PLANEACION ESTRATEGICA

CORPORACION UNIFICADA NACIONAL CUNASIGNATURA ESTADISTICA DE LA PROBABILIDADTUTOR: ______________________________________GUIA DE TRABAJO No. 3Nombre de la asignatura: ESTADISTICA DE LA PROBABILIDADFecha: 24/08/2013

Titulo de la Gua: TEOREMA DE BAYES

Gua No. 2Tiempo estipulado para el desarrollo y discusin de la gua: 2 Horas.

Tutor: RAMN RODRGUEZ

1. Competencia.

Utilizar el teorema de Bayes en el clculo de probabilidades

2. Objetivo General.

Aplicar e interpretar los fundamentos de la teora de probabilidades en la solucin de problemas mediante la utilizacin del teorema de Bayes

3. Objetivos especficos.

Calcular e interpretar probabilidades haciendo uso del teorema de Bayes.

Aplicar las propiedades fundamentales del teorema de Bayes en el clculo de probabilidades.

Teorema de Bayes.Hay algunos resultados importantes del clculo de probabilidades (que se conocen como teoremas fundamentales del clculo de probabilidades) que son conocidos como teorema de la probabilidad total y Teorema de Bayes.

Para comenzar el estudio de estos teoremas empezaremos por recordar algunas reglas que ya vimos, es decir que de hecho conocemos y que sern necesarias:

Regla del suceso complementario P(A) = 1 - P(A), que tambin ser vlida verla para la probabilidad condicional complementaria que vendr dada por P(A/B) = 1 - P(A/B).

Regla de la Adicin: Sean A y B dos sucesos definidos en un espacio muestral, la probabilidad de su unin, si son sucesos no disjuntos(no mutuamente excluyentes) es P(A(B) = P(A) + P(B) - P(A(B), pero si los sucesos son disjuntos(mutuamente excluyentes) donde A ( B = ( entonces P(A(B) = P(A) + P(B).

Regla del Producto: Sean A y B dos sucesos definidos en S, no mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de su interseccin

P(A) . P(B/A)

es: P(A(B) = P(B) . P(A/B)

pero si los sucesos son independientes entonces:

P(A(B) = P(A) . P(B)

Una vez recordadas estas reglas podremos considerar que para calcular probabilidad cuando el suceso seguro est descompuesto en una serie de sucesos incompatibles de los que conocemos sus probabilidades tal como se presentan a continuacin:

S

Donde A1, A2, ... , An son n sucesos definidos en S un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, tal como lo verifican las relaciones siguientes:

Ai ( Aj = ( ( i ( j

Se llega al Teorema de la probabilidad total, que dice:

Sea A1, A2, ... , An n sucesos definidos en S un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces:

( B ( S (P(B) =

EMBED Equation.3

Demostracin:

P(B) = P(B(S) =

=

Veamos un ejemplo:

Se tienen dos urnas que contienen bolas blancas y azules

Urna 1 Urna 2

Cul es la probabilidad de que salga una bola blanca?

Urna 1 : P(U1) = P(B/U1) = 4/7

Urna 2 : P(U2) = P(B/U2) = 3/5

As la P(B) = P(B/U1). P(U1) + P(B/U2). P(U2)

= 4/7 . + 3/5 .

= 4/14 + 3/10

=

Como la Urna 1 y la Urna 2 forman un sistema incompatible y excluyente de sucesos, el teorema de la probabilidad total permite calcular esta probabilidad, ya que la bola resultado debe provenir de una y solo una de las dos urnas.

Estudiamos este teorema ms que nada porque el mismo forma parte del Teorema de Bayes.

El Teorema de Bayes lleva este nombre porque fue enunciado por el reverendo Thomas Bayes (1702 - 1761), adems de ministro presbiteriano, era matemtico, de nacionalidad Inglesa, el mismo fundamenta la estadstica Bayesiana y sienta los principios de la teora de la decisin sobre la base de la concepcin subjetivista de la probabilidad

Se conoce por probabilidad subjetiva, cuando se estudian fenmenos aleatorios en los que no hay posibilidad de repeticin o experimentacin, la probabilidad subjetiva es la cuantificacin (subjetiva) que una persona (o un grupo) hace de un evento utilizando la informacin que posee.

Este concepto es muy aplicado en la empresa y utilizado por la estadstica bayesiana, la teora de la decisin y de los juegos

Desarroll un procedimiento formal con el fin de usar la informacin adicional para revisar las probabilidades.

Este Teorema es bastante til en el proceso de toma de decisiones ya que regularmente la informacin adicional se obtiene antes de tomar una decisin importante.

El Teorema de Bayes parte de una probabilidad de procedencia o a priori(que debe sumar 1, por estar el suceso seguro descompuesto en una serie de sucesos mutuamente excluyentes, de los que se conoce su probabilidad) y de una probabilidad condicionada a su procedencia.

Por lo que el Teorema de Bayes como tal busca una probabilidad a posteriori.

El Teorema conocido tambin como la probabilidad inversa, plantea:

Si A1, A2, ... , An; son n sucesos definidos o subconjunto del espacio muestral S y conforman un sistema exhaustivo y excluyente y B un subconjunto, tambin del espacio muestral S, del que conocemos todas las cantidades P(B/Ai), i = 1, 2, ... , n; a la que denominamos verosimilitud, entonces se verifica:

( j = 1, 2, ... , n, que

Demostracin:

Se puede decir que este Teorema es una consecuencia de la probabilidad condicionada, en trminos de la interseccin, y del problema de la probabilidad total:

P(Aj/B) =

Donde P(Aj/B) = probabilidad de que ocurra el suceso Aj dado que ocurri el suceso B

P(Aj y B) = Probabilidad conjunta de que ocurran los sucesos A y B en sucesin.

P(B) = probabilidad de que haya ocurrido el suceso B

Veamos un ejemplo:

Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por tres proveedores: el 45% de las piezas son compradas al primer proveedor resultando defectuosa el 1%. El segundo proveedor suministra el 30% de las piezas y de ellas es defectuosos el 2%. Las restantes piezas provienen del tercer proveedor, siendo defectuoso el 3 % de las mismas.

En un control de recepcin de artculos se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el segundo proveedor.

Solucin:

Cada una de las piezas procede de uno y slo uno de los proveedores(sistema exhaustivo y excluyentes de sucesos) y lo denotaremos por A1, A2, y A3

Sea B el suceso de que la pieza sea defectuosa.

Probabilidad de Procedencia(Probabilidad a Priori, de que la pieza proceda de Aj)

P(A1) = 0.45 P(A2) = 0.30 P(A3) = 0.25

Probabilidad de que la pieza sea Defectuosa(Probabilidad de que la pieza suministrada por Aj sea defectuosa)

P(B/A1) = 0.01 P(B/A2) = 0.02 P(B/A3) = 0.03

Qu piden? La probabilidad de que una pieza seleccionada defectuosa sea del 2do proveedor; lo que es una probabilidad a posteriori, que lo resuelve el Teorema de Bayes:

Vamos a hacer otro ejercicio:

Una Empresa Lechera tiene dos lavadoras de botellas, la A procesa un 20% de todas las botellas utilizadas diariamente y rompe un 4% de las que lava. La B procesa las restantes y rompe un 2%.

a) Cul es la probabilidad de que una botella lavada que seleccionaremos al azar este rota?.

b) Una botella que seleccionamos al azar est rota. Cul es la probabilidad de que haya sido lavada en la mquina A?.

Solucin:

Antes que todo identificaremos los sucesos

Llamaremos A1 y A2 a los sucesos lavadora de botellas A y lavadora de botella B, respectivamente.

Llamaremos suceso B, botellas que se rompen.

Probabilidad de Procedencia: (probabilidad a priori, de que las botellas procedan de la lavadora Ai)

P(A1) = 0.20 P(A2) = 0.80

Probabilidad de que las botellas se rompan: (probabilidad de que las botellas lavadas por Ai se rompan)

P(B/A1) = 0.04 P(B/A2) = 0.02

a) qu piden? Que una botella lavada este rota, esto es una probabilidad total

P(B) = P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2)

= 0.20(0.04) + 0.80(0.02) = 0.024

b) Qu piden?, Que una botella seleccionada al azar que esta rota, haya sido lavada en la lavadora A(para nosotros es A1 tal como lo definimos al inicio), esto es una probabilidad a posteriori, luego se resuelve por el teorema de Bayes.

A continuacin se plantearn una serie de ejercicios adicionales ya que en el laboratorio no hay ejercicios de esta parte de la materia.

Ejercicios adicionales1.- Una planta de armado de aparatos de radio tiene dos lneas de montaje. La lnea I produce un 80% de ellas, en tanto que la lnea II produce l 20% restante. Un promedio del 5% de los radios armados en la lnea I y un 10% de los de la lnea II son defectuosos. Un aparato elegido al azar entre los que estn listos para su despacho se halla en mal estado. Cul es la probabilidad de que haya sido montado en la lnea I?. Cul es la probabilidad de que haya sido montado en la lnea II?

2.-Una fbrica produce artculos idnticos en dos lneas de montaje. Dos quintas partes de la produccin se realizan en una vieja lnea, de la cual 10% de los productos se rechaza por mala calidad; las otras tres quintas partes se fabrican en una lnea moderna de la que solamente el 4% resulta rechazada. cul es la probabilidad de que un producto rechazado haya provenido de la lnea de montaje vieja?

3.-Una compaa de taxis clasifica a sus conductores por clases: B (muy bueno), R(regular), M(malo), lo cual depende de los accidentes que hayan tenido. La probabilidad de que un conductor tenga, por lo menos, un accidente mensual es de 0.02 para la clase B, 0.04 para la R y 0.08 para la M. La compaa sabe que un 80% de sus conductores son de clase B, un 10% de clase R y el otro 10% de la clase M. Uno de los conductores informa que acaba de sufrir un accidente. Cul es la probabilidad de que dicho conductor pertenezca:

a) A la clase B?

b) A la clase R?

c) A la clase M?

4.- El 5% de las unidades producidas en una fbrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricacin se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce un 30% de unidades defectuosas. La probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, Cul es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?.

5.- Una planta donde se arman piezas recibe microcircuitos provenientes de tres fbricas distintas B1, B2, y B3. El 50% del total se compra a B1, mientras que a B2 y B3 se les compra un 25% a cada una. El porcentaje de circuitos defectuosos para B1, B2, y B3 es 5, 10 y 12% respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quien fue el vendedor.

a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso.

b) Si un circuito no est defectuoso, Cul es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B2?.

6.- Un inversionista est pensando en comprar un nmero muy grande de acciones de una compaa. La cotizacin de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran inters para el inversionista. Con base a esta informacin, se observa que la cotizacin se relaciona con el producto nacional bruto(PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que el valor de las acciones aumente es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de slo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo, y disminuye, respectivamente, determine la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los prximos seis meses.

7.- Con base a varios estudios una compaa ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad de descubrir petrleo, las formaciones geolgicas en tres tipos. La compaa pretende perforar un pozo en un determinado sitio, al que se le asignan las probabilidades de 0.35, 0.40 y 0.25 para los tres tipos de formaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petrleo se encuentra en un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de formaciones de tipo II y en un 30% de formaciones de tipo III. Si la compaa no descubre petrleo en ese lugar, determnese la probabilidad de que exista una formacin del tipo II.

8.- Hay tres carreteras para viajar de la Ciudad A la Ciudad B. Por datos estadsticos se conoce que la probabilidad de accidentes en cada una de estas carreteras es respectivamente. Adems se sabe que los viajeros tienen preferencia por la carretera II, por la que transitan la mitad de los vehculos; mientras que la otra mitad transita en cantidades iguales por las carreteras I y II. Cul es la probabilidad de que ocurra un accidente en un viaje de la ciudad A a la ciudad B?.

9.- Tres mquinas A, B y C producen respectivamente el 50%, 30% y 20% del nmero total de artculos de una fbrica. El porciento de artculos defectuosos que produce cada una de estas mquinas es de 3%, 4% y 5% respectivamente. Si se selecciona un artculo aleatoriamente, Cul es la probabilidad de que:

a) Sea defectuoso?

b) Si el artculo es defectuoso, haya sido producido por la mquina A o por la mquina B?

10.- En el saln de estudio de una escuela secundaria el 25% de los alumnos y el 10% de las alumnas estudian Matemtica. Estas ltimas constituyen el 60% de los estudiantes del saln. Si se selecciona al azar un estudiante y resulta ser de matemtica, Cul es la probabilidad de que sea una alumna?.

Autoexamen

1. Con base en datos geolgicos, una compaa petrolera estima que hay una probabilidad de 0.3 de encontrar petrleo en cierta regin. Se sabe por experiencia previa que si se ha de encontrar petrleo, hay una probabilidad de 0.4 de hallarlo en la primera serie de perforaciones. Si esta primera serie de perforaciones no resulta exitosa, cul es la probabilidad de hallar petrleo a la larga?.

2. Dentro de un cierto grupo de estudiantes, 2/5 son hombres y 3/5 mujeres. De los hombres, tienen menos de 21 aos de edad, mientras que 2/3 de las mujeres estn en el mismo caso. Calcule la probabilidad de que:

a) Un estudiante elegido al azar tenga ms de 21 aos.

b) Un estudiante elegido al azar menor de 21 ao, sea mujer.

3. Una firma radicada en Cuba, tiene cuatro vendedores: Jos es responsable del 40% de las ventas, Fernando de 25%, Samuel de 20% y Juan de 15%. De los clientes de Jos 60% vuelven a comprar a la empresa, mientras que 70% de los de Fernando, y 75 % de los de Samuel y Juan vuelven con el mismo propsito. Cul es la probabilidad de que un cliente que va por segunda vez a comprar a la firma sea cliente:

a) De Jos

b) De Juan

4. Un comprador de ropa femenina de una gran tienda departamental compra anualmente 20% de los vestidos a un fabricante A, 30% a un segundo fabricante B, y el 50% restante a diversos proveedores. De los vestidos comprados a A se vende el 80%; 75% de los de B y 90% de los restantes. Cul es la probabilidad de que un vestido que no se vendi al final de la temporada provenga del fabricante A?

A1 A2 A3

B

A4 A5

B

3 B 2 A

4 B 3 A

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