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Gerencia Financiera
Administración de Empresas
Facultad de Ciencias económicas
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Tasas de Interés y equivalencias financieras
UNIDAD 1
“Compramos, lo que no necesitamos,
con el dinero que no tenemos
para impresionar a quien
no le importa”Portafolio.. Raúl Escobar
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Tasas de interés
Precio del dinero o si se quiere, el rendimiento
producido por una unidad de capital en un
período de tiempo.
Factores como la inflación, se expresan y
materializan a través de la Tasa de Interés.
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Clasificación de las Tasas de interés
¿Cómo conocer qué interés se pagó por un capital P?
¿Cómo saber qué tasa de interés se pago por ese mismo capital?
Las tasas pueden ser:
• Simples o compuestas.
• Nominales: pueden ser anticipadas o vencidas
• Efectivas: son vencidas
Las tasas nominales y efectivas pueden ser periódicas o subperiodicas
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Otras tasas:
Tasas equivalentes
Tasa de interés corriente
Tasa de interés real
Tasa compuesta
Tasa compuesta continuamente
Tasa indexada
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Interés simple
Son intereses que no generan intereses. Siempre se
calculan sobre el capital o préstamo original no pagado.
Para su calculo se utilizar
I = P * i * n
También se puede hallar el valor futuro (monto
acumulado) o presente de un préstamo a tasa simple con:
F = P(1 + i * n) F = P + I
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Entonces…
Período Capital Interés Capital Final
0-1 P I1 = P * i F1 = P + I1 F1 = P + Pi
1-2 P I2 = P * i F2 = F1 + I2 F2 = P + Pi + Pi F2 = P + 2Pi
2-3 P I3 = P * i F3 = F2 + I3 F3 = P + 2Pi + Pi F3 = P + 3Pi
….. …. ….. …..
(n -1)-n P In = P * i Fn = P + nPi Fn = P (1 + n*i)
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Interés simple
Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 2% mensual a interés simple durante cuatro meses ¿qué pago implica al final?
Mes Préstamo Interés Saldo
0 10.000 0 10.000
1 200 10.200
2 200 10.400
3 200 10.600
4 200 10.800
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Desventajas del interés simple
No es muy aplicado en finanzas.
No reconoce el valor del dinero en el tiempo (no valoriza)
Al no capitalizar los intereses no pagados genera una perdida del poder adquisitivo
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Interés compuesto
Acá los intereses generan intereses, ya sea que se paguen o
se capitalicen. Por tal razón los intereses de un período se
calculan con base en el saldo al principio del período.
Dos conceptos que se desprenden de este interés:
• Capitalización.
• Período de capitalización ≠ período de pago.
La formula para su calculo es:
F = P (1 + i)n ≈ P(F/P, i%,n). De aquí se desprende las demás
formulas
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Interés compuesto…entonces
De donde (1 + i)n es el factor de capitalización en pago único
Período Capital Interés/Período Capital Final
0-1 P I1 = P * i F1 = P + I1 F1 = P + Pi F1 = P (1 + i)
1-2 P (1 + i) I2 = P (1+ i) * i
F2 = F1 + I2 F2 = P(1+i) + Pi (1+i) F2 = P (1+i)
2
2-3 P (1 + i)2
I3 = P (1 + i)2 * i
F3 = F2 + I3 F3 = P(1+i) + Pi(1+i)
2
F3 = P(1+i)3
….. …. ….. …..
(n -1)-n P (1+ i)n-1
In = Pi (1 + i)n-1
Fn = P (1 + i)n
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Interés compuesto
Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 2%
mensual a interés compuesto durante cuatro meses,
¿qué pago implica al final?
Mes Préstamo Interés Saldo
0 10.000 0 10.000
1 200 10.200
2 204 10.404
3 208,08 10.612,08
4 212,24 10.824,13
Calcula a partir de la formula cada una de las variables de la
misma.. Posteriormente hazlo por las funciones de excel
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Características del interés compuesto
El capital se incrementa período tras período, debido a
la __________ de los intereses.
Según lo anterior la tasa de interés se cobra siempre
sobre un __________ diferente.
Por tanto los intereses periódicos siempre serán
_______.
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Tasas de interés efectivas y nominales
Tasa Efectiva:
Tasa que mide el costo real de un crédito o la
rentabilidad real de una inversión. Esta tasa tiene
implícito el interés compuesto, ya que su
resultado viene de la capitalización de los
intereses
Puede ser periódica o subperiódica
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Gráficamente sería:
1 (Período)
1
i
2 3 c Subperíodos
ic
0
P
F
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Tasa nominal
Es sólo una tasa de referencia, ya que no determina la tasa real que secobrará en un crédito o una inversión. Generalmente se expresa poraños y su capitalización es subperiódica.
• Interés nominal vencido: su pago es al final del período.
Ejemplo:
22% nominal anual con capitalización trimestral
22% anual capitalizable mensualmente
22% capitalizable semestralmente
22% bimestre vencido (22% BV)
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Tasas equivalentes
Dos tasas son equivalentes cuando en el mismo
horizonte de tiempo y con diferentes periodos
de capitalización producen el mismo capital
final.
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Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas:
La expresión matemática resulta de:
Si por interés compuesto F = P (1+i)1 F = P (1+ic)c
Entonces P (1+i)1 = P (1+ic)c , queda
De donde:
i: Tasa efectiva por período (vencido).
c: Número de subperíodos del período.
ic: Tasa efectiva por subperíodo (vencido).
i = (1+ic)c -1
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Ejemplo: un préstamo de $10.000 a una tasa del 26.824%efectivo anual, que se paga en cuotas mensuales, ¿a quétasa de interés efectivo mensual equivale?
1
26,824%
2 3
ic = ?
0
10.000
Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas:
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r = ic * c
El 2% efectivo mensual ¿es equivalente al 24% efectivo
anual o al 24% nominal anual M.V?
Por definición ,
de donde:
ic: tasa efectiva por subperíodo (v).
c: número de subperíodos del período.
r: tasa nominal por período (v) con capitalización por
subperíodo.
Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas y nominales
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Otra formula es:
Si: ic = r/c
Reemplazando ic en i = (1+ ic)c – 1
Quedará:
Nota: estas se puede hallar directamente por las funciones de excel
Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas y nominales
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Para tasas efectivas que no son anuales queda:
is = (1 + r/c)c/m - 1
Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas y nominales
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Ejemplo: Se tiene una tasa del 24% anual
MV, ¿cuál es la tasa efectiva anual
equivalente?.
Tasas equivalentes…Entre tasas efectivas y nominales
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Tasas equivalentes
Transforme las siguientes tasa nominales anuales a
efectivas:
• 30 % AMV a efectiva mensual
• 36 % AMV a efectivo anual
• 25% AV a efectivo anual
• 24% ATV a efectivo anual
• 18% ABV a efectivo bimensual
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Tasas equivalentes
Transforme las siguientes tasa efectivas a nominales
anuales:
• 40% EA a nominal ATV
• 7.5% ET a nominal ATV
• 21% EA a nominal ASV
• 36% EA a nominal AMV
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Ejercicio
Si el banco le ofrece un crédito de $1’000.000 al 36% anual MV, usted
qué prefiere, según el costo: que le cobren $30.000 mensuales o
$92.700 trimestrales de interés o que le cambiaran la tasa del
36%MV por una del 37.09% TV?
Desarrollo:
1. El 36% MV equivales al 3% EM
2. El 3% EM equivale al 9.27% ET
3. El 9.27% ET equivale al 37.09% TV
¿Y si el problema fuera la liquidez?
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El triangulo de las vencidas
i
(1 + ic)c -1 i =( 1+ (r / c))
c - 1
ic r
r = ic * c
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Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
Existe un tope para las tasas llamado _______, pero no para
la modalidad de cobro.
¿Cuál es el efecto de cobrar una tasa de interés anticipada?
¿Por qué se da ese efecto?
F=P(1+i)n
Devolución
préstamo
CI
0 1 año
PRESTAMO
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1. Cuando las tasa se expresan por periodo y los intereses se
capitalizan por adelantado en el mismo periodo:
Gráficamente:
Si F=P(1 + i)1 P = (p - ra*p)(1 + i)
1= (1 - ra)(1+i) i = ra / (1-ra)
P - ra * P
1 período
0
P
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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ra = tasa de interés por período con cobro anticipado de los intereses por período.
i = tasa de interés efectiva por período con cobro de intereses por período vencido.
P= valor del préstamo.
Ejemplo: en un préstamo de $100.000 a un año cuyos intereses son al 30% AA. ¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente?
¿Cuál debería ser la tasa anticipada para que lo cobrado fuera efectivamente un 30% anual?
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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ra = rac * c
i = ( c / (c – ra) )n - 1
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
Cuando las tasas efectivas se expresan por periodo y
las tasas anticipadas son periódicas y capitalizan
subperiódicamente, entonces:
i = ra / ( 1- ra)
Además, si: i = ra / ( 1- ic)c -1
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F = P(1 – ia)-n
i = tasa de interés efectivo por periodo (vencido).
rac= Tasa de interés nominal por período con descuento
anticipado de interés por subperíodo.
ra = Tasa de interés nominal por periodo con descuento de
interés por período (anticipado).
Nota: Para el calculo de interés compuesto con tasas
anticipadas la formula es
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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Cuando la tasa efectiva no es periódica
isup = ( c / (c – ra) )n/m - 1
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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Ejemplo:
Una tasa nominal anual del 36% trimestral
anticipada (36% TA), ¿a qué tasa efectiva
anual equivale?
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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Ejercicio:
¿Cuál es la tasa trimestral anticipada equivalente a una
tasa del 2% mensual anticipada (MA)?
1. Convertir la tasa del 2% MA a efectiva mensual.
2. Pasar el resultado a efectiva trimestral
3. Pasar a trimestral anticipada
Tasas equivalentes…Entre tasas de interés anticipadas y tasas efectivas
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El pentágono de las tasas
rac
i = ( c / (c – ra) )n - 1 ra = rac * c
i = ra / (1-ra) ra
i
(1 + ic)c -1
ic
r = ic * c r i =( 1+ (r / c))c - 1
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Tasa de interés corriente
También llamada tasa de mercado.
Su cálculo parte de la relación entre la oferta y
la demanda de dinero
Si O de $ > a la D de $ ⇒ la tasa…
Si O de $ < a la D de $ ⇒ la tasa…
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Tasa de interés real
Es la tasa de interés activa ajustada por la
inflación, lo que significa que contempla…
o
Incluye el riesgo inflacionario
Ecuación de Fisher
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Tasa de interés real
Ejemplo:
¿Cuál es el interés real si le prestamos a un
amigo al 4% y el índice de inflación es del
0,25%?
¿Qué prefiere usted como prestatario, tomar
dineros prestados a interés real o nominal?
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Tasa de compuesta
Aquellas que resultan de la aplicación
simultánea de dos tasas
Por ello se trata de determinar una tasa
equivalente a las dos que se aplican en la
operación
ic= i1 + i2 + i1*i2 o (1 +i1)*(1+i2)-1
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Tasa de compuesta
Ejemplo: un préstamo en dólares a una tasa del
15% anual, donde la tasa de hoy es del
$1044,54 y se espera que en un año sea de
$1159.44, ¿cuál es el costo del préstamo?
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Tasa de compuesta continua
Cuando la frecuencia con la que el interés se
capitaliza crece indefinidamente, se habla de
que los intereses generan intereses en forma
continua, llamándosele interés compuesto
continuo al que se calcula de ese modo.
S= P.e j*t
I= S- P
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Tasa de compuesta continua
Si Oscar Balbuena depositó $32,000.00 al 9% anual capitalizable
continuamente, determine el monto y el interés total ganado al cabo
de 2½ años
Marcos Alegría le presta a un amigo $70,000.00 por 9 meses,
cobrándole un 15% anual convertible bimestral. Al finalizar ese
plazo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que
abona el 14.5% compuesto continuamente. Determine qué monto
acumulará el Sr. Alegría al cabo de 24 meses.
¿Qué cantidad habría que invertir ahora a una tasa del 26.5%
compuesto continuamente, para disponer de $65,000.00 dentro de 6
meses?
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Tasas indexadas
Su variación depende de una tasa básica (base) más un porcentaje
fijo (spread)
Están avalados por la autoridad monetaria
Las principales tasas indexadas son:
1) En Colombia; el UVR, el DTF y el IPC
2) En el extranjero: están en función de la tasa prime o la libor
Se indexan a través de la siguiente formula:
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Tasas indexadas
Ejemplo:
Su padre que ya se pensiono tramita un crédito a través del FOPEP y
autoriza a este para descontar de su pensión, los pagos mensuales del
préstamo, a Bancolombia.
El préstamo se pacta al DTF + 11,56% EA. Si hoy el DTF está a 3,98%
EA, determine la tasa indexada que pagará el usuario.
Dsllo:
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Tasas indexadas
Ejemplo con UVR : Formula: UVRt = UVR15 * (1 + i)t/d
Donde:
UVRt = valor en dinero de la UVR el día t del período calculado
UVR15: valor en dinero de la UVR el último día del período de calculo
anterior
i: variación mensual del IPC durante el mes calendario inmediatamente
anterior al mes del inicio del período de cálculo
t= número de días calendario transcurrido desde el inicio de un período de
cálculo, hasta el día del cálculo de la UVR.
d= número de días calendario del respectivo período de cálculo (tendrá un
valor entre 28 y 31)
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Tasas indexadas
Ejemplo:
Si el valor del UVR para el día 28 de marzo de 2016 fue de $106, 4656 y la
inflación del mes de febrero fue del 2,3% mensual, calcule el valor del
UVR para el día 29 de marzo de 2016.
UVR29 = UVR28 * (1 + 0,023)1/31 = 106.5437
Ejemplo con la libor o la prime:
https://www.youtube.com/watch?v=QzJt8dU5KYA
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Tasas indexadas
Ejemplo con la libor o la prime
https://www.youtube.com/watch?v=QzJt8dU5KYA
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Tasas y el rendimiento
Tasa de inflación:
Si la inflación promedio mensual durante los 5 primeros meses de cierto año
fue del 5%, un articulo que al principio del primer mes valía $1000, ¿qué
valor tendrá al final del quinto mes?
Entonces VF = 1000*(1+0,05)^5 VF= 1131,4
Si la inflación es diferente cada mes se puede usar:
Vf = vp*(1+ inf m1)*(1+inf m2)*(1+inf m3)…. (1+inf mn)
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Tasas y el rendimiento
Tasa deflactada
Tasa que el mercado financiero estaría dispuesto a pagar en ausencia de la
inflación
Pero como la inflación afecta el rendimiento de cualquier inversión, esta se
debe de considerar.
Tipos de rendimiento:
1. Rendimiento efectivo: al que aspira el inversionista
TE = (1 + TD)(1+INF) -1
De donde: TD es la tasa deflactada, INF = inflación
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Tasas y el rendimiento2. Rendimiento neto:
Resulta de descontarle al rendimiento efectico los impuestos
RN: TE *(1 – RF)
De donde: TE es la tasa efectiva y RF es la tasa de la retención en la fuente
3. Rendimiento real:
Sale de descontarle al rendimiento neto, la inflación del periodo
RR = (RN – INF) / (1 +INF)
De donde: RN es el rendimiento neto, INF = inflación
Como no siempre se aplica la rete fuente, podemos calcular el rendimiento real en
función del rendimiento efectivo
RR= (TE – INF)/(1+INF)