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COLEGIO IGNACIO RODRIGUEZ GALVAN Gua repaso de Circunferencia II medio
ANGULO SEMINSCRITO: Su vrtice se ubica en la circunferencia, pero sus lados son una tangente y una cuerda
C u r s o : Matemtica
Material N 16 GUA TERICO PRCTICA N 13
UNIDAD: GEOMETRA
NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Y TEOREMAS
DEFINICIONES
CIRCUNFERENCIA: Dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que estn a la distancia r del punto O.
RADIO: Trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de sta (OA ).
CUERDA: Trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (DE).
DIMETRO: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC ).
SECANTE: Recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQHJJG
).
TANGENTE: Recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto ( ). T punto de tangencia.
TMHJJG
ARCO: Es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de
ella ( pCE).
NGULO DEL CENTRO: Es todo ngulo interior cuyo vrtice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( DOE). (
NGULO INSCRITO: Es todo ngulo cuyo vrtice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de sta ( GHF). (
cuerda
dimetro
secante
tangente
radio
T
arco C A
Q P
B
D E
O
M
F
H
G
O D
E
0: Centro r: Radio C(O,r) = (O,r) O
r
EJEMPLO
1. Cul(es) de las siguientes opciones es falsa?
A) El dimetro de una circunferencia es el doble de su radio B) La mayor cuerda de una circunferencia es el dimetro C) En circunferencias congruentes los radios son congruentes D) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ngulos del centroE) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia
MEDIDA ANGULAR DE UN ARCO
En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ngulo del centro que subtiende dicho arco.
TEOREMA
Todo ngulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ngulo del centro que subtiende el mismo arco.
EJEMPLOS
1. En la circunferencia de centro O (fig. 1), se cumple que pBA # pDC y qAED + pCB = 3pBA . Entonces, la medida del ( x es
A) 45 B) 60 C) 72 D) 84
3
E) 90
pDE = ( DOE = D
O: centro de la circunferencia
E
D 0
C
A B
D
E 0
A B
D
E
B
E D 0
A
O D
E
C B
A
D O
x
D
E
E = 12
D
fig. 1
2. AC y BE son dimetros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si ( AOB = 2 BOC,entonces el BDC mide
((
O
C
D E
B A
A) 30 B) 35 C) 45
fig. 2 D) 600 E) 120
-
TEOREMA
Todos los ngulos inscritos en una circunferencia que subtienden un mismo arco tienen igual medida.
A
B
E D
D = E
TEOREMA
Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
C
A O
( ACB = 90
O: centro de la circunferencia B
TEOREMA La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
Q O
P
r AQP tangente en P QP OP
EJEMPLOS
1. En la figura 1, (TPQ = 140 y (PRQ = 15. Cunto mide el (PQT?
T R
P Q
A) 15 B) 20
fig. 1 C) 25 D) 30 E) 35
4
EN TU CUADERNO
1. Calcula el valor del ngulo pedido en cada caso.
192 | Unidad 5
Ejemplo 2 Si = 50 y = 60, cunto mide el ngulo x? El dibujo est desproporcionadointencionalmente. La solucin debe fundamentarse en las ideas.
Si se dibuja el radio que une el centro O con el vrtice del ngulo x,los tringulos que se forman son ambos issceles, cuyos ngulos basalesson y , ya que ngulos opuestos por el vrtice son iguales. Adems, como ambos tringulos formados son issceles, se tiene la relacin:
!x = + Por lo tanto, !x = 50 + 60 = 110.
a. c. e.
b. d. f.
O
O
O O O
O
x
75
132
120
21
136
x
O38
Si un ngulo del centro y un ngulo inscrito subtienden el mismo arco de circunferencia, la medidadel ngulo inscrito es la mitad de la medida del ngulo del centro.
No depende de las medidas de otros ngulos. Esto se cumple tanto si el centro de la circunferencia est dentro o fuera del ngulo inscrito. Todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es un ngulo recto.
EN RESUMEN
Circunferencia | 193
Unidad 5
g. h. i.
O36
OA B
25 A B
C
O
2. En la circunferencia de centro O, los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si el nguloBAI = 84, determina la medida del ngulo COH.
3. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde !ACB = 45. Determina qu tipo detringulo es el APB.
4. En la figura, ABCDEF es un hexgono regular. Determina la medida de .
A O
O
B CD
E
F
G
HI
PCA
B
EF
D
CB
A
AB es dimetro AB es dimetro
-
1. Calcula la medida de los ngulos , y marcados en cada caso.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. El ngulo semiinscrito mide la mitad del arco que subtiende.
EN RESUMEN
Circunferencia | 195
Unidad 5
EN TU CUADERNO
43
50
94
OO
A
BC
A C
AB ! BCO
O
B
D
O
O
EF
D
CB
A
126
256
A
132
B
C
O
T
ABCDEF es hexgono regular.
61
73
Circunferencia | 193
Unidad 5
g. h. i.
O36
OA B
25 A B
C
O
2. En la circunferencia de centro O, los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si el nguloBAI = 84, determina la medida del ngulo COH.
3. En la figura, AC es un arco de circunferencia de centro P, donde !ACB = 45. Determina qu tipo detringulo es el APB.
4. En la figura, ABCDEF es un hexgono regular. Determina la medida de .
A O
O
B CD
E
F
G
HI
PCA
B
EF
D
CB
A
AB es dimetro AB es dimetro
268 | Solucionario
Pgina 189
1. a. c.
b. d. El radio mide 18 cm.
Pgina 1921. a. = 150 d. = 68
b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21
Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90
2. !COH = 120
3. El !APB es issceles rectngulo.
4. = 60
Pgina 1951. a. = 43
b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120
Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro
b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.
c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.
2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100
3. Pregunta abierta.
Pgina 1981. a. = 39
b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60
Pgina 200
1. a. PC = c. PC = 6
b. PC = 9
2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2
3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2
Pgina 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 c. PC = 21
b. BA = 13 d. PA = 6
3. a. PB = 9 c. PD = 3
b. OC = d. PA = 8
Pgina 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
4. Pregunta abierta.
Pgina 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40
152
152
115
472
192
152
Unidad 5 Circunferencia
256pi
43pi
4715pi
268 | Solucionario
Pgina 189
1. a. c.
b. d. El radio mide 18 cm.
Pgina 1921. a. = 150 d. = 68
b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21
Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90
2. !COH = 120
3. El !APB es issceles rectngulo.
4. = 60
Pgina 1951. a. = 43
b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120
Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro
b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.
c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.
2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100
3. Pregunta abierta.
Pgina 1981. a. = 39
b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60
Pgina 200
1. a. PC = c. PC = 6
b. PC = 9
2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2
3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2
Pgina 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 c. PC = 21
b. BA = 13 d. PA = 6
3. a. PB = 9 c. PD = 3
b. OC = d. PA = 8
Pgina 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
4. Pregunta abierta.
Pgina 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40
152
152
115
472
192
152
Unidad 5 Circunferencia
256pi
43pi
4715pi
268 | Solucionario
Pgina 189
1. a. c.
b. d. El radio mide 18 cm.
Pgina 1921. a. = 150 d. = 68
b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21
Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90
2. !COH = 120
3. El !APB es issceles rectngulo.
4. = 60
Pgina 1951. a. = 43
b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120
Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro
b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.
c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.
2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100
3. Pregunta abierta.
Pgina 1981. a. = 39
b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60
Pgina 200
1. a. PC = c. PC = 6
b. PC = 9
2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2
3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2
Pgina 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 c. PC = 21
b. BA = 13 d. PA = 6
3. a. PB = 9 c. PD = 3
b. OC = d. PA = 8
Pgina 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
4. Pregunta abierta.
Pgina 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40
152
152
115
472
192
152
Unidad 5 Circunferencia
256pi
43pi
4715pi
268 | Solucionario
Pgina 189
1. a. c.
b. d. El radio mide 18 cm.
Pgina 1921. a. = 150 d. = 68
b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21
Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90
2. !COH = 120
3. El !APB es issceles rectngulo.
4. = 60
Pgina 1951. a. = 43
b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120
Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro
b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.
c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.
2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100
3. Pregunta abierta.
Pgina 1981. a. = 39
b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60
Pgina 200
1. a. PC = c. PC = 6
b. PC = 9
2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2
3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2
Pgina 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 c. PC = 21
b. BA = 13 d. PA = 6
3. a. PB = 9 c. PD = 3
b. OC = d. PA = 8
Pgina 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
4. Pregunta abierta.
Pgina 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40
152
152
115
472
192
152
Unidad 5 Circunferencia
256pi
43pi
4715piRespuestas:
-
ANGULO INTERIOR: Es el ngulo formado por la intercepcin de dos cuerdas cualesquiera, su vrtice se ubica en el interior de la circunferencia.
La medida del ngulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia
ANGULO EXTERIOR: Es el ngulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vrtice se ubica fuera de la circunferencia.
La medida del ngulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que intersecta en la circunferencia
268 | Solucionario
Pgina 189
1. a. c.
b. d. El radio mide 18 cm.
Pgina 1921. a. = 150 d. = 68
b. = 60 e. = 76c. = 66 f. = 42, = 21
Pgina 193g. = 72, = 36h. = 50i. = 90
2. !COH = 120
3. El !APB es issceles rectngulo.
4. = 60
Pgina 1951. a. = 43
b. = 66, = 66, = 132c. = 100 y = 40d. = 43 y = 86e. = 128f. = 54g. = 27h. = 120
Pgina 196 (Mi progreso)1. a. ngulo inscrito, ngulo del centro
b. ngulo del centro, ngulo inscrito, ngulo semi-inscrito.
c. ngulo del centro, ngulo del centro, ngulo semi-inscrito.
2. a. = 25b. = 120, =120c. = 30, = 60, = 100
3. Pregunta abierta.
Pgina 1981. a. = 39
b. = 47c. = 61d. = 74, = 106, = 43e. = 109, = 71f. = 90, = 60
Pgina 200
1. a. PC = c. PC = 6
b. PC = 9
2. a. PD = 5 c. PB = 6b. CP = 14 d. AP = 2
3. a. AB = 6 c. AB = 48b. OD = 8 d. PC = 2
Pgina 202
1. a. x = b. x = 9
2. a. PC = 8 c. PC = 21
b. BA = 13 d. PA = 6
3. a. PB = 9 c. PD = 3
b. OC = d. PA = 8
Pgina 204
1. a. x = b. x = 12 c. r = 6
2. a. PA = 8 c. PC = 12 e. CB = 8b. PA = 6 d. PB = 5
3. a. PA = 12 c. OB = e. PB = 8
b. CB = 30 d. OB = 5
4. Pregunta abierta.
Pgina 205 (Mi progreso)
1. a. x = 4, y = 13 b. x = 10 c. x =
2. a. = 61, = 119 c. = 64, = 32b. = 80 d. = 98, = 40
152
152
115
472
192
152
Unidad 5 Circunferencia
256pi
43pi
4715pi
Respuestas:
1. Calcula la medida de los elementos pedidos en cada una de las figuras siguientes.
a. c. e.
b. d. f.
EN TU CUADERNO
198 | Unidad 5
Un ngulo interior a una circunferencia puede definirse como el ngulo formado por dos cuerdasque se cortan.
Un ngulo interior mide la semi-suma de los arcos que subtiende. Un ngulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vrtice est en el exterior de la circunferencia
y cuyos lados son secantes o tangentes. Un ngulo exterior mide la semi-diferencia de los arcos que subtiende.
EN RESUMEN
En el caso del ngulo exterior, PBC nos muestra que x = .Como los ngulos y son ngulos inscritos, que miden la mitaddel arco que subtienden, entonces, = y = y luego,x =
O
OO O
75
31
117121
37
15
35
O
8743
113O
A
B
33
71
P
x
B
A
C
D
AB es dimetro.
DC!
2AB!
2D AC B DC AB! ! ! !
2 2 2 =
( )