guia didactica calculo integral compuertas...

CálculoIntegral

Clemente Mora GonzálezJefe del Departamento de Fomento Editorial

Leticia Mejia GarcíaCoordinadora de Fomento Editorial

Miguel Antonio González VidalesGestión Administrativa

Ulises Ramírez HernándezCoordinador de Diseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERALAv. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires.Col. Cuauhtémoc SurTels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08

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CICLO ESCOLAR 2011-2Prohibida la reproducción total o parcialde esta obra incluido el diseño tipográficoy de portada por cualquier medio,electrónico o mecánico, sin el consentimientopor escrito del editor.

GESTIÓNDITORIAL

Nota:Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presentedocumento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportacionesa los siguientes correos:

[email protected]@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna MillánGobernador del Estado

de Baja California

Javier Santillán PérezSecretario de Educación

y Bienestar Social del Estado

CECYTE BC

Héctor Montenegro EspinozaDirector General

Olga Patricia Romero CázaresDirectora de Planeación

Argentina López BuenoDirectora de Vinculación

Jesús Gómez EspinozaDirector Académico

Ricardo Vargas RamírezDirector de Administración y Finanzas

Alberto Caro EspinoJefe del Departamento de Docencia

MUNICIPIO DE MEXICALI

Cristina de los Ángeles Cardona RamírezDirectora del Plantel Los Pinos

Carlos Zamora SerranoDirector del Plantel Bella Vista

Jesús Ramón Salazar TrillasDirector del Plantel Xochimilco

Rodolfo Rodríguez GuillénDirector del Plantel Compuertas

Humberto Ignacio Ibarra VelazcoDirector del Plantel Misiones

Francisco Javier Cabanillas GarcíaDirector del Plantel Vicente Guerrero

Cristopher Diaz RiveraDirector del Plantel San Felipe

MUNICIPIO DE TIJUANA

Martha Xóchitl López FélixDirectora del Plantel El Florido

María de los Ángeles Martínez VillegasDirectora del Plantel Las Águilas

Jorge Ernesto Torres MorenoDirector del Plantel Zona Río

Rigoberto Gerónimo González RamosDirector del Plantel Villa del Sol

Joel Chacón RodríguezDirector del Plantel El Pacífico

Efraín Castillo SarabiaDirector del Plantel El Niño

Benito Andrés Chagoya MorteraDirector del Plantel Cachanilla

Gabriel Valdéz ManjarrezDirector del Plantel Altiplano

Juan Martín Alcibia MartínezDirector del Plantel la Presa

MUNICIPIO DE ENSENADA

Alejandro Mungarro JacintoDirector del Plantel Ensenada

Emilio Rios MaciasDirector del Plantel San Quintín

MUNICIPIO DE ROSARITO

Manuel Ignacio Cota MezaDirector del Plantel Primo Tapia

Héctor Rafael Castillo BarbaDirector del Plantel Rosarito Bicentenario

MUNICIPIO DE TECATE

Oscar Ambríz SalinasDirector del Plantel Tecate

DIRECTORIO

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO

Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC:

La educación es un valuarte que deben apreciar durantesu estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicosdel Estado de Baja California, dado la formación y calidadeducativa que les ofrece la Institución y sus maestros.

Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estadohace para brindarles educación media superior, a fin de queen lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y seconviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso,con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional.

Esta administración tiene como objetivo crear espaciosy condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, elcampo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfilde la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por loque los invito a ser mejores en sus estudios, en su familiay en su comunidad.

En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación quecaracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacionalque habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.ComoGobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadoresde los futuros profesionistas técnicos que saldránde CECYTE BC.

Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos,para brindar y recibir una mejor educación en Baja California,ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial yeconómico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN

Alumno de CECYTE BC:

La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades dedesarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidadesde progreso económico y social.

Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asumecon responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea decrear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerlesprogramas de estudios tecnológicos, que les permitan integrarse concompetencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de BajaCalifornia, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de estaInstitución, los estudiantes pueden encontrar el camino de lasuperación y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan paraforjar su futuro.

Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de estematerial educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo deque lo utilices en beneficio de tus estudios.

La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridadesaducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Instituciónen un modelo para la formación de generaciones de profesionistastécnicos que demanda la indusdustria especializada que se asientaen la región.

Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamientode los padres de familia con la escuela, como una acción tendientea fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentesy administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidadcompartida.

Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel deCECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedada través de la Administración Estatal y utilices con pertinencia losmateriales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

Héctor Montenegro EspinozaDIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

Atentamente

PRESENTACIÓN

El libro que tienes en tus manos representa un importanteesfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos delEstado de Baja California, que a través de sus academias deprofesores te proporciona material de calidad para el estudio delas distintas asignaturas que cursarás en tu preparación comoBachiller Técnico.

Los contenidos corresponden a los programas establecidos paracada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integralde la educación media superior, y enriquecidos por lascompetencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato.

Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis yhabilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria,convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrecepara obtener una mejor formación académica.

Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a estaobra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado delColegio: sus Alumnos.

gradecimiento

Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos deCECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estasGuías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico.

El Colegio

• MANUAL DE QUÍMICA I

Mario Báez VázquezAPOYO INSTITUCIONAL DIRECCIÓNDE VINCULACIÓN

• ÁLGEBRA

Andrés Sarabia LeyCOORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDÉUTICOKarla Grisel Duarte SarabiaCOLABORADORA

• INGLÉS I y V

Verónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASBlanca Belén Torres MedinaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOSAdriana Ceras MoralesDOCENTE GRUPO PORTALESArturo Sánchez MariscalDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAJoaquín Alberto Pineda MartínezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAManuel Arvizu RuízDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTACésar Quintero HernándezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• QUÍMICA I

Aidé Araceli Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASJuana Ramírez RodríguezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOSaúl Torres AcuñaDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• TIC’s

Alma Delia Valenzuela MárquezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOMelchizedec Romero GonzálezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOOscar David Bustos TorresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCORoberto Rosales ZepedaDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

• CTSyV I

Diana Fernández SerranoDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAOmar Romero RoblesDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADASusana Pérez CorreaDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADAJessica Melig NúñezDOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

• LEOyE I

Cecilia Armida Ante NavarroDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASGabriela Órnelas BravoDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

• CÁLCULO INTEGRAL

Manuel Norberto Quiroz OrtegaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTASilvia Elisa Inzunza OrnelasDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAEloisa Morales CollinDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASIsmael Castillo OrtízDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

• GEOMETRÍA ANALÍTICA

Emma Ayala RodríguezDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESAntonio Caro EspinoDOCENTE GRUPO PORTALESMario Alberto Curiel PonceDOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

• INGLÉS III

Verónica Murillo EsquiviasDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAdriana Cera MoralesDOCENTE GRUPO PORTALES

• BIOLOGÍA

Aidé Pedraza MendozaDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASClara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASEvelia Escalante GámezDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• CTSyV II

Blanca Azucena Casillas CortézDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCOBlanca Delia Román PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL MISIONESMartha Celia Román PalomaresDOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• FÍSICA II

Javier Iribe MendozaDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAMaría Del Carmen Equihua QuiñónezDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAGilberto Méndez FierrosDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASAlvaro Soto EscalanteDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTAIsrael Cruz MuñozDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• CTSyV III

Clara Angélica Rodríguez SánchezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASMartha Moreno RamírezDOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTASDavid A. Rodríguez CarrascoDOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA

Maria Elena Padilla GodoyCOORDINADORA DE FORMACIÓN VALORALAlberto Caro EspinoJEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

13

INDICE

UNIDAD I. Las Razones De Cambio y La Derivada

Competencia

1.1 La derivada…………………………………………………………………………..18 1.2 Interpretación geométrica de la derivada…………………………………………19 1.3 Razón de cambio promedio e instantánea……………………………………….25 1.4 La derivada como razón de cambio instantánea………………………………..28 1.5 Reglas de derivación………………………………………………………………..29 1.6 Reglas de la potencia……………………………………………………………….30 1.7 Reglas del producto y del cociente de funciones………………………………..31 1.8 Regla de la cadena………………………………………………………………….33 1.9 Derivadas de funciones trigonométricas………………………………………….35 1.10 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas………………………...36 Ejercicios propuestos

UNIDAD II. Métodos de integración

Competencia

2.1 Inmediatas……………………………………………………………………………43

2.2 Integración por partes……………………………………………………………….46

2.3 Integración por sustitución o cambio de variable………………………………...49

2.4 Integración por fracciones parciales………………………………………………52

UNIDAD III. La integral como área bajo la curva

Competencia

3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas……………………………………62

14

3.1.1 Suma de Riemann………………………………………………………………...68

3.1.2 Integral definida……………………………………………………………………69

3.1.3 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………….79

3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………....79

UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral

Competencia

4.1 Calculo de volúmenes……………………………………………………………....81

4.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría…………………………………..86

4.3 Aplicación del cálculo integral en la física………………………………………...91

4.4 Aplicaciones a la economía………………………………………………………...93

15

UNIDAD I

RESULTADOS DE APRENDIZAJE:

Analiza y resuelve problemas relacionados con los conceptos de algebra, derivadas e integrales, Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos .Que se puedan modelar situaciones de la vida real.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR:

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.(Atributo: 4.1)

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. (Atributos: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 y 5.6)

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. (Atributos: 6.1 y 6.3)

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. (Atributos: 7.1) 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. (Atributos: 8.1,

8.2 y 8.3)

Las Razones De Cambio y La Derivada

Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.

16

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

17

Mapa Conceptual de Unidad

18

1.1 LA DERIVADA

En los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y cómo puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área. Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

19

1.2 Interpretación geométrica de la derivada. Sea f (x) una función cualquiera, si tomamos los puntos ( x1, ( f(x1),(x2,f(x2)), como se muestra en la figura:

Llamaremos ms a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos ( x1, ( f(x1),(x2,f(x2)), la cual la podemos calcular de la siguiente manera:

Si hacemos que el punto x2 se aproxime al punto x1, la pendiente de las rectas secante que se van generando la podemos calcular utilizando la misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura:

20

Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme x2

se aproxima a x1, las rectas secantes que se generaron se aproximan a la recta tangente a f (x) en el punto x1, y por lo tanto las pendientes de las rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente, la cual la denotaremos como m t. Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de la recta tangente de una función f (x) en el punto x1 es igual al límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el punto x2 se aproxima a x1 y esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

m t = lim ms

Es decir:

Si en la formula hacemos h= x2 – x1 se puede observar fácilmente que si x2 se aproxima a x1 , la diferencia x2 − x 1 se va haciendo cada vez más pequeña; de tal manera que podemos decir que si x2 se aproxima a x1 , entonces h = x2 – x1 se aproxima a cero. Por otro lado, si de la igualdad h = x 2− x1 despejamos x2, obtenemos X2 = x1 + h; si estos cambios los sustituimos en:

21

Ecuación 1.1

Se obtiene:

Ecuación 1.2

Ejemplos:

1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( mt ) de la función f (x) = x2 +1 en el punto x1 = 2.

Para utilizar la fórmula, debemos calcular: f(x1) = (x1)

2 + 1

F(x1 + h) = (x1 + h)2 + 1

Si estos valores los sustituimos en:

Por lo tanto mi = 2 (x1), si sustituimos x1= 2 obtenemos m t = 2(2), m t = 4 El punto es P (2,2) Ya que x1 =2 y f(x1) = (x1)

2 - 2 = (2)2 – 2 = 4 -2= 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta y – f(x1) = m t (x –x1), obtenemos:

Y – 2 =4(x -2) desarrollando

22

Y -2 = 4x – 8 igualando a cero

R t = -4x – y – 6 = 0 que corresponde a la ecuación de la recta tangente a f(x) = x2 – 2 en el punto x1 = 2.

Realizar los siguientes ejercicios y comprueba con los compañeros.

1.- Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1) F(x) = x2 -2x + 3 en x= 0 2) F(x) = en x= 4

3) F(x) = 3x2 + 6x + 4 en x= - ½

2.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1) F(x)= x2 – 1 en x= -1 2) F(x)= en x= 1

3) F(x)= - x2 + 2 en x= 1 4) F(x)= x2 + 4x + 3 en x= -3 5) F(x)= x3 en x= -1

Definición: La derivada de una función f(x) que representamos como f`(x) se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto x, es decir:

Ecuación 1.3

Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:

23

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición (Ecuación 1.3).

1) F(x)= 3x-2

Para poder resolverlo, necesitamos encontrar.

F(x-h) =3 (x-h) -2= 3x - 3h – 2

F(x) = 3x +2

Si estas expresiones las sustituimos en la ecuación 1.3, obtenemos:

Por lo tanto:

2) F(x)= x2 -2x + 5

Calculamos:

F(x +h) = (x+h)2 – 2(x + h) + 5 = x2 + 2xh + h2 – 2x -2h + 5

F(x)= x2 – 2x + 5

Sustituyendo en la ecuación 1.3, se obtiene:

24

Si factorizamos h

Por lo tanto:

3) F(x) =

Si multiplicamos cruzado para realizar la resta de las fracciones obtenemos:

Por lo tanto:

25

1.3 Razón de cambio promedio e instantánea.

En Geometría Analítica se estudia a la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) denotada como “ m” , la cual la podemos calcular utilizando la formula:

La podemos transcribir como:

Donde

x2 – x1. Es la diferencia de las abscisas(x)

y2 – y1. Es la diferencia de las ordenadas (y)

Como se muestra en la siguiente grafica:

Por lo tanto:

se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”.

26

Lo que nos permite definir:

Razón de cambio promedio.

Sea f una función tal que y=f(x) y P1(x1,y1) y P2(x2,y2) un par de puntos de f.

Denominamos la razon de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

Ejemplo 1:

Determina la razón de cambio promedio de la función

F(x)= x2 + 2x + 3 En el intervalo [-2,1]

Solución:

Si tomamos x1= -2 y x2= 1 entonces

F(x1)= (-2)2 + 2(-2) + 3 = 4-4+3=3

F(x2)= (1)2 + 2(1) + 3 = 1+2+3=6

Sustituimos en la formula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

27

Geométricamente, =1 es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos (-2,3) y (1,6) como se muestra en la figura

Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros.

1.-Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.

a) y= x2, para x= [-3,4]

b) y= x2 (7x-3), para x= [1,6]

2.-Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en las siguientes funciones:

a) y= x2 + 5x – 8, x= [1,1.2] Respuesta: = 7.2

b) y= x2 + 2x, x= [1,1.5] Respuesta: = 4.5

28

1.4 La derivada como razón de cambio instantánea.

Razón de cambio instantáneo

Sea y=f(x) una función definida en todos los puntos del intervalo(x1,x2). Definiremos la razón de cambio instantáneo de la función en x.

O bien:

La que corresponde, a la ecuación 1.1 que representa la pendiente de la recta tangente a la función.

Una definición más general de la derivada seria entonces: La derivada es la razón de cambio instantánea de una función en un intervalo.

29

1.5 REGLAS DE DERIVACION

Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una manera más practica las cuales están basadas en la definición formal mediante limites, pero tiene la desventaja de que es muy laborioso y en algunas ocasiones difícil de aplicar. Algunas de estas reglas son:

1.5.1 REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS

Regla de la función constante.

Ejemplo: Calcular la derivada de las siguientes funciones

F(x)=5

F´(x)=0

Regla de una constante por una función identidad:

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1) f(x) = 4x

f´(x)= 4

2) g(x)= x

f´(x)= - 5 / 3

30

1.6 Regla de la función potencia

1) f(x)= x2

f´(x)= 2x 2-1 =2x

2) f(x)=

Si recuerdas = 1x-3, entonces

f´(x)= -3x -3-1 = -3x-4 = 1/ x-4

3) f(x)= 5 x3 f´(x)= 5(3) x= 15x2

Regla de la suma o diferencia de funciones:

Es decir la derivada de una suma es la suma de las derivadas, o bien la derivada de una resta es la resta de las derivadas.

Ejemplo: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

1) f (x)=4x -6

f´(x)= 4-0 = 4

2) g(x)=-2x4 + 8x – 7

g´(x)= - 8x3 + 8

31

1.7 Regla del producto de funciones

La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera.

Ejemplo:

si sumamos los términos semejantes, obtenemos:

Hay ocasiones que es mucho más práctico multiplicar primero y después derivar por ejemplo:

Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si recuerdas el resultado de la multiplicación es una diferencia de cuadrados, es decir f(x) la podemos expresar de la siguiente manera:

32

1.7.1 Regla del cociente de funciones

La derivada del cociente de funciones es igual a la abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la de abajo todo sobre la de abajo elevada al cuadrado.

Ejemplo:

Al igual que en el caso de las multiplicación, hay ocasiones que es mucho mas practico dividir primero y después derivar, por ejemplo:

como puedes observar tenemos una diferencia de cuadrados que podemos factorizar como el producto de binomios conjugados de tal manera que la función f(x) podemos expresarla de la siguiente manera:

33

1.8 REGLA DE LA CADENA

Teorema de la regla de la cadena

Antes de ejemplificar ejercicios se utiliza la regla de la cadena para derivar, es necesario que veamos unos ejemplos donde puedas encontrar la función compuesta:

Ejemplos:

Como puedes darte cuenta, para encontrar la función compuesta (f o g)(x) lo que tuvimos que hacer fue sustituir la función g(x) donde aparece la variable x en la función f(x). Si encuentra la función compuesta (g o f)(x) te darás cuenta que no es la misma que la función compuesta (f o g )(x), veámoslo:

Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones compuestas, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de las funciones:

34

Para calcular f´(x) utilizando la regla de la cadena que como anteriormente lo mencionamos está dada por 1. F´(x) = g´(h (x))h´(x)

Tenemos que calcular:

Si comparamos el ejercicio original con el resultado que obtuvimos al derivar, se observa los siguientes:

Puedes darte cuenta de que lo que sucedió fue que el exponente 3 lo bajamos multiplicando a (x2 + 9 ) y se le resto 1 al exponente para que nos quedara el 2: y el resultado de esto se multiplico por 2x que corresponde a la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis.

Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una función compuesta utilizando la regla de la cadena.

35

Resolvamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.9 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

TEOREMAS DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

36

1.10 DERIVADA DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Derivada de la función exponencial.

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

Derivada de la función logarítmica natural.

37

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las leyes de los logaritmos, antes de derivar porque al hacerlo se facilita el cálculo de la derivada. Estas leyes las viste en el curso de Matemáticas 4, pero si no las recuerdas te las volvemos a presentar.

Leyes de Logaritmos:

Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la derivada:

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

Necesario aplicar primeramente la regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función logaritmo, sin embargo si aplicamos las leyes de los

38

logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta que encontrar la derivada de la misma funciones hará de una manera más fácil.

En seguida te la presentaremos:

Ejercicios Propuestos

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros.

1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

39

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios en equipo de 3 personas y comprueba los resultados con tus compañeros. 1.- Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.

INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus compañeros.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

40

13.

14.

15.

INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; en equipo de 3 personas.

INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno de los siguientes ejercicios y resuelve en equipo de 3 personas.

41

INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

42

INTRUCCIONES: Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas y resuelve en equipo de 2 personas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

43

UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral indefinida, aplicando diferentes métodos. SABERES:

1. Inmediatas. 2. Integración por partes. 3. Integración por sustitución o cambio de variable. 4. Integración por fracciones parciales.

2.1 Inmediatas Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se utilizan las reglas básicas de integración. Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida:

1. Cdx 0 7. Cxsenxdx cos

2. Ckxkdx 8. Cxxdx tansec2

3. dxxfkdxxkf )()( 9. Cxxdxx sectansec

4. dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 10. Cxxdx cotcsc2

5. 1,1

1

nCn

xdxx

nn (Regla de

la potencia)

11. Cxxdxx csccotcsc

6. Csenxxdx cos

EJEMPLO 1:

Encontrar: dxx512

Utilizando la regla de la potencia 1,1

1

nCn

xdxx

nn :

44

Solución: Cxxx

6615

26

1215

12

EJEMPLO 2:

Encontrar: dxx4

6

Solución: reescribimos dxx 46 Cx

xx

3

314 2

36

146

EJEMPLO 3:

Encontrar: dxxx 23

Solución: reescribimos

dxxx 23

1

cxxxxxx

23

423

4113

3

3

1

4

3

2

2

3

411

2

3

3

3

1

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar” Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y resuelve por el método de integración inmediata.

Integral original Reescribir Integrar Simplificar

1. dxx5

1

2. dxx

3. senxdx3

4. dxx3

5. dxxx )4(

45

EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de integración. Ejercicios Solución

dxx )4( cxx 42

1 2

dxx)3( cxx 2

2

13

dxxx )64( 2 cxx 32 22

dxxx )594( 23 cxxx 53 34

dxxx )34( 23

cxxx 325

2 22

5

dx

xx

1 cxx 2

1

2

3

23

2

dxxx )12)(2( cxxx 22

3

3

2 23

dxt 2)32( cttt 963

4 23

dxxsenx )cos24( csenx 2cos4

dxxx )cotcsc4( cxx csc4

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar”

1. cx

44

1 2. cx 2

3

3

2 3. c cos3 4. cx 3

4

4

3 5.

cxx 23 23

1

46

2.2 Integración por partes.

De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes.

'.'.)'.( vuvuvu que se puede escribir dvuvduvud ..).(

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

dvuvduvud ..).(

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma función y utilizando la notación de integral tendremos:

dvuvduvu ...

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

duvvudvu ...

que permite calcular la integral de un producto de dos funciones Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede escribir:

Ejemplos:

1.- Hallar la xsenxdx

Solución:

Sean

xu du dx dv senxdx xv cos

47

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

x cos x cos xdx x cos x cos xdx

dado que cos udu senu c finalmente nos queda:

xsenxdx x cos x senx c

2.- Hallar la x 2 ln xdx

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.

Solución:

Sean

u ln x du dx

x dv x 2dx v

x 3

3


x 3 ln x

3

1

3

x 3

xdx x 3 ln x

3

1

3x 2dx x 3 ln x

3

1

3

x 3

3

por lo tanto:

x 2 ln xdx = x 3 ln x

3

x 3

9 c

3.- Hallar la x 1 xdx

Solución:

Sean

u x du dx dv 1 xdx v 2

31 x

32


2

3x 1 x

32

2

31 x

32 dx

2

3x 1 x

32

2

3

1 x 5

2

5

2

=2

3x 1 x

32

4

151 x

52

48

por lo tanto:

x 1 xdx = 2

3x 1 x

32

4

151 x

52 c

4.- Hallar la sen 2xdx

Solución:

Sean

u senx du cosxdx dv senxdx v cos x c Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

cos xsenx cos x cos xdx cos xsenx cos2 xdx

Aplicando la identidad senxcos x 1

2sen2x

tenemos:1

2sen2x 1 sen2xdx

1

2sen2x dx sen2xdx

ya que la expresión original es sen 2xdx y nuevamente nos resulta en el

procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:

sen2xdx 1

2sen2x dx sen2xdx 2 sen2xdx

1

2sen2x dx

1

2sen2x x

por lo tanto:

sen 2xdx = 1

4sen2x

x

2 c

49

2.3 Integración por sustitución o cambio de variable.

Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:

cuFduufdxxgxgf )()()('))((

EJEMPLO 1:

Encontrar: dxx 13

Solución: 13 xu dxdu 3 3

dudx

3

13du

udxx Integrar en términos de u.

cucu

duu

2

32

3

2

1

9

2

2

33

1

3

1

cx 2

3

)13(9

2 Resultado en términos de x.

EJEMPLO 2:

Encontrar: dxxx 13

Solución: 13 xu dxdu 3 3

dudx

3

1

ux

33

113 2

1 duu

udxxx Integrar en términos de u.

cuucuu

duuu

2

3

2

52

3

2

5

2

1

2

3

27

2

45

2

2

3

2

59

1

9

1

50

cxx 2

3

2

5

)13(27

2)13(

45


EJEMPLO 3:

Encontrar: xdxxsen 2cos)2( 2

Solución: xsenu 2 xdxdu 2cos2 xdxdu

2cos2

2

2cos)2( 22 duuxdxxsen Integrar en términos de u.

cucu

duu

3

32

6

1

32

1

2

1

cxsen 3)2(6


EJERCICIO 1. “Identificando a u y du” Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral.

Integral en términos de x U du

1. xdxx 8)24( 22

2. dxxx 23

3. dx

x

x

22

4. dxxx )6()42( 243

5. 4)35( x

dx

51

EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable. Ejercicios Soluciones

dxx23 cx 3233

1

x

dx

21 cx 21

dxxx 232

cx 32 23

91

32 2x

xdxcx 32ln

4

1 2

13

2

x

dtx

cx 1

3

2 3

dxx )4(41 4

cx 5415

1

dxxx )2(3 2

cx 2

32 )3(

3

2

dtt4

1ct 4

2

1

32 )2( x

xdxc

x

22 )2(4

1

dxtt 12

cttt 753 1

7

21

5

41

3

2

52

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du”

Número u Du

1 24 2 x xdx8

2 23 x dxx23

3 22 x xdx2

4 42 3 x dxx26

5 35 x dx5

2.4 Integración por fracciones parciales.

Función Racional

Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes enteros y positivos.

Es una función racional, donde P y Q son polinomios.

Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción racional propia; en caso contrario es impropia.

Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de fracciones simples.

EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales

Dividiendo entre x+3, entonces:

53

Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los siguientes puntos:

a) Factorización b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales c) Solución de integrales inmediatas.

Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos.

CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.

Factorizando denominador:

La descomposición por fracciones parciales seria:

Simplificando la fracción:

54

A=1

Sustituyendo:

Simplificando

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Por división sintética:

55

Eliminando A de (1) y (2):

………(4)

Eliminando A de (1) Y (3)

Formando un sistema con (4) y (5)

56

CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos

Resolver:

Resolviendo el denominador por división sintética

x 3 2x 2 2x 1

x 2 x 1 x 1 2

A

x 1 2 B

x 1

Cx D

x 2 x 1

A x 2 x 1 B x 1 x 2 x 1 Cx D x 1 2

x 1 2x 2 x 1

=

Ax 2 Ax A Bx 3 2Bx 2 2Bx B Cx 3 2Cx 2 Cx Dx 2 2Dx D

x 1 2x 2 x 1

=

x 3 B C x 2 A 2B 2C D x A 2B C 2D A B D x 1 2

x 2 x 1

formando un sistema de ecuaciones:

1 3 4 3 1 -1

1 -1 -2 -2 -1

1 2 2 1 0

1 2 2 1 -1

1 -1 -1 -1

1 1 1 0

B +C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)A +2B +C +2D =1 (3)A +B +D =0 (4)

2x 2 x

x 4 3x 3 4 x 2 3x 1dx

57

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES

ELIMINANDO B DE (1) Y (2)

(-2)

Eliminando B de (1) y (3)

(-2)

ELIMINANDO B DE (1) Y (4)

(-1)

ELIMINANDO C DE (6) Y (7)

B +C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)

-2B -2C =0 (1)A +2B +2C +D =2 (2)

A +D =2 (5)

B +C =0 (1)A +2B +C +2D =1 (3)

-2B -2C

=0 (1)

A +2B +C +2D =1 (3)

A -C +2D =1 (6)

B +C =0 (1)A +B +D =0 (4)

-B -C =0 (1)A +B +D =0 (4)

A -C +D =0 (7)

A -C +2D =1 (6)A -C +D =0 (7)

58

(-1)

DESPEJANDO A DE (5)

A=2-D A=2-1 A=1

Despejando C de (6)

C=A+2D-1 C= (1)+2(1)-1 C=2

Despejando B de (1)

B=-C B=-(2) B=-2

Sustituyendo incógnitas en integral:

1

x 1 2 2

x 1

2x 1

x 2 x 1

dx =

1

x 1 2 dx 21

x 1dx

2x 1

x 2 x 1 dx =

u x 1 u x 2 x 1

du dx du 2x 1 dx

= u2du 2ln x 1 ln x 2 x 1

= 1

x 1 2ln x 1 ln x 2 x 1 c

A -C +2D =1 (6)-A +C -D =0 (7)

D =1

59

CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada

factor de la forma ax 2 bx c n que resulte de la factorización de Q(x), le

corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax B

ax2 bx c n

Cx D

ax2 bx c n1 .........Lx M

ax 2 bx c

Ejemplo:

2x 3 x 3

x 2 2x 2 1dx =

factorizando el denominador:

x 2 2x 2 1 x 2 1 2 x 2 1 x 2 1

como los factores cuadráticos se repiten:

2x 3 x 3

x 2 1 2

Ax B

x 2 1 2

Cx D

x 2 1

2x 3 x 3

x 2 1 2

Ax B Cx D x 2 1 x 2 1 2

Ax B Cx3 Cx Dx2 D

x 2 1 2

Formando un sistema de ecuaciones:

DESPEJANDO A DE (3)

A=1-C A=1-2 A=-1

DESPEJANDO B DE (4)

B=3-D B=3-0 B=3

La integral a resolver es:

C =2 (1) D =0 (2)A +C =1 (3) B +D =3 (4)

60

x 3

x 2 1 2

2x

x 2 1

dx =

x 3

x 2 1 2dx

2x

x 2 1dx

u x 2 1

du 2xdx

3

2u2du ln x 2 1

3

2

1

u

ln x 2 1 c=

=3

2 x 2 1 ln x 2 1 c

1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por fracciones parciales

1.- x 2

x 2 x 6dx Solución:

9

5ln x 3 4

5ln x 2 c

2.- 2x 2 3x 2

x 3 4x 2 6x 4dx Solución: 2ln x 2 1

2tan1 x 1 c

3.- x 2

2x 2 2x 1dx

1

0

Solución: 1

2

4.- 4x 2 5x 20 x 3 3x 2 10x

dx Solución: 2ln x 3ln x 5 1ln x 2 c au

61

UNIDAD III. Competencia: La integral como área bajo la curva. 3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas 3.1.1 Suma de Riemann 3.1.2 Integral definida 3.1.3 Teorema fundamental del cálculo 3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas Unidad IV. Aplicaciones de la integral. 4.1 calculo de volúmenes 4.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría 4.3 Aplicación del cálculo integral en la física 4.4 Aplicaciones a la economía.

62

3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.

Notación sigma En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la letra griega mayúscula sigma.∑.

Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar cualquier valor menor o igual al límite superior. Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.

d)

Notación sigma La suma de n términos a₁, a₂, a�,……an se escribe en notación matemática como

Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1

63

e)

f) En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se realiza.

Por ejemplo en la siguiente suma: , el termino inicial es i =1 y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la sumatoria es:

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una constante).

Teorema suma:

64

El problema del área.

Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento".

Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo.

Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:

el área de una región plana es un número (real) no negativo, regiones congruentes tienen áreas iguales, el área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de

las áreas de las dos regiones y si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el

área de la segunda.

Aproximación del área de una región plana. ¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita?

El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de , desde x = 0 a x = 3.

Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

65

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es . El ancho de cada rectángulo es 1.5

El área total de los dos rectángulos es:

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad. El área total de los tres rectángulos es:

66

Área 8,0644 unidades cuadradas. Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla para resolver este problema...?

Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la región.

rectángulo x F(x) Ancho de base Área

1 0 3 0.5 1.5

2 0.5 0.5 1.4790

3 1 0.5 1.4142

4 1.5 0.5 1.2990

5 2.0 0.5 1.1180

6 2.5 0.5 0.8291

Área total 7.6395 U²

67

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse:

Área = (suma de las áreas de los n rectángulo)

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

Ejercicios de evaluación: A. Desarrolla las siguientes sumas.

1. 6.-

2. 7.

3. = 8.

4. = 9.

5. = 10.

B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias. 11.

12.

13.

14.

15.

16.

68

17.

18.

19.

20.

3.1.1 Suma de Riemann. Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener sub-intervalos de igual ancho.

Ejemplo Una partición con anchos desiguales.

Considere la región acotada por la grafica de , como se muestra en la figura, encontrar el límite.

Donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por y

.

Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:

De tal modo el límite es:

69

C. en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito correspondiente.

21. f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3 22. f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4 23. f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6 24. f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8 3.1.2 Integral definida. Sea f una función continua definida para a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos

de igual ancho . Sean x0 a y xn b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada

sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el i-ésimo sub-intervalo [xi1, xi] con i 1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número

.La integral definida es un número que no depende de

x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

Definición de la suma de Riemann.

Sea f definida en el intervalo cerrado , y sea una partición de dada por

Donde es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo sub-intervalo entonces la suma.

Se denomino suma de Riemann de f para la partición .

70

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x. Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama

suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además sub-intervalos de distinta longitud.

Propiedades de la integral definida:

1. El valor de la integral def in ida cambia de signo si se permutan los l ímites de integración.

2. Si los l ímites que integración coinciden, la integral def in ida vale cero.

3. Si c es un punto inter ior del intervalo [a, b] , la integral def in ida se

descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b] .

4. La integral def in ida de una suma de funciones es igual a la suma de

integrales·

Signo de integración

Límite superior de integración

Límite inferior de integración

x, la variable a integrar

71

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Integral

Sea f( t ) una función cont inua en el intervalo [a, b] . A part i r de esta función se def ine la función integral :

Depende del l ímite superior de integración .

Para evi tar confusiones cuando se hace referencia a la var iable de f , se la l lama t , pero s i la referencia es a la var iable de F, se la l lama x.

Geométr icamente la función integral , F(x) , representa el área l imi tada por la curva y = f ( t ) , e l e je de abscisas y las rectas t = a y t = x.

A la función integral , F(x), también se le l lama función de áreas de f en el intervalo [a, b] . La regla de Barrow dice que la integral def in ida de una función cont inua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la di ferencia entre los valores que toma una función pr imit iva G(x) de f(x) , en los extremos de dicho intervalo.

72

Ejemplos: Calcular las s iguientes integrales def in idas apl icando la regla de Barrow.

1.

2. =

3 .

E l teorema fundamenta l de l cá lcu lo d ice que la der ivada de la func ión in tegra l de la func ión cont inua f (x) es la propia f (x) .

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la der ivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función cont inua y luego der ivar la se recupera la función or ig inal . Problemas propuestos:

1

2 =

3

73

. Evalúa las siguientes integrales.

25. 37).

26. 38).

27. 39 .

28. 40). =

29. 41).

30. 42)

31. 43

32. 44)

33. 45)

34. 46)

35. 47)

36. 48)

Teorema de la media o del valor medio para integrales

Si una función es cont inua en un intervalo cerrado [a, b] , existe un punto c en el inter ior del intervalo ta l que:

74

Ejemplo: Hal lar e l valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1]. Como la función es cont inua en el intervalo [−4, −1], se puede apl icar el teorema de la media .

63= f (c)=21 3 =21 c=

La solución posi t iva no es vál ida porque no pertenece al intervalo Área entre una función y el e je de abscisa. La función es posit iva Si la función es posi t iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función está por encima del e je de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hal lar e l área seguiremos los s iguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el e je X, haciendo f(x)=0 y resolv iendo la ecuación. 2º El área es igual a la integral def in ida de la función que t iene como l ímites de integración los puntos de corte.

75

Ejemplo:

1. Calcular el área del rec into l imi tado por la curva y = 9 − x2 y el e je X . En pr imer lugar hal lamos los puntos de corte con el e je OX para representar la curva

y conocer los l ímites de integración.

Como la parábola es s imétr ica respecto al e je Y, el área será igual a l doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2. Calcular el área l imi tada por la curva , y el e je X las rectas= 6, x=12

76

3. Calcular el área del t r iángulo de vért ices A(3, 0) , B(6, 3) ,C(8, 0) .

Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

= =

=

2. Cuando la función es negativa

Si la función es negat iva en un intervalo [a, b] entonces la gráf ica de la función está por debajo del e je de abscisas. El área de la función viene dada por:

77

Ejemplo 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje X.

2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.

78

4. cuando la función toma valores positivos y negativos

En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.

Ejemplos:

1) Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas

correspondientes a x = 0 y x = 4.

79

3.1.3 Teorema fundamental del cálculo integral: (relación entre integral definida e indefinida)

Definimos la siguiente función: S(x) = x

a

dx)x(f y por lo tanto S(x+x) = xx

a

dx)x(f

S = S(x+x)-S(x)= xx

a

dx)x(f - x

a

dx)x(f = x)c(fdx)x(fxx

x

)c(fx

S

)c(flimx

slim

0x0x

S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x

tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x).

3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas. El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos

1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

80

2) Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 en los puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola

Y=2x+2 y=x²+2

81

Evalúa las siguientes áreas bajo la curva.

1) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = 2 y x = 8. 2) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje 0X. 3) Calcular el área del triangulo de vértices A ( 3 , 0 ), B ( 6 ,3 ), C ( 8 ,0 ). 4) Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x². 5) Calcular el área limitada por la curva xy=36 en el eje X y las rectas x=6, x=12. 6) Calcular el área limitada por la curva y = 2(1- x²) y la recta y = -1.

7) Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 4).

8) Hal lar e l área l imi tada por la recta , e l e je de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.

9) Calcular el área l imi tada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el e je de abscisas. 10) Hal lar el área de la región del p lano l imitada por las curvas y = ln x, y = 2 y

los ejes coordenados. 11) Calcular el área de la región del p lano l imi tada por el círculo x2 + y2 = 9. 12) Hal lar el área de una el ipse de semiejes a y b. 13) Calcular el área de la región del p lano l imitada por la curva: f (x) = |x2 − 4x

+ 3| y el e je OX. 14) Hal lar e l área de la f igura l imi tada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 15) Hal lar el área del recinto plano y l imi tado por la parábola y = 4x − x2 y las

tangentes a la curva en los puntos de intersección con el e je OX

4.0 Aplicaciones de la integral definida

4.1 calculo de volúmenes.

El volumen del cuerpo de revolución engendrado al g i rar la curva f(x) a lrededor del e je OX y l imitado por x = a y x = b, v iene dado por :

82

Ejemplos

1. Hal lar el volumen engendrado por las superf ic ies l imi tadas por las curvas y las rectas dadas al g i rar en torno al e je OX:

y = sen x = 0x = π

2. Calcular el volumen del c i l indro engendrado por el rectángulo l imi tado por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el e je OX al g i rar alrededor de este eje.

3. Calcular el volumen de la esfera de radio r .

Part imos de la ecuación de la c i rcunferencia x² + y² = r² .

Girando un semicírculo en torno al e je de abscisas se obt iene una

esfera.

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área l imitada por la parábola y2 = x y la recta x = 2, a lrededor del e je OY.

83

Como gira alrededor del e je OY, apl icamos:

El volumen será la di ferencia del engendrado por la recta y el

engendrado por la parábola entre los extremos y = −4 e y = 4.

Como la parábola es simétr ica con respecto al e je OX, el volumen es igual

a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5. Hal lar el volumen del el ipsoide engendrado por la el ipse 16x2 + 25y2 = 400, al g i rar :

1 Alrededor de su eje mayor.

2 Alrededor de su eje menor.

84

Como la el ipse es s imétr ica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de el ipse del pr imer cuadrante en ambos casos.

6. Calcular el volumen engendrado al g i rar a l rededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

85

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.

Evalúa los siguientes volúmenes.

1) Hal lar e l volumen del t ronco de cono engendrado por la rotación alrededor

OX del área l imi tada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.

2) Calcular el volumen que engendra un tr iángulo de vért ices A(3, 0) , B(6, 3) , C(8, 0) a l g i rar 360° alrededor del e je OX.

3) Hal lar el volumen del t ronco de cono engendrado por el t rapecio que l imi ta el e je de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al g i rar alrededor de OX.

4) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la s inusoide y = sen x, a l g i rar alrededor del e je OX.

5) Calcular el volumen engendrado al g i rar alrededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 2x −x2, y = −x + 2.

6) Hal lar e l volumen del cuerpo revolución engendrado al g i rar alrededor del e je OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, e l e je de abscisas y las rectas x = 0 y x = π .

7) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al g i rar alrededor del e je OX el recinto l imi tado por las gráf icas de y = 6x − x2 , y = x.

86

8) Hal lar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al g i rar a l rededor del e je OX.

9) Hal lar el volumen de la f igura engendrada al g i rar la e l ipse alrededor del e je OX.

4.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría.

1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² +2 que sea paralela a la recta 8x – y +3 = 0

Solución: y = 2x² +2 sea : m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 4x (1) 8x – y +3 =0 , y = 8X +3 (2) Si m1 = 8 (3) Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí, tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1) y (3) se obtiene: 4x =8 , x = 2 (4)

2) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva , que sea perpendicular a la recta x - y =0

Solución:

87

Sea m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = -2/3 x (1) x – y = 0, y = x (2) Si m1 es la pendiente de la recta definida por (2) entonces m1 = 1 (3)

Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es

(m)(m1) = -1 m = -1/m1 (4)

sustituyendo (3) en (4), se obtiene m = -1/1, m = -1 (5) Igualando (5) en (1), se obtiene

Para obtener la ordenada del punto de tangencia , sustituimos (6) en ecuación original, se tiene:

88

(7)

De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:

Por lo tanto , es la ecuación buscada.

3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva , en el punto (2,4)

Solución: Y = x³ -4 (0)

Sea m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 3x² (1) m(2) = 3(2)² = 3x4 =12 (2) el punto de tangencia P, coordenadas es P(2,4) (3) de (2) y (3) y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene; y= 12 ( x – 2 ) - 4 , y = 12x – 28 por lo tanto 12x –y -28 =0 es la ecuación buscada.

grafica de ecuación

89

4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5).

Solución:

Y = 10 / (14 - x²) = (0)

Sea

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces:

m = y' = = (1)

= 20 (2)

Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor numérico de 20.

Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es:

(3) El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5) (4) De (3) y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:

Por lo tanto x + 20y + 96 =0 ecuación buscada

90

5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x, paralelas a la recta x +8y -8 =0

91

4.3 Aplicación del cálculo integral en la física.

93

4.4 Aplicaciones a la economía.

96

Bibliografía:

Calculo diferencial e integral Pearson (Pretice Hall) Purcell, Varberg, Rigdon Novena edición Calculo diferencial e integral Mc Graw Hill Larson-Hostetler- Eduards Séptima edición Cálculo trascendente temprano Internacional Thomson Editores Steward,James Quinta edición http://www.vitutor.com/index.html http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integracion-definida/html/integracion.pdf

guia didactica calculo integral compuertas...

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