7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 1/8

Grupo (matemática)

Las posibles manipulaciones del  Cubo de Rubik  forman un gru- po.

En álgebra abstracta, un  grupo es una estructura alge-braica que consta de un conjunto con una operación quecombina cualquier pareja de sus elementos para formarun tercer elemento. Para que se pueda calificar como ungrupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algu-nas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condi-ciones son: tener la propiedad asociativa, tener elementoidentidad y  elemento simétrico. Mientras que estas ca-racterísticas son familiares a muchas estructuras mate-máticas, como los diferentes sistemas de números (porejemplo los enteros provistos de la operación de adiciónforman una estructura de grupo), la formulación de losaxiomas o postulados se separa de la naturaleza concreta

del grupo y su funcionamiento. Esto favorece, en álgebraabstracta y en otras diversas disciplinas, trabajar con ob-jetos de génesis matemáticas muy diferentes de una ma-nera flexible y dinámica, mientras se conservan aspectosde sistema fundamentales de muchos objetos. La apari-ción de losgruposen numerosas áreas (tanto dentro comofuera de las matemáticas) los convierte en un principiocentral en torno al cual se perfilan y se establecen las ma-temáticas contemporáneas.[1][2]

Los grupos comparten un parentesco fundamental con lanoción de simetría. Un grupo de simetría codifica las ca-racterísticas de simetría de un objeto geométrico: consis-

te en el conjunto de transformaciones que dejan inalte-rado el objeto, y la operación de combinar dos de estastransformaciones realizando una tras otra. Tales grupos

de simetría, especialmente los grupos de Lie continuos,tienen un papel importante en muchas disciplinas comola topología. Los grupos de matrices, porejemplo, se pue-den utilizar para entender las leyes físicas fundamentalesen que se basan la relatividad y los fenómenos de simetríaen la química molecular.

El concepto de un grupo surgió del estudio de ecuacionesalgebraicas en una incógnita, comenzando con ÉvaristeGalois durante los años 1830. Después de contribucionesdesde otros campos como la teoría de números y la geo-

metría, la noción de grupo se generalizó y se estableciófirmemente alrededor de 1870. La moderna teoríade gru-pos (una disciplina matemática muy activa) estudia losgrupos en sí.[nota 1] Con el fin de explorar los grupos, losmatemáticoshan ideado diversas nociones con tal de divi-dir grupos en subsistemas más pequeños, más comprensi-bles, como subgrupos, grupos cociente y grupos simples.Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de losgrupos también estudian las maneras en que un grupo sepuede expresar en forma concreta (sus representacionesde grupo), tanto desde un punto de vista teórico comode un punto de vista computacional. Una teoría especial-

mente rica fue desarrollada para grupos finitos y culminócon la clasificación de los grupos simples finitos comple-tada en 1983.[nota 2] Asimismo, desde mediados de 1980,la teoría de grupos geométricos, que estudia los grupos degeneración finita como objetos geométricos, se ha con-vertido en un área particularmente activa en la ampliateoría de grupos.

1 Definición e ilustración

1.1 Primer ejemplo: números enteros

Uno de los grupos más familiares es el conjunto de losnúmeros enteros «Z» que consiste en los números:

..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...[3]

Las propiedades de la adición de enteros sirven como mo-delo para los axiomas de grupo abstractos que se dan enla definición más abajo.

1. Para cualquier par de enteros a y b, la suma a + b estambién un entero. En otras palabras, el proceso de

adición de dos enteros a la vez nunca puede producirun resultado que no sea un entero. Esta propiedad seconoce como clausura respecto la adición.

1

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 2/8

2   2 NOTACIÓN 

2. Para todos los enteros a, b  y  c , (a + b) + c = a +(b + c). Expresado en palabras, sumando primeroa y  b, y entonces sumando el resultado con c da elmismo resultado final que sumando  a  junto con elresultado de sumar b y c , esta propiedad se conocecomo propiedad asociativa.

3. Si es un entero cualquiera, entonces 0 + a = a + 0= a. Del cero se deduce el elemento identidad de laadición puesto que al sumarse a cualquier entero dael mismo entero.

4. Para cada entero a, hay un entero b tal que a + b = b+ a = 0. El entero b se denomina elemento simétricodel entero a y se expresa como -a.

Los enteros, junto con la operación «+», forman un obje-to matemático que pertenece a una clase vasta en la que

hay otros objetos que comparten aspectos estructuralessimilares. Para entender apropiadamente estas estructu-ras sin tratar con cada caso concreto por separado, sedesarrolla la definición abstracta siguiente que incluye elejemplo citado junto con muchos otros, uno de los cualeses el grupo de simetría detallado más abajo.

1.2 Definición

Un grupo es un par ordenado compuesto por un conjunto,G  y operación binaria cerrada en ''G'' «•» que componedos elementos cualesquiera a y b de G  para formar otroelemento notado como a • b o ab. Para poder calificar co-mo un grupo a (G, •), deben satisfacer cuatro axiomas:[4]

Cerradura o Clausura

Para todo a, b  de G , el resultado de la operacióna • b también pertenece a G .

∀a, b ∈  G   :   a · b ∈  G

Asociatividad

Para todos a, b y c  de G , se cumple la ecuación(a • b) • c = a • (b • c) .

Elemento neutro

Existe un elemento e de G , tal que para todoslos elementos  a de  G , se cumpla la ecuacióne • a = a • e = a . El elemento de identidadde un grupo G  se escribe a menudo como 1 o1G,[5] una notación heredada de la identidadmultiplicativa.

∃e ∀a ∈  G  :

  a · e  =

 e · a =

 a

Elemento inverso

Para todo a de G , existe un elemento b de G  talque a • b = b • a = e .

∀a ∈  G  ∃a−1 :   a · a−1 = a−1 · a   = e

El orden enelque sehace la operación degrupo puede ser

significativo. En otras palabras, el resultado de operar elelemento a con el elemento b no debe dar necesariamenteel mismo que operando b con a; la ecuación

a • b = b • a

puede no ser siempre cierta. Esta ecuación siempre secumple en el grupo de enteros con la adición: a + b = b +a para dos enteros cualesquiera (propiedad conmutativade la adición). Sin embargo, este grupo de simetría nosiempre se cumple como se especificará más abajo. Losgrupos para los cuales la ecuación a • b = b • a se cumple

siempre se denominan abelianos (en honor a Niels Abel).Así, el grupo de los enteros con la adición es abeliano,pero el grupo de simetría siguiente no lo es.

1.3 Segundo ejemplo: un grupo de sime-

tría

Las simetrías (esdecir, las rotaciones y las reflexiones) deun cuadrado forman un grupo llamado diédrico, y se ex-presa como D4. Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estasson:

•  La operación identidad que lo deja todo como esta-ba, se expresa como id .

•  Rotaciones del cuadrado de 90°, 180 ° y 270 ° a laderecha, expresadascon r 1 , r 2 y r 3, respectivamente.

•  Reflexiones respecto a los ejes vertical y horizontal(fᵥ y f), o respecto de las dos diagonales (f y f).

2 Notación

Es frecuente utilizar a la hora de definir grupos dos nota-ciones:

•  La notación multiplicativa.

•  Operación: *, llamada producto. También es-crita como " · "

•  Elemento neutro: 1.

•  Elemento inverso: x−1 .

•  Como en la multiplicación normal, el signo  ·puede en muchas ocasiones no ser escrito, es

decir a · b =

 ab .

•  La notación aditiva.

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 3/8

3

•  Operación: +, llamada suma.

•  Elemento neutro: 0.

•  Elemento opuesto de un elemento x del grupo:-x.

Históricamente la terminología multiplicativa precedió ala aditiva. La operación de grupo no es necesariamenteuna adición o una multiplicación en el sentido que nosresulta familiar en la aritmética elemental. Por ejemplo,una operación de grupo puede ser una sustitución o unarotación. Cualquier conjunto de elementos y una opera-ción que a dos elementos asocie una tercera en el con-junto, puede ser un grupo si cumple con las condicio-nes o propiedades de grupo pedidas. Sus elementos noson siempre números en el sentido ordinario de la arit-mética elemental. Asimismo en algunos casos puede sermás cómodo utilizar alguna de las dos notaciones y en

otros resulta indiferente. Es posible que se utilicen indis-tintamente, siempre y cuando esto no mueva a confusión.Cuando se trata de las operaciones familiares de suma ymultiplicación, es impropio usar una notación opuesta ala operación.

3 Tipos de grupos

•   Grupo abeliano   (o conmutativo). Se denominagrupo conmutativo o abeliano a aquel grupo que ve-rifica la Propiedad conmutativa, es decir  a   ·  b   =

b · a ∀a, b ∈  G

•   Grupo abeliano con torsión  Definición detorsión: Diremos que un elemento a  ∈  A po-see torsión o, que es de torsión, si para algúnn  ∈  N, an = 1 . Si a es de torsión, entoncesel menor número natural n con la propiedadan = 1 , coincide con el orden de a. Defini-ción de grupo abeliano con torsión: Un grupoabeliano A se dice con torsión si es igual a 0o si posee elementos no nulos de torsión.

•   Grupo abeliano de torsión. Un grupo abe-

liano A se dice de torsión si todo elemento deA es de torsión.

•  Grupo finito. Es un grupo con un número finito deelementos.

•   Grupo de Lie. Es un grupo que además tiene es-tructura de variedad diferenciable.

•   Grupo cíclico. Es un grupo conmutativo, finito oinfinito, que puede ser generado por multiplicaciónreiterada de un sólo elemento.

•  Grupo libre.

•  Grupos de Klein.

4 Ejemplos

•  La suma define estructura de grupo conmutativo enel conjunto de los números enteros (  Z  ), en el delos números racionales ( Q ), en los números reales( R ) y en los números complejos (C ). Los vectoreslibres del espacio, con la suma de vectores, formanun grupo conmutativo. La suma de matrices defineuna estructura de grupo conmutativo en las matri-ces con coeficientes reales (digamos) con un núme-ro de columnasy filas prefijado. Las funciones realesde variable real, con la suma de funciones, tambiénforman un grupo conmutativo, al igual que las suce-siones de números reales con la suma de sucesiones.

•  El producto define estructura de grupo conmutati-vo en los números racionales no nulos, los númerosreales positivos, los números complejos de módulo

1, etc.

•  Las matrices cuadradas de n columnas con coefi-cientes reales y determinante distinto de cero for-man un grupo con el producto de matrices, grupoque no es conmutativo cuando n>1.

Otros ejemplos de grupos no conmutativos se obtienenal considerar grupos de transformaciones, donde la ope-ración es la composición de aplicaciones y el elementoneutro es la identidad:

•  El grupo de los movimientos del espacio o grupo deisometría del espacio euclídeo, el grupo delas seme-janzas del plano o el grupo de las afinidades de unarecta (las aplicaciones de la forma x-->ax+b con adistinto de cero).

•  El grupo de Galileo, formado por las transformacio-nes del espacio y el tiempo que conservan los siste-mas de referencia inerciales).

•  El grupo de Lorentz de la teoría de la relatividad,etc.

•  El grupo de Poincaré de la teoría de campos cuánti-cos y clásicos, etc.

Todos estos últimos ejemplos lo son del concepto deGrupo de Lie, que son los grupos definidos por opera-ciones continuas sobre curvas superficies o variedades dedimensión mayor.

La importancia crucial de la teoría de grupos tan-to en   Física   como en   Matemática   radica en que losisomorfismos de cualquier estructura, de cualquier teo-ría, forman siempre un grupo y que, en los casos más im-portantes, los grupos están clasificados: se conocen listas

que agotan todos los que hay. La clasificación de los gru-pos de Lie, llevada a cabo esencialmente por Élie Cartan,es un punto culminante de la matemática europea, sólo

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 4/8

4   9 FUENTES 

comparable a la construcción de los 5 poliedros regularesrealizada por la matemática griega. Al igual que ésta úl-tima es la determinación de todas las figuras geométricassimétricas posibles, la clasificación de grupos es la de-terminación de todas las posibles simetrías de cualquierestructura. Así, podemos conocer a priori  los grupos de

automorfismos de cualquier teoría geométrica. Además,de acuerdo con el Programa de Erlangen de Felix Klein,este grupo de automorfismos reconstruye la correspon-diente teoría geométrica.

Algo parecido sucede en Física, donde se ha descubier-to que el grupo de simetrías del lagrangiano de un siste-ma determina propiedades fundamentales asociadas a laspartículas elementales de dicho sistema. De hecho, aun-que aún no conozcamos las teorías físicas por venir, laclasificación de grupos de Lie ya nos proporciona la listade los posibles grupos de simetrías infinitesimales.

5 Curiosidades

Un grupo puede tener infinitos elementos, (como Z  conla suma, o los números reales no nulos con el producto) opor el contrario tener un número finito de éstos.

Dado un número natural n, los restos que se obtienen aldividir por n (es decir, los números 0, 1, ..., n - 1) formanun grupo, donde la suma a + b es precisamente el resto aldividir la suma ordinaria por n. Este grupo se denota conZ/nZ y se suele llamar grupo de enteros módulo n. Así, el

grupo Z/12Z es el que usamos para calcular con las horasde un reloj, y  Z/24Z si queremos distinguir las horas dela mañana de la tarde.

Además, en Z/nZ el conjunto de los números primos re-lativos con n (denotado (Z/nZ)*) forma un grupo cuandola operación  ab es el resto al dividir por  n el productousual. Sin embargo, se puede definir un grupo para otrosnúmeros aunque no sean primos. Por ejemplo, el grupo(Z/12Z)* el cual sólo tiene 4 elementos. ¿Por qué sólo4 elementos? Porque puesto que para ser un grupo, cadaelemento ha de tener un inverso. Si tomamos algún nú-mero que tenga algún factor común con 12, por ejemplo

el 10, éste no puede ser multiplicado por otro número deforma que el resto de la división entre 12 sea 1. Es decir,10 no tendría inverso. Así, sólo son elementos del grupo(Z/12Z) aquellos números coprimos con 12. Si n hubiesesido primo, todos los menores que él serían coprimos conél, excepto el cero, luego su grupo tendría n - 1 elementos.

Se dice que un grupo es  cíclico si verifica estar generadopor un solo elemento; es decir, supongamos que un con-junto A es grupo con respecto a una operación *. Si existeun elemento g en A tal que cualquier otro elemento de Ase obtiene operando g o su inverso g−1 reiteradamente:

A   = {...,g−r,...,g−1, g0 = 1, g1 = g, g2,...,gr,...}   = {gr|r ∈ Z},

entonces se dice que (A,*) es un grupo cíclico y que g es

un generador de A, lo cual se denota por A=< g>.

La clasificación de grupos cíclicos afirma que los finitosson isomorfos a Z/nZ, y los infinitos con Z.

6 Historia

La definición de grupo (G, *) usando: la asociatividad,la existencia de elemento neutro , de elemento inverso yla noción de operación binaria, fue formulada por F.G.Frobenius, por primera oportunidad en 1887, advirtien-do que los teoremas que los demostraba dependían úni-camente de los axiomas propuestos y sin que tener queacudir al aparato de los gruposde permutaciones, que em-pleaban sus antecesores Cauchy, Jordan y Sylow.[6]

7 Véase también

•  grupo cíclico.

•  grupo lineal.

•   grupo de Lie, grupo uniparamétrico.

8 Notas

[1] En Mathematical Reviews se publican 3 224 artículos deinvestigación sobre teoría de grupos y sus generalizacio-nes, escritos durante el año 2005.

[2] La clasificación fue anunciada en 1983, pero las diferen-cias se encontraron en la prueba. Véase el teorema de cla-sificación de grupos simples para más información.

9 Fuentes

9.1 Referencias

[1] (Herstein, 1975, p. §2, p. 26)

[2] (Hall, 1967, p. §1.1, p. 1)

[3] (Lang, 2005, p. Apéndice 2, p. 360)

[4] (Herstein, 1975, p. §2, p. 27)

[5] Weisstein, Eric W. "Identity Element"; extraído de Math-World.

[6]  Introducción a la Teoría de Grupos ( 2009) Zaldívar, Fe-lipe ISBN 978-968-36-3591-4 y otros; pág. 17

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 5/8

9.2 Bibliografía   5

9.2 Bibliografía

9.2.1 Referencias generales

•  Artin, Michael   (1991),   Algebra,   Prentice Hall,ISBN 978-0-89871-510-1, Chapter 2 contains an

undergraduate-level exposition of the notions cove-red in this article.

•  Devlin, Keith (2000),  The Language of Mathema-tics: Making the Invisible Visible, Owl Books, ISBN978-0-8050-7254-9, Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.

•  Hall, G. G. (1967),  Applied group theory, Ameri-can Elsevier Publishing Co., Inc., New York,  MR0219593, an elementary introduction.

•   Herstein, Israel Nathan   (1996),   Abstract algebra

(3rd edición), Upper Saddle River, NJ:PrenticeHallInc., ISBN 978-0-13-374562-7, MR 1375019.

•  Herstein, Israel Nathan (1975),  Topics in algebra(2nd edición), Lexington, Mass.: Xerox College Pu-blishing, MR 0356988.

•  Lang, Serge (2005),  Undergraduate Algebra  (3rdedición), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-22025-3.

•   Ledermann, Walter (1953),   Introduction to thetheory of finite groups, Oliver and Boyd, Edinburgh

and London, MR 0054593.

•  Ledermann, Walter (1973),  Introduction to grouptheory, New York:Barnes andNoble, OCLC795613.

•  Robinson, Derek John Scott (1996),  A course inthe theory of groups, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

9.2.2 Referencias especiales

•   Artin, Emil   (1998),   Galois Theory, New York:

Dover Publications, ISBN 978-0-486-62342-9.

•   Aschbacher, Michael  (2004),  «The Status of theClassification of the Finite Simple Groups» (PDF),Notices of the American Mathematical Society 51 (7):736-740.

•  Becchi, C. (1997),   Introduction to Gau- ge Theories, p. 5211,   arXiv:hep-ph/9705211,Bibcode:1997hep.ph....5211B.

•  Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, E.A. (2001), «The groups of order at most 2000»,

Electronic Research Announcements of the Ameri-can Mathematical Society 7: 1-4, doi:10.1090/S1079-6762-01-00087-7, MR 1826989.

•  Bishop, David H. L. (1993), Group theory and che-mistry, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.

•   Borel, Armand  (1991),   Linear algebraic groups,Graduate Texts in Mathematics 126  (2nd edición),

Berlin, NewYork: Springer-Verlag, ISBN978-0-387-97370-8, MR 1102012.

•  Carter, Roger W. (1989), Simple groups of Lie ty- pe, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50683-6.

•   Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf;Huson, Daniel H.;   Thurston, William P.  (2001),«On three-dimensional space groups», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 475-507, arXiv:math.MG/9911185, MR 1865535.

•   Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A.

(1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometryand Group Theory], Lecture Notes in Mathematics1441, Berlin, NewYork: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, MR 1075994.

•  Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002),  Uni-versal algebra and applications in theoretical compu-ter science, London: CRC Press, ISBN 978-1-58488-254-1.

•  Dudek, W.A. (2001), «On some old problems in n-ary groups», Quasigroups and Related Systems 8:15-36.

•  Frucht, R. (1939), «Herstellung von Graphen mitvorgegebener abstrakter Gruppe [Construction ofGraphs with Prescribed Group]», Compositio Mat-hematica 6: 239-50.

•   Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2ndedición), Reading, MA: Addison-Wesley Publis-hing, pp. 588-596, ISBN 0-201-02918-9.

•  Hatcher, Allen   (2002),   Algebraic topology,Cambridge University Press,   ISBN 978-0-521-79540-1.

•  Husain, Taqdir (1966),   Introduction to Topologi-cal Groups, Philadelphia: W.B. Saunders Company,ISBN 978-0-89874-193-3

•   Jahn, H.;   Teller, E.   (1937), «Stability of Pol-yatomic Molecules in Degenerate ElectronicStates. I. Orbital Degeneracy»,   Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathe-matical and Physical Sciences (1934-1990)   161

(905): 220-235,   Bibcode:1937RSPSA.161..220J,doi:10.1098/rspa.1937.0142.

•  Kuipers, Jack B. (1999),  Quaternions and rotation

sequences—A primer with applications to orbits, ae-rospace, and virtual reality,  Princeton UniversityPress, ISBN 978-0-691-05872-6, MR 1670862.

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 6/8

6   9 FUENTES 

•  Kuga, Michio (1993), Galois’ dream: group theoryand differential equations, Boston, MA: BirkhäuserBoston, ISBN 978-0-8176-3688-3, MR 1199112.

•   Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004),   Thetheory of finite groups, Universitext, Berlin, New

York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, MR2014408.

•  Lay, David (2003), Linear Algebra and Its Applica-tions, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-70970-4.

•   Mac Lane, Saunders  (1998),   Categories for theWorking Mathematician (2nd edición), Berlin, NewYork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.

•  Michler, Gerhard (2006),  Theory of finite simple groups, Cambridge University Press,  ISBN 978-0-521-86625-5.

•  Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Prince-ton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7

•  Mumford, David; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994),Geometric invariant theory 34 (3rd edición), Berlin,New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, MR 1304906.

•  Naber, Gregory L. (2003),  The geometry of Min-kowski spacetime, New York: Dover Publications,ISBN 978-0-486-43235-9, MR 2044239.

•  Romanowska, A.B.; Smith, J.D.H. (2002),  Modes,World Scientific, ISBN 978-981-02-4942-7.

•  Ronan, Mark (2007),  Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathema-tics, Oxford UniversityPress, ISBN 978-0-19-280723-6.

•   Rosen, Kenneth H. (2000),   Elementary number theory and its applications (4th edición), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, MR 1739433.

•  Rudin, Walter (1990), Fourier Analysis on Groups,WileyClassics, Wiley-Blackwell, ISBN0-471-52364-X.

•  Seress, Ákos (1997), «An introduction to compu-tational group theory», Notices of the American Mat-hematical Society 44 (6): 671-679, MR 1452069.

•   Serre, Jean-Pierre (1977), Linear representations of  finite groups, Berlin, New York: Springer-Verlag,ISBN 978-0-387-90190-9, MR 0450380.

•   Shatz, Stephen S. (1972), Profinite groups, arithme-tic, and geometry, Princeton University Press, ISBN978-0-691-08017-8, MR 0347778

•   Suzuki, Michio   (1951), «On the lattice of sub-

groups of finite groups»,   Transactions of theAmerican Mathematical Society   70   (2): 345-371,doi:10.2307/1990375, JSTOR 1990375.

•  Warner, Frank (1983), Foundations of Differentia-ble Manifolds and Lie Groups, Berlin, New York:Springer-Verlag,  ISBN 978-0-387-90894-6.

•  Weinberg, Steven (1972),  Gravitation and Cosmo-logy, New York: John Wiley & Sons,  ISBN 0-471-

92567-5.

•  Welsh, Dominic (1989),   Codes and cryptography,Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.

•  Weyl, Hermann (1952),  Symmetry, Princeton Uni-versity Press, ISBN 978-0-691-02374-8.

9.2.3 Referencias históricas

•   Borel, Armand   (2001),   Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups, Providence, R.I.:

American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0288-5

•   Cayley, Arthur   (1889),   The collected mathema-tical papers of Arthur Cayley, II (1851–1860),Cambridge University Press.

•  O'Connor, J.J; Robertson, E.F. (1996), The develop-ment of group theory.

•  Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representa-tion Theory: Frobenius, Burnside, Schur, and Brauer ,History of Mathematics, Providence, R.I.: Ameri-can Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5.

•   von Dyck, Walther   (1882), «Gruppentheo-retische Studien (Group-theoretical Stu-dies)»,   Mathematische Annalen   20   (1): 1-44,doi:10.1007/BF01443322.

•  Galois, Évariste   (1908), Tannery, Jules, ed.,Manuscrits de Évariste Galois [Évariste Galois’ Manuscripts], Paris: Gauthier-Villars (Galois workwas first published by Joseph Liouville in 1843).

•  Jordan, Camille (1870),  Traité des substitutions et des équations algébriques [Study of Substitutions and Algebraic Equations], Paris: Gauthier-Villars

•   Kleiner, Israel (1986), «The evolution of grouptheory: a brief survey»,  Mathematics Magazine  59

(4): 195-215, doi:10.2307/2690312, MR 863090.

•  Lie, Sophus   (1973),   Gesammelte Abhandlungen.Band 1 [Collected papers. Volume 1], New York:Johnson Reprint Corp., MR 0392459.

•  Mackey, George Whitelaw (1976),  The theory of unitary group representations, University of Chica-go Press, MR 0396826

•   Smith, David Eugene  (1906),  History of ModernMathematics, Mathematical Monographs, No. 1.

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 7/8

9.2 Bibliografía   7

•  Wussing, Hans (2007), The Genesis of the Abstract Group Concept: A Contribution to the History of theOrigin of Abstract Group Theory, New York: DoverPublications, ISBN 978-0-486-45868-7.

7/26/2019 Grupo (Matemática)

http://slidepdf.com/reader/full/grupo-matematica 8/8

8   10 ORIGEN DEL TEXTO Y LAS IMÁGENES, COLABORADORES Y LICENCIAS 

10 Origen del texto y las imágenes, colaboradores y licencias

10.1 Texto

•   Grupo (matemática) Fuente:  https://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_(matem%C3%A1tica)?oldid=91284302 Colaboradores:  Pino, Josea-perez, Fibonacci, Moriel, SpeedyGonzalez, Robbot, Sanbec, Isomorfismo, Zwobot, Sms, Elwikipedista, Tano4595, Dianai, Alonso deCelada, LeCire, Magister Mathematicae, RobotQuistnix, Yrbot, BOTijo, Landertxu, GermanX, Wewe, Santiperez, Banfield, Er Koman-dante, Carlos Alberto Carcagno, Juan Marquez, CEM-bot, Alexav8, Neoriddle, Marianov, Davius, Gafotas, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot,Malguzt, JAnDbot, Aalcocer, TXiKiBoT, Kenrych, AlnoktaBOT, Snakeyes, Synthebot,AlleborgoBot, MuroBot, Gerakibot, PaintBot, Dri-nibot, BOTarate, Mario Yañez, Tirithel, Dnu72, Juan Mayordomo, MastiBot, Sl, Ogai, Luckas-bot, Spirit-Black-Wikipedista, Jotterbot,Sfandino, Xqbot, BOTirithel, CVBOT, KamikazeBot, Pedro Lozano Barroso, EmausBot, ZéroBot, HRoestBot, Mentibot, ChuispastonBot,MerlIwBot, Julio grillo, MetroBot, Invadibot, Acratta, Legobot, Balles2601, JacobRodrigues, Yearco666, Villyvov y Anónimos: 47

10.2 Imágenes

•   Archivo:Group_D8_180.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Group_D8_180.svg  Licencia:  Public do-main Colaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_270.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Group_D8_270.svg  Licencia:  Public do-main Colaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_90.svg Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Group_D8_90.svg Licencia:  Public domainColaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_f13.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0c/Group_D8_f13.svg  Licencia:  Public do-main Colaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_f24.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a1/Group_D8_f24.svg   Licencia:   Public do-main Colaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_fh.svg Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Group_D8_fh.svg Licencia:  Public domainColaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_fv.svg Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Group_D8_fv.svg Licencia:  Public domainColaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Group_D8_id.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/Group_D8_id.svg Licencia:  Public domainColaboradores:  Trabajo propio Artista original:  TimothyRias

•   Archivo:Rubik’{}s_cube.svg  Fuente:  https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Rubik%27s_cube.svg   Licencia:  CC-BY-SA-3.0 Colaboradores:  Based on Image:Rubiks cube.jpg Artista original:  This image was created by me, Booyabazooka

10.3 Licencia del contenido

•   Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0