gradiente
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Gradientes y derivadas direccionales
Alexander Holguín VillaDepartamento de Matemáticas, FCEN
Universidad de Antioquia, Medellín-Colombiae-mail: [email protected]
Abstract
En la sección 2:1 estudiamos las grá�cas de funciones con valo-res reales. Ahora retomaremos este estudio usando los métodos delcálculo. Especí�camente, los gradientes se usarán para obtener unafórmula para el plano tangente a una super�cie de nivel.Keywords: Gradiente, derivadas direccionales, plano tangente..
1 Gradientes y derivadas direccionales
De�nición 1.1 Si f : U � R3 ! R es diferenciable, el gradiente de fen (x; y; z) es el vector en el espacio dado por rf =
�@f@x; @f@y; @f@z
�. Este
vector también se denota por rf (x; y; z). Así, rf es simplemente la matrizderivada Df , dispuesta como vector.
Sea f : U � R3 ! R a valores reales!v ;
!x 2 R3 y consideremos la
función dada por t 7! f�!x + t
!v�. Note que el conjunto de puntos de la
forma!x + t
!v , t 2 R es la recta L que pasa por !x y es paralela al vector !v ,
1
dada por l (t) =!x + t
!v . Además t 7! f
�!x + t
!v�= f jL:
¿Con qué rapidez cambian los valores de f a lo largo de L en el punto!x?
Dado que la razón de cambio de una función está dada por una derivada,la respuesta será: es el valor de la derivada de esta función de t en t = 0(t = 0! !
x+ t!v =
!x). Esto debería ser la derivada de f en
!x en la dirección
de!v .
De�nición 1.2 f : U � Rn ! Rm. Dado !u 2 Rn j
n!Oo, se de�ne
f 0�!a ;
!u�= lim
t!0
f�!a + t
!u�� f
�!a�
t
siempre que este último límite exista. Nótese que este límite depende deambos
!a y
!u, por lo que es denominado la derivada de f en
!a en la dirección
de!u, (En cálculo se requiere que este último vector sea unitario, pero tal
condición no es necesaria).
Ejemplo 1.3 f : R2 ! R dada por f (x; y) = xy. Determinar f 0�!a ;
!u�,
con!a = (a1; a2) y
!u (0; 1).
2
f 0�!a ;
!u�= lim
t!0
f ((a1; a2) + t (0; 1))� f ((a1; a2))t
f 0�!a ;
!u�= lim
t!0
a1 (a2 + t)� a1a2t
= a2
Teorema 1.4 Si f : U � R3 ! R diferenciable, entonces todas las derivadasdireccionales (en dirección de
!u 6=
!O) existen y además
f 0�!a ;
!u�= rf
�!a�� !u
Observación 1.5 Como f 0�!x;
!u�= rf �!x� cos (�), para !
u =^u uni-
tario y � = �rf
�!x�;^u�, por tanto:
Se tendrá un máximo si � = 0 rad y, en este caso rf�!x�y^u tienen igual
dirección y sentido. Ahora se tiene un mínimo si � = � rad, luego rf�!x�
y^u tienen sentido contrario. Adicionalmente para una partícula que se de-
splaza sobre la super�cie que de�ne f , ésta lo hará a nivel constante, es decirz = k, si rf
�!x�� !u = 0, es decir rf
�!a�? !u; así:
Teorema 1.6 Supongamos que rf�!x�6=
!O. Entonces rf
�!x�apunta en
la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido.
Ejemplo 1.7 (Dirección de máximo crecimiento)
Si la temperatura en cada punto (x; y; z) viene dada por
T (x; y; z) = 85 + (1� z=100) e�(x2+y2)
hallar en P0 (2; 0; 99) la dirección en que la temperatura crece más rápido.
rT (x; y; z) = e�(x2+y2) (�2x (1� z=100) ; � 2y (1� z=100) ; (�1=100)),así:
rT (2; 0; 99) =�� 125e�4; 0; � 1
100e�4�
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Para hallar un vector unitario paralelo al anterior multiplicamos la anteriorexpresiónpor 100e4, por tanto:
!u = (�4; 0; � 1)! ^
u =1p17(�4; 0; � 1)
que es la dirección en la que T crece más rápido.
Ejemplo 1.8 Calcular f 0�!x;
^u�en P0 (0; 1) para el cual
^u es unitario en la
dirección de!P0Q, Q (3; 5). Además determinar en P0, para el cual f 0
�!x;
^u�
es máxima, si f (x; y) = ex tan�1 (y).!PQ = (3; 4) ! ^
u =1
5(3; 4). Además
fx = ex tan�1 (y), fy =
ex
1 + y2, luego
f 0�(0; 1) ;
^u�=
^u � rf ((0; 1))
=1
5(3; 4) � (�=4; 1=2)
=1
5
�3
4� + 2
�Ahora bien, D^
uf es máxima cuando rf y ^
u tienen la misma dirección ysentido, por tanto:
^u =
rf ((0; 1))krf ((0; 1))k =
(�; 2)p�2 + 4
luego para determinar f 0�!x;
^u�es máxima si:
f 0�(0; 1) ;
^u�=
^u � rf ((0; 1)) =
p�2 + 4
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Ejemplo 1.9 Suponga que la temperatura en un punto (x; y; z) 2 R3 estádada por
T (x; y; z) =80
(1 + x2 + 2y2 + 3z2)
donde T se mide en grados Celsius; x; y; z, en metros. ¿En qué direcciónaumenta la temperatura con más rapidez en el punto (1; 1;�2)?¿Cuál es lamáxima razón de cambio?
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rT = 160
(1 + x2 + 2y2 + 3z2)(�x; � 2y; 3z)
) la temperatura aumenta con mayor rapidez en la dirección del vector
rT (1; 1;�2) = 5
8(�1;�2; 6)
o equivalentemente en del vector
(�1;�2; 6) ! 1p41(�1;�2; 6) = ^
u
La máxima razón de incremento es respecto a la longitud del vector gradiente
krT (1; 1;�2)k = 5
8
p41
Ejercicios 1.10
1. La ecuación de la super�cie de una montaña es z = 1200 � 3x2 � 2y2(distancia en metros), el eje Ex apunta al este, el Ey al norte. Unmontañista se encuentra en el punto P0 (�10; 5; 850).
(a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? Ilustre grá�-camente en el plano �xy.
(b) ¿Si el montañista se desplaza en dirección este, asciende o des-ciende y a qué razón? ¿Qúe sucede por cada metro que avance enel Ex? Ilustre.
(c) ¿Si lo hace en dirección suroeste, asciende o desciende y a qué
razón? Ayuda: Sea^u = (cos (�) ; sen (�)).
(d) ¿En que dirección recorre una trayectoria a nivel, estando en el
punto P0? Ayuda: Halle^u = (u1; u2) tal que
^u � rf (10;�5) = 0.
2. Suponga que, en cierta región del espacio, el potencial eléctrico V estádado por V (x; y; z) = 5x2 � 3xy + xyz:
(a) Encuentre la razón de cambio del potencial en P0 (3; 4; 5), en ladirección del vector
!u = (1; 1;�1)
(b) ¿En qué dirección cambia V más rápidamente en P?
(c) ¿Cuál es la mayor razón de cambio en P?
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1.1 Gradiente y super�cies de nivel de una función f
A continuación veremos la relación entre el gradiente asociado a una fun-ción dada f y sus super�cies de nivel. Ya conocemos que el gradiente rfapunta en la dirección de más rápido crecimiento de los valores de f , mien-tras que una super�cie de nivel está en las direcciones en las que esos valoresno cambian. Si el comportamiento de f es su�cientemente bueno, el gradi-ente y la super�cie de nivel serán perpendiculares en cierto sentido, como seestablecerá.
Teorema 1.11 (Gradiente e snormal a la super�cie)
Sea f : U � R3 ! R una aplicación de clase C1 y (x0; y0; z0) un puntosobre la super�cie de nivel S f (x; y; z) = k, para k constante. Entoncesrf (x0; y0; z0) es perpendicular a la super�cie S en el siguiente sentido: si
!v es
el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c (t) en S con c (0) = (x0; y0; z0),entonces rf (x0; y0; z0) �
!v = 0.
Prueba. Sea c (t) en S; entonces (f � c) (t) = k y sea!v como en la
hipótesis; entonces!v = c (0). Por tanto, de lo anterior y la regla de l
acadena, setiene que
0 =d
dtf (c (t)) = rf
� !v (0)
�� !v
Del anterior resultado e sbastante razonable de�nir el plano tangente a Scomo el plano ortogonal al gradiente:
De�nición 1.12 (Planos tangentes a las super�cies de nivel)
Sea S := f(x; y; z) : f (x; y; z) = k; k 2 Rg. El plano tangente a S en elpunto (x0; y0; z0) de S está dado por
rf� !v (0)
�: rf (x0; y0z0) � (x� x0; y � y0; z � z0) = 0
Ejemplo 1.13 Hallar �t (1; 1; 1) de 3xy2 + xyz2 = 4.rf (x; y; z) = (3y2 + yz2; 6xy + xz2; 2xyz), luego:
�t (1; 1; 1) : rf (1; 1; 1) � (x� 1; y � 1; z � 1) = 0
) 4x+ 7y + 2z = 13 (veri�carlo).
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Observación 1.14 Con frecuencia los diversos autores se re�eren a rfcomo el campo vectorial gradiente; esto debido al hecho que rf asignaun vector a cada punto en el dominio de f :
Ejemplo 1.15 (Ejemplo 6 del libro pág. 150� 151)La fuerza gravitacional sobre una masa unitaria m en el punto (x; y; z) pro-ducida por una masa M en el origen en R3, de acuerdo a la ley de grav-itación universal de Newton, est ´ adada por
!F = �GmM
r2^n (1)
donde G es una constante; r = !r = p
x2 + y2 + z2 es la distancia de
(x; y; z) al origen y^n =
!r !r el vector unitario en la dirección del vector
posición!r = (x; y; z).
Notemos que!F = r
�GmM
r
�= �rV , es decir,
!F es el negativo del po-
tencial gravitacional V = �GmMr
. Finalmente notemos que la expresión
1 indica que!F está dirigido hacia adentro, es decir hacia el origen y, las
super�cies de nivel de V son esferas.!F es normal a estas esferas, lo que
con�rma elresultado del Teorema 1:11.
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