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GUIA DE MATEMÁTICA – FACULTAD DE INGENIERÍA - UNNE

1

EJE TEMATICO Nº 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS.

1) a)Completa el siguiente cuadro:

Expresión

decimal

Fracción

irreducible

Número mixto

5

2

-1,8

2

13

72,1

1,5

5

2

51,

31,

b) Ordena de menor a mayor los números de la tabla anterior.

c)Ubícalos en la recta numérica y analiza que tipo de notación es la más adecuada

para su representación.

2) Se ubicaron números en la recta numérica 8

7;;;

8

1ba en ese orden. Las distancias

entre 8

1 y a, entre a y b y entre b y

8

7 son iguales. Grafica la situación en la recta

numérica marcando los cuatro números y calcula el valor de a y b.

Q

I

R Z

N0

N

C


2

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES

Aplicación de propiedades de potenciación:

Resuelve las siguientes operaciones:

38

21

2383

m

m.m:m)a

46232

2

5

5

2

3

1

3

1

3

1:.:)b

12

42

2

5

5

3

5

3

5

3

)c9

23

63

32

5

55

)d

OPERACIONES COMBINADAS

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3 233 24 )6:72.(325.2.33:)112(

b) 2816231

33 14

::

c) 5503

1421 .,,

d) 4

3

4

7

13

11

4

1

4

1

4

12234

:.


3

OPERACIONES CON RADICALES

1) Resuelve:

a) 6363

16 b) 333 5

2

15402 .

c) 3

32739 64 d)

8

14

2

1

3

2

2) Resuelve las siguientes operaciones y simplifica siempre que sea posible.

a) 8623 ... d) 2

27

b) 44

3

8

2

3: e)

2

32

c) 33 1623 .. f) 25.25

3) Racionaliza los siguientes denominadores

a) 5

1 b)

4 8

3

c) 31

4 d)

72

5

4) Sin utilizar la calculadora, analiza si las siguientes igualdades son verdaderas o

falsas.

a) 22

2 b) 13

32

126

. c) 66

61

65 .

d) 732

32 e)

10

6

5

3

212

3 f) 4

48

2

2

5) Halla el perímetro de las siguientes figuras, cuyas medidas están en centímetros.


4

NÚMEROS COMPLEJOS

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

1) Efectúa las siguientes operaciones y representa los resultados vectorialmente en el

plano complejo:

a) (5 + 7i) + (5 - 7i) =

b) (1 + 3i) + (2 + 5i) - (3 - 2i) =

c) (2 + i) + (1 + i) – [(2 + 3i) + (5 - 2i)]=

d) (3+2i) . i =

e) (3-i) . (3+i)=

f) (4+2i) : (1+i) =

2)Dados: iZ3

431

, iZ 252 ; 2

33Z ; iZ 74 .Efectuar las siguientes

operaciones:

1

21

1

31

1

2

241

321

)

)

)

5)

.)

ZZe

ZZd

Z

Zc

ZZZb

ZZZa

43

1

21

1

2

3

2

1

2341

2)

)

)

)

)

ZZ

Zj

ZZi

Zh

ZZg

ZZZZf

3) Hallar:

32

1732

.

.)

ii

iia

i

iib

8)

310

15105

1694

2)

iii

iiic


5

4) Representar los siguientes números complejos y calcular el módulo y argumento de

cada uno de ellos:

a) iZ 11 b) iZ 32

c) iZ 313

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS:

1) Marca con una cruza los conjuntos numéricos a los que pertenece cada número,

siempre que corresponda

N Z Q I

5

0,7

7

1

-3

21,

-3,7

9

2) Completa colocando > ,< o =, según corresponda.

I. ) 3

5 ………1,6

IV) -1,5……… 51,

II. ) -2,7……..-2,6 V)

9

13………. 41

,

III. ) …….0,13 VI) 2,69………2,7

3) Representa en la recta numérica:

4) Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3

2

3 1

9

13

2

31

27

1

.

:

b) 14

3

13

50

7

16

7

3

5

3

5

12:

::

5

2

310

,


6

12

2

1:11

5

3)c d)

21

3

2

3:

2

304.0

8

71

e)

7:3

2

3

1

3

4.5,01

f)

5) Resuelveaplicando propiedades y simplifica las expresiones que se obtengan.

a) 3 28 . b) 16

55

c) 5 327 .

6) Simplifica los siguientes radicales y expresa el resultado como potencia de exponente

fraccionario.

a) 4 16 b) 6 27 c) 5

1

1024

1

d) 6 83 e)

107

f) 5

2

55

1

7) Hallael perímetro y el área de las siguientes figuras, cuyas medidas están en centímetros.

8) Resuelve las siguientes operaciones y simplifica cuando sea posible.

a) 3535 . b) 6565 33 .:.

c) 3 98 . d) 5

14580 .

9) Verifica las siguientes igualdades

65320332

)ax

y

x

y.

y

x)b 6

2

15

5

42

23

iii)


7

12 174 33 2 bb.b)c 12 73

4

222

8.)d

10) Sabiendo que: Z1 =3 – 2 i ; Z2= 4 -3 i ; Z3= -3 i , calcula:

2

31

1

2

321

321

)()

)()

.2)

ZZZ

Zc

ZZZb

ZZZa

11) Calcula el conjugado del opuesto de:

EJE TEMÁTICO N°2: FUNCIONES

1) Analiza la siguiente situación: Enrique sale de su casa y se dirige hacia el almacén, compra un

paquete de yerba y retoma el camino hacia su casa. Cuando pasa por el quiosco se detiene a

comprar un chocolate, y continúa el regreso a su casa. El gráfico representa la cantidad de cuadras a

la que se encuentra de su casa en función del tiempo en minutos.

a) ¿Cuánto tiempo estuvo Enrique fuera de su casa?

b) ¿A cuántas cuadras queda el negocio que está más lejos de su casa?

c) ¿Cuánto tiempo estuvo en el almacén?

d) ¿Cuántas cuadras hay entre el almacén y el quiosco?

e) ¿En qué momento se encontraba a una cuadra de su casa?

Una relación entre dos variables es una función si a cada valor de la variable independiente le

hace corresponder un único valor de la variable dependiente. En símbolos:

f(x) es función de yxfByAxBA )(/!,

2) La relación f: Ζ→Ζ/f(x)= x-2, ¿es función?, ¿por qué?

a) ¿Cuál es la imagen de -8?

b) ¿Cuál es la pre imagen de -9?

c) Construye una tabla con algunos valores y representarla en un gráfico cartesiano. Analizar si se

deben unir los puntos obtenidos.


8

3) La relación g: Z→Z/f(x)= x2, ¿es función?, ¿por qué?

a) ¿Cuál es la imagen de 6?, y la de -6?

b) ¿Qué pre imágenes tiene 16?

c) ¿Cuál es la pre imagen de 5?, por qué?

d) Construye una tabla con algunos valores y representarla en un gráfico cartesiano.

4) La relación h:R→R/f(x)= x , ¿es función?, ¿por qué?

Nombra dos valores que no posean imagen por la función h.

5) De las siguientes gráficas, señala cuáles corresponden a una función y cuáles no. Justifica.

6) A partir de la información del gráfico, indica en forma de intervalo, el dominio y la imagen de las

funciones a) c) y e).

7) Halla el dominio de las siguientes funciones y exprésalo en forma de intervalo:

a) 53xy b) 2xy c) xy

d) 2xy e)3

1

xy f) xy 5

8) Halla el o los ceros de las siguientes funciones:

a) 52)(/: xxfRRf

b) 322)(/: 2xxgRRg

c) )3)(1()(/: xxxhRRh

9) ¿Cómo reconocemos en el gráfico de una función cuáles son sus ceros? ¿Y en una tabla?

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES


9

Una FUNCIÓN ES INYECTIVA cuando a elementos diferentes del dominio le corresponden

imágenes diferentes. Simbólicamente si: Dfbababfaf ,;)()(

Una FUNCIÓN ES SOBREYECTIVA sipara todo y perteneciente al conjunto de llegada existe un x

perteneciente al dominio tal que y=f(x). Simbólicamente si: yxfRxRy )(/, Una FUNCIÓN ES BIYECTIVA si es inyectiva y sobreyectiva

10) Confecciona una tabla de valores de cada una de las siguientes funciones definidas de R en R,

represéntalas gráficamente y clasifícalas.

a) 23xy b) 32

xy c)3

xy

11) ¿Cómo podemos comprobar gráficamente que la función dada es inyectiva o sobreyectiva?

Explica con tus palabras.

12) La siguiente tabla corresponde a la siguiente función 8)(/: xxfRRf . Se le han

borrado los valores de la variable independiente. Complétala:

X

Y 1 4 9 14

Escribe la expresión que permite encontrar cada valor faltante. ¿Dicha expresión resulta una función

de RR ? ¿Por qué?

Se llama FUNCIÓN INVERSA de una función biyectiva a BAf : a la función

xyfABf )(/: 11si y solo si yxf )( .

Por ejemplo, la función 3)(/: xxfRRf es biyectiva y su inversa es

311 )(/: xxfRRf

13) Dada la función 3)(/: xxfRRf y su inversa 311 )(/: xxfRRf , grafícalas en un

mismo par de ejes junto con y=x. Saca conclusiones acerca de la simetría de las gráficas

representadas.

RAZÓN Y PROPORCIÓN

1) Calcula el valor de x en cada proporción:

a)

2

15

2

2

1

x b)

2

7

3

2

x

x c)

3 8

367493

x d)

12

22

1

2

3

x

x

e) x

x

x 4

13 f)

0

2

7

4

4

)2(x g)

52

2

1

2 x

x

x


10

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

1) La densidad de la arena es 3

/65,1 mt . Según lo explicado en el punto anterior

a) ¿Cuál es la variable y, cuál la x?

b) Escriban la fórmula que expresa y en función de x.

c) Completen la tabla y representen la relación en un gráfico cartesiano

Volumen 1m3 2m

3 2,5m

3 3m

3 4m

3

Masa

2) Recuerden la definición de función y fundamenten por qué las relaciones de proporcionalidad

directa son funciones. ¿Qué tipo de funciones son? (inyectiva, sobreyectiva, etc.)

3) Alba hizo 15 horas extras y cobró $1550.¿Cuál es la función que expresa el dinero cobrado en

función de las horas trabajadas?

4) El vendedor de una fábrica de muñecas ofrece dos modelos, cinco unidades del primero costaban

$110 y tres unidades del segundo, $81. ¿Cuál de los dos modelos resulta más barato por unidad?

5) El mes pasado Ana pagó $103,6 de energía eléctrica en total, $28 de cargo fijo y $75,6 por 1800

kW. Este mes tuvo mucho cuidado y solo consumió 1200 kW. Está enojadísima porque asegura

que le facturaron de más, sostiene que si gastó los dos tercios del mes anterior, debe pagar dos

tercios del importe anterior. Calcular cuánto tiene que pagar este mes para saber si está en lo cierto

o no.

PROPORCIONALIDAD INVERSA

1) Dado un triángulo de área 4 m2

completar la tabla con los posibles valores de base y altura y

representar gráficamente.

Base 0,5 2m 3m 4m 1m

Altura

2) ¿Cuáles de estas fórmulas pueden corresponder a funciones que relacionen magnitudes

inversamente proporcionales?

a)2

3xy b) 14xy c) xxy 38

d)2

xy e) 9y f)

xy

1.3

3) Un grupo de turistas alquiló una camioneta para realizar un viaje de 450 km.

a) ¿Cuánto tardan yendo a una velocidad de 50 km/h?

b) A qué velocidad media fueron si hicieron el trayecto en 4h 30 min?

c) Definan la función que expresa la relación entre tiempo y velocidad en este problema.

4) Un ganadero tiene suficiente forraje para alimentar a sus 180 ovejas durante 35 días, si compra

30 ovejas más, ¿cuántos días podrá alimentar a todas con la misma cantidad de forraje?

PORCENTAJES

1) Calcula en cada caso;


11

a) el 25% de 1200 =

b) el 75% de ______ = 27

c) el ___% de 500 = 80

2) Una bicicleta de montaña cuesta $1450, pero en la tienda hacen una rebaja del 15 %, ¿Cuánto

pagará por la bicicleta finalmente?

3) Al comprar un producto nos rebajan un 8 %. Pagué 48.000 euros. ¿Cuál era el precio original?

4) El precio de una lavadora es $3000 (IVA incluido). Si el comerciante decide no cobrarme el 21

% de IVA. ¿Cuál es el precio de la lavadora sin IVA?

5) Si en un rectángulo se aumentan la base y la altura en un 10%, en que porcentaje se aumenta el

área del mismo

6) Efectuar 2 descuentos consecutivos: primero de un 10% y sobre este resultado otro de un 20% es

equivalente a efectuar un descuento único de :…….


1) En qué casos de los siguientes ejemplos, las magnitudes son directa o inversamente

proporcionales? Justificar respuesta.

a) Velocidad de un coche y tiempo empleado en hacer un recorrido.

b) Peso de carne y precio a pagar por ella.

c) Espacio recorrido por un coche y tiempo empleado en recorrerlo.

d) Número de pintores y tiempo empleado en pintar una valla.

e) Número de desagües de un depósito y tiempo empleado en vaciarlo.

f) El tiempo de funcionamiento de una máquina y la cantidad de electricidad que consume.

g) En las taquillas de un estadio deportivo, el número de ventanillas abiertas y el tiempo de espera

en la cola.

h) Las llamadas telefónicas que se han efectuado y su importe.

i) La velocidad del procesador de un ordenador y el tiempo que tarda en procesar la información.

2) Identifica el tipo de proporcionalidad y resuelve los siguientes problemas:

a) Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días.

¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

b) Un kilopondio son 9,8 Newton. ¿Cuántos kph son 20 Newton?

c) Un corredor da 5 vueltas a una pista polideportiva en 15 minutos. Si sigue al mismo ritmo,

¿cuánto tardará en dar 25 vueltas?

d) Para recorrer los 360 km que hay entre Madrid y Valencia un coche tardó 3 horas a una

velocidad de 120 km/h. Si disminuye la velocidad a 100 km/h, ¿cuánto tardará?

e) En un taller de confección, si se trabajan 8 horas diarias se taran 6 días en servir un pedido.

¿Cuánto se tardará en servir el pedido si se trabajan 12 horas diarias?

f) Si 400 gramos de salmón ahumado cuestan $32, ¿cuánto pagaré por 1,5 kg?


12

g) El coche recorre 309 km en 3 horas ¿cuántos kilómetros recorre en 7 horas?, ¿y en una hora?

3) Resuelve:

El 60% de 950 es: Si 200 lo incrementamos en un 105 % obtenemos:

El % de 400 es 760

El 165% de 400 es

El 105% de es 525

Si 425 lo incrementamos en un 20 % obtenemos

Si 700 disminuye en un 95% queda

4) Al comprar un monitor que cuesta $950 nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que

pagar?

5) Al adquirir un vehículo cuyo precio es de $48800, nos hacen un descuento del 7,5%. ¿Cuánto

hay que pagar por el vehículo?

6) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de

viaje?

7) En un pueblo de 9800 habitantes el 56% son mujeres. ¿Qué porcentaje de varones hay? ¿Cuántos

varones son?

8) Un artículo se rebaja de 2.700 euros a 2.400 euros. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja?

EJE TEMATICO N° 3: ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

¿Son ecuaciones de primer grado con una incógnita? ¿Por qué?

23xx mpm 2

x5

46 xsen

2

2

xxx 22 x36

32.3 xx 2326 3x

1) Halla el valor de x

a) 2535 xx b) 1256 :x

c) 3156 x: d) 442 x.


13

e) xx

3

15

6 f)

6

13

3

131

2

1xxx

2) Resolver

a) La superficie de un cuadrado es 169 cm2. ¿Cuál será su perímetro?

b) Un terreno de forma rectangular tiene una superficie de 640 m2. Si el frente mide 16m,

¿cuántos metros de rejas perimetral habrá que construir?

c) Calcula la amplitud de ˆ sabiendo que es el triple de la amplitud del complemento de un

ángulo de 27° 34’ 52’’.

d) Los ángulos ˆ y ˆ son complementarios. La amplitud de ˆ es el triple de la de ˆ .

¿Cuáles son las amplitudes de cada uno?

FUNCIÓN LINEAL

Situación problemática: Para alquilar una maquina vial el monto es de $1500.00, en el contrato de

alquiler dice que por cada día de uso se sumara $100.00, por gastos de amortización. Si alquilamos esta maquina, y quisiéramos tener una forma rápida de calcular el gasto. Sabiendo

que d = días de alquiler de la maquina y p = pesos invertidos.

¿Cual seria la función buscada?

¿Cual es la variable independiente y la variable dependiente?

¿Cual es el dominio y cual es el conjunto imagen de la función?

Graficar la función y analizar su comportamiento.

diasdecantidadalquilerdepesos .100$1500$

Por lo tanto, Función Buscada dp 1001500

200

400

800

600

1000

900

1200

1400

1600

1 2 3 654 10 11987d (dias)

1800

2000

2200

2400

2600

p (pesos)

(0; 1500)(1; 1600)

(2; 1700)

(9; 2400)

Grafica días – pesos


14

Observemos en la grafica que dando valores a “d” obtenemos valores de “p”.

p esta en función de d

dfp d 1001500

Ejemplo: Damos valores a d:

0 días 15000.10015000f

1 día 16001.10015001f

2 días 17002.10015002f

Con estos valores podemos armar la grafica.

La variable independiente en este caso son los días “d” y la variable dependiente es el precio “p”.

Si quisiéramos saber el precio en otro valor de “d” ejemplo d=9 días entonces p = $2400

Sobre el dominio podemos decir que serian los valores que puede tomar “d” desde 0 días al fin del

contrato. La imagen es desde $1500 hasta el valor de pesos de alquiler en el fin de contrato.

Una función de la forma bmxf x es una FUNCION LINEAL, donde “m” y “b” son

números reales y “x” es la variable independiente.

El grafico de una función lineal es una recta.

El dominio son todos los números reales y la imagen son también los números reales.

La pendiente (inclinación) de una función lineal “m” es la variación de la variable

dependiente dividido por el respectivo cambio variable independiente. 12

12

xx

yy

x

ym

y

7

6

5

x4 5321

4

3

2

1

-1-2-3-4

-1

-2

y=2x+3

ordenada al origen = 3

(2; 7)

(-1; 1)

x

y

-x

5

4

3

x=1

y=2

21

2

x

ym

Vemos en este ejemplo la pendiente m = 2.

La ordenada al origen, b = 3,

que es donde corta al eje y.

Para armar la grafica con dos puntos es suficiente, en

este ejemplo los puntos son

(-1, 1), (2, 7).

Grafica de una función lineal 32xf x

1- Indica si cada una de las siguientes formulas puede corresponder a una función lineal.

¿Es función lineal? ¿Es función lineal?


15

23xy Si / No xy 312 Si / No

xy

5

4 Si / No 23x Si / No

xy3

1 Si / No

23xy Si / No

35,0 xy Si / No 23 3xy Si / No

2-Dada la siguiente función: 12

1xy

a) Represéntala gráficamente.

b) Indica dominio e imagen.

c) ¿Cuál es la pendiente en esta función?, ¿Qué representa el signo de ese número?

d) ¿Cuál es la pendiente si fuera una función constante?

e) Analiza en que valor la función corta a cada uno de los ejes cartesianos

f) ¿Para que valores de x la función es mayor que 2?

3-Analiza si: Rectas verticales son graficas de funciones lineales.

4-Dadas las formulas de las siguientes funciones lineales, determina en cada caso la pendiente y la

ordenada al origen. Intersección con el eje x. Analiza en cada una si es creciente o decreciente.

Grafícala.

a) 85xxf b) 3523 yx c) 92

1yx

5-Dados los siguientes gráficos, indica la formula correspondiente a cada función.

a)

y

7

6

5

x4 5321

4

3

2

1

-1-2-3-4

-1

-2

-x

b)

y

7

6

5

x4 5321

4

3

2

1

-1-2-3-4

-1

-2

-x


16

c)

y

7

6

5

x4 5321

4

3

2

1

-1-2-3-4

-1

-2

-x 0

d)

y

7

6

5

x4 5321

4

3

2

1

-1-2-3-4

-1

-2

-x 0

6- Grafica en un mismo sistema de ejes las siguientes funciones lineales.

a)

2

12

1

xy

xy

b)

12

32

2

xy

xy

xy

c)

12

3

13

2

xy

xy

SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Un Sistema de ecuaciones se puede clasificar en:

COMPATIBLE DETERMINADO si su conjunto solución está formado por un solo punto.

COMPATIBLE INDETERMINADO si su conjunto solución tiene infinitos puntos.

INCOMPATIBLE si su conjunto solución es vacío.

1- Resuelve analíticamente y gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones. Clasifica el

conjunto solución.

a)2550

50

xy

xyb)

1084

542

yx

yxc)

12

132

yx

yx

2- Un grupo de estudiantes va al cine con sus maestros. La entrada de los adultos cuesta $ 7 y de

los niños $ 4,50. Ala salida van todos a una confitería, a tomar algo. Los adultos toman café, que

cuesta $ 1,50 y los niños toman gaseosa, que cuesta $ 2,50. si pagaron $ 153 en el cine y $ 63,50 en

la confitería, ¿Cuántos niños y cuántos adultos fueron al cine?

3- ¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16cm y que su base es el triple

de su altura?

4- La suma entre dos números es 16, el triple del mayor de ellos es cuatro veces el menor, menos

uno. ¿Cuáles son esos números?

VALOR ABSOLUTO


17

1-Dados los siguientes valores: x = 2 e y = -3 halla:

x

yxd

yx

yxc

yxb

yxa

.)

)

)

)

2- Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y= |x-1|

b) y= 2| x+1|

c) y= |3x|-2

3- Menciona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) el módulo de |a+b| = |a| + |b|

b) el resultado del valor absoluto es siempre positivo

c) x - |x| = 0

d) x + 5 - |x+5| = 0


1- Resuelve las siguientes ecuaciones:

205:3)

73:)54)(

2:)5(2)5(3

2)

2:)2(3:2:)

xd

xxc

xxb

xxxa

0)2(3)1(4)

)1(5)2(358)

5,15,02:)3)(

xxxg

pppf

xxe

2- Resuelve los siguientes problemas:

a) Cuatro números consecutivos suman 126. ¿Cuáles son esos números?

b) Halla un número tal que la suma de los respectivos cocientes entre dicho número y los números

4,5 y 7 sea 664.

c) En una competencia internacional, los nadadores deben realizar una prueba nadando en tres

estilos: mariposa, crol y espalda. Del total de metros que forman la prueba, 8

3 son mariposa,

3

1en

crol y 700 m. en espalda. ¿Cuántos metros deben nadar en cada estilo?


18

3- Con 50 m de alambre se quiere alambrar un jardín rectangular de largo L y de altura X.

a) Considera las posibles medidas del rectángulo y completa la siguiente tabla que vincula el

ancho al largo del mismo:

Largo L (m) 15 8

Ancho X (m) 5 15

b) ¿Entre que valores variarán las medidas de los lados del rectángulo para que le alcance el

alambre?

c) Busca la expresión del largo L en función de la altura X.

d) Grafica aproximadamente a partir de la tabla de valores.

e) ¿Cuál es el dominio y la imagen de la función?

4- La doctora Diet, nutricionista, registra una vez al mes, en un gráfico cartesiano, la variación del

peso en gramos de sus pacientes en función del tiempo. Este grafico corresponde a la señora

Pacient, quien comenzó la dieta con 98kg y realiza su consulta a la doctora, una vez al mes.

a) ¿Cuánto pesaba en la tercera consulta?

b) ¿Cuánto aumentó entre el cuarto y el quinto mes?

c) ¿En qué mes la paciente alcanzó su menor peso? ¿Y el mayor?

d) ¿En qué períodos bajó de peso?

e) ¿En qué períodos subió de peso?

f) ¿Hubo algún momento en el que su peso no varió?

g) ¿En qué mes meses la paciente volvió a pesar lo mismo que al comenzar el tratamiento?

h) ¿que valores de la variable independiente corresponden a los ceros de la función? ¿Cómo se

denominan a los intervalos en que la paciente aumentó de peso y cómo en los que bajó?

5- La moderna fábrica antideslizantes P & C está desarrollando un nuevo tipo de plastificado de alta

resistencia para uso industrial. Este plastificado lleva un pulido especial. Los técnicos que probaron

1 2

8 71

6 5 4 3 18 1

3 12 11

10

9

17 16 15 14

1000

-3000

-2000

-1000

Tiempo

(meses)

Variación

del peso

(gramos)

L

X


19

las distintas posibilidades de pulido establecieron el precio del metro cuadrado de piso listo para

transitar en función de la superficie que ocupa. El mejor sistema que han encontrado cuesta $50 el

metro cuadrado. Además, cobran un gasto fijo de asesoramiento permanente de $120.

Considera la función p(s) que asigna el precio correspondiente p (en $) a la superficie s depiso

plastificado (en m2).

a) Completa la siguiente tabla de valores

Superficie (m2) Precio ($)

0.5

1

1.5

2

2.5

3

b) Vuelca los valores en un sistema de ejes cartesianos y traza la recta determinada por los puntos

que marcaron.

c) Escribe la fórmula de p(s)

d) ¿Cuál es la variable independiente y cual la dependiente?

e) ¿Cuál es el dominio y cual es el conjunto imagen de la función p(s) en esta situación?

f) ¿cuánto cuesta plastificar un piso de 25 m2?

g) ¿Qué superficie tiene un piso cuyo plastificado cuesta $245?

h) ¿Es cierto que el precio es directamente proporcional a la superficie de piso plastificado? ¿Por

qué?

6- Les presentamos distintos gráficos y distintas condiciones que deben cumplir las formulas que

pueden representarlos. Une con flechas que formula corresponde a cada gráfico y justifica la

respuesta:

0;0 mb

bmxy

0;0 mb

bmxy

0;0 mb

bmxy

0;0 mb

bmxy

7- Dadas las fórmulas de las siguientes funciones lineales, determinen en cada caso la pendiente y la

ordenada al origen. Intersección con el eje x. Analiza en cada una si es creciente o decreciente.

Grafícala.


20

a) xxxf 4582)( b) 1295 yx c) xy 32

- Determine analítica y gráficamente para que valores de x la función f(x) del ítem a) del punto

anterior la función toma valores menores o iguales a -2.

8- Encuentre gráfica y analíticamente el conjunto solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:

yyx

yxa

610)3(2

56)

xyy

xyxb

82

542)

9- Ariel y Nicolás tienen en conjunto 25 figuritas. Si Ariel le diera a Nicolás 5 figuritas, éste tendría 4 más que el doble de las que le quedaron a Ariel. ¿Cuántas figuritas tienen cada uno?

10- Halla dos números cuyo cociente sea 5

4y su producto 80.

11- Halla los valores de x que verifican las siguientes ecuaciones. Escribe el conjunto solución.

12- Las siguientes funciones son corrimientos de , grafícalas y escriban sus fórmulas

como funciones partidas.

EJE TEMATICO N° 4: FUNCIÓN CUADRÁTICA

Situación problemática: En el depósito de una escuela hay 60 m. de listones de madera con los que

se quiere construir un arenero de forma rectangular. La Directora quiere que el arenero tenga mayor

superficie posible para que los chicos lo aprovechen mejor. ¿Qué medidas debe tener el arenero?

Confecciona una tabla y establece la expresión que permite calcular el área del arenero en función

de los lados.

FUNCIÓN CUADRATICA es de la forma: cxbxaxf ..)( 2(forma polinómica) o

1) Completa las siguientes tablas y representa gráficamente a cada una de las funciones:

32)

0)

2)

9)

xd

xc

xb

xa

181)

81)

64)

xg

xf

xe

xxf )(

2)()

83)()

2)()

xxpc

xxtb

xxha


21

x y=3x2

x y=-3x2

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3

Observando los gráficos, completa:

a) Las parábolas del gráfico tienen eje de simetría x =……… y vértice en V= ( ; )

b) Si a 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia……………………

c) Si a 0, las ramas de la parábola están orientadas hacia……………………

2) Completa las siguientes tablas y representa gráficamente a cada una de las funciones:

x y=x2+2 x y=x

2-2

-2 -2

-1 -1

0 0

1 1

2 2

3 3


a) Como todas las parábolas tienen a =………sus ramas están orientadas hacia……………………

b) ¿qué conclusión puedes sacar con respecto al vértice de las parábolas?

3) Completa las siguientes tablas y representa las funciones:

x y=(x-2)2 x y=(x+2)

2

-1 -3

0 -2,5

1 -1,5

1,5 -1

2 0

2,5 1

3 1,5


Todas las parábolas correspondientes a funciones de tipo 2

axy tienen eje de simetría x

=……………………… y vértice en V= ( ; ).


22

4)En un campo se comienza a criar una cierta cantidad de conejos en agosto de 2009. La

siguiente función permite calcular la cantidad de conejos que se tendrá x meses después.

)50)(10(3)( xxxC

a) ¿En qué mes la población de conejos será máxima?

b) ¿Cuál será la mayor cantidad de conejos que se tendrá en el campo?

c) ¿Cuántos conejos hubo en enero del 2010?

d) ¿Se extingue en algún momento la población de conejos?

e) ¿En qué meses se contarán con más de 2500 conejos en el campo?

5) Dadas las siguientes funciones:

a) y = (x−1)²

b) y = 3(x−1)² + 1

c ) y = 3x² + 12x − 5

f ) y = −x² − x + 3

Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de cada una.

Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas.

Represéntalas gráficamente.

Indica en cada caso, concavidad e intervalos de positividad y negatividad.

6) Una función cuadrática tiene una expresión de la forma axaxy .2 y pasa por el punto

(1, 9).

7) Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) 0652 xx

b) 012 xx

c) 22132 xxx

d) - 03

1

6

72 xx

8)Resuelve las ecuaciones de 2º grado incompletas

a) - 05

2 2x

b) 052 xx


23

c) 024 2x

9) Reconstruye las ecuaciones de segundo grado conociendo sus raíces:

4

12

1

)

2

1

x

xa

3

5)

2

1

x

xb

ix

ixc

.21

.21)

2

1

31

31)

2

1

x

xd

10)La velocidad V de un misil (en metros por segundo), t segundos después de ser lanzado está

dada por la función: 10.2.54 2ttV

a) ¿Cuál es la Velocidad máxima que alcanza el misil y en que momento se produce?

b) ¿Luego de cuánto tiempo el misil se detiene?

c) ¿En qué momento la velocidad del misil será de 350 km/h? ¿Y de 400km/h?

11) Si la suma de dos números es 15, halla el producto máximo.

12) Dos números tienen una diferencia de 3 y su producto es 270. ¿Cuáles son esos números?

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1) Graficar las siguientes funciones. Indicar Dominio, Imagen, Concavidad y Raíces.

a ) y = −3(x − 2)² − 5

b) y = x² − 7x −18

c ) y = x² − 5x + 3

d) y = 2x² − 5x + 4

e ) y = x² − 2x + 4

2) Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) 0522 xx

b) 01362 xx

c) 01072 xx

d) 0122 xx

e) 13618 xxx


24

f) 0156 2 xx

g) 062 2 xx

h) 012x

i) 092x

j) 082 2x

k) 0312 2 xx

l) 042x

m) 0252x

n) 0164 2x

o) 036 2 xx

3) Dada las siguientes raíces, reconstruir la ecuación polinómica de segundo grado.

EJE TEMATICO Nº 5: FUNCIONES Y ECUACIONES POLINÓMICAS

Situación Problemática:Para que el diseño de una piscina sea armonioso debe tener el doble de

largo que de ancho, y algunos afirman que la profundidad debería tener la mitad del ancho. Un

arquitecto averigua que el material para las paredes y el piso cuesta $75 el m2; las soldaduras para

las juntas $40 el m; la excavación y colocación $50 el m3, y $100 le cobran para el traslado de

materiales.

a) ¿Cuánto costará una pileta de 5m de ancho?

b) Se dispone de $10000 ¿Puede construirse una pileta de 8m de largo?

c) ¿Cuáles son las dimensiones máximas que puede tener una pileta si se tiene $5665?

Alto: (½).x

Ancho: x

Largo: 2.x


25

DEFINICIÓN: LaFunción Polinómicaes toda expresión de la forma:

, donde es diferente de cero.

En esta definiciónse dice que es una función polinómica de n-ésimo grado.

Son números Reales y sedenominancoeficientes de la función; es el

coeficiente principal, es el coeficiente del término independiente; n es el grado del polinomio.

Nota: una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una función lineal es

un polinomio de primer grado, una función cuadrática es un polinomio de segundo grado. La

función P(x) = 0 es el polinomio nulo que no tiene grado.

1) Determina cuáles de las siguientes expresiones son polinomios y cuáles no. Justifica. En caso de

que lo sean determina el grado, coeficiente principal y término independiente.

2) Resuelve las siguientes ecuaciones y escribe el conjunto solución, en el ítem c utiliza el factor

común.

3) Analiza en las siguientes gráficas intervalos de crecimiento y de decrecimiento. Realiza una

comparación de las curvas en cada gráfica. ¿Qué tipo de simetría se observa en cada una?


26

4) Realiza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas, hallando previamente la

intersección con los ejes y tablas de valores:

a) b) c)

OPERACIONES CON POLINOMIOS

5) Se quiere romper una pared rectangular para colocar una ventana también rectangular. El largo

de la pared es el doble del de la ventana, y las alturas de ambas son medio metro menor que sus

respectivos largos.

a) Expresen el área de la pared que queda sin romper, en función del largo de la ventana.

b) Hallen las medidas de la ventana y la pared si el área de la pared que queda sin romper es 6m2

6) Dados los polinomios:

Realiza las

siguientes operaciones: A+C; A - D; D-C+B; D-(C + B)

7) Escribe: a) dos polinomios de grado 3 cuya suma sea de grado 2.

b) dos polinomios de grado 4 cuya suma sea de grado 1.

c) dos polinomios de grado 7 cuya suma sea 0.


27

d) dos polinomios de grado 2 cuya suma no tenga grado.

8) Sabiendo que:

Realiza las operaciones indicadas: C.E; A.D;B.B; A.C

9) Multiplica los siguientes binomios y descubre una regla general:

10) Resuelve las siguientes divisiones, indica cociente, resto y realiza la comprobación:

11) Indica Verdadero o Falso:a)

12) Utiliza la Regla de Ruffini para efectuar las siguientes divisiones. Indica el cociente, el resto y

verifica.

13) Considera los polinomios:

Indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas:

14) Calcula el resto de:

15) Une con flechas los polinomios con sus respectivas raíces:

-2

-1


28

0

1

2

4

Paradescomponer polinomios en sus raíces oFactorear Polinomios se puede utilizar el factor

común, el factor común en grupos, el trinomio cuadrado perfecto, el cuatrinomio cubo perfecto, la

diferencia de cuadrados y la suma o diferencia de potencias de igual grado. Ejemplos:

Factor común:

Factor común en grupos:

Trinomio Cuadrado Perfecto:

Cuatrinomio Cubo Perfecto:

Diferencia de Cuadrados:

Producto de suma por diferencia de potencias de igual grado:

=

16) Reconoce el método a utilizar y luego factorea los siguientes polinomios


1) Resuelve:

a) 023 23 xxx b) 063.32.2.13 xxxx

c) 06.2092 xxx

2) Representa aproximadamente el gráfico de las siguientes funciones polinómicas:

a) uzuyxzxy b) 963 6128 xxx

c) 424

1 242 xyyx d) yyxxy 15562 2

e) zyzxzyx 222 f) 123 xxx

g)2442 zyyx h)

232 8xyx


29

a) 128)( 23 xxxxf b) 8126)( 23 xxxxf c) 2

2.1)( xxxf

d) 2

3.1.2)( xxxf e) 2

3.2.)( xxxxf f) 3

3.5,0)( xxxf

3) Sean 82 36 xxxxP y xxxQ 82 2

Calcula: a) P(x) + Q(x), b) P(x) – Q(x), c) P(x). Q(x) y d) P(x)/ Q(x)

4) Sean 15

3

7

9

5

8

2

3 234 xxxxxP y 45

8

2

3 2 xxxQ .

Calcula: a) P(x) + Q(x), b) P(x) – Q(x), c) P(x). Q(x) y d) P(x)/ Q(x)

5) Aplica la relación rcdD . para encontrar un polinomio que dividido entre 12x de cociente

3x y resto 2x .

6) Reconoce y aplica los casos de factoreo, luego resuelve:

7) Comprueba si los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

a) tiene por factor

b) tienen por factores a

c) tienen por factores

a) 128 6481 ba b) 422

nn

c) 4804 36xx d) 1833 2

pp

e) cabbcaba2222 18123 f)

2323 279 abba

g) 43 24xx h)

21 yxyx

i) 127 222aaaa j) xxx 14440 35

k) yzxzyxyx22 2 l)

222 92 xbaba

m) 222 92 xbaba n) 6464 639

xxx

o) xyyx 81625 22

p) 222 254 xxa

q) 357 108 mmm r)

44yx

s) 22

yxba t) 22 21 yxyx


30

d) (x10

− 1024) tienen por factores

8) Factorea y calcula las raíces de los siguientes polinomios

a) x3 + x

2 =

b) 3x4 + 6x

2 =

c) – 4 =

d) 9 + 6x + x2 =

e) =

f) 424

1 242 xyyx

9) Factorea de dos maneras diferentes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j) 2442 zyyx

EJE TEMATICO Nº 6: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

1) Una bomba tarda una cierta cantidad de horas en llenar unacuario municipal, mientras que una

boca tarda 8 horas más en desagotarla. ¿Qué fracción de la pileta se llena dejando abiertas,

simultáneamente, la bomba y la boca durante 1 hora?

Como los términos de estas fracciones son polinomios, las llamamos fracciones algebraicas. Si la

bomba tarda 6 horas en llenar la pileta, ¿Cuál es la solución del problema anterior?

2) Completa con el numerador o el denominador para que las fracciones resulten equivalentes.

a) b) = c)


31

3) Simplifica:

a ) b) c ) d)

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Mult ipl ica las f racciones algebra icas :

a) b)

Divide las f racciones a lgebra icas :

a) b)


1) Factorea los polinomios:

a) 9x4 − 36x

2 =

b) 3x5

+ 60x3 + 300x =

c) 6x5

− 36x3 + 54x =

d) 2x4 − 50x

2 =

e ) 2x5 − 32x =

f ) =

g) xy − 4x − 3y + 12 =

h) 36x2 − 1=

i ) 3x6

− 192 =

j ) x2 − 2x + 1 =

k) x2 − 6x + 9 =

l ) x2 − 20x + 100 =

m) x 2 + 10x +25 =

n) x2 + 14x + 49 =


32

o) x3 − 4x

2 + 4x =

p) 3x7

− 27x =

q)

r )


60

2) Simplifica:

a) b)

3) Realiza las siguientes operaciones:

a) 22

4

x

x

x; b)

a

a

a

a 1

1

2; c)

1.

1

2

x

x

x;

d) x

yx

x

yx:

3 2e)

1

45

1

23

1

32

x

x

x

x

x

x

f) yx

yx1 ;g)

4

5

2

32

yyh)

ab

a

5

5

5

4) Calcula y simplifica al máximo los resultados:

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

3

1

2)

4

5:

1

4

2

3)

46

1.

1

23)

11

3)

xxxxd

x

x

xxc

x

x

x

xxb

x

x

xa

2

2

42

2)

1

1

)

11)

1

4

1

3)

2

2

2

2

x

x

x

x

x

xh

yx

yx

yx

yx

g

x

x

x

xxf

xxe

EJE TEMÁTICO N°6: FUNCIONES Y ECUACIONES

EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

DEFINICIÓN DE LOGARITMO

xayx y

alog 01 aya .

Ejemplos

1) Halla el valor de los siguientes logaritmos sin calculadora:

11801log

82∴38log

0

18

3

2


61

a>1y

x

a<1

4

1log)

2

1a2

12log)b

6

136log)c

1000

110log)d

FUNCIÓN EXPONENCIAL

La función exponencial es una función de la forma x

X af )( , donde a es un número

real mayor que cero y distinto de 1, 01 aya .

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica es una función de la forma xf aX log)( , donde a es un

número real mayor que cero y distinto de 1 01 aya .

2) Grafica en un mismo sistema coordenado, las siguientes funciones ¿que

conclusión se deriva de la observación de las graficas?

a>1

y

x

a<1

1


62

xxfa 4)();

xxg 4log)(xxfb 3)()

; xxg 3log)(

4) Grafica las funciones y encuentra su domino:

32)() xxfa b)

x

xf3

1)( xxfc 3.3)()

)13log()() xxfe )(log)()2

1 xxff

g) La variación de la tensión eléctrica sobre el condensador, medida en voltios,

durante el período de carga del condensador, responde a la siguiente función t

t eV .25,01.9.Grafique la variación de la tensión de 0 a 10 segundos. Variable

independiente: tiempo (segundos), variable dependiente: tensión eléctrica (voltios)

5) Desarrolla aplicando propiedades

c.b.a

babalog)a b

3

3 2

2

b.a

n.mlog)b a

ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

6) Resuelve las siguientes ecuaciones

052 )x(log)a 412 xlog.)b2

15 333 loglogxlog)c

3log2

1)6.(3log6log) 222 xxd 5)32ln() xe 322) 510xf

9

483.2.3) 52 xxxg

17) xeh


1) Grafica las funciones y encuentra su domino:

13)() xxfa xxfb 2)() 2log)() xxfc 1log)() 2 xxfd


63

e) La variación de la corriente eléctrica sobre una bobina, medida en amperes,

durante el período transitorio de conexión a una batería, responde a la siguiente

función t

t eI .4,01.12.

Grafique la variación de la corriente eléctrica de 0

a 10 segundos. Variable independiente: tiempo (segundos), variable dependiente:

Corriente eléctrica (Amper)

2) Resuelve las siguientes ecuaciones

xlogxloglog)b ,,, 28 5050502

12log) 2 xc

4log) 2 xd2

log288loglog.2)x

xe xf 100log) 2 644.2) xxg

09

73.103) 1 xxh

EJE TEMATICO Nº7: TRIGONOMENTRIA

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1) Tomando como figura de análisis el triángulo ABC

calcular los lados y ángulos faltantes.

DATOS:

a) .

º

cm9a

60B b)

.m5a

m3b c)

.dm6b

dm8c

d) .

º

m2c

45C e)

.

º

cm12a

47C f)

., dm61a

cm12c

2) Calcular la superficie de un campo rectangular sabiendo que un alambrado que lo

atraviesa diagonalmente tiene una longitud de 650m y forma con uno de los lados

limítrofes un ángulo de 40º.

3)Un árbol quebrado por el viento forma un ángulo recto con el suelo. Si la parte

quebrada forma un ángulo de 400 con el piso y la copa del árbol se eleva hasta una

altura de 3 m desde la base, ¿qué altura tenía el árbol?

05510 55 xlog.xlog.)a


64

SISTEMA CIRCULAR

En este sistema la unidad de medida es el radián (rad).

Un radián es la medida del ángulo con vértice en el centro de la circunferencia y

cuyos lados determinan sobre ella un arco de longitud igual al radio r. Se simboliza 1

rad.

Si a un ángulo de un giro ( ) le asignamos el valor , o sea; la longitud de

la circunferencia de radio 1. Decimos que tiene como medida radianes.

Por lo tanto:

SEXAGESIMAL CIRCULAR

360°

Completar:

SEXAGESIMAL CIRCULAR

36°

810°

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS


60

1) Utiliza una calculadora y encuentra las razones trigonométricas de los ángulos: 0º,

25º, 45º, 70º y 85º. ¿Entre qué valores varía el seno y el coseno?

2) Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones

trigonométricas de los siguientes ángulos:

a) 19º b) 34º 12 ’32” c) 55º d) 12,5º

3) Confecciona, en hoja cuadriculada, la representación segmentaria de las funciones

trigonométricas correspondientes a los cuatro cuadrantes.

4) Aplicando el Teorema de Pitágoras, calcular las funciones trigonométricas de “ ”

con un error menor a 1 centésimo, sabiendo que:

Sen = 4/5 Cos =

Tg = 4/5

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Identidades fundamentales

sen² α + cos² α = 1

sen 2

α = 1- cos 2

α

cos 2

α = 1- sen 2

α

cos

sentg

Verificar las siguientes identidades

a) gcot

gcotsentg.sen1 b)

cos.sengcottg

1


72

c) 222

sencoscossen d) cossec

cos

)cos.(cos 11

e) 1

1

1

1

gcot

gcot

tg

tg f)

tgsen

cossen 11

g) 1eccos

cos

eccos

sen

h) 1eccos.cos.tg

i) tgsec.sen j)

cos.sengcottg

1

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

1) En los siguientes triángulos rectángulos, calcula las seis razones trigonométricas

para sus ángulos agudos.

2) Dado el siguiente triangulo rectángulo, resuelve:

a) Datos: B = 3 m ; C = 4 m Calcula: , , A y el área del triángulo

b)Datos: A = 6,3 cm; B = 3 cm. Calcula: C, , y el área del triángulo bac.

c)Datos: A = 25 cm, b = 300. Calcula: , B, C y el área del triángulo bac.

d) Datos: C = 14,3 cm; c= 250 32

40´´. Calcula: , B, A y el área del triángulo bac.

e) Datos: B = 1,5 cm; c = 510 20

´. Calcula: , A, C y el área del triángulo bac.


73

3)Para determinar la altura de un poste, un observador O, se coloca a 3,5 m de su pie

y ve al poste bajo un ángulo de 530 20

15´´. ¿Cuál es la altura del poste?

4) Un cuadrado tiene 3 m de lado.

a) Calcula su diagonal.

b) Calcula trigonométricamente el ángulo que forma la diagonal con el lado.

5) Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m c

uando el ángulo de elevación del sol es de 53º. Haz un dibujo del problema.

6) Un avión se encuentra a 2300 m de altura cuando comienza su descenso para

aterrizar. ¿Qué distancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con

un ángulo de depresión de 25º? Haz un dibujo del problema

7) Un edificio tiene una altura de 75 m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta

cuando el sol tiene un ángulo de elevación de 43º?. Haz un dibujo del problema

8) La longitud del hilo que sujeta un barrilete es de 15 m y el ángulo de elevación es

de 30º. ¿Qué altura alcanza el cometa?

9) En la tabla aparecen diferentes ángulos en dos sistemas de medición diferentes: el

sistema Sexagesimal y en Sistema Circular. Convierte cada uno de ellos al otro

sistema.

25º 38´ 16” 1528” 25´38”

5/8 Π rad 3.458 rad

10) a) En una circunferencia trigonométrica, representa segmentariamente las

funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante de

los siguientes ángulos: α= 30º; β= 120º; γ= 210º y δ= 315º; colocando el signo

correspondiente.

b) Mide con regla cada uno de los segmentos y anota el valor obtenido.

c) Calcula cada una de las funciones y compara los resultados.

d) ¿Que pasaría si el radio de la circunferencia fuera de 5 cm? En caso de no

obtener segmentariamente los mismos resultados que los arrojados por la

calculadora. ¿Como se procedería para obtener el valor real de la función?

11) A partir de una función conocida, calcular las demás funciones trigonométricas.

a) sen α= 1/3 y α pertenece al segundo cuadrante

b) con α= 3/5 y α pertenece al tercer cuadrante


74

12) Verifica las siguientes identidades trigonométricas:

a) 222 cot.sec. gsen = 1

b) 2222 ..cot..cos. sengectg = 1

c) coscot.. gsen = sec

2

d) 1sec.sen = cos

cossen

e) gtg cot.1.cos1 22 = tg

f) gtg cot = sec.cos ec

g) ec

sen

cos+

sec

cos = 1

h) 22 1.1 tgsen = 1

i) gcot.sec1.cos1 = sen

j) 2

cossen = 2. 1cos. 2tg

k) 2

cossen + 2

cos sen = 2

l) cossec = tgsen .

m) 1cos..2 2tg = 2

cossen

13) SELECCIÓN MÚLTIPLE:

Marca la alternativa correcta.

a) ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombra de 20 m, cuando el ángulo de

elevación del sol es de 50º?

a) 23,8 m b) 12,8 m c) 15,3 m d) 16,8 m e) 1,53 m

b) ¿En qué ángulo de elevación está el sol si un edificio proyecta una sombra de 25 m

y tiene una altura de 70 m?

a) 19,6º b) 20,9º c) 69º d) 70,3º e) N.A.


75

c) En el triángulo ABC isósceles de base AB, calcula la medida de su base si uno de

sus lados mide 10 cm y uno de sus ángulos basales mide 30º.

a) 0,05 cm b) 0,17 cm c) 12,3 cm d) 17,32 cm e) N.A.

d) ¿Qué altura tiene un puente si al medir la elevación a 50 m de uno de sus pilares

es de 22º?

a) 18,7 m b) 46,3 m c) 20,2 m d) 19,2 m e) N.A.

e) Si sen = 7

5 y es un ángulo agudo, entonces de las siguientes afirmaciones

son verdaderas:

i.cos = 7

32 ii. sec =

6

3 iii. cosec =

5

7

a) Sólo i b) Sólo ii c)Sólo iii d) i y iii e) Todas

f) El valor de la expresión sen245º + cos230º es:

a) 2

32 b) 4

322

c) 4

5 d)

4

5 e) N.A.

g) ¿Cuál de los siguientes ángulos cumple con que la tangente sea un valor negativo?

a) 181º b) 335º c) 85º d) 0,52º e) 258º

h) Sabiendo que sen = 5

3, entonces el valor de cos + tg - sen es:

a) 1,55 b) 0,95 c) 1,45 d) 1,95 e) N.A.

i) Si sen =7

3, entonces el valor de la tg es:

a) 3

7 b)

7

102 c)

20

103 d)

3

102 e) N.A.

guia de matemÁtica – facultad de …ing.unne.edu.ar/ingresante/2013/tpm.pdf · 2013-12-05 ·...

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