guia ets - teoría del control 3

Instituto Politcnico Nacional Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica 1/9 Diciembre, 2009 Ingeniera en Control y Automatizacin

INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica Ingeniera en Control y Automatizacin

TEORA DEL CONTROL III Gua de Estudio para ETS

Web Page www.geocities.com/ipn_filemanager/ Profesor Moiss Antonio Fonseca Beltrn [email protected] Fecha de Aplicacin Mircoles 13 de enero de 2010 Lugar Saln 3208 Horario De 08:00 a 10:00 horas Modalidad Individual a libro abierto Revisin de Examen Viernes 15 de enero de 2010 de 09:00 a 11:00 horas Anexo del Edificio 5, Sala 2 Asesoras Lunes a Viernes de 10:00 a 15:30 horas Anexo del Edificio 5, Sala 2

Temario por evaluar

1. Representacin en Variable de Estado 2. Formas Cannicas 3. Matriz de Transferencia 4. Controlabilidad y Observabilidad 5. Respuesta en el tiempo 6. Asignacin de Dinmica 7. Observadores 8. Propiedades de Sistemas Lineales

Teora del Control III Gua de Estudio para ETS


PARTE I. REPRESENTACIN EN VARIABLE DE ESTADO

1. Hallar una representacin en variable de estado para el siguiente sistema :


3. Hallar una representacin en variable de estado para el siguiente sistema:


+

u1(t) y1(t)

+ +

u2(t) y2(t) +

l1

+-

u(t) y(t) k1 +

-

l2

k2 +-

l3

k3 +

f1 f2 f3

l

+ -

u(t) y(t)k

+

f

+

+

u1(t) y1(t) K1 +

+ K2 y2(t) + u2(t)



PARTE II. FORMAS CANNICAS

5. Hallar para el sistema del ejercicio 1, las formas cannicas: a) Controlador (FCC), b) Observador (FCO), c) Controlabilidad (FCCo), d) Observabilidad (FCOb), y e) Diagonal, cuando k = 2, f = 3 y l = 2

Nota: Cada forma cannica incluye la realizacin (A,B,C) y el diagrama de computadora analgica correspondientes.

6. Hallar para el sistema del ejercicio 2, las formas cannicas: a) Controlador (FCC), b) Observador (FCO), c) Controlabilidad (FCCo), d) Observabilidad (FCOb), y e) Diagonal, cuando k = [2 3 1]T, f = [3 3 1]T y l = [1 2 3]T

Nota: Cada forma cannica incluye la realizacin (A,B,C) y el diagrama de computadora analgica correspondientes.

7. Sea el circuito RLC serie:

Determine:

a) la representacin en variable de estado del sistema VR(s)/Vi(s), en las formas cannicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), as como los diagramas de computadora analgica correspondientes.

b) la representacin en variable de estado del sistema VL(s)/Vi(s), en las formas cannicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), as como los diagramas de computadora analgica correspondientes.

c) la representacin en variable de estado del sistema VC(s)/Vi(s), en las formas cannicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), as como los diagramas de computadora analgica correspondientes.

d) la representacin en variable de estado del sistema I(s)/Vi(s), en las formas cannicas Controlador (FCC), Observador (FCO), Controlabilidad (FCCo) y Observabilidad (FCOb), as como los diagramas de computadora analgica correspondientes.

L

R

vi(t)

C

i(t)

vR(t)

vL(t)

vC(t)



PARTE III. MATRIZ DE TRANSFERENCIA

8. Determine la matriz de transferencia del sistema del ejercicio 1.




12. Determine la matriz de transferencia del sistema del ejercicio 7, considerando que el sistema tiene una sola entrada, vi(t), y cuatro salidas, i(t), vR(t), vL(t) y vC(t).

13. Sea un sistema lineal de dos entradas y una sola salida, donde: a) la salida se ve afectada por la entrada 1, a travs de la funcin de transferencia F(s). b) la salida se ve afectada por la entrada 2, a travs de la funcin de transferencia G(s).

donde:

)3(10)( 2 += sssF

y )2)(1(

3)(++

=

sssG

Construya la matriz de transferencia del sistema y determine la dimensin del espacio de estado.

14. Sea el sistema MIMO G(s) con matriz de transferencia

++

+

++

+

+++

+

++

+++

+

+++

++++++

++

+++

++++

+

+++

+

+

+

+++

+

=

)4()4(3

)5)(3()4(10

)3(1

)5)(3()4(10

)4(4

)4)(3()4(100)5(

1)3(

1545

)4)(5(40)4(

)4(5)4(10)4)(5(

4)46)(3(

)4(10)4)(3(

)4(103

)4(100)4)(3()4(10

)(

22

2

222

222

sss

s

sss

s

ssss

s

sss

sss

s

sssss

s

sssssss

s

s

s

ssss

s

sss

s

sss

s

s

s

sss

s

sM

Determine: a) El nmero de entradas y salidas del sistema. b) El orden de la dinmica con que se ve afectada la salida y1(t) por la entrada u4(t) c) La contribucin de la entrada u2(t) = (t)en la respuesta de la salida y3(t) d) La condicin de estabilidad de la salida y2(t) e) La salida y2(t) cuando las entradas u1(t) = u3(t) = u4(t) = u5(t) = 0 y u2(t) = (t)



PARTE IV. CONTROLABILIDAD Y OBSEVABILIDAD

15. Determine para el sistema del ejercicio 1: a) La matriz de Controlabilidad del sistema y su rango b) La condicin de controlabilidad del sistema c) La matriz de Observabilidad del sistema y su rango d) La condicin de observabilidad del sistema

Nota: Considere para este caso que k = 2, f = 3 y l = 2


Nota: Considere para este caso que k = [2 3 1]T, f = [3 3 1]T y l = [1 2 3]T


Nota: Considere para este caso que K1 = 2 y K2 = 4


PARTE V. RESPUESTA EN EL TIEMPO

19. Determinar la salida y(t) del sistema del ejercicio 1, para cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [1 1]T, u(t) = 0 b) x(0) = [ 1 1]T, u(t) = 0 c) x(0) = [1 1]T, u(t) = 0 d) x(0) = [1 1]T, u(t) = 1(t) e) x(0) = [ 1 1]T, u(t) = 1(t) f) x(0) = [1 1]T, u(t) = 1(t)

Nota: Considere para este caso que k = 2, f = 3 y l = 2



20. Determinar la salida y(t) del sistema del ejercicio 2, para cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [1 1 1]T, u(t) = 0 b) x(0) = [ 1 1 1]T, u(t) = 0 c) x(0) = [1 1 1]T, u(t) = 0 d) x(0) = [1 1 1]T, u(t) = (t) e) x(0) = [ 1 1 1]T, u(t) = (t) f) x(0) = [1 1 1]T, u(t) = (t)

Nota: Considere para este caso que k = [2 3 1]T, f = [3 3 1]T y l = [1 2 3]T

21. Determinar la salida y(t) del sistema del ejercicio 3, para cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [1 1]T, u(t) = [0 0]T b) x(0) = [1 1]T, u(t) = [0 0]T c) x(0) = [1 1]T, u(t) = [0 0]T d) x(0) = [1 1]T, u(t) = [(t) (t)]T e) x(0) = [1 1]T, u(t) = [1(t) (t)]T f) x(0) = [1 1]T, u(t) = [(t) 1(t)]T g) x(0) = [1 1]T, u(t) = [1(t) 1(t)]T

Nota: Considere para este caso que K1 = 2 y K2 = 4

22. Dado el siguiente sistema:

Determine la respuesta del sistema, en cada uno de los siguientes escenarios: a) x(0) = [1 2 1]T, u(t) = 0 b) x(0) = [1 2 1]T, u(t) = 0 c) x(0) = [1 2 1]T, u(t) = 0 d) x(0) = [1 2 1]T, u(t) = [ 1(t) 1(t) 1(t)] e) x(0) = [ 1 2 1]T, u(t) = [ 1(t) 1(t) 1(t)] f) x(0) = [ 1 2 1]T, u(t) = [ 1(t) 1(t) 1(t)]

3

+ u1(t)

2

+

+ y1(t)

2

u3(t)

u2(t)

2

y2(t)

x1(t) x2(t)

x3(t)



PARTE VI. ASIGNACIN DE DINMICA

23. Determine para el sistema del ejercicio 1 una retroalimentacin de estado de la forma u = kx, tal que asegure que el sistema a lazo cerrado tiene la siguiente dinmica: a) Pk(s) = s2 + 10 s + 21 b) Pk(s) = s2 + 8 s + 15 c) Pk(s) = s2 + 6 s + 9 d) Pk(s) = s2 + 8 s + 17

Sugerencia: Para cada inciso, desarrolle los mtodos de igualacin de polinomios caractersticos y aplicacin de las frmulas de Ackerman, Bass-Gura y Mayne-Murdock.

23. Determine para el sistema del ejercicio 2 una retroalimentacin de estado de la forma u = kx, tal que asegure que el sistema a lazo cerrado tiene la siguiente dinmica: a) Pk(s) = s3 + 6 s2 + 11 s + 6 b) Pk(s) = s3 + 3 s2 + 3 s + 1 c) Pk(s) = s3 + 4 s2 + 5 s + 2 d) Pk(s) = s3 + 6 s2 + 12 s + 8


24. Sea el sistema

22 )3(10)(+

=

sssF

Disee una ley de control por retroalimentacin de estado esttica que compense el sistema con la dinmica Pk(s) = (s + 4)(s + 4.2)(s + 4.5)2


25. Sea el sistema

)3)(2)(1)(2(10)(

+++=

sssssF

Disee una ley de control por retroalimentacin de estado esttica que compense el sistema con la dinmica Pk(s) = (s + 0.5)4




PARTE VII. OBSERVADORES

26. Sea el sistema:

[ ]

=

+

=

)(1 0 1 )(

)(100

)(6116100010

)(:),,(

txty

tutxtxCBA

Disee un observador de orden completo para el sistema anterior, tal que los polos de su matriz de ganancia estn colocados en las coordenadas 1, 2, 3 = 5.

27. Disee un observador de orden reducido para el sistema del ejercicio 26, tal que los polos de su matriz de ganancia estn colocados en las coordenadas 1, 2 = 5. Asuma que la salida y(t) es medible, con lo que el estado x1(t) no necesita estimarse.

PARTE VIII. PROPIEDADES DEL ESPACIO DE ESTADO

28. Sea el sistema:

=

+

=

)(120010011001102

)(

)(

00110010000211000000

)(

0430112110030201112022012

)(

:

txty

tutxtx

Determine las siguientes caractersticas del sistema y en su caso, responda las siguientes preguntas:

a) El nmero de entradas b) El nmero de salidas c) El nmero de estados d) Est desacoplado totalmente (entradasalida)? e) Est desacoplado a bloques? f) Cumple con la condicin mnima necesaria para ser desacoplado totalmente? g) Es MIMO o SISO? h) Es posible llevarlo a una forma cannica MIMO? i) Existe una representacin en el dominio de la frecuencia? j) Es invariante en el tiempo? k) La dimensin de la matriz del sistema l) La dimensin de la matriz de entrada m) La dimensin de la matriz de salida n) Existe algn lazo de retroalimentacin? o) Se trata de un sistema lineal?



29. Sea un sistema lineal cuya matriz de transferencia es:

++

+

+

+

+

+

+++

=

s

s

s

s

s

ss

s

s

s

s

ssss

sG

1)3(31

10

)3()2(10

212

)3)(2(1

221

)(

2

2

Determine las siguientes caractersticas del sistema y en su caso, responda las siguientes preguntas:

a) El nmero de entradas b) El nmero de salidas c) El nmero mnimo de estados d) Est desacoplado totalmente (entradasalida)? e) Est desacoplado por bloques? f) Cumple con la condicin mnima necesaria para ser desacoplado totalmente? g) Es MIMO o SISO? h) Es posible llevarlo a una forma cannica? i) Existe una representacin en el dominio del tiempo? j) Es invariante en el tiempo? k) Se trata de un sistema autnomo? l) Se trata de un sistema continuo o discreto? m) En la realizacin (A,B,C) correspondiente, es cuadrada la matriz B? n) En la realizacin (A,B,C) correspondiente, es cuadrada la matriz C? o) Se trata de un sistema lineal?

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