UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD-

ALGEBRA LINEAL

TRABAJO COLABORATIVO 1

DIANA CLEMENCIA DUQUE OSPINA CÓDIGO 24.347.315 DEISSY SALAS ROVIRA

SONIA MORALES OSORIO

GRUPO: 100408_232

TUTOR:

IVAN FERNANDO AMAYA COCUNUBO

MAYO 2013

MANIZALES – CALDAS

INTRODUCCION

El fin de este trabajo es que nos apropiemos de manera significativa de los elementos teóricos fundamentales y prácticos desarrollados y socializados por cada uno de los estudiantes de algebra lineal en la unidad 2, comprendiendo los diferentes métodos de Gauss-Jordán, para encontrar todas las soluciones de los diferentes ejercicios propuestos en este trabajo colaborativo, además de los sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos e introducción a los espacios vectoriales. Fortaleciendo así el desarrollo de operaciones metas cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos y prácticos que se desarrolló mediante el estudio de la unidad En el presente trabajo expondremos de manera práctica los temas trazados en la línea de estudio del Algebra Lineal segunda Unidad, ya que a través del desarrollo de los ejercicios propuestos, se analizó que existen diferentes formas de realizarlos, una de ellas es mediante el método Gaussiana el cual consiste en consiste en convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al menos una ecuación por cada variable por otra parte observamos los pasos a seguir para el desarrollo de ecuaciones mediante el método Gauss, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas e indudablemente no podemos dejar de hablar y analizar el método de la regla de CRAMER. La regla de CRAMER es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a GABRIEL CRAMER (1704 – 1752. La regla de CRAMER es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema; la cual nos permite determinar nuestro grado de conocimiento sobre el tema y la asignatura como tal, y como eje fundamental para el desarrollo de situaciones prácticas de nuestra carrera como Ingenieros de Sistemas agrupando conceptos y experiencias que nos ayuden a enriquecer como profesionales y como personas.

OBJETIVOS

Identificar y practicar cada uno de los conceptos aprendidos en los ejercicios propuestos en la unidad dos del módulo de algebra lineal.

Conocer los elementos básicos y su aplicación en el planteamiento y solución de problemas y los diferentes modelos matemáticos de los métodos para resolver ejercicios.

Conocer la estructura general de las unidad Dos Sistemas de Algebra Lineal Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales y capacitándonos en cada uno de los capítulos profundizando en cada uno de los temas, logrando la solución de cada uno de los temas con precisión y exactitud.

1. Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

−𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = −7 7𝑥 − 7𝑦 − 𝑧 = −1

−3𝑥 + 5𝑦 + 6𝑧 = 6

−1 −1 −7 7 7 1

−3 5 6 −7−16

−4𝑓1+f3→𝑓1

1 1 257 −7 −1

−3 5 6

25−16

7𝑓1−𝑓2→𝑓2

1 1 25 0 14 176

−3 5 6

25 176

6

−3𝑓1+f3→𝑓3

1 1 25 0 14 1768 −8 −81

25

176−81

1

14 𝑓2→𝑓2

1 1 25

0 1 887

8 −8 −81

2588

7

−81

−1𝑓2+𝑓1→𝑓1

1 0 627

0 1 887

0 −8 −81

627

887

−81

8𝑓1+ 𝑓3→𝑓3

1 0 627

0 1 887

0 0 119

627

887

119

1

119 𝑓3→𝑓3

1 0 627

0 1 887

0 0 1

627

887

1

−62

7 𝑓3+ 𝑓1→𝑓1

1 0 0

0 1 887

0 0 1

0 88

7

1

−88

7 𝑓3+ 𝑓2→𝑓2

1 0 0 0 1 0 0 0 1

001

x = 0; y = 0; z = 1

1.2

3𝑥 − 8𝑦 − 𝑧 + 4𝑤 = 1 5𝑥 − 𝑦 − 8𝑧 − 5𝑤 = −1

3 −8 −1 4 15 −1 −8 −5 −8

𝑓1

3

1 −8

3−

1

3

4

3

1

35 −1 −8 −5 −8

𝑓2 − 5𝑓1

1 −

8

3−

1

3

4

3

1

30 37/3 −19/3 −35/3 −8/3

𝑓22 3/3

1 −

8

3−

1

3

4

3

1

30 1 −19/37 −35/37 −8/37

𝑓18/3𝑓2

1 0 −

63

37−

44

37−

9

370 1 −19/37 −35/37 −8/37

2. Resuelva el siguiente sistema lineal empleando para ello la inversa (utilice el

método que prefiera para hallar 𝐴−1) 𝑥 − 𝑦 − 7𝑧 = −1

5𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = −1 −7𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2 Solución:

Método de eliminación de Gauss-Jordán

1 −1 −75 −1 −3

−7 −1 −3 1 0 00 1 00 0 1

Intercambiando las filas 1 y 3:

−7 −1 −35 −1 −31 −1 −7

0 0 10 1 01 0 0

(f1)*-7:

−7/−7 −1/−7 −3/−7

5 −1 −31 −1 −7

0 0 −70 1 01 0 0

(f2)-((f1)*5):

1 −1/−7 −3/−7

0 1 −2

51 −

2

51 −1 −7

0 0 −70 1 −351 0 0

(f3)-(f1)

1 −1/−7 −3/−7

0 1 −2

51 −

2

5

1 −6/7 −64

7

0 0 −70 1 −351 0 −7

(f2)/-1.714

1 0.143 0.4290 1 30 −1.143 −7.429

0 0 −70 0.58 51 0 −7

(f3)-(-1.143*(f2))

1 0.143 0.4290 1 30 0 −4

0 0 −70 0.58 51 0.66 −12.7

(f3)/-4

1 0.143 0.4290 1 30 0 1

0 0 −70 0.58 5

0.2 0.16 −3.175

(f1)-((f3)*0.429)

1 0.143 00 1 30 0 1

−0.10 −0.07 −7

0 0.58 50.2 0.16 −8.3

(f2)-((f3)*3)

1 0.143 00 1 00 0 1

−0.10 −0.07 −7−0.7 0.08 −20.80.2 0.16 −8.3

(f1)-(0.143*(f2))

1 0 00 1 00 0 1

−0.20 −0.05 −4.02−0.7 0.08 −20.80.2 0.16 −8.3

= 1 0 00 1 00 0 1

−

−1/5 −1/20 −4.1/507/10 2/25 −20.4/51/5 4/25 −8.3/10

Multiplica la matriz inversa por el vector de resultados:

−

−1/5 −1/20 −4.1/507/10 2/25 −20.4/51/5 4/25 −8.3/10

∗ 112 = −

−1/5 −1/20 −4.1/507/10 2/25 −20.4/52/5 8/25 −16.3/5

= 001

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que: 3.1 Contiene a los puntos P = (-8, -7, 10) Y Q = (-1,5, -3)

−1 + 8 = 7 5 + 7 = 12 − 3 − 10 = −13 𝑥 = 8 + 7𝑡 −7 + 12𝑡 Paramétricamente 10 − 13𝑡

𝑥 + 8

7 =

𝑦 + 7

12=

𝑧 − 10

−13

Simétricamente

3.2 Contiene a P = (5, 3, -7) y es paralela a la recta 𝑥−3

2=

4−10

8=

𝑧−8

5

5 + 2𝑡 3 − 8𝑡 Simétrica

−7 + 5𝑡 𝑥 − 5

2=

4 − 3

−8=

𝑧 + 7

5

4 Encuentre la ecuación general del plano que: 4.1 Contiene a los puntos P = (-4, -5, 8), Q = (-3, 7, -8) Y R = (-3, -3, 5)

𝑃𝑄 = −3 + 4 𝑖 + 7 + 5 𝑗 + −8 − 8 𝑘

𝑃𝑄 = 1𝑖 + 12𝑗 − 16𝑘

𝑃𝑅 = −3 + 4 𝑖 + −3 + 5 𝑗 + 5 − 8 𝑘

𝑃𝑅 = 1𝑖 + 2𝑗 − 3𝑘

𝑃𝑄 ∗ 𝑃𝑅 𝑖 𝑗 𝑘

1 12 −161 2 −3

= 𝑖 12 −162 −3

− 𝑗 1 −161 −3

+ 𝑘 1 121 2

−4𝑖 − 13𝑗 − 10𝑘 −4 𝑥 + 3 − 13 𝑦 − 7 − 10 𝑧 + 8 = 0

−4𝑥 − 12 − 13𝑦 + 91 − 10𝑧 − 80 = 0

−4𝑥 − 13𝑦 − 10𝑧 = 12 + 80 − 91 −4𝑥 − 13𝑦 − 10𝑧 = 1

4.2 Contiene al punto P = (1, 9, -3) y tiene como vector normal a 𝑛 = −𝑖 − 9𝑗 + 7𝑘

−1 𝑥 − 1 − 9 𝑦 − 9 + 7 𝑧 + 3 = 0

−𝑥 + 1 − 9𝑦 + 81 + 7𝑧 + 21 = 0 −𝑥 − 9𝑦 + 7𝑧 = −1 − 81 − 21

−𝑥 − 9𝑦 + 7𝑧 = −103 5. encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

𝜋1 = 5𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1 𝑦 𝜋2 = −2𝑥 − 5𝑦 − 7𝑧 = 9 Para hallar la intercepción de los planos dados debemos hallar el vector director de la recta de intercepción

𝑉 = 𝑁1 + 𝑁2

𝑉 = 5, −1, −1 + −2, −5, −7

𝑉 = 𝑖 𝑗 𝑘5 −1 −1

−2 −5 −7

𝑉 = −1 −7 — 1 −5 𝑖 − ( 5 −7 − −1 −2 𝑗 − 5 −5 — 1 −2 𝑘

𝑉 = 2𝑖 − 37𝑗 − 27𝑘

𝑉 = 2, −37, −27 Teniendo el vector director v, buscamos un punto común Q para ambos plano Primer plano π1

5𝑥 − 1𝑦 − 1𝑧 = 1

5 1 − 1𝑦 − 1𝑧 = 1 5 − 1𝑦 − 1𝑧 = 1

−1𝑦 − 1𝑧 = 1 − 5

−1𝑦 − 1𝑧 = −4 1𝑦 + 1𝑧 = 4 Plano π2 2𝑦 − 5𝑥 − 7𝑧 = 9

2 − 5𝑦 − 7𝑧 = 9

−5𝑦 − 7𝑧 = 9 + 2 −5𝑦 − 7𝑧 = 11

5𝑦 + 7𝑧 = −11 Tenemos un sistema de 2 ecuaciones: 1𝑦 + 1𝑧 = 4

5𝑦 + 7𝑧 = −11 Multiplicamos las 2 ecuaciones, la primera por 5 y la segunda por 1

5𝑦 + 5𝑧 = 20 5𝑦 + 7𝑧 = −55 Restamos cada miembro: −2𝑧 = 75

𝑧 =75

−2

Hallamos y 1𝑦 + 1𝑧 = 4

1𝑦 + 1 −75

2 = 4

1𝑦 + (−75

2) = 4

1𝑦 = 4 −75

2

1𝑦 = −8

2−

75

2

1𝑦 = −83

2

𝑦 = −83

2

Punto común Q para ambos planos es

1, −83

2,75

2

Teniendo el vector director v y un punto de la recta encontrado, hallamos la ecuación 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑄 + 𝑡 𝑣

= 1, −83

2, −

75

2 + 𝑡 2, −37, −27

CONCLUSIONES

Los temas abordados en la unidad 2 como: sistema de ecuaciones lineales son teorías algebraicas fundamentales que han sido y siguen siendo aplicadas en la sociedad de conocimiento y el mundo laboral

Por medio de la realización de este trabajo se logró conocer la estructura general de las unidad Dos Sistemas de Algebra Lineal Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y Espacios Vectoriales y capacitándonos en cada uno de los capítulos profundizando en cada uno de los temas, logrando la solución de cada uno de los temas con precisión y exactitud.

De a cuerdo a los aportes realizados en el foro, dentro del grupo notamos que hay debilidades de participación sobre la actividad, la cual dificulta el logro del 100% de los requerimientos en el trabajo colaborativo.

BIBLIOGRAFIA

Guía de actividades trabajo colaborativo dos -100408–Algebra Lineal. ZUÑIGA GUERRERO CAMILO ARTURO -Protocolo-UNAD-Bogotá. D.C.-Colombia.-2008. ZUÑIGA GUERRERO CAMILO ARTURO-Modulo Curso Álgebra Lineal Primera edición revisada-UNAD_Bogotá, Colombia_2010.