#6

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIDAD EDUCATIVA COLEGIO MONS. SALUSTIANO CRESPOCALABOZO GURICOAsignatura: MatemticaAo: 4Profesor: Ing. Vctor Trocel

TRIGONOMETRA

La trigonometra es la rama de la matemtica que estudia la relacin numrica y analtica que existe entre los lados y los ngulos de los tringulos.

Definiciones Previas

ngulos y Medidas: Un ngulo (), es la porcin del plano comprendida entre dos rectas que se cruzan. Por ejemplo, los dos segmentos y de la figura, que se unen en el punto O, determinan el ngulo . Los ngulos se pueden medir en grados sexagesimales (DEG), centesimales (GRAD) y radianes (RAD). Grado Sexagesimal: Es la unidad angular que divide una circunferencia en trescientos sesenta grados (360). Grado Centesimal: Es la unidad angular que divide la circunferencia en cuatrocientos grados (400) centesimales. Radin: Es la unidad que representa el ngulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Como un ngulo de 360 abarca un arco de circunferencia completa, es decir, de , entonces se deduce que:

En la matemtica, en el caso de la trigonometra el radin y el sistema sexagesimal son los ms utilizados, y se definen como las unidades naturales para medir ngulos. Ahora bien, para convertir la media de un ngulo de grados sexagesimales a radianes, solo se debe multiplicar el ngulo por ; y para convertir la un ngulo de radianes a grados sexagesimales se debe multiplicar el ngulo por .

Expresar en radianes (utilizando fracciones de ) los siguientes ngulos:45902703153021023522515060120345350135330Expresar en grados los siguientes ngulos:Ejercicios propuestos:

(A) RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO

Si consideramos una circunferencia de radio r, de centro O en el origen del plano cartesiano, y sea un punto sobre la circunferencia y el ngulo formado por el eje y la semirrecta de origen O y que pasa por el punto P, las razones trigonomtricas sern las siguientes:

Razones DirectasRazones Recprocas

Los smbolos sen, cos, tg, se leen respectivamente: seno, coseno y tangente; y los smbolos sec, csc, ctg, se leen respectivamente: secante, cosecante y cotangente. Debido a que el punto P(x,y) se puede encontrar en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano, el signo () de las razones trigonomtricas depender del signo de las coordenadas segn el cuadrante en el que se encuentre el punto P, como se muestra en la figura.

(B) RAZONES TRIGONOMTRICAS PITAGRICAS

Considerando el tringulo rectngulo , y recordando que en todo tringulo rectngulo se cumple el Teorema de Pitgoras dado por: luego:

Dividiendo por r: se obtiene:

Dividiendo por y: se obtiene:

Dividiendo por x: se obtiene:

(C) RAZONES TRIGONOMTRICAS EN EL TRINGULO RECTNGULO

Considerando el tringulo rectngulo , las razones trigonomtricas del ngulo son:

Razones DirectasRazones Recprocas

RAZONES TRIGONOMTRICAS DE NGULOS NOTABLES

EJERCICIOS PROPUESTOS (A B):

HALLAR EN CADA CASO LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS RESTANTES:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

EJERCICIOS PROPUESTOS (C):

1. EN LOS TRINGULOS RECTNGULOS DADOS, HALLAR LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS Y/O LOS LADOS RESTANTES:

2. RESUELVE CADA UNO DE LOS SIGUIENTES PLANTEAMIENTOS (C):

a. Un observador visualiza la terraza de un edificio con un ngulo de elevacin de 60. Si se encuentra a 8 m. de la base del edificio, calcular la altura de la construccin y la longitud de la lnea de visual del observador.b. Desde la terraza de un edificio se observa a un peatn con un ngulo de depresin de 30. Si la altura del edificio es de 40 m. A qu distancia de la base del edificio se encuentra el peatn?c. Un cierto da de primavera, un edificio de 100 m. de altura proyect una sombra de 30 m. de largo. Cul era el ngulo de elevacin del sol?d. Calcular el rea de una parcela que tiene forma de tringulo rectngulo, sabiendo que uno de sus ngulos internos mide 60 y el lado opuesto al l miden 50 m.e. La anchura de mi calle es de 20 m. Desde la azotea de mi edificio, cuya altura es de 40 m., observo la azotea del edificio que tengo enfrente elevando la vista 30 Qu altura tiene ese edificio?f. Dos personas A y B estn en una playa y ven un globo situado entre ellos. La persona A ve el globo elevando la vista 30 con una lnea visual de 60 m. de longitud y la persona B debe elevar la vista 60 para poder ver el globo A qu altura est el globo y cul es la longitud de la lnea visual de la persona B?g. Determine el rea del tringulo :

h. Determine el permetro del tringulo :

i. Un hombre de 1,80 m. de altura est ubicado a 15 m. de un rbol. El ngulo de elevacin de su lnea visual al extremo superior del rbol es 30. Determine la altura del rbol.