Elaborado por: Ing. MSc. Leonardo Romero Quidel

REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

LEYES DE LOS EXPONENTES:

1.

2.

3. ( )

4. , 0

m n m n

nm mn

n n n

n n

n

a a a

a a

ab a b

a ab

b b

0

5. , 0

16. , 0

7. 1, 0

mm n

n

nn

aa a

a

a aa

a a

A manera de repaso:

RAÍCES

Índice de la raíz Operante

Cantidad subradical o

radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

En esta unidad encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con

las raíces y viceversa

Bueno tenemos 3 términos con los que trabajaremos los cuales son:

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.

Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-ésima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el

numero quedaría el número

Veamos unos ejemplos:

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que si se simplifica o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

5 5

3 3

4 4

2

48 .4

23 .3

59 .2

6 .1

Raíz de un producto:

nnn baba

nnn baba

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos

raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a

continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que puede

agrupar en una sola raíz

6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego

se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

4 64 74 3

333

2555 .4

842 .3

623 .2

123 .1

ppp

xxx

aa

Trabaja tu:

SOLUCIONES:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 62) 6a3) 4x4) 5p4

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a

nn

n

b

a

b

a

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto

24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33

a

aaa

a

aaa

Pero para poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:

Vamos te toca ahora

______6

600

______16

4096

______8

216

______60

240

4

3

3

Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!

SOLUCIONES:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

mnn m aa

Raíz de una Raíz:Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

aaa

abbaa b xxx

____729 .4

____81 .3

____1 .2

____64 .1

4

5 4 3

4

Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente:

SOLUCIONES:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo:

pn pn aa 1

yn yxn x aa: :

Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz:

Resolvamos estos ejercicios:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

• En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5• En el segundo se debe amplificar para igualar

denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces.

_____

_____4

_____5

_____7

3 4

15 5

2 3

6 2

p

SOLUCIONES:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

3

3

3

.4

4 .3

55 .2

7 .1

pp

Factor de una raíz como factor:

* En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice.

Se da de la siguiente forma:n nn abba

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2

Vamos resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

Se puede ver dos posibilidades:• simplificar una raíz, dejándola mas simple• O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con

raíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los

denominadores.

2

23

2

23

22

23

22

23

2

3

2

23

4

23

22

23

2

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 23

3 2

3

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

3

25

25

25

2525

251

25

122

3

25

25

25

2525

251

25

122

Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

2233

2233

babababa

babababa

5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple:

4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

Luego de resolver el trinomio, resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invito a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3

SOLUCIONES

9

81 .3

52- .2

2 .1

3

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2 1 2 7

2 2

x

/ - 2

2x - 1 = 5 / ()

2x - 1 5

2x - 1 = 25 / +1

2x = 26 / : 2

x = 13

2

8 = x

3 : / 24 =3x

3 - / 27 = 3 +3x

() / 33+3x

6 - / 9 3+3x + 6

() / 3 336

33

3

23

x

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

PRACTIQUEMOS UN POCO

53.2 x

31.1 xx

5)3(.3 xxx

234.4 2 xx

SOLUCIONES:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios

anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5 .1 21

x

Cotrol: veamos si aprendiste

3

1

3

1

0,027 + 64

3

1

2

1

8 + 4

277 + 642 3

6 36 23 4 + 8 + 8

487a b

a 24n n nncb 5

3

9

16x

y

3

5

16

18a

c

n nb43na

64 15 6 a

n n n2 2

3

01+3x - 5

3298x 2 x

21-x-3+3

2

3

2

2x

x

35

3

25

2

27

142-1

EJERCICIOS RESUELTOS

232 32 33 2 3 23

3 3 3 3 13

8 8 2 2 2 4

64 4 4 4 4

Ejemplo 1 3 64

1 12 11 25 3 5 3 5 2 3 2 2 1 2 1 1 22 22 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3

1 222 3 2 3 12 6

Ejemplo 2 864

1 3 1 31 31 3 1 3 1 33 1 1 1z z z

1 91 9

11 z

z

Ejemplo 3 3 1 3z

EJERCICIOS RESUELTOS

1 32 23 3 6 4 3 3 6 4

3 2 23 4 3 4

2 10 2 10 2 10 2 10

2 10 2 10

1 312 101 36 18 2 6

6 8

2 102 10 2 10 0.000004

2 10

1 32 3 3 33 33 24 24 2 3 2 3 2 3

1 31 3 66 1 3 2 2

1 33 1 33

88 8 2

27 27 327

aa a a

b b bb

xx x x

y y yyEjemplo 4

6

33

8

27

a

b

x

y

Ejemplo 5

2

32

0.008 0.0064

80000

Ejemplo 6 3 576

Ejemplo 7 Si 1 ,2a 2 ,2 2a 3 ,2 2 2a 4 ,2 2 2 2a

exprese como potencia fraccionaria de 2 cada uno de los términos de la sucesión anterior, y obtenga en la misma forma el término an de la sucesión, en donde n es un número entero positivo.

Solución Nótese que:

2 1

1 2 21 2 2 ,a

2

2 2

2 11 21 2 3 2 2

2 2 2 2 2 2 2a

3

3 3

2 11 21 21 2 7 2 23 2 2 2 2 2 2 2 2a

4

4 4

1 2 15 2 11 21 21 2 2 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a

Entonces:

2 1

22

n

n

na