grupo n°03 - fluidos i (2015)

– Mecánica de Fluidos –

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPÁNESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA

ARQUITECTURA Y URBANISMO

INFORME: Dinámica de los Fluidos Perfectos,

Dinámica de los Fluidos Reales

ALUMNOS

GERMÁN RELUZ, Luis JoelMALHABER MONTENEGRO, Miguel Ángel

MEZA CALDERÓN, BryanQUIROZ NÚÑEZ, Daily Yuzaira

RAMOS TORRES, Juan LuisSALAZAR AVELLANEDA, Leyla Analí

SEMPERTEGUI DIAZ, Richard

DOCENTEMg. Tc. Ing. CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS

PIMENTEL- PERÚ2015

[]


El presente trabajo de investigación lo dedicamos: A nuestros padres; a quienes les debemos todo lo que tenemos en esta vida y nos brindan su amor y dedicación. A Dios, ya que gracias a él tenemos esos padres maravillosos, los cuales nos apoyan en nuestras derrotas y celebran nuestros triunfos. A nuestro docente quien es nuestra guía en el aprendizaje, dándonos los últimos conocimientos para nuestro buen desenvolvimiento en la sociedad, como profesiones a la vanguardia. Y a todo aquel que esté dispuesto a seguir en la lucha constante de expandir sus conocimientos.

Escuela Profesional de Ingeniería Civil Mecánica de Fluidos I


A todas las personas que de una u otra forma nos proporcionaron los conocimientos necesarios para plasmarlos en este trabajo, ya sea de manera física o virtual, sin ellos nada de esto hubiera sido posible



INDICE:

INTRODUCCIÓN..................................................................................5

OBJETIVOS.........................................................................................6

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTO................................................7

ECUACIÓN DE BERNOULLI.................................................................11

A.ECUACIÓN DE BERNOULLI DEDUCIDA A PARTIR DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA...........................................................................11

B.ECUACIÓN DE BERNOULLI DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE EULER15

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli..........................................15

Movimiento Irrotacional:................................................................................16

Movimiento Rotacional..................................................................................18

Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional:19

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES...................................................23

1. DEFINICIÓN....................................................................................................23

FLUIDO REAL..................................................................................................23

VISCOSIDAD...................................................................................................23

1.1. ECUACIÓN ANALÍTICA PARA LOS FLUIDOS RELAES:.................................23

1.1.1. TEOREMA DE BERNOULLI......................................................................24

2. POTENCIA DE UNA CORRIENTE LÍQUIDA:...............................................................27

3. PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO APLICADO A LAS CORRIENTES LÍQUIDAS....30

4. APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE LA ENERGÍA...................................................35

Bomba:..........................................................................................................35

Turbina:.........................................................................................................36

4.1. TUBERÍA QUE CONECTA DOS DEPÓSITOS O DESCARGA ENTRE DOS DEPÓSITOS..........37

4.2. TUBERÍA QUE CONECTA DOS DEPÓSITOS MEDIANTE UNA INSTALACIÓN DE BOMBEO....38

4.3. TUBERÍA QUE CONECTA DOS DEPÓSITOS MEDIANTE UNA TURBINA..........................40

PROBLEMAS RESUELTOS...................................................................42

PROBLEMA N°01..................................................................................................42

PROBLEMA N°02..................................................................................................45

PROBLEMA N°03..................................................................................................48

PROBLEMA N°04..................................................................................................50



PROBLEMA N°05..................................................................................................52

INTRODUCCIÓN

La Mecánica de Fluidos abarca un gran campo de estudio, en donde podemos encontrar un tema de gran importancia llamado dinámica de los fluidos perfectos o también llamados fluidos ideales. La indagación de los ingenieros civiles en el tema se debe a que gracias al conocimiento de este se obtienen cálculos importantes para la óptima construcción de caudales, represas, entre otros.

En la dinámica de los fluidos perfectos se puede encontrar una característica peculiar, pues su viscosidad es igual a cero y por tanto no habría fricción. Pero también sabemos que los fluidos perfectos no existen en la naturaleza.

En algunos fluidos la viscosidad es mínima, de modo que el análisis de la dinámica de los fluidos para los fluidos perfectos tendrá una amplia aplicación práctica.



OBJETIVOS

Definir y señalar las propiedades de Fluidos Perfectos diferenciándolo del

otro fluido existente.

Deducir Vectorial y Escalarmente la Ecuación de Bernoulli aplicadas en la

Dinámica de Fluidos Perfectos.

Plasmar la definición sobre Fluido Real.

Demostrar Física y Analíticamente las Ecuaciones sobre los Fluidos Reales.

Aplicar los diferentes conceptos del tema en los ejercicios.

Aplicar las Ecuaciones demostradas en los ejercicios de aplicación.



I. MARCO TEORICO

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS PERFECTO

Estudiaremos un elemento diferencial ortoédrico, situado en el interior de la masa de un fluido en movimiento, sometido a las presiones que sobre sus caras ejerce el resto del fluido y a la acción de fuerzas exteriores o de masa.

Sea “p” la presión que actúa sobre cada una de las caras del triedro más próximo al origen de coordenadas. Sobre las caras del triedro opuesto las presiones serán respectivamente.

p+ ∂ p∂ xdx

; p+ ∂ p

∂ ydy

; p+ ∂ p

∂ zdz

Habiéndose despreciado infinitésimas de orden superior al primero.

a⃗ = Resultante de la Fuerzas externas unitaria o Fuerza total externa por unidad de masa (concentrada en el centro de gravedad de la masa contenida en el elemento diferencial ortoédrico de volumen).

( )



a⃗=ax i+a y j+az k

Dónde:

ax ay az: Son las componentes de la fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa.

Siendo “m” la masa de una partícula en movimiento y su aceleración interna y la fuerza que actúa.Se puede escribir:

Con relación a cada uno de los ejes se presentan las siguientes ecuaciones generales, cuando existen movimientos relativos:

m Ax = Rx …. (1)m Ay = Ry ….. (2)mAz = Rz ….. (3)

Desarrollo de (1):

∑ Rx=m . A X

pdydz−( p+ ∂ p∂ x dx)dydz+axm=m. AXPero m = masa contenida del elemento diferencial ortoédricom=ρd ∀

pdydz−( p+ ∂ p∂ x dx)dydz+ax ρd ∀= ρd∀ A X

pdydz−pdydz−∂ p∂xdxdydz+ax ρdxdydz−ρdxdydz AX=0

∇⃗ p=ρ (a⃗− A⃗ )…… ..(IV )

∂ p∂ xdxdydz=ax ρdxdydz−ρdxdydz A X



∂ p∂ x

=ρ (ax−A x)…… ( I )

Análogamente, desarrollando 2 y 3 resulta:

∂ p∂ y

=ρ (ay−A y )……(II )

∂ p∂ z

=ρ (az−A z )……(III )

Sumando miembro a miembro I, II y III vectorialmente:

∂ p∂ xi⃗+ ∂ p∂ yj⃗+ ∂ p∂zk⃗= ρ (ax−Ax ) i⃗+ ρ (ay−A y ) j⃗+ρ (az−A z ) k⃗

La expresión (IV), constituye la Ecuación Fundamental Vectorial de la Dinámica del Fluido Perfecto.

Dónde:

p = presión media que actúa sobre las caras del volumen diferencial ortoédrico más próximo al origende coordenadas.

= densidad del fluido

a= Fuerza unitaria o fuerza por unidad de masa; que depende del volumen considerado, como por ejemplo el peso. Es una aceleración, pero externa.

= Aceleración (interna) de la partícula fluida.

Si A⃑=0, entonces ∇⃗ p=ρ a⃗

De la expresión (IV):

Despejando resulta que:

∇⃗ p=ρ (a⃗− A⃗ )…… ..(V )

A⃗=−1ρ∇⃗ p+a⃗……(VI)



Se conoce que:

A⃗=∂ v⃗∂ t

+ 12∇⃗ (v2 )+( ∇⃗× v⃗ )× v⃗…… (VII )

Ecuación vectorial de la dinámica del fluido perfecto o ecuación de Euler:

∂ V⃗∂ t

+ 12∇⃗ (V 2 )+(∇⃗×V⃗ )×V⃗=−1

ρ∇⃗ p+a⃗

ECUACIÓN DE BERNOULLI

A. ECUACIÓN DE BERNOULLI DEDUCIDA A PARTIR DEL PRINCIPIO DE

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA.

La denominada ecuación o teorema de Bernoulli representa el principio de

conservación de la energía mecánica.

∆ E=∑FNC

W



Desarrollamos primero la suma de todos los trabajos ejercidas por fuerzas no

conservativas:

∑FNC

W=F1∆ S1Cos0 ° + F2∆ S2Cos180 °

∑FNC

W=F1∆ S1 - F2∆ S2



Pero sabemos que la presión está definida:

P =F ˪A =

FA→ F =PA

Entonces obtenemos:

∑FNC

W=P1 A1∆ S1 - P2 A2∆S2

Del gráfico se deduce que no existe ni entrada ni salida del líquido, entonces se

puede decir:

m1=m2 ρ1∆V 1 = ρ2∆V 2

Resulta ser que la densidad es constante, puesto que se trata de un fluido

incomprensible, por lo tanto:

ρ1 = ρ2 = ρ ∆V 1 = ∆V 2 =∆V

Por lo tanto el ∆V 1 debe ser igual ∆V 2, por conservación de masa, dicho esto;

podemos deducir que

∑FNC

W=¿ - P2)∆V… (1)

La ecuación en (1) se deduce como el trabajo realizado por las dos fuerzas no

conservativas.

Ahora desarrollamos, el cambio de la energía mecánica, por lo cual sabemos:

E = K + U



Donde:

E = Energía Mecánica

K = Energía Cinética (Es aquella energía que posee debido a su movimiento)

U = Energía Potencial (Debido a todas las fuerzas conservativas, donde la

única fuerzaque conservativa que actúa, es la gravedad)

Por lo tanto:

∆ E= E1 - E2

∆ E =¿ + U 2) - ¿ + U 1)

Por consiguiente definimos el cambio de la energía mecánica para el gráfico:

∆ E = 12m2V 2

2 +m2g y2-

12m1V 1

2 +m1g y1

Ahora sabemos:

m1=m2 = ρ∆V

Reemplazamos la masa en la ecuación anterior, por lo tanto obtenemos

∆ E = ( 12ρV 2

2 +ρg y2-

12ρV 1

2 +ρg y1)∆V… (2)

Reemplazando en la ecuación variación de la energía mecánica obtenemos:

∆ E=∑FNC

W

( 12ρV 2

2 +ρg y2- 12ρV 1

2 +ρg y1)∆V=¿ - P2)∆V

Ordenando la ecuación, esto es

P2 + 12ρV 2

2 +ρg y2) = P1+12ρV 1

2 +ρg y1)… (3)



Pero también podemos expresar la ecuación 3 como:

∆ (P+ 12ρV 2

+ρgy )= 0

Lo que implica el cambio de la está cantidad sea igual a cero, es lo siguiente

P+ 12ρV 2 +ρgy= constante en toda la tubería… (4)

Donde:P: Presión absoluta12ρV 2

: Presión dinámica

ρgy : Presión estática

P+ 12ρV 2 +ρgy = Cte …. (5)

La ecuación (5) es llamada la ecuación de Bernoulli, la cual tiene varias aplicaciones

y a sido deducida a partir de teorema de la conservación de la energía mecánica.

Observaciones respecto a la ecuación de Bernoulli

Del grafico deducimos

P+ 12ρV❑

2 = Cte.



Por lo cual la velocidad en (V 2¿¿es mayor que el punto 1 (V 1¿¿, y que la la cual la

deducimos a partir de la ecuación de continuidad

A1V 1 = A2V 2V 2= A1

A2

V 1

Del gráfico se deduce: A1>A2 ;A1

A2

>1 ;por lo tanto:

V 2>V 1

Del mismo gráfico se deduce que:

P1=cte−12ρV 1

2

P2=cte−12ρV 2

2

Por lo cual la presión (P2¿¿es menor que el punto 1 (P1¿¿:

P2<P1

B. ECUACIÓN DE BERNOULLI DEDUCIDA A PARTIR DE LA ECUACIÓN DE EULER

Para el caso de movimiento permanente del fluido perfecto, sometido exclusivamente al campo gravitacional.

Ecuación de Bernoulli o el Teorema de Bernoulli, resulta de la aplicación de la Ecuación de Euler, a los fluidos sujetos a la acción de la gravedad (fluidos pesados), en movimiento permanente.

En estas condiciones, de la Ecuación (), o Ecuación de Euler:

∂ v⃗∂ t⃗

+ 12∇⃗ (v2)+ (∇⃗ x v⃗ ) x v⃗=−1

ρ∇⃗ p+ F⃗



; (Movimiento permanente; las características hidráulicas en un punto se

mantienen constantes).

Como está sometido sólo a la acción del campo gravitacional, en estas condiciones:

a⃗=ax i+a y j+az k

Dónde : ax = 0

a y = 0

az = -g

Luego:

Y que remplazándolo en la ecuación anterior resulta

Proyectamos la expresión vectorial en la dirección (vector direccional de la

partícula):

CASOS:

Movimiento Irrotacional:

Luego:



Cálculo de:

Remplazando (A), (B) y (C) en ( )

12 (∂V

2

∂ xdx+ ∂V

2

∂ ydy

∂V 2

∂ zdz)=−1

ρ (∂ p∂ x dx+ ∂ p∂ y dy ∂ p∂ z dz)−gdz

Dividiendo entre “g”:

Ecuación diferencial de Bernoulli, se utiliza tanto para líquidos y gases.



Movimiento Rotacional

Y son vectores paralelos (tienden a ser coliniales). Es decir que se

considera tangente a la línea de corriente y por lo tanto paralelo o colineal con

De la ecuación de Euler ( ):

Desarrollo del término :

De la figura se observa que los vectores y ; son ortogonales, por lo

tanto por

Definición de producto escalar: = 0

Por lo tanto la ecuación de Euler ( ) se reduce a la expresión ( ):



Cuyo desarrollo es el mismo para el caso del Movimiento Irrotacional; es decir, la

Ecuación Diferencial de Bernoulli:

Fluidos Líquidos (Incompresibles), en Movimiento Rotacional o Irrotacional:

En movimiento permanente, sometido exclusivamente a la acción del campo gravitacional

= Cte. (si no habría que expresarlo en función de “”)

Ecuación de Bernoulli o Teorema de Bernoulli, o Ecuación de la Energía para un

fluido incompresible, perfecto, cuyo desarrollo en dos secciones de una corriente

líquida será:

“A lo largo de cualquier línea de corriente, la suma de las alturas cinéticas (V2/2g),

piezométricas (p/) y potencial (z) es constante”

El Teorema de Bernoulli no es otra cosa que el principio de Conservación de la

Energía. Cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de Energía

o la capacidad de producir trabajo:

z = Energía de posición o potencial o carga de posición.

= Energía de presión o piezométrica o carga de presión.

= Energía cinética o carga de velocidad



Significado de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli

- Primer Término: (z)

Es una cota, o sea la distancia de un plano “P” a un cuerpo “M”.

Imaginemos que el cuerpo tiene una masa “M” y un peso “W”. Por su posición

respecto a “P” este cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición

primitiva a “P”. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar

un cuerpo al pasar de una posición en su plano a otro plano, tenemos:

Ep = W z

Cuando:

W = 1, ya sea un kilogramo o una libra; la energía de posición del cuerpo es “z”

“z” = Es la energía de posición de un kilogramo o una libra de agua.

Ep = z = Energía potencial o de posición por unidad de peso.

- Segundo Término: (V2/2g)



Supongamos un cuerpo cuyo peso es “W” y de masa “m”, animado de una

velocidad “V”, que desliza sin frotamiento sobre un plano. Por el principio de inercia

sabemos que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su

movimiento; entonces la energía cinética, o sea la capacidad que tiene el cuerpo

para dar trabajo, estará medida por la relación:

Ec=mV 2

2 Como m = W/g; sustituyendo en la fórmula anterior:

Ec=WgV 2

2Cuando W = 1 (kg o lb) la energía cinética es:

Esto nos dice que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la

energía cinética que posee cada kilogramo o libra de líquido, por esto se le llama

carga de velocidad.


Ec=V 2

2g


- Tercer Término: (P/)

Imaginemos un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua

La llave “A” está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza “F” que ejerce

compresión sobre el líquido, por lo que está sometido a una presión que llamaremos

“p” y que es igual a: p = F/S.

Si se deja actuar a la fuerza “F” indefinidamente, el líquido será sometido a la

presión “p”, si abrimos la llave “A”, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo

al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía, que es lo que le

da el trabajo producido por “F”. Llamando “L” a la distancia que recorre el émbolo

para expulsar el agua del cilindro, la energía que pueda poseer el líquido por la

acción de “F” vale:

Ep = F L ; pero F = p S

Ep = p S L ; pero S L =

Ep = p

Pero también:

,

Luego:

Ep = ;

Cuando W = 1 (kg o lb)



E p=pγ

Esta última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior pero es cómodo

considerarla como poseída por aquel.

DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES

1. Definición

Fluido Real

Los Fluidos Reales son aquellos fluidos que presentan viscosidad y es la principal característica que hace que se diferencien de los Fluidos Ideales; es decir presentan u rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre los filetes hidráulicos.

A la vez la viscosidad es una especie de rozamiento interno en los fluidos tanto en los líquidos como en los gases, solo que en los líquidos es mucho más resaltante la viscosidad que en los gases.

No debemos olvidar que un fluido con viscosidad es llamado también Fluido Newtoniano, en la cual cumple con la Ley de Newton de los Fluidos

Viscosidad

Propiedad de un fluido que tiende a oponerse a su flujo cuando se le aplica una fuerza. Los fluidos de alta viscosidad presentan una cierta resistencia a fluir; los fluidos de baja viscosidad fluyen con facilidad.

La fuerza con la que una capa de fluido en movimiento arrastra consigo a las capas adyacentes de fluido determina su viscosidad, que se mide con un recipiente (viscosímetro) que tiene un orificio de tamaño conocido en el fondo.

La velocidad con la que el fluido sale por el orificio es una medida de su viscosidad



1.1. ECUACIÓN ANALÍTICA PARA LOS FLUIDOS RELAES:

Para la Demostración analítica de la Ecuación que exprese a los Fluidos Reales para su respectiva aplicación en los problemas debemos conocer:

1.1.1. TEOREMA DE BERNOULLI

W=F . ΔxW=F1 . Δx1−F2 . Δx2

F1Δx1−F2 Δx2=(Ek 2−Ek

1)+(EPg

2−EPg

1)

F1Δx 1−F2Δx 2=(12m .( v2)

2−12m( v1 )

2)+(m .g .Z2−m .g . Z1 )

P1 A1Δx 1−P2 A2 Δx2=(12m . (v2)

2−12m( v1)

2)+(m .g . Z2−m . g .Z1)

P1 . ΔV 1−P2 . ΔV 2=(12ρ . ΔV 2.(V 2)

2−12

. ρ . ΔV 1.(V 1)2 )+( ρ . ΔV 2. g .Z2− ρ . ΔV 1 .g . Z1 )

P1 ΔV 1+12ρΔV 1(V 1)

2+ ρΔV 1 . g .Z1=P2ΔV 2+12ρΔV 2(V 2)

2+ρΔV 2 .g . Z2

P1+12ρ .(V 1 )

2+ρ .g .Z1=P2+12ρ .(V 2 )

2+ρ .g .Z2

P1+12γg

.(V 1 )2+γg

.g .Z1=P2+12γg

.(V 2 )2+γg

.g . Z2

P1+12γg

.(V 1 )2+γ .Z1=P2+

12γg

.(V 2)2+γ . .Z2 . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. .( /γ )

P1

γ+

12g

.(V 1 )2+Z1=

P2

γ+

12g

.(V 2)2+Z2



Z1+p1

γ+V 1

2

2g=Z2+

p2

γ+V 2

2

2g………………… (a1)Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal

incompresible. Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y los

tres términos se refieren a energía utilizable.

DEMOSTRACION DE: CADA TERMINO TIENE UNIDADES DE ENERGIA POR UNIDAD DE

PESO

EW= y=mgy

mg=energia potencial gravitatoria

peso

EW=V 2

2g=

12mV 2

mg=

energia cineticapeso

EW=Pγ=

FAρg

=F

Am∀ g

=F .∀Amg

=F . A . ΔxAmg

=F . Δxmg

=energíapeso

De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término adicional en función del esfuerzo cortante” ” que representaría la energía por unidad de peso, empleado para vencer las fuerzas de fricción.

Este término, por razones de orden práctico se puede expresar e interpretar del modo que sigue

Z1+p1

γ+V 1

2

2g=Z2+

p2

γ+V 2

2

2g+h p1−2 …………. (a2)

Donde : pérdida de energía por unidad de peso.

Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La energía total por unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de peso en (2) más la pérdida de la energía producida desde (1) hasta (2)”



Para una tubería se puede considerar:

1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la tubería.

2. Que, los valores de z, p y son los representativos de cada sección.

3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo de las

velocidades en la sección.

4. Que, consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor representativo de

estas velocidades, el valor medio (velocidad media); debiendo, en consecuencia

reemplazar:

Reemplazando en (a2)

Z1+p1

γ+α1

V 12

2g=Z2+

p2

γ+α 2

V 22

2 g+hp1−2 ….. (a3)



Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso bajo campo

gravitacional; donde las presiones como las velocidades en las secciones (1) y (2)

son las medias.

2. Potencia de una corriente líquida:

Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que puede concebirse formado por filetes rectos o de suave curvatura

Sea:

La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto a

un plano de referencia (m, kg-m/kg).

= representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad

de tiempo (kg/seg).

= representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de

la corriente con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la

sección.



Por eso:

A. Expresión del coeficiente de Coriolis:

- La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente

es:

………………………(a4)

Sabiendo que :

H =(Suma de Bernoulli) Energía total respecto del plano de referencia, en m = peso específico del líquido. Q = vds = gasto en la sección considerada.P = potencia del líquido.La potencia total de toda la corriente será:

La potencia total de toda la corriente será:

……………………… (a6)

- La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la

velocidad media será:

……………………………………… (a7)

(a6) = (a7)



Para el caso de los líquidos; = cte.

Pero:

Multiplicando el numerador y el denominador por

……………………….. (a8)



Donde:

= Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la

Energía Cinética

3. Principio de la cantidad de movimiento aplicado a las corrientes líquidas

p⃗=m v⃗p⃗=ρ∀ v⃗d p⃗=ρ v⃗ d∀d p⃗=ρ v⃗ dsdLd p⃗dt

=ρ v⃗ dsdLdt

d p⃗dt

=( ρ v⃗ ) v⃗ d s⃗



v⃗⋅d s⃗=vdscos αv⃗⋅d s⃗=vdscos (180° )v⃗1⋅d s⃗=−v1ds1

v⃗2⋅d s⃗2=v2 ds2cos (0 ° )v⃗2⋅d s⃗=v2ds

F⃗=−ρ∫s 1

n̂1v12 v1dS1+ρ∫S2

n̂2 v2v2 dS2

Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave

curvatura.

Luego:

; ordenando:

…………………. (a9)

Pero:

En general,

O, en particular:



En la Ec. (a9), multiplicando el numerador y al denominador por y

, respectivamente tenemos:

Donde:

= Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la Cantidad de Movimiento

Para el caso de líquidos:

RELACIÓN ENTRE Y :

Sea:



De la figura superior, reemplazando:

El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V, son

de signos positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría de la

sección, entonces se cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero, quedando:

La reducción del primer término es 1,

Entonces:

Luego:

………………(a10)

Además, se sabe que:



Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término del

segundo miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero, quedando:

…………………(a11)

De (a10) y (a11) :

……………………(a12)

4. Aplicaciones de la ecuación de la energía

Bomba: Es aquella turbo máquina que se emplea para entregar energía a un flujo (fluido en movimiento). La bomba generalmente eleva la presión de un fluido en movimiento, es decir, por un lado entra el fluido a cualquier presión y por el otro lado sale a una presión superior y constante. Ahora vamos a aplicar la “ECUACIÓN DE ENERGIA “a un sistema o volumen de control (porque coinciden en el instante de análisis donde existe una bomba.



Consideraciones:- Flujo adiabático y no viscoso- Flujo permanente y unidimensional- Flujo uniforme en la entrada y la salida

Bajo tales consideraciones la ecuación de energía se trans. Forma en la ecuación (α), donde:

−1gm

dW sdt

= 1gm.dW sdt

W B: trabajode la bomba(nótesequees negativo).

−1gm

dW sdt

=−1gm.(−dW Bdt )= 1

gm

dW Bdt

=1g

WBm

=H B

ℜemplazando y acomodando en(α):

P1

γ+V 1

2

2 g+Z1+H B=

P2

γ+V 2

2

2 g+Z2+hp1−2

Turbina: Es aquella turbo máquina que se emplea para extraer energía a un flujo. Cuando un fluido en movimiento atraviesa una turbina, la presión en dicho flujo decrece o disminuye. Ahora, apliquemos “LA ECUACION DE ENERGIA” a un sistema o volumen de control en donde existe una turbina Considerando:

- Flujos adiabático y no viscoso


ALTURA DE BOMBA

Pérdidas de 1 a 2 (se añade porque es lo

real)


- Flujos permanente y unidimensional- Flujos uniforme en las secciones de entrada y salida

Bajo tales condiciones la ecuación de energía se transforma en la ecuación (α ), donde:

−1gm

dW sdt

=−1gm.dW Tdt

=−1gmW T=

−W T

g=−HT

W T : trabajo de laturbina (nóteseque es positivo).En (α ) :

−HT=−(V 12

2g+Z1+

P1

γ )+(V 22

2 g+Z2+

P2

γ )Acomodando y añadiendo hp1−2(α):

P1

γ+V 1

2g+Z1+HT=

P2

γ+V 2

2

2 g+Z2+hp1−2

Observaciones:Tanto para la bomba como para la turbina se considera las perdidas hp 1-2, a pesar que el flujo es permanente, ello se realiza por acercar más tales ecuaciones a la realidad

4.1.Tubería que conecta dos depósitos o descarga entre dos depósitos


ALTURA DE BOMBA

Pérdidas de 1 a 2 (se añade porque es lo

real)


(PA=PB= Presión atmosférica, igual a cero, trabajando con presiones relativas)

………………………….. (a13)

Donde:

………... (a14)

Es decir la pérdida de carga desde A hasta B, será la suma de las pérdidas de carga

debida a la fricción, más las pérdidas de cargas localizadas e igual al desnivel de las

superficies libres de agua de los estanques o carga estática “H”, es decir:

De (a13) y (a14):

……………………. (a15)



4.2.Tubería que conecta dos depósitos mediante una instalación de bombeo

Donde: = Altura dinámica total o carga neta que el agua recibe de la

bomba.

H = Altura Estática a carga estática.

B

LA

h= Pérdidas de cargas localizadas desde hasta es decir de la

tubería de succión y de la tubería de impulsión.

= Perdidas de cargas por fricción desde hasta es decir las

producidas en la tubería de succión y en la de impulsión.



A.POTENCIA NETA O POTENCIA ÚTIL DE LA BOMBA

B. POTENCIA BRUTA O POTENCIA ENTREGADA

P BRUTA = P UTIL + P PÉRDIDA



4.3.Tubería que conecta dos depósitos mediante una turbina

Donde: HT = Altura o carga neta que la turbina recibe del agua.

H = Altura o carga estática.

B

LA

h= Pérdidas de cargas localizadas desde hasta .

= Perdidas de cargas por fricción desde hasta .



POTENCIA NETA O POTENCIA ÚTIL DE LA TURBINA.

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema N°01

El tubo horizontal de la figura, tiene un área transversal de 40 cm2 en la parte más ancha y de 10cm2 en la parte angosta, Fluye agua en el tubo, cuyo caudal es de Q=6L /s , calcular:a) La rapidez del fluido en la parte ancha y angosta; b) La diferencia de presión en estas porciones;c) La diferencia de altura h entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U. (la densidad del mercurio es de 13600kg /m3)



Calcular:

V 1 ,V 2=?

P1−P2=?

h=?

Operación

a) Calculamos el caudal y la rapidez del fluido

Q=A1V 1=A2V 2

QA1

=V 1

V 1=6×10−3

40×10−4

V 1=1.5ms

Q=A2V 2

V 2=QA2

V 2=6×10−3

10×10−4

V 2=6.0ms

b) La diferencia de presiones



Utilizaremos la Ec. De Bernoulli:

P1+12ρ . ν1

2+ ρ .g . y1=P2+12ρ . ν2

2+ ρ. g . y2

P1−P2=12ρ. ν2

2−12ρ. ν1

2

P1−P2=12

(1000 )(62−1.52)

P1−P2=16875 Pa

c) Hallando la altura h

Por principio de pascal

PA=PB

P1+ρH2O . g .h1=P2+ ρH 2O . g . h2+ρHg . g . h

P1−P2=ρH 2O . g .(h¿¿2−h1)+ρHg . g . h¿

h2−h1=−h

P1−P2=−ρH 2O . g . h+ρHg . g . h

P1−P2= ρHg . g . h−ρH2O . g .h

P1−P2=g .h( ρHg−ρH 2O)

h=P1−P2

g .( ρHg− ρH 2O)

h= 16875 Pa9.8(13600−1000)


H1

H2

A B


h=0.14m

h=14cm

Problema N°02

El agua de un gran depósito, como se muestra en la figura, tiene su superficie libre sometida a una presión manométrica de 0.35 kgf /cm2. El agua es expulsada y bombeada en forma de chorro libre mediante una boquilla.Para los datos dados, cuál es la potencia en hp.

Solución:

Datos

P1=0.35 kgf /cm2

Fluido: Agua

d tubería=15cm

d Boquilla=7.5cm



Z1=Z2=1.5m

Z3=7.5m

v1=0

P1=P3=Patmosférica=0

hP=0

Análisis

Tomaremos dos volúmenes de control, los cuales lo indicaremos indirectamente al mencionar entre qué puntos.

Formulas

Ecuación de la energía

P1

γ+V 1

2

2g+Z1+H B=

P2

γ+V 2

2

2g+Z2+hp

Ecuación de Bernoulli

P2

γ+V 2

2

2g+Z2=

P3

γ+V 3

2

2 g+Z3

CaudalQ=v2 A2

Potencia de la bomba

Pot=γQ HB

76

Desarrollo

a) Calculamos la carga de velocidad en el tramo 2-3

V 3=V 2cos 45 ° (Velocidad en el punto más alto)

Utilizaremos la Ec. De Bernoulli:

P2

γ+V 2

2

2g+Z2=

P3

γ+V 3

2

2 g+Z3



V 22

2g+Z2=

V 22 .cos2 45 °

2g+Z3→

V 22

2g=Z3−Z2

1−cos2 45 °= 6m

1−12

=12m

V 22

2g=12m…………(1)

b) Calculamos la altura de la Bomba en el tramo 1-2Utilizaremos la ecuación de la energía:

P1

γ+V 1

2

2g+Z1+H B=

P2

γ+V 2

2

2g+Z2+hp

P1

γ+Z1+H B=

V 22

2g+Z2

0.35×104 kgf /m2

1000 kgf /m3 +1.5m+HB=V 2

2

2 g+1.5m

HB=V 2

2

2g−3.5m………….(2)

Reemplazando la ecuación (1) en (2) tenemos:

HB=V 2

2

2g−3.5m=12m−3.5m=8.5m

HB=8.5m…………(3)

a) Hallamos el caudal en el punto 2:

Q=v2 A2

Q=√12×2×g×π4×d2

Q=√12×2×9.81×π4×(0.075)2=0.068m3/seg

b) Hallamos la potencia de la Bomba:



Pot=γQ HB

76

Pot=1000×0.068×8.576

=7.6HP

Pot=7.6HP

Problema N°03

A través de la turbina de la Figura mostrada circulan 0.22m3/seg de agua y las presiones en A y B son iguales, respectivamente, a 1.50kg /cm2 y -0.35kg /cm2. Determinar la potencia en CV comunicada por la corriente de agua a la bomba

Solución:

Datos

Q=0.22m3/ seg

PA=1.50kg /cm2

PB=−0.35kg /cm2

DA=30cm

DB=60cm

ZA=1m

ZB=0

hP=0

Análisis



Formulas

Ecuación de la energía

P Aγ+V A

2

2g+Z A=HT+

PBγ+V B

2

2 g+ZB+hp

CaudalQ=vA

Potencia de la bomba

Pot=γQ HT

75

Desarrollo

a) Hallamos las velocidades en el punto A y B respectivamente:

Q=V A A→V A=QA

V A=0.22

π4(302)(10−4)

=3.11m /seg

V A=3.11m /seg

Q=V BB→V B=QB

V B=0.22

π4(602)(10−4)

=0.78m / seg

V B=0.78m /seg

b) Calculamos la altura de la turbina:Utilizaremos la ecuación de la energía:

P Aγ+V A

2

2g+Z A=HT+

PBγ+V B

2

2 g+ZB+hp

1.5×104

1000+ 3.112

2 g+1=HT+

−0.35×104

1000+ 0.782

2 g

HT=20m



c) Hallamos la potencia de la Bomba:

Pot=γQ HB

75

Pot=1000×0.22×2075

=59CV

Pot=59CV

Problema N°04

La figura muestra un tanque de agua con una válvula en el fondo. Si ésta válvula se abre, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por el chorro de agua que salga del lado derecho del tanque? Suponga que h=10.0m, L=2.00m, y θ=30° y que el área de sección transversal en A es muy grande en comparación con la que hay en B.

Dato:

h=10m

L=2m

θ=30°

A>b

h ´=??



Aplicamos la ecuación de Bernoulli en los puntos (1) y (2)

p1+ρg y1+12ρ v1

2=p2+ρg y2+12ρ v2

2

P1=P2=P0(P. ATMOSFERICA)

Y 1=h;Y 2=L∗sin (θ ) ;V 1=0

ρgh= ρgLsin(θ)+ 12ρ v2

2

gh=gL sin(θ)+ 12v2

2

v22=2g (h−L sin (θ ))

v2=√2g(h−L sin (θ ))

V 2=√2.98¿¿

V 2=13.28ms

Trabajamos en el eje y

V OY=V 2 sin(30 °)

V OY=13.28sin(30 °)

V OY=6.64m/ s

V FY2 =V 0Y

2 −2gh ´

0=V 0Y2 −2gh ´

h ´=V 0Y

2

2 g

h ´=¿¿



h ´=¿ 2.25 m.

Problema N°05

La vía para agua que se muestra a continuación tiene una anchura de 3m normal al plano de la figura. Determina la fuerza horizontal que actúa sobre la estructura sombreada. Supóngase flujo ideal.(mecanica de fluidos con aplicaciones a la ingenieria de Josep B.Franzini.yE.JohnFinnemore. Pag.120).

1. Dato del problema:

- Ancho=3m- Altura 1 =2m- Altura 2= 1m

2. Aplicación de teoría y deducción de formulas

- Ecuación de Bernoulli

Z1+p1

γ+V 1

2

2g=Z2+

p2

γ+V 2

2

2g

- Ecuación de continuidad



Q1=Q2

Q1=A1V 1

Q2=A2V 2

A1V 1=A2V 2

- Ecuación de la cantidad de movimiento para flujo permanente

F⃗=ρ V⃗ Q

Solución del problema

- Aplicamos la ecuación de Bernoulli para calcular las velocidades

Z1=2m

Z2=1m

P1=P2=Patm=0

Z1+p1

γ+V 1

2

2g=Z2+

p2

γ+V 2

2

2g

2+V 1

2

2g=1+

V 22

2g

1=V 2

2

2g−V 1

2

2 g

2g=V 22−V 1

2……………………………(1)- Aplicamos la ecuación de continuidad

A1=(2×3)=6m2

A2=(1×3)=3m2



A1V 1=A2V 2

6m2V 1=3m2V 2

2V 1=V 2 ……………………………(2)

- Reemplazamos la ecuación 2 en 1

2g=V 22−V 1

2

2g=(2V 1 )2−V 1

2

2g=(4V 12 )−V 1

2

2g=3V 12

V 1=√ 23(g)V 2=2×√ 2

3(g)

- Calculamos el caudal

Q1=A1V 1

Q1=6×√ 23(g)

Q1=Q2=6×√ 23(g)

- Calculamos la fuerza horizontal que actúa en la estructura, aplicando la ecuación de cantidad de movimiento.

F⃗=ρ V⃗ QF1=ρghc A1F2=ρghc A2

F1=ρg(1m)(6m¿¿2)F2=ρg(0.5m)(3m¿¿2)¿¿



∑ F⃗ X=ρQ (∆ V⃗ )= ρQ(V 2−V 1)

F1−F2−F=ρQ (V 2−V 1)

F1−F2− ρQ (V 2X−V 1 X)=F

ρg(1m)(6m¿¿2)−ρg(0.5m)(3m¿¿2)¿¿ - ρ(6 x√ 23

(g ))(√ 23

(g ))=Fρg(6m¿¿3)− ρg(1.5m¿¿3)−pg (4m3)=F ¿¿

ρg(6m¿¿3−1.5m3−4m3)=F ¿

1000kg

m3×9.81

m

s2×0.5m3=F

4905kg∗ms2

=F

4905N=F

Respuesta: La fuerza horizontal F que actúa sobre la estructura es: 4905N


grupo n°03 - fluidos i (2015)

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