Universidad de la FronteraFacultad de Ingenierıa y Ciencias 2◦ Semestre 2014

Departamento de Matematica y Estadıstica

Guıa De Ejercicios: Aplicaciones de la Derivadas

1. Dada la funcion f(x) = (x − a)m(x − b)n, con m y n naturales, demuestre que el punto α del teoremade Rolle divide al intervalo [a, b] en la razon m : n.

2. Determine el punto que verifica el teorema del valor medio para la curva y = cosx en el intervalo [0, π2].

3. Demuestre que si f(x) es un trinomio de segundo grado definido en un intervalo [a, b] entonces el puntoα del teorema del valor medio es el punto medio de [a, b].

4. Si f(x) tiene derivadas continuas aplique reiteradamente el teorema del valor medio para demostrar quesi f(a) = f(b) = 0 y f(c) > 0, con a < c < b, entonces debe haber un punto en ]a, b[ donde f ′′(x) < 0.

5. Estudiar si las funciones satisfacen las hipotesis del Teorema de Rolle sobre el intervalo dado. Determinarc cuando corresponda.

a) f (x) = x3 − x ; [−1, 1]

b) f (x) = x34 − 2x

14 ; [0, 4]

c) f (x) = x2−x−12x−3 ; [0, 4]

d) f (x) = 1− 3

√(x− 1)2 ; [−1, 1]

6. Estudiar si las funciones satisfacen las hipotesis del Teorema del Valor Medio sobre el intervalo da-do.Determinar c cuando corresponda.

a) f (x) =√x ; [4, 9]

b) f (x) =1

x;[12, 3]

c) f (x) =x2 + 4x

x− 7; [2, 6]

d) f (x) =x− 1

xen [−2,−1]

e) f (x) = (x− 1)23

; [1, 2]

f ) f (x) = 2 senx;[−π

2, π2

]g) f (x) =

{x2 x ≥ 1

x x < 1;[23, 2]

7. a) Decida si es aplicable el teorema de Rolle o el teorema del valor medio a la funcion f (x) =x+ 2

x− 2en [0, 1] . Si su respuesta es afirmativa encuentre en cada caso el valor adecuado.

b) Dada la funcion f(x) =1

x− 4, probar que no existe un numero c en el interior del intervalo (2, 6)

Analice si esta situacion contradice el Teorema del Valor Medio para esa funcion.

8. Demuestre que la funcion f(x) =

(1 +

1

x

)xes estrictamente creciente para x > 0.

9. Demuestre que la funcion

f(x) = arc sen(2x− 1) + 2 arc tg

√1− xx

es constante en el intervalo ]0, 1[. Determine el valor de tal constante.

10. Si 0 < u < v < π2

demuestre que:

a)senu

sen v>u

vb)

tan v

tanu>v

u

11. Halle los puntos crıticos de las siguientes funciones e intente decidir cuales son extremos locales:

a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x+ 5

b) f(x) = (x− 2)3(x+ 1)4

c) f(x) =(x− 2)(8− x)

x2

d) f(x) =x2 − 2x+ 2

x− 1

12. Determine los valores de a, b y c de manera que la funcion f(x) = ax3 + bx2 + c tenga un punto deinflexion en (1,−1) y la pendiente de la tangente a la curva y = f(x) en ese punto sea 2.

13. Demuestre que la curva y =x+ 1

x2 + 1tiene tres puntos de inflexion colineales.

14. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de las funciones:

a) f(x) = 1− 4x− x2

b) f(x) = x2(x− 3)

c) f(x) = 8x5 − 25x4 − 20x3

d) f(x) =x

x2 − 6x− 16

e) f(x) = x√

4− x2

f ) f(x) = x3 + 3x

15. Si a > 0, determine los maximos y mı nimos de la funcion f(x) = aexa − 3x− 2ae−

xa .

16. Determine el valor de a para que el maximo de la funcion f(x) = x√ax− x2 sea 3

√3.

17. Trazar la grafica de una funcion f que satisfaga simultaneamente que:

a) Dom(f) = R− {0}b) f ′(x) > 0 en (−2, 0) ∪ (2,∞+)

c) f ′(x) < 0 en (−∞,−2) ∪ (0, 2)

d) f ′(x) = 0 en x = 2 y x− 2

e) f tiene una asıntota vertical en x = 0 y no tiene asıntotas horizontales.

18. Trazar la grafica de una funcion f que satisfaga simultaneamente que:

a) f ′(x) > 0 en el intervalo (3, 8)

b) f ′(x) < 0 en (−∞, 1) ∪ (1, 3) ∪ (8,∞)

c) f ′(3) = f ′(8) = 0

d) f tiene una asıntota vertical en x = 1

e) La recta y = −4 es asıntota horizontal en ∞; la recta y = 2 es asıntota horizontal en −∞

19. Esboce la grafica de las siguientes funciones indicando: Dominio y ceros (si existen), los intervalos decrecimiento y decrecimiento, maximos o mınimos relativos (si existen), los intervalos de concavidad, puntosde inflexion (si existen) y asıntotas.

a) f(x) = x3 − 9x2 + 24x− 7

b) f (x) = 2 (x− 1) +4

x− 1

c) f (x) = (x+ 2)23

(4− x)

d) f (x) =3 (x+ 1)

x− 3

e) f(x) =x2

x2 − 4

f ) f (x) =x

x2 + 1

g) f(x) =x

1− x2

h) f (x) =x2

(x− 1)2

i) f(x) =x3 − 1

x2 − 1

j) f (x) = x+1

1− x

k) f (x) =x3

x2 + 1

l) f(x) = 2 + (x+ 1)4

m) f(x) =1

(x− 1)(x− 3)

n) f(x) =x2 − 4

x2 − 9

n) f(x) = x+ 1x2

o) f(x) = x+ cos(x)

p) f(x) = x2−2x+4x−2

q) f(x) = 2x√x+ 3

r) y = 1 +1

x+

1

x2.

s) y =√

3x2 − x3.

t) y = 5√x4(x− 1).

u) y =sen 2x

1 + sen x.

v) y =senx cosx

cosx+ 2 senx.

w) y =x

lnx.

x) y = e−x2.

y) y = x2e−x.

z) y = xe1x .

20. Calcule los siguientes lımites usando la regla de L’Hopital

a) lımx→π

2

1− sinx

cosx

b) lımx→0

(1

x2− senx

x3

)c) lım

x→0

tanx− xx− senx

d) lımu→0

eu + senu− 1

ln(1 + u)

e) lımx→0

3x

x2− 2x

x2

f ) lımx→π

2

cosx

sin2−1

g) lımx→0+

lnx

x4

h) lımx→0

ex + senx− 1

ln(x+ 1)

i) lımx→0+

(sen(x))tan(x)

j) lımx→π/2

cos(x)

sen2(x)− 1

k) lımx→0+

x− arctanx

x− senx

l) lımx→0+

sen2(√x)

ln(cos(√x))

m) lımx→π

2

(π − 2x) tanx

n) lımx→0

1

ln(1 + x)− 1

x

n) lımx→1

x

x− 1− 1

lnx

o) lımx→1

x1

1−x

p) lımx→0

(e2x + 2x)14x

21. Si f(x) tiene segunda derivada continua en una vecindad del punto a, demuestre que:

lımx→a

(1

f(x)− f(a)− 1

(x− a)f(a)

)= − f ′′(a)

2[f ′(a)]2

22. Expresar el numero 8 como suma de dos numeros no negativos de manera que la suma del cuadrado delprimero y el cubo del segundo sea lo mas pequena posible. Resuelva el mismo problema si esta suma hade ser lo mas grande posible.

23. Hallar la altura del cono de volumen maximo que puede inscribirse en una esfera de radio r.

24. ¿En que punto la tangente a la curva y = 2x3 − 3x2 + 6x tiene la pendiente mas pequena? ¿Cual es lapendiente de la tangente en ese punto?

25. Hallar la altura del cilindro de volumen maximo que puede inscribirse en un cono circular a recto de alturah.

26. Si un rectangulo tiene un area de 32cm2 , ¿cuales son sus dimensiones si la distancia de un vertice alpunto medio de un lado no adyacente ha de ser lo mas pequena posible?

27. Si tres lados de un trapecio miden cada uno 10cm ¿Cuanto debe medir el cuarto lado para que el area seamaxima? (Sol. 20cm)

28. El propietario de un huerto de manzanas calcula que si planta 24 arboles por acre entonces cada arboladulto dara 600 manzanas al ano. Por cada 3 arboles mas que se planten por acre, el numero de manzanasque produce cada arbol disminuye en 12 al ano. ¿Cuantos arboles se deben plantar por acre para obtenerel mayor numero posible de manzanas por ano?.

29. Una larga lamina rectangular de metal de 12 pulgadas de ancho, se va a convertir en un canalon paralluvia doblandolos lados hacia arriba, de manera que queden perpendiculares al resto de la lamina. ¿Decuantas pulgadas debe ser doblado para dar al canalon la maxima capacidad?

30. Hallar un punto sobre la curva y2 − x2 = 1 cuya distancia al punto (2, 0) sea mınima.

31. Una seccion rectangular de terreno se va a cercar por tres lados y un rıo servira como lımite natural parael cuarto lado. En tales condiciones, calcular las dimensiones de la seccion mas grande que se pueda cercarcon 240mts. de alambre .

32. Una seccion rectangular de un terreno se va a cercar y luego a dividir por la mitad con otra cerca. Si lacerca de en medio cuesta $2000 por metro y la otra cerca cuesta $5000 por metro, calcule las dimensionesde la seccion con el area mas grande posible que se pueda cercar con un costo de $9600 de cerca.

33. Se necesita una caja sin tapa con capacidad de 36000 cm3, si el largo de la caja debe ser el doble delancho de la caja. ¿Que dimensiones requieren la menor cantidad de material?.

34. Una viga de madera tiene una seccion rectangular de dimensiones h y w. La resistencia R de la viga esdirectamente proporcional al ancho w y directamente proporcional al cuadrado de la altura h. ¿Cuales sonlas dimensiones de la viga mas resistente que se puede cortar de un tronco de 24 pulgadas de diametro?

35. De entre todas las latas cilındricas de hojalata con capacidad de 100cm3.¿Cual es la que requiere menosmetal?

36. Un alambre de 20cm. de longitud es cortado en dos partes para construir un cuadrado y una circunferencia.¿Cual es la menor area total que puede encerrarse de esa manera ?.

37. Calcular el area del maximo rectangulo que tiene su base inferior sobre el eje X, y sus otros dos vertices,en la curva y = 12− x2.

38. Un cartel rectangular de carton debe incluir su grabado de 50cm2 con margenes de 4cm. en las partessuperiores e inferiores y de 2cm. a los lados. Halle las dimensiones del cartel que utilice la menor cantidadde carton posible.

39. La ecuacion de movimiento de una partıcula esta dada por s (t) = 13t3− 2t2 + 5t+ 1 8s en metros y t en

segundos). Determinar los instantes en que su velocidad es maxima y aquellos en que es mınima .¿Cuales la velocidad en estos casos?

40. Una ventana tiene la forma de un rectangulo coronado por un semi-cırculo. Hallar las dimensiones de laventana que permiten admitir mas luz suponiendo que el perımetro debe ser de 5m.

41. El precio de venta por unidad de un artıculo es $ 400 y el costo total por unidad esta dado porC(x) = 0, 02x2 + 160x+ 400000. ¿Cuantas unidades debe vender para que la ganancia sea maxima?

42. Se desea construir un cerco alrededor de un campo rectangular, y dividirlo en dos parcelas por otro cercoparalelo a uno de los lados. Si el area del campo es A, hallar la razon de los 2 lados para que la longitudtotal del cerco sea mınima. (Sol. 3 )

43. Se ubicara una huerta rectangular colindando con el patio del vecino, y tiene un area de 10800m2 . Si elvecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿Cuales deben ser las dimensiones de la huerta para que elcosto de cercarla sea para el dueno de la huerta el mınimo? (Sol. 90cm × 120cm)

44. Se deben construir envases cilındricos de bebida con capacidad de 300 cm3. Calcular las dimensiones quedeben tener para que su costo sea el mınimo.

45. Con 875 metros de rollo de alambrada debe cercarse un terreno rectangular por tres de sus lados, ya que elcuarto lado estara ılimitado por el cause de un rıo ¿De que medidas debera hacerse para que su superficiesea la maxima abarcada?

46. Hallar el area del mayor rectangulo, con lados paralelos a los ejes coordenados, que puede inscribirse en lafigura limitada por las dos parabolas 3y = 12− x2 y 6y = x2 − 12

47. Hallar el punto de la curva 2y = x2 mas cercano al punto (4, 1).