Analisis 3-Dimensional del Crecimiento de Grano

Metalico

Jose Luis Panta Abad, Dr. Pablo Gonzales Ormeno

17 de noviembre de 2009

Resumen

Controlar la microestructura de un material es la llave para el manejode sus propiedades, y el tamano de grano es una de las caractersticas masimportantes a determinar en un material, ya que interviene en las dife-rentes propiedades del material. Por ejemplo, al producir un tamano degrano pequeno se incrementa la cantidad de area de bordes de grano; dadoque las dislocaciones no pueden pasar con facilidad a traves de un bordede grano, el material se hace mas resistente y se incrementa el numerode dislocaciones, por tanto un policristal resistira mejor la traccion queun monocristal; ademas, un grano de tamano pequeno ofrece poca con-ductividad electrica pues el borde de grano impide el movimiento de loselectrones.

Para empezar el analisis se discuten los mecanismos fsicos involucra-dos sin tomar en cuenta los fenomenos de recuperacion y recristalizacion,asumiendo un sistema que se encuentra proximo al equilibrio, lo que haceposible obtener un modelo sencillo con el cual trabajar, luego, tomandoen cuenta la energa elastica y la energa de activacion de barreras, la cualesta asociada con la migracion de los lmites de grano, se logra obteneruna relacion para la velocidad de crecimiento de grano.

Para la simulacion se hace uso del metodo probabilstico de MonteCarlo (MC) combinado con metodo determinista de los Automatas Celu-lares (AC), el metodo AC permite realizar actualizaciones a la estructurapara un instante dado bajo ciertas condiciones, condiciones dadas por elmetodo MC, el cual se basa solamente en la termodinamica de las inter-acciones atomicas.

Las primeras simulaciones fueron realizadas sobre un sistema bidimen-sional, en el cual el numero de orientaciones cristalograficas fue cambiadoprogresivamente para cada simulacion con lo que se logro determinar queel fenomeno de crecimiento de grano es independiente del numero de orien-taciones cristalograficas (esto es valido para una cantidad orientacionesmayor a 128). Luego se procedio al analisis de un sistema tridimensionalpara as determinar los parametros que estan involucrados en este tipo defenomeno.

Finalmente ya que en la simulacion el tiempo se mide en Monte CarloSteps (MCS) y el volumen se mide Monte Carlo Cells (MCC), se trata dehacer una escala entre la simulacion y datos experimentales de un metalespecfico para as obtener un modelo que se ajuste a la realidad.

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1. Introduccion

Controlar la microestructura de un metal la llave para el manejo de sus pro-piedades. La mayor parte de los metales comerciales tienen esctructuras crista-linas y consisten de granos microscopicos con diversas orientaciones y formas.El tamano de los granos depende de factores tales como la temperatura, elas-ticidad, estres, deformaciones plasticas y pureza qumica. Durante el fenomenode crecimiento de grano ocurren cambios en la forma y el tamano.

En la industria, las piezas metalicas son tratadas aplicando presion y calor.Una serie de eventos metalurgicos muy complejos pueden tomar lugar dinami-camente durante el proceso de deformacion y estaticamente despues de la defor-macion, el enfriamiento o el calentamiento. La estructura resultante determinamuchas de las propiedades del material y especialmente su desempeno mecani-co. Es as que debemos estudiar y optimizar los diversos procedimientos termo-mecanicos y los fenomenos asociados con la evolucion de las microestructuraspara as poder obtener microestructuras adecuadas.

La metalografa microscopica se encarga del estudio de los productos me-talurgicos, con el objetivo de determinar sus constituyentes y su textura. Ac-tualmente, la metalografa ya es considerada uno de los analisis mas importan-tes para garantizar la calidad de los materiales en el proceso de fabricacion, ytambien para la realizacion de estudios en la formacion de nuevas aleacionesde materiales. Sin embargo, esta practica se vuelve compleja pues los materia-les presentan diferentes morfologas, dependiendo de los tratamientos termicosaplicados y tambien de su composicion qumica, ademas, previo a este ensayo sedebe preparar la muestra siguiendo las siguientes operaciones: Corte, montaje,desbaste y pulido. Al final se observa lo obtenido con la ayuda de un microscopiometalografico.

Con el avance en la tecnologa de procesadores, ahora podemos realizar elmismo analisis mediante el uso de la simulacion computacional. Hay una re-lacion muy cercana entre la base conceptual del metodo Monte Carlo y lascaractersticas fsicas del crecimiento de grano ya que ambos estan relacionadoscon la estadstica y los procesos aleatorios, es por eso que el metodo Monte Carlopermite representar el fenomeno muy bien.

2. Fsica del Crecimiento de Grano

2.1. Borde de Grano

El area en la cual se encuentran granos es una region de desajuste donde laorientacion cristalografica cambia abruptamente al pasar de un grano al siguien-te, esta region se denomina borde de grano. El borde de grano se caracterizapor tener exceso de energa. En ausencia de deformaciones o gradientes de tem-peratura, la disminucion en la energa asociada con el borde de grano actuacomo la fuerza motriz para el crecimiento de grano. Los granos grandes tiendena crecer mientras que los mas pequenos se fusionan y desaparecen.

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2.2. Cinetica de Crecimiento de Grano

La orientacion del cristal es caracterizada por el vector de orientacion s.La energa almacenada en un punto en particular de la red incluye un terminoque es proporcional a la energa elastica y un termino que es proporcional a laenerga de borde de grano debido a un cambio de orientacion, el cual dependedel gradiente del vector de orientacion, W (s). Para obtener la energa totalG se integran estos dos terminos sobre el volumen total:

G =

[Eel +W (s)] dV (1)

Si nos limitamos a tratar un crecimiento de grano ideal, se puede asumir quela energa elastica no cambia, mientras que el termino de orientacion es propor-cional al area total de los granos por unidad de volumen Atot. Considerando elmodelo esferico, el area y volumen promedio de un grano estan relacionados conel radio promedio del grano mediante las ecuaciones:

Aprom = 4pir2

Vprom =4pi

3r3

Mientras que el numero promedio de granos por unidad de volumen esta dadopor:

1

Vprom=

3

4pir3

Entonces, multiplicando el area promedio por el numero promedio de granospor unidad de volumen obtenemos el area total de superficie de borde de grano:

Atot = Aprom 1

Vprom= 4pir2

3

4pir3

Atot =3

2r

Por lo tanto, teniendo en cuenta que a cada borde de grano le corresponden dosgranos, la energa total G esta dada por:

G = Eel + 3

2r(2)

Donde es la energa promedio por area de superficie de borde. De la ecua-cion (2) es facil notar que a mientras mas grandes son los granos, menor es suenerga, lo cual hace que el crecimiento de grano sea energeticamente beneficio-so. Sin embargo, esta expresion simple no hace cuenta de la energa de activacionde barrera, la cual esta asociada con la difusion de los granos a traves de losbordes. Debido a la presencia de estas barreras, un grano migrante pasa por deun conjunto de estados meta-estables de equilibrio (figura 1(a)) por lo que lavelocidad de migracion es mas lenta.

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Figura 1: (a)Energa vs Radio. (b)Energas de activacion de barrera y cinetica

Porter y Easterling [5] ya han estudiado el fenomeno de difusion. Ellos con-sideraron dos estados meta-estables, con un diferencia G y separados por una

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barrera de activacion Ga (figura 1(b)). La probabilidad de que un grano seexpanda a una posicion de menor energa esta dada por la probabilidad deque un atomo cruce la barrera, exp(Ga/RT ), donde R es la constante de losgases, multiplicado por el numero de atomos por unidad de area n1 y por laprobabilidad de acomodacion del atomo en una nueva posicion A1.

A1n1exp(Ga

RT) (3)

La probabilidad de migracion en la direccion contraria es:

A2n2exp(Ga +G

RT) (4)

Si asumimos que el sistema se encuentra cerca del equilibrio, esto es G/Ga

G = H TS

Se encuentra que:

v =A1n1VmG

RTNaexp

(

Ha

RT

)exp

(

Sa

R

)(9)

La frecuencia de vibracion del atomo esta relacionada con la temperatura deacuerdo con:

=kBT

h=

RT

Nah(10)

Donde h es la constante de Planck y kB es la constante de Boltzmann. Estoproduce la expresion para el tamano de grano r :

r2 r20=

4AZV 2mN2ah

exp(Sf

R

)exp

(

Q

RT

)t (11)

Donde r0 es el tamano de grano inicial. La temperatura afecta la tasa de creci-miento de grano a traves de las ecuaciones (10) y (11), ya que la frecuencia devibracion atomica depende de la temperatura.

3. Simulacion Monte Carlo

Para inciar el proceso de la simulacion de crecimiento de grano la microes-tructura fue mapeada en una matriz bidimensional para los primeros experimen-tos, y tridimensional para los siguientes. La matriz inicial se construyo de formaaleatoria donde cada elemento de matriz representa un elemento de superficieo de volumen, segun sea el caso. El contenido de cada elemento representa suorientacion cristalografica, regiones adyacente que contienen el mismo numerode orientacion representan un grano. Los bordes de grano son regiones ficticiasque separan volumenes con diferentes orientaciones.

Una vez que se ha inicializado la red la simulacion puede empezar. La simula-cion Monte Carlo de crecimiento de grano en materiales policristalinos consisteen la evaluacion de la energa libre en un punto de la red. La energa es deter-minada por la interaccion del punto en analisis con los puntos que los rodean.El hamiltoniano de interaccion viene dado por:

H = J

n

(QiQj 1) (12)

Donde J es una constante positiva que especifica una medida de la interacciondel i-esimo punto evaluado con los puntos vecinos, QiQj es el delta de Krone-cker de las orientaciones Qi y Qj . La suma es tomada sobre todos n vecinos querodean al punto en analisis (n = 8 para analisis bidimensionales y n = 26 paratridimensionales).

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Luego, el algoritmo elemental para la simulacion de crecimiento de grano enun estructura monofasica es el siguiente:

1. Calulo de la energa libre de una elemento de matriz G0 de acuerdo conla ecuacion (12).

2. Eleccion aleatoria de una nueva orientacion cristalografica Qf para el mis-mo elemento.

3. Nuevo calculo de la energa libre Gf pero usando la nueva orientacioncristalografica Qf .

4. Comparacion de los dos valores Gf G0. La orientacion que minimice laenerga es escogida.

En complemento el metodo Monte Carlo se hace uso de metodo de Automa-tas Celulares la nueva orientacion cristalografica solo puede ser escogida entrelas orientaciones de los puntos vecinos, esto evita la formacion de nucleos den-tro de los granos ya que este fenomeno no se observa en la naturaleza, ademasreduce considerablemente el tiempo de simulacion.

Este procedimiento representa un intento de reorientacion. ND intentos dereorientacion, donde D es la dimension de la matriz, defienen un Monte CarloStep (MCS). Un MCS representa la unidad de tiempo de la simulacion.

La matriz en la memoria de la computadora (que simula a la red) esta limi-tada (ND elementos). Durante la simulacion la evolucion de la microestructuratoma lugar en un espacio restringido de dos formas diferentes: Una forma enla cual el borde de la red (matriz) es tambien el borde de la estructura, detal forma que los procesos en la superficie del material pueden ser simulados.Por otro lado, en este trabajo se hace uso de una estructura infinita usando elllamado algoritmo de efecto de banda, el cual se basa en la periodicidad de la red.

El principal parametro de interes es fue l tamanp de grano promedio. Elcrecimiento normal de grano obedece una ley de potencia [3] de potencia de laforma:

rnMC rn0,MC = kMCtMC (13)

Donde rMC es el tamano de grano, r0,MC es el tamano inicial, n es un exponeneteconstante, kMC es la tasa de crecimiento de grano (constante que depende dela temperatura) y tMC es el tiempo en MCS. El subndice MC se usa paradistinguir las cantidades de la simulacion Monte Carlo de los correspondientesvalores fsicos.

4. Experimento

El programa fue desarrollado en C++. El programa se ejecuto en un compu-tador Intel Dual Core 1.66 MHz de 1GB de memoria RAM. La visualizacion delos resultados se llevo a cabo usando un programa desarrollado con la librera

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OpenGL.

Para la determinacion del numero de orienciones optimo se uso una matrizbidimensional de 200 200 para las simulaciones. Para la determinacion de losparametros n y kMC se uso una matriz tridimensional de 200 200 200.

4.1. Determinacion del Numero de Orienciones Optimo

Uno de los problemas a los cuales nos enfrentamos fue decidir con que nume-ro de orientaciones Q se efectuaran las simulaciones. Alguno autores ha trabajocon Q entre 4 y 64, otros autores proponen el uso de ND orientaciones (unaorientacion por grano) con el fin de evitar la fusion de los granos.

Figura 2: Curva de crecimiento para diferentes valores de Q

Para este trabajo, nosotros ejecutamos una serie de 9 simulaciones con valo-res para Q desde 8 hasta 40000. Es obvio que el valor de Q afecta la simulacion(a menor Q la tasa de crecimiento es mayor). Sin embargo, se obtuvo que paraQ > 128 el crecimiento de grano se vuelve independiente del numero de orien-taciones (figura 2). Diferentes autores [2][6] encontraron resultados similares,as que basados en estos resultados usamos el valor de Q = 128 para las simu-laciones tridimensionales, ya que el tiempo de computo tambien depende delvalor de Q.

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4.2. Determinacion de los Parametros n y kMC

Para la obtencion de los parametros n y kMC se hizo uso de una matriz tri-dimensional. Se ejecuto una serie de 10 simulaciones, luego se se hizo un analisisde regresion sobre el logartimo del promedio de los datos.

A traves de la regresion se encontro que n = 2,00059862 y kMC = 1,3. Lafigura 3 muestra el analisis de regesion efectuado.

Figura 3: Promedio de datos despue de 10 ejecuciones. Los puntos representancada ejecucion y la lnea solida representa el promedio de sus valores.

Ya que se encontro que n estaba muy proximo al valor teorico predicho por laecuacion (11), n = 2 fue usado para los caculos siguientes. Luego, el analisis deregresion fue efectuado nuevamente encontrando un nuevo valor para kMC 0,9.

Con esto, la ecuacion de crecimiento de grano obtenida mediante la simula-cion queda dada por:

r2MC r2

0,MC = 0,9.tMC (14)

5. Metodo de Escala

En esta seccion discutimos sobre el metodo de escala que se uso. Como bien sesabe, la simulacion Monte Carlo no brinda escalas fsicas reales para los parame-tros de tiempo y longitud. Para relacionar el tamano de grano de la simulacion(en Monte Carlo Cells) y el tiempo de simulacion (en Monte Carlo Steps) conunidades fsicas, se debe realizar una escalalos resultados de la simulacion bien

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con un conjunto de datos experimentales o con los valores teoricos calculados.

En la simulacion cada elemento de matriz representa no un atomo sino uncluster, un conjunto de atomos, ya que de otra forma se requirira de muchapotencia computacional para realizar la simulacion.

En una red cristalina real, la reorientacion completa de tales cluster com-puestos por millones de atomos no ocurre instantaneamente sino que requierede un tiempo considerablemente grande. Mientras que en la simulacion MonteCarlo, la reorintacion ocurre instantaneamente.

Para este trabajo se ha escogido hacer la escala para el aluminio, ya que losparametros para este metal fueron encontrados en la literatura [7]:

Entalpa de activacion: Q = 27,4kJmol1

Volumen molar atomico: VM = 9,77 106m3mol1

Entropa de activacion: Sf = 11,42J(molK)1

Energa promedio por area de borde: = 0,324Jm2

Probabilidad de acomodacion: A = 1,0

Numero promedio de atomos por unidad de area: Z = 12,8389 1018ato-mos.m2

5.1. Escala Espacial

El tamano de grano de la simulacion puede ser convertido a escala realsimplemente multiplicandolo por un factor de escala , de tal forma que:

r = rMC (15)

Aunque hay cierta libertad en la eleccion de , este brinda la resolucion espacialde la simulacion y debera ser bastante pequeno comparado con el tamano tpicode los granos en investigacion. Para el caso de esta simulacion se encontro que = 6m brinda una resolucion razonable.

5.2. Escala Temporal

Usando las ecuaciones (11) y (15) obtenemos:

(r)2 (r0)2 =

4AZV 2mN2ah

exp(Sf

R

)exp

(

Q

RT

)t

2 (r2MC r2

0,MC) =4AZV 2mN2ah

exp(Sf

R

)exp

(

Q

RT

)t

De la ecuacion (13) se obtiene:

2 (kMCtMC) =4AZV 2mN2ah

exp(Sf

R

)exp

(

Q

RT

)t

10

Con lo que finalmente se obtiene una forma para la escala entre el tiempode simulacion y el tiempo fsico:

tMC =k0

2kMCexp

(

Q

RT

)t (16)

Donde se ha hecho:

k0 =4AZV 2mN2ah

exp(Sf

R

)

Donde k0 es una constante que depende del material y cuyo valor para el alu-minio es k0 = 7,58 10

13m2s1 [7]

6. Conclusiones

1. La ecuacion de crecimiento de grano solo toma en cuenta el tamano pro-medio, por lo tanto hay detalles que no pueden ser observados ni evaluadossin la simulacion computacional.

2. La simulacion Monte Carlo es un metodo muy conveniente para estudiarel crecimiento de grano permitiendo el estudio de diversas caractersticasde este fenomeno, tales com tamano y forma, sin resolver las complicadasecuaciones que describen las fronteras de grano.

3. La simulacion del fenomeno de crecimiento se vuelve independiente delnumero de orientaciones cristalograficas para Q > 128.

4. Durante la simulacion tridimensional se puede observar no solo el procesode desvanecimiento de granos sino tambien la formacion de nuevos granos,esto no ocurre en el caso de las simulaciones bidimensionales.

5. La simulacion Monte Carlo demostro que el fenomeno de creicimiento degrano aunque complejo puede ser modelado de una manera muy elemental.El valor correcto de n encontrado en nuestros experimentos indica que hayuna ntima relacion entre el modelo y la descripcion teorica del crecimientode grano.

6. La simulacion no ofrece valores fsicos para el tamano de grano y el tiempo,por lo cual un metodo de escala es requerido. En este caso el metodo seajusto muy bien a los datos experimentales.

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Referencias

[1] Nosonovsky M; Zhang X; Esche S. Scaling of Monte Carlo Simulations ofGrain Growth in Metals

[2] Blikstein P; Tschiptschin A. Monte Carlo Simulations of Grain Growth

[3] Atkinson H. Theories of Normal Grain Growth in Pure Single Phase Sys-tems

[4] Morhac M; Morhacova E. Monte Carlo Simulation Algorithms of GrainGrowth in Polycrystalline Materials

[5] Porter D; Easterling K. Phase Transformations in Metals and Alloys

[6] Anderson M; Srolovitz D; Grest G; Sahni P. Computer simulation of graingrowth - I. Kinetics

[7] Humphreys F; Hatherly M. Recrystallization and Related Anneling Phe-nomena

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