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Paraninfociclos formativos

Gestin FinancieraGabriel Escribano Ruiz

ADMINISTRACION[Administracin y Finanzas]

Paraninfo

Gestin financiera Gabriel Escribano Ruiz

Gerente EditorialMara Jo s Lpez Raso

Equipo Tcnico EditorialAlicia Cervino Gonzlez Nuria Duarte Gonzlez

Editora de AdquisicionesCarm en Lara Carm ona

ProduccinMarta Muoz Nacho Cabal

PreimpresinCopibook

Diseo de cubiertaNobel

Reservados los derechos para todos los pases de lengua espaola. De conform idad con lo dispuesto en el articulo 270 del C digo Penal vigente, podrn ser castigados con penas de multa y privacin de libertad quienes reprodujeren o plagiaren, en todo o en parte, una obra literaria, artstica o cientfica fijada en cualquier tipo de soporte sin la preceptiva autorizacin. N in guna parte de esta publicacin, incluido el diseo de la cubierta, puede ser reproducida, a lm acenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningn medio, sea este electrnico, qumico, m ecnico, electro-ptico, grabacin, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorizacin escrita por parte de la Editorial.

C O PY R IG H T > 2011 Ed iciones Paraninfo, SA r e d ic i n , 2011

Av. Filipinas 50, Bajo A / 28003 Madrid, ESPA A Telfono: 902 995 240 / Fax: 914 456 218 [email protected] / www.paraninfo.esISBN : 978-84-9732-866-1 Depsito legal: 1.094/2011

Impreso en Espaa /Printed in SpainGrficas Eujoa

Polgono de M eres (Asturias)

(032/9622)

Presentacin

1. El capital financiero1.1. El capital financiero ........................................................................1.2. Operacin financiera ........................................................................1.3. Operaciones financieras de capitalizacin y de descuento ....................1.4. Rgimen de capitalizacin y descuento ..............................................Resumen ...............................................................................................Actividades ...........................................................................................

2. El inters simple2.1. Capitalizacin simple .......................................................................

2.1.1. Clculo de las variables que intervienen en la capitalizacin simple2.1.2. La capitalizacin simple en una hoja Excel ..............................

2.2. Tantos equivalentes ..........................................................................2.2.1. Tantos equivalentes ................................................................

2.3. Ao civil y ao comercial .................................................................2.3.1. Relacin por diferencia entre inters comercial e inters civil ......2.3.2. Relacin por cociente entre inters comercial e inters civil .......

2.4. Inters anticipado. Relacin con el inters vencido ..............................2.4.1. Relacin entre el inters anticipado y el vencido .......................

2.5. Clculos abreviados ..........................................................................2.5.1. Nmeros comerciales .............................................................2.5.2. Multiplicador fijo ..................................................................2.5.3. Divisor fijo ...........................................................................

2.6. Las cuernas corrientes .................................................................................................................................... 262.6.1. Terminologa bsica de la cuenta corriente ............................................................................................... 262.6.2. Tipos de cuentas corrientes ..................................................................................................................... 262.6.3. Mtodos de liquidacin de las cuentas corrientes ....................................................................................... 27

Apndice ............................................................................................................................................................... 29Resumen ............................................................................................................................................................... 32Actividades .......................................................................................................................................................... 33

3 . L a c a p i t a l i z a c i n c o m p u e s t a ....................................................................................... 373.1. La capitalizacin compuesta ............................................................................................................................ 38

3.1.1. Clculo del capital inicial ........................................................................................................................ 403.1.2. Clculo del tiempo ........................................................................................................................ 403.1.3. Clculo del tipo de inters ....................................................................................................................... 403.1.4. Clculo del inters de la operacin ........................................................................................................... 413.1.5. I*a capitalizacin compuesta en una hoja Excel .......................................................................................... 41

3.2. Comparacin entre capitalizacin simple y compuesta ....................................................................................... 433.2.1. Comparacin entre capitalizacin simple y compuesta en Excel .................................................................. 44

3.3. Relacin entre el tiempo y el tipo de inters ..................................................................................................... 453.3.1. Tantos equivalentes en inters compuesto ................................................................................................. 453.3.2. Inters nominal ..................................................................................................................................... 47

3.4. Capitalizacin continua .................................................................................................................................. 493.5. La TAE ........................................................................................................................................................ 503.6. Convenio lineal y convenio exponencial ........................................................................................................... 53Apndice ............................................................................................................................................................... 54Resumen ............................................................................................................................................................... 55Actividades .......................................................................................................................................................... 55

4 . E l d e s c u e n t o s i m p l e y c o m p u e s t o .......................................................................... 594.1. El descuento .................................................................................................................................................. 604.2. El decuento simple comercial o bancario .......................................................................................................... 60

4.2.1. Relacin del tanto de descuento con el tiempo ......................................................................................... 614.2.2. Clculos del resto de las variables ........................................................................................................... 62

4.3. Negociacin de efectos .................................................................................................................................. 634.4. La gestin de efectos ..................................................................................................................................... 654.5. Forfait (todo incluido) .................................................................................................................................... 664.6. Forfait ideal .................................................................................................................................................. 674.7. Descuento simple racional o matemtico ........................................................................................................... 68

4.7.1. Clculo del efectivo en funcin del nominal .............................................................................................. 694.8. Relacin entre el descuento comercial y el racional ............................................................................................ 70

4.8.1. Relacin por diferencia ........................................................................................................................... 714.8.2. Relacin por producto ............................................................................................................................ 714.8.3. Relacin por cociente ............................................................................................................................ 724.8.4. Equivalencia entre el tanto de descuento comercial y racional .................................................................... 73

4.9. Descuento compuesto ...................................................................................................................................... 744.9.1. Descuento compuesto comercial .............................................................................................................. 744.9.2. Descuento compuesto racional ................................................................................................................ 76

ndice

Ediciones Paraninfo VII

4.9.3. Relacin entre el descuento compuesto comercial y racional ........................................................................ 77Resumen ............................................................................................................................................................... 78Actividades .......................................................................................................................................................... 79

5 . C o n j u n t o s d e c a p i t a l e s : l a e q u i v a l e n c i a d e c a p i t a l e s .

T a n t o s m e d i o s ............................................................................................................................ 835.1. Capitales equivalentes ..................................................................................................................................... 845.2. Equivalencia de capitales en capitalizacin simple .............................................................................................. 84

5.2.1. Sustitucin de un conjunto de capitales por un nico capital ........................................................................ 855.2.2. Vencimiento comn ............................................................................................................................... 875.2.3. Vencimiento medio ............................................................................................................................... 885.2.4. Equivalencia de capitales con descuento racional ....................................................................................... 89

5.3. Equivalencia de capitales en capitalizacin compuesta ........................................................................................ 905.3.1. Sustitucin de un conjunto de capitales por un nico capital ........................................................................ 925.3.2. Vencimiento comn ............................................................................................................................... 925.3.3. Vencimiento medio ............................................................................................................................... 93

5.4. Tantos medios ................................................................................................................................................ 945.4.1. Tanto medio en capitalizacin simple .................................................................................................. 945.4.2. Tanto medio en capitalizacin compuesta ............................................................................................. 96

Resumen ............................................................................................................................................................... 96Actividades .......................................................................................................................................................... 97

6 . R e n t a s f i n a n c i e r a s .................................................................................................................. io i6.1. Renta financiera ............................................................................................................................................. 102

6.1.1. Definicin. Elementos ............................................................................................................................ 1026.1.2. Clasificacin de las rentas financieras ...................................................................................................... 102

6.2. Rentas unitarias con inters y amplitud pcriodal constante .................................................................................. 1036.2.1. Renta pospagable, inmediata y temporal ................................................................................................. 1036.2.2. Renta prepagable, inmediata y temporal ............................................................................................... 1066.2.3. Rentas perpetuas ................................................................................................................................... 1096.2.4. Rentas diferidas d periodos ..................................................................................................................... I I I6.2.5. Rentas anticipadas h periodos ........................................................................................................ 114

6.3. Rentas constantes con inters y amplitud pcriodal constante ................................................................................. 1176.3.1. Renta pospagable. inmediata y temporal .................................................................................................. 1186.3.2. Renta prepagable, inmediata y temporal .................................................................................................... 1206.3.3. Rentas perpetuas ................................................................................................................................... 1226.3.4. Rentas diferidas d periodos ..................................................................................................................... 1246.3.5. Rentas anticipadas en h periodos .............................................................................................................. 127


7 . R e n t a s v a r i a b l e s e n p r o g r e s i n g e o m t r i c a y a r i t m t i c a 1337.1. Rentas de trminos variables en progresin geomtrica, con inters y amplitud periodal constante ........................... 134

7.1.1. Renta pospagable. inmediata y temporal .................................................................................................. 1357.1.2. Renta prepagable, inmediata y temporal .................................................................................................. 1387.1.3. Renta pospagable. inmediata y perpetua .................................................................................................. 1417.1.4. Rentas prepagables, inmediatas y perpetuas ............................................................................................... 1417.1.5. Rentas diferidas en d periodos ........................................................................................................ 142

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# VIII Ediciones Paraninfo

7.1.6. Rentas anticipadas en h periodos ............................................................................................................. 1427.2. Rentas de trminos variables en progresin aritmtica, con inters y amplitud periodal constante ............................. 144

7.2.1. Rentas pospagablcs. inmediatas y temporales .................................................................................... 1447.2.2. Rentas prepagables, inmediatas y temporales ..................................................................................... 1467.2.3. Rentas pospagables y prepagables inmediatas y perpetuas ................................................................. 1477.2.4. Rentas diferidas en d periodos ........................................................................................................ 1487.2.5. Rentas anticipadas en h periodos ...................................................................................................... 148

7.3. Rentas de trminos variables sin ley de progresin, con inters y amplitud periodal constante ................................. 149Resumen ............................................................................................................................................................... 149Actividades .......................................................................................................................................................... 150

8 . R e n t a s f r a c c i o n a d a s .............................................................................................................. 1538.1. Introduccin ................................................................................................................................................... 1548.2. Fraccionamiento del periodo ............................................................................................................................ 1558.3. Factor de transformacin de renta sin fraccionar en fraccionada ........................................................................... 157

8.3.1. Rentas fraccionadas pospagables ...................................................................................................... 1578.3.2. Rentas fraccionadas prepagables ...................................................................................................... 160


9 . L o s p r s t a m o s I ......................................................................................................................... i679.1. Operaciones de amortizacin ........................................................................................................................... 1689.2. Elementos de un prstamo .............................................................................................................................. 168

9.2.1. Capital vivo o cuanta de la deuda en el momento K .............................................................................. 1689.2.2. Termino amortizativo o pago, cuota de amortizacin del periodo, amortizacin acumulada c inters del periodo .. 169

9.3. Cuadro de amortizacin .................................................................................................................................. 1719.4. Clasificacin de los prstamos ........................................................................................................................ 1719.5. Amortizacin mediante reembolso nico de capital ........................................................................................... 1729.6. Pago peridico de intereses y devolucin del principal en un nico pago (sistema americano) ................................ 1729.7. Trminos amortizativos constantes (sistema francs) .......................................................................................... 173

9.7.1. Ley de variacin de las cuotas de amortizacin ...................................................................................... 1749.7.2. Relacin entre /\| y lJ .......................................................................................................................... 1759.7.3. Clculo de la deuda pendiente en el momento K .................................................................................... 175

9.8. Trminos amortizativos variables en progresin aritmtica ................................................................................. 1779.8.1. Ley de variacin de las cuotas de amortizacin ...................................................................................... 1789.8.2. Clculo de la deuda pendiente en un momento K .................................................................................... 179

9.9. Trminos amortizativos variables en progresin geomtrica ............................................................................... 1819.9.1. Clculo de la deuda pendiente ............................................................................................................... 182

9.10. Amortizacin con cuotas de amortizacin constantes ......................................................................................... 1839.10.1. Lev de variabilidad de los trminos amortizativos o anualidades .............................................................. 184

9.11. Amortizacin por el sistema americano con fondo de constitucin (sinking fund )................................................. 1859.11.1. Comparacin de la anualidad de un prstamo americano y uno francs .................................................... 187

9.12. Amortizacin fraccionada de prstamos ........................................................................................................... 188Resumen ............................................................................................................................................................... 190Actividades .......................................................................................................................................................... 191

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Ediciones Paraninfo I X

ndice

1 0 . L o s p r s t a m o s I I . E l a r r e n d a m i e n t o f i n a n c i e r o

( l e a s i n g f i n a n c i e r o ) ............................................................................................................ w10.1. Prstamos con periodos de carencia ................................................................................................................ 19610.2. Prstamos con tipos de inters revisables ........................................................................................................ 19710.3. La tasa anual equivalente (TAL) ..................................................................................................................... 199

10.3.1. Clculo de la TAE utilizando la hoja de clculo Excel de Microsoft ........................................................ 20210.4. Cancelacin anticipada de un prstamo ............................................................................................................ 20510.5. Prstamos amortizables por el sistema alemn ................................................................................................. 20810.6. Valor de un prstamo, el usufructo y la nuda propiedad .................................................................................... 21010.7. El leasing financiero ...................................................................................................................................... 212

10.7.1. Aspectos financieros ms habituales .................................................................................................... 21310.8. La hipoteca inversa ........................................................................................................................................ 215Resumen ............................................................................................................................................................... 218Actividades .......................................................................................................................................................... 219

1 1 . L o s e m p r s t i t o s ...................................................................................................................... 22511.1. Introduccin ............................................................................................................................................... 22611.2. Notaciones a emplear en un emprstito ........................................................................................................... 22611.3. Emprstito bsico o normal ........................................................................................................................... 226

11.3.1. Confeccin del cuadro de amortizacin ............................................................................................... 22711.4. Emprstito con prima de amortizacin y pagos constantes ............................................................................... 23311.5. Emprstito con cupn fraccionado ................................................................................................................. 23611.6. Emprstito con nmero de ttulos amortizados constante en cada periodo ........................................................... 23911.7. Emprstitos con trminos amortizativos variables en progresin aritmtica ........................................................ 240

11.7.1. Redondeo de las amortizaciones tericas ............................................................................................ 24111.8. Emprstitos con trminos amortizativos variables en progresin geomtrica ....................................................... 24311.9. Emprstitos con lotes ................................................................................................................................... 244

11.9.1. Emprstitos con lotes constantes ....................................................................................................... 24411.9.2. Emprstitos con lotes variables independientes ..................................................................................... 24611.9.3. Emprstitos con lotes variables dependientes ....................................................................................... 248

11.10. Emprstitos cupn cero ......................................................................................................................... 24811.10.1. Cupn cero con rentabilidad similar para todos los ttulos .................................................................... 24811.10.2. Cupn cero con rentabilidad distinta y prefijada cada ao .................................................................... 250

11.11. Emprstitos con prima de amortizacin variables ............................................................................................ 252Resumen ............................................................................................................................................................... 254Actividades .......................................................................................................................................................... 254

1 2 . S e l e c c i n d e i n v e r s i o n e s .............................................................................................. 25712.1. Concepto de inversin. Clasificacin .............................................................................................................. 25812.2. Dimensin financiera de la inversin .............................................................................................................. 25812.3. Mtodos de valoracin y seleccin de inversiones ........................................................................................... 25912.4. El criterio del flujo neto de caja por unidad monetaria invertida ........................................................................ 26012.5. Criterio del finjo neto de caja medio anual por unidad monetaria invertida ........................................................ 260

X Ediciones Paraninfo

ndice

12.6. Criterio del plazo de recuperacin o payback .............................................................................................. 26112.7. Criterio de la tasa de rendimiento contable ................................................................................................... 26112.8. El valor capital o valor actual neto (VAN) .................................................................................................... 263

12.8.1. La tasa de descuento o actualizacin (/Q ............................................................................................ 26412.8.2. El valor actual neto en Excel .............................................................................................................. 266

12.9. El payback descontado .............................................................................................................................. 26912.10. Tipo de rendimiento interno (TIR) ................................................................................................................. 271

12.10.1. Clculo de la Tasa Interna de Rentabilidad a travs de Excel .............................................................. 27212.11. Valor actual neto frente a la TIR .................................................................................................................... 274

12.11.1. Equivalencia de los dos criterios en decisiones de aceptacin o rechazo de una inversin simple ................ 27512.11.2. Equivalencia de ambos criterios en jerarquizacin de inversiones .......................................................... 276


1 3 . C l a s i f i c a c i n d e l a s f u e n t e s d e f i n a n c i a c i n .

F u e n t e s d e f i n a n c i a c i n a l a r g o y a c o r t o p l a z o .................................... 28513.1. Clasificacin de las fuentes de financiacin ...................................................................................................... 286

13.1.1. Segn la propiedad ............................................................................................................................ 28613.1.2. Segn su procedencia ......................................................................................................................... 287

13.2. Financiacin interna o autofinanciacin ........................................................................................................... 28713.2.1. Ventajas e inconvenientes de la autofinanciacin .................................................................................... 289

13.3. Puentes de financiacin a corlo plazo .............................................................................................................. 28913.3.1. El crdito comercial (financiacin espontnea) ....................................................................................... 28913.3.2. El descuento comercial ...................................................................................................................... 29113.3.3. Prstamos bancarios a corto plazo ........................................................................................................ 29113.3.4. Cuentas corrientes de crdito ............................................................................................................... 29113.3.5. Clculo de la TAE en las cuentas corrientes de crdito ............................................................................ 29513.3.6. El factoring ........................................................................................................................................ 297

13.4. Fuentes de financiacin a medio y largo plazo .................................................................................................. 29713.4.1. Prstamos a medio y largo plazo ......................................................................................................... 29713.4.2. Emprstitos ........................................................................................................................................ 29713.4.3. Ampliaciones de capital ...................................................................................................................... 29913.4.4. El leasing ......................................................................................................................................... 303


1 4 . P e r i o d o m e d i o d e m a d u r a c i n . C a p i t a l c i r c u l a n t e o f o n d od e r o t a c i n . R a t i o s f i n a n c i e r o s .......................................................................... 311

14.1. El ciclo de explotacin o ciclo dinero-mercanca-dinero ...................................................................................... 31214.2. El periodo medio de maduracin o de rotacin ............................................................................................ 312

14.2.1. Rotacin del almacn de aprovisionamiento ........................................................................................ 31314.2.2. Rotacin de fabricacin o del almacn de productos en curso ................................................................. 31414.2.3. Rotacin de ventas o del almacn de productos terminados ..................................................................... 31414.2.4. Rotacin de clientes .......................................................................................................................... 314

14.3. Clasificacin del balance en masas patrimoniales .......................................................................................... 31714.4. El capital circulante, fondo de rotacin o fondo de maniobra ........................................................................... 320

(g> Ediciones Paraninfo XI

14.4.1. Qu significa este capital circulante, fondo de rotacin o fondo de maniobra? ........................................... 32114.4.2. Capital circulante, fondo de rotacin o fondo de maniobra existente ........................................................ 32114.4.3. Capital circulante, fondo de rotacin o fondo de maniobra necesario ....................................................... 322

14.5. Anlisis financiero mediante ratios .................................................................................................................. 32414.6. El coeficiente bsico de financiacin ............................................................................................................... 32514.7. Otros ratios financieros .................................................................................................................................. 32614.8. Ratios de endeudamiento ............................................................................................................................... 32714.9. Gestin econmica ........................................................................................................................................ 329

14.9.1. El punto muerto o umbral de rentabilidad .............................................................................................. 32914.9.2. Ratios de gestin econmica ............................................................................................................... 331


1 5 . M e d i o s y d o c u m e n t o s d e c o b r o y d e p a g o ................................................ m i15.1. El proceso de pago ........................................................................................................................................ 34215.2. La letra de cambio......................................................................................................................................... 342

15.2.1. Definicin ....................................................................................................................................... 34215.2.2. La transmisin de la letra ................................................................................................................. 34215.2.3. Elementos personales de la letra de cambio ........................................................................................... 34315.2.4. Requisitos esenciales de la letra de cambio ........................................................................................... 34415.2.5. Vencimiento de la letra de cambio ..................................................................................................... 34615.2.6. El pago de la letra ........................................................................................................................... 34615.2.7. Aceptacin ..................................................................................................................................... 34615.2.8. El endoso ....................................................................................................................................... 34715.2.9. Clusulas cambiaras ....................................................................................................................... 347

15.2.10. Acciones cambiaras ........................................................................................................................ 34715.2.11. El protesto de la letra ....................................................................................................................... 348

15.3. El pagar ...................................................................................................................................................... 35015.3.1. Requisitos ......................................................................................................................................... 350

15.4. El cheque ..................................................................................................................................................... 35115.4.1. Requisitos esenciales del cheque ......................................................................................................... 35115.4.2. Emisin del cheque ............................................................................................................................ 35215.4.3. Cheques especiales ............................................................................................................................ 35215.4.4. El pago del cheque ............................................................................................................................ 354

15.5. Otros medios de pago ..................................................................................................................................... 35615.5.1. I-a transferencia bancaria .................................................................................................................... 35615.5.2. Las domiciliaciones bancarias .............................................................................................................. 35615.5.3. El giro postal ..................................................................................................................................... 35615.5.4. Las tarjetas bancarias ......................................................................................................................... 35615.5.5. Tarjetas comerciales ........................................................................................................................... 35715.5.6. Contra reembolso ............................................................................................................................... 357


1 6 . E l s e r v i c i o d e c a j a . G e s t i n d e c o b r o s y p a g o s ...................................... 36i16.1. Los libros en la empresa ................................................................................................................................ 36216.2. Libro registro de caja ..................................................................................................................................... 36216.3. Libro registro de bancos ................................................................................................................................ 363

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XII

16.4. Gestin de las cuentas bancarias ..................................................................................................................... 36516.5. Libro registro de efectos a pagar .................................................................................................................... 36516.6. Libro registro de efectos a cobrar ................................................................................................................... 366Resumen ............................................................................................................................................................... 367Actividades .......................................................................................................................................................... 368

17. El presupuesto de tesorera .................................................. 37117.1. La planificacin ............................................................................................................................................ 37217.2. El presupuesto de tesorera .............................................................................................................................. 37217.3. Situaciones presupuestarias de la tesorera ........................................................................................................ 37217.4. Coreccin de los desequilibrios presupuestarios ................................................................................................. 375

17.4.1. Dficit presupuestario ......................................................................................................................... 37517.4.2. Supervit presupuestario ..................................................................................................................... 375

17.5. Ratios de tesorera ......................................................................................................................................... 375Resumen ............................................................................................................................................................... 376Actividades .......................................................................................................................................................... 377

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Ediciones Paraninfo

El presente manual se cie a los contenidos del mdulo de Gestin Financiera perteneciente al ciclo formativo de Grado Superior de Administracin y Finanzas. Sin embargo, no es til exclusivamente para los alumnos que cursen estos estudios, sino que ha sido enfocado para que cualquier persona que desee introducirse en el mundo de la gestin financiera de la empresa pueda hacerlo, a travs de una exposicin terica bsica, desarrollada mediante unidades de trabajo, complementadas con resmenes y ejercicios prcticos lo ms prximos posible a la realidad empresarial, as como con lecturas, basadas en noticias econmicas actuales, que permiten dar una visin ms realista a lo aprendido en algunas unidades.

A travs de este manual he intentado que el lector pueda comprender cmo un banco puede dar un prstamo al 0% de inters nominal pero TA E del 5%, que sepa tomar medidas de precaucin al emitir un cheque, que sepa elegir entre un prstamo y una cuenta corriente de crdito, que pueda escoger la fuente de financiacin idnea a su empresa y al tipo de activo que desea financiar, que tenga claro qu es el capital circulante y cmo afecta a la estructura financiera de la empresa...

La actual edicin ha sido revisada y puesta al da. de forma que. entre otros aspectos. se han actualizado los tipos impositivos del IV A , las retenciones, que en concepto de pago a cuenta del 1RPF o del Impuesto de Sociedades se cargan en los intereses a favor del cliente en determinados productos financieros, actualizndolas del 18% al 19%; se ha desarrollado un apartado, en las unidades dedicadas a los prstamos financieros, dedicado a un novedoso producto en Espaa (no tanto en los pases anglosajones, donde lleva aos comercializndose), la hipoteca inversa, con la que el Ejecutivo trata de facilitar rentas complementaras a las de las prestaciones pblicas, a los jubilados.

Adems, en esta edicin se han ampliado el nmero de situaciones en las que se introduce la hoja de clculo como una herramienta ms del estudiante.

Finalmente, quiero dar las gracias a todos los profesores y estudiantes que han hecho posible esta nueva edicin y expresar mi deseo de que siga satisfaciendo sus necesidades.

E L A U T O R

(c) Ediciones Paraninfo

El capital financiero

ID El capital financiero

1 El capita! financiero

1 .1

*El principio de .subestimacin de las necesidades futuras es unconcepto financiero bsico, segn el cual, entre dos bienes que pueden satisfacer de la misma manera una necesidad se tiende a elegir el que est disponible de forma ms inmediata, es decir, se prefiere el momento presente al futuro.

*Capital Hilandero -(C, /)

Llamaremos:C'a la cuanta en unidades mo

netarias del bien./ al momento en que est dis

ponible dicha cantidad.

C2 = 35.000 f

C, = 30.000

i i i i0 1 2 3 4 5 6

Figura 1.2.

E l tiempo ha sido tratado de muy distintas formas a lo largo de la historia desde el punto de vista econmico. En sus orgenes se consideraba una magnitud neutra, pero ms adelante empez a introducirse en los modelos econmicos como una variable exgena. En la actualidad, el tiempo se considera un bien econmico, en el sentido de que todo proceso productivo consume materias primas, mano de obra, etc., pero tambin tiempo, y entre dos procesos productivos de similar rendimiento la lgica econmica nos dice que se elegir el que consuma menos tiempo.

La implicacin del tiempo en las matemticas financieras es bsica, hasta el punto de que nosotros deberemos relacionar siempre la cuanta de un bien (que para homogeneizar siempre expresaremos en unidades monetarias) con el momento en que est disponible.

As, llamaremos capital financiero a la cuanta de un bien econmico (valorado en unidades monetarias para tener una unidad homognea de medicin) referida al momento de su disponibilidad.

Grficamente, existen distintas formas de representacin; las ms utilizadas son las de la Figura I . I .

-------------------------- , ( C , , / 2)11111

V , > I C | i

1111

C%1

C| C \

/, i /, r2 t

Figura 1.1. Representacin del capital financiero.

Operacin financieraLlamaremos operacin financiera a todo intercambio no simultneo de capitales

financieros.

EJEM PLOUn inversor abre un depsito a plazo en un banco ingresando 30.000 . El

banco le devuelve dos aos despus 35.000 .Estamos ante una operacin financiera, ya que se sustituyen dos capitales fi

nancieros no simultneos. Los capitales financieros son:C, = 30.000. /, = 0 o bien (30.000. 0)C2 = 35.000, 2 = 2 o bien (35.000. 2)

La representacin grfica de estos capitales la vemos en la Figura 1.2.

a) Elementos de la operacin financieraEn toda operacin financiera podemos destacar los siguientes elementos:

1 .2

2 Ediciones Paraninfo

[I capital financiero

Origen: vencimiento de) primer capital. Final: vencimiento del ltimo capital. Duracin: diferencia entre ambos vencimientos. Acreedor: persona que entrega el primer capital y comienza la operacin co

mo acreedor. Deudor: persona que recibe el primer capital y comienza como deudor. Prestacin: conjunto de capitales que forman el compromiso del acreedor. Contraprestacin: conjunto de capitales que forman el compromiso del

deudor. Ley financiera: es la expresin matemtica pactada previamente que sirve

para calcular los capitales que equilibran la operacin financiera, de forma que acreedor y deudor queden saldados.

%En trminos financieros, dos bienes de igual cuanta no valen lo mismo si estn disponibles en momentos distintos, siendo ms preciad el de vencimiento ms prximo.

EJEM PLOUn ciudadano recibe de una entidad financiera un prstamo de 6.XX) a de

volver en tres pagos anuales de 2.200 (intereses incluidos).

La operacin financiera estar formada por los capitales financieros:

Cf = 6.000. 1 = 0 o bien (6.000, 0)Cj = 2.200, /= 1 o bien (2.200,1)C2 = 2.2K), t = 2 o bien (2.200, 2)C , = 2.200, / = 3 o bien (2.200, 3)

El acreedor ser aquel que entrega el primer capital, por tanto la entidad financiera. El deudor, aquel que comienza la operacin recibiendo el primer capital, el ciudadano que solicita el prstamo.

Al conjunto de capitales de la entidad financiera lo llamaremos prestacin (PR ), en este caso PR = {(6.000, ())}.

Al conjunto de capitales del deudor lo llamaremos contraprestacin de la operacin financiera (CPR ); as:

CPR = {(2.200. I), (2.200, 2), (2.200, 3)}

Origen: momento de recepcin del prstamo.Final: ao tercero desde la recepcin.Duracin: tres aos.

bl Clasificacin de las operaciones financieras

Se pueden clasificar atendiendo a varios criterios: Segn la naturaleza de los capitales que las integran.

Operacin financiera cierta si iodos los capitales son conocidos con certeza.Operacin financiera aleatoria si al menos uno de los capitales es aleatorio (ya sea en cuanta o vencimiento).

Segn la duracin de la operacin.Se clasifican en corto plazo y largo plazo segn sea inferior o superior a un ao respectivamente, si bien el lmite de separacin no es muy preciso.

Ediciones Paraninfo 3


Segn los compromisos adquiridos por las partes, en operaciones financieras simples o compuestas.En las primeras la prestacin y contraprestacin estn formadas por un nico capital; en las segundas la prestacin y/o la contraprestacin tienen ms de un capital.

Segn el momento en que se sustituyen o comparan capitales hablaremos de operaciones de capitalizacin o de descuento.Si el momento en que se sustituyen o comparan capitales es mayor o igual al ltimo vencimiento, la operacin financiera es de capitalizacin; si. por el contrario, es inferior o igual al primer vencimiento, estaremos ante operaciones de descuento. Se suele decir que si ese momento est entre el primero y el ltimo vencimiento la operacin financiera es mixta.

Segn el sentido crediticio de la operacin.Se clasifican en crdito unilateral si el acreedor conserva esta situacin durante toda la operacin financiera, o en crdito recproco si. fruto de los intercambios de capitales, el acreedor se puede transformar en deudor en alguno de los momentos.

Un inversor deposita 3.000 en un depsito bancario a plazo fijo esperando que ste le devuelva 3.300 dentro de once meses.

Estamos ante una operacin financiera de las siguientes caractersticas:Operacin financiera cierta: las cuantas y plazos de vencimiento de los capita

les de la prestacin y contraprestacin son ciertos.Operacin financiera de corto plazo: duracin inferior a un ao.Operacin financiera simple: la prestacin est compuesta slo por un capital y

la contraprestacin tambin.Operacin financiera de capitalizacin: se sustituye un capital por otro cuyo

vencimiento es mayor (nueve meses).Operacin de crdito unilateral: el banco es deudor y el inversor acreedor

durante toda la operacin.

Son operaciones financieras de capitalizacin aquellas en las que el momento de sustitucin o comparacin de capitales (P ) es igual o mayor que el ltimo vencimiento.

EJEM PLO

Operaciones financieras de capitalizacin y de descuento

fin trminos financieros, un capital sometido a una ley de capitalizacin no puede dar como resultado un capital financiero menor. C0 C, C2 C, Q4-----1----- 1----- 1-----1----- i----- 1-----1----- 1----- y

0 1 2 3 4 ------------------------ P

Figura 1.3. Operacin financiera de capitalizacin.


c,

Figura 1.4. Operacin de capitalizacin.

C.

Figura 1.5. Interes en una operacin de capitalizacin.

*A la diferencia entre el capital obtenido y el inicial se la llama IN T ER ES (/).Son operaciones financieras de descuento aquellas en las que el momento en el

que se sustituyen o comparan los capitales (V ) es inferior o igual al menor de los vencimientos.

Q Q - l Q - 2 Q * 3 Q 4

-H--- 1--- 1--- 1--- f-A' A'+l A'+2 +3A'+4

Figura 1.6. Operacin financiera de descuento.

Figura 1.7. Operacin financiera de descuento.

A la diferencia entre el capital original (C ) y el capital fruto de la operacin de descuento (C ) se la llama CANTID AD DESCONTADA O D ESCUENTO (I ) ).

EJEM PLOUn inversor pide un prstamo de 12.000 a una entidad financiera, pactando

su devolucin seis meses despus por 12.500 .La operacin financiera es de capitalizacin, puesto que se sustituye el capital

(12.000, 0) por (12.500. 6). Como es lgico, C, > C0 y 12.500 > 2.000. y el inters ser:

I = 0, - C0 = 12.5(H) - 12.000 = 500

C - 12 500 e

Figura 1.8.

EJEM PLOUn empresario tiene un derecho de cobro por 1.500 de uno de sus clientes,

documentado en una letra de cambio que vence dentro de noventa das. Puesto que necesita el dinero decide acudir a un banco para que se lo adelante, y ste le entrega 1.450 .

La operacin financiera es de descuento, puesto que se sustituye un capital futuro por otro ms cercano en el tiempo.

El descuento es:D = Cim - C0 = 1.500 - 1.450 = 50


*En trminos financien, un capital sometido a una ley de descuento no puede dar como resultado un capital financiero mayor.


1 El capital financieroCn~ 1.500

Figura 1.9.

Rgimen de capitalizacin y descuentoLas leyes financieras a travs de las cuales se pueden calcular capitales financie

ros equivalentes a otros en momentos distintos del tiempo reciben el nombre de regmenes de capitalizacin y descuento; las ms frecuentes son:

a) Capitalizacin simple:Operaciones de capitalizacin en las que los intereses se calculan sobre el

capital inicial, es decir, no se acumulan para el clculo de intereses del periodo siguiente. Se utiliza normalmente en operaciones a cono plazo.

b) Capitalizacin compuesta:Operaciones de capitalizacin en las que los intereses se van acumulando

periodo a periodo. Se utiliza normalmente en operaciones a largo plazo.c) Descuento simple:

Operaciones de descuento en las que los intereses a descontar no se acumulan periodo a periodo sino que se calculan siempre sobre el capital inicial; se usa en el corto plazo, y se podr dividir en descuento simple racional y comercial.

d) Descuento compuesto:Operaciones de descuento en las que los intereses a descontar se van acu

mulando periodo a periodo. Se utiliza normalmente para descuento a largo plazo y se podr dividir en descuento compuesto racional y comercial.

listos regmenes de capitalizacin y descuento son el objeto de estudio de las siguientes unidades.

R esum enRecibe el nombre de capital financiero la medida de un bien econmico (normalmente en unidades moneta

rias para homogeneizar) referida al momento de su disponibilidad.Una operacin financiera es todo intercambio no simultneo de capitales financieros.

Los elementos que constituyen una operacin financiera son: el origen, final y duracin de la operacin, el acreedor, el deudor, la prestacin, la contraprestacin y la ley financiera aplicada en dicha operacin.

Las operaciones financieras se pueden clasificar en ciertas y aleatorias, de corto y largo plazo, simples o compuestas, de crdito unilateral o recproco, y en de capitalizacin o de descuento.

Son operaciones financieras de capitalizacin aquellas en las que el momento de sustitucin o comparacin de capitales (P ) es igual o mayor que el ltimo vencimiento. Se pueden dividir en operaciones de capitalizacin simple y compuesta.

Son operaciones financieras de descuento aquellas en las que el momento en el que se sustituyen o comparan los capitales (P ) es inferior o igual al menor de los vencimientos. Se pueden dividir en operaciones de descuento simple y compuesto.

Recuerda que...Son operaciones financieras de capitalizacin aquellas en las que el momento de sustitucin o comparacin de capitales (/) es igual o mayor que el ltimo vencimiento.

Recuerda que...Son operaciones financieras de descuento aquellas en las que el momento en el que se sustituyen o comparan los capitales (/) es inferior o igual al menor de los vencimientos.

1.4



Gestin Financiera Aci1vldades1.1 Representar grficamente los siguientes capitales financieros si sabemos que estn expresados en euros y en

aos:(1.000,1) (3.(XX), 2) (500,4)

1.2 Representar grficamente los siguientes capitales financieros si estn expresados en euros y en meses:(500,2) (700,4) (l.(XX). 1)

1.3 Indicar cules de los siguientes pares de capitales financieros, medidos en euros y meses, ser ms atractivo desde un punto de vista financiero:

a) (2.000, I ) y (2.000,2).b) (5.000, 2) y (6.000. 2).c) (6.000, 2) y (8.000, 3).d) (6.000, 2) y (4.000, 3).

1.4 Imagina que un familiar te propone regalarte 1.000 hoy mismo, o esa misma cantidad dentro de 12 aos. Qu elegiras? Qu principio financiero define tu decisin?

1.5 Juan presta a Luis 1.500 con un determinado inters, y dos meses despus vuelve a prestarle otros 500 . A losseis meses Luis devuelve a Juan I.(XX) y dos meses ms tarde otros 1.000 . considerando las dos partessaldada la deuda:

a) Representar grficamente los capitales de Luis y Juan por separado.b) Identificar los elementos que intervienen.c) Clasificar la operacin financiera.

1.6 Un inversor adquiere acciones de la compaa ATT que cotiza en bolsa por 10 . con el objetivo de venderlas seis meses despus.

Clasificar la operacin financiera en cierta o aleatoria.

1.7 Un ciudadano comenz a cotizar a los 28 aos en el Sistema Pblico de la Seguridad Social 150 todos losmeses. Llegado a los 65 aos comienza a recibir una pensin hasta su fallecimiento de 620 /mes:

a) Podemos considerar esta situacin una operacin financiera?b) Clasifcala.

1.8 Un empresario le debe a un proveedor 2.000 que se comprometi a pasarle dentro de 12 meses. El proveedorofrece al empresario la posibilidad de pagar 1.800 si le paga dentro de 1 mes.

a) De qu tipo de operacin hablamos?b) Represntala grficamente.c) Calcula la cantidad descontada.


1.9 Un ahorrador acude a una entidad financiera con 3.000 para abrir un depsito de aliono a plazo fijo de 18 meses de duracin con la seguridad de que le devolvern 3.500 .a) De qu tipo de operacin se trata?b) Represntalo grficamente.c) Calcula los intereses generados.

1.10 Un estudiante se plantea, al comenzar sus estudios en la ESO. ahorrar todos los meses 20 para, al finalizar su ciclo formativo de Grado Superior en Administracin y Finanzas, marcharse al extranjero para mejorar su ingls. Clasificaras la operacin como una operacin de capitalizacin o de descuento?



El inters simple

re

Contenido

2.1. Capitalizacin simple2.2. Tantos equivalentes2.3. Ao civil y comercial2.4. Inters anticipado. Relacin con el inters

vencido2.5. Clculos abreviados2.6. Las cuentas corrientes

Objetivos

Calcular correctamente intereses y montantes en capitalizacin simple, asi como reconocer cualquier variable de la operacin conocidas las dems.Saber calcular y usar correctamente los tantos equivalentes.Saber diferenciar operaciones en ao civil y comercial, asi como conocer la relacin matemtica entre ellas.

i Entender el concepto de inters anticipado, asi como realizar clculos correctos en este tipo de operaciones.

i Saber calcular y entender la relacin de equivalencia entre intereses anticipados y vencidos.

i Conocer y saber explicar los mtodos abreviados de clculo de intereses.

En esta unidad veremos la capitalizacin simple, las relaciones entre el tiempo y el inters, el inters anticipado y los mtodos abreviados de clculo de intereses. Adems, estudiaremos brevemente una de las aplicaciones ms habituales del inters simple, la cuenta corriente.

2 El inters simple2.1

Sabas que...En este rgimen de capitalizacin los intereses crecen en la misma proporcin que el tiempo.

Capitalizacin simple

Sabas que...A pesar de que en la capitalizacin simple los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial. esto no significa que se distribuyan periodo a periodo, sino que se retienen hasta el final de la operacin, cuando se entregan de una sola vez. Efectivamente:En el primer periodo el capital ser:

C, - C0 + C0 i - C0 + /,En el segundo periodo se retienen los intereses, pero el clculo de los nuevos se hace sobre C0:

C2 = C0 + /, + r 0 / -= C0 + /, + 2

como/i-/2

entoncesC2 - C0 + 2/,

En el tercer periodo:Cj = C0 + / | + /> + C0 i =

= Cd + /| + /i +como

/, + /* = hentonces

C3 = C0 + 3/,En el periodo n:C Co + "/i Qi + "Co i

= Q (l + n'i)Luego hemos llegado a

C = C0(l + ir i) (2.3) | Resultado que ya conocamos.

Recibe el nombre de capitalizacin simple la ley financiera en la que los intereses de cada periodo de capitalizacin se calculan siempre sobre el capital inicial, es decir, no se van acumulando.

Si llamamos:

C0: Capital inicial./: Inters de un periodo.

l T: Intereses totales./: Tipo de inters anual en tanto por uno, que representa la cantidad que se ob

tiene por cada unidad monetaria invertida. n: Duracin de la operacin de capitalizacin.

Los intereses del primer periodo sern:

/i-C o-Los del segundo periodo:

h = c 0-iLos del tercer periodo:

Iy = C0 iLos del periodo /:

I = Q. * iLos intereses totales sern:

IT = I\ + h + h + + K = ( o*1 + Q + Q>'i Q i - C0- i n

IT = C0 ir (2.1)

Figura 2.1. Representacin grfica de los intereses totales en capitalizacin simple.

Llamaremos montante o capital final al capital obtenido al final de la operacin.

C - Co + r (2.2)

o bien

C = C0 + C0-i-n = C0( l + i n)

C ~ C0( I + /!!) (2.3)

10

0 1 2 3 4 nFigura 2.2. Representacin grfica del montante y de los intereses totales

en capitalizacin simple.

Como vemos, para un mismo capital y tipo de inters, cuanto mayor sea el tiempo que dura la operacin, mayor ser el montante obtenido. Adems, obsrvese como la diferencia entre el inters total obtenido y el montante es el capital inicial, por lo que ambas grficas resultan ser paralelas.

Este tipo de rgimen de capitalizacin se suele usar en la prctica en las operaciones a corto plazo (por motivos didcticos comenzaremos aplicndolo a operaciones cuya duracin sea superior al ao).

E JE M P L O Sa) Calcular el inters que producen 6.000 colocados al \2% anual durante seis

aos.IT = C o 'i'n

Recordemos que i ha de expresarse en tanto por uno, es decir, lo que nos va a generar cada euro invertido, mientras que en el enunciado viene expresado en tanto por ciento, es decir, lo que nos genera cada cien euros invertidos. Por tanto, para transformarlo:

Por tanto:lT = 6.000 -0,12 -6 = 4.320

b Calcular el montante de la operacin anterior:Existen dos posibilidades:1 > C = C0 + 1T = 6.000 + 4.320 = 10.320 2) C = CQ(1 +/) = 6.000(I + 0,12 6) = 10.320

2.1.1. Clculo de las variables que intervienen en la capitalizacin simple

a) Clculo del capital inicialDespejando C0 de la Ecuacin (2.2):

C C0 + T ~* C0 C l T (2.4)


Si lo hacemos en la (2.3):

C = C0( l + h a ) - C0 = (2.5)I + / n

EJEM PLO Sa) Un inversor sabe que le ingresaron en su cuenta corriente 2.900 por una

operacin pactada con un banco hace cuatro aos, en capitalizacin simple al 4% anual. Cul fue el capital inicial?

Desconocemos la cuanta de los intereses totales, por lo que aplicamos (2.5):

C 2.900C(1 = --- = --------- = 2.500

1 +//! |+ (),()4-4

I) Si sabemos que una operacin nos gener intereses totales por 500 , y que el montante ha ascendido a 6.700 , cul fue el capital inicial?

Podemos aplicar (2.4):

C0 = C T = 6.700 500 = 6.200

b) Clculo del tiempoPara calcular el tiempo de la operacin podemos despejar (2.1):

I T - C 0 i ' f i - = : (2.6)( o' '

Si no conocemos los intereses totales partiremos de (2.3):

c c c cs* r* \ I \ w I I - rj I - v v c = Co(l + / ) - = 1 + rn - > - I = / /# ----= 1 -n ->'-o ^(1 '--o

(2.7)

EJEM PLO Sa) Sabemos que nuestra inversin de 5.(XX) ha generado 700 en capitaliza

cin simple al 7% anual. Cunto tiempo dur la operacin?

IT 700n = - = = 2 aos

C / 5.000 0.07

bi Queremos saber cunto tiempo se mantuvo una inversin de 12.000 queprodujo un montante de 12.720 al 2% anual de capitalizacin simple.

12.720 12.000n = --------------= 3 aos12.000 0,02

El inters simple

c) Los intereses totalesSe pueden calcular a partir de (2 .1):

/ T = c0 i n

O bien como la siguiente diferencia:

h = C ~ ( o

EJEM PLOCalcular los intereses de una operacin en la que se obtuvo un capital final de

1.205 con una inversin inicial de 1.100 .

Ir = C C0 = 1.205 1.1 (X) = 105

d) Clculo del tipo de intersSe puede obtener de despejar (2.1):

( 2 .8 )

O bien de (2.3):

cm , ^ . c cn - c0 = I + //-* - I = I n -> ----= t nL-o C-o t 0

( 2 .9 )Cn'll

EJEM PLOUna operacin nos ha producido un montante de 544 durante 3 aos con una

inversin inicial de 400 . A qu tipo de inters se pact la operacin?

544 - 400 144 = _^ 3 ~ = ^ = 0 ' 12 = 0 J 2

Sabas que...Aunque hemos comentado que la capitalizacin simple se suele usar cn operaciones a corto plazo, en la realidad, ms que la duracin de la operacin, lo que define el tipo de rgimen de capitalizacin a usar es el tipo de operacin; as. las cuentas co mentes, libretas de ahorro, etc., usan este rgimen de capitalizacin. mientras que los depsitos a plazo lijo suelen usar la capitalizacin compuesta aunque la duracin de la operacin sea slo de unos pocos meses.

2.1.2. La capitalizacin simple en una hoja ExcelVamos a desarrollar en una hoja de Excel una posible representacin grfica de la

funcin de capitalizacin simple, que nos permita comparar resultados con diferentes capitales iniciales, y con distintos tipos de inters. Lgicamente, las posibilidades que se abren con una hoja de clculo son ilimitadas, aqu desarrollamos una posible solucin que nos ayude a comprender los conceptos bsicos de este tipo de capitalizacin.

Dentro de Excel, escribimos los ttulos de nuestras columnas en la fila 1. Despus, cn la celda A2, escribimos la frmula matemtica que permite calcular el capital final en capitalizacin simple, teniendo en cuenta en qu celdas se encontrarn los datos necesarios, tales como el tiempo, el capital inicial, etc.

(c) Ediciones Paraninfo 13

Cap^a U n ti i l tip da in frf f 1 C apirai Favai al a i rtpa da iitfa r ta 2 T am p a C a p to l W d a l T ipo d a to l i ta a 1 Tipo do nfoio 2=0-1 msiydj ZZ] I i I I I I

Repetimos el paso anterior en la celda B2, ya que vamos a comparar dos montantes a distintos tipo de inters. En este caso, el inters que se tomar es el de la celdaH2:

Finalmente, arrastramos con el ratn la frmula de la celda A2 hacia ahajo en la columna y, posteriormente, la de B2 en la suya, de forma que se copien en sus respectivas columnas.

e io g82

C ap lu l ftaal A lrtf 4 litttfa 1 Capital f inai * \ a l tip d im a * 2 n+mp Capital U d i i Tip 4 Intatto 1 Tipo 4a (m aria 2C000000

Ahora introduciremos los datos precisos para los clculos, as, introducimos primero el valor que tendr el capital inicial en E2. despus el tipo de inters de lo que ser la primera representacin en G2. y lo mismo para la segunda representacin, introducindolo en H2. En este punto es importante que se ponga junto a la cifra, el smbolo de % , ya que permite hacer saber a Excel que se trata de un tanto por ciento, y a la hora de aplicar los clculos, lo tomar como tal. sin necesidad de dividirlo entre I (X) para trabajar con tantos por uno.

Por ltimo introduciremos los datos del tiempo, es decir, la duracin de la operacin de la que vamos a calcular los capitales finales. Muy importante, para que la representacin grfica sea correcta, los valores dados deben ser equidistantes (2.4. 6. 8.....o 5. 10. 15, 20,...).

El inters simple 2

u o o o 13000 71200C 14300 4

13000 16000 6J4D00 *3000 615000 y r r i ) 1010300 72XJ 1?ira a o 2 0 0 14

Capita l to lt i li10000

Tip i i In it i * 1 l i p da IfitM a 7.5 % 10%

Como podemos observar, en las columnas A y B obtenemos los capitales finaleso montantes con diferentes duraciones de la operacin, y en dos tipos de inters distintos.

Vamos ahora a generar la representacin grfica de los mismos. Abrimos el men Insertar, y dentro de l Grficos, abrindose el asistente y eligiendo el tipo de grfico.

abas que...Si en Excel arrastramos una frmula matemtica en las celdas de una columna, cambiarn las referencias numricas de las mismas (Ai, A2. A3,...), mientras que. si la arrastramos en una fila, cambiarn las referencias alfabticas < Al. B l, C l,...).

Al pinchar en siguiente, nos pide el rango de datos a representar, primero pinchamos sobre la zona marcada.


2 El inters simple

Sab ias que...Para conseguir que en Excel las referencias a celdas de una frmula matemtica, permanezcan invariables al arrastrarla, se debe poner el smbolo S delante de las referencias que se desean que permanezcan invariables ($GS2).

Seleccionamos el rango de datos a representar incluyendo los ttulos de las columnas:

Pulsamos cerrar, se nos abrira una ventana con las representaciones graficas, y pulsamos la pcstana scries

Nos toca ahora indicar el rango de datos del eje de las X. para lo que pinchamos el smbolo sealando en la ventana anterior, y sealamos la columna C del tiempo, sin incluir el ttulo.

XC t f l U t Anal I dp* il* iM ai* 1 Capital F ina l a l al ilp .

1100012000'3000tooo15000

16000170CD

d* UiUi9 2 TWropala x o f1* 0 0 1 4;

teooo: 6;I8CD0: B;20000 10220CO* 12J24X01.......u:

C **fU t tailr.utlOCCC

1 CTipo * &nt*i+ 1 n p *< U lt* r t2

S % 10 %


Al cerrar la ventana emergente en X. se nos vuelve a abrir la ventana anterior, y pulsamos siguiente, se nos abrir una ventana, con diferentes pestaas, sobre las que podemos manipular la presentacin del grfico. Nosotros pinchamos la pestaa Titulo. y la rellenaremos de la siguiente forma:

Asistente para grficos - paso 3 de 4: opciones de grfico M 3 M

Ttulo? | Eje | Lneas de dvtstn | Leyenda | Rtulos de datos | Tabla de datos |R u to de l a ' fa o

ji|C ap ita liracn simple

E je de categw v&s (%):I Tiempo

cap ita l Finali

Segundo eie

2 El inters simple2.2

Perodos mAos 1Semestres 2Cuatrimostros 3Trimestres 4Bimestres 6Meses 12Semanas 52Das (ao civil) 365Dias (ao comercial) 360

Tantos equivalentesHasta ahora todos los periodos de tiempo considerados eran aos, y el tipo de

inters era anual, pero lgicamente nos podemos encontrar con que el tiempo no se mida en aos, sino en das, meses, trimestres, etc., o que el tipo de inters no sea anual, sino que sea un tipo de inters mensual, trimestral, etc.

En este caso existen dos posibilidades para solucionar el problema:a) Transformar el tiempo en la unidad temporal que mida el tipo de inters (este

mtodo se desarrolla en el apndice de la unidad).b) Transformar el tipo de inters en su equivalente de la unidad temporal en la

que estemos trabajando.Antes de proceder a la transformacin hay que tener claros los subperiodos que

posee un ao (lo que llamaremos frecuencia de fraccionamiento w).

Sabias que...En este rgimen de capitalizacin los tantos equivalentes son aquellos que se encuentran en la misma proporcin que el tiempo,

(2.10)1U

De ahora en adelante n representar el tiempo expresado en la misma unidad temporal a la que se refiera el tipo de inters.As, si el tipo de inters es diario. n se expresar en das: si es mensual, n se expresar en meses, etc. Hay que tener muy en cuenta este hecho a la hora de aplicar las frmulas vistas anteriormente: as. si en la Ecuacin (2.9) expresamos el tiempo en das, obtendremos el tipo de inters diario, pero si lo expresamos en meses, obtendremos el tipo de inters mensual (regla aplicable para el resto de las frmulas).

IM P O R T A N T E A

2.2.1. Tantos equivalentesLlamaremos tantos equivalentes a aquellos que aplicados a un mismo capital

inicial durante el mismo periodo de tiempo den los mismos intereses totales (y portanto capitales finales) independientemente de la unidad de tiempo con que se trabaje.

Imaginemos que tenemos un capital inicial C0, en capitalizacin simple durante un periodo de tiempo a un tipo de inters anual i. y queremos calcular el tanto equivalente a ste en una unidad temporal inferior, es decir, el tipo de inters que produce el mismo montante si se aplica sobre el mismo capital inicial y el mismo periodo de tiempo:

i: Tipo de inters anual.C0: Capital inicial.C: Capital final. n: Duracin de la operacin en aos.

w: Frecuencia de fraccionamiento (nmero de subperiodos que contiene un ao). i(m): Tanto equivalente (nuestra incgnita).

C,, = C0( 1 + i n) y deseamos que coincida con: C = C0 ( I + /

El inters simple

b) Calcular el tanto equivalente trimestral del 8% anual en capitalizacin simple:0,08

i(A) = = 0,02; en tanto por cien, un 2% trimestral

c) Calcular los intereses que producen 1.000 :1) Al 2% trimestral durante 8 trimestres.2) Al 8% anual durante 2 aos.

1) / = C0 i(4,/ = 1.000 0,02-8 = 1602) / = C0-/# = 1.000-0,08 -2 = 160

Los resultados coinciden, pues el 8% anual y el 2% trimestral son equivalentes en capitalizacin simple, y se capitalizan durante el mismo periodo de tiempo (dos aos son ocho trimestres, n = 2 y m = 4 en el primer caso).

EJEM PLOCalcular los intereses que producen 1.500 al 4% anual durante 2 trimestres. Calculamos primero el inters trimestral equivalente:

0.044 ~4~

Por tanto:/ = C0-i(4)-n = 1.500 -0.01 -2 = 30

, 4, = T = = 0,01

AtencinObservamos que si no hubisc mos calculado el inters trimestral equivalente y hubisemos trabajado con el 4% anual habramos calculado el inters de 2 aos!

/= 1.500-0,04-2 = 120 Como vemos, hay gran diferencia.

2.3 Ao civil y ao comercialCuando el fraccionamiento es diario surge la cuestin de si tomar el ao como 365

o redondear a 360 (30 das cada mes). Al primero se lo llama ao civil y al segundo, ao comercial. Ll clculo de intereses quedara:

h, = CQ ' m i) n = C0 ~ n (2.11)

Po r -t'o coerd'a.

Intenta averiguar cul es la causa de que surgiesen aos computados con 360 y 365 das en el mbito financiero.

K . o ( 0 ' *

con dos posibles resultados:

_ 5 C0-i n _ C0-i n _ 1 w " 360-365 72-365 12 "

5 C(> Cn i 12 ) / / = ---- ------= 2------= /

360-365 360-73 73 **

1 _ 1

72 /f' 73/ L = - K , = - c o (2.13)

2.3.2. Relacin por cociente entre inters comercial e inters civil

/

Ico U 360 i_ _ _ _ / _ _ 365/_73 /^ _ 73~ i ~ 360' 365 ~~ 360/ ~ 1 2 ^ lr i ~ 12

C r, ---- n0 365

_ 73 _ 72 ^ = 72 r^

(2.14) /r (2.15)

EJEM PLO Sa> Los intereses de un capital colocado a inters simple al 14.6% anual durante

120 das son 4.800 . Calcular el capital prestado si se considera ao civil.

i 0.1464.800 = ( V ,20

4.8004.800 = C 0.048 C0 = = 100.000

b Sabemos que un capital ha producido un inters calculado en ao civil de 850 . Cunto habra producido en ao comercial?

73 73/co = - / = - * 850 = 861,80

c) La diferencia enlre un inters calculado en ao comercial y en ao civil es de 35 . Si la inversin se mantuvo en capitalizacin simple 160 das al 6% anual, cul fue el capital inicial?

Ico - L = y2 h> 35 = ~ / ri - ici = 2.520

lci = C0 ~ n - 2.520 = C0~ - 160 - C0 = 95.812.5 305 305


El inters simple 2

3 Inters anticipado. Relacin con el inters vencido_______________________________

Hasta ahora, solamente hemos visto operaciones a inters vencido; es decir, un prestamista ceda un capital C0 y en el momento n el prestatario devolva C0 ms los intereses devengados (C).

cn = c0 + /Sin embargo, es posible que el prestamista cobre los intereses por anticipado; de

esta forma prestar C pero deducir los intereses por anticipado. con lo que al prestatario se le entregar una cantidad inferior (C0).

El inters cobrado por anticipado se calcular, segn lo visto, de la siguiente forma:

h> n ni (2.16)

ni: Frecuencia de fraccionamiento.C: Cantidad prestada sobre la que se deducen los intereses anticipados./: Inters anual anticipado cn tanto por uno. n: Tiempo./: Inters total anticipado.

La cantidad efectiva que se entregar ser el prstamo menos los intereses anticipados:

C0 - C n - I a (2.17)es decir:

(2.18)

Operacin inters vencido

Co-------------------

0 C. = C, + /

Operacin inters anticipadoC o = C - l a

C0 = Cn-/Figura 2.3. Inters vencido

e inters anticipado.

2.4.1. Relacin entre el inters anticipado y el vencido

De lo visto anteriormente se deduce que dos prstamos al mismo tipo de inters, uno vencido y otro anticipado, tendrn distinto coste para el prestatario (beneficio para el prestamista), siendo mayor el que se practica con tipo de inters anticipado, pues los intereses se calculan sobre C, que sabemos que es mayor que C0.

Podramos buscar qu tipo de inters vencido es equivalente a uno anticipado.Sabemos que la cantidad que se entrega a inters anticipado es:

c = c " ( ' - HPodemos buscar el inters vencido que permitira obtener C si se presta C0:

C0->C : C A ) ( + ~ " ) = c -v________ _______ >

V

Q

(c) Ediciones Paraninfo 21

2 El inters simpleDespejando:

I - n I 1 + n \ = 1 -+ I + n - n - r n - 1m ) \ ni J m in m

i ia i- ia 2 i n n i in n m i- ia it----n - ir = 0 - -- ---- s---- T 'n ~ 0m in n r n r n r n r

i n in L "n 'in i ' L n2-------- - j----- 2 = 0nt

i in - i in i ' ia n = 0 (2.18)/(m ia - n) itl in = 0

i (III - ia n) = ia in i = ---- :-- (2.19)in i 'ii

Si deseamos expresar i en funcin de i. partiendo de (2.18):

i- ir ni ia '( i- ir + n-m) = 0

i-ni ia -(i n + ni) = 0

ia (i n + ni) = i ni

hi m

( 2.20)

Recuerda que...Dos prstamos al mismo tipo de inters, uno vencido y otro anticipado, tendrn distinto coste para el prestatario (beneficio para el prestamista), siendo mayor el que se practica con tipo de inters anticipado.

Donde podemos observar que la relacin entre el inters anticipado y el inters vencido no es nica, sino que para cada inters vencido hay un equivalente anticipado en cada momento del tiempo.

Podemos buscar en qu momento del tiempo un inters anticipado es equivalente a otro vencido.De (2.19):

i ni i ni i ni i. ni ( i - ) nii- ta-n = tn m i ni n =

- f i o f io l ' l

(i i j m it = --------

Para que en algn momento del tiempo sean equivalentes un inters anticipado y uno vencido, el primero (/) debe ser menor que el segundo (/').

EJEM PLO Sa) Un inversor acostumbra a prestar su dinero al 10% a 6 meses. En adelante

desea prestar a inters anticipado, pero obteniendo la misma rentabilidad. A qu tipo debe prestar?

22

Para que la operacin sea equivalente, / < i = 0,1, y el valor en concreto de / lo obtenemos aplicando (2.20):

i m 0,1*12i. = ------ = ----------= 0,0952, es decir, al 9,52% de inters anticipado

i 'n + m 0,1 6 + 12Comprobemos que es correcto:

1) Prestando a inters vencido 10 :

C = C0 ^l + ~ " ) = < ( l + ( 7 '6) = ,05

2) Prestando al 9,5% de inters anticipado la cantidad de 10,5 debera entregar al prestatario en este momento:

/ ia \ ( 0.0952 \C0 = C 1 m ' n ) ~ 10-5* 1 ----- 2 1

En los dos casos la operacin es similar:C0 = 10 -* Cn = 10.5

Luego el 10% de inters vencido a seis meses es equivalente al 9,5% de inters anticipado a seis meses.

1) Seran equivalentes los anteriores tipos de inters si la operacin se pactase a 20 meses?

No, pues un inters anticipado es equivalente a otro vencido en un solo momento del tiempo.

Comprobemos que el resultado sera diferente:1) Prestando 10 a inters vencido del 10%.

C = C0( l + ^ - h ) = 10-( 1 + ^ - 2 0 ^ = 11,67

2) Prestando al 9,5% de inters anticipado la cantidad de 11,67 habra que entregar:

( L \ ( 0,0952 \Co = C ( 1 - - - " ) = 11.67-1 I ~ 20 | = 9,82

Luego no coinciden las operaciones:

a) C0= 10 y C = 11,67b) C0 = 9,82y C = 11,67

E l momento en que coinciden los dos intereses es en operaciones a:(i i j-m (0.1 0,0952) 12

n = ------ = ------ ---- . ^ -= 6 mesesi-i 0.1 0,0952

C) Indicar qu relacin existe entre el inters anticipado y el vencido si la operacin dura un ao:

En ese caso de (2.19):. = L >" i o

m - i a n 1 ia-1 1 i


2 El inters simpleRecuerda que...

La relacin entre el inters anticipado y el inters vencido no es nica, sino que para cada inters vencido hay un equivalente anticipado en cada momento del tiempo.

i I I Ii = (2.20)i n + ni

De (2.20):

i ni i I ii-n + ni i - 1 + 1 i + 1

Si la duracin de la operacin es exactamente un ao. la relacin entre los intereses anticipados y vencidos es:

Sabas que...Los nmeros comerciales son muy empleados en el mbito financiero para las liquidaciones cotidianas de intereses. Observa el extracto bancario de liquidacin peridica de intereses de alguna libreta de ahorro y. seguramente, vers cmo aparecen.

Clculos abreviadosEn la prctica, se suelen emplear mtodos abreviados muy tiles para el clculo de

inters cuando el tipo de inters que se aplica es constante y hay que capitalizar abundantes cantidades.

2.5.1. Nmeros comercialesRecibe este nombre el producto del capital por el tiempo:

2.5

NC = C n

NC: Nmeros comerciales.

De esta manera el clculo de los intereses quedar de la siguiente forma:

/ = O */ = = NC 1 = NC ( 2.22)ni ni ni ni

2.5.2. Multiplicador fijoEs el cociente entre el tipo de inters y la frecuencia de capitalizacin:

M = - (2.23)ni

M : Multiplicador fijo.

E l clculo de intereses ser el siguiente:

/ = C ---n = C M nni

o bien

/ = NC M (2.24)

24

2.5.3. Divisor fijoRecibo este nombre e! siguiente cociente:

con lo que:

m r 7

i I C uI = C - - / I = ( =

/ Ao bien

D/

(2.25)

(2.26)

(2.27)

EJEM PLOCalcular los intereses que producirn 2.500 , 1.250 y 3.000 si se capitali

zan durante 13, 25 y 56 das, respectivamente, al 5% de inters anual en capitalizacin simple, usando los nmeros comerciales y el divisor fijo (ao comercial):

En general:

l T = / 1 + / -> + / * + + I = C , * -------- / j + C ? IIy + C 3 ----------/ I 3 + +/w / ;w

+ Gt--W* = (C\ *M| + C2'-> + C3'/I3 + + C* /I*) =* m

=( iv , ( < V " * ) ATC*\ 1 - V'= 1 /_>'=!

7 i ------cy----------d T

En nuestro ejemplo:

I NChr =

h- ID,

C* nh NCh Ch- n h2.500 13 3 2 5 0 0

1.250 25 31 250

3,000 56 168 000

231.750

(2.28)

ni 360

NCh = 231.750 /l- 1

0,05

= 7.2(K) /r = A- 1I )f

231.7507.2(X)

= 32,19

/= 32.19


2 El inters simple

Averigua las condiciones contractuales de un par de cuentas corrientes o libretas de ahorro y clasifcalas en cuentas o libretas a inters recproco o no recproco y en cuentas o libretas a inters fijo o variable.

Las cuentas corrientesConstituyen una de las aplicaciones ms habituales del inters simple. Reflejan un

estado contable donde se recogen los movimientos de dos personas o entidades que acuerdan concederse mutuamente crdito, til caso ms habitual es aquel en el que una de esas personas es una entidad financiera (en este caso