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LICEO LUIS CRUZ MARTÍNEZ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROFESOR: Luis Martínez Ramos

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GUÍA DE APRENDIZAJES

UNIDAD: 3

Calama, ______ de _______________ de 2019

Nombre:_______________________________________________ Curso: 3° _____

APRENDIZAJE ESPERADO / OA

Unidad :

Homotecia y Proporcionalidad de trazos.

AE / OA : Mostrar que comprenden el concepto de homotecia:

✓ Relacionándola con la perspectiva, el funcionamiento de instrumentos ópticos y el ojo humano. ✓ Midiendo segmentos adecuados para determinar las propiedades de la homotecia. ✓ Aplicando propiedades de la homotecia en la construcción de objetos, de manera manual y/o con

software educativo. ✓ Resolviendo problemas de la vida cotidiana y de otras asignaturas. Representar el concepto de homotecia de forma vectorial, relacionándolo con el producto de un vector por un escalar, de manera manual y/o con software educativo.

Homotecia y Proporcionalidad de trazos.

1. Concepto de homotecia.

2. Homotecia directa e inversa.

3. Homotecia de Vectores.

4. Ejercicios de profundización.


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Instrucciones: Para desarrollar esta guía debes leer atentamente cada uno de los enunciados, deja constancia del procedimiento utilizado.

Concepto de homotecia

A´ A O

Una homotecia es una transformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las

distancias por un mismo factor. En general, una homotecia de razón (k) distinto de 1 deja un único

punto fijo, llamado centro.

Sea k un número positivo, cuando aplicamos una homotecia de centro O y razón k a un punto cualquiera M, obtenemos otro punto M' de la semirrecta que definen O y M, de manera que

OMkOM =' . Al punto M' se le denomina homólogo de M.

Homotecia de centro O y razón 3. Homotecia de centro O y razón 1/3.

M´ (3x, 3y)

M (x, y)

O

M (x, y)

M´ (1

3 x,

1

3y)

O


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Homotecia directa e inversa

Homotecias con distintos valores de r > 0 (directa)

Homotecia de razón r > 1 Homotecia de razón 0 < r < 1

• Cuando r > 1, se produce una amplificación de la figura homotética. • Cuando 0 < r < 1, se produce una reducción de la figura homotética.

Homotecias con distintos valores de r < 0 (inversa)

Cuando r < 0, se produce una inversión de la figura, quedando el punto O, entre ambas figuras.

Ejemplo:

1) Un segmento NM en el plano tiene sus coordenadas en N(2,1) y M(-3, 2). Si se realiza una homotecia de razón -2, el segmento homólogo N’M´ queda ubicado en las coordenadas:

A) N´(-3,2) y M´(2,1)

B) N´(1,2) y M´(2,-3)

C) N´(-2,-1) y M´(3,-2)

D) N´(-4,-2) y M´(6,-4)

E) N´(4,2) y M´(-6,4)

Características de una homotecia:

Cada punto se debe multiplicar por la razón -2.

N´(a,b) = -2 ∙ (2,1) = (-2∙2, -2∙1) = (-4, -2)

M´(c,d) = -2 ∙ (-3,2) = (-2∙-3,-2∙2) = (6,-4)


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✓ Rayos de homotecia son las rectas que unen puntos homólogos. ✓ Las rectas homólogas son paralelas. ✓ El centro de homotecia puede ser interior o exterior al segmento que une dos puntos homotéticos. ✓ Según que la razón k sea positiva o negativa, la homotecia recibe el nombre de directa o inversa. ✓ En la homotecia directa los puntos homólogos están al mismo lado respecto del centro.

✓ El centro de homotecia es el punto en el que concurren las rectas que determinan los puntos de una figura y sus correspondientes homólogos.

✓ La razón de homotecia se calcula hallando el cociente entre OA’ y OA , siendo A un punto cualquiera. El signo de ésta dependerá de la posición de O respecto de A y A'.

✓ Una homotecia transforma un segmento AB en otro paralelo A'B', k veces el primero. En consecuencia, la razón también se halla dividiendo la longitud de dos segmentos homólogos.

Actividades:

1. A la figura ABCD se le ha aplicado una homotecia de centro O y razón 3 : 2, transformándose en el cuadrilátero A’B’C’D’. ¿Cómo son estas dos figuras?

2. En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético A’B’C’.

Halla la razón de la homotecia y calcula todas las dimensiones de los dos triángulos.

¿Qué relación hay entre los perímetros de figuras homotéticas?


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3. Resuelve en tu cuaderno las siguientes actividades de los contenidos y procedimientos que has estudiado.

Observa cada homotecia que se aplica y luego responde.

• ¿Cuál es el valor de la razón de homotecia?

• Si OB = 5 cm, ¿cuánto mide BB' ?

• Si CA = 2,2 cm, ¿cuánto mide C'A' ?

• Si m(∡ ABC ) = 72°, ¿cuánto es la m(∡ A'B'C' )?

• ¿Cuál es el valor de la razón de homotecia?

• ¿Cuánto es x + y ?

• Si FE = 2,5 cm, ED = 2 cm y DF = 1,5 cm, ¿cuál es el perímetro del ∆E'D'F' ?

• Si m(∡ D'E'F' ) = 20°, ¿cuánto es la m(∡EFD )?


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3. Una cámara oscura es un instrumento que permite obtener una imagen plana proyectada a partir de una imagen real utilizando principios de la óptica.

a. ¿Cuál es la clasificación de la homotecia?

b. ¿Cuál es el valor de la razón de homotecia?

c. ¿Cuánto es la medida de la proyección de la vela en la cámara oscura (B'A' )?

d. Si OB = OA, ¿cuál es el perímetro del triángulo OA’B’ ?

4. Utilizando regla y compas construye cada homotecia de centro O y valor de razón k.

a. k = 2 b. k = -1


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Relación entre las áreas de figuras homotéticas

Los triángulos de la figura son homotéticos de razón k, se tiene que:

Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴´𝐵´𝐶´) = 𝑘𝑏 ∙ 𝑘ℎ

2 = 𝑘2 ∙

𝑏ℎ

2 = 𝑘2 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶)

La razón entre áreas es el cuadrado de la razón de homotecia.

La propiedad anterior se mantiene para cualquier figura.

Homotecia de forma vectorial

Al multiplicar por 2 el vector �⃗⃗� = (4, 1), se tiene:

2 • �⃗⃗� = (2 • 4, 2 • 1) = (8, 2)

• Multiplica los vectores �⃗⃗� y �⃗⃗⃗� por 2.

2 • �⃗⃗� = 2 • �⃗⃗⃗� =

En el plano cartesiano se ha representado el triángulo ACB con los vectores �⃗⃗� , �⃗⃗� y �⃗⃗⃗� , respectivamente,

que van desde el origen (O ) a cada uno de los vértices del triángulo.


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Conceptos

Ejemplo

Si al punto A (2, –2) se le aplica una homotecia de centro O (0,0), tal que el valor de la razón k es –2, ¿cuáles son las coordenadas del punto que resulta luego de aplicada la homotecia? Una manera de resolverlo es trazar el vector que va desde el origen O (0,0) hasta el punto A (2, –2), y luego multiplicar por el valor de la razón k, es decir:

k • 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = –2(2, –2) = (–4, 4), de donde se deduce que el punto imagen es A'(–4, 4).

Gráficamente, se tiene:


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Ejercicios.

1. En la figura, F experimenta una transformación geométrica, generando el homólogo F’.

La transformación aplicada es:

A) Homotecia con r < 0.

B) Homotecia con r > 1.

C) Homotecia con 0 < r < 1.

D) Traslación isométrica.

E) Simetría.

2. Un triángulo en el plano tiene sus vértices en A(-3, 2), B(1, 1) y C(2, 5). Si se realiza una homotecia de razón -2, el vértice homólogo A’ queda ubicado en las coordenadas:

A) (6, 4)

B) (-6, 4)

C) (6, -4)

D) (-6, -4)

E) (-5, 0)

3. En la figura, ABC es un triángulo que experimenta una transformación geométrica. ¿De qué transformación se trata?

A) Traslación de vector (1, -5).

B) Simetría respecto del origen.

C) Rotación de 180° respecto del origen.

D) Rotación de 90° en sentido positivo.

E) Homotecia de razón -1.

4. En la figura ABCD cuadrado con un cuadrado homotético de vértices A’B’C’D’.

El centro de homotecia se encuentra:

A) Fuera de ambos cuadrados en la parte superior.

B) Fuera de ambos cuadrados en la parte inferior.

C) Fuera de ambos cuadrados, en la parte derecha de la figura.

D) En uno de los vértices de ABCD.

E) Dentro del cuadrado A’B’C’D’.


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5. Dado un hexágono de perímetro 36 cm. si se le aplica una homotecia de razón k = 2 : 1, entonces el perímetro del nuevo hexágono es:

A) 9 cm

B) 18 cm

C) 36 cm

D) 72 cm

E) 108 cm

6. Dado un pentágono de área 108 cm2. Al cual se le aplica una homotecia de razón k = 1 : 3, entonces el área del pentágono resultante es:

A) 9 cm2

B) 12 cm2

C) 36 cm2

D) 324 cm2

E) 972 cm2

7. Los rectángulos de la figura 7, son semejantes. Si FG = 60 cm, GH = 90 cm y el perímetro del rectángulo ABCD es de 1.080 cm, entonces su lado menor mide:

A) 108 cm

B) 153 cm

C) 216 cm

D) 324 cm

E) 540 cm

Ejercicio de profundización:

1) Determinar dos figuras semejantes a la dada, cuyas áreas sean respectivamente la mitad y el doble del área de la primera.

90°

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