guÍa geometrÍa (1º, 2º, 3_, 4_ semana)

7/24/2019 GUA GEOMETRA (1, 2, 3_, 4_ SEMANA)

1/15

1

JPJE

n

JO

n 11

SEGMENTOS

SEGMENTO DE RECTA

Definicin: Dados dos puntos diferentes A y B deuna misma recta se denomina segmento AB,

denotado como AB , al conjunto de los puntos: A,B y todos los puntos que estn comprendidos entreA y BEn la figura adjunta A y B son los extremos delsegmento AB pertenecientes al segmento

La longitud de AB es una cantidad positiva queexpresa la distancia entre A y B

A B

Notacin: AB = segmento AB

OPERACIONES CON SEGMENTOS:Los segmentos se pueden operar bsicamente anivel de Adicin y Sustraccin.

Adicin: Dados los segmentos AB y BC ,tal que B est entre A y C , se establece la adicin

de estos segmentos , denotada por AB BC ,

al segmento AC , llamado segmento suma que seconstituye como el conjunto de puntos comprendidosentre A y C

AC = AB BC

Grficamente:

m( AC ) = a + b

Diferencia: El segmento mayor y el segmentomenor origina otro segmento menor

ABACBC o tambin

m( BC ) = ( a + b ) - a

CASOS PARTICULARES

1.- Si en una recta se tienen los puntosconsecutivos A ,B ,C y D el segmento EF que

une los puntos medios de CDyAB , sepuede expresar de la siguiente manera:

2.- Si en una recta se tienen 4 puntosconsecutivos A, B, C y D; y adems "C" es

punto medio del segmento BD , entonces secumple la siguiente igualdad:

DIVISIN ARMONICA

Sean A, B, C, y D puntos colneales y consecutivosconstituyen una Cuaterna Armnica si se cumple :

RELACIN DE DESCARTES:La relacin de Descartes se establece bajo lasmismas condiciones de la divisin armnica y dedonde se deduce la siguiente relacin:

AC2

AD1

AB1

A

PROPIEDADES :

1. Si :

Y adems :

se cumple :

2. Si :

Y adems:

se cumple :

A B C

ba

3ro

4to

2do

1ro

CD

AD

BC

AB

A2do 3ro

4to

4

DEADBC

B

C

D

1ro

)2

BC2

AC(22

AD2

AB

A B C

ba

2

BDACx

x

A E B C DF

PJ

OP

JPn

EO

JE n R

OE PJ

OP

JP

EO

JEn n R

JP

n

JEJO

n

1


2/15

2

TEOREMA DE NEWTON:Siendo C y D conjugados armnicos de A y B, yadems O es punto medio de AB , entonces secumple:

OD.OCAO2

DIVISIN DE UN SEGMENTO EN MEDIA YEXTREMA RAZN:Si el punto O se encuentra entre los puntos A y B,

del modo que OBAO ( AO es seccin aurea del

AB).

Si se cumple la siguiente relacin: OBABAO .2

,

entonces :

Prctica De Clase

01. Sobre una lnea recta se ubican los puntosconsecutivos U, N, I (UN > NI), si: UN = 2.

Calcular el segmento que tiene por extremoslos puntos medios de NI y UI.a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) N.A

02. Sobre una lnea recta se trazan los puntosconsecutivos A, B, C y D. Si: CD.AB = 2BC.AD

y4

1=

AD

1+

AB

2. Calcular AC.

a) 8 b) 9 c) 12 d) 16 e) 14

03. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C, D, E, F, G y H. Calcular

la longitud del segmento AH si: AD + BE + CF

+ DG + EH = 31, AH3

2=BG y AH

5

2=CF

a) 7 b) 8 c) 12 d) 15 e) 17

04. Sobre una lnea se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D, E, F, G y H, donde:

2

AH=CG ; AC + AB + AE + CE + BD + EF + EH

+ DH + FH + CE + EG =56m. Calcular: AHa) 16m b) 28m c) 50m d) 30m e) 25m

05. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B y C de manera que:AB BC = 12. Hallar la longitud que tiene porextremos el punto B y el punto medio del

segmento que se forma al unir los puntosmedios de AB y BC.a) 1m b) 2m c) 3m d) 6m e) 4m

06. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D, de tal manera que:

1=BC.AD

AB.CD, BC.CD = 56, CDBC = 14.

Hallar AC.a) 4 b) 6 c) 8 d) 12 e) 16

07. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D, sabiendo que secumple la siguiente relacin: AB.BD = BC.ADAdems: BD = a, BC = b. Hallar la longitud del

segmento AB . a > b > 0.

a)b)(a

ab

+

b)b)(a

ab

-

c) ab

d)ab

ba- e) ab

08. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D, con la siguiente

condicin: 1=BD

CD+

AC

AB

Calcular x. Si:n

3x

=BD

BC+

AC

BC; n > 0

a) n b) n c) 2n d) 3 n e) n/2

09. Sobre una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, B, C y D con la siguiente

condicin:n

m

CD

AC=

Hallar la longitud del segmento BD en funcin

de las longitudes de AC y BC .

a) BC+n-m

mAC b)

m

BCnAC m+ c)

mn

BCAC +

d) AC+n-m

mBC e)

mn

BCAC.

10. En una lnea recta se consideran los puntosconsecutivos A, M, O, R. Con la siguiente conla siguiente condicin:

AM = 3.OR OM2= AM.OR

Adems:n

1=

MR

1-

OR

1

Calcular: OA, n > 0.a) n b) 2n c) 3n d) 4n e) 5n

11. Sobre una lnea recta se consideran los puntoconsecutivos A, B, C, D y E, con la siguiente

condicin: AB = DE y AD CE = n. Calcular lalongitud del segmento que une los puntosmedios de BD y CD.

a) n b) 2n c) n d) 3n e) n/2

12. En una recta se toman los puntos consecutivos

A, B, C y D. Si: BC = AB.CD y18

1=

BD

1+

AC

1.

Hallar: BC.a) 18 b) 9 c) 27 d) 24 e) 15

13. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D y E de modo que C

es punto medio de AE. Si: 6=DE

1+

AD

1 y

DE

CD

BD

AB= . Hallar BD.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

CO B

X X

DA

O BA

ABAO .

2

15


3/15

3

14. Sobre una recta se toman los puntos F, A y B,si O es el punto medio de AB, cul de lassiguientes relaciones es correcta?

a) FO2=FB

3FA + AB2 b) FO2= FA.FB -

4

2AB

c) FO2

= FA.FB + 2

2AB

d) FO2

= FA.FB - 2

2AB

e) FO2= FA2+ FB2

15. En una semirecta OX se toman los puntos A yB tal que OA = 3 y OB = 5. En la semirecta BXse toma un punto M, calcular OM para que secumpla: 4(OA)AM2(BM) = 4a) 8 b) 6,5 c) 7 d) 9 e) 22

16. Sobre una lnea recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C, D luego se toman los

puntos medios M de AB y N de CD , tal queMN = k(AD + BC). Hallar el valor de k.a) 0,25 b) 0,5 c) 1 d) 1,5 e) 2

PRACTICA DOMICILIARIA:

01. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos: A1, A2, A3,......, An. Hallar la

longitud nA1A , sabiendo que:

A1A3+ A2A4+ A3A5+...... + An-2An= 420

A2An-1=5

2A1An

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500

02. Sobre una recta se toman los puntosconsecutivos A, B, C y D, de modo que: AB.CD

= x.BC.AD. Si adems se sabe que:

AC

17-5x=

AD

1+

AB

x. Calcular el valor numrico de

x.a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5

03. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos A, B, C, M y D, se sabe que:

AB = 3 , BC = 5 y CD = 7 . Calcular la

longitud del segmento CM sabiendo que:

ABCD

MD-CD=

BD

1+

AC

1

+

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

04. Los puntos A, B, P, C se encuentran sobre unalnea recta de modo que P es punto medio de

BC , adems AB 2 + AC 2 = 46. Hallar:AP2+ BP2.a) 21 b) 24 c) 23 d) 12 e) 11,5

05. Los puntos P, Q y R se encuentran sobre unalnea recta, de modo que: PQ.QR = x.PR 2.

Hallar:PQ

QR+

QR

PQ

a)

x

2x1+ b)

x

x-1 c)

x

3x1+

d)x

2x-1 e)

x

3x-1

06. U, N, I son puntos colineales y consecutivos, tal

que: UNNI = 32, M biseca UN ; R biseca NI

y Q biseca MR . Hallar QN.a) 32 b) 16 c) 18 d) 4 e) 8

07. Sobre una recta XX se toman los puntos M, Ay R de modo que se cumple queMA 2 = MR.AR, calcular la seccin urea del

segmento MA , si: MR = 5 + 1.a) 3 b) 2 c) 1 d) 1/2 e) 1/5

08. A un segmento de longitud 30u, se le dan doscortes, de modo que las longitudes de lossegmentos resultantes estn en progresingeomtrica. Si el segmento central mide comola diferencia de los otros segmentos, hallar sulongitud.

a) 5 ( 5 + 1) b)2

15( 5 - 1)

c)215 ( 5 + 1) d)

415 ( 5 - 1)

e) 5 ( 5 - 1)

09. Se tiene los puntos consecutivos P, M, Q, R, Ny S de tal forma que M es punto medio de

PQ , N es punto medio de RS , R es punto

medio de MS y PR 2 QR 2 = 2PQ. Hallar:RN-2.a) 2 b) 4 c) 1/2 d) 1/4 e) 6

10. Encuentre la mnima longitud entera del

segmento AD siendo x Z+; en la

figura indicada.

a) 18 b) 20 c) 21 d) 24 e) 16

11. Sobre una recta se ubican los puntosconsecutivos G, E, O, M y T, tal que GE = 2EO,MT = 3OM; GT = 36 y O es punto medio de GT.Hallar OE + 2MT.a) 36 b) 33m c) 30m d) 12m e) 13m

12. En una recta se ubica los puntos consecutivos

A, B, C, D y E de modo que5

CE=

3

BD

2

AC= ,

adems la suma de las longitudes delsegmento que une los puntos medios de AC y

BC con el segmento que une los puntos

medios de CE y CD es k. Calcule:AE

k.

a)7

3 b)

3

2

c)

5

2 d)

5

3

e)

7

2

13. En una recta se ubican los puntos consecutivosA, B, C, D, E, F, G,..., y as sucesivamente; tal

que: AB =3

1, BC =

15

1, CD =

35

1, DE =

63

1,

EF =99

1,...

Calcule la suma lmite de las longitudes de lossegmentos dados.a) 1/3 b) 1/2 c) 1/10 d) 1/5 e) 1

12 - 3x x + 57


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4

NGULOS:

DEFINICIN:El ngulo es el espacio formado por dos rayostrazados desde un mismo punto llamado vrtice.Tambin se llama ngulo a la abertura que formados rayos que tiene el mismo origen.

Notacin:

AOB

AOB

ELEMENTOS:

1. Lados : Son los rayos:

OA ,

OB 2. Vrtice : Es el punto comn a los dos rayos :

O 3. Abertura Medida : Es

CONGRUENCIA DE NGULOS:Dos ngulos son congruentes cuando tiene igualmedida

BmAmBA

Se lee El ngulo Aes congruente al ngulo B si solo

si la medida del ngulo A es igual a la medida delngulo B

BISECTRIZ DE UN NGULO:Es el rayo que partiendo del vrtice divide al nguloen dos ngulos congruentes.

CLASIFICACIN DE LOS NGULOS:Segn su Medida:

1. ngulo Nulo o Perigono:Es aquel ngulo cuya medida es 0O.

O B

AOB = 0

2. ngulo Convexo:Es aquel ngulo cuya medida es mayor de 0pero menor de 180.

0 < < 180

A su vez puede ser:ngulo Agudo: Es aquel ngulo cuya medida es

mayor que 0 pero menor que 90.

0 < < 90

ngulo Recto : Es aquel ngulo cuya medida es

90, es:

AOB = 90

O

ngulo Obtuso:Es aquel ngulo cuya medida esmenor de 180, pero mayor de 90.

90 < < 180

3.- ngulo Llano: Es aquel ngulo cuya medidaes 180.

A O B

AOB = 180

4.- ngulo Cncavo: Es aquel ngulo cuyamedida es mayor de 180 pero menor de 360.

180 < < 360

5.- ngulo de una Vuelta: Es aquel ngulo cuyamedida es 360.

II. Segn su Posicin:1. ngulos Consecutivos:

Son varios ngulos que tienen el mismo vrticey un lado comn dos a dos, es decir uno acontinuacin del otro.

A

B

O

A

40o

B

40o

A

X

B

O

OX = BisectrizAOX = XOB


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5

2

4

3

6

5

7

8

1

2. ngulos Adyacentes:Son dos ngulos que tienen un mismo vrticey un lado comn. Estos estn situados adiferentes sentidos del lado comn.

A

B 0 C

3. ngulos Opuestos por el Vrtice:Son dos ngulos originados al trazar dos rectassecantes, dichos ngulos son congruentes.

III. Segn sus Caractersticas:1.- ngulos Complementarios: Los ngulos soncomplementarios cuando la suma de susmedidas es 90.

+ = 90

Propiedad: Si el Complemento es par : es el ngulo

Cx = par.......... = x Si el complemento es impar : es 90 O menos el

nguloCx = Impar ....... = 90 Ox

El complemento de un ngulo "" es:

90 -

2. ngulos Suplementarios: Los ngulos sonsuplementarios cuando la suma de sus medidases 180.

+ = 180

Propiedad: Si el Suplemento es par : es el ngulo

Sx = par .......... = x Si el Suplemento es impar : es 180O menos

el ngulo Sx = Impar ....... = 180 Ox

NGULOS FORMADOS POR DOS RECTASPARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Si las rectas L1y L2son paralelas y estn cortadaspor una secante se determinan ocho ngulos.

L1

L2

I. ngulos Internos* Alternos Internos * Conjugados Internos

63 o

mm 18064

54 o

mm 18053

II. ngulos Externos* Alternos Externos * Conjugados Externos

72 o

mm 18082

81 o

mm 18071

III. Correspondientes

51 ; 62

PROPIEDADES:

1.Si: L1 // L2

2. Si: L1// L2

C

O1

BA

O D

C

O1

B

A

x = +

x + y + z = + + +


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6

PRCTICA DE CLASE

01. El complemento de la diferencia que existe entreel suplemento y el complemento de x es igual alduplo del complemento de x. Calcular elcomplemento de x.

a) 45 b) 0 c) 30 d) 90 e) 60

02.Alrededor de un punto O se trazan los rayosOA, OB, OC y OD formndose ngulosconsecutivos AOB, BOC, COD y DOC. Hallar elvalor del ngulo COD, sabiendo que: mBOC =

3

AOBm =

4

CODm y mDOA =

3

4m

AOB.a) 118 b) 119 c) 120 d) 121 e) N.A.

03. Se tiene 3 ngulos consecutivos AOB, BOC yCOD. Se traza la bisectriz OP del ngulo BOC.Hallar el ngulo AOB, sabiendo que el ngulo

AOP = 60, m

POD - m

COD = 20.a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45

04. El complemento de x, ms el suplemento delcomplemento de x ms el complemento del duplode x, mas el suplemento del duplo de x, mas elsuplemento del complemento del duplo de x esigual a 500. Calcular el suplemento delcomplemento del complemento de x.a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 80

05. Se tienen los ngulos adyacentes AOB y BOC,

luego se trazan los rayos OX y OY con la

siguiente condicin: mAOX =

3

AOBm; m

COY =3

BOCm. Calcular la medida del ngulo

que forman las bisectrices de los ngulos AOY yCOX, sabiendo que mAOC = 100

a) 20 b) 30 c) 616,

d) 18 e) 16

06. Se tienen los ngulos consecutivos AOB y BOCdonde mBOC = 28. Calcular la medida delngulo determinado por la paralela trazada desde

un punto del rayo OC a la bisectriz del AOBcon la bisectriz del AOC.a) 28 b) 9 c) 18 d) 14 e) 20

07. Se tiene los ngulos consecutivos AOB, BOC yCOD, tal que mAOD = 148 y mBOC = 36.Calcular la medida del ngulo formado por las

bisectrices de los ngulos BOA y DOC .a) 108 b) 36 c) 92 d) 56 e) 74

08. Calcular mBOC. Si: mAOB = 2(mCOD) y2(mAOB) + mDOE = 150.

a) 25 b) 75 c) 60 d) 65 e) 50

09. Se tiene los ngulos consecutivos QOP , ROQ

y SOR , de modo que el rayo OR es bisectrizdel ngulo QOS. Calcular mPOR, si: mPOQ + mPOS = 140.a) 70 b) 100 c) 135 d) 150 e) 110

10. Se tiene los ngulos consecutivos QOP , ROQ y SOR , de tal manera que: mPOR = 32 + ky mQOS = 88 - k. Calcular mQOR, si elngulo POS es recto.

a) 22 + k b) 30 c) 68 - k d) 16 +2

k e) 40

11. En la figura mostrada, hallar de tal maneraque sea un ngulo mximo.

[ ]4)+x(x-116=

a) 60 b) 58 c) 75 d) 62 e) 56

12. Del grfico, calcular el valor de , cuando xtoma su mnimo valor entero par. Si: 2L//1L .

a) 34 b) 32 c) 28 d) 29 e) 30

13. Si: 2L//1L , calcular: u + n + c + p, en funcinde .

a) 180 + 3 b) 180 + c) 90 + d) 180 - e) 180 - 2

14. El doble del complemento de un nguloaumentado en el triple del suplemento del doblede dicho ngulo nos da 480. Luego elsuplemento de dicho ngulo es:a) 30 b) 60 c) 120 d) 150 e) 135

15. Del grfico, calcular el valor de la raznaritmtica entre x e y, cuando x toma sumnimo valor entero.

A O E

B

C

D

x

x -

x

L1

L2

u n

c

p

L1

L2

5xx - y

2y + x


7/15

7

a) 8 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

16. Si: 2L//1L y m//n , calcular x.

a) 20 b) 30 c) 33 d) 35 e) 40

17. En el grfico, calcular el mximo valor entero dey.

a) 50 b) 35 c) 41 d) 40 e) 52

18. Si C indica complemento y S suplemento,calcule: y.

34)2S(100+)3C(30

=y

a) 81 b) 25 c) 144 d) 100 e) 121

19. Si: 2L//1L , calcular x.

a) 143 b) 127 c) 150 d) 135 e) 165

20. Si: 2L//1L , calcular x. Si: + = 220.

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

PRCTICA DOMICILIARIA:

01. Calcular x si: 3L2L//1L // y a-b =36

a) 54 b) 72 c) 36 d) 63 e) 52

02. De la figura, calcular el mximo valor enteroimpar de x, si es la medida de un nguloagudo.

a) 100 b) 120 c) 130 d) 133 e) 145

03. Las medidas de dos ngulos adyacentes sediferencian en a. Calcule la medida del nguloque forman el lado comn a dichos ngulos conla bisectriz del ngulo que forman las bisectricesde estos ngulos.a) 0,33a b) 0,5a c) ad) 0,25a e) 0,4a

04. En la figura: - = 78 y 2L//1L , calcular x.

a) 76 b) 78 c) 70d) 90 e) 82

x 2y 3y + x

L1

L2

x

3

2

L1

L2

x

3

3

x

x

x

L1

L2

L1

L2

L3

a

b

x

n

m

L1

L2

4x54

39x

2


8/15

8

05. En la figura, calcular el valor de x, si: 2L//1L .

a) 10 b) 12 c) 18d) 20 e) 15

06. La medida de un ngulo es igual a la semisumade su suplemento y de su complemento, lamedida de otro ngulo es igual a lasemidiferencia de su suplemento y de sucomplemento. Hallar la razn de dichosngulos.

a) 1/2 b) 3/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 1/4

07. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC yCOD. Si mAOB = 3(m COD), mAOC =120 y m BOD = 100, calcule la medida delngulo formado por las bisectrices de losngulos BOC y AOD.

a) 6 b) 5 c) 8 d) 10 e) 12

08. Los ngulos consecutivos EOD, DOC, COB yBOA, si m EOA = 90 y las medidas de losngulos AOB, BOC, COD y DOE estn enprogresin geomtrica de razn 2. Calcule elcomplemento del ngulo determinado por lasbisectrices de los ngulos BOC y DOE.a) 24 b) 56 c) 37 d) 26 e) 36

09. Se tienen los ngulos consecutivos AOB, BOC yCOD de modo que: (mAOB)(m BOD) + (mAOC)(m COD) = (mAOD)(m BOC) y(mAOB)(m COD) = 2. Calcule la m BOC.

a) 2 b) 22 c) 6

d) 23 e) 2

10. Segn el grfico,2L//

1L . Calcule x

a) 40

b) 50

c) 60

d) 70

e) 80

11. Si: L1// L2. Calcular a + b + c, siendo = 60.

a) 40b) 60c) 80

d) 100e) 120

12. Si: L1// L2. Hallar x.

a) 68

b) 90

c) 100

d) 104

e) 108

13. En la figura si L1 // L2el ngulo PQS es agudo,hallar el menor valor entero de la medida delngulo PFM.

a) 44b) 46c) 45d) 50e) 30

L1

L2

3 3

2

90 - 3

2x 4x

1L

2L

2

4

40 +

x

2

x

L2

L1

23

36

a

bc

22L2

L1

mmP

nn

M L1

L2

F

S Q


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9

TRINGULOS: PARTE I

Propiedad 1.Suma de las medidas de los ngulosinteriores.

Se cumple:+ + = 180

Propiedad 2. Clculo de la medida de un nguloexterior.

Se cumple:z = +

Propiedad 3. Suma de medidas de ngulosexteriores considerando uno por cada vrtice.

Se cumple:x + y + z = 360

Propiedad 4.De correspondencia.

Si: > > Se cumple:a > b > c

Propiedad 5.Relacin de existencia del tringulo.

Si: a > b > cSe cumple: bc < a < b + c

ac < b < a + cab < c < a + b

Observacin:Para que el tringulo exista es suficiente que severifique slo una de las relaciones anteriores.

PROPIEDADES ADICIONALES

1.Se cumple:+ +

2.Se cumple:

+ = m +n

3.

Se cumple:

x = 2

nm

4.

Se cumple:+ = m +n

5.Se cumple:m + n = 180 +

CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS

1. Segn sus lados

Tringulo Escaleno: (a b c)

Se cumple:

Tringulo Issceles: (a = c b)

Se cumple:= < 90

AC : Base

Tringulo Equiltero: (a = b = c)

Se cumple:= = =60

2. Segn sus ngulos

Tringulos Oblicungulos

- Tringulo Acutngulo

z

x

y

z

a

bc

a

bc

x

m

n

m

n

m n

A

B

C

a

b

c

A

B

C

a

b

c

A C

a

b

c

B

m

x

n


10/15

10

< 90< 90< 90

- Tringulo Obtusngulo

> 90< 90< 90

- Tringulo Rectngulo

BCyAB :catetos

AC : hipotenusa

PRCTICA DOMICILIARIA

01. En la figura mostrada, hallar el valor de x.

A) 20 B) 15 C) 35D) 10 E) 25

02. Los lados de un tringulo issceles miden 5u y12u. halle el permetro del tringulo.A) 22u B) 25u C) 24uD) 29u E) 30u

03. En la figura mostrada, calcular x.

A) 1,5 B) 2 C) 3,5D) 3 E) 2,5

04. En un ABC , AB = 7u y BC = 9u. se traza la

medianaBM . Halle el mayor valor entero deBM (en u)A) 6 B) 7 C) 8D) 5 E) 4

05. En la figura mostrada, calcular X.

A) 120 B) 150 C) 144D) 135 E) 105

06. En un tringulo ABC, se trazan las cevianas BE

y BD , donde AD"E" y

XABEm2

DBCm

3

EBDm,

AB = AD y BC = EC. Hallar XA) 10 B) 12 C) 15

D) 18 E) 20

07. En un tringulo rectngulo ABD, se traza la

ceviana BC que corta a la prolongacin de AD

en C, tal que mDBC = 2mDAB; B =90 y AD= 2BC. Calcular mDAB.

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

08. Se tiene un tringulo ABC, por el punto C se trazaCH perpendicular a AB y la bisectriz exterior delvrtice C. Hallar el ngulo que forma laperpendicular y la bisectriz, si se sabe que: A -

B = 26.A) 110 B) 123 C) 103 D) 75 E) 96

09. En un tringulo ABC, mA = 108, mC = 24, AB= 9, si la mediatriz de AC interseca a BC en P.Calcular PC.

A) 4,5 B) 6 C) 18 D) 9 E) 12

10. En el lado BC de un tringulo ABC se toma elpunto medio M. Hallar MN si: MNA = BAN y N AC y AB = 12.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

11. En un tringulo rectngulo ABC, recto en B (AB

guÍa geometrÍa (1º, 2º, 3_, 4_ semana)

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