Gr�a�cas ecuaciones polares frecuentes

Rectas � = k

Las ecuaciones de la forma � = �0 representan rectas que pasan por el polo y con pendiente tan (�0). Porejemplo � = �

4 representa la recta y = tan��4

�x = x es decir la recta y = x, La recta � = �

3 representa la

recta y = tan��3

�x =

p3x es decir la recta y =

p3x.

Ejemplo: � = �3

­2 ­1 1 2

­4

­2

2

4

Las rectas x = a e y = b tambi�en tienen una representaci�on sencilla. Si x = a en coordenadas polares ser�a

r cos � = a

es decir r = a sec �. Las rectas y = b se escriben en polares como r sin � = b.

C��rcunferencias

Toda ecuaci�on de la forma r = c con c una constante es una circunferencia de radio jcj y centro en el origen.r = c y r = �c representan la misma circunferencia recorrida de una manera diferente.

Ejemplo:r = 2 r = �2 r = 3

­2 ­1 1 2

­2

­1

1

2

­2 ­1 1 2

­2

­1

1

2

­2 2

­2

2

Toda circunferencia que contiene al polo se puede representar mediante una ecuaci�on polar de la forma

r = 2a cos � + 2b sin �

Las ecuaciones de la forma r = 2a cos � son circunferencias de radio r = jaj tangente al eje normal con centroen el eje polar, si a < 0 entonces la circunferencia est�a a la izquierda del polo y si a > 0 esta a la derecha.De manera similar toda circuenferencia de la forma r = 2b sin � representa una circusnferencia tangente aleje polar de radio r = jbj centro en el eje normal, si b > 0 esta sobre el eje polar y si b < 0 est�a bajo el ejepolar.

1

Ejemplo:r = 4 cos � r = �4 cos � r = 4 sin � r = �4 sin �

1 2 3 4

­2

­1

0

1

2

­4 ­3 ­2 ­1

­2

­1

0

1

2

­2 ­1 0 1 2

1

2

3

4 ­2 ­1 0 1 2

­4

­3

­2

­1

Carac�oles

Toda gr�a�ca de ecuaci�on polar de la forma r = a � b cos � y r = a � b sin � se conoce de manera gen�ericacomo caracol. Existen 4 tipos de caracoles y el tipo espec���co depende de la relaci�on a=b donde a y b sonconstantes positivas. Veamos los cuatro tipos obtenidos a partir de la relaci�on r = a+ b cos � con a; b > 0.

a+ b cos � con ab < 1 (Caracol con bucle interior) a+ b cos � con a

b = 1 (Cardioide)

a+ b cos � con 1 < ab < 2 (Caracol con hoyuelo) a+ b cos � con a

b � 2 (Caracol convexo)

De manera similar para a+ b sin � con a; b > 0 se tiene:

a+ b sin � con ab < 1 (Caracol con bucle interior) a+ b sin � con a

b = 1 (Cardioide)

a+ b sin � con 1 < ab < 2 (Caracol con hoyuelo) a+ b sin � con a

b � 2 (Caracol convexo)

2

Ejercicio: >Qu�e efecto tiene en las gr�a�cas anteriores poner a y/o b negativos?

Rosas

Las gr�a�cas de las ecuaciones r = a cos (n�) y r = a sin (n�) son rosas. Si n es par la rosa tiene 2n p�etalos ysi n es impar tiene n p�etalos. El largo del p�etato es jaj.

r = 2 cos (2�) r = 2 cos (3�) r = 2 sin (3�)

r = 2 cos (4�) r = 4 cos (5�) r = 2 sin (5�)

Lemniscatas

Las gr�a�cas de las ecuaciones r2 = a2 sin (2�) y r2 = a2 cos (2�) se llaman lemniscatas y tienen las siguientesformas

r2 = 4 sin (2�) r2 = 4 cos (2�)

En este caso, la extensi�on del p�etalo es a.

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