1

nal unitaria exterior

oD, es claro que irnos el signo de n ugar de la interior).

n 6.1)

de la componente nor-

gencia. En efecto,

ANÁLISIS VECTORIAL 357

EJERCICIOS

l. Encontrar el área del disco D de radio R usando el teorema de Oreen.

2. Evaluar k y dx -X dy, donde e es la frontera del cuadrado [ -1, 1] X [ -1, 1] orientado en dirección contraria al sentido en que se mueven las manecillas del reloj (usar el teorema de Oreen).

3. Mostrar, usando el teorema de la divergencia que Sto F · n = O, donde F(x, y) =

yi - xj y D es el disco unitario. Verificarlo directamente.

4. Verificar el teorema de Oreen para el disco D con centro en (0, O) y radio R y las funciones :

(a) P(x, y)= xy2, Q(x, y) = - yx2

(b) P(x, y )=x+y, Q(x,y)= y (e) P(x, y)= xy = Q(x, y)

5. Encontrar el área acotada por un arco de la cicloide x = a(B - sen 8), y = a(l - cos 8), a > O, o ~ e ~ 2n y el eje X (usar el teorema de Oreen).

6. Bajo las condiciones del teorema de Oreen, probar que

(a) LPQ dx + PQ dy = t [Q(~~- ~;) + P(~;- ~;) J dx dy

l. ( iJ P iJQ) ( iJQ iJ P) (b) •rD Q OX- p OX dx + p OJ- Q iJy dy

( azQ 0zp) =2J P-- -Q-- dxdy

D OXOy OXOy

7. Evaluar k (2x 3 - y 3) dx + (x 3 + y 3) dy, donde e es el círculo unitario, y verifi­

car en este caso el teorema de Oreen.

8. Probar la siguiente generalización del teorema de Oreen: sea D una región en el plano xy cuya frontera es un número finito de curvas cerradas simples, orientadas. Supóngase que mediante un número finito de segmentos de recta paralelos a los ejes coordenados, D puede descomponerse en un número finito de regiones D¡ del tipo 3 con la frontera de cada D¡ orientada contra el sen­tido en que se mueven las manecillas del reloj (ver fig. 7.1.7). Entonces, si P y Q son e 1 en D,

f ( ~º - ~p) dx dy = r p dx + Q dy D ux uy · e+

donde e+ es la frontera orientada de D. (SUGERENCIA: aplicar el teorema de Oreen a cada D¡.)

9. Verificar el teorema de Oreen para el integrando del ejercicio 7 (P = 2x 3 - y 3

,

Q = x 3 + y3) y la región anular D descrita por a ~ x 2 + y2 ~ b, con las fron­

teras orientadas como en la fig. 7.1.7.

10. Sea D una región para la cual se cumple el teorema de Oreen. Supóngase que f es armónica; esto es,

358 CÁLCULO VECTORIAL

Fig. 7.1.7. Teorema de Green aplicado a D = D1 u D2 u D3 u D4.

en D. Probar que

~

· of of 1 a dx- " dy =o '<' D Y !'X

D, D.,

/ D = D,UD, UD 3 UD.,

11. (a) Verificar el teorema de la divergencia para F = x i + yj y D el disco uni­tario x 2 + y2

::; l . (b) Evaluar la integral de la componente normal de 2xyi - y2j a lo largo de la elipse x 2 /a2 + y2 /b2 = l.

12. Sea P(x, y) = - y/(x 2 + y2), Q(x, y) = x /(x 2 + y2). Suponiendo que D es el disco unitario, investigar por qué falla el teorema de Green para esta P y Q.

13. Usar el teorema de Green para evaluar J e (y 2 + x 3) dx + x4 dy, donde e+ es el

perímetro de [0, 1] x [0, 1] en dirección contraria al sentido en que se mueven las manecillas del reloj.

14. Usar el teorema 2 para calcular el área dentro de la elipse x2fa2 + y2fb2 = l.

15. Verificar el teorema 3.

16. Evaluar J.,(x 5- 2xy3

) dx- 3x 2 y2 dy, donde CJ es la trayectoria CJ (t) = (t8 , t 10),

o ::; t ::; l.

* 17. Usar el teorema de Green para probar la fórmula del cambio de variables en el siguiente caso especial:

r dx dy = r , D • D* 1

a(x,_n¡ du dv (l (u, v)

para una trasformación (u, t')~--> (x(u, v), y(u, v)). Formular para la demostración las hipótesis necesarias para las funciones x = x(u, v) e y = y(u, v) y para t(x, y)/r'(u, v).

18. Probar la identidad

19. Usar el teorema de Green para encontrar el área de un rizo de la rosa de cuatro pétalos r = 3 sen 20. (SUGERENCIA: X dy - y dx = r2 d(J.)

20. Mos es a por

M os¡

7.2 TE(

El teorem: a lo largo una super! teorema dt

Comen deremos u. parametriz

para (u, v) , de una fun1

donde F = En la se

del tipo 3, n Green. De más amplia dichas gener 8, sección 7. D es una re aplica el teo

Suponga¡ zación de ol necillas del 1

cerrada simp f(x(t), y(t))), 1

Para reco samos en un

JI/ t ¡ ~ D, D,.

0 ~ -- / ~ D, D.,

'x t ~ / D = D,uD,UD,uD,

o

ara F = xi + yj y D el disco uni-

rmal de 2xyi - y2j a lo largo de

yl). Suponiendo que D es el disco e Green para esta P y Q.

+ x3) dx + x4 dy, donde e+ es el

aria al sentido en que se mueven

a es la trayectoriaa(t) = (1 8 ,1 10),

ula del cambio de variables en el

1 du dv

. Formular para la demostración x = x(u, v) e y = y( u, v) y para

a de un rizo de la rosa de cuatro = ,z diJ.)

ANÁLISIS VECTORIAL 359

20. Mostrar que si e es una curva cerrada simple que acota una región en la cual es aplicable el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por e es

A = f X dy = - f y dx (I D (1 D

Mostrar cómo esto implica el teorema 2.

7.2 TEOREMA DE STOKFS

El teorema de Stokes relaciona la integral de línea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada simple C en IR 3 con una integral sobre una superficie S cuya frontera es C. En este aspecto se parece mucho al teorema de Green.

Comencemos por recordar unos cuantos hechos del capítulo 6. Consi­deremos una superficie S que es la gráfica de una función f(x, y), así S está parametrizada por

X=U

y= u

z = f(u , u)= f(x , y)

para (u, v) en algún dominio D. En la sección 6.6 se desarrolló la integral de una función vectorial F sobre S como

(1)

donde F = F 1 i + F 2 j + F 3 k. En la sección 7.1 supusimos' que las regiones D en consideración eran

del tipo 3, requerimiento esencial para nuestra demostración del teorema de Green. De hecho, el teorema de Green se generaliza a una clase mucho más amplia de regiones, pero desafortunadamente las demostraciones de dichas generalizaciones son algo complicadas (ver, por ejemplo, el ejercicio 8, sección 7.1). Para mayor generalidad supondremos, en esta sección, que D es una región cuya frontera es una curva cerrada simple y a la cual se aplica el teorema de Green .

Supongamos ahora que a: [a, b]-+ IR 2,a(t) = (x(t), y(t)) es una parametri­zación de aD en dirección contraria al sentido en que se mueven las ma­necillas del reloj. Definiremos entonces la curva frontera as como la curva cerrada simple orientada que sea la imagen de la función TJ: t r-. (x(t), y(t), f(x(t), y(t))), con la orientación inducida por TJ (fig. 7.2.1).

Para recordar esta orientación (esto es, la dirección positiva) de as, pen­samos en un «observador» que camina a lo largo de la frontera de la su-