TRIÁNGULO RECTÁNGULO En un triángulo rectángulo, se distinguen los siguientes elementos y propiedades: i) Para el ángulo

ii) Para el ángulo

iii) 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ : Hipotenusa (𝐻) iv) 𝛼 + 𝛽 = 90°

v) Teorema de Pitágoras: En la figura, se muestran dos triángulos rectángulos semejantes:

⊿𝐴′𝐵′𝐶′ ∼ ⊿𝐴𝐵𝐶

Para estos triángulos se cumple lo siguiente:

𝑎′

𝑎=𝑏′

𝑏=𝑐′

𝑐→

{

𝑎

𝑏=𝑎′

𝑏′

𝑎

𝑐=𝑎′

𝑐′

𝑏

𝑐=𝑏′

𝑐′

Esto nos muestra que las razones de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo no dependen de las dimensiones de sus lados, sino de la medida de sus ángulos. Este resultado nos permite definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo.

cba 222

b AC

BC

(CO) opuesto Cateto:

(CA) adyacente Cateto:

a BC

AC

(CO) opuesto Cateto:

(CA) adyacente Cateto:

MATEMÁTICA IITEORÍA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Son los cocientes que se obtienen al dividir las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. A continuación, se definen dichas razones respecto de un mismo ángulo agudo.

Ejemplo 5 De la figura, determine todas las razones trigonométricas de a y β. Solución

asen bsen

acos bcos

atan btan

acot bcot

asec bsec

acsc bcsc

Seno del ángulo a H

OCsen

..a

Coseno del ángulo a H

AC ..cos a

Tangente del ángulo a ..

..tan

AC

OCa

Cotangente del ángulo a ..

..cot

OC

ACa

Secante del ángulo a ..

secAC

Ha

Cosecante del ángulo a ..

cscOC

Ha

La razón trigonométrica de un ángulo agudo está representada por un valor numérico adimensional.

La razón trigonométrica varía con la medida del ángulo y no así con las dimensiones del triángulo.

A. Razones trigonométricas recíprocas de un mismo ángulo

1cscsen a

c

c

aaa

1seccos b

c

c

baa

1cottan a

b

b

aaa

B. Razones trigonométricas de ángulos complementarios (co-razones)

baba cossencossen c

a

c

a

baba cottancottan b

a

b

a

baba cscseccscsec b

c

b

c

Ejemplo 6 Si ,1)20(csc)102(sen ºº xx calcule el valor de x.

Solución

1030320102

xx

xx

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

R.T. (α) α

sen α cos α tan α cot α sec α csc α

30° 21

23 3

1 3 32 2

45° 21

21 1 1 2 2

60° 2

3 21 3 3

1 2 32

Ejemplo 7

Calcule el valor de .60tan

45tan30csc2

º

ººE

Solución

3

9

3

3

3

1222

EE

∴ 3E

2k

45º

45º

1k

1k

2k 60º

1k

30º

3k

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

Observador Horizontal a

b

Objeto

α : medida del ángulo de elevación β : medida del ángulo de depresión θ : medida del ángulo de observación

Ejemplo 8 En la parte más alta de dos edificios, cuyas alturas son 15 metros y 40 metros, se han colocado cámaras de vigilancia. En determinado momento, ambas cámaras enfocan, al mismo tiempo, a un peatón que se ubica entre los dos edificios con ángulos de depresión 𝛼 y 𝛽, 𝛼 + 𝛽 = 90°. Si 𝛼 corresponde a la cámara ubicada en el edificio más alto y cot 𝛼 = 0,5 calcule la distancia entre los edificios. Solución

ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos que se forman y se miden en un plano vertical.

d: distancia entre los edificios

2tan2

1cot aa

202

1cot

40

302tancot15

bb

aa

a

ab

∴ .50md

A) 4

3 B)

12

5 C)

13

12 D)

24

7 E)

9

7

1tan calcule el valor de

17 sec cos .2H

A) 16

17 B)

4

17 C) 4 D)

17

4 E) 1

cos2

sen

x y x yE Considere

que x e y son ángulos agudos.

A) 4

6 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1) Las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son (x 1) cm, (4x)

cm y (4x 1) cm. Calcule la tangente del menor de los ángulos de dicho

triángulo.

2) Si 𝜃 es la medida de un ángulo agudo y ,4

3) Si tan x cot y , calcule el valor de .3

2E

A) 11 B) 14 C) 13 D) 12 E) 15

4) Calcule el valor de 2cos30º tan60º 3csc 30º tan45º.

avión que se dispone a aterrizar. En ese momento, el avión se encuentra a una altura de 840 m y es observado desde la torre con un ángulo de elevación de 45°. Si la altura de la torre es de 40 metros, ¿a qué distancia se encuentra el avión del pie de la torre?

A) 1200 m B) 1160 m C) 1450 m D) 1500 m E) 1400 m

O

A(3; 2)

a

B

C (3 ; 4 )Y

X

A) 3 B) 1 C) 2 D) 3 E) 2

1cos calcule E 6 cot 42sen.

A) 7 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3

5tan23

sec44

2csc 46

º

º

º

ºM

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

5) Desde la torre de control de un aeropuerto, se establece comunicación con un

6) En la figura, calcule csca.

7) Si 0º 90º y ,7

8) Simplifique .cot 67

M (tanA tanC) senA senC .

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

2 2 º º tomando en cuenta que es la medida de un

ángulo agudo, calcule el valor de M sec tan .

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

2E

A) 11 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17

9) En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), simplifique

10) Si cot tan 60 sen 30 ,

11) Calcule el valor de 25(cos74º sen16º) 5tan 60º