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Gonzalo Maureira Len. Profesor de Matemticas y Licenciado en Educacin.

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Objetivos. Comprender el origen y significado de la Trigonometra. Identificar las razones Trigonomtricas presentes en los tringulos rectngulos. Realizar diversos ejercicios aplicando los conceptos trigonomtricos enseados.

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Trigonometra Matemticas. lgebra. Geometra. Trigonometra. Aritmtica. La trigonometra es una rama de las matemticas, cuyo significado es la medicin de los tringulos, en base a las proporciones de sus lados y ngulos.

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La historia de la trigonometra comienza en primera parte con los Babilonios y los Egipcios, para ser continuada por Indes y Griegos. Estos ltimos establecieron la medida de los ngulos en grados, minutos y segundos. Trigonometra

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Para ser ms precisos, la trigonometra estudia la relacin existente entre los ngulos y los lados del tringulo.

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Para resolver problemas relacionados con trigonometra se deben manipular adecuadamente las razones trigonomtricas, denominadas por: Trigonometra Seno Coseno Tangente Cosecante Secante Cotangente

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Para trabajar en trigonometra se debe tener algn tringulo rectngulo que cumpla con: Trigonometra

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Trigonometra

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Ejercicios En los siguientes tringulos rectngulos, calcula las seis razones trigonomtricas para sus ngulos agudos.

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En un tringulo, las medidas de sus ngulos son , . Adems, se cumple que. Determinar las razones trigonomtricas restantes. Ejercicios

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Resolver un tringulo equivale a determinar el valor de los tres ngulos y los tres lados. A continuacin se dan los tres mnimos que necesitars para resolver cada tringulo. Ejercicios

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Manuel, un astrnomo principiante, midi el ngulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, qu resultado obtuvo Manuel? Ejercicios

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Determina el ngulo de inclinacin mnimo necesario para que el avin de la figura pueda despegar sobrevolando el cerro. Ejercicios

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ngulos de Elevacin y Depresin ngulos de Elevacin: ngulos de Elevacin: Si un objeto esta por encima de la horizontal (nivel del ojo), se llama ngulo de elevacin al ngulo formado por una lnea horizontal y la lnea visual hacia el objeto.

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Un rbol de 50 m de alto proyecta una sombra de 60 m de largo. Encontrar el ngulo de elevacin del sol en ese momento. ngulos de Elevacin y Depresin Desde un punto a nivel del suelo y a 135 metros de la base de una torre, el ngulo de elevacin a la parte ms alta de la torre es de 57. Calcular la altura de la torre.

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ngulos de Elevacin y Depresin ngulos de Depresin: Si un objeto esta por debajo de la horizontal, se llama ngulo de depresin al ngulo formado por una lnea horizontal y la lnea visual hacia el objeto.

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Desde lo alto de un faro, cuya altura sobre el nivel del mar es de 120 metros, el ngulo de depresin de una embarcacin es de 15. A qu distancia del faro est la embarcacin ? ngulos de Elevacin y Depresin Cul es la altura del puente que cruza un ro de 35 metros de ancho, si desde uno de los extremos del puente se ve la base del mismo pero del lado opuesto con un ngulo de depresin de 15?

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Desde un faro, ubicado en la cima de un cerro, se observa un barco con un ngulo de depresin de 30. Calcular la altura del cerro con el faro incluido. Ejercicios

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El cordel de un cometa se encuentra tenso y forma un ngulo de 70 grados con la horizontal. Encuentre la altura del cometa con respecto al suelo, si el cordel mide 45 m. y el extremo de la cuerda se sostiene a 1 m. del suelo. Ejercicios 70 1 metro x 45 metros

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Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8m. del suelo y observa el edificio de enfrente. La parte superior con un ngulo de 40 grados y la parte inferior con un ngulo de depresin de 67 grados. Determine la altura del edificio sealado. Ejercicios Sobre un plano horizontal, un mstil est sujeto por dos cables, de modo que los tirantes quedan a lados opuestos. Los ngulos que forman estos tirantes con respecto al suelo son 35 grados y 55 grados. Si la distancia entre sus bases es de 50 m. cunto cable se ha gastado?, cul es la altura a la cual estn sujetos los cables?.

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Ejercicios Eda observa la estatua del Cristo Blanco con un ngulo de elevacin de 53, sabiendo que se encuentra a una distancia horizontal visual de 6 metros. Calcular la altura del Cristo Blanco.

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Una escalera de 6 m. de longitud descansa sobre una pared vertical de tal manera que el pie de la escalera queda a 1,5 m. de la base de la pared. Si el ngulo que forma sta con el piso es de 43 A qu altura de la pared llega la escalera? Calcule el ancho de una calle, si un observador situado sobre un edificio, ve el otro lado de la misma bajo un ngulo de depresin de 60 grados con respecto a la horizontal. Ejercicios

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Control Determine el otro ngulo y calcule las razones trigonomtricas de ambos ngulos encontrados. Desde la parte alta de una torre de 120m de altura, el ngulo de depresin hacia un objeto que est frente a la base de la torre es de 24. Qu tan lejos est el objeto del pie de la torre ? A qu distancia del observador est el objeto ?

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Sistema - radin 1 180 2 360

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Circunferencia Goniomtrica.

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Regla Nemotcnica.

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Ejercicios Determina la altura de un rbol, sabiendo que su sombra mide 15 m cuando el ngulo de elevacin del sol es de. A qu altura se encuentra un volantn, si el ngulo que forma el hilo con la base del piso es de y el hilo desplegado tiene una longitud de 20 metros. Calcular el rea y permetro de la figura si y. Desde lo alto de un cerro, de 70 metros de altura, se observa una casa con un ngulo de depresin de. Calcular la distancia entre la base de la casa y el cerro, y entre la punta del cerro con la casa

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Determina la altura de un rbol, sabiendo que su sombra mide 15 m cuando el ngulo de elevacin del sol es de

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Ejercicios Una chimenea tiene 30 metros de altura ms que otra. Un observador que est a 10 metros de distancia de la ms baja observa que sus cspides estn en una recta inclinada respecto del suelo con un ngulo de. Hallar las alturas de las chimeneas y la distancia entre el observador y la chimenea mas alta. Dos postes de 18 y 12 metros de altura, y la recta que los une en sus puntos ms altos forma un ngulo de con el suelo. Determinar la distancia que los separa (distancia entre postes).

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Ejercicios Un cable est sujeto a lo alto de una antena de radio y a un punto en el suelo, que est a 40 metros de la base de la antena. Si el alambre forma un ngulo de con el suelo, encuentre la longitud del cable.