gua del tutor 1 -...

1Guía del Tutor

2Guía del Tutor

Presentación

Estimado(a) padre, madre o responsable:

Este documento busca ayudarle a guiar a su niño(a) en el proceso de reforzamiento de temas básicos de Matemáticas que son indispensables para el desarrollo académico y personal. En el material encontrará descripciones concretas, ejercicios y estrategias para trabajar con el estudiante de manera personalizada.

Para que el alumno pueda reforzar sus conocimientos con éxito, las actividades que incluye el material siguen una secuencia basada en estrategias de aprendizaje con fundamento peda-gógico. Por eso, se solicita llevarlas a cabo en el orden en que aparecen.

Para aplicar esta estrategia de reforzamiento, se recomienda:

1. Brindar confianza al estudiante 2. Leer de manera general los temas que se tratarán durante la semana 3. Leer detenidamente cada tema antes de tratarlo con el estudiante 4. Leer la secuencia de trabajo conforme se vaya avanzando para guiar al estudiante 5. Usar los recursos en los momentos indicados en este material 6. No mostrar al estudiante las respuestas de los ejercicios hasta que los haya resuelto

3Guía del Tutor

Los temas son:

3.1. Teorema de Pitágoras

3.2. Razones trigonométricas básicas

Actividad integradora

4Guía del Tutor

SEMANA 3TEMA 3.1. Teorema de Pitágoras

DÍA 1

TIEMPO TOTAL ESTIMADO: 75 minutos

Me activo y me concentro: Clones Tiempo estimado: 5 minutos

Indicaciones: El estudiante realizará la actividad de forma individual.

Clones

Rodea los 5 vaqueros que sean exactamente iguales.

Lo que sé sobre el tema: Contar trián-gulos

Tiempo estimado: 5 minutos

Indicaciones: El estudiante observará la figura y responderá las preguntas.

1. ¿Qué figuras ves? Triángulos2. ¿Cuántas hay en total? 28 3. De las figuras que hay, ¿cómo se clasifican por su for-

ma? Triángulos rectángulos y escalenos

Aprendo más: Pitágoras y su teorema Tiempo estimado: 45 minutos

Indicaciones: El estudiante analizará el tema. Deberá poner especial atención a las explicaciones de los ejercicios.

Pitágoras nació alrededor de 569 a.C. en Samos, Jonia, y murió cerca de 475 a.C. Este personaje se considera el primer matemático puro, porque estaba interesado en los principios de las matemáticas y los conceptos de número, triángulo y otras figuras.

En lo que se refiere al concepto del triángulo, demostró que la suma de los ángulos internos de esta figura es igual a 180° y que, en el caso del triángulo rectángulo, el cua-drado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadra-dos de los otros dos lados.

5Guía del Tutor

Triángulos

El triángulo es un polígono formado por tres líneas o lados unidos por vértices que forman ángulos internos.

Según su amplitud, los ángulos internos se clasifican en:

• Agudo: amplitud menor a 90°• Recto: amplitud igual a 90°• Obtuso: amplitud mayor a 90° y menor a 180°

Los triángulos se clasifican de acuerdo con:

A. La longitud de sus lados• Equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud.• Isósceles: solamente dos de sus lados son de igual

longitud.• Escaleno: sus tres lados tienen longitudes diferentes.

B. Sus ángulos internos• Acutángulo: sus tres ángulos internos son agudos. • Rectángulo: uno de sus ángulos internos es recto.• Obtusángulo: uno de sus ángulos internos es obtuso.

El triángulo rectángulo es una figura con numerosas ma-nifestaciones. Se puede observar, por ejemplo, en una rampa, en la forma que crea una escoba recargada so-bre la pared o en la sombra que proyecta un objeto. Los ejemplos son tantos y las aplicaciones tan diversas que el estudio del triángulo rectángulo es todo un tema en mate-máticas (geometría y trigonometría).

En un triángulo rectángulo, los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

6Guía del Tutor

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

Si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa, entonces:

Los valores al cuadrado representan el área que se ob-tiene a partir de las longitudes lineales del triángulo de re-ferencia.

El procedimiento general para resolver problemas de lon-gitudes desconocidas en triángulos rectángulos es el si-guiente.

a) Dibuja el triángulo (en caso de que sea necesario). b) Escribe la fórmula del teorema de Pitágoras. c) Sustituye los valores conocidos y despeja la incóg-

nita (según sea el caso).

d) Eleva los valores al cuadrado. e) Realiza la operación (suma o resta, según sea el

caso). f) Calcula la raíz cuadrada.

Cuando el resultado tiene más de dos decimales —y en especial si tiene un valor decimal infinito—, debe usarse el símbolo ≈. Por ejemplo:

Calcula el valor faltante de un triángulo rectángulo cu-yos catetos miden 70 m y 100 m respectivamente.

a) El valor faltante es el de la diagonal del triángulo, es decir, la hipotenusa.

b) a2 + b2 = c2

c) 702 + 1002 = c2

d) 4,900 + 10,000 = c2

e) 14,900 = c2

f) 122 � c (el resultado es 122.06555615700702)

Así pues, la longitud de la línea diagonal del triángulo es aproximadamente 122 metros.

7Guía del Tutor

Ahora veamos los siguientes casos.

Caso 1

Mario está plantando árboles alrededor de un terreno, como se muestra en la imagen, pero no sabe cuánto mide uno de los lados. ¿Cómo podría conocer esa medida?

1. Sustituye los valores en la fórmula; en este caso, x, el valor desconocido, es la c.

a2 + b2 = c2

62 + 82 = c2

2. Realiza la operación.(6) (6) + (8) (8) = c2

36 + 64 = c2

100 = c2

3. Calcula la raíz cuadrada de la suma.

√100 = cx = 10 m

Caso 2

Uriel está construyendo una barra para un bar y decidió colocar superficies de madera en dos de los lados; ambas miden 1.5 m de ancho y el área de cada superficie se pue-de ver en la imagen. Ahora desea cubrir el tercer lado con una superficie de cristal que tenga el mismo ancho que las superficies de madera.

a) ¿Cuál será la longitud del tercer lado?b) ¿Cuál será el área de la superficie que cubrirá con cris-

tal?

1. Sustituye los valores en la fórmula. En este caso, la x (la variable desconocida) es la a.

a2 + b2 = c2

x2 + (18/1.5)2 = (19.5/1.5)2

2. Despeja la incógnita.a2 = c2 – b2

x2 = (19.5/1.5)2 – (18/1.5)2

8Guía del Tutor

3. Realiza las operaciones.

• Para conocer la longitud del lado que se cubrirá con cristal:

x2 = 169 –144 = 25x = 5 m

• Para conocer el área de la superficie que se deberá cubrir con cristal:

A = largo x anchoA = 5 x 1.5A = 7.5 m2

Observa que, al tratarse de un área, la unidad de medida es m2.

Practico para comprender mejor:: Ejercitación


Indicaciones: El estudiante resolverá los tres ejercicios que se presentan. Si tiene dudas, podrá consultar sus notas.

1. Relaciona cada tipo de triángulo con la figura corres-pondiente. Luego, explica cuál es el origen del nombre de cada figura y marca los ángulos relevantes para esa explicación.TIPO DE

TRIÁNGULO FIGURA EXPLICACIÓN

Escalenorectángulo

Tiene dos lados iguales y un ángulo recto.

Equiláteroacutángulo

Sus tres lados son diferentes y tiene un ángulo obtuso.

Escalenoacutángulo

Sus tres lados son del mismo tamaño y sus tres

ángulos son agudos.

Isóscelesobtusángulo

Tiene dos lados iguales y dos ángulos agudos.

Escalenoobtusángulo

Sus tres lados son diferentes y tiene un ángulo rectángulo.

Isóscelesacutángulo

Tiene dos lados iguales y un ángulo obtuso.

Isóscelesrectángulo

Sus tres lados son diferentes y sus tres ángulos son

agudos.

9Guía del Tutor

2. Completa las siguientes expresiones. Toma como referen-cia la ecuación del teorema de Pitágoras para despejar.

DATOS EXPRESIONES

a2 = c2 – ____a2 = c2 - b2

b2 = ________b2 = c2 - a2

d2 = ________d2 = f2 - e2

f2 = e2 + _____f2 = e2 + d2

i2 =_________i2 = h2 + g2

h2 =_________h2 = i2 - g2

k2 =_________k2 = m2 - j2

m2 =_________m2 = k2 + j2

3. Completa la siguiente tabla.

a b c a2 + b2 = c2

16 12 20 256 + 144 = 4008 15 17 64 + 225 = 28912 9 15 144 + 81 = 225

Fila 1. a y b se elevan al cuadrado; luego se calcula la raíz cua-drada de 400.

Fila 2. Se despeja b y se hacen las operaciones de la fórmula.

Fila 3. Se eleva al cuadrado c y se calcula la raíz cuadrada de 81; luego se despeja a.

TEMA 3.1. Teorema de Pitágoras

DÍA 2


Me activo y me concentro: Mundo al revés


Indicaciones: El estudiante analizará la imagen y la dibujará “al revés”.

Observa con atención la imagen y, en tu libreta, dibuja cómo imaginas este mundo al revés.

El significado de “revés” es subjetivo —se puede interpretar de diferentes maneras—, por lo que se sugiere no dar ideas al es-tudiante acerca de cómo debe dibujar la imagen. La intención es conocer la idea que el estudiante tiene al respecto y observar qué tanta atención pone a los detalles.

10Guía del Tutor

Repaso con mi tutor: Importancia de los triángulos


Indicaciones: El tutor guiará al estudiante para comprender la existencia y la importancia de los triángulos en la vida cotidiana.

Comenta con tu tutor la importancia de los triángulos en la vida cotidiana.Dirija al estudiante para que “descubra” los triángulos que no se ven pero que, de alguna manera, están presentes en la naturaleza o se utilizan en algunas actividades que realizamos.

PREGUNTAS O SITUACIONES

EXPLICACIÓN DE LA PREGUNTA Y/O GUÍA PARA LA RESPUESTA

Observa las cosas que tenemos alrededor y ubica en dónde hay o se pueden formar triángulos (aunque no se vean).

Algunos de los objetos que forman triángulos en la casa son la escoba re-cargada sobre la pared, las manecillas del reloj, el rayo de luz que entra por la ventana, una rebanada de pizza, un juguete, una escalera, etc.

¿En qué actividades crees que se utilicen los triángu-los y los ángulos?

Pensemos, por ejemplo, en el ámbito de los deportes. En un partido de fut-bol, se forma un triángulo cuando un jugador pasa el balón a otro, quien lo pasa a otro más y, finalmente, éste lo regresa al primer jugador. En un juego de basquetbol, se forma un ángulo cuando se lanza el balón para que rebote en un punto del tablero y se dirija al aro. Otros ejemplos comunes del uso de triangulaciones y ángulos son juegos como el billar y actividades como la construcción.Si el estudiante no ubica los triángulos, hay que guiarlo con ideas que le per-mitan visualizarlos. Por ejemplo, se le puede pedir que observe los objetos o las figuras que el tutor haya identifica-do previamente como triángulos.

¿Cómo imaginas que sería un juego sin movimientos de triangulación?

Respuesta abierta.

Sigo aprendiendo: Temas relacionados con el teorema de Pitágoras


Indicaciones: El estudiante explorará situaciones que comprueban y funda-mentan el teorema de Pitágoras. Para reforzar el aprendizaje, podrá observar el video “Teorema de Pitágoras”.

A. El inverso del teorema de Pitágoras

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo (ΔABC) satisfacen la ecuación de Pitágoras (a2 + b2 = c2), entonces el triángulo es rectángulo y el ángulo BAC = 90º.

Ejemplo: Un niño quería construir una casita rectangular para su gato. Puso manos a la obra y, cuando terminó, se dispuso a ver si la casita realmente tenía forma rectangular. Enton-ces, tomó algunas dimensiones y vio que un lado medía 54 pulgadas, el lado adyacente 30 pulgadas y una diagonal 63 pulgadas.

11Guía del Tutor

Para saber si la casita realmente es rectangular, sigue los si-guientes pasos.

a) Dibuja el rectángulo con las medidas correspon-dientes.

b) Identifica los valores de a, b y c.a = 30 b = 54 c = 63

c) Calcula el cuadrado de cada uno de los datos.302 = 900 542 = 2916 632 = 3969

d) Suma los lados a y b para comprobar la ecuación.900 + 2916 = 3816

e) Concluye con base en el resultado.3816 ≠ 3969

Conclusión: La casita no es rectangular porque no se

cumple el triple pitagórico.

El triple pitagórico consiste en tres números enteros —a, b, c— que satisfacen la ecuación del teorema de Pitágoras. Cabe resaltar que a + b = c no es equivalente a a2 + b2 = c2. Por ejemplo, si a = 3, b = 4 y c = 5:

a + b = c 3 + 4 = 7 7 ≠ 5a2 + b2 = c2 32 + 42 = 52

9 + 16 = 25

B. Generalización del teorema de Pitágoras

Como se mencionó, el teorema de Pitágoras se refiere al área que se forma a partir de la medida lineal de cada lado de un triángulo rectángulo. Por tanto, en los siguientes ejemplos, el área de X más el área de Y es igual al área de Z.

Área X + Área Y = Área Z

C. Teorema de Pitágoras en el plano cartesiano

De manera general, se puede decir que el plano cartesiano es un sistema de referencia geométrico para la ubicación de puntos en el espacio, ya sean físicos o imaginarios. El plano está formado por rectas paralelas verticales y horizontales, pero tiene dos rectas principales que se presentan a manera

12Guía del Tutor

de rectas numéricas, una vertical (eje y) y otra horizontal (eje x). Cada vértice en donde se cruzan las líneas recibe el nom-bre de coordenadas.

Con el teorema de Pitágoras, se puede conocer la distan-cia que hay entre dos puntos o coordenadas. Por ejemplo, para determinar la distancia que hay del punto en donde está Laura al punto en donde está Rodrigo, sigue los si-guientes pasos.

a) Traza una línea que una los dos puntos. b) Traza una línea vertical y otra horizontal a partir de

cada punto para formar un triángulo rectángulo. c) Cuenta los cuadros de cada lado que se formó y,

así, tendrás los datos de los catetos. d) Aplica la fórmula del teorema de Pitágoras. e) Obtén el resultado.

a2 + b2 = c2

32 + 72 = c2

9 + 49 = c58 = c2

7.62 � c

Conclusión: La distancia que hay entre Laura y Rodrigo es de aproximadamente 7.72 puntos.

Vean el video “Teorema de Pitágoras”.

13Guía del Tutor

Practico para comprender mejor: Ejercitación


Indicaciones: El estudiante realizará las actividades que se indican y sacará sus conclusiones.

A. Realiza las operaciones necesarias para determinar si los siguientes valores son triples pitagóricos o corres-ponden a un triángulo rectángulo. Considera el tercer valor como c.

VALORESPROCEDIMIENTO

CONCLUSIÓNa2 + b2 = c2

6, 8, 11 62 + 82 = 36 + 64 = 100

112

121100 ≠ 121

No es triángulo rectángulo

5, 12, 13 52 + 122 = 25 + 144 = 169

132

169169 = 169

Sí es triángulo rectángulo

16, 30, 34 162 + 302 = 256 + 900 = 1,156

342

1,1561,156 = 1,156 Sí es triángulo

rectángulo

2, 3, 4 22 + 32 = 4 + 9 = 13

42

1613 ≠ 16


9, 14, 17 92 + 142 = 81 + 196 = 277

172

289277 ≠ 289


10, 24, 26 102 + 242 = 100 + 576 = 676

262

676676 = 676

Sí es triángulo rectángulo

2.4, 6, 9No es triple pitagórico porque el criterio es que

los valores sean enteros y satisfagan la ecuación del teorema de Pitágoras.

B. En tu libreta, calcula las distancias entre los puntos A y B; M y N; y P y Q con base en su posición en el plano cartesiano.

14Guía del Tutor

Me autoevalúo: Resolución de ejercicios Tiempo estimado: 15 minutos

Indicaciones: El estudiante resolverá los ejercicios. El tutor verificará las res-puestas y explicará las que no se hayan respondido correctamente.

Lee detenidamente los ejercicios que a continuación se presentan y elige el inciso que contenga la respuesta co-rrecta.

1. Un camión mide 4.5 metros de alto y proyecta una sombra que termina a 11.2 metros de distancia. ¿Cuán-to mide la línea que forma la sombra del camión en el piso?

a) 12.07 m b) 12.14 m c) 13.21 m d) 13.76 m

2. El entrenador de Roberto le recomendó aumentar los grados de inclinación a su caminadora para mejorar la resistencia en sus piernas. Observa la imagen y deter-mina los grados de inclinación de la caminadora.

a) 12° b) 18° c) 32° d) 46°

3. La mesa directiva de la escuela decidió poner una res-baladilla que mide 3 metros de longitud y se colocará a una altura de 1.8 metros. ¿Qué superficie del piso cu-brirá la resbaladilla?

a) 5.7 m b) 3.3 m c) 2.4 m d) 1.9 m

4. ¿Qué ángulo forman los lados y la base del siguiente triangulo isósceles?

a) 24° b) 45° c) 60° d) 78°

5. La distancia de un muro a la base de una escalera que está recargada sobre él es de 4 metros. ¿A qué altura del muro llega la escalera si ésta mide 6.8 metros de largo?

a) 5.2 m b) 5.5 m c) 5.8 m d) 6.4 m

15Guía del Tutor

TEMA 3.2. Razones trigonométricas básicas

DÍA 3


Me activo y me concentro: Crucigrama Tiempo estimado: 5 minutos

Indicaciones: El estudiante ordenará los números para completar el cruci-grama.

Coloca los dígitos correspondientes a cada definición de manera que en las casillas verdes sólo haya números pa-res y en las amarillas impares. Como pista, se proporcio-nan las sumas de algunas columnas y filas de casillas.

PISTASSumas horizontalesA. 30, C. 27, E. 26, G. 20. I. 24, K. 23, M. 16

Sumas verticalesA. 22, C. 34, E. 24, G. 8. I. 19, K. 25, M. 18

16Guía del Tutor

Lo que sé sobre del tema: Sopa de letras


Indicaciones: El estudiante encontrará las palabras en la sopa de letras y escribirá un texto acerca del tema.

Encuentra las palabras en la sopa de letras y anótalas en una hoja cuadriculada así como aparecen en la sopa. Pue-den estar en dirección vertical ( , ), horizontal ( ) o diago-nal ( , , ).

ÁNGULOS, COSENO, LONGITUD, CATETOS, RECTÁNGULO, SENO, RAZÓN, AGUDO, TRIGONOMÉTRICA, ADYACENTE, TRIÁNGULO, HIPOTENUSA, OPUESTO, TANGENTE

En tu libreta redacta un texto que relacione todas las pa-labras con un sentido lógico. Puedes usarlas en singular o plural e incluir otras palabras para completar las ideas.

Posible respuesta:Las razones trigonométricas son seno, coseno y tangente y se usan para conocer la longitud del cateto opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa con respecto a los ángu-los agudos de un triángulo rectángulo.

Aprendo más: Razones trigonométricas Tiempo estimado: 40 minutos

Indicaciones: El estudiante leerá el texto y analizará la explicación de los ejer-cicios que ya están resueltos para facilitar la comprensión del tema. Se sugiere que anote en una tarjeta las razones trigonométricas. Al final, podrá observar el video “Razones trigonométricas”.

Las funciones trigonométricas son las razones de las lon-gitudes de los lados de un triángulo rectángulo ΔABC con respecto a sus ángulos agudos.

• El cateto opuesto es el que está enfrente del ángulo de referencia.

• El cateto adyacente es el que parte del ángulo de refe-rencia.

17Guía del Tutor

Para cualquiera de los ángulos agudos del triángulo rec-tángulo, las razones son seno, coseno, tangente, cose-cante, secante y cotangente. En el ejemplo del ángulo θ, las razones son:

Ejemplo: Se desea obtener los valores de las relaciones trigonométricas cuando sen α = 3

5 y α es un ángulo agu-do.

1. Dibuja un triángulo y coloca los valores de sus lados según lo que indica la razón trigonométrica.

2. Determina el valor de x con el teorema de Pitágoras.a2 + b2 = c2

a2 + x2 = c2

x2 = c2 – a2

x2 = 52 – 32

x2 = 25 – 9x2 = 16x = 4

Hipotenusa (Hip) = 5Cateto opuesto (COp) = 3Cateto adyacente (CAdy) = 4

3. Aplica las relaciones trigonométricas.

sen α = COpHip = 3

5

cos α = CAdyHip = 4

5

tan α = COpCAdy = 3

4

csc α = HipCOp = 5

3

sec α = HipCAdy = 5

4

cot α = CAdyCOp = 4

3

Si en el triángulo rectángulo ΔABC a representa la longitud de BC, b la AC y c la de AB, entonces las razones son para los ángulos A y B.

18Guía del Tutor

En el triángulo rectángulo, los ángulos A y B son com-plementarios, es decir que A + B = 90º, entonces:

• El seno de un ángulo es igual al coseno del otro.sen A = cos B y sen B = cos A

• La tangente de un ángulo es igual a la cotangente del otro.

tan A = cot B y tan B = cot A

• La secante de un ángulo es igual a la cosecante del otro.

sen A = csc B y sec B = csc A

Ejemplo: Una grúa sostiene una canastilla, como se muestra en la imagen. Calcula el valor de las razones que se solicitan.

sen N = 2.55.59 = 0.45 sen M = 5

5.59 = 0.89

cos N = 55.59 = 0.89 cos M = 2.5

5.59 = 0.45

tan N = 2.55 = 0.5 tan M = 5

2.5 = 2

csc N = 5.592.5 = 2.24 csc M = 5.59

5 = 1.12

sec N = 5.595 = 1.12 sec M = 5.59

2.5 = 2.24

cot N = 52.5 = 2 cot M = 2.5

5 = 0.5

Las razones sólo dependen del ángulo de referencia y no del tamaño del triángulo. Por ejemplo, en la figura se observa que los triángulos son similares, por lo que las ra-zones de los lados que corresponden son proporcionales.

Entonces:bc

= bć´

cb

= c´b´

ac

= ać´

ca

= cá´

ba

= bá´

ab

= a´b´

Por ejemplo, si a = 3, b = 6 y c = 6.7, ¿cuánto valen b´ y c´ si a´ = 1.5?

• Observa los valores semejantes a = 3 y a´ = 1.5.• Calcula el valor constante de proporcionalidad, en este

caso, dividiendo aa´

31.5

= 2.

19Guía del Tutor

• Divide los valores de b y c, respectivamente, entre la constante:

b´ = 62 = 3 y c´ = 6.7

2 = 3.35

• Comprueba los valores que hayas calculado en una de las proporciones, por ejemplo:

66.7

= 33.35

• Para comprobar el resultado, calcula el valor de los se-nos y los cosenos, respectivamente:

Vean el video “Razones trigonométricas”.

Practico para comprender mejor: Ejercicios


Indicaciones: El estudiante seguirá las indicaciones para resolver los ejerci-cios. Si tiene dudas, podrá consultar las razones trigonométricas.

Sigue las indicaciones y resuelve los ejercicios en tu libreta.

1. Si μ es un ángulo agudo y cot μ = 86

, ¿cuáles son los valores de todas las funciones trigonométricas de μ?

2. Escribe las medidas del triángulo rectángulo que apa-rece en la imagen —considera que cada cuadrado mide 2 cm por lado— y calcula el valor de las siguientes ra-zones trigonométricas.

BC = 18 sen A = 0.6 sen B = 0.8AC = 24 cos A = 0.8 cos B = 0.6AB = 30 tan A = 0.75 tan B = 1.33

20Guía del Tutor

Observa los resultados y completa:

sen A = cos B cos A = sen B

3. Observa la figura y completa la tabla. Considera que cada cuadrado de la figura mide 1 cm por lado. Expre-sa los resultados con hasta cuatro decimales.

TRIÁNGULO ADE AFG AHI ACB

Cateto opuesto al ángulo A 1 2 3.5 4

Cateto adyacente al ángulo B 4 8 14 16

Hipotenusa 4.1231 8.2462 14.4309 16.4924

Cateto opuesto al ángulo AHipotenusa 0.2425 0.2425 0.2425 0.2425

Cateto adyacente al ángulo AHipotenusa 0.9701 0.9701 0.9701 0.9701

Repaso con mi tutor: Análisis del tema Tiempo estimado: 10 minutos

Indicaciones: El tutor guiará al estudiante para que relacione los temas que se vieron la semana anterior con los de la semana en curso y comprenda cómo se pueden aplicar.

Comenta con tu tutor la importancia de los triángulos en la vida cotidiana.

CONTEXTO Y PREGUNTAS

EXPLICACIÓN O GUÍA DE RESPUESTAS

¿Recuerdas que la se-mana pasada estudia-mos las proporciones?

¿Qué recuerdas?

Se espera que responda que sí. De lo con-trario, hay que guiarlo para que recuerde el tema. Haga referencia a la actividad integradora y, poco a poco, mencione los conceptos de razón y proporción.

¡Muy bien! Entonces, si una proporción es

una comparación entre razones, y una razón es una relación entre dos

variables, ¿qué son “ra-zones trigonométricas”?

Son las relaciones que hay entre las longitu-des de los lados de un triángulo rectángulo.

¿Cómo podrías “orde-nar” las razones trigo-nométricas para que

no se te olviden?

La respuesta variará según la lógica del es-tudiante. Sin embargo, puede guiarlo para que primero identifique tres razones —seno, coseno y tangente— y luego vea que la cosecante, la secante y la cotangente son, respectivamente, las razones opuestas o inversas. Así podrá recordarlas mejor.

¿Cómo podrías com-probar si el resultado o valor de una razón trigonométrica en un

triángulo rectángulo es verdadero o no?

Cuando se toma como referencia un solo ángulo, hay seis razones trigonométricas. Sin embargo, cuando se toman como re-ferencia los dos ángulos agudos del trián-gulo rectángulo, hay razones opuestas, las cuales permiten comprobar si el valor de la razón es correcto.

¿Cómo puedes explicar el resultado del último ejercicio que hiciste?

La explicación debe referirse a la semejan-za o proporcionalidad de los triángulos: sin importar el tamaño de la hipotenusa y el cateto adyacente, las razones trigonomé-tricas serán iguales siempre y cuando el ángulo agudo de referencia sea el mismo.

21Guía del Tutor

EVALUACIÓN

DÍA 4


Me activo y me concentro: Imaginación espacial


Indicaciones: El estudiante observará las figuras y responderá las preguntas mientras imagina los cubos en la realidad.

Imagina que tienes un cubo de madera pintado de verde, como se muestra en la figura 1. Después, lo cortas de tal forma que queden 9 cubitos por lado (en total 27), como se observa en la figura 2.

• ¿Cuántos cubitos tendrán una cara pintada de verde? 6• ¿Cuántos cubitos tendrán dos caras pintadas de verde?

12• ¿Cuántos cubitos tendrán tres caras pintadas de verde? 8• ¿Cuántos cubitos se quedarán sin pintar? 1 (el del centro)

La última y nos vamos: Resolución de ejercicios


Indicaciones: El estudiante resolverá los ejercicios de opción múltiple. El tutor verificará las respuestas y explicará las que no se hayan respondido correctamente.

Lee detenidamente los ejercicios que a continuación se presentan y elige el inciso que contenga la respuesta co-rrecta.

1. En el siguiente triángulo, ¿cómo se determina el coseno de β?

a) 714

b) 1415

c) 715

d) 1514

2. ¿A qué altura se encuentra el señalamiento?

a) 4.78 m b) 5.33 m c) 6.43 m d) 7.28 m

22Guía del Tutor

3. ¿Cuánto mide el seno de A en el siguiente triángulo rec-tángulo?

a) sen A= 0.58 b) sen A= 0.62 c) sen A= 0.77 d) sen A= 0.81

4. Determina cuánto mide el ángulo x en el siguiente trián-gulo rectángulo.

a) 90° b) 72° c) 62° d) 45°

5. En el siguiente triángulo, ¿cómo se determina el seno de β?

a) 3435 b) 17

35 c) 1734 d) 35

34

6. ¿Cuánto mide el lado x de la pantalla?

a) 111.27 cm b) 112.70 cm c) 113.20 cm d) 115.50 cm

7. ¿Cuánto mide el coseno de B en el siguiente triángulo rectángulo?

a) cos B=0.6055 b) cos B=0.6302 c) cos B=0.7621 d) cos B=0.7958

23Guía del Tutor

8. ¿Cuánto mide el ángulo del vértice que forman las dos hojas de las tijeras que muestra la imagen?

a) 30° b) 40° c) 60° d) 70°

9. ¿Cuánto mide la tangente del ángulo de 60°?

a) 1.74 b) 1.25 c) 0.76 d) 0.57

10. ¿Cuál es la medida del cateto adyacente al ángulo θ?

a) CAdy = 8.2 b) CAdy + 8.2 c) CAdy < 8.2 d) CAdy � 8.2

11. ¿Cuál de los siguientes grupos de valores NO repre-senta un triple pitagórico?

3, 4, 5 12, 16, 20 6, 8, 10 4, 8, 12A B C D

a) A b) C c) D d) B

12. ¿Cuál de los siguientes triángulos NO es semejante a los demás?

a) D b) C c) B d) A

24Guía del Tutor

13. ¿Cuánto mide el seno de α en los tres triángulos seme-jantes del ejercicio anterior?

a) sen α = 0.64 b) sen α = 0.58 c) sen α = 0.50 d) sen α = 0.46

14. Observa el triángulo C del mismo ejercicio. ¿Cuánto mide la cotangente del ángulo α?

a) cot α = 0.52 b) cot α = 0.91 c) cot α = 1.52 d) cot α = 1.91

15. Ahora observa el triángulo B. ¿Cuánto mide la secante del ángulo α?

a) sec α = 0.76 b) sec α = 0.93 c) sec α = 1.3 d) sec α = 1.6

ACTIVIDAD INTEGRADORA

DÍA 5


Me activo y me concentro: La caja de regalo


Indicaciones: El estudiante resolverá el acertijo.

Pedro desea enviar de regalo a su primo un telescopio cuyo tubo mide 90 centímetros de largo. Sin embargo, en la empresa de mensajería sólo admiten paquetes que mi-dan máximo 55 centímetros por lado. ¿Cómo puede hacer Pedro para enviar el telescopio si no puede cortar o doblar el tubo?

Respuesta: Si Pedro usa una caja de 55 cm por lado, el tubo cabe bien, pues la diagonal de una caja de ese tama-ño es de 95 cm.

25Guía del Tutor

Actividad integradora: La casita del árbol


Indicaciones: El estudiante seguirá las instrucciones para dibujar una casa; analizará dónde se puede aplicar el teorema de Pitágoras y en qué momen-tos se pueden utilizar las razones trigonométricas.

Imagina que en tu casa hay un árbol y deseas construir en él una casita para que tus invitados puedan compartir momentos agradables.

Las características generales de la casa son:a) Techo en forma de “dos aguas” (al ser de “dos aguas”,

se formarán dos triángulos rectángulos)b) Altura total de la casa (del piso a la parte más alta del

techo): 136 cmc) Capacidad de la casa: mínimo 6 niños de pie con un

espacio entre ellos (aproximadamente 50 cm de ancho por niño)

d) Piso de la casa a una altura de 120 cm contados desde el suelo

Recursos

• Libreta de apuntes• Hojas cuadriculadas (de preferencia) • Hojas blancas• Lápiz, goma y sacapuntas• Lápices de colores• 1 regla• Mucha imaginación

Procedimiento

1. En una hoja blanca realiza el bosquejo de la casa con las características que se mencionaron. Calcula las me-didas con base en la siguiente información y anótalas en los trazos correspondientes.

• La altura del techo debe ser la cuarta parte de la altura total de la casa y deberá exceder la medida de cada lado de la casa por 15 cm. 34 cm

• El ancho de la casa será la medida que determines se-gún la capacidad que se mencionó en la descripción de las características de la casa (mínimo 6 niños con un espacio entre ellos). Por ejemplo, si se considera que la capacidad será de 6 niños y que cada uno ocupará 50 cm, el ancho sería de 300 cm.

• La profundidad de la casa debe medir el triple de la hi-potenusa del techo. Se calcula la hipotenusa a partir de los dos catetos de los triángulos que conforman el te-cho: el primer cateto es la base más los 15 cm que se solicitan y el segundo cateto es la altura del techo, es decir, 34 cm. Una vez que se conoce la hipotenusa, se multiplica por tres para calcular la profundidad de la casa.

2. En la hoja cuadriculada, dibuja la casa de manera pro-porcional (por ejemplo, 1 cuadro equivale a 10 cm).

3. En el dibujo, considera una escalera para subir a la ca-sita. Ésta deberá medir 140 cm.

26Guía del Tutor

4. En otra hoja, dibuja las figuras que integran a la casita y anota las medidas de cada uno de sus lados.

5. Realiza lo siguiente y responde las preguntas.a) Traza una línea diagonal que una las esquinas de la casa

y anota: • ¿Cuánto miden los ángulos agudos que se forman? • ¿Cuáles son los valores de las 6 razones trigo-

nométricas?b) ¿A qué distancia en el suelo estará la base de la esca-

lera de la casita? c) Agrega al diseño de la casita un accesorio cuyas dimen-

siones sean semejantes a la figura que se formó con la línea diagonal que trazaste en el inciso a de esta activi-dad y comprueba la semejanza entre ambas figuras.

En esta actividad, se solicita:• Auxiliar al estudiante en la determinación de las medidas

iniciales• Guiarlo en todo momento sin darle la solución• Reconocer sus avances para incentivarlo a seguir apren-

diendo

gua del tutor 1 -...

Documents