Universidad Andres BelloDepartamento de MatematicasFacultad de Cs.ExactasFMMP 002 - Fundamentos de Matematicas

GUIA LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Construyendo una tabla, demuestre el valor de los siguientes lımites

(a) limx→0

sinx

x= 1

(b) limx→1

x2 − 1

x− 1= 2

(c) limx→0

1− cosx

x2=

1

2

(d) limx→2

3x + 1 = 7

(e) limx→−1

x2 + 1

x= −2

2. Calcular los siguientes lımites

(a) limx→3

x2 − 9

x2 − x− 6. Sol: 6

5

(b) limx→0

√4 + x− 2

x. Sol:14

(c) limx→a

√x−√a

x− a. Sol: 1

2√a

(d) limh→0

√x + h−

√x

h. Sol: 1

2√x

(e) limx→7

2−√x− 3

x2 − 49. Sol:− 1

56

(f) limx→4

3−√

5 + x

1−√

5− x. Sol:−1

3

3. Analice si los siguientes lımites existen, dada la funcion

f(x) =

3x2 − 2

x− 1si x < −2

−5x

3si − 2 ≤ x ≤ 3

x + 1 si x > 3

(a) limx→−3

f(x). Sol:∃

(b) limx→−2

f(x). Sol: 6 ∃

(c) limx→3

f(x) . Sol:6 ∃

4. Determine si existe limx→1

f(x), donde

f(x) =

2−√x + 3

x− 1si x > 1

2x2 − 3

x2 + 3si x < 1

Sol: Existe y vale −14

5. Determine los valores de a y b de modo que los lımites limx→−2

f(x) y limx→2

f(x) existan, donde f(x) viene

dada por

f(x) =

x + 2a si x < −23ax + b si − 2 < x < 23x− 2b si x > 2

Sol:a = 25 ; b = 6

5

6. Determine si la siguiente funcion es continua en x = 0

f(x) =

x + 1 si x < 0

0 si x = 01−√x

1− xsi x > 0

Sol: Es discontinua.

7. Determine los valores de a y b de modo que la funcion

f(x) =

a(x3 − 1)

x + 1+ b si x < 1

2ax− 3 si 1 ≤ x ≤ 2b(x2 + 3x− 10)

x− 2si x > 2

sea continua en x = 1 y x = 2.

Sol: a = 95 ; b = 3

5 .

8. Determine los valores de b y c, de modo que

f(x) =

{x + 1 si 1 < x < 3x2 + bx + c si |x− 2| ≥ 1

sea continua en todo los reales.

Sol: b = −72 ; c = 3

5 .

9. Determine el valor de a ∈ R, de modo que la funcion

f(x) =

{x + 1 si x > 2−x2 + a si x ≤ 2

sea continua en todo R.

Sol: a = 7.

10. Sean x1 < x2 las raıces de la ecuacion x2−2ax+ b2 = 0, con a, b ∈ R+, y a > b. Calcular los siguienteslımites

(a) limb→a

x2 − x1√a− b

. Sol:√

8a

(b) limb→a

ax2 − b2

ax1 − b2. Sol: -1.

PROBLEMAS DE SOLEMNES.

11. Calcular

limx→0

√x2 + 16− 4

x2

12. Calcular el siguiente lımite:

limx→2

√7 + x− 3

x2 − 4

Sol:18

13. ¿Que valor debe tomar la constante a de modo que la funcion

f(x) =

x2 + x− 2

x− 1si x 6= 1

a si x = 1

sea discontinua en x = 1?

Sol: a 6= −3

14. Dada la funcion:

f(x) =

kx3 + 8k

3x + 6si x < −2

2− 3kx si x ≥ −2

Determine el valor de k ∈ R, de modo que la funcion sea continua en x = −2.

Sol: k = −1

15. Sea

f(x) =

x3 − 8

2− xsi x < 2

2a + 4 si x = 23bx + 6 si x > 2

Determinar el valor de a y b para que la funcion sea continua en x = 2.

Sol: a = −8; b = −3.

16. Sea

f(x) =

2x + 3a si x < −3x2 − 9

x− 3si − 3 ≤ x < 3

4bx− 3 si x ≥ 3

Determine el valor de a y b para que f(x) sea continua en x = −6 y x = 3.

Sol: a ∈ R; b = 34 .

17. Calcular los siguientes lımites

(a) limx→2

x2 − 4x + 4

(x2 − 4)(4x− 8). Sol: 1

16 .

(b) limx→−2

√x + 6− 2

x + 2. Sol: 1

4 .

(c) limx→1

1− x√5− x2 − 2

. Sol: 2.

(d) limx→−2

x3 + 4x2 + 4x

x2 − x− 6. Sol 0.

(e) limx→1

x4 − 1

2x2 − 3x + 1. Sol 4.

(f) limx→0

√1 + x2 − 1

x. Sol 0.

18. Analice la continuidad de la siguiente funcion

f(x) =

x si x < 1

−x2 + 4x− 2 si 1 ≤ x < 34− x si x ≥ 3

Determine ademas, en que puntos la grafica de f corta el eje OX.

Sol: La funcion es continua en todos los reales y corta al eje OX en x = 0 y x = 4.

19. Dada la funcion

g(x) =

x− 3

1−√

1− (x− 3)si x 6= 3

a si x = 3

Determinar el valor de a de modo que g(x) sea continua en x = 3.

Sol: a = 2.

20. (a) Calcular limx→0

√2− x−

√2

2x

(b) Encuentre el valor de c ∈ R, de modo que la funcion

f(x) =

{x2 + 2 x ≤ 0x + c x > 0

sea continua en todo R

21. (a) Calcular el siguiente lımite

limx→−2

x3 + 3x2 + 2x

x2 − x− 6

(b) Analizar la continuidad de la siguiente funcion en R

f(x) =

x2

2− 1

3x ≤ 0

2x

3− 2

30 < x ≤ 2

√x2 + 5− 3

x− 2x > 2

22. Dada la funcion

f(x) =

x2 − 3x + 2

x− 2si x < 2

5x− 7 si x ≥ 2

Analice la existencia de limx→2

f(x).

23. Considere las funciones f(x) = x2 − 2x− 3 y g(x) = x + 1

(a) Calcular limx→1

2f(x) + g(x)

f(x) · g(x)

(b) Determine limx→3

√g(x)− 2

x− 3

(c) Analizar la continuidad de la funcion

h(x) =

f(x)

g(x)x < −1

8x + 4 x ≥ −1