guía matemáticas i · 2015. 9. 23. · guía básica- matemáticas i recopilación: mtro. javier...

Septiembre 2015

Guía Matemáticas I NMS-BUAP-ULC

Mtro. Javier Díaz Sánchez BUAP-RECOPILACION © DE SUS AUTORES-USO EDUCATIVO

Guía Básica- Matemáticas I

Recopilación: Mtro. Javier Díaz Sánchez 1 | P á g i n a

Prioridad de Operadores

Combinación de sumas y diferencias

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 3 = 8

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según

aparecen.

1.2 Combinación de sumas, restas y productos

3 · 2 − 5 + 4 · 3 − 8 + 5 · 3 =

= 6 − 5 + 12 − 8 + 15 = 20

Real izamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente efectuamos las sumas y restas.

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones

10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 20 : 4 =

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 5 = 9

Real izamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos

porque las dos operaciones tienen la misma p rioridad.

Efectuamos las sumas y restas.

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias

23 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 2 − 20 : 4 =

= 8 + 10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 4 − 20 : 4 =

= 8 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 16 − 5 = 25



Real izamos en primer lugar las potencias por tener mayor prioridad.

Seguimos con los productos y cocientes.

Efectuamos las sumas y restas.

Real iza las siguientes operaciones teniendo en cuenta su prioridad:

1 27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 3 · 5 – 16 = 27 + 15 − 16 = 26

2 27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 27 + 3 – 45 : 5 + 16 = 37

3 (2 · 4 + 12) (6 − 4) = (2 · 4 + 12) (6 − 4) = (8 + 12) (2) = 20 · 2 = 40

4 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 3 · 9 + (6 + 5 – 3) – 12 : 4 = 27 + 8 – 3 = 32

5 2 + 5 · (2 · 3) 3 = 2 + 5 · (2 ·3)³ = 2 + 5 · (6) 3 = 2 + 5 · 216 = 2 + 1080

= 1082

6 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = 440 − (30 + 6 · 7)]

= 440 − (30 + 42) = 440 − (72) = 368

7 2{4 [7 + 4 (5 · 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = 2{4[7 + 4 (15 − 9)] − 3 (40 − 8)}=

2[4 (7 + 4 · 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]= 2[4 (31) − 3 (32)] = 2 (124

− 96) = 2 (28) = 56

14 − {7 + 4 · 3 - [(-2)2 · 2 - 6)]}+ (22 + 6 - 5 · 3) + 3 - (5 - 23 : 2) =

= 14 − [7 +12 -(8 - 6)] + (4 + 6 - 15) + 3 - (5 - 4) =

= 14 − (7 +12 -2) + (-5) + 3 - (1) =

= 14 − (17) + (-5) + 3 - (1) =

= 14 − 17 - 5 + 3 - 1 = −6



Problemas con mcm

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero

cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.

Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

Debemos tener todos los tiempos en la misma unidad, por ejemplo en

segundos.

12 = 22 · 3

18 = 2 · 32

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 2 2 · 32 · 5 = 180

180 : 60 = 3 Coinciden cada 3 minutos, por tanto en los 5 minutos

siguientes sólo coinciden una vez.

Sólo a las 6.33 h .

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado

los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.



¿Cuál es el menor número que al dividir lo separadamente por 15, 20, 36 y

48, en cada caso, da resto 9?

m. c. m. (15, 20, 36, 48) = 2 4 · 32 · 5 = 720

720 + 9 = 729

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l , 360 l , y

540 l . Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales.

Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en el las se

pueda envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de

garrafas que se necesitan.

m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l .

Número de garrafas de T 1 = 250/10 = 25



Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas .

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3

m de ancho.

Calcula el lado de la baldosa y el número de la baldosas, tal que el número

de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar

ninguna de el las.

Como las baldosas se suelen medir en centímetros, pasamos todo a

centímetros.

3 m = 300 cm = 2² · 3 · 5²



5 m = 500 cm = 2² · 5³

A = 300 · 500 = 150000 cm 2

m. c. d. (300, 500) = 2² · 5² = 100 cm de lado

Ab = 1002 = 10000 cm2

150000 : 10000 = 15 baldosas

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas,

de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de

naranjas y, además, el mayor número posible. Hal lar el número de naranjas

de cada caja y el número de cajas necesarias.

Calculamos el máximo común divisor.

12 028 = 2² · 31 · 97

12 772 = 2² · 31 · 103

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de

veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas

baldosas se necesitan?



Pasamos las unidades a centímetros porque las baldosas se miden en

centímetros.

8 m = 800 cm = 2 5 · 5² cm

6.4 m = 640 cm = 2 7 · 5 cm

m. c. d. (800, 640) = 2 5 · 5 = 160 cm de lado

A b = 1602 = 25600 cm2

A = 800 · 640 = 512000 cm 2

512000 : 25600 = 20 baldosas



Ejemplos de Operaciones

1

2

3

4



1

2

3



Números Naturales

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Con los números naturales podemos:

1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Ejemplo

8 es el número de planetas del Sistema Solar.

2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número

ordinal).

Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

http://www.vitutor.net/1/a_c.html

http://www.vitutor.net/1/a_0.html




Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar

dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

3 < 5 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1,

obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a

mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).

A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor

los siguientes números naturales: 1, 2, 3...



Números Enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo

era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones

de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor.

Ejemplo:

La necesidad de representar el dinero adeudado, la temperatura bajo cero,

profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

Las anteriores situaciones nos obligan a ampliar el concepto de números naturales,

introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, sus

opuestos (negativos) y el cero.

Los números enteros se dividen en tres partes:

http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html



1 Enteros positivos o números naturales

2 Enteros negativos

3 Cero

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números

naturales son un subconjunto de los enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir

su signo.

El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

Ejemplo:

|−5| = 5

|5| = 5

Representación de los números enteros



1 En una recta horizontal, se toma un punto cualquiera que se señala como cero.

2 A su derecha y a distancias iguales se van señalando los números positivos: 1, 2,

3, ...

3 A la izquierda del cero y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando

los números negativos: −1, −2, −3, ...

Números Reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de

los números reales, se designa por .



Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la

radicación de índice par y radicando negativo, y la división por cero.

La recta real

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta

un número real.

Resumen

Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número

cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un

conjunto (ordinal).

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.

La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo

ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.

http://www.vitutor.com/di/n/a_1.html






Ejemplos:

5 − 3

3 − 5

El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo

ocurre cuando la división es exacta.

Ejemplos:

6 : 2

2 : 6

Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto

formado por varios factores iguales.

La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre

cuando la raíz es exacta.

Los números enteros

Los números enteros son del tipo:

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}



Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las

profundidades con respecto al nivel del mar, etc.

La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número

entero.

El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo ocurre

cuando la división es exacta.

Ejemplos:

6 : 2

2 : 6

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.

Ejemplos:

La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando

la raíz es exacta o si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.

Los números racionales

Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente

de dos enteros, con denominador distinto de cero.

http://www.vitutor.com/di/e/a_9.html#re



Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto)

son números racionales; pero los otros números decimales ilimitados no.

La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es

otro número racional.

Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.

La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre

cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.

Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por

tanto no se pueden expresar en forma de fracción.

El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la

longitud de la circunferencia y su diámetro.

= 3.141592653589...

Otros números irracionales son:



El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en

la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos

eléctricos.

e = 2.718281828459...

El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo

da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.

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