UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

GUIA N1 BAIN053METODOS NUMERICOS PARA INGENIERIA

I. Seleccion Multiple

1. La propiedad distributiva de la multiplicacion con respecto de la suma establece que

x (y + z) = x y + x z, x, y, z R

Considere x = 0.4278, y = 0.9155 y z = 0.3349. Al realizar el lado izquierdo de la operacion anteriorusando aritmetica de punto flotante con cuatro dgitos y redondeo se tiene:

(a) 0.5348.

(b) 0.5350.

(c) 0.5351.

(d) 0.5349.

2. Considerando aritmetica de punto flotante de 4 dgitos con redondeo, el resultado de la operacion

4.82 102 (8.81 108 4.06 102)

es:

(a) 0.1346 104.(b) 0.1347 104.

(c) 0.1348 104.(d) 0.2221 108.

3. Considerando aritmetica de punto flotante de 5 dgitos con redondeo, si

x1 = 0.23371258 104, x2 = 0.33678429 102 y x3 = 0.33654811 102,

se tiene que:

(a) x1 x2 + x1 x3 = 0.54000 106.(b) x1 x2 + x1 x3 = 0.53753 106.

(c) x1 x2 + x1 x3 = 0.56000 106.(d) x1 x2 + x1 x3 = 0.55198 106.

4. Considerando aritmetica de punto flotante de 4 dgitos con redondeo, el resultado de la operacion

4.82 102 (8.81 108 4.06 102)

es

(a) 0.1346 104.(b) 0.1347 104.

(c) 0.1348 104.(d) 0.2221 108.

5. Considerando aritmetica de punto flotante de 8 dgitos con redondeo, si

x1 = 0.23371258 104, x2 = 0.33678429 102 y x3 = 0.33677811 102,

se tiene que:

(a) x1 + (x2 + x3) = 0.64137125 103.(b) (x1 + x2) + x3 = 0.64100000 103.

(c) x1 + x2 + x3 = 0.641371258 103.(d) Todas las anteriores.

6. Si se aproxima x =5

9por x = 0.56, es incorrecto afirmar que:

(a) El error absoluto es |E(x)| = 1225

.

(b) El porcentaje de error es 0.8%.

(c) El error relativo es |ER(x)| = 1125

.

(d) x aproxima a x con 3 dgitos significativos.

7. Considere la funcion f(x1, x2) = sen(x1 x2). El error |E(f(x1, x2))| asociado a x1 = 3.14 y x2 = 2.65,aproximaciones de x1 [3.0, 3.2] y x2 [2.6, 2.7], respectivamenente, esta acotado superiormente por:

(a) 2.7|x1 x1|+ 3.2|x2 x2|.(b) 3.2|x1 x1|+ 2.7|x2 x2|.

(c) 3.0|x1 x1|+ 2.6|x2 x2|.(d) 2.6|x1 x1|+ 3.0|x2 x2|.

1

8. Considerando la ecuacion cuadratica x2 38x+ 1 = 0, se tiene que

x =381444 4

2 x1 = 37.97366596

x2 = 0.026334039

Utilizando aritmetica con cuatro dgitos significativos y redondeo, la alternativa FALSA es

(a) |E(x1)| = 6.334 103 y |E(x2)| = 1.334 103.(b) |ER(x1)| = 1.668 104 y |ER(x2)| = 5.064 102.(c) x1 = 37.97 y x2 = 0.02633.

(d) x1 = 37.98 y x2 = 0.02500.

9. Si se tiene que R =V

I, con que precision porcentual debera medirse I para que el error en el calculo de

R no exceda un 6%, si V se mide con un error del 2%?

(a) I debe medirse con un 4% maximo de error.

(b) I debe medirse con un 6% mnimo de error.

(c) I debe medirse con un 6% maximo de error.

(d) I debe medirse con un 4% mnimo de error.

10. El volumen de una piramide triangular V de altura h y de arista de la base a es:

V =

3a2h

12.

Con que precision porcentual debera medirse h para que el error en el calculo de V no exceda un 7%, sia se mide con un error del 2%?

(a) h debe medirse con un 5% maximo de error.

(b) h debe medirse con un 5% mnimo de error.

(c) h debe medirse con un 3% maximo de error.

(d) h debe medirse con un 3% mnimo de error.

11. Considere la funcion f(x1, x2) =1

x1 x2 . Si x1 = 0.333 y x2 = 0.167 son aproximaciones de x1 y x2,respectivamente, cuyos errores satisfacen |E(x1)| 0.025 y |E(x2)| 0.005. La mnima cota superior deerror para |E(f(x1, x2))| es aproximadamente:

(a) 1.945.

(b) 4.592.

(c) 9.184.

(d) 2.246.

12. Considere el PVIdy

dt= t2 t, y(0) = 1,

cuya solucion exacta es y = y(t). Con respecto a la solucion numerica del mismo, obtenida por algunmetodo numerico con tamano de paso h, se puede afirmar que:

(a) Es un conjunto de puntos {yk} que coincide con la solucion analtica en t = h k, k N.(b) Es una funcion que aproxima la solucion analtica de la ecuacion diferencial.

(c) Es un conjunto de puntos {yk} que aproxima la solucion analtica en t = h k, k N.(d) Es una funcion que coincide con la solucion analtica de la ecuacion diferencial.

13. Considere el PVI {y = x2 3y

y(0) = 1

cuya solucion analtica es y(x) = 2527e3x + 13 (x

2 23x + 29 ). Al utilizar el metodo de Runge-Kutta decuarto orden para 0 < x < 0.4, con h = 0.1, se tiene que:

(a)

y(0.1) y1y(0.1) 3.2 105.

(b)

y(0.1) y1y(0.1) 2.1 105.

(c)

y(0.1) y1y(0.1) 1.2 105.

(d)

y(0.1) y1y(0.1) 6.6 105.

14. Considere el PVI {y = x+ y

y(0) = 1

cuya solucion analtica es y(x) = 2ex x 1. Al utilizar el metodo de Runge-Kutta de cuarto orden, conh = 1, para y(1) se tiene que:

(a) |EA(y1)| 0.006.(b) |EA(y1)| 0.6.

(c) |ER%(y1)| 0.006%.(d) |ER%(y1)| 0.6%.

2

15. Considere una masa m sujeta al extremo de un resorte de constante k sumergida en un fluido viscoso deresistividad b. La EDO que modela el desplazamiento x de la masa desde su posicion de equilibrio comofuncion del tiempo t es la del oscilador armonico amortiguado forzado:

md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = g(t), x(0) = x0,

dx

dt(0) = 0

Las condiciones iniciales corresponden a haber soltado desde el reposo la masa desplazada una distanciax0 desde su posicion de equilibrio.Para resolver este problema mediante un metodo numerico, en primer lugar, se transforma la ecuaciondiferencial de segundo orden en un sistema de EDO de primer orden equivalente:

X = f(t,X)

X(0) =

(x00

), con X =

(yz

)=

xdx

dt

Indique cuales son las iteraciones asociadas al metodo de Euler con paso h, k = 0, 1, 2, . . .

(a)

(yk+1zk+1

)=

(ykzk

)+ h

(yk

bzk + kyk g(tk)m

),

(y0z0

)=

(x00

).

(b)

(yk+1zk+1

)=

(ykzk

)+ h

(zk

bzk + kyk g(tk)m

),

(y0z0

)=

(x00

).

(c)

(yk+1zk+1

)=

(ykzk

)+ h

(zk

byk + kzk g(tk)m

),

(y0z0

)=

(x00

).

(d)

(yk+1zk+1

)=

(ykzk

)+ h

(yk

byk + kzk g(tk)m

),

(y0z0

)=

(x00

).

16. El siguiente PVI modela un sistema vibratorio amortiguado,

0.2d2x

dt2+ 1.2

dx

dt+ 2x = 5 cos(4t), x(0) = 0.5, x(0) = 0

Dado los siguientes esquemas numericos, con n = 0, 1, ...

(i) x0 = 0.5, z0 = 0 y

{xn+1 = xn + hzn

zn+1 = zn + h[25 cos(4tn) 6zn 10xn].

(ii) x0 = 0.5, z0 = 0 y

xn+1 = xn +h

2[k1 + k2]

zn+1 = zn +h

2[m1 +m2]

k1 = zn

m1 = 25 cos(4tn) 6zn 10xnk2 = zn + hm1

m2 = 25 cos(4tn+1) 6(zn + hm1) 10(xn + hk1)

.

Cual de las siguientes alternativas es incorrecta?

(a) (i) es un metodo de serie de Taylor de orden 1.

(b) (ii) es un metodo de serie de Taylor de orden 2.

(c) (i) y (ii) son metodos de Runge-Kutta de orden 1 y orden 2, respectivamente.

(d) (i) es el metodo de Euler y (ii) es el metodo de Heun.

17. Para el PVIdy

dt= y + t, y(t0) = y0.

Si y = y(t) es la solucion analtica de este PVI y se tiene que la solucion numerica del mismo, obtenida poralgun metodo utilizando tamano de paso h, es el conjunto de puntos {Yk}k=0. El error absoluto asociadoa la tercera iteracion es:

(a) |y(t0 + 3h) Y3|.(b) |y(t0 + 2h) Y3|.

(c) |y(t0 + 3h) Y2|.(d) |y(t0 + 2h) Y2|.

3

18. Considere el PVI u + u = 0, t [0, pi]u(0) = 0u(0) = 1.

Al aplicar el metodo de Euler (Heun) mejorado a la solucion de este problema con tamano de paso h > 0se obtienen las siguientes aproximaciones u1 a u(h) y u1 a u

(h):

(a) u1 =h2

2, u1 = 1 h.

(b) u1 = h, u1 = 1 h.

(c) u1 =h2

2, u1 = 1 h

2

2.

(d) u1 = h, u1 = 1 h2

2.

19. Con respecto al PVI de orden 2: y + y y = exy(0) = 1y(0) = 0

Introduciendo la variable auxiliar z = y, el problema se traduce en el sistema de ecuaciones{y = z y(0) = 1z = y z + ex z(0) = 1

cuya solucion numerica, segun el metodo de Euler con h = 0.1, se construye a partir de y0 = z0 = 1 y

(a)

{yk+1 = yk + 0.05zkzk+1 = zk + 0.05(yk zk + exk) , k = 0, 1, 2, . . . .

(b)

{yk+1 = yk + 0.1zkzk+1 = zk + 0.1(yk zk + exk) , k = 0, 1, 2, . . . .

(c)

{yk+1 = yk + 0.05(yk zk + exk)zk+1 = zk + 0.05zk

, k = 0, 1, 2, . . . .

(d)

{yk+1 = yk + 0.1(yk zk + exk)zk+1 = zk + 0.1zk

, k = 0, 1, 2, . . . .

20. Considere el PVI {y = 2x 3y + 1

y(1) = 5

cuya solucion analtica es y(x) =1

9+

2

3x +

38

9e3(x1). Al utilizar el metodo de Heun, con tamano de

paso h = 0.25, es incorrecto senalar que:

(a) Para aproximar y(1.5) con un error absoluto menor a 101, son suficientes 2 iteraciones.(b) y(1.5) 2.053216232.(c) y2 = 2.302734375.

(d) |EA(y2)| 2.5 101.21. Se sabe que la solucion del sistema lineal, de orden 3, Ax = b, esta dada por

x = (1.0, 1.0, 1.0)t

dondeb = (1.0, 1.0, 1.0)t.

De igual modo se sabe que la solucion del sistema lineal perturbado Ax = b, esta dado por

x = (101.0, 1.0, 1.0)t

conb = (1.01, 1.0, 1.0)t.

Entonces, siempre es cierto que:

(a) K(A) 104.(b) K(A) 104.

(c) K(A) < 104.(d) K(A) > 104.

22. Considere el sistema

(17 51.7 0.51

)(x1x2

)=

(222.2

). Si un termino del lado izquierdo se perturba 0.002, el

error relativo, de la solucion del sistema perturbado x con respecto a la solucion del sistema original, x,satisface:

(a)x x1x1 0.2821.

(b)x xx 0.2200.

(c)x x1x1 0.2200.

(d)x xx 0.2821.

4

23. Se resuelven dos sistemas de ecuaciones Ax = b y A(x + x) = b + b. Si ||b|| 0.001||b|| yK(A) = 50, indique cual de las siguientes alternativas es necesariamente cierta:

(a) ||x|| 0.05||x||.(b) ||x|| 50||x||.

(c) ||x|| 0.001||x||.(d) ||x|| > 0.05||x||.

24. Se debe resolver un sistema de ecuaciones cuya matriz tiene numero de condicionamiento 10 y en elque el lado derecho de la ecuacion tiene un error relativo inferior a 102. Indique cual de las siguientesafirmaciones es mas precisa:

(a) El error relativo de la solucion sera menor o igual a 103.(b) El error relativo de la solucion sera menor o igual a 102.(c) El error relativo de la solucion sera menor o igual a 101.(d) Ninguna de las anteriores.

25. Considere el sistema

(17 51.7 0.51

)(x1x2

)=

(222.2

). Si un termino del lado derecho se perturba 0.02,

el error relativo, de la solucion del sistema perturbado x con respecto a la solucion del sistema original x,satisface:

(a)x xx 2.2000.

(b)x xx 2.0000.

(c)x xx 1.6876.

(d)x xx 1.6378.

26. Dado el sistema Ax = b, donde A =

(0.5 0.20.2 0.3

)y b = (2, 3)t. Si b cambia a b = (1.8, 3.5)t, entonces el

error relativo de la solucion x usando norma infinito

(a) Esta entre 0.7 y 0.75.

(b) Esta entre 0.2 y 0.25.

(c) Esta entre 0.6 y 0.65.

(d) Ninguna de las anteriores.

27. Considere el sistema lineal

(1)

{99.87x1 + 12.35x2 = 2.35

7.231x1 + 0.9936x2 = 1.12

cuya solucion exacta tiene componentes x1 = 16341411

y x2 =1825

191.

Si los datos anteriores no se han medido con precision y se ha obtenido el sistema

(2)

{100x1 + 12x2 = 2.3

7x1 + x2 = 1.1

Cual(es) de la(s) siguiente(s) afirmacion(es) es(son) verdadera(s)?

(i) x x 3.6863.(ii) El numero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (1), en norma infinito, es aproxi-

madamente 1210.6.

(iii) El numero de condicionamiento de la matriz asociada al sistema (2), en norma 1 y en norma infinito,es 749.

(a) Solo (i).

(b) (i) y (ii).

(c) Solo (iii).

(d) (i), (ii) y (iii).

28. Considere las matrices

A =

1/100 0 0 0

0 1 0 00 1 100 10 0 0 pi

; A1 =

100 0 0 00 1 0 00 1/100 1/100 1/100pi0 0 0 1/pi

Al resolver el sistema Ax = b con b = (1, 1, 1, 1)

t, en la solucion se comete un error relativo en norma 1

estrictamente mayor a 102, debido a un error en el termino del lado derecho. Suponga que no hay erroresen los coeficientes de la matriz ni errores de redondeo. Entonces:

(a)b b

1 4 106.

(b)b b

1> 4 106.

(c)b b

1= 4 106.

(d)b b

1< 4 106.

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II. Problemas

1. Considere el sistema mecanico de la figura:

donde:

m: Masa del cuerpo.k: Constante del resorte.b: Coeficiente del roce viscoso.f(t): Fuerza aplicada.v(t): velocidad del cuerpo.

La ecuacion diferencial asociada al sistema es:

md2v(t)

dt2+ b

dv(t)

dt+ kv(t) = f (t).

Considere m = 5 [kg], k =1

3[N/m], b = 4 [N/(m/s)] y f(t) = 10e2t [N ]. Suponiendo que para

t = 0 [s], la velocidad es de 1.5 [m/s] y la aceleracion de 0.5 [m/s2].

(a) Utilice el metodo de Euler con h = 1.0, para estimar la velocidad y la aceleracion del cuerpo despuesde 2 segundos.

(b) Si la solucion analtica de la ecuacion diferencial es:

v(t) =60

37e2t +

(1367

21 631036

)e6+21

15 t (

1367

21 + 63

1036

)e621

15 t

determine el error relativo de la estimacion de la velocidad y aceleracion en t = 2 [s].

2. Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad deun objeto que cae, como un paracaidista, por medio de la ecuacion diferencial siguiente:

dv

dt= g cd

mv2

donde v es la velocidad [m/s], t es el tiempo [s], g es la aceleracion de la gravedad 10 [m/s2], cd esel coeficiente de arrastre de segundo orden [kg/m], y m es la masa [kg]. Resuelva para la velocidad ydistancia que recorre un objeto de 90 [kg] con coeficiente de arrastre de 0.225 [kg/m]. Si la altura iniciales de 1 [km].

(a) Plantee el metodo de Heun para la velocidad y distancia del objeto.

(b) Realice dos iteraciones del esquema planteado con h = 1.

3. El movimiento de un pendulo de Foucault sin friccion es descrito por el sistema de ecuaciones diferencialesx 2 sen()y + k2x = 0y + 2 cos()x+ k2y = 0

x(0) = 0, x(0) = 1.5y(0) = 0, y(0) = 1.5

donde es la latitud del lugar donde el pendulo esta localizado, = 7.29 105 [s1] es la velocidadangular de la tierra, k =

g/l con g = 9.8 [m/s2] y l es la longitud del pendulo.

Aplicando el metodo de Euler con h = 50, calcule una aproximacion para x(t) e y(t), con t entre 0 y 200segundos, considerando l = 20 [m] y = pi/4 [rad].

6

4. Si un pendulo de masa m se suspende con una cuerda de longitud L y se le aplica una fuerza periodicaexterna f(t), la ecuacion que rige el angulo x(t) que forma la cuerda con la vertical en el instante t, sededuce de la segunda ley de Newton obteniendose

x +a

mx +

g

Lsen(x) = f(t),

donde g es la aceleracion de gravedad, a > 0 es la constante de rozamiento y el origen del sistema seencuentra en la posicion de equilibrio.Para estudiar el efecto de una fuerza externa f(t) = cos(2t) [N ] cuando m = 1 [kg], L = 1 [m] ya = 0.1 [N/(m/s)2], teniendo como condiciones iniciales x(0) = 0 y x(0) = 5.Se propone utilizar el metodo de Euler-Richardson descrito a continuacion:

K1 = f(xk, yk)

K2 = f

(xk +

h

2, yk +

h

2K1

)xk+1 = xk + h; k = 1, 2, ...

yk+1 = yk + hK2; k = 1, 2, ...

para resolver el PVI {y(x) = f(x, y(x))y(x0) = y0

Utilizando el metodo de Euler-Richardson con tamano de paso h = 1 y considerando g = 10 [m/s2],obtenga una aproximacion para el angulo y la velocidad del pendulo en el instante t = 2 [s].

5. Un meteorito de masa m = 1.3450 109 [kg] que cae verticalmente sobre la tierra, ingresa a la atmosferaterrestre a 5.4300104 [m] de altura sobre su superficie y a una velocidad de descenso de 0.5700103 [m/s].El PVI que rige su cada es el siguiente:

my + (b cy)y + mK(y +R)2

= 0,

y(0) = 5.4300 104, y(0) = 0.5700 103,

donde y es la altura del meteorito sobre la superficie de la tierra, K = 3.9800 1014 [m3kg/s2] es laconstante de gravitacion terrestre, R = 6.3710 106 [m] es el radio de la tierra y (b cy) es la resistenciadel aire, con b = 1.2300 107 [s1] y c = 2.2650 102 [m1]. Al cabo de 12 [s] el meteorito se desintegra.Se propone utilizar un metodo de Runge-Kutta de orden 2 descrito a continuacion:

K1 = hf(xk, yk)

K2 = hf (xk + h, yk +K1)

xk+1 = xk + h; k = 0, 1, 2, . . .

yk+1 = yk +1

2(K1 +K2) ; k = 0, 1, 2, . . .

para aproximar la solucion del PVI{y(x) = f(x, y(x))y(x0) = y0

a) Plantee el esquema numerico, basado en RK-2, para aproximar la solucion del PVI asociado al pro-blema del meteorito.

b) Obtenga una aproximacion para la altura y la velocidad del meteorito en el instante en que se desin-tegra, considere h = 6 [s].

7

6. En el estudio de un resorte vibratorio con amortiguacion se llega a un problema de valor inicial de laforma:

mx(t) + bx(t) + kx(t) = 0, x(0) = x0, x(0) = v0

siendo x(t) el desplazamiento medido a partir de la posicion de equilibrio en un instante t y donde lassiguientes parametros denotan: m: la masa sujeta al sistema, b: la constante de amortiguacion, k: laconstante del resorte, x0: desplazamiento inicial, v0: la velocidad inicial.Considere el metodo de Runge-Kutta de orden 3 descrito a continuacion:

K1 = hf(xk, yk)

K2 = hf

(xk +

h

2, yk +

k12

)K3 = hf (xk + h, yk k1 + 2k2)

xk+1 = xk + h; k = 0, 1, 2, ...

yk+1 = yk +1

6(K1 + 4K2 +K3) ; k = 0, 1, 2, ...

para aproximar la solucion del PVI{y(x) = f(x, y(x))y(x0) = y0

Si m = 36 [kg], b = 12 [kg/s], k = 37 [kg/s2], x0 = 70 [cm] y v0 = 10 [cm/s] :

a) Plantee el esquema numerico, basado en RK-3, para aproximar la solucion del PVI asociado al pro-blema del resorte.

b) Obtenga una aproximacion para el desplazamiento y la velocidad del resorte despues de 2 segundosde iniciado el movimiento, considere h = 1s.

c) Sabiendo que la solucion analtica de la ecuacion diferencial anterior es

x(t) = 70e16 t cos(t) +

65

3e

16 t sen(t),

determine el error relativo que se comete al estimar el desplazamiento y la velocidad del resortedespues de 2 segundos de iniciado el movimiento al considerar h = 1 [s].

8