenemos que:

0321 =−− iii

010 21 =−− VVV

032 =− VV

UNIDAD 3 INECUACIONES


• Identificar y resolver desigualdades polinómicas, racionales y con valor absoluto.

• Resolver e interpretar problemas en el que intervengan desigualdades.

Una inecuación o desigualdad es aquella que es válida solo para ciertos valores de las variables

para los que sus miembros están definidos.

3.1 INECUACIÓN LINEAL

Para su resolución se consideran las siguientes propiedades:

1) Se puede sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de la desigualdad

2) Se puede dividir o multiplicar por una cantidad positiva ambos miembros de la

desigualdad.

3) Si se multiplica o divide por una cantidad negativa ambos miembros de la desigualdad, el

signo de la desigualdad se invierte.

Ejemplo

1.- 2 3 4x x+ ≥ +

( ) { } ] ]2 2 1 2 2 1 ó , 11x Rx x x Cs Csx

∈− ≥ × − ≤ − ≤ − = = −∞ −≤ −

2.- 1 3 2

12 4 3

x x x− − −− ≤ +

( ) ( ) ( )

[ [

1 3 21 . . . 12

2 4 31 3 2

12 12 12 1 12 6 1 3 3 12 4 22 4 3

6 - 6 -3 9 12 4 -8 - 1 1 1,

x x xm c m

x x xx x x

x x x x x Cs

− − −− ≤ + =

− − −⋅ − ⋅ ≤ ⋅ + ⋅ − − − ≤ + −

+ ≤ + ≤ ≥ − = − +∞

54


3.2 INECUACIÓN CUADRÁTICA

Forma General Para a ≠ 0ax2 + bx+c > 0

Ejemplo

1.- 2 23 5 3 2 3x x x x− − ≥ −

-1 0 3

V F V

-∞ +∞

2

0, la desigualdad es:

0 2 0 3 0 3 0 F (No verifica para este intervalo)

Para x=− ⋅ − ≥ − ≥

Si las raíces son diferentes, los intervalos adyacentes son alternados entre F y V. Así, los

intervalos de solución son los que verifican la inecuación dada. Por tanto, el conjunto solución

es: ] ] [ [, 1 3,Cs= −∞ − ∪ +∞

3.3 INECUACIÓN FRACCIONARIA

Para la solución de inecuaciones que contienen fracciones algebraicas se siguen los siguientes

pasos:

1º Transponer todos los términos al primer miembro de la desigualdad y reducir los términos.

2º Hallar las raíces del numerador y del denominador de la fracción reducida.

3º Ubicar las raíces sobre la recta real según la siguiente regla:

a) Para raíces del numerador: si el signo de la desigualdad es:

• > ó < entonces extremos abiertos

• ≥ ó ≤ entonces extremos cerrados

b) Para raíces del denominador, siempre abierto

Ejemplo

1.- 2 1

4 2

x x

x x

− +≤− +

( )( )2 2 3 0 3 1 0

Las raices son: 3 0 3 y 1 0 1

x x x x

x x x x

− − ≥ ⇒ − + ≥− = → = + = → = −

55


( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2

2 2 4 12 10 0

4 2 4 2

4 4 4 30 0

4 2 4 2

x x x xx x

x x x x

x x x x x

x x x x

− + − − +− +− ≤ ≤− + − +

− − − + + ≤ ≤− + − +

3 0 0 (del numerador)

4 0 4 (del denominador)

2 0 2 (del denominador)

x x

x x

x x

= → =− = → =+ = → = −

] [ [ [, 2 0, 4Cs= −∞ − ∪ +

3.4 INECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO

Ejemplos

1.- 2 3 5 Por la propiedad 6, se tienex + ≤

2 3 5 2 3 5

2 2 2 8

1 4

x x

x x

x x

+ ≤ ∧ + ≥ −≤ ∧ ≥ −

≤ ∧ ≥ −

[ ]4,1Cs= −

2.- 2 Por la propiedad 7, se 2 t n1 ie e:xx + > + <

( )2 2

1 3 3

1

2

1

1 2 1x x

x x

x

x

x

x+ ∨ +> + < − +> <

<− − ∨ −

<∨ −

] [,1Cs= −∞

-2 0 4

V F V

+8

F

-4 0 1

-4 0 1

-4 0 1

1sC =

2sC =

1 2s sC C∩ =

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

-1 0 1

-1 0 1

-1 0 1

1sC =

2sC =

1 2s sC C∪ =

+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

56


UNIDAD 4 TRIGONOMETRÍA


• Repasar las funciones trigonométricas y su uso en la resolución de triángulos

• Desarrollar habilidades en la demostración de identidades trigonométricas

• Aplicar las propiedades trigonométricas a la resolución de problemas de la ingeniería


La trigonometría es una parte de la matemática que trata de las mediciones de los elementos de

un triángulo.

2.1.1 Ángulos

Angulo es la abertura comprendida entre dos semirrectas que se cortan. Sus medidas se dan

principalmente en dos sistemas: sexagesimal y radian. Se clasifican en:

Recto 90º= Agudo 90º< Obtuso 90º> Plano = 180º

2.1.2 Triángulos

Triángulo es la figura formada por tres rectas que se cortan, a

los puntos de corte se les llama vértices. Los ángulos del

triángulo se designan con letras mayúsculas A, B, y C y los

lados opuestos con a, b y c.

Todo triángulo debe cumplir con las siguientes propiedades:

a) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

(a < b+c ; a > b-c)

b) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. (A+B+C =180º).

c) El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. (α′ =

γ + β)

Se clasifican de acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos.

57


2.2 TRIANGULOS RECTÁNGULOS

Triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto, es decir,

un ángulo de 90º, los otros dos son agudos.

Relación entre lados y ángulos de un triángulo rect ángulo

a) Relación entre sus LADOS: TEOREMA DE PITÁGORAS

2 2 2hipotenusa CatetoOpuesto CatetoAdyacente= +

b) Relación entre sus ANGULOS

90º

180º

α βα β γ

+ =+ + =

c) Relación entre sus lados y sus ángulos: RAZONES TRIGONOMETRICAS

hipotenusa cosecα=

opuesto

hipotenusacos secα=

adyacente

adyacentetan cotanα=

opuesto

opuestosen

hipotenusa

adyacente

hipotenusa

opuesto

adyacente

α

α

α

=

=

=

APLICACIONES

1.- En un triángulo ABC, tenemos que AB=15, BC=14 y CA=13. Hallar la superficie del triángulo

sabiendo que: 2

b hS

⋅=

58


1315

14

x

A

B C

15

x

A

B D

A

D C

13

14 - x

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

15 Del primer triángulo rectángulo

13 (14 ) Del segundo triángulo rectángulo

15 13 (14 ) 225 169 196 28

9 15 9 12

AD x

AD x

x x x x x

x AD

= −

= − −

− = − − → − = − + −

= → = − =

214 13 84

2S u

⋅⇒ = =

2.- Un observador situado en una torre mide un

ángulo de depresión de 29º entre la horizontal y la

base de otra torre que está a 120 pies de la

primera. El ángulo de elevación desde el mismo

punto hasta otro observador que se encuentra en

la segunda torre es de 40º. ¿A qué altura se

encuentra el observador de la segunda torre?

11 1

22 2

1 2

tan 40º 120 tan 40º 192.24120

tan 29º 120 tan 29º 66.5120

192.24 66.5 258.74

hh h pies

hh h pies

H h h pies pies pies

= = ⋅ =

= = ⋅ =

= + = + =

El segundo observador se encuentra a 258.74 pies de altura.

3.- Un bloque de 50 Kp de peso, esta sobre un

plano inclinado de 30º con la horizontal. Suponiendo

que el coeficiente de rozamiento es cero ¿Calcular

la fuerza que ejerce el bloque?

29º

120 pies

40º

h1

h2

H

30

30°

F

F ª

59


Viendo el triangulo rectángulo que se forma, concluimos que el ángulo es 30º, Cateto

opuesto es Fª, e hipotenusa F. Por tanto usando la relación trigonométrica F

Fsen

a

=º30

tenemos que º30senFF a ⋅=

2.3 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno

de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente

por el teorema de Pitágoras, un triángulo oblicuángulo se

resuelve por leyes de senos y de cosenos.

Ley de Senos:

SenC

c

SenB

b

SenA

a ==

Ley de los cosenos :

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

= + − ⋅ ⋅ ⋅

Ejemplos

1.- Resuelve el triángulo oblicuángulo cuyos datos son: a=15 m, b=22 m y c=17 m

2 2 2 2 2 222 17 15 548cos 0.72295

2 2 22 17 758

cos 0.72295 arccos0.72295 43º 42

b c aA

b c

A A A

+ − + −= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = °

2 2 2 2 2 215 17 22 30cos 0.05882

2 2 15 17 510

cos 0.05882 B arccos0.05882 B 86º37

a c bB

a c

B

+ − + −= = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = °

180º

180º 43º 42º 86º37

49º 41º

A B C

C

C

+ + =

= − −

=

60


xxCsc

xTanxSec

Senx

CosxxC

Cosx

SenxTanx

xCTanx

SecxCosx

xCSenx

xCosxSen

22

22

22

cot1

1

tan

tan

1

1sec

1

1

+=+=

=

=

=

=

=

=+

2.- Un poste está inclinado 11º con respecto a

la vertical del sol. El poste emite una sombra de

80 pies de largo sobre el piso cuando el ángulo

de elevación del sol es de 20º. ¿Cuál es la

longitud del poste?

2.4 IDENTIDADES

Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas. Estas

identidades son útiles para simplificar expresiones que tienen incluidas funciones trigonométricas

y para escribir una misma expresión de diferentes formas. Las siguientes identidades

trigonométricas básicas pueden ser usadas en los problemas de demostración de identidades:

ATan

ATanTanAATan

ASenSenAASen

2

3

3

31

33

4 33

−−=

−=

ATan

TanAATan

CosASenAASen

212

2

*22

−=

=

AC

ACAC

ASenACosACos

tan2

1tan2tan

22

22

−=

−=

80 80 20º

20º 81º 81º

27.7

La longitud del poste es 27.7 pies

L senL

sen sen sen

L

= =

=

11º

20º

80 pies

L

20º79º

81º

80

61


Ejemplos

1)

2)

UNIDAD 5 GEOMETRÍA ANALÍTICA


• Conocer y reconocer las cónicas

• Utilizar este conocimiento en la solución de problemas de la vida real


5.1.1 Sistemas de coordenada

rectangulares.-

5.1.2 Par ordenado.-

(Par ordenado )

5.1.3. Distancia entre dos puntos (P1 y P2)

( ) ( )2 2

2 1 2 11 2p pD x x y y= − + −

5.1.4 Punto medio

1 2 1 2( , ) 2 2

x x y yPM x y x y

+ += =

62


5.1.5 Punto de división

1 2 1 2

( , )

1 1

PD x y

x r x y r yx y

r r

+ ⋅ + ⋅= =+ +

5.1.6 Distancia de un Punto a una recta

D = 22 BA

CByAx cc

+

++

5.1.7 Inclinación y pendiente de una recta

La pendiente es el grado (medida) de inclinación de una recta, es la razón de cambio en “y”

con respecto al cambio en “x”. Se denota con la

letra m .

Dado dos puntos 12

12

xx

yy

recorrido

elevacionm

−−==

Dado el ángulo: tanm α=

Dado la ecuación de la recta A

mB

= −

5.1.8 Restas paralelas y perpendiculares

a) Condición de Paralelismo (rectas paralelas, entonces sus pendientes son iguales

debido al mismo grado de inclinación de las recta: 21 mm =

b) Condición de Perpendicularidad (rectas perpendiculares cuando el ángulo entre

ambas rectas es de 90°): 12

1m

m= −

5.2 LA RECTA

La recta es un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano,

una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha). Su

ecuación general es: 0Ax By C+ + =

5.2.1 Formas de la ecuación de una recta

a) Ecuación Pendiente-Ordenada al origen :

y mx b= + donde m : pendiente b : parámetro lineal (ordenada al origen)

b) Ecuación para dos puntos conocidos: 12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

−−

=−−

63


c) Ecuación para un punto y pendiente conocida: ( )11 xxmyy −⋅=−

d) Ecuación reducida o Abscisa – Ordenada : 1=+b

y

a

x FORMA CANONICA

Ejemplos

1.- Graficar y hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( 2, 3) (4,2)A y B− −

( )

2 ( 3) 5 se toma el punto (4,2)

4 ( 2) 6

5 5 102 4 2

6 6 3

5 10 5 42

6 3 6 3

m

y x y x

y x y x

− −= =− −

− = ⋅ − − = −

= − + = −

2.- Graficar y hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,3)P y t iene 2m = −

( )3 2 1

3 2 2

2 5

y x

y x

y x

− = − ⋅ −

− = − +

= − +

3.- Hallar la ecuación de la recta que sea

paralela a la recta 2 5x y− = y pase por el

punto ( 1, 2)P −

( )1

2

La m de 2 5 2 L1

Por condición de paralelismo, la otra recta tiene 2

2 2 ( 1) 2 4

L

L

x y es m

m

y x y x

− = =

=

− = ⋅ + ⇒ = +

x y

0 52 1

2 5y x= −2 4y x= +

64


5.3 LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia es el lugar geométrico de

los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo

y coplanario llamado centro en una cantidad constante

llamada radio.

Centro: ( , )C h k

Ecuación canónica: ( ) ( ) 222 rkyhx =−+−

Ecuación general: 022 =++++ FEyDxyx

Ejemplos

1.- Encuentra la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en (2, 3)C − y

t iene 4r = . Graf icar.

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 ( 3) 4

2 3 4 ecuacion canónca

4 4 6 9 16 0

4 6 3 0 ecuacion general

x y

x y

x x y y

x y x y

− + − − =

− + + =

− + + + + − =

+ − + − =

2. Dada la ecuación 202422 =−−+ yxyx . Hallar el centro y el radio

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

4 2 20 Se completa cuadrados

4 2 2 1 20 2 1

2 1 5 Ec. Canónica

(2,1) 5

x x y y

x x y y

x y

C r

− + + − + =

− + + − + = + +

− + − =

⇒ =

5.4 LA PARÁBOLA

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un

punto fi jo l lamado foco y de una recta fija llamada directriz.

65


Características geométricas.

Vértice: ( , )V h k

a: Distancia del foco al vértice

Foco. ( , )F h k a+

Lado recto. Segmento de recta de longitud 4a

que determina la parábola.

Directriz: Recta perpendicular al eje focal.

y k a= −

Eje focal. Recta que contiene el foco y es

perpendicular a la directriz.

Ecuación de la parábola:

Con el eje focal paralelo al eje “y”: 2 0x Cx Dy E+ + + =

Con el eje focal paralelo al eje “x”: 2 0y Cx Dy E+ + + =

a

a

2a2a

Eje Focal

Directriz

Lado Recto

Vértice

Foco

66


Ejemplos

1.- Encuentra la ecuación de la parábola cuyo vért ice está en ( 4, 2)V − y su

directr iz es 5y = . Exprese la ecuación en su forma general y graf ique.

2

2

( 4,2) ; Dz: 5 3

(4,2 3) (4, 1)

: 4 4 3 12 6 de cada lado

Ecuación canonica: ( 4) 12( 2)

Ecuación genral: 8 12 8 0

V y a

F F

LR a

x y

x x y

− = ⇒ =

− ⇒ −

= ⋅ = ⇒

+ = − −

+ + − =

2.- Dada la ecuación 2 8 6 4 0y y x+ − + = determine cuáles son las característ icas

de la f igura y graf ique.

( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

2 2

8 6 4 0

8 6 4 8 4 6 4 4

4 6 12 4 6 2

3( 2, 4) ;

2

3 1( 2 , 4) ( , 4)

2 2

3 7Dz: 2

2 2

y y x

y y x y y x

y x y x

V a

F F

x x

+ − + =

+ + = − + + = − +

+ = + + = +

− − =

− + − ⇒ − −

= − − ⇒ = −

5.5 ELIPSE

Una elipse es un lugar geométrico de un

punto que se mueve en un plano de

modo que la suma de sus distancias a

dos puntos fijos de ese plano es

siempre igual a una constante, mayor

que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se denominan

focos de la elipse.

F

V

Dz

67


Ecuación con el eje focal paralelo al eje “x” y cen tro ),( khC : ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−b

ky

a

hx

Ecuación con el eje focal paralelo al eje “y” y cen tro ),( khC : ( ) ( )

12

2

2

2

=−+−a

ky

b

hx

Para toda elipse, “a” es la longitud del semieje mayor, “b” es la longitud del semieje menor, “c”

es la distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligados por la relación 222 cba +=

También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es a

b22, y la

excentricidad que viene dada por la expresión 122

<−==a

ba

a

ce

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