1 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos I NST I T UT OPOL I T CNI CONACI ONALC E N T R OD E E S T U D I OS C I E N T F I C OS Y T E C N OL GI C OS N o . 1 1 WI L F RI DOMASSI EUACADEMI ADEMAT EMT I CAS UNIDAD DE APRENDIZAJE DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA COMPETENCIA GENERAL Resuelveproblemasreferentesaestadsticadescriptivayprobabilidadensu entorno acadmico, social y global. COMPETENCIA PARTICULAR Emplea la estadstica descriptiva en la solucin de problemas que se presentan en su mbito acadmico, social y global. UNIDAD 1: ESTADSTICA DESCRIPTIVA. Para qu sirve la Probabilidad y la Estadstica? La probabilidad y la estadstica son parte importante de la vida. A cada momento elaboramosjuiciosytomamosdecisionesy,conscienteoinconscientemente, utilizamossusconceptosytcnicas;porejemplo,decidimosaquehorasalirde casa,basadoseneltiempopromedionecesarioparatrasladarnosallugarque deseamos;escogemoselmediodetrasporteenfuncindesudisponibilidad,su costoyrapidezrelativaanuestraprisa,analizamosydecidimosrespectoa cualquierproyectoconsiderandosusprobabilidadesdexitoendiferentes condiciones;laexperienciaesunaformadeestudiarlatendenciadelos fenmenosydecidirenconsecuencia:llevarparaguas;comprarotro cuaderno; no le prestar mi calculadora; etc. Apesardequelosconceptosbsicosdelaprobabilidadylaestadsticason conocidos en general por el hombre moderno, es necesario el estudio sistemtico deellosafindedisponerdelastcnicasadecuadaspararesolverconmayor precisin los problemas de la vida actual. Por ejemplo, cul es la probabilidad de xitodeesteproyecto?;qutanseguropuedoestardelacalidaddecierto artculo,sialtomar100deellos8erandefectuosos?;culeselvolumen esperadodeventasparamiempresadurantelosprximos18meses,afinde elaborar el programa de produccin?; qu relacin existe entre el presupuesto de publicidadyelnmerodeclientesdemiempresa?;culesellugarms convenienteparavacacionarsiexistenopinionesencontradasrespectoalmejor lugar, pero es posible clasificar las preferencias de los integrantes de un grupo de vacacionistas?;quresistenciadebetenerunpernodemetalparasoportarla carga a la que ser sometido?; etc.

Las respuestas a estas preguntas se obtienen por medio de tcnicas cuyo estudio se inicia en este curso y se extiende hasta cursos avanzados y tesis post-doctorales. 2 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos La estadstica es el lenguaje universal de la ciencia. Como usuarios potenciales de la estadstica, necesitamos dominar la ciencia y el arte de utilizar correctamente su metodologa. El empleo cuidadoso de los mtodos estadsticos permite obtener informacin precisa de los datos, que incluyen: 1)Definir cuidadosamente la situacin. 2)Recolectar datos. 3)Resumir con precisin los datos. 4)Obtener y comunicar las conclusiones significativas. Laestadsticaimplicainformacin,nmerospararesumirestainformacinysu interpretacin.Eltrminoestadsticoposeevariossignificadosparapersonasde diversosentornoseintereses.Paraalgunos;esuncampodemagiaenelque unapersonaconconocimientossuperaalosdems.Paraotros,setratadeun medio para recolectar y representar grandes cantidades de informacin. Y todava paraotrogrupo,setratadeunmedioparatomardecisionesdefrenteala incertidumbre. Entre otros. Parasuestudiosedivideendosgrandesreas:EstadsticaDescriptivay Estadstica Inferencial. La Probabilidad y la Estadstica estn llenas de nmeros, pero tambin es verdad que no se requiere conocimientos avanzados de Matemticas para iniciarse en su estudio. Esimportante,manejarfracciones,determinarporcentajes,operacionesbsicas de aritmtica y, razones y proporciones. Conceptos Bsicos. Estadstica Descriptiva.Es la rama de laEstadstica queincluye la recoleccin, presentacin y descripcin de los datos maestrales. EstadsticaInferencial.Serefierealatcnicadeinterpretacindelosvalores resultantesdelastcnicasdescriptivasyalatomadedecisionesyobtencinde conclusiones sobre la poblacin muestreada. Poblacin.Eslacoleccinoconjuntodeindividuos,objetosoeventoscuyas propiedades sern analizadas. Muestra. Es un subconjunto de la poblacin. Parmetro. Es un valor que describe a toda la poblacin, pe., la edad promedio al momento de la admisin de todos los estudiantes que hayan asistido a la Wilfredo Massieu. 3 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Dato.Valordelavariableasociadoaunelementodeunapoblacinouna muestra, pe., Pedro Salas ingreso a la vocacional a los 15 aos de edad. Experimento.Actividadrealizadasegnunplandefinidocuyosresultados producen un conjunto de datos. Variable.Caractersticadeintersacercadecadaelementodeunapoblacino una muestra, pe., son variables las edades, el color de sus cabellos u ojos de los estudiantes, su estatura, su peso, etc. Valor Estadstico.Es la caracterstica numrica de una muestra, pe., la estatura promedio calculada a partir de un conjunto de 50 medidas de estatura. DatoCualitativooAtributo.Eselresultadodeunprocesoquecaracterizao describe un elemento de una poblacin. Dato Cuantitativo o Numrico.Es el resultado de un proceso que cuantifica, es decir, que cuenta o mide (longitud, peso, etc.) Variable Discreta. Valores especficos que puede tomar una variable asociada a un nmero entero. Variable Continua. Valores que puede tomar la variable en un intervalo dado. Medibilidad y Variabilidad. Siempre se espera que ocurra variabilidad en un conjunto de datos experimentales. Si aparece muy poca o ninguna variacin, se conjetura que el instrumento de medicin no es suficientemente preciso. No importa de qu variable se trate, siempre existir variabilidad en la respuesta numrica si el instrumento de medicin es suficientemente preciso. Por ejemplo. En una caja con 24 barras de chocolate, anote el peso de cada una. Se observa que cada barra pesa 30 gr., redondeado a enteros. Significa esto que las barras tienen un peso idntico? Realmente no, si se pesa en una balanza 4 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos analtica que mide miligramos, los pesos de las barras de chocolate presentarn variabilidad. Los cuatro conceptos indispensables en la descripcin de conjuntos de datos univariados, son: 1)Tipos de Distribucin. 2)Medidas de Tendencia Central. 3)Medidas de Dispersin o Variabilidad. 4)Medidas de Posicin. RAP 1: Organizar los datos obtenidos de una muestra o poblacin en forma tabular y grfica. 1) Tipos de Distribucin. Presentacin Tallo-Hoja. Es una tcnica para compendiar datos numricos, y consiste en combinar dos procedimientos; uno grfico y el otro de ordenacin. El tallo se forma con el o los primeros dgitos del dato, mientras que la hoja se forma con los dems dgitos. Sin embargo, una simple lista de un conjunto de datos, no le dice gran cosa al lector. Algunas veces se desea condensar los datos en una forma ms manejable. Esto puede lograrse con la ayuda de una distribucin de frecuencias. Frecuencia (f). Es el nmero de veces que ocurre el valor x en la muestra. Existen distribuciones de frecuencias agrupadas y los no agrupadas, no agrupada significa que los valores de x no se combinan para formar grupos, sino que cada x es un grupo en s. La suma de las frecuencias debe ser exactamente igual al nmero de datos. n = f. Histograma. Es una grfica de barras, que representa a un conjunto de datos, la cual esta compuesta por un titulo, que identifica la poblacin de inters, una escala vertical que identifica las frecuencias en las distintas clases y, una escala horizontal que identifica a la variable x (indicando las fronteras, lmites o marca de clase). Polgono de Frecuencia. Es la unin de las marcas de clase, de la misma grfica del histograma. Ojiva. Una distribucin de frecuencias puede convertirse fcilmente en una distribucin de frecuencias acumuladas, reemplazando las frecuencias simples con las frecuencias acumuladas, que es la suma de frecuencias de esa clase y la suma de frecuencias de todas las clases precedentes. Toda ojiva comienza con 5 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos una frecuencia relativa igual a cero, asociada a la frontera inferior de la primera clase y termina con una frecuencia relativa del 100% asociada a la frontera superior de la ltima clase. Marca de Clase (X). Llamada algunas veces punto medio de clase, puesto que es el valor numrico situado exactamente en la parte central de cada clase. Ancho de Clase (c). Es la diferencia entre un lmite inferior de clase y el lmite inferior de la siguiente clase. La frontera de clase, son nmeros que no estn presentes en los datos muestrales, sino que se localizan en medio del lmite superior de una clase y el lmite inferior de la clase siguiente. Procedimiento. 1)Identifique el puntaje mximo y mnimo y obtenga la amplitud A=H-L; en donde, H es el valor mximo y L el valor mnimo. 2)Seleccione un nmero de clase (m=10) y un ancho de clase (f=?) de manera que el producto (mc=At); At amplitud terica, la cual debe ser un poco mayor que la amplitud real (A). 3)Elija un valor inicial, este valor debe ser un poco ms pequeo que el puntaje mnimo. Nota. El lmite inferior de clase, es el valor ms pequeo que puede asignarse a cada clase. Los lmites superiores de clase son los valores de mayor magnitud que puede asignarse a cada clase. Ejemplo. Ordena los datos seleccionados de los pesos (en lbs.) de cincuenta estudiantes, para diez clases. Trazando las graficas correspondientes. 98150108158162112118167170120 177186191128135195137205190120 188176118168115115162157154148 101143145108155110154116161165 145184120170195132129215176183 6 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 098H=215L=98A=H-LA=215-98A=117 10818 112885506si m=10 entonces, c=12. 1208009 13572At=(10)*(12)=120 1483551508745416278215 d=At-A;d=120-117=3; por lo tanto se le quita1707606 186843 2 a L y se le agrega 1 a H. 191505205L=98-2=96+1=97. y H=215+1=216. 215 mcffa%fax 197108448102.5 2109120101428114.5 312113231734126.5 413314432040138.5 514515672754150.5 615716883570162.5 716918054080174.5 818119264692186.5 919320424896198.5 10205216250100210.5 50 7 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicio. Hoy en da muchos estudiantes laboran durante 6 hrs., en diferentes tipos de trabajo. Se tom una muestra de 30 jvenes y se les pregunt el salario que perciben a la quincena, los datos son: 5108508601050107010901110115013501450 1500156016801710176018101860197020102020 2100224023702390246026102740347039204190 Si se tiene un ancho de clase de 737, cmo sern las distribuciones de frecuencia? 8 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Sol. 1 0510850860 1050070090110150350450500560680710760810860970 2010020100240370390460610740 34709204190 H=4190; L=510; A=H-L; A=4190-510; A=3680, si c=737, entonces m=5, At=(737)*(5)=3685; d=At-A; d=6385-3680; d=5; por lo tanto se le resta 3 a L y 2 a H. L=510-3; L=507+1=508; H=4190+2; H=4192. mcffa%fax 150812448827876 2124519811018601613 319822718826872350 427193455127903087 5345641923301003824 9 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos RAP 2: Calcular e interpretar las medidas de tendencia central y de dispersin, de datos obtenidos de una muestra o de poblacin, para resolver problemas de diversas reas del conocimiento. 2) Medidas de Tendencia Central. Son valores numricos que tienden a localizar, en algn sentido, la parte central de un conjunto de datos. Generalmente, el trmino promedio se asocia a estas mediciones. Cada una de las diferentes medidas de tendencia central puede recibir el nombre de valor promedio. Media ( x ). Es el promedio con el que probablemente se est ms familiarizado, se suman todos los valores de la variable x y se dividen entre n el nmero de esos valores x = x/n Individual; x =xf/f Grupal. Mediana (M). Es el valor ocupado por la posicin central cuando los datos se ordenan de acuerdo con su magnitud. Ejemplo. 3, 3, 5, 6 y 8 ; posicin de la Mediana. pM=(n+1)/2 ; pM=( 5+1)/2 ; pM=3 ; M=5. Nota. La mediana ser exactamente el valor central del conjunto de datos cuando n sea un nmero impar. Pero, cuando n es par, la posicin de la mediana ser siempre la mitad de algn nmero. pM=(6+1)/2 ; pM=3.5 ; pM=(5+1)/2 ; pM=3. Moda. Es el valor de x que ocurre con mayor frecuencia. Ejemplo. 3, 3, 5, 6 y 8; la moda es 3. Si sucede que dos o ms valores tienen la misma frecuencia ms alta, se dice queno existe la moda. Centro de Amplitud (CA). Un conjunto de datos siempre tienen un extremo inferior L y otro superior H. el punto medio o centro de la amplitud es el nmero situado entre ellos, exactamente en la parte central. Ejemplo. 6, 7, 8, 9 y 10 ; CA=(L+H)/2 ; CA=(6+10)/2 ; CA=8. 10 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejemplo. Calcular las medidas de tendencia central del primer ejemplo (el de los pesos en libras de los 50 estudiantes). mxfxf 1102.54410a) x=7513/50; x=150.2602114.5101145 3126.53379.5b) p=(50+1)/2; p=25.5 4138.53415.5 5150.571053.525=154 6162.581300=154 7174.55872.526=154 8186.561119 9198.52397c) Mo =120 10210.52421 7513d) CA=(215+98)/2; CA=156.5 Ejercicios. 1) Determinar las medidas de tendencia central del primer ejercicio (la de los salarios de los 30 estudiantes). a) x=1883.233, b) =1785, c) Mo=no existe y, d) CA=2350. 2) En una muestra de 40 empleados, se obtuvieron las siguientes estaturas en mts.1.461.591.671.761.531.621.681.90 1.581.661.741.521.621.681.841.58 1.661.731.521.611.681.811.561.66 1.721.501.601.681.801.551.641.72 1.501.601.671.771.551.621.701.67 Si en la cuarta clase los lmites son 1.69 y 1.76, cmo sern las distribuciones de frecuencia y las medidas de tendencia central? m=6, x=1.641, b) =1.660, c) Mo=1.680 y, d) CA=1.680. 11 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Sol 2. 1) mxfxfa) x=56497/30; x=1883.233187687008 216131016130b) p=(30+1)/2; p=15.5 32350818800 430871308715=1760 53824311472=1785 5649716=1810 c) Mo =no existed) CA=(510+4190)/2; CA=2350 2) 146 1580902235568 1666070718282828467 172346702 18014 190 H=1.90; L=1.46; A=H-L; A=1.90-1.46; A=0.44, c=1.76-1.69=0.07+0.01=0.08, entonces m=6, At=(0.08)*(6)=0.48; d=At-A; d=0.48-0.44; d=0.04; por lo tanto se le resta 2 a L y 2 a H. L=1.46-0.02; L=1.44+0.01=1.45; H=1.90+0.02; H=1.92. mcfFa%faxxf 11.451.525512.51.4857.425 21.531.6914351.56514.085 31.611.68152972.51.64524.675 41.691.7663587.51.72510.35 51.771.8443997.51.8057.22 61.851.921401001.8851.885 4065.64 12 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 13 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 3) Medidas de Dispersin o Variabilidad. Esta medida nos da una idea del grado de indeterminacin que se afronta en una situacin donde est presente el azar. En estos casos aun sabiendo que no se tiene la total certidumbre sobre un posible resultado de la estimacin de los datos, las medidas de dispersin ofrecen menores posibilidades de un equvoco cuando la dispersin de una distribucin es pequea en medida. Estas medidas abarcan la magnitud (o rango), la varianza y la desviacin estndar. Los cuales describen el grado de dispersin o variabilidad, de los datos. Los valores de estas medidas, sern mayores cuando los datos estn muy disgregados y, sern menores cuando los datos estn ms cercanamente agrupados. Amplitud. Es la medida de dispersin ms sencilla y es la diferencia entre el dato de mayor valor H y el de menor valor L.A=H-L. Varianza. Es la medida de separacin con respecto a la medida y, su valor numrico se obtiene con la siguiente frmula. s2=(x-x )2/(n-1);s2=(x2-(x)2/n)/(n-1) Nota. Se utiliza la 1frmula, si se conoce la media o si se tienen nmeros enteros y; se utiliza la 2frmula, si la media no se conoce o si se tienen cifras decimales. Desviacin Estndar. Es la medida de separacin con respecto a la media y, su valor numrico es la raz cuadrada positiva de la varianza. s=s2. Interpretacin y Comprensin de la Desviacin Estndar. La desviacin estndar es una medida de fluctuacin (variabilidad) en los datos, se le ha definido como un valor que se calcula con frmulas especficas. Pero, cul es su significado? Es una especie de criterio de medicin mediante el cual puede compararse un conjunto de datos con otro. Esta medida particular puede ser comprendida mejor examinando dos enunciados; el Teorema de Chebyshev y la Regla Emprica. RAP 3: Aplicar la regla emprica de la distribucin normal, teorema de Chebyshev, para determinar el comportamiento de la distribucin de frecuencias de un conjunto de datos de una poblacin. Teorema de Chebyshev o Tchebycheff. La proporcin de cualquier distribucin situada dentro de k desviaciones estndar de la media es, por lo menos, 1-(1/k2); en donde k es cualquier nmero positivo mayor que 1. Este teorema es aplicable a cualquier distribucin de datos. 14 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos El teorema establece que siempre habr al menos un 75% de los datos (es decir, 75% o ms) dentro de dos desviaciones estndares de la media (k=2). 1-1/k2=1-1/22=1-1/4=3/4=0.75 75%. Regla Emprica. Si una variable est distribuida normalmente, entonces hay un 68% de los datos, aproximadamente dentro de una desviacin estndar de la media. Para dos desviaciones estndar habr un 95% de la media. Y para tres desviaciones estndar de la media habr un 99.7% de los datos. Esta regla es aplicable especficamente a una distribucin normal (en forma de campana o de Gauss), aunque con frecuencia se aplica como gua a cualquier distribucin. En caso contrario, el conjunto de datos no esta distribuido en forma normal. 15 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejemplo. Calcular las medidas de dispersin para dos desviaciones estndares del primer ejemplo (el de los pesos en libras de los 50 estudiantes). mxf(x-_)2 s2=250.395; s=15.8241102.542281.0176 2114.5101278.7776_s=118.612; _+2s=181.908;3126.53564.5376 4138.53138.2976120.5-118.612=1.888; x=10*(1.888)/12;5150.570.0576x=1.572 6162.58149.81767174.55587.5776181.908-180.5=1.408; x=6*(1.408)/12;8186.561313.3376x=0.7041 9198.522327.09762+3+3+7+8+5+1=29 10210.523628.8576x=29*(100)/50; cs=58% 5012269.376no cumple para ninguno de los dos Ejercicios. 1) Calcular las medidas de dispersin para dos desviaciones estndares del primer ejercicio (el, de los salarios de los 30 estudiantes). s2=224 863.695, s=474.198, _2s=70%, no cumple con ninguno de los dos. 2) Determinar las medidas de dispersin para tres desviaciones estndares del segundo ejercicio (la, de la estatura de los 40 empleados). s2=0.0032, s=0.057, _3s=92.5%, no cumple con la regla. 3) De las 20 calificaciones que se indican, construye una tabla que agrupe los datos con un ancho de clase de 9 y traza las grficas correspondientes. Calcula las medidas de tendencia central y la confiabilidad para dos desviaciones estndares. 78768296768452787674 58926672826274688886 m=5, =76, _=75.350, s2=43.1112, s=6.566, Q3=82, P47=76, _2s=70%, no cumple con ninguno de los dos. 16 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 4) Medidas de Posicin. Estas medidas sirven para describir la localizacin de un dato especfico en relacin con el resto de la muestra. Cuartiles. Son nmeros que dividen a los datos ordenados en cuatro partes iguales; cada conjunto de datos tiene tres cuarteles. Q=n/4. Deciles. Son nmeros que dividen a los datos ordenados en diez partes iguales; cada conjunto de datos tienen nueve deciles. D=n/10. Centiles o Porcentiles. Son nmeros que dividen en cien partes iguales a un conjunto de datos ordenados; tal conjunto tiene noventa y nueve centiles. C=P=n/100. Nota. El primer Q1=P25; el Q3=P25 y; la mediana, el Q2 y C50 son iguales, es decir, M=Q2=C50. Por tanto, utilcese este mtodo para obtener la mediana cuando se trata de encontrar P50 o Q2. Ejemplo. Calcular el segundo cuartil, el octavo decil y el 38 porcentil, del ejemplo de los pesos en libras de los 50 estudiantes. Adems: a)Qu porcentaje de los estudiantes pesan ms de 157 lbs? b)Qu porcentaje de los pesos debe disminuirse o incrementarse para tener una media de 155 lbs? c)Cuntos estudiantes tienen mayor peso, si el 28% de ellos son los ms pesados? d)Qu porcentaje de los estudiantes tienen menor peso, si 17 de ellos son los ms pesados? ( )( )( ). % 66 100 50 2834 17 ) ; 14 100 50 ). % 15 . 3 155 2215 . 103 100 26 . 150 ) ; % 44 100 50 ). 137 ; 19 5 . 0 * 38 ; 5 . 010050. 177 ; 40 5 * 8 ; 51050. 154 ; 25 5 . 12 * 2 ; 5 . 124505038 388 82 2peso menor tienen xx x d s estudiante x crse incrementa debe x xx b x albs P P Plbs D D Dlbs Q Q Q n Si = = = = = = = = == = = = == = = = == 17 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1) Calcular el tercer cuartil, el sptimo decil y el 28 porcentil, del ejercicio de los salarios de los 30 estudiantes. Adems:1230 ; 2100 ; 230528 7 3= = = P D Q a)Qu porcentaje de los estudiantes ganan ms de $2000.00 a la quincena?% 40b)Qu porcentaje de los salarios debe disminuirse o incrementarse para tener una media de $1500.00?e disminuirs debe % 35 . 20c)Cuntos estudiantes tienen mayor salario, si el 14% de ellos son los que ms ganan?s estudiante 4d)Qu porcentaje de los estudiantes tienen menor salario, si 14 de ellos son los que ms ganan?% 67 . 46 2) Calcular el primer cuartil, el sexto decil y el 76 porcentil, del ejercicio de las estaturas de los 40 empleados. Adems:708 . 1 ; 67 . 1 ; 58 . 176 6 1= = = P D Q a) Qu porcentaje de los empleados miden ms de 1.76?% 5 . 12b) Qu porcentaje de las estaturas debe disminuirse o incrementarse para tener una media de 1.67?rse incrementa debe % 767 . 1c) Cuntos empleados tienen mayor estatura, si el 24% de ellos son los que ms chaparros?empleados 10d) Qu porcentaje de los empleados tienen menor estatura?, si 11 de ellosson los ms altos. 3) Calcular el tercer cuartil, el cuarto decil y el 47 porcentil, del ejercicio de las 20 calificaciones. Adems:76 ; 74 ; 8247 4 3= = = P D Q a) Qu porcentaje de los alumnos tienen ms de 76 de calificacin?% 45b) Qu porcentaje de las calificaciones debe disminuirse o incrementarse para tener una media de 80?rse incrementa debe % 17 . 6c) Qu porcentaje de los alumnos tienen menor calificacin, si nicamente 2 de ellos tienen la calificacin ms alta?estatura menor de los son % 90d) Qu porcentaje de los alumnos tienen menor calificacin?, si 7 de ellos tienen mayor promedio.

4) Una estacin de radar midi en kilmetros por hora la velocidad de 50 automviles en una de las principales calles del D. F., las velocidades son: 43485456586062656770 44454748505456596162 65677251535355576061 63656875565657606164 65697958606264657080 18 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos a)Construye el histograma, el polgono de frecuencia y la ojiva. Para cinco intervalos de clase. b)Cul es la confiabilidad para 3 desviaciones estndares? c)Cul es el valor del segundo cuartil, el cuarto decil y el 73 porcentil? d) Qu porcentaje de los autos debe incrementar o disminuir su velocidad para tener una media de 60 Km./h? 5) Los salarios quincenales, en miles de pesos, de 40 obreros de una fbrica son: 1.191.251.361.431.501.531.591.641.701.90 1.201.301.371.451.501.551.601.701.701.90 1.211.301.391.471.501.551.631.701.801.95 1.251.351.401.481.511.581.631.701.852.07 a) Forma una distribucin de frecuencias cuya cuarta clase sea de 1.64 a1.78 b) Construye el histograma, el polgono de frecuencia y la ojiva. c) Compara y decide, si los datos recabados son confiables para dos desviaciones estndares. d) Cul es el valor del primer cuartil, el octavo decil y el 68 porcentil? e) Si el 25% de los obreros son los que ms ganan, cuntos obreros sern los que perciben menor salario? f) Qu porcentaje del salario debe incrementarse o disminuirse, para obtener una media de 3.5 mensual?

6) Los datos siguientes corresponden a la duracin real de 40 acumuladores (bateras elctricas) para automvil. La garanta que ofrece el fabricante es de 3 aos y la notacin utilizada, especifica los aos y los meses, as 3:02 quiere decir,que la batera dur 3 aos y 2 meses. 3:023:012:113:023:112:023:043:052:064:08 3:083:013:044:013:004:011:074:043:013:09 3:004:082:111:114:023:063:013:053:083:02 2:073:083:013:053:064:063:043:074:052:07 a) Construye una tabla que agrupe los datos en intervalos de 6 meses. b) Traza el histograma, el polgono de frecuencias y la ojiva c) Calcula la media y la desviacin estndar. d) Qu porcentaje de los acumuladores dur menos que la garanta ofrecida por el fabricante?e) En un lote de 500 acumuladores que provienen del mismo proceso de fabricacin, cuntos acumuladores crees que duraran menos que la garanta ofrecida por el fabricante?f) Por qu crees que el fabricante ofrece una garanta menor que la duracin promedio de los acumuladores? 19 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos SEGUNDO PERIODO COMPETENCIA PARTICULAR Resuelveproblemasreferentesateoradeconjuntos,tcnicasdeconteoy probabilidad, en su mbito acadmico, social y global UNIDAD 2. PROBABILIDAD. RegladelaProbabilidad.Enunespaciomuestralquecontienepuntos mustralesquesonigualmenteprobablesdeocurrir;laprobabilidadP(A)deun evento A, es la razn del nmero de puntos que satisfacen la definicin del evento A; n(A) con respecto al nmero de puntos mustrales que hay en todo el espacio muestral; n(S). Es decir. ( )( )( ).S nA nA P =Ejemplos. 1)Siselanzan2dados,culserlaprobabilidaddequelasumadelas caras que quedan hacia arriba sean de: a) 6; b) 9 y; c) 11. ( )( )( ) %. 56 . 518136211 )%. 11 . 11913649 )%. 89 . 133656 ) P c P b P a= == ==

2)Culeslaprobabilidaddeobtener2Ayunsol,allanzartresvecesuna moneda? 20 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos ( ) ( ) ( ) %. 50 . 37832 ; 8 ; 3 2 AyS P S n AyS n = = = 3)Unacajacontienetrescanicas;unaroja,unablancayunaverde.Dosde ellas se extraen con reemplazamiento, es decir, una vez que se ha elegido una canica se observa su color y luego vuelve a introducirse en la caja, las canicassonrevueltasantesdeextraerunasegundacanicayobservarsu color. a)Culeslaprobabilidaddequelascanicasextradasseaunaverdey una blanca? ( ) ( ) % 22 . 22922 VyB P VyB n == b)Sinohayreemplazamiento,culserlaprobabilidaddequelas canicas extradas sea una verde y una blanca? ( ) ( ) % 33 . 3331622 VyB P VyB n = == 21 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)Selanzan4monedassimultneamente,culserlaprobabilidaddeque ocurra: a) 2A y b) al menos 2A.% 75 . 68 ) % 5 . 37 ) b y a S 2)Dianatiene3blusas,4faldasy2pantalonesquemslegustan.De cuntas formas puede combinarse sus vestimentas?. 18 formas S 3)Enunacajasetieneigualnmerodecanicasazulesqueamarillasyel doble de verdes que de azules. Si se extrae una canica; a)Cul es la probabilidad de que sea amarilla?% 25 Sb)Cul es la probabilidad de que sea verde?% 50 S 4)Trescompetidoresolmpicos(Corea,MxicoyRumania)participaronen unapruebadenatacin.Coreatiene 25deprobabilidaddeganarque Rumania,mientrasqueMxicotiene 23deprobabilidadqueRumania. Calculalasprobabilidadesdecadaunodeloscompetidores. %. 20 % 30 %; 50 = = = R y M C S 5)Se lanzan dos dados, uno blanco y otro verde, encuentre la probabilidad de alcanzar un total de: a) 8; b) 11 y; c) 5.% 89 . 13365 S ;% 56 . 5181 S y;% 11 . 1191 S 6)Comopitcher(lanzador)delasligasmayores,FernandoValenzuelatiene un historial de lanzar un 80% de strikes. Qu probabilidad hay de que su prximobateadorveaexactamentedosstrikesenlossiguientescinco lanzamientos?% 32 S 7)Culserlaprobabilidaddeformar2Ay3Saltirarcincovecesuna moneda?% 25 . 31 S 8)ElequipodeftbolAtlastieneel70%deprobabilidaddeganarcuando juega.Hallarlaprobabilidaddequeenlosprximosseisjuegosgane exactamente cuatro partidos (no hay empates).% 67 . 46 S 9)Unexamenconstadediezpreguntasdeopcinmltiplecontres respuestas posibles en cada una, si un alumno contesta al azar, cul es la probabilidad de que apruebe el examen?% 33 . 33 S 22 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos TcnicasdeConteo.Lastcnicasdeconteoseusanparaencontrarelnmero deresultadosposiblesdequesucedaunevento,cuandoesdifcilcontrolarlos mediante diagramas de rbol o por ser muy grande el nmero de posibilidades. Principio Fundamental. Si una decisin, operacin o accin puede tomarse de n1 formasdiferentesysidespusquehasidoefectuada,unadeestasformas,una segundadecisinpuedetomarseden2formasdistintas,yunaterceraaccin puedetomarseden3formasdistintas,entonceselnmerototaldeaccioneso decisionesquepuedanformarseserigualan1xn2xn3queesloqueseconoce como Principio Fundamental de Conteo. Ejemplos. 1)Unestudiantetienequeseleccionarunadelascuatromateriasoptativas;una actividad extraescolar de entre danza, teatro, msica y guitarra, y entre uno de los siguientesidiomas;ingls,francseitaliano.Cuntasmanerasdistintastiene que escoger? ( )( )() . 48 3 4 4 diferentes maneras = 1)Una placa de automvil en el D. F., consta de cuatro dgitos y tres letras. a)Cuntas placas se pueden hacer sin restriccin? b)Si la primera letra puede ser A, B, C, D, E, F y el primer dgito diferente de cero. c)Cuntas,siletrasynmerosdebenserdiferentesylaprimeraletraslo puede ser la A? ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) . 3024000 24 25 1 7 8 9 10 ). 36504000 26 26 6 10 10 10 9 ). 175760000 26 26 26 10 10 10 10 )diferentes placas cdiferentes placas bdiferentes placas aletras dgitos 2)Calcula el nmero posible de resultados en partidos que puede haber al llenar una boleta de pronsticos deportivos, si hay trece partidos y en cada uno hay tres opciones de ganar, empatar o perder. ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) . 1594323 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 313opciones nt= = = 23 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1) En un restaurante se puede servir cinco diferentes sopas, siete diferentesguisados y cuatro diferentes bebidas. De cuntas maneras puede servirse el men?140 S . 2) Una persona tiene tres pantalones diferentes, dos camisas diferentes y dos pares de zapatos distintos. De cuntas maneras se puede vestir?12 S . 3) Las placas de los automviles que circulan constan de tres letras diferentes, seguidas de tres dgitos distintos, de los cuales el primer nmero no debe ser cero (no se repite ninguna letra ni un nmero). Cuntas placas diferentes se pueden fabricar? y Cuntas se repiten?. 17714700 11372400 y S 4)Sisetieneenellibrerodoslibrosdematemticasdistintos,dosdefsica diferentes y dos de qumica diferentes, de cuntas formas se pueden arreglar estos libros en el estante, considerando que deben quedar las dos de la misma materia juntas?. 48 S Notacin Factorial. Se define al factorial de un nmero al resultado de multiplicar ese nmero por todos los nmeros enteros positivos menores que dicho nmero y se denota por( )( ) 1 . 2 . 3 ..... 2 1 ! = n n n ny se define al 0!=1. Ejemplos. Calcular y/o simplificar las siguientes expresiones. ( )( )( )( )( )( )( ) . 2 3 2 1! 3! 3 2 1! 3!).1210809601! 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13 . 14! 6! 14! 6) . 306! 16! 16 . 17 . 18! 16! 18)2 3n n n n n nnn n n nnncb a+ = = == = = =

AnlisisCombinatorio.Orientadoalestudiodelasprobabilidades,elanlisis combinatoriooanlisisdelnmerodeformasenlasquepuedenpresentarselos resultadosdeunproceso,ayudaacuantificarlaprobabilidaddequeocurraun resultado en particular. Y tiene como elementos fundamentales las Permutaciones y las Combinaciones. Permutaciones. Una permutacin es una forma en la que pueden presentarse los objetos o eventos, y en la cual el orden de aparicin es muy importante. ( ).!!". " " " " "r nnP r en r de tomados objetos n de nes Permutacior n= =En donde; n es el nmero total de objetos o eventos y, r el nmero de objetos que se desea considerar y puede ser desde 1 hasta n. 24 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejemplos. 1)Los tres dgitos 2, 5 y 8 pueden formar los nmeros 258, 285, 528, 582, 825 y852.Cadaunodeellosesunapermutacindelosdgitos2,5y8,y refleja valores muy importantes entre s. 2) Las letras A, V, E; forman: AVE, AEV, VAE, VEA, EAV y EVA. Son palabrasdiferentes. Existen siete casos en las que pueden operarse las permutaciones. Primero. Permutar algunos objetos de todos diferentes. Pe. En una caja hay 4 canicas (Azul, Blanca, Verde y Gris) si se extraen de la caja dos de ellas, en qu orden pueden aparecer? ( ). 12! 2! 2 . 3 . 4! 2 4! 42 4= == p Segundo. Permutar todos los objetos, de todos diferentes. Pe. En una caja hay un billete de $100.00, otro de $50.00 y uno ms de $20.00. Tres personas van atomarcadaunaunbillete,sinver.Determinelasformasenquepueden distribuirse los billetes. ( ). 6! 1! 1 . 2 . 3! 3 3! 33 3= == p 25 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Tercero.Permutartodoslosobjetos,dealgunosrepetidos. ( ) .! !..... !! ...2 12 1nnk k kk k kF Formas+ + += Pe.En una caja hay 2 canicas azules y 5 verdes. Si se extraen una por una de la caja, en qu orden pueden aparecer? ( ). 212405040! 5 ! 2! 5 2= =+= F Cuarto. Permutar algunos objetos, de algunos repetidos. No existe una frmula fcilparadeterminarelnmerodepermutacionescuandosetomanalgunos objetosdeunconjuntoquecontienevariosartculosigualesentres.Pe.En una caja hay 2 canicas azules y 5 verdes. Si se extraen 4 de ellas de la caja, en qu orden pueden aparecer? Quinto.Permutarconreemplazo.Estoescuandoelnmerodeobjetossea limitado,peroelnmerodevecesquesepresentenseainfinito,Pe.,cuando los objetos seleccionados pueden ser elegidos de nuevo. En las permutaciones anteriores,elnmerodeobjetosestabaperfectamentedefinido(4canicas,3 billetes,etc.).Ladiferenciaentreunayotraseconocecomoreemplazo. .mn Formas = Pe. Los resultados posibles de un juego son perder o ganar. Si se juegan 4 juegos, cules son los resultados posibles? Lista PGPPPGPPPGGGGGPG PPGPPGGPGPPGGPGG PPPGPPGGPGPGPGGG PPPPGPPGGPGPGGGG . 16 24= = =mn Formas 26 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Sexto.PermutarconRepeticin.Confrecuenciaseencuentranconjuntosde objetosiguales,siqueremossaberelnmerodepermutaciones,lafrmula esta dada por. . , ... , , ;! !... ! !!2 13 2 1iguales son n iguales son n iguales son n donden n n nnPrr= Pe.Cuntaspalabrasdiferentessepuedenformarconlapalabra ESTADSTICA? . 800 494 2! 2 ! 2 ! 2 ! 2! 11= = P Sptimo.PermutacinCircular.Todapermutacindenobjetosenlaqueel sucesor del ltimo es el primero, se llama permutaciones circulares y est dada porlaexpresin.( )! 1 =n P Pe.Decuntasmanerassepuedeacomodar doce personas en una mesa circular? ( ) . 800 916 39 ! 1 12 = = PEjercicios. 1) Calcular y/o simplificar las siguientes expresiones. ( )( )( )( )( )( ) . .!!) ; 1 1 2 .! 2! 2).1.!!) ;48961.! 18! 15) ; 17297280 .! 7! 14)144 23 22 4 22nnnn nny Syye r n r n r n r n Sr nr ncxSxxd S b S a + + + ++ + 2)Lamesadirectiva(presidente,secretarioytesorero)deunaasociacinvaa elegir de entre 5 candidatos, identificados con las letras A, B, C, D y D. Suponga quecualquieradeellosesaptoparacualquierpuestoydetermineelnmerode formas diferentes en que puede quedar integrada la mesa directiva.. 60 S 3)En unacaja hay 4 canicas (Azul, Blanca, Verde y Gris). Si se extraen una por una de la caja, en qu orden pueden aparecer?. 24 S 4) Los resultados posibles de un juego son perder, empatar y ganar. Si se juegan 5 juegos, cules son los resultados posibles?. 243 S 5) Determinar el valor de las siguientes expresiones. ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ).1 1 2 31.! 3! 2) ; 1 2 .! 1! 2); 702 .! 25! 27) ; 680 887 334 7 .! 91! 96) + + +++ + + n n n n nSnnd n n n SnncS b S a 27 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 6)Si 25 corredores compiten en una carrera de 5 km., cuntoscompetentes se pueden ganar los 3 primeros premios?. 800 13 S 7)Cuntaspalabrasdiferentessepuedenformarconlapalabra SUPERSTICIOSO?. 200 459 259 S 8) Se tienen 6 ejemplares de un libro y 8 de otro. Halle el nmero total de formas distintas en que pueden arreglarse todos en un librero.. 003 3 S 9)Enunzoolgicoseexhibirnen8jaulas5leonesnumeradosdel1al5y3 tigres numerados del 1 al 3. a) De cuntas formas diferentes pueden colocarse?. 320 40 Sb)Silostigresdebenestarenjaulascontiguas,decuntasformaspodrn exhibirse los leones y los tigres?. 720 S 10)Encuentreelnmerodesealesdiferentesquesepuedenhacercon4 banderas verdes, 2 azules y 1 blanca, si todas son del mismo tamao y tomamos todas a la vez. . 105 S Combinaciones.Unacombinacinesunaformaenlaquepuedenpresentarse losobjetosoeventos,yenlacualelordendeaparicinnoimporta.Pe,la multiplicacin de los dgitos 2, 5 y 8 puede hacerse de muchas formas diferentes. 2*5*8, 2*8*5, 5*2*8, etc., pero en todos los casos el resultado ser el mismo. ( ) .! !*!". " " " " "r n rnC r en r de tomados objetos n de nes Permutacior n= = En donde; n es el nmero total de objetos o eventos y, r el nmero de objetos que se desea considerar. Nota.Paracualquierparejadenmerosenterospositivosnyr,exceptuando r=1. El nmero de permutaciones es mayor que el nmero de combinaciones. Ejemplos. 1) Hay un grupo de cinco personas, las que pueden identificarse con las letras A, B,C,DyE.Deellassevanaseleccionartresparaunamisinespecial.De cuntas formas diferentes se pueden seleccionar las tres personas? ( ). 102 ! 3! 3 . 4 . 5! 3 5 ! 3! 53 5= == C 28 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos LISTA ABC ABD ABE ACD ACE ADE BCD BCE BDE CDE 2) Una preseleccin de ftbol est formada por 25 jugadores. De cuntas formas diferentes puede el entrenador integrar un equipo de 11 jugadores? ( ). 400 457 4! 14! 14 . 15 . 2 . 17 . 2 . 19 . 2 . 23 . 5! 14 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . 11! 14 . 15 . 16 . 17 . 18 . 19 . 20 . 21 . 22 . 23 . 24 . 25! 11 25 ! 11! 2511 25= = == C 3) Calcular la probabilidad de obtener en una mano de 5 naipes, tomados de una baraja de 52 cartas. ( )( )( ) % 05 . 0 0005 . 0 10 95 . 4960 598 2287 15. 287 1! 8! 8 . 9 . 11 . 13! 8 . 2 . 3 . 4 . 5! 8 . 9 . 10 . 11 . 12 . 13! 5 13 ! 5! 13. 960 598 2! 47! 47 . 12 . 49 . 10 . 17 . 26! 47 . 2 . 3 . 4 . 5! 47 . 48 . 49 . 50 . 51 . 52! 5 52 ! 5! 5245 525 135 135 52 XCCE PCC= = = == = === = == MultiplicacindeCombinaciones.Estosucedeenlascombinacionesyesuna forma de lo ms comn, en la cual es necesario multiplicar los resultados parciales de dos o ms combinaciones. Pe. 4) De un total de 5 hombres y 4 mujeres se va a formar un comit de 3 hombres y 2 mujeres. De cuntas formas puede quedar integrado? ( ) ( )( )( ) . 60 6 10 . 6! 2 . 2! 2 . 3 . 4! 2 4 ! 2! 4. 10! 3 . 2! 3 . 4 . 5! 3 5 ! 3! 52 4 3 5= = = == = == Formas C C 29 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1) En una bolsa hay seis monedas, marcadas con los nmeros 1, 2, 3, 4, 5 y 6 se vanatomaralazarcuatromonedas.Decuntasformasdiferentessepueden tomar las monedas?. 15 S 2)Enunejrcitohay20000soldados,ydeellossevanaseleccionar100para una misin especial. De cuntas formas diferentes se pueden seleccionar los 100 soldados?. 10 0601 . 1270x S 3) En una caja hay 39 esferas, marcadas con los nmeros del 1 al 39. Si se toman al azar 6 esferas, de cuntas formas diferentes pueden resultar; a) si se considera el orden de aparicin?. 560 088 349 2 Sb) si no se considera el orden de aparicin?. 623 262 3 S 4)Deunalistade20donadoresdesangre,hay15individuosdetipoB,side esta lista 3 de ellos se eligen al azar, cul es la probabilidad de que; a) Los tres sean de tipo B?%. 91 . 39 S b) Dos sean de tipo B y uno no lo sea?%. 05 . 46 Sc) Al menos uno de ellos sea de tipo B?%. 12 . 99 S 5) En una caja se tienen 15 focos, de los cuales 6 estn fundidos. Si se extraen 3 focosalazar,culeslaprobabilidaddequeporlomenosunodeelloseste fundido?%. 53 . 81 S 6)Unacajacon25refaccionesautomotrices,contiene20enbuenestado.Sise toman 4 refacciones al azar, cul es la probabilidad de que; a) stas sean buenas refacciones?%. 3 . 38 Sb) Todas resulten defectuosas?%. 0395 . 0 Sc) 3 sean buenas y una mala? %. 05 . 45 Sd) 2 por lo menos sean buenas?%. 35 . 98 S 7)EnlaestacinPinoSurezdelmetro,despusdedescenderlospasajeros, quedan cuatro asientos vacos. S por la puerta ms prxima entran 19 personas, de cuntas formas distintas pueden ser ocupados los asientos?. 876 3 S 8)EnunexamendeE.T.S.,incluyeuntotaldesietepreguntas.Sisedeben responderslocinco,cuntasformasdistintashayderesolverelexamen?. 21 S 30 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Probabilidades Subjetivas. Esto sucede cuando el nico mtodo disponible para asignar probabilidades es el juicio personal y la precisin de stos depende de la habilidad individual para valorar correctamente una situacin. EventosMutuamenteExcluyentes.Soneventosdefinidosdemaneraquela ocurrenciadeunoimposibilitalaocurrenciadelosdems(sialgunodeellos sucede, los restantes no pueden suceder). Eventos que no son mutuamenteEventos mutuamente excluyentes Excluyentes Nota. DecirP(A y B), es decir P(A B) y; decir P(A o B), es decir P(AB). Regla de la Adicin. Es la Probabilidad Compuesta P(A o B); en donde A y B son eventosmutuamenteexcluyentesyseaplicalasiguienteregla. ( ) ( ) ( ). B P A P B o A P + =Pero, si los eventos A y B no son mutuamente excluyentes se aplica la siguiente regla general.( ) ( ) ( ) ( ). B A P B P A P B o A P + =Ejemplos. 1)Selanzandosdadosysedefinentreseventos:Aeslasumadelos nmeros en los dados igual a 7; B es la suma de los nmeros en los dados igual a 10 y; C cada dado muestra el mismo nmero. a)cmo son los eventos A y B; B y C y; A y C? b)cul es la probabilidad del evento A, B y C? c)cul es la probabilidad de A o B? d)cul es la probabilidad de B o C? 31 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos a)AyBsoneventosmutuamenteexcluyentes;ByCnosoneventos mutuamente excluyentes y; A y C son eventos mutuamente excluyentes. b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )% 67 . 1661366% 3 . 8121363% 67 . 1661366. 6 ; 3 ; 6 ; 36= = = = = = = == = = = = = = =S nC nC P yS nB nB PS nA nA P C n y B n A n S n c)( ) ( ) ( ) % 2541369363366= = = + = + = B P A P B o A P d)( ) ( ) ( ) ( ) % 22 . 2292368361366363= = = + = + = C B P C P B P C o B P 2)Enelgrupo6IM6,80mujeresy60hombressonestudiantesdetiempo completoy;20hombresy40mujeressondetiempoparcial.Sise selecciona un alumno aleatoriamente, en la cual, el evento A es el alumno elegido de tiempo completo y,B el alumno seleccionado de tiempo parcial y adems es hombre. a)cul es la probabilidad de los eventos A o B? b)cul es la probabilidad de que el alumno sea mujer o de tiempo completo? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )%. 4010420080; % 70107200140%; 60106200120%; 1010120020%; 70107200140. 80 ; 140 ; 120 ; 20 ; 140 ; 200= = = = = = = = = = = == = = = = = = == = = = = =S nTC y M nTC y M P yS nTC nTC PS nM nM PS nB nB PS nA nA PTC y M n y TC n M n B n A n S n a) ( ) ( ) ( ) % 80108101107tan ,= = + = + = B P A P B o A Pto por s excluyente mutuamente eventos son B y A b) ( ) ( ) ( ) ( ) % 90109104106107tan ,= = + = + = TC y M P TC P M P TC o M Pto por s excluyente mutuamente eventos son no TC y M TIEMPO COMPLETOTIEMPO PARCIALTOTAL MUJERES8040120 HOMBRES602080 TOTAL14060200 32 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1) Se lanza un dado blanco y otro verde. a) Hallar la probabilidad de que el dado blanco sea un nmero menor que 3, o bien que la suma de los dados sea mayor que 9.%. 50 Sb) cul es la probabilidad de que los dados sumen 10 u 11, o bien que los dados sean nmeros dobles?%. 78 . 27 S 2) De la siguiente tabla, determine lo que se indica. AMANECER DA SUBTOTAL LLUVIOSOSECO NUBLADO4495 SOLEADO29197 SUBTOTAL a)cul es la probabilidad de que llueva un da cualquiera?%. 20 Sb)Hallarlaprobabilidaddequeundacualquierastesoleadoal amanecer y seco durante el da.%. 97 . 53 Sc)culeslaprobabilidaddequeundacualquieraestenubladoo soleado lluvioso?%. 03 . 46 Sd)culeslaprobabilidaddequeundacualquieraestenubladoal amanecer o lluvioso durante el da?%. 03 . 46 S 3)Los empleados del CECyT No. 11 WM fueron clasificados de acuerdo con suedadyadscripcinalaadministracin,cuerpodocenteypersonale apoyo. ADSCRIPCIN GRUPO DE EDADES EN AOSTOTAL 20-3031-4041-5051 O MS ADMINISTRACIN224162 GRUPO DOCENTE1403628 PERSONAL DE APOYO16201417 TOTAL Considerandoqueseseleccionaunempleadoenformaaleatoria,obtengala probabilidad de que el elegido: a)Este en la administracin o tenga 51 o ms aos.b)No sea miembro del cuerpo docente. c)Seamiembrodelcuerpodocentedadoqueelindividuotiene41oms aos. 4)Se lanzandos dados, en donde A y F denotan los eventos de alcanzar una puntuacin de 7 y 11, respectivamente. a) Cul es la probabilidad de alcanzar un total de 7 u 11?%. 22 . 22 Sb)Culeslaprobabilidaddeobteneruntotaldealmenos10puntosal tirar los dos dados?%. 67 . 16 S33 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos c)Culeslaprobabilidaddequealtirarlosdosdadoslasumatotalde puntosmostradosseaexactamente7siempreycuandolosdados muestren por lo menos tres puntos cada uno?%. 50 . 12 S COMPETENCIA PARTICULAR Emplea distribuciones de probabilidad en la solucin de problemas en los mbitos acadmico, social y global. UNIDAD 3. PROBABILIDAD CONDICIONAL. ProbabilidadCondicional.ElsmboloP(A/B)representalaprobabilidaddeque ocurraA,dadoqueByahaocurrido.Porlotanto,loseventosAyBson independientessi:P(A/B)=P(A)osiP(B/A)=P(B),y;laprobabilidadcondicional ( )( )( ); /B PB A PB A P= en caso de ser dependientes. Eventos Independientes. Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia o no ocurrencia de uno no afecta la probabilidad asignada a la ocurrencia del otro. La independencia es la propiedad necesaria para multiplicar probabilidades. Por lo tanto, si los eventos son independientes. ( ) ( ) ( ) ( ). * B P A P B A P AyB P = = Y si los eventos no son independientes (es decir, son dependientes). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). / * / / * B A P B P A B P ByA P o y A B P A P B A P AyB P = = = = Nota. Existen varios casos cuyo resultado es el evento compuesto y, algunos de los ms comunes son: a)A seguido por B. b)A y B ocurrieron simultneamente. c)Tanto A como B. d)A pero no B, equivalente a A y no B. Ejemplos. 1) Se lanzan un dado, el evento A indica si ocurre un 4 y el evento B si ocurre un par. a) Cmo son los eventos A y B? b) Cul es la probabilidad condicional de P(A/B)? 34 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos ( ) ( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )% 33 . 33313 66 16361/ ) ;2163;61. )6 ; 3 ; 1 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1= = = == = = == = = = = B PB A PB A P bS nB nB PS nA nB A P es dependient son eventos los aS n B n A n Dado 2) En una fbrica de enlatados, las lneas de ensamble I, II y III representan el 50, 30 y 20 % de la produccin total. Si se sella inadecuadamente 0.4 % de las latas de la lnea de ensamble I y, 0.6 y 1.2 % de las lneas de ensamble II y III. Cul es la probabilidad de que: a) Una lata producida en esta fbrica de conservas ste mal sellada? b) Una lata mal sellada provenga de la lnea de ensamble I? 3)Unafbricadelapiceroslograunaproduccindesloel1%dedefectuosos. Cul es la probabilidad de tomar dos lapiceros al azar y que stos sean: a) D, D; b) D, B; c) B, B? 35 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1) Suponga que el 80% de los compradores de automviles usados son personas solventes.Supngaseademsquehayunaprobabilidaddel70%dequeun individuosolventeseaportadordeunatarjetadecrdito,peroqueesta probabilidadesdesloel40%paraunapersonanosolvente.Calcularla probabilidad de que: a)Un comprador elegido al azar tenga tarjeta de crdito.%. 64 Sb)Uncompradorelegidoalazarquetengatarjetadecrditoseauna persona solvente.%. 50 . 87 Sc)Uncompradorelegidoalazarquenotengatarjetadecrditosea solvente.%. 50 . 66 S 2) Una persona normalmente sale de vacaciones a Morelia el 20%, el 35% de las vecesaVeracruzyelrestoaAcapulco.EnMoreliadedicael80%deltiempoa visitar museos; en Veracruz, el 40% del tiempo lo pasa en la playa y; en Acapulco el 70% del tiempo a esa actividad. a) Si se sabe que la persona fue a la playa, cul es la probabilidad de que haya ido a Acapulco?%. 23 . 69 Sb) Si se sabe que la persona no fue a la playa, cul es la probabilidad de que haya ido a Morelia?%. 70 . 36 S 3) Una caja con 15 refacciones de cierto tipo de maquina contiene 10 refacciones en buen estado y 5 en malas condiciones. Si se toman al azar 3 refacciones, cul es la probabilidad de que: a)sean buenas refacciones?%. 37 . 26 Sb)Todas estn en malas condiciones?%. 20 . 2 Sc)2 sean buenas y una mala?%. 45 . 49 Sd)2 por lo menos sean buenas?%. 82 . 75 S 4)Culeslaprobabilidaddeobtenerdosbolasrojasendosextracciones consecutivasdeunacajaquetengatresbolasrojas,dosnegrasyunaverde. Suponiendo que la primera bola extrada no se regresa a la cajaantes de hacer la segunda extraccin?%. 00 . 20 S 5) Gabriela tiene 4 blusas, 3 faldas y 4 pantalones. a)culeslaprobabilidaddequesepongaunablusayunpantaln? %. 10 . 29 Sb) cul es la probabilidad de que elija una blusa y una falda?%. 80 . 21 S 6)Unaparatoparaprobarcircuitosderadiosiempredetectauncircuito defectuoso, pero en el 2% de las veces que indica que un circuito es malo se tiene que,enverdad,elcircuitoestenbuenestado.Siel97%deloscircuitos fabricados son buenos, qu probabilidad hay de que un circuito nuevo elegido al 36 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos azarysealadocomodefectuosoporelaparatodetectorseaenrealidadun circuito en buenas condiciones?%. 75 . 39 STeoremadeBayes.ThomasBayes(Matemticoingles,1702-1761)desarrollo unafrmulaquepuedesimplificarelclculodelasprobabilidadescondicionales. La frmula de Bayes, en su forma ms sencilla, permite calcular la probabilidad de queocurraeleventoB,sisesabequeyaocurrieleventoA,estoes,P(B/A). Para ello se requiere conocer la probabilidad simple de que ocurra el eventoA, o seaP(A);laprobabilidadsimpledequeocurraeleventoB,esdecir,P(B)y;la probabilidaddequeocurraeleventoA,sisesabequeyaocurrieleventoB,o sea, P(A/B). Por lo tanto. ( )( ) ( )( ).* //A PB P B A PA B P =Ejemplos. 1)El55.26%delosautomvilesdeunestacionamientosonde4puertas,los automvilesblancossonel21.27%deltotaly,losautomvilesdecuatropuertas escogidosdeentrelosblancossonel59.77%.Determineelporcentajedelos autos blancos escogidos de entre los de cuatro puertas. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )% 01 . 23 2301 . 05526 . 02127 . 0 * 5977 . 0 * //% 77 . 59 cos 4 /% 27 . 21 cos% 26 . 55 4A PB P B A PA B Pblan los de escogidos puertas de autos B Ablan autos Bpuertas con autos A= = = 2)Unafbricaproducelmparaselctricas.Enpromedio,el20%deellastiene algn defecto. Antes de ser empacadas se revisa cada pieza. El inspector clasifica errneamentelaslmparasel10%deloscasos,esdecir;p(seaclasificada errneamente/lalmparabuena)=p(seaclasificadacomobueno/lalmparacon algn defecto)=10% a)qu proporcin de las lmparas ser clasificada en buen estado? b)Ahora,supngasequesoloseempacanlaslmparasquepasanla inspeccin,losquenolapasansondestruidas,culeslacalidadde las lmparas empacadas? 37 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)LamquinaAdeunafbricadealfileresproduceel58%delaproduccin, mientrasquelamquinaBproduceelresto.LamquinaAproduceel2%de alfileresdefectuosos,entantoquelamquinaBel4%.Culeslaprobabilidad de que, al tomar al azar un alfiler; a) ste sea defectuoso?%. 84 . 2 Sb) ste sea defectuoso y provenga de la mquina B?%. 15 . 59 S 2) Una caja contiene 6 billetes de $20.00, 3 de $50:00 y 1 de $100.00, determine la probabilidad de que, al extraer al azar; a) uno de stos, ste sea de $100.00,%. 10 Sb) uno de stos, ste sea de $50.00 $100.00 y,%. 40 Sc) dos de estos, ambos sean de $20.00.%. 33 . 33 S 3) Se tiene dos urnas; la urna 1 tiene 11 pelotas, 8 verdes y 3 blancas; la urna 2 tiene 9 pelotas, 7 verdes y 2 blancas. a)Calcularlaprobabilidaddesacarunapelotaverdedelaurna1. %. 36 . 36 Sb) Hallar la probabilidad de sacar una pelota verde.%. 25 . 75 Sc)Supongaqueunapersonayasacounapelotaverde,culesla probabilidad de que proceda de la urna 2?%. 68 . 51 S 4) En la WM el 35% de los alumnos son de 1er semestre, el 20 del tercero y cuarto, deltotaldelosprimeroscuatrosemestres.El90%delprimersemestrecursan matemticas,el70%delsegundo,el50%delterceroysolamenteel30%del cuarto semestre. Si se escoge al azar un alumno y ste cursa matemticas, cul es la probabilidad de que sea de segundo semestre?%. 92 . 26 S 38 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos TERCER PERIODO UNIDAD 3: DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD. RAP1.Aplicarlasdistribucionesdeprobabilidaddevariablesaleatoriasdiscretas parapredecirresultadosenunapoblacin,enelcontextodelaresolucinde problemas en diversas reas del conocimiento ESPERANZA MATEMTICA. Confrecuenciaesconvenientecalcularelpromediodelosresultadosdeun proceso o experimento, ponderado por la probabilidad de que suceda cada uno de losresultadosposibles.AestepromedioseleconocecomoEsperanza Matemtica y permite entre otras cosas, comparar dos o ms alternativas. Laesperanzamatemticaesunconceptoqueseempleamuchoenlateorade decisiones,enlacienciadelaadministracin,enelanlisisdesistemas,enla teora de juegos y en otros muchos campos intelectuales. ( )( )..1===nii iP x EMad probabilid su por evento cada EM Ejemplos. 1)Qu es mejor; una probabilidad de 0.001 de ganar un contrato de $3,000 000.00ounaprobabilidadde0.002deganaruncontratode$2,000 000.00? EM1=(0.001)(3 000 000)= $3 000.00 EM2=(0.002)(2 000 000)= $4 000.00 Sol. La segunda oferta. 2)Enunsorteoseofrecern6premios;unode$100000.00,dosde$50 000.00y,3de$30000.00;suponiendoquesedistribuyenlosmilboletos del sorteo y sin considerar gastos de administracin u otros, cunto debe costar el boleto para cubrir el costo de los premios? CB=(1*100,000+2*50,000+3*30,000)/1000 CB=$290.00 Nota:observaquelaEMes,enestecaso,elcostounitariodelospremiospor cada boleto. 39 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 3)Una caja contiene 10lapiceros, de ellos 3 son defectuosos. Se extrae una muestra de 3 de ellos al azar, si se tiene la variable aleatoria x={al nmero dedefectuososextrados}.Elaborarunatabladedistribucinde probabilidad (con la acumulada) y calcular el valor esperado y la desviacin estndar. n(S)= 10C3=120 eventos; x(S)= ={0, 1, 2 y 3}; tipos de eventos {bbb, bbd, bdd y ddd}. X0= 3C0 * 7C3=(1)*(35)=35 X1= 3C1 * 7C2=(3)*(21)=63 X0= 3C2 *7C1=(3)*(7)=21 X0= 3C3 *7C0=(1)*(1)=1 Tabla de Distribucin de probabilidad: xP(xi)xi P(xi) 035/120=0.290*0.29=0 163/120=0.521*0.52=0.52 221/120=0.182*0.18=0.36 31/120=0.013*0.01=0.03 0.91 E(x)==0.91; es decir, en 100 veces se espera un 91 defectuosos. Para calcular la desviacin estndar y varianza, se toma la E(x) como la media; por tanto. xi-E(x)( xi-E(x) )2P(x)*( xi-E(x) )2 -0.910.82810.8281*0.29=0.2401 0.090.00810.0081*0.52=0.0042 1.091.18811.1881*0.18=0.2139 2.094.36814.3681*0.01=0.0437 S20.5019 s0.708 40 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)Unacajacontiene6billetesde$200.00,3de$500.00y1de$1000.00. Determinar la esperanza matemtica, al extraer al azar un billete. S 370. 2)Un analista ha calculado los montos probables de ventas de unaempresa, ascomolaconfianzaquetienedequesepresentendichosmontos. Determine el monto de ventas que puede esperar dicha empresa. S $789 600.00 Monto (en miles de pesos)680750820950 Confianza (%)17284510 3)Unagricultorhaestimadoeltonelajedemazqueesperacosechardesu cultivo,ascomolaprobabilidaddequeocurracadaunadesus estimaciones. Determine el tonelaje ms probable que el agricultor coseche de su tierra.S 1200 4)La papelera de la WM adquiere cada ao 2500 libretas. Si los precios por pieza, en cuatro aos sucesivos fueron $14.80, $21.00, $27.00 y $25.00 a)culeselpreciopromedioquehapagadolapapeleraporlibreta? S $21.95 b)ElCAEdisponedeunpartidafijade$40000.00paralacompraanual delaslibretas.Culeselpreciopromedioquehapagadoenlos mismoscuatroaos?,ycuntoeslagananciaolaperdida? S $54 875.00 y P=$14 875.00 5)Un jugador lanza dosmonedas, gana $800.00 si caen dos guilas, $500.00 sicaeunguila,peropierde$300.00sinocaeningunaguila.Hallarla ganancia o la perdida. S G=$375.00

6)SehadeterminadoqueelproyectoAtienelossiguientesresultados posibles, as como las probabilidades de que ocurran cada uno de ellos. Resultado (en millones de pesos) Ganar50Ganar 30Ganar 10Ganar 70Probabilidad (%)15451525 En tanto, que el proyecto B puede dar como resultado lo siguiente. Resultado (en millones de pesos) Ganar90Ganar 50Ganar 20Ganar 10Ganar 70Probabilidad (%)1025151519 41 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos CalculelaEsperanzaMatemticadecadapunodelosproyectosy recomiende el mejor. S A=$40 000 000.00; B=$3 930 000.00; por tanto, el mejor es el proyecto A. RAP2. Aplicar las distribuciones Binomial y de Poisson para predecir resultados en una poblacin, en el contexto de la resolucin de problemas. DISTRIBUCIN BINOMIAL LadistribucinbinomialfueplanteadaporelmatemticosuizoJakobI.Bernoulli (1654-1705),eslamssencilladetodaslasdistribuciones,puessloestudia procesos en las cuales los resultados posibles son slo dos: tienen probabilidades constantes, y son independientes entre s. ( )( )x n xq px n xnx P=! !!. Endonde:P(x)eslaprobabilidaddequesucedanexactamentexxitos,enun totaldenintentos;xeselnmerodexitosdeseado;neselnmerodeveces queserealizalaoperacin;peslaprobabilidaddeobtenerunxito;qesla probabilidad de obtener un fracaso. Ejemplos. 1)Unafbricaproducelapiceroscon2.5%dedefectuosos.Sisetomauna muestrade200lapiceros,culeslaprobabilidaddeencontrar3ms defectuosos. ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) % 89 . 87 8789 . 0 ; 1211 . 0 1 ; 0827 . 0 975 . 0 025 . 0! 198 ! 2! 2002; 0324 . 0 975 . 0 025 . 0! 199 ! 1! 2001 ; 0060 . 0 975 . 0 025 . 0! 200 ! 0! 2000.! !!; 2 1 , 0 1 ; 3 %; 5 . 97 %; 5 . 2 ; 200198 2199 1 200 0 x P x P PP Pq px n xnx P y P x P ms x q p nx n x= = = == = = == = = = = = 2)Culeslaprobabilidaddeobtener3veceselnmero5,en10 lanzamientos de un dado de 6 caras? 42 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) %. 50 . 15 1550 . 0 833 . 0 167 . 0! 7 ! 3! 103.! !!; 3 ;65;615 ; 107 3 Pq px n xnx P x q p nx n x= == = = = = 3)Un beisbolista tiene un promedio de bateo del 20%, cul es la probabilidad de que batee 2 hits en cinco turnos al bat? ( )( )( ) ( ) ( ) %. 48 . 20 2048 . 0 80 . 0 20 . 0! 3 ! 2! 52.! !!; 2 %; 80 %; 20 ; 53 2 Pq px n xnx P x q p nx n x= == = = = = 4)El gerente de un supermercado garantiza que ninguna de sus cajas con 12 huevos contiene ms de uno en mal estado, en caso contrario, l repondr ladocenayregalarlacajaoriginalalcliente.Laprobabilidaddequeun huevo en particular este descompuesto es del 5%. Cul es la probabilidad de que el gerente tenga que reponer una caja de huevos? ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) % 83 . 11 1183 . 0 ; 8817 . 0 1; 3413 . 0 95 . 0 05 . 0! 11 ! 1! 121 ; 5404 . 0 95 . 0 05 . 0! 12 ! 0! 120.! !!; 1 0 1 ; 1 %; 95 %; 5 ; 1211 1 12 0 x P x PP Pq px n xnx P y P x P de ms x q p nx n x= == = = == = = = = = 43 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)Cul es la probabilidad de obtener cuando mucho 3 veces el nmero 6, en 10 lanzamientos de un dado?% 02 . 93 S 2)Untiradorbajociertascondiciones,sabequelaprobabilidaddedarenel blanco al disparar su rifle es del 10%. Encontrar la probabilidad de dar en el blancoalmenosunavezsisedisparan10balas,considerandoquelos resultados son independientes.% 13 . 65 S 3)Siel60%delosautosdelD.F.,producenexcesodegasesensus escapes,quprobabilidadexistedeque,alescoger5autosalazar, tengamos 3 que no producen exceso de gases?% 04 . 23 S 4)Enciertareadelaciudadsedacomorazndel75%delosrabosla necesidad de dinero para comprar drogas. Encuentre la probabilidad de que dentro de los 5 prximos asaltos reportados en esa rea: a)Exactamente2sedebieronalanecesidaddedineroparacomprar drogas.% 79 . 8 S b) Cuando mucho 3 se debieron a la misma razn.% 72 . 36 S 5)Un agricultor que siembra fruta afirma que 32 de su cosecha de duraznos se contamin por la mosca del mediterrneo. Encuentre la probabilidad de que al inspeccionar cuatro duraznos: a) Al menos uno est contaminado por la mosca.% 77 . 98 Sb) Cualquier cantidad entre 1 y 3 est contaminado.% 02 . 79 S Media y Desviacin Estndar de la Distribucin Binomial, para una Poblacin Infinita. Lamediayladesviacindeunadistribucinbinomialsondosmedidasdegran utilidad,sobretodosiseconsideraqueunaaplicacintpicadeladistribucin binomialpuederesolversepormediodeotradistribucinmsgeneral;La distribucin normal. Las frmulas que se utilizan, cuando la muestraproviene de una poblacin infinita o cuando la muestra no excede del 5% de la poblacin total, son: .; . ; ;fracaso de ad probabilid la q y npqxito de ad probabilid la p eventos de no el es n donde En np Media== =o 44 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejemplos. 1)Determinarlamediayladesviacinestndardeladistribucindelnmerode alfileresdefectuososquepodracontenerunamuestrade200alfileres,sila fbrica tiene un % de defectuosos del 2.5% ( )( )( )( )( ) 208 . 2 975 . 0 025 . 0 2005 025 . 0 200 ; ; 025 . 0 ; 200= = == = = = =npqnp p no 2)Determinelamediaydesviacinestndardeladistribucindelnmerode veces que se puede obtener el nmero 3, en diez lanzamientos de un dado. ( )( )( )( )( ) 179 . 1 83333 . 0 16667 . 0 10667 . 1 16666 . 0 10 ; ;61; 10= = == = = = =npqnp p no Media y Desviacin Estndar de la Distribucin Binomial, para una Poblacin Finita. Cuando el tamao de la muestra excede del 5% de la poblacin total. La media y la desviacin estndar son: ( ) .1;; ; ;muestra la de tamao el n yNn NFc Fc npqpoblacin la de tamao el N correccin de factor un es Fc donde En np Media= == =o Ejemplos. 1) El 2.5% de alfileres de un paquete de 200 esta defectuoso. Determinar la media y la desviacin estndar de la distribucin de probabilidad que resulta al tomar 50 alfileres del paquete. ( )( )( ) ( )( )( )( ) 958 . 0 868 . 0 975 . 0 025 . 0 50 ; 868 . 01 20050 20025 . 1 025 . 0 50 ; ; 025 . 0 ; 50 ; 200= = = === = = = = =Fc npq Fcnp p n No 2)Calculalamediayladesviacinestndardeladistribucindeprobabilidad, dadaslassiguientescondiciones:a)N=50;n=20;b)N=200;n=150;c) N=500;n=300 45 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos ( )( )( ) ( )( )( )( ) 714 . 1 7825 . 0 60 . 0 40 . 0 20 ; 7825 . 01 5020 508 40 . 0 20 ; ; 40 . 0 ; 20 ; 50 )= = = === = = = = =Fc npq Fcnp p n N ao ( )( )( ) ( )( )( )( ) 659 . 2 5013 . 0 25 . 0 75 . 0 150 ; 5013 . 01 200150 2005 . 112 75 . 0 150 ; ; 75 . 0 ; 150 ; 200 )= = = === = = = = =Fc npq Fcnp p n N bo ( )( )( ) ( )( )( )( ) 372 . 5 6331 . 0 40 . 0 60 . 0 300 ; 6331 . 01 500300 500180 60 . 0 300 ; ; 60 . 0 ; 300 ; 500 )= = = === = = = = =Fc npq Fcnp p n N co Ejercicios. 1)Tabuleladistribucindeprobabilidaddelnmerodepecesamarillosque resulta al tomar aleatoriamente una muestra de 6 peces de una pecera que contiene200pecesamarillosy300rojos.Determinetambinlamediay desviacinestndardeladistribucindepecesqueresultaaltomar aleatoriamente 60 peces. a)18 peces amarillos.% 44 . 8 Sb)22 peces amarillos.% 69 . 7 S 2) Calcula la media y la desviacin estndar de la distribucin de probabilidad,dadas las siguientes condiciones: a) N=50 ; n=30 ; b) N=200 ; n=50 ; c) N=500 ; n=10 3) En base a la experiencia se sabe que el 2% de las llamadas que reciben en unconmutador son nmeros equivocados. Determine la probabilidad de que 3 de200 llamadas recibidas sean nmeros equivocados.% 54 . 19 SDISTRIBUCIN DE POISSON Estadistribucinseajustaperfectamentealasnecesidadesdecalcular,por ejemplo;laprobabilidaddequeundacualquierasepresentenmsdeuncierto nmerodereclamacionesporunaplizadeseguros,olaprobabilidaddequela demanda de servicios a la hora pico exceda la capacidad de los nuevos equipos, etc. La distribucin de Poisson puede tambin utilizarse para simplificar el clculo que implicaladistribucinbinomial,cuandonesgrandeynppequeo,delordende 7 ( np . ( ) .!e xx Px= 46 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos En donde; x es el nmero de xitos,la frecuencia de ocurrencia de los eventos y e la base de los logaritmos neperianos (o naturales). Layode la distribucin de Poisson son tiles para convertir esta distribucin en la binomial y/o la normal. ". " . n evento un ocurre que veces de no = . . . n evento el ocurre que veces de no = = o Ejemplos. 1)En un conmutador se tiene una demanda media de 4 llamadas por minuto, calcularlaprobabilidaddequeenunminutoserecibanmsdeuna llamada? ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) % 84 . 90 9084 . 0 1 ; 0916 . 0 1 1 ; 1 0 1 10733 . 0 1 ;! 141 ; 10183 . 0 0 ;! 040 ; 0 ;!x P ; 44140 de ms P de ms P y P de ms PPeP xPeP xe xx= = == = == = = = = 2)Unafbricaproducefoldersconunpromediodedefectuososde5por paquete.Determinelamediaydesviacinestndardeladistribucinde probabilidad correspondiente. n=5;= 5;5 = o ;236 . 2 = o 3)En una carretera pasan en promedio 27 automviles por hora. a)Culeslaprobabilidaddequedurantelosprximos30minutosel nmero de autos sea de 12? ( )( ) ( ) ( ) % 49 . 10 1049 . 0 12 ;10 493916082 . 310 664419807 . 312 ;! 125 . 1312;!x P ; 12 ; 5 . 13227)14135 . 1312 PxxPePe xx ax= = == = = = b)Culeslaprobabilidaddequedurantelasprximasdoshorasel nmero de autos sea de 48? 47 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos ( ) ( )( ) ( ) ( ) % 07 . 4 0407 . 0 48 ;10 514073256 . 310 428566532 . 148 ;! 485448;!x P ; 48 ; 54 2 27 )84835448 PxxPePe xx bx= = == = = = c) Determinar la media y la desviacin estndar de la distribucin deprobabilidad resultante. = 27;n=27;27 = o ;196 . 5 = o Ejercicios. 1)Enunaenormepecerahay4pecesamarillosportoneladadeagua. Determine laprobabilidad de que, en una muestra aleatoria de 5 toneladas, haya exactamente. c)18 peces amarillos.% 44 . 8 Sd)22 peces amarillos.% 69 . 7 S 2)En base a la experiencia se sabe que el 2% de las llamadas que reciben en unconmutadorsonnmerosequivocados.Determinelaprobabilidadde que 3 de 200 llamadas recibidas sean nmeros equivocados.% 54 . 19 S 3)Unasecretariacometedoserroresenpromedioalescribirunapgina.Si los errores son independientes, cul es la probabilidad de que cometa uno ms errores en la siguiente pgina que escriba?% 47 . 86 S 4)Tabuleladistribucindeprobabilidaddelnmerodepecesamarillosque resulte al tomar aleatoriamente una muestra de 6 peces de una pecera que contiene 200 peces amarillos y 300 rojos. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) % 41 . 2 6 ; % 02 . 6 5 %; 54 . 12 4% 90 . 20 3 %; 13 . 26 2 %, 77 . 21 1 %; 07 . 9 0= = == = = = P y P PP P P P S 5)En una carretera pasan en promedio 27 automviles por hora. Determine la probabilidad de que; a)Durante los prximos 20 minutos el nmero de autos sea de 15. % 94 . 1 Sb)Durante las prximas 3 horas el nmero de autos sea de 80?% 43 . 4 S

48 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos RAP3. Aplicar la distribucin Normal para predecir resultados de una poblacin, en el contexto de la resolucin de problemas. DISTRIBUCIN NORMAL. La distribucin de probabilidad normal, es aquella en la cual, a partir de un punto centraldemximafrecuencia(lamedia deladistribucin),losvaloresmayoresy menoresquelamediasedistribuyensimtricamentealaderechaeizquierda, disminuyendo gradualmente hasta desaparecer. Estadistribucineslamsutilizadaparavariablesaleatoriascontinuas,es decir, aquellas para las cuales es imposible enumerar todos los eventos posibles. Asimismo,estadistribucinpermiteresolverenformaaproximadalosproblemas propios de las distribuciones Binomial y de Poisson, por lo que su importancia en Probabilidad y Estadstica es fundamental. Propiedades. 1) Es simtrica en forma de campana. 2) La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado en el centro de la figura. 3)Tericamente,lacurvaseextiendehastaelinfinitoenambasdirecciones,sin tocar nunca el eje horizontal. rea Bajo la Curva de la Distribucin Normal.

Lacurvanormaldecualquierdistribucinpuedeconvertirseenunacurva estandarizada,enlaqueelvalorcentralescero,lao(desviacinestndar)es uno, y el rea desde - hasta + es el 100%. .tan dar Es DesviacinMedia la menos Valor xz ==o 49 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos La altura de la curva normal estandarizada esta dada por la funcin. 25 . 000 3989422804 . 0) (zex f = ; y su integracin matemtica entre dos puntos cualquiera, z1 y z2produce el rea o probabilidad de que una variable tenga valores entre z1 y z2. Por lo general, no es necesario realizar ninguna integracin numrica para obtener elrea bajo la curva normalestandarizada.Lastablasestadsticasestnyacalculadasconesos valores. Ejemplos. 1)Al mover un vaso lleno de agua de un lugar a otro, se derrama en promedio 6.2mm.,conunadesviacinestndarde0.8mm.Ssedeseagarantizar que,porlomenos,el95%delasvecesquesemuevaelvasonose derrame, cunto debe dejarse sin llenar?

( )( ) . 51 . 7 ; 2 . 6 8 . 0 64 . 1 ; ;; 64 . 1 45 . 0 ; 50 . 95 . 0mm x x z xxzz A A= + = + === = = oo 2)Lossalariosanualesdelosejecutivosdeunacompaaestndistribuidos normalmente,conunadesviacinestndarde1200dlares.Setiene programado un recorte de personal que implica el despido de aquellos que ganan menos de 18 000 dlares, si tal medida representa el 10% de stos ejecutivos.Culesactualmenteelsalariomediodeestegrupode ejecutivos?

( )( ) . 19536 ; 1200 28 . 1 18000 ; ;; 28 . 1 40 . 0 ; 10 . 0 50 . 0dolares z xxzz A A= = == = = = o o 50 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 3)La estatura promedio de los empleados de una empresa es de 1.65 m., con unadesviacinestndarde6.2cm.Supongaunadistribucinnormal, determine que porcentaje de los empleados miden: a)ms de 1.7 m. b)menos de 1.8 m.c)entre 1.45 y 1.55 m. 20.90% 0.2090 A ; 2910 . 0 5 . 0; 2910 . 0 81 . 0 ;062 . 065 . 1 70 . 11 1 1= == ==AA z z .22% 99 0.9922 A ; 4922 . 0 5 . 0; 4922 . 0 42 . 2 ;062 . 065 . 1 80 . 11 1 1= + == ==AA z z 5.31% A 0.0531 A ; 4463 . 0 4994 . 0 ;4463 . 0 61 . 1 ;062 . 065 . 1 55 . 1; 4994 . 0 23 . 3 ;062 . 065 . 1 45 . 12 12 2 2 1 1 1= = = = = == = ==A A A AA z z A z z 51 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)Un automvil consume 0.08 lts., de combustible por kilmetro y recorre diariamente una distancia promedio de 385 km., con una desviacin estndar de 25 km. Cuntos litros de combustible debe tener el tanque al iniciar el da, si se desea asegurar que al menos el 99.9% de los das no le falte combustible? S 37 lts. 2)La profesora de un grupo, dice a sus estudiantes que para estar entre el 10% superior de la clase, deben obtener la calificacin MB en un examen. De acuerdo con su experiencia, la profesora estima que la media y desviacin estndar en este examen sern 72 y 13, respectivamente. Cul ser la calificacin mnima necesaria para obtener MB? S 88.64 3)El coeficiente intelectual de los aspirantes aprobados para ingresar a la escuela Medico Militar tiene una distribucin normal, una media de 100 y desviacin estndar de 15. calcular la proporcin de reclutas que tienen un coeficiente intelectual: a)superior a 105.9 S 34.83% b)entre 103 y 105 S 5.00% c)inferior a 84.7 S 15.39% 4) Un investigador informa que las ratas viven en promedio 40 meses. Suponiendo que la vida de tales ratas este normalmente distribuido con una desviacin estndar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que una rata determinada viva: a)ms de 32 meses. S 89.80% b)menos de 28 meses. S 2.87% c)entre 37 y 49 meses. S 60.80% 5)La vida til de una lmpara fluorescente utilizada en invernaderos est distribuida normalmente con una media de 600 hrs., y una desviacin estndarde 2400 minutos. Determinar la probabilidad de que: a)Una lmpara elegida al azar, tenga una vida til entre 620 y 680 hrs. S 28.57% b)Una lmpara dure ms de 740 hrs. S 0.02% 52 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 6) El tiempo de espera x en cierto banco est distribuido en forma normal, aproximadamente, con una media y desviacin estndar de 3.7 y 1.4 minutosrespectivamente. Encuentre la probabilidad de que un cliente seleccionadoaleatoriamente tenga que esperar: a)2 minutos. S 11.31% b)Ms de 6 minutos. S 5.05% c)Obtenga el valor del 75 centil para x. S 4.64% 7) Una unidad de radar es utilizada para medir la velocidad de los automviles en una va rpida durante la hora de mayor congestionamiento. La velocidad de losautomviles est distribuida normalmente con una media de 62 millas/hora. a) Encuentre la desviacin de todos los automviles si el 3% de ellos viaja a velocidades superiores a 72 millas/horas. S 5.32% b) Con la desviacin estndar del inciso a), obtenga el porcentaje de esos vehculos que viajan a menos de 55 millas/hora. S 9.34% c) Con la desviacin estndar del inciso a), halle el 95 centil para la variable velocidad. S 7 0.723 8) Considerando los valores del coeficiente de inteligencia (C. I. C. Q.) (IntelligenceQuotient) en seres humanos. Los C. I. estn distribuidos normalmenteconunamediade100yunadesviacinestndarde10.Si una persona es elegida al azar. a)Cul es la probabilidad de que su C. I. est entre 105 y 115? S 24.17% b)Qu su C. I.sea mayor que 95? S 69.15% c)Obtener el 33 percentil de los puntajes de C. I. S 95.60 53 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Relacin entre las Distribuciones Binomial y Normal. Sinesmuygrandeynipniqestnmuyprximosacero,ladistribucin binomialpuedeaproximarseestrechamentealadistribucinnormalconvariable tipificada dada por.npqnp xz= En donde; x es la variable aleatoria que da el nmero de xitos en n pruebas de Bernoulli y pes la probabilidad de xitos. Laaproximacinestantomejorconformeaumentan,yellmiteestotal.Enla prctica la aproximacin es muy buena si ambos np y nq son superiores a 5. Es decir;. 5 5 > > nq y np Dadoqueladistribucinbinomialesdiscreta(sloaceptavaloresenteros), mientras que la distribucin normal es continua (acepta cualquier valor), la variable normalizada z debe calcularse incluyendo un ajuste por continuidad. ;5 . 0o = xz". " " " exp 5 . 0; " " " " exp , 5 . 0que menor o igualque o mayor tipo del es buscada resin la si es omayorque o que igual o menor tipo del es buscada resin la si es+ Ejemplos. 1)Una fbrica producealfileres con 2.5% dedefectuosos. Si se toma una muestra de 200 alfileres, cul es la probabilidad de encontrar 3 o ms defectuosos? ( )( )( )( )( )( )( )% 08 . 87 8708 . 0 3708 . 0 5 . 0 ; 13 . 1208 . 25 . 0 5 2. t2 3 ; 208 . 2 975 . 0 025 . 0 200; 5 ; 5 ; 5 ; 195 975 . 0 200; 5 025 . 0 200 %; 5 . 97 % 5 . 2 ; 200 A z anto lo porde ms significa ms o decir npqcumplen Si nq np nqnp q p n= + = =+ == = ==> > = == = == =o 54 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos 2)Uninspectordecalidadtomaunamuestrade150artculosdeuna produccin que tiene el 6% de algn defecto. Determine la probabilidad dequelamuestracontengamsde10artculosquetenganalgn defecto.

( )( )( )( )( )( )( )% 25 . 43 4325 . 0 ; 17 . 0909 . 25 . 0 9 10. t10 . 909 . 2 94 . 0 06 . 0 150; 9 ; 5 ; 5 ; 141 94 . 0 150; 9 06 . 0 150 %; 94 % 6 ; 150 A z anto lo porde ms x npqcumplen Si nq np nqnp q p n= = == = = ==> > = == = == =o La Distribucin Normal como Aproximacin a la de Poisson. Esta distribucin, puede simplificarse por medio de la distribucin normal si se cumple que la media sea mayor de 10. En tanto que la media y la desviacin estndar son: =n; = . En donde; n es nmero de veces que ocurre el evento. Dado que la distribucin de Poisson es discreta (slo acepta valores enteros), mientras que la distribucin normalescontinua(aceptacualquiervalor).Lavariablenormalizadadebe calcularse incluyendo un ajuste por continuidad equivalente a +0.5 si la expresin buscadaesdeltipomenoroigualqueomayorque,o-05silaexpresin buscada es del tipo mayor o igual que o menor que. 55 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejemplo. Cierta regin sufre un promedio de 65 accidentes por ao. Determine la probabilidad de que, en un ao cualquiera, ocurran: a) ms de 80 accidentes. b) Menos de 45 accidentes. c) Entre 50 y 70 accidentes. % 59 . 3 0359 . 0 4641 . 0 5 . 0 4641 . 0 ; 80 . 1062 . 85 . 0 65 80. t5 . 0. 062 . 8 65 ; 65 ; 80 )o A z anto lo porxz de ms x a= = = = = = = = =oo % 78 . 0 0078 . 0 4922 . 0 5 . 0 4922 . 0 ; 42 . 2062 . 85 . 0 65 45. t5 . 0. 062 . 8 65 ; 65 ; 45 )o A z anto lo porxz de menos x b= = =+ = = = = = =oo % 33 . 59 5933 . 02123 . 0 3810 . 0 ; 2123 . 0 ; 56 . 0062 . 85 . 0 65 70; 3810 . 0 ; 18 . 1062 . 85 . 0 65 55tan ;5 . 0. 062 . 8 65 ; 65 ; 70 55 ) AA decir es A z A zz to lo porxz y entre x c=+ = = = = = =+ = = = = = =oo 56 ACADEMA DE MATEMTICAS TURNO MATUTINO Ing. J. Ventura ngel Felcitos Ejercicios. 1)Unauditorescogealazar200cuentasdeunbancoquetiene4%de clientes morosos. Determine, la probabilidad de que el auditor encuentre 5 o ms clientes morosos. S 89.62% 2)En una carretera pasan en promedio 27 automviles por hora. Determinar la probabilidad de que circulen ms de 17 autos por hora. S 96.64% 3)Unempleadobancarioatiendeenpromedio8clientesporhora.Calculela probabilidaddequeelempleadoatiendamenosde10clientesporhora.S 70.19% BIBLIOGRAFA 1.Johnson, Robert. Estadstica Elemental. Iberoamrica. Ed. 1990, Mxico. 2.Hoel, Paul G. Estadstica Elemental. CECSA Ed. 1973, Mxico. 3.Freud, John E. Estadstica. PRENTICE HALL 4a Ed. 1993, Mxico. 4.Willougaby, Stepher Probabilidad y Estadstica Publicaciones Cultural S. A. 1a Ed. 1978, Mxico. 5.Hernndez Lerma, Ensimo. Elementos de Probabilidad y Estadstica. Ed. Fondo de Cultura econmica. 6.Seymour Lipschutz, Ph. D. PROBABILIDAD. Serie de Compendios Schaum. Profesor Asociado de Matemticas, Universidad de Temple. 7.Octavio Snchez. Probabilidad y Estadstica. McGraw-Hill. Interamericana 2Ed. 2004, Mxico.