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ASIGNATURAI ALGEBRA AREA MATEMATICASDOCENTE CARLOS A GONZALEZ PERIODO 1GUIA 5a Racionalización GRUPO 9DESEMPEÑO Hacer uso de las propiedades
de los radicales para expresar cantidades que se encuentran en la raíz y poder racionalizar el denominador
TIEMPO
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES.
Recuerda que se llama irracional al número que no puede expresarse con números enteros ni fraccionarios. Son números que su expresión decimal tiene infinitas cifras pero sin formar períodos.
Podemos decir que 0,5 es lo mismo que .
es lo mismo que 0,75.
Todos estos números son racionales, podemos escribirlos como enteros o fraccionarios.
Existen números que no podemos expresarlos de este modo, por
ejemplo a estos números los llamamos irracionales porque si queremos escribir el valor de los mismos nunca podremos acabar de ir escribiendo decimales. No hay ningún número que multiplicado por sí mismo te dé 2, ni 3 ni
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11, ni 13, …. La raíz cuadrada de estos números nunca acabarás de obtener.Es conveniente que las fracciones cuyo denominador sea irracional lo convirtamos en racional. En otras palabras, al proceso de obtener fracciones que no tengan raíces en el denominador llamamos racionalización de radicales de los denominadores:
Ejemplo: .El denominador es un número irracional, por mucho que intentes calcular su valor verás que nunca acabas de hacer operaciones.Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador de una fracción por un mismo número, su valor sigue siendo el mismo.
Para hacer racional el denominador lo más simple es que le multipliquemos
por sí mismo: .
Pero para que no varíe el valor de la fracción hemos de multiplicarle también al
numerador por .Podemos decir que: son iguales
pero no tiene como denominador un número irracional.
10.76 Racionaliza:
Respuesta: .
10.77 Racionaliza:
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Respuesta: .
Solución:
10.78 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Las operaciones las tienes desarrolladas paso a paso:
10.79 Racionaliza:
Respuesta:
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Solución:El proceso de cálculos con letras es el mismo que aplicamos con los números.Tienes desarrollado paso a paso la resolución del ejercicio:
10.80 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Tratamos ahora una raíz cúbica. Si tienes y quieres quitar la raíz tienes que conseguir que el exponente del radicando(que es 1) sea igual al índice de la
raíz(que es 3). Para que sean iguales a
tendrás que multiplicarle de este modo, en el denominador al
multiplicar por tendrás que sumar los exponentes dejando la misma
base: . Para que el valor de la fracción no varíe tendrás que multiplicar
también al numerador por :
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10.81 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Para poder quitar la raíz de ,5 tenía que tener como exponente un 7. Vemos
que tendríamos que multiplicarle por de este modo al sumar los exponentes el valor obtenido iguala al índice de la raíz y entonces podemos simplificar. Para que no varíe el valor de la fracción tendremos que multiplicarle al
numerador también por :
10.82 Racionaliza:
Respuesta: .
¿CÓMO RACIONALIZAR EL DENOMINADOR CUANDO ESTÁ COMPUESTO DE DOS TÉRMINOS UNIDOS POR LOS SIGNOS
MÁS O MENOS?.
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Supongamos que tenemos que racionalizar:
Para racionalizar el denominador de una fracción que consta de un binomio hay que multiplicar al numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador.¿A qué se llama conjugado de un binomio?
Se llama conjugado de un binomio a otro binomio igual al primero pero con la diferencia de que el signo del segundo término es opuesto al que tenía antes:Ejemplos:
El conjugado de
El conjugado de
El conjugado de
Estudiamos con anterioridad el producto notable: suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de sus cuadrados.
El cuadrado de cualquier cantidad bajo una raíz cuadrada equivale a quitar el
radical y dejar solo al radicando:
Si al numerador y denominador de les multiplico por su conjugado
que es , en el denominador obtendría la diferencia de sus cuadrados, 3 – 2 = 1:
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Recuerda que si multiplico o divido a los dos términos de una fracción por un mismo número, el valor de la fracción no varía.
10.83 Racionaliza:
Respuesta:
Solución:
Multiplicamos al numerador y denominador por .
Vemos que en el numerador nos queda el cuadrado de la suma de dos números:
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.
Sabemos que el cuadrado de la suma de dos números es igual: al cuadrado del
primero: , más dos veces el primero por el
segundo: más el cuadrado del
segundo: que es lo que tienes a continuación:
10.84 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:Vemos que en el numerador y denominador números sin raíces. El cálculo es el mismo debido a que para eliminar raíces en el denominador nos han de quedar diferencia de cuadrados y el cuadrado de un número entero es otro número entero mayor.
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Multiplicaremos a ambos miembros de la fracción por el conjugado del
denominador que es: .
En el numerador nos queda el cuadrado de la diferencia de dos números que es
igual al cuadrado del primero (1) menos 2 veces el primero por el
segundo
más el cuadrado del segundo :
Al final, multiplicamos por -1 eliminando al denominador,
10.85 Racionaliza:
Respuesta: .
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Solución:
.
10.86 Racionaliza:
. Respuesta:
y También .
10.87 Racionaliza:
Respuesta:
Solución:
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Multiplicamos cada término del multiplicador por todos los del multiplicando. Recuerda que para multiplicar raíces deben de tener el mismo índice y a
continuación se multiplican las cantidades sub-radicales: dejando la misma raíz.
Para multiplicar un número por una raíz: considera que
tienes: .
A continuación tienes la resolución del ejercicio:
10.88 Racionaliza:
Respuesta: .
Solución:
Resolución del ejercicio paso a paso:
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10.89 Racionaliza:
Respuesta: .
RACIONALIZAR DENOMINADORES COMPUESTOS DE TRINOMIOS.
Ejemplo:
Racionalizar:
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Respuesta:
1º Juntamos dos raíces del denominador. Tomamos las dos primeras en un
paréntesis: y a continuación escribimos el término que nos queda
con su signo: . En realidad es lo mismo
que: pero nos facilita para saber cual es el conjugado del
denominador: .
Cuidado ahora que el primer término está compuesto de dos sumandos –los que se encuentran entre paréntesis –.
2º Multiplicamos al numerador y denominador por el conjugado del denominador. Cuidado con los paréntesis:
Tenemos que tener en cuenta que el primer término del denominador está compuesto de dos sumandos y al multiplicar la suma de dos números por su diferencia obtenemos la diferencia de sus cuadrados por eso el cuadrado del
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primer término lo escribimos como una suma indicada elevada al
cuadrado: .
Desarrollamos el cuadrado del primer término del denominador:
3º Tenemos que volver a multiplicar a los dos miembros de la fracción por el conjugado del denominador:
Simplificamos al numerador y denominador por 2:
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Para simplificar un producto de varios factores por un número, basta simplificar UN solo factor.
Podemos seguir simplificando al numerador y denominador, para ello, debo sacar
factor común a 2 en :
10.90 Racionaliza:
Respuesta: .
HALLAR LA RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO.
No es una operación que se utilice con frecuencia. Es bueno que conozcas el modo de extraer la raíz cuadrada de polinomio.
Hallar la raíz cuadrada de un monomio es tarea muy sencilla:
basta hallar la raíz de cada factor: de la parte numérica, si la tiene, y de la parte literal dividiendo cada exponente de cada factor entre 2 por tratarse de una raíz cuadrada.
10.91 Halla la raíz cuadrada de:
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Respuesta: .
Solución:De cada factor extraemos todo lo que podamos. Como 48 es igual a 16 x 3, del factor 16 podemos sacar fuera de la raíz cuadrada a 4.Siempre que el exponente de la cantidad subradical sea mayor que el índice de la raíz dividimos, el exponente entre el índice, el cociente indica el exponente del factor fuera de la raíz y el resto es el exponente de ese factor dentro de la raíz:
10.92 Halla la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Vamos a hallar la raíz cuadrada de un polinomio:
1º Tenemos cuidado de que se encuentre ordenado respecto a una letra y en orden descendente:Ejemplo:
Tenemos el radicando ordenado respecto a la ‘x’.
2º Calculamos la raíz cuadrada del primer término del polinomio y lo colocamos en el lugar correspondiente a su resultado:
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3º Elevamos al cuadrado el valor hallado y lo pasamos al radicando colocándolo debajo del primer término del radicando cambiándolo de signo. Sumamos y bajamos los dos términos siguientes:
4º Hallamos el doble de la raíz calculada hasta ahora:
5º Dividimos el primero de los términos que ahora tenemos en el radicando entre el doble de la raíz hallada y su resultado, con el signo correspondiente, será el segundo término del resultado:
6º El último valor calculado lo colocamos a continuación del doble de la de la raíz que ya habíamos calculado:
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7º Los dos términos que componen: el doble de la raíz que había calculado al principio y el segundo término del resultado, los encierro entre paréntesis y los multiplico por este último valor:
8º Realizo el producto que tengo indicado y los resultados que obtengo loscambio de signo y los coloco debajo de los dos términos que tengo en el radicando (los términos que bajé):
En el caso que tuviésemos más términos en el radicando, en este momento, bajaríamos los que se necesiten hasta completar tres términos.Duplicaríamos la raíz calculada hasta el momento, colocando el resultado en una segunda nueva línea, debajo del doble de la raíz hallada anteriormente.Dividiríamos el primer término del resto (radicando) entre el primer término del valor calculado en el paso anterior y este valor sería el tercer término de la respuesta.Como comprobarás, vamos repitiendo los pasos explicados.
10.93 Calcular la raíz cuadrada de:
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Respuesta: .
Solución:Tienes hecha la raíz siguiendo los pasos indicados en el ejercicio anterior.Al comprobar si estaba ordenado (respecto a ‘x’) el polinomio del radicando vemos que el tercero y cuarto términos no lo están. Corregimos su posición:
10.94 Calcular la raíz cuadrada de:
Respuesta: .
Solución:Primero comprueba si el polinomio está debidamente ordenado. Coloca debidamente los términos semejantes.Tienes a continuación resuelta la raíz paso a paso:
10.95 Calcula la raíz cuadrada de:
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Respuesta: .