geomtrig_bt

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

DEL ESTADO DE SONORA

Módulo de aprendizaje

Geometría y Trigonometría

Hermosillo, Sonora, enero del 2010

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La escondida no. 34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. C.P. 83249

Geometría y trigonometría


Copyright ©, 2010 por Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora

Todos los derechos reservados

Primera edición 2010. Impreso en México

Registro ISBN:

DIRECTORIO

MTRO. Martín Alejandro López García

Director General

M.C. José Carlos Aguirre Rosas

Director Académico

ING. José Francisco Arriaga Moreno

Director Administrativo

L.A.E. Martín Francisco Quintanar Luján

Director de Finanzas

LIC. Alfredo Ortega López

Director de Planeación

Lic. Gerardo Gaytán Fox

Director de Vinculación

C.P. Rafael Pablos Tavares

Director del Órgano de Control

Geometría y Trigonometría

Datos del alumno

Nombre ________________________________________________________

Plantel _______________________Grupo ______________Turno _________

Domicilio _______________________________________________________

___________________________________ Teléfono ___________________

Celular _____________________ e-mail _____________________________

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE SONORA.

DIRECCIÓN ACADÉMICA

Departamento de Desarrollo Curricular

Calle La Escondida #34, Col. Santa Fe,

Hermosillo, Sonora, México. CP. 83249

Geometría y trigonometría


Segundo semestre

Elaboradores

Eneida Domínguez Gracia

Francisco Javier Cruz Barra

Jorge Luis Figueroa Arce

Ranulfo González Olivas

Ma. Asunción Santana Rojas

Supervisión académica

Ma. Asunción Santana Rojas

Eneida Esmeralda Montaño Martínez

Jesús Enrique Córdova Bustamante

Coordinación técnica

Sandra Elivia Becerril López

Coordinación general

José Carlos Aguirre Rosas

BACHILLERATO TECNOLÓGICO

UBICACIÓN CURRICULAR

COMPONENTE:

de formación básica

CAMPO DE CONOCIMIENTO:

Matemáticas

HORAS SEMANALES: 4 CRÉDITOS: 8

ASIGNATURA

ANTECEDENTE:

Álgebra

ASIGNATURA

CONSECUENTE:

Cálculo

ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍA Y

TRIGONOMETRÍA

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

GEOMETRÍA

Figuras Geométricas

Generalidades

Ángulos

Triángulos

Polígonos

Circunferencia

Ecuaciones Exponenciales

TRIGONOMETRÍA

Relaciones Trascendentes

Funciones Trigonométricas

Identidades Trigonométricas

Ecuaciones Trigonométricas

Ecuaciones Logarítmicas

11

INDICE

Presentación………………………………………………………………………………………..

Recomendaciones para el alumno …………………………………………………………….....

14

15

Competencias………………………………………………………………………………………. 17

UNIDAD I: GEOMETRÍA 19

Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 21

1.1 Generalidades 23

1.1.1. Antecedentes Históricos y conceptos básicos………………………….……………… 23

1.1.2. Conceptos básicos………………………………………………………………………… 26

1.1.3. Método deductivo………………………………………………………………………… 28

1.1.4. Método inductivo…………………………………………………………………………. 29

1.2 Ángulos 33

1.2.1. Notación y clasificación…..….………………………………………………………….. 33

1.2.2. Sistemas de Medición ……………………………………………………………………. 39

1.2.3. Conversiones……………………………………………………………………………… 41

1.2.4. Teoremas…………………………..………………………………………..……………. 47

1.3 Triángulos 52

1.3.1. Notación y Clasificación…….…………………………………………………………… 52

1.3.2. Rectas y puntos notables…….…………………… ……………………………………. 54

1.3.3. Teoremas…………………..…….……………………………………………………….. 58

Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 69

Instrumentos de evaluación……………………………………………………………………… 72

UNIDAD II: POLIGONOS, CIRCUNFERENCIAS Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS. 75

Evaluación diagnóstica……………………………………………………………………………. 77

2.1 Polígonos 79

12

2.1.1. Notación y Clasificación…………………………………………………………………. 79

2.1.2. Ángulos interiores y exteriores…..……………………………………………………… 83

2.1.3. Diagonales………..…………..………………….……………………………………….. 85

2.1.4. Perímetros y áreas…..…………………………………………………………………… 89

2.1.5. Teoremas…………………………………………………………………………………. 93

2.2 Circunferencia 97

2.2.1. Elementos…..………………………………………..….……………………………….. 97

2.2.2. Ángulos en la circunferencia…………………………………………………………….. 101

2.2.3. Área del Círculo…………………………………………………………………………. 104

2.2.4. Perímetros. ……..………………………………………….…………………………….. 105

2.2.5. Áreas de Figuras circulares….………………………………………………………… 111

2.2.6. Teoremas………..…..……………………………………………………………………. 115

2.3 Funciones Trigonométricas 118

2.3.1. Relaciones trigonométricas…………….………………………………………………. 118

2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo………………………………………………….. 122

2.3.3. Funciones en el triángulo rectángulo…...….…………………………………………. 124

2.3.4. Funciones en el círculo unitario…………...……………………………………………. 127

2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos…………..………………………..................... 129

Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 136

Instrumentos de evaluación…..………..……………………… ……….…………………….. 138

UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA 141

Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………….. 143

3.1 Triángulos Oblicuángulos 144

3.1.1. Ley de senos………………………….………………………………………………….. 144

3.1. 2. Ley de cosenos……………………….…………………………………………………. 151

13

3.2 Identidades trigonométricas 155

3.2.1. Identidades fundamentales………………………….………………………………….. 155

3.2. 2. Demostración de identidades…..……………….…………………………………….. 159

3.3 Ecuaciones Trigonométricas 162

3.3.1. Propiedades…..……………………….…………………………………………………. 162

3.3. 2. Procedimientos de solución………….………………………………………………… 164

3.4 Ecuaciones Exponenciales 168

3.4.1. Propiedades…………………………….……………………………………………….. 168

3.4. 2. Procedimientos de solución…….…….………………………………………………... 170

3.5 Ecuaciones Logarítmicas 172

3.5.1. Propiedades…………………….…….…………………………………………………. 172

3.5.2. Procedimientos de solución…….…….………………………………………………… 173

Autoevaluación…………………………..……………………… ……….…………………….. 179

Instrumentos de evaluación……………..……………………… ……….…………………….. 181

Criterios de evaluación………………………………………………………………………….. 183

Respuestas de las autoevaluaciones………………………………………………………….. 186

Glosario……………………………………………………………………………………………. 192

Bibliografía………………………………………………………………………………………. 199

14

PRESENTACIÓN

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, comprometido con la calidad educativa, ha implementado acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de estas, la elaboración del presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de Álgebra, que cursarás durante este tu primer semestre. La asignatura de Geometría y Trigonometría, tiene como propósito desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y representación de problemas que implican figuras geométricas en un clima de participación y responsabilidad. Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades, descritas a continuación:

UNIDAD I. Geometría

UNIDAD II. Polígonos, circunferencia y funciones trigonométricas

UNIDAD III. Trigonometría

En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través de

ejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas para

los alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos a

realizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las bases

necesarias, para tu éxito académico.

15

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo que el Colegio de

Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Sonora, ha realizado, para brindarte los

contenidos que se abordarán en la asignatura de Geometría y Trigonometría.

Los contenidos de Geometría, serán abordados a través de diversos textos, ejercicios,

evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de las actividades

propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunas otras,

colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tu

profesor.

Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser

enriquecido consultando otras fuentes de información.

Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengas

conocimientos previos de lo que se estudiará.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,

propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos de

trabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajes

significativos.

Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el área

de las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.

Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo de

aprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje

y así mismo, despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, te

deseamos el mayor de los éxitos.

16

Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento.

Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase.

Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.

Tarea de investigación.

Material recortable que utilizará para resolver algunas de las tareas a elaborar en casa.

Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana.

Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.

Aprendizajes a lograr, descritos al inicio de cada subtema.

17

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Desarrollar la capacidad de la orientación espacial, mediante el análisis y

representación de problemas que implican figuras geométricas, en un clima

de participación y responsabilidad.

Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos

Resuelve problemas cotidianos utilizando operaciones algebraicas.

18

COMPETENCIAS

Genéricas:

Disciplinarias:

Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de

procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y

análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos

matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta

los objetivos que persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

19

Unidad I GEOMETRÍA

TEMARIO

1.1. GENERALIDADES

1.1.1. Antecedentes Históricos

1.1.2. Conceptos básicos

1.1.3. Método deductivo

1.1.4. Método inductivo

1.2. ÁNGULOS

1.2.1. Notación y clasificación

1.2.2. Sistemas de medición

1.2.3. Conversiones

1.2.4. Teoremas

1.3. TRIÁNGULOS


1.3.2. Rectas y puntos notables

1.3.3. Teoremas

COMPETENCIAS

Al término de esta unidad, el estudiante:

Construir e interpretar modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

Formular y resolver problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

21

1.- Rama de las Matemática que estudia las figuras y sus propiedades.

a) Álgebra b) Probabilidad c) Aritmética d) Geometría e) Cálculo

2.- Figura formada por tres lados y tres ángulos

a) Rectángulo b) Circunferencia c) Triángulo d) Rombo e) Trapecio

3.- Un ángulo recto es aquel cuya medida corresponde a:

a) 180° b) 90° c) 45° d) 360° e) 270°

4.- Se les llama así a las líneas que nunca se juntan o intersectan por más que se

prolonguen.

a) Oblicuas b) Paralelas c) Perpendiculares d) Concurrentes e) Divergentes

5.- Nombre que recibe el ángulo que mide menos de 90°

a) Completo b) Llano c) Entrante d) Recto e) Agudo

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción

múltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temas

de álgebra que profundizarás con más detalle a lo largo a las

actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas

subrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás

encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

Evaluación diagnóstica

22

6.- Dos figuras que tiene la misma forma pero diferente tamaño se llaman:

a) Congruentes b) Equivalentes c) Semejantes d) Opuestas e) Excluyentes

7.-Las líneas que al cortarse forman ángulo de 90° reciben el nombre de:

a) Paralelas b) Perpendiculares c) Concurrentes e) Divergentes e) Equivalentes 8.- Nombre que recibe el ángulo que mide el ángulo de 180°

a) Colineal o llano b) Recto c) Obtuso d) Entrante e) Agudo

9.- Nombre que recibe el triángulo con tres lados iguales.

a) Triángulos b) Equiángulo c) Obtusángulo d) Equilátero e) Isósceles

10.- Es la medida de los ángulos interiores de todo triángulo.

a) 45° b) 90° c) 180° d) 360° e) 270°

23

En la historia de la humanidad se han hecho inventos que

se basaron en propiedades y características de distintas

figuras y cuerpos geométricos; como la rueda cuya

aplicación inicial fue al transporte y posteriormente se aplicó

a los molinos de granos. En Egipto la construcción de las

pirámides requirió de conocimientos de la Geometría.

1.1. GENERALIDADES

1.1.1. Antecedentes Históricos

Sin duda alguna, ya estás familiarizado con figuras geométricas y algunas propiedades características de cada una de ellas, sin embargo el propósito de este tema es que conozcas algunos hechos trascendentales a lo largo de la historia; y como algunas culturas de la antigüedad hicieron aportaciones importantes a la geometría.

Posteriormente tendrás la oportunidad de profundizar con más detalle reuniéndote en equipo y de forma individual resolverán situaciones donde apliquen las propiedades y teoremas importantes en la solución de problemas reales.

Como podrás recordar, la Geometría es una ciencia que estudia las propiedades de las figuras geométricas, sin embargo es considerada como una de las Ramas de las Matemáticas más intuitivas y relacionadas con la realidad y que ha evolucionado en forma creciente en abstracciones y generalidades.

EJEMPLO

.

Sesión

3

Conoce y diferencia las aportaciones más relevantes que hicieron culturas como los babilonios, asirios, egipcios y los griegos

Identificar personajes que le dieron el carácter de ciencia a la geometría.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.


Aprendizajes a lograr

24

Etapas de la Geometría

Según escritos encontrados a lo largo de la historia de la humanidad, los hechos más

importantes referidos a la ciencia de la Geometría apuntan a las culturas de los

babilonios, egipcios y los griegos.

Sumerios –Babilonios.

Las culturas que se desarrollaron alrededor de los ríos Tigris y Éufrates de la antigua Mesopotamia fueron los sumerios, acadios, asirios y babilonios; en base a las necesidades de resolver algunos problemas comunes, ya calculaban áreas de algunas figuras geométricas, como el rectángulo y el triángulo; se les atribuye la invención de la rueda y la obtención del grado sexagesimal como proceso de dividir la circunferencia en

360 partes iguales, establecieron las primeras aproximaciones de pi ( mediante la relación numérica entre el diámetro y su circunferencia.

Egipcios

Debido a que la población vivió prácticamente en los márgenes del rio Nilo, su principal actividad fue la agricultura, uno de los problemas que enfrentaron fue los desbordamientos del ríos en época de lluvia por lo que literalmente arrasaba con las tierras de cultivo y que constantemente tenías que realizar medidas de perímetros y áreas para delimitar sus parcelas con la finalidad de calcular el nuevo pago de impuestos que debían hacer como dueños del terreno, de aquí que Geometría provenga del vocablo Griego Geo (tierra) y metría( medida) y que significa medidas de tierras, así que prácticamente se le atribuye el descubrimiento de la geometría a raíz de ese fenómeno. Además calcularon áreas de triángulos como el isósceles, trapecio y círculo así como

volúmenes de poliedros como el caso de las pirámides; dieron un valor aproximado para igual a 3.1604 , como herramienta de medición característica de esa fecha surge el cordel como regla y compás para la construcción y diseño de las pirámides. Griegos Los primeros tratados formales de la geometría datan de la época de Tales de Mileto; famoso por su teorema de las rectas paralelas y por haber hecho las primeras aproximaciones de las alturas de las pirámides de Egipto mediante la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes, fundó la escuela Jónica distinguiéndose entre los discípulos más destacados Pitágoras de Samus famoso por su teorema del triángulo rectángulo.

Otro personaje famoso fue Arquímedes de Siracusa quién descubrió diversas formas de medir la superficie de algunas figuras curvas, así como el área y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas como los cilindros, aunque sobresalieron otros personajes

Realiza la siguiente lectura y contesta el cuestionario localizado al

final de esta actividad.

Individual Ejercicio no. 1

25

famoso por sus contribuciones, sin duda el personaje considerado por algunos como el que le dio un orden lógico a todas las aportaciones de la Geometría fue Euclides de Alejandría quién escribió la obra cumbre llamada los Elementos y que consiste en 13 tomos o volúmenes considerados como la base de la Geometría Elemental o Euclidiana dichos manuscritos contiene todas las contribuciones en orden lógico compuestos por toda la base axiomática , sus postulados, teoremas y lemas.

1.- Nombre de las culturas que se establecieron en la antigua Mesopotamia y que se les atribuye la invención de la rueda. _____________________________________________

2.- La _______________________________significa medida de tierras.

3.- Los ______________________________ le dieron carácter de ciencia a la geometría.

4.- _____________________________fue quién estableció el teorema entre las rectas paralelas y realizó las primeras aproximaciones de la altura de las pirámides de Egipto.

5.- En_______________________ se realizaban cálculos de perímetros y áreas debido al desbordamiento del rio__________________

6.- Este personaje _________________________ estableció el teorema que lleva su nombre y que relaciona los cuadrados de los lados del triangulo____________________

7.-

8.- _______________________fue quien organizó toda la teoría de la Geometría agrupándola en _____________volúmenes.

9.- Esta cultura _____________________ dividió la circunferencia en _______ obteniendo así el grado_________________________

10.- Es el nombre que recibió la obra más famosa de la antigüedad y donde se organiza y establece toda la teoría axiomática de la Geometría._____________________________

Cuestionario

26

1.1.2. Conceptos Básicos

Dentro de la Geometría existen algunos elementos considerados por algunos, como conocimientos primitivos, por no poderse definir apropiadamente y que se consideran como la base de la construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos.

Para poder trazar una línea siempre partimos de un

punto, para dibujar un ángulo utilizamos dos líneas

que parten de un mismo punto, para dibujar un plano

o superficie es necesario utilizar por lo menos tres

líneas; para construir un cuerpo geométrico

utilizamos superficies o planos

EJEMPLO.

Sesión

4


Define los elementos básicos en la construcción de figuras geométricas.



.

Investigar de manera individual, ¿cuáles son los elementos

básicos de la geometría y realiza el ejercicio No. 1 de manera

individual

Tarea de investigación no. 1

27

Elemento Geométrico Idea o concepción Representación Notación

Se considera carente

de dimensiones y se

determina a partir de la

huella que deja la

punta del lápiz o pluma

Se caracteriza por

medio de una sucesión

continua de puntos con

una misma dirección

Plano

Segmento de recta

Sesión

5

En base a lo investigado previamente, completa la siguiente tabla y comenta tus resultados ante el grupo.


A B

28

1.1.3. Método Deductivo

Sin duda alguna; fue el razonamiento adoptado por los griegos permitiéndole construir de forma lógica toda la teoría axiomática de la Geometría logrando alcanzar el carácter de ciencia.

Este método consiste en encadenar de forma lógica enunciados o proposiciones verdaderas de tal forma que se puedan obtener nuevos conocimientos verdaderos a partir de ellos.

Aunque no todas las proposiciones son posibles deducirse de otras, la validez o veracidad de estas, las hace clasificarse en axiomas, teoremas, postulados, corolarios, lemas y escolios.

Una característica significativa de este razonamiento es que comúnmente parte de leyes generales para aplicarlas a casos particulares.

EJEMPLO.

Enunciados escritos en forma deductiva: a. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180°

b. El triangulo rectángulo tiene un ángulo recto.

c. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo

suman 90°

d.

Describe las características principales del método deductivo Describe las distintas proposiciones lógicas que hacen del

método deductivo su consistencia Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Describe las características del razonamiento deductivo


Investiga en qué consiste el método deductivo y cuales son el

tipo de proposiciones utilizadas y en qué consiste cada una de

ellas. Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesta

el ejercicio No. 2 de manera individual


29

1.- El ____________________ es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema considerado en ocasiones como un teorema preliminar a otro que se considera más importante.

2.- Esta proposición se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. _______________________.

3.- Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin ninguna demostración _____________________.

4.- El _____________________es una proposición que puede ser demostrada mediante el uso de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

5.- Se le llama así a la proposición que a pesar que no es tan evidente se admite sin demostración.________________________.

1.1.4. Método Inductivo

Prácticamente es lo opuesto al método deductivo por partir de situaciones particulares y llegar a conclusiones que generalizan una situación determinada.

Aunque en ocasiones suele ser un poco impreciso debido a que no todo el tiempo se puede generalizar una situación particular o sacar predicciones o conjeturas verdaderas.

En base a lo investigado previamente, coloca sobre las líneas la

palabra axioma, postulado, teorema, lema y corolario según tu

información obtenida.


Sesión

6

Definir el método inductivo. Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos

contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

.


30

En Matemáticas puede ser útil para inducir alguna expresión que generaliza una situación particular.

Otro ejemplo que genera una conjetura falsa es el caso siguiente:

Supongamos que un alumno se ha dado cuenta que el último viernes de cada mes,

durante los últimos tres meses, el maestro ha venido poniendo exámenes sorpresa. Esto

no garantiza que el último viernes del próximo mes el maestro aplicará un examen

sorpresa.

EJEMPLO.

Enunciados que implican la forma inductiva: La suma de los primeros números impares naturales:

1 = 1 11 = 1

1+3 = 4 22 = 4

1+3+5= 9 32 = 9

1+3+5+7 = 16 42 = 16

1+3+5+7+9 =25 52 = 25

Entonces podemos concluir que para los primeros “n”

números naturales:

1+3+5+…..+ n = n2

Investiga en qué consiste el método inductivo.


31

1.- Explica brevemente en qué consiste el método inductivo y da un ejemplo.

2.- ¿Cuántos cuadros tendrá la figura siguiente? ___________

3.- Observa la situación siguiente y concluye cuantos apretones de mano se darán 7

personas? __________________________

1 persona 2 personas 3 personas 4 personas

0 apretones de manos




Grupo Ejercicio no. 1

Considerando la investigación realizada y reúnete en parejas

resolver las situaciones siguientes y comenta los resultados de

manera grupal.

32

Escribe sobre la línea, las palabras: Línea horizontal, líneas paralelas, línea vertical,

ángulo, plano y líneas perpendiculares; según lo indique cada una de las letras en la

vivienda.

a: ______________________ B: ______________________ C: ________________________

D: _______________________ E: _____________________ F: __________________________

C

E

D

a

B

F

Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación _____________________ Página _________

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana

33

1.2. ÁNGULOS


En la vida cotidiana, estamos rodeados de figuras geométricas y muchas de ellas

tienen como elementos a los ángulos.

Sesión

7

EJEMPLO.

Define y representa de forma simbólica y geométrica a los ángulos

Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su medida y comparación con otro.

Nombra a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal.





34

Cuando dos rectas se cortan o intersectan, dividen al plano en cuatro regiones llamadas

ángulos. En particular si nos referimos a uno de ellos, entonces un ángulo es el que se

forma por dos semirrectas que parten del mismo punto. Las semirrectas reciben el

nombre de lados del ángulo y el punto de partida se llama vértice.

En la notación de los ángulos se utiliza el símbolo precedido de una letra mayúscula que se coloca en el vértice; o tres letras mayúsculas cuidando que la que se encuentra en el vértice quede en medio de las otras dos; también se utiliza una letra minúscula o un número arábigo que se coloca dentro del ángulo.; la letra minúscula también puede ser una letra del alfabeto griego.

A BAC ó CAB a

Vértice

Lado

Lado

Ángulo

Revisa la siguiente información referente a la definición, notación

y clasificación de los ángulos y contesta la actividad al final de la

lectura.


35

Actividad: Escribe el nombre correspondiente en torno su medida de cada uno de los

ángulos identificados en la vivienda.

C = _______________

D = _______________ E = ______________

B

D

C

A

E

En base a su medida los ángulos reciben diferentes

nombres

Recto = 90°

90°90

Obtuso mayor de

90°

90°90

Agudo menos de 90°

menomenos

Entrante o cóncavo mayor a 180° Colineal o llano =

180°

Perígono o completo = 360°

36

Los ángulos a y b reciben el nombre de

ángulos externos

Cuando un ángulo comparte elementos en común con otro, entonces estos ángulos

reciben diferentes nombres dependiendo a la posición y amplitud de cada uno de ellos.

Una recta que corta a dos rectas paralelas, forma con ella 8 ángulos. Por la posición que tiene cada uno de ellos reciben diferentes nombres.

I.- Identifica los ángulos que correspondan en cada figura y escribe en la segunda

columna el número o números que correspondan al tipo de ángulos de acuerdo a su

definición.

h g

f e

d

a

c

b

b a

1

b

a

3

a b

2

Investiga en qué consisten los ángulos adyacentes,

consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios,

suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos

rectas paralelas cortadas por una secante o transversal y con

ella resuelve el ejercicio No. 4 de la siguiente sesión.


Ejercicio no. 2

Reúnete en pareja y tomando como referencia la tarea de

investigación No. 4, realiza la siguiente actividad y compara tus

respuestas ante el grupo.

Grupo

37

2.- Escribe en los espacios en blanco la palabra que concuerde con el enunciado.

a) Son dos ángulos que sumados equivalen a 90° ________________________

b) Los ángulos ___________________________suman 360°

c) Los ángulos________________________ son los que están formados de tal manera

que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta.

d) _____________________________tienen el mismo vértice y los lados de uno son las

prolongaciones del otro además son iguales.

e) Los ángulos_________________________ suman 180°

f) Son aquellos que tiene un lado en común y el mismo vértice. ____________________

ÁNGULOS FIGURA No.

Complementarios

Adyacente 2 y

Suplementarios

Consecutivos

Conjugados

Opuestos por el vértice

4 b

a

b

a

5

a

c

b

6

38

3.- Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a los siguientes

NOMBRE DEL ÁNGULO LETRAS

Externos a

Internos e

Alternos – externos a = g

Alternos-internos c = e

Correspondientes a = e

h g

f e

d

a

c

b

39

1.2.2. Sistemas de medición

Las unidades de medidas angulares más comunes son los grados sexagesimales y lo

radianes.

El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360m partes

iguales, una de esas partes corresponde a un grado 1°. A su vez cada grado se divide en

60 partes iguales llamadas minutos (´) y cada minuto en 60 partes iguales llamados

segundos (”).

Un ángulo que mida 23 grados con 15 minutos y 12 segundos se escribe como:

23° 15´12”.

Sesión

9

El sistema Circular: su unidad de medida es el

radián (rad), consiste en la abertura de un ángulo

cuyo vértice está en el centro de la circunferencia

y sus lados cortan un arco cuya longitud es igual

al radio de la misma.

Identifica y diferencia las características propias de cada sistema de medición

Realiza conversiones de la forma sexagesimal a decimal y viceversa.





40

I. Convierte cada medida a la forma sexagesimal.

a) 42.543° = _______________________

b) 56.5° = _______________________

c) 75.92° = _______________________

II. Convierte las siguientes medidas a la forma decimal.

a) 45° 42´56” = _____________________

b) 79° 10´40” = _____________________

c) 210° 32´45” = ____________________

EJEMPLO.

Generalmente utilizamos medidas angulares como 23.42° la cual llamaremos forma común o decimal. Para expresarla a la forma sexagesimal, se multiplica la parte decimal por 60. (0.42°) x 60 =25.2´ entonces tenemos 25 minutos (25´) y la parte decimal (0.2´) x 60 = 12”. Por lo tanto la medida 23.42° = 23° 25´12”.

Si se tiene un ángulo en forma sexagesimal 42° 25´ 42” para convertirlo a la forma

común, dividimos 42”/60 = 0.7 y lo sumamos a los minutos 25´+ 0.7 = 25.7´ y dividimos

de nuevo entre 60.

25.7´/60 = 0.428° y se lo sumamos a lo grados obteniendo 42.428° = 42° 25´42”.

Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada

parte.


41

1.2.3. Conversiones

De acuerdo a definición del radián; hay 2 rad en la circunferencia, entonces como

Consecuencia

Para convertir 1.5 rad a grados solo se multiplica por 57.29°

1.5 (57.29°) = 85.935°

Para convertir 200° a radianes solo se divide entre 57.29°

200°/57.29° = 3.49 rad

2 rad = 360° ó rad = 180°

EJEMPLO.

Si rad = 180° ¿cuántos grados equivale 1 radián?

Utilizando una regla de tres simple:

1 rad = 180/3.1416 = 57.29° = 57° 17´ 44”

Sesión

10

Conoce y aplica la equivalencia en la conversión de unidades angulares

Realiza conversiones de grados a radianes y radianes a grados.

Realiza conversiones entre el sistema de radianes a grados

como múltiplos de Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en

distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.



42

I. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a grados.

a) 6 rad = __________________

b) 1.4 rad = __________________

c) 4.5 rad = __________________

II. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a radianes.

d) 400° = ___________________

e) 160° = ___________________

f) 80° = __________________

Realiza las siguientes conversiones como se te indica en

cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo.


43

Radianes

Grados 30° 45°

90° 120° 180° 210° 270°

Sesión

11

Cuando la medida de un ángulo está como múltiplo de radianes, se sustituye este valor por 180°.

Si queremos convertir rad simplemente sustituimos por 180° en este caso

Otro caso

Reúnete en parejas y completa la tabla siguiente utilizando los ejemplos anteriores, posteriormente comparte tus respuestas ante el grupo


45

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

1.- Al expresar en grados a se obtiene:

a) 60° b) 170° c) 360° d) 270° e) 300°

2.- Expresar 3/2 radianes en grados, nos da como resultado:

a) 100° b) 720° c) 270° d) 150° e) 60°

3.- Al cambiar 4π/5 a grados se obtiene como resultado:

a) 144° b) 414° c) 414° d) 414° e) 144°

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 1

Resultado ___________

Recomendaciones y observaciones _____________________________

___________________________________________________________

__________________________________________________

___________________________________________________________

___

47

1.2.4 Teoremas

Sesión

12

EJEMPLO.

Teorema No.1 Dos ángulos adyacentes son

suplementarios.

Por definición dos ángulos son adyacentes si

tienen el mismo vértice y tienen un lado en común,

estando los lados no comunes sobre la misma

recta.

Teorema No.2: Los ángulos opuestos por

el vértice son iguales.

Conoce los teoremas relacionados con ángulos Resuelve problemas donde aplica los distintos teoremas

relacionados con los ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en

distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.



48

x+30° 110°

1

x-20° 76°

2

En la figura se muestran dos ángulos adyacentes, determina el valor de x. Solución: Los ángulos 2x y x+60° son suplementarios, por lo tanto suman 180°; es decir tendremos la ecuación 2x +x + 60° = 180°

Reduciendo los términos semejantes y

transponiendo 60°; la ecuación se convierte

en:

3x = 180°-60° =120°. Despejando el 3

resulta:

x = 120°/3 = 40°

2 X X + 60°

Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios


49

Determina el valor de x, en la siguiente figura.

Solución: Los ángulos son consecutivos y por lo tanto la suma equivale a 360°. En este caso la suma de los ángulos se obtiene de la expresión: 2x+ (x+12°) + (x-6°) + 110° =360°; reduciendo los

términos semejantes y eliminando paréntesis se obtiene:

4x + 116° = 360°, despejando x se tiene:

110°

X + 12°

2 X

X - 6°

Teorema No.3: Los ángulos

consecutivos alrededor de una recta

suman 180°

Sesión

13

Teorema No.4: Los ángulos consecutivos

alrededor de un punto suman 360°

50

Procedimiento

Reúnete en equipo de tres y determina el valor de la incógnita en cada uno de los siguientes ejercicios

Grupo Ejercicio no.5

no.11

2x+4°

77°

2x

80°

2

x

x+30° 70°

1

51

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1.- En la figura el ángulo que forma la escalera con la pared es de 43° 24´. Determina el

a) 47°

b) 147°36´

c) 46° 36´

d) 43° 36´

e) 47° 36´ 45”

2.- Un clavo se encuentra insertado justo en la parte superior de un neumático; ¿cuántos

grados tiene que girar la rueda para que el neumático se encuentre justo entre el

neumático y el suelo?

a) 90° b) 360° c) 270° d) 45° e) 180°

Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________



52

1.3 TRIÁNGULOS

1.3.1 Notación y clasificación

El triángulo es una figura formada por tres lados y tres ángulos; sus propiedades y

teoremas relacionados, son una pieza importante en la solución de problemas reales.

Las propiedades de rigidez de los triángulos son de

suma importancia en la construcción de estructuras

por que le dan firmeza y estabilidad.

Sesión

14

Conoce la diferentes formas de representarlos Define a los triángulos en base a la medida de sus lados y sus

ángulos Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos




EJEMPLO.

53

I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la

izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha

( ) Es la figura formada por tres lados y tres ángulos SON Escaleno

( ) Se le llama así al triángulo con tres lados iguales BEU Obtusángulo.

( ) Es el nombre del triángulo con un ángulo recto. ROS Equilátero

( ) Nombre del triángulo con todos sus ángulos

agudos.

OLD Isósceles

( ) Nombre del triángulo con dos lados iguales y uno

diferente.

WE

S

Triángulo

( ) Nombre del triángulo con sus tres lados diferentes

NAV Rectángulo

( )

Nombre del triángulo con un ángulo obtuso y dos

agudos.

HER Acutángulo

Investiga el concepto de triángulos, la notación y su clasificación

en términos de los lados y sus ángulos y resuelve el ejercicio No.8


En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los siguientes ejercicios.


54

II. Escribe sobre la línea el nombre que corresponda a cada triángulo de acuerdo

a su clasificación.

1.3.2. Rectas y puntos notables

Sesión

15

Nombre e identifique las rectas y puntos notables en el triángulo.





55

Investiga los conceptos relacionados con rectas y puntos notables

en el triángulo y contesta de manera individual los ejercicios No. 9


EJEMPLO.

En determinada región, existen varias comunidades que

se vinculan a través del comercio. Si se quisiera

construir un centro de salud que estuviera a la misma

distancia de las tres comunidades marcadas en la figura;

el circuncentro sería el más apropiado.

Centro de Salud

56

I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda

la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha

( ) Semirrecta que pare del vértice y divide al

ángulo en dos partes iguales

SON Mediana

( ) Se le llama así al punto de intersección de las

medianas del triángulo.

JLF Incentro

( ) Nombre que recibe la línea que parte de uno de

los vértices y es perpendicular al lado opuesto o

a su prolongación.

ENG Mediatriz

( ) Nombre del punto de intersección de las alturas

del triángulo.

ROG Ortocentro

( ) Se le llama así al la recta que es perpendicular a

un lado del triángulo en su punto medio.

BEU Baricentro

( ) Nombre que recibe el punto de intersección de

las mediatrices.

OLD Altura

( ) Recibe por nombre a la línea que parte del

vértice y pasa por el punto medio del lado

opuesto.

TWN Bisectriz

( ) Es el punto de intersección de las bisectrices. MAR Circuncentro

En base tarea de investigación No.5 de la Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los ejercicios siguientes.


57

II. Identifica en cada una de las siguientes figuras las rectas y puntos notables indicados.

58

1.3.3. Teoremas

Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es 180°

Teorema 2: En un triángulo rectángulo, los ángulos agudos, son complementarios.

Teorema 3: En todo triángulo, cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos

interiores no adyacentes a él.

Sesión

16

Conocer los teoremas relacionados con los ángulos en los triángulos.

Aplicar los teoremas en la solución de problemas para determinar ángulos en los triángulos.

Se conoce y valora así mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.




59

Determinar el valor del a partir de los ángulos

conocidos.

Solución: El = 180° - (52.59°+30.04°)

= 180° - 82.63° = 97.37°

EJEMPLO

x

2x

ABC Isósceles

63°

53°

125°

Reúnete en equipos de tres y determina el valor del ángulo A en cada uno de los siguientes triángulos


60

En la figura los lados a y b se llaman catetos y c es la hipotenusa.

Algebraicamente se expresa por la fórmula

La hipotenusa y uno de los catetos de un triángulo rectángulo son 15 y 9

respectivamente. Determinar la medida del otro cateto.

En esta caso el valor de c = 15 y uno de los catetos es 9. Consideremos en este caso el

cateto a = 9.

De la expresión c2 = a2 + b2 despejamos la letra b, pasando el término a2 al miembro contrario; en este caso obtenemos b2 = c2-a2.

Sesión

17

c2 = a2 + b2

En el triángulo los lados a y b se llaman catetos y el lado c se llama hipotenusa

EJEMPLO Determinar el valor de la hipotenusa a partir de los catetos conocidos en el triángulo

Solución: Despejando c de la fórmula se tiene

la expresión ; sustituyendo los

valores de a y b en la formula

Se tiene

3

4

c

Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la

hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

61

Por último despejamos el exponente y tenemos la expresión:

Sustituyendo los valores de c y a respectivamente obtenemos el valor de b como se indica a continuación.

En el caso que se hubiera tomado el valor de b; el cateto a quedaría determinado por:

1.- Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 6 y b= 8

2.- Determina el valor del cateto a partir de los datos que se te indican si la hipotenusa es c = 13 y uno de los catetos vale 6

Reúnete en parejas y determina el valor de lado desconocido en cada uno de los siguientes casos


62

3.- Determina el valor de x en la figura en cada una de la siguiente figura.

1. Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 7 y b = 7

2. Determina el valor del cateto a si la hipotenusa c= 34 y el cateto b = 15

3. Determina el valor de x en la figura.

18

12

12 x

18

x 6

Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada

parte y comparte tus respuestas ante el grupo.


63

INSTRUCCIONES: Resolver cada uno de los siguientes problemas, aplicando el

teorema de Pitágoras.

1.- Calcular la base del triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa 5 y como

altura 4.

a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 1

2.- ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado de 5m por lado?

a) 7 m b) 5.72m c) 7.07m d) 25m e) 6.17 m

3.- ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 8m?

a) 6.55 m b) 5.65 d) 7.35 m d) 5.56m e) 5.75 m

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 2



_______________________________________________________________

______________________________________________

______________________________________________________________

65

Semejanza de triángulos

Definición: En general decimos que dos figuras son semejantes, cuando tiene la misma forma pero diferente tamaño.

En particular, la semejanza de triángulos se da en los siguientes casos:

Cuando sus ángulos correspondientes son respectivamente iguales

Cuando sus lados correspondientes son respectivamente proporcionales

En ambos casos una condición implica la otra.

El triángulo ABC es semejante al triángulo A´B´C´ y se escribe ABC A´B´C´

En este caso los él A= A´ , B = B´ y C = C´

La proporcionalidad de los lados correspondientes está dada por la expresión:

Solución: Como los triángulos son semejantes, los lados correspondientes son proporcionales; es decir:

; despejando el valor de x se tiene:

Sesión

18

EJEMPLO.

Los triángulos mostrados a continuación, son semejantes. Determina el lado faltante.

66

Otro ejemplo: Supongamos que un árbol, proyecta una sombra de 25 m. en el suelo; en

ese mismo instante, una estaca de 1.2 m. de altura, proyecta una sombre de 2 m. Como

se muestra en la figura, determinar la altura del árbol.

1.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación.

a) 9

b) 4

c) ½

d) 2

e) 1.4

Solución: Como los rayos solares son paralelos, los triángulos que se forman por los objetos y las sombras en el suelo son semejantes.

En este caso:

Algebraicamente equivale a la expresión: ; despejando h y sustituyendo

valores:

Reúnete en equipos de tres y resuelve cada uno de los siguientes ejercicios; posteriormente comenta con el grupo tus respuestas


67

2.- En la figura 4DE 5CD y 9BC . Determina el valor de x

a) 7.2

b) 11.25

c) 1.8

d) 2.25

e) 4.21

3.- Un poste de la luz proyecta una sombra de 5.8 m en el suelo; en el mismo instante

que una persona de 1.8 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m. Determine la altura

del poste.

a) 3.8 m b) 8.7 m c) 9.6m d) 6.5 m e) 10.2

68

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios.

1.- Se cuenta que con una escalera de 25 m y se desea subir al extremo de una torre de

10 m de altura ¿A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el

otro extremo coincida con la punta de la torre?

a) 13.32 m

b) 15.33 m

c) 22.91 m

d) 16.92 m

e) 23.54m

2.- Una montaña proyecta una sombra de 536 m sobre el suelo, en el momento que un

poste de un cerco que tiene 2.3 m de altura proyecta una sombra de 1.4 m. ¿Qué altura

tiene la montaña?

a) 789.2m

b) 912.4m

c) 880.5 m

d) 1021.3 m

e) 643.2 m

Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________



69

Instrucciones: Subraya la respuesta correcta en cada caso:

1.- Rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras y sus

propiedades.

a) Álgebra b) Trigonometría c) Geometría d) Cálculo e) Aritmética

2.- Personaje que organizó la geometría y le dio carácter de ciencia.

a) Euclides b) Platón c) Tales de Mileto d) Pitágoras e) Aristóteles

3.- Es una línea recta que tiene un punto inicial y no tiene punto final

a) Quebrada b) Segmento c) Curva d) Semirrecta e) Mixta

4.- Nombre del triángulo que tiene todos sus ángulos agudos.

a) Obtusángulo b) Isósceles c) Rectángulo d) Acutángulo e) Oblicuo

5.- Es una semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.

a) Mediatriz b) Bisectriz c) Altura d) Paralela e) Mediana

Nombre _________________________________________________

Grupo _________________________ Turno __________________

Fecha __________________________________________________

Autoevaluación

70

6.- Ángulo que mide 90°

a) Recto b) Agudo c) Llano d) Entrante e) Adyacente

7.- Nombre que recibe el método que parte de casos particulares para llegar a

conclusiones que generalizan una situación determinada.

a) Inductivo b) Deductivo c) Científico d) Empírico e) Experimental

8.- Dos ángulos que suman 90° ¿se llaman?

a) Rectos b) suplementarios c) Congruentes d) Complementarios e) Conjugados

9.- ¿A cuál de las siguientes opciones? Corresponde el uso del símbolo AB

a) Semirrecta b) Segmento de recta c) Ángulo d) Recta e) Triangulo

10.- En la figura siguiente que letras representarían a dos ángulos correspondientes

a) a y h

b) c y d

c) e y d

d) b y h

e) f y g

11.- De acuerdo a la figura ¿cuál de los siguientes valores correspondería al valor de x?

a) 9.16

b) 6

c) 12.80

d) 10.77

e) 8.32

71

12.- ¿Cuál de los siguientes valores correspondería al valor que x representa en la figura?

a) 9

b) 7.8

c) 10

d) 21.54

e) 14

13.- Determinar el valor del segmento CD de la figura mostrada a continuación.

a) 9

b) 4

c) ½

d) 2

e) 6

14.- En la figura, los triángulos ECD es semejante al triángulo ABC ; ,

y . Determina el valor de x

a) 7.2

b) 11.25

c) 1.8

d) 2.25

e) 3.25

15.- Históricamente fue en esa cultura donde inician los primeros trabajos empíricos de la

geometría, debido a las inundaciones del Rio Nilo.

a) Grecia b) Arabia c) Egipto d) Mesopotamia Babilonia

72

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación del desempeño (ejercicios)

En equipo

No. Indicador Cumplió Ejecución Observaciones

Sí No Ponderación Calif.

1 Se integró al equipo. 0.4

2 Mostró interés por el tema.

0.4

3 Mostró conocer los conceptos que utilizó

0.4

4 Mostró habilidad para responder a los ejercicios

0.43

5 Aplicó correctamente el procedimiento

0.43

Calificación de esta evaluación 2.06

Individual




0.5


0.5


0.53


0.53


Tabla de ponderación

1 = sí cumplió 0 = no cumplió

Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

73

Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):

Evaluación de Productos (investigaciones):



1 Entregó en tiempo y forma

0.36

2 La información fue clara y acorde al tema

0.5

3 Presentación del trabajo

0.5







1 Resolvió el total de los ejercicios

0.3

2 Resolvió correctamente los ejercicios

0.4

3 Entregó en tiempo y forma indicada los ejercicios.

0.3

4 Realizó correctamente las operaciones.

0.36





75

Unidad II POLÍGONOS,

CIRCUNFERENCIA Y

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

76

COMPETENCIAS

Al término de esta unidad, el alumno:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,

hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Temario

2.1. POLÍGONOS


2.1.2. Ángulos interiores y exteriores

2.1.3. Diagonales

2.1.4. Perímetros y áreas

2.1.5. Teoremas

2.2. CIRCUNFERENCIA

2.2.1. Elementos

2.2.2. Ángulos en la circunferencia

2.2.3. Área del círculo

2.2.4. Perímetro

2.2.5. Áreas de figuras circulares

2.2.6. Teoremas

2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2.3.1. Relaciones trigonométricas

2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo

3.3.3. Funciones en el plano cartesiano

3.3.4. Funciones en el círculo unitario

3.3.5. Resolución de triángulos rectángulos

77

1. ¿Un rectángulo es?

a) Regular

b) Irregular

c) Cóncavo

d) Complejo

e) Equilátero

2. Un rectángulo 72 m2 de área y 18 m de base ¿Cuánto mide de altura?

a) 6 m

b) 4 m

c) 9 m

d) 2 m

e) 7 m

3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está

formado por dos cuerdas, se llama

a) Ángulo central

b) Ángulo exterior

c) Ángulo inscrito

d) Ángulo interior

e) Ángulo semi inscrito

4. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

a) 7.14 m2

b) 0.86 m2

c) 12.57 m2

d) 1.27 m2

e) 8.57 m2

5. Si en un hexágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas

diagonales se obtienen?

a) 6

b) 12

c) 36

d) 2 m

e) 3 m


múltiple relacionadas con los temas de la unidad II, los cuales

profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del

cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la

respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final

del cuaderno de trabajo.


78

6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 5 m de diámetro

a) 15.71 m

b) 78.54 m

c) 7.85 m

d) 25 m

e) 31.42 m

7. Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diámetro. Calcula cuantas vueltas dan en

un viaje de 80 Km de distancia.

a) 57, 123.12545

b) 78, 425.56242

c) 36, 378.27271

d) 32, 814.13985

e) 23, 356.28739

8. Halla el valor numérico de 2 sen 20° cos 70°.

a) 5.71

b) 7.854

c) 6.223

d) 3.281

e) 0.233

9. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 6m y b = 8

m.

a) 48 m

b) 10 m

c) 4 m

d) 24 m

e) 5 m

10. Dada Tan A = 2/5 halla el valor de Cot A

a) Cot A = 4/7

b) Cot A = 5/2

c) Cot A = 3/7

d) Cot A = 2/6

e) Cot A = 7/4

11. Halla el valor de Sen 10°

a) Sen 90°

b) Cot 10°

c) Cos 80°

79

2.1. POLÍGONOS


En este nuevo tema se abordará una clasificación de los polígonos regulares e irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades que se aplican en su búsqueda de dimensiones. Se obtiene el perímetro y área correspondiente. Como podrás recordar la Geometría Plana es una parte de la geometría elemental que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, es decir, estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el circulo. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender dichas propiedades y aplicarlas en el mundo que te rodea.

¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que la fórmula del triunfador, en

cualquier actividad de la vida, es: Optimismo + Atención + Dedicación = ÉXITO.

Polígono:

EJEMPLO

Define un polígono. Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados. Identifica propiedades generales de los polígonos. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Es una figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los

segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los

segmentos son los vértices del polígono. La palabra polígono viene del

griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia que significa

ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono

sería "figura que tiene muchos ángulos".

Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada

según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra

forma de nombrar a los polígonos es con la abreviación Poly seguido de

un número.

Polígono ABCDEFA, ó Polígono AFEDCBA

Poly1

Sesión

19

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_%28Geometr%C3%ADa%29

80

Polígono

Los polígonos se clasifican según el cuadro sinóptico adjunto.

Investiga y anota en tu cuaderno cada una de las sub-

clasificaciones que se te presentan.

Esta actividad será evaluada por la lista de cotejo que se

encuentra en la página 135.


Polígono

simple:

Polígono complejo

Polígono convexo:

Polígono cóncavo:

Polígono regular.

Polígono irregular.

81

Número de lados Polígono

3 Triángulo

4

5

6

7 Heptágono

8

9

10

15

16 Hexadecágono

20

Ejercicio no. 1

Reúnete en pareja y clasifica el polígono de acuerdo a los lados

que tenga.

Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de

cotejo que se encuentra en la página 131.

Grupo

82

Polígono:

Simple

Complejo

Cóncavo

Convexo

Equilátero

Equiángulo

Regular

Irregular

Ejercicio no. 2

Reúnete en pareja y identifica las propiedades generales de cada

polígono y clasifícalo de acuerdo al cuadro sinóptico dado. Para

lograrlo puedes tomar como referencia la investigación de la sesión

anterior y el ejemplo dado en la primera columna.

Esta actividad se trabajará en tu cuaderno y evaluará con la lista de

cotejo que se encuentra en la página 131.

Grupo

83

2.1.2. Ángulos interiores y exteriores

Los ángulos internos o interiores de un polígono están formados por cada dos lados

consecutivos, mientras que los ángulos exteriores o externos de un polígono, son ángulos

adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido.

Por otro lado, recuerda que al abordar el tema de triángulos concluimos que:

“Los ángulos interiores de un triángulo suman 180° “.

Por otro lado, sabemos que los cuadriláteros se pueden dividir dos triángulos, de lo cual

podemos deducir que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero (cuadrado,

rectángulo, paralelogramo, etc.), es 2×180º = 360º.

Define los ángulos interiores y exteriores de polígonos Identifica los ángulos interiores y exteriores en los polígonos Calcula la medida de ángulos interiores y exteriores en los

polígonos.

Identifica las relaciones referentes a los ángulos de los polígonos.

Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Ángulos interiores: α, β, ε, δ, γ

Ángulos exteriores: ζ, ε, δ, κ, I

La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n-lados es de 360°, así que... ... para un polígono regular (todos sus ángulos son iguales), cada uno mide

360°/n

Sesión

20

84

Y si es regular, cada uno mide 360° / 4 = 90°

Respuesta:

Sabemos que los pentágonos tienen 5 lados, y se puede dividir en tres

triángulos, así que...

... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°.

Pentágono irregular Pentágono regular

Si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un

pentágono?. Si el polígono es regular ¿cuánto mide

cada ángulo interior?

EJEMPLO

85

Si es regular...

Figura Lados Suma de los ángulos

interiores Forma

Cada ángulo

Triángulo 3 180°

60°

Cuadrilátero 4

90°

Pentágono 5 540°

108°

Hexágono

Heptágono

Octágono

… … … … …

Polígono de n-

lados

Si es regular...

Figura Lados Suma de los

ángulos exteriores Forma Cada ángulo

exterior

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

… … … … …

Polígono de n- lados

Organizados en equipos de tres, complementar las tablas adjuntas.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 131.


86

2.1.3. Diagonales

Cuando vas adquirir un computadora, laptop o televisor es importante que analices sus

características para que elijas la mejor opción, una de las características más comunes en

estos productos es la medida de la pantalla, así por ejemplo decir que tiene monitor o

pantalla de 10.1” ó 22”, significa que la medida se toma de la siguiente manera:

Laptop con Monitor de 10.1” T.V. con pantalla de 22”

…de igual forma los polígonos también tienen diagonales


Define y diferenciará una diagonal Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un

vértice en polígonos. Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en

un polígono Comunícate en forma oral y escrita. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas.

Sesión

21

87

Diagonales de un polígono

Por otro lado, observa que el número total de diagonales del pentágono es igual a cinco.

Observa cómo se traza cada una de éstas paso a paso:

De igual forma puedes calcular el número total de diagonales de cualquier polígono.

Polígono No. de lados No. de diagonales

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Una de las diagonales de un pentágono sería:

EJEMPLO


Organizados en parejas completar la tabla adjunta. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131.

Grupo

“Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos”

88

Un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera es el siguiente:

Supongamos que tenemos un polígono de n lados (n vértices), de cada vértice salen n-3

diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal.

Tenemos entonces, n vértices por (n-3) diagonales de cada vértice. Con esta cuenta cada

diagonal la contamos dos veces, entonces debemos dividir entre dos.

Por tanto un polígono de n lados tiene dn= n.(n-3)/2 diagonales.

Puedes hacer el cálculo con la expresión que se ha deducido en el ejercicio 4

¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados?

Octágono

Eneágono

Decágono

… … …

Polígono de

n- lados

89

2.1.4. Perímetros y áreas.

El perímetro y área de los triángulos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verá lo

relacionado con el perímetro y área de algunos cuadriláteros en particular y de los

polígonos regulares en general.

Perímetro: Se le llama así a la longitud del contorno de una figura

geométrica plana y cerrada.

Superficie: Se llama así a la porción del plano limitada por un perímetro

de acuerdo a la forma de la superficie, recibe el nombre de superficie

triangular, cuadrada, rectangular, etc.

Área: Es la medida de la superficie. El área se refiere al tamaño, en

unidades de área.

Como se observa a continuación, se dan las fórmulas necesarias para hacer los cálculos

directamente y no se dice como se llago a ellas. Se debe aquí, en muchos casos, la

obtención de la fórmula es complicada y requiere de conocimientos que se adquirirán en

cursos más avanzados de matemáticas. De momento, lo importante es aplicar

correctamente la fórmula y, de ser necesario, efectuar correctamente el despeje de la

fórmula.

Perímetros y áreas de los polígonos

Nombre Dibujo Perímetro rea

Triángulo

P = Suma de los

lados

P = b + c + d

p = semi perímero


Calcula perímetros y áreas de polígonos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas de perímetros y áreas de figuras geométrica conocidas.

Diferencia el perímetro y el área de un polígono. Comunícate en forma oral y escrita.

Sesión

22

90

Cuadrado

P = 4 · a

Rectángulo

P = 2(b + a) A = b · a

Rombo

P = 4 · a

Romboide

P = 2(b + c) A = b · a

Trapecio

Trapezoide

A = Suma de las áreas de

los dos triángulos

Área de un polígono regular

En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices,

se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono

regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el

lado del polígono es l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área

es: Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:

91

Como es el perímetro P del polígono, el área de éste es:

, o bien, (Fórmula)

“El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto que resulta de multiplicar

su perímetro por su apotema”

Nombre Dibujo Perímetro Área

Polígono

regular

Calcular el área de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y

8.5 cm.

Datos Fórmula Sustitución Resultado

d1 = 12 cm

d2 = 8.5 cm

.

EJEMPLO

92

1. Calcular el área de un romboide de 173 cm de base y 216 cm de altura

2. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13cm, 5cm, 8cm y 6 cm.

3. Calcular la medida del lado de un cuadrado que tiene perímetro 15 m.

4. El área de un rombo es de 22.5 m2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la

longitud de la otra diagonal.

5. El área de un trapecio es de 562.5 m2 y las bases miden 28m y 17m. Calcular la

altura.

6. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55

m. Calcular la base menor.

7. Cada una de las figuras siguientes (no están necesariamente a escala) tienen el

perímetro que se indica. Encuentre el valor de x.

a). P = 58 b). P = 42 C). P = 38

Ejercicio no. 1

De forma individual determina el perímetro y el área de los

siguientes polígonos.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra

en la página 134.

Individual

93

2.1.5. Teoremas

Los ángulos interiores y exteriores, el número de diagonales que se le pueden trazar

desde un vértice y el número total de diagonales en los polígonos ya ha sido tratado, por

lo que ahora se verán las generalidades en los polígonos en general.

Generalidades en un polígono de “n” lados:

1. Número de diagonales desde un vértice (d)

Si “n” es el número de lados de un polígono, d es el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices del polígono, entonces:

2. Número total de diagonales (D)

Si “n” es el número de lados de un polígono y D es el total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices del polígono, entonces:

Solución:


Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula la medida de ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono regular.

Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula el número de diagonales de polígonos regulares.

Comunícate en forma escrita.

d= n - 3

D= ½ n(n – 3)

Sesión

23

d = n – 3= 8 – 3 = 5

D = ½ n(n – 3) = (½) (8) (8-3)= 20

EJEMPLO

Dado un polígono regular de ocho lados (octágono),

calcular:

a) El número de diagonales que se pueden trazar

desde uno de los vértices.

b) El número total de diagonales.

94

3. Medida de un ángulo interior (i)

Si “n” es el número de lados de un polígono regular, e i es la medida de cada uno de los ángulos internos, entonces:

4. Suma de los ángulos interiores (Si)

Si “n” es el número de lados de un polígono y Si es la suma de las medidas de sus ángulos internos, entonces:

La suma de los ángulos de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º.

5. Medida de un ángulo exterior (e)

Si “n” es el número de lados de un polígono regular, entonces la medida de cada

ángulo exterior es:

6. Suma de los ángulos exteriores (Se)

Si “n” es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos exteriores es siempre 360°:

POLÍGONO n SUMA ÁNGULOS

Triángulo 3 180

Cuadrilátero 4 180·2 = 360

Pentágono 5 180·3=540

Polígono n 180·(n-2)

La suma de los ángulos de un polígono de n lados es 180·(n-2)

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un este polígono?

i= 180°(n – 2) / n

Si= 180°(n – 2)

Se= 360°

e = 360° / n

95

1. ¿Cuál es el número de diagonales que, desde un vértice, se pueden trazar en un

dodecágono?

2. ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?

3. ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior

mide 140°?

4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono?

5. ¿Cuál es la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados?

Polígono Regular Número de lados

n

Ángulo Interior

180 - 360/n

Divisor de 360

Triángulo Equilátero 3 60º SI

Cuadrado 4

Pentágono Reg. 5

Hexágono Reg. 6

Heptágono Reg.

Octógono Reg.

Eneágono Reg.

Decágono Reg.

Undecágono Reg.

Dodecágono Reg.

Indica si el ángulo interior es divisor de 360º.

Ejercicio no. 2

De forma individual determina lo que se te indica en cada

ejercicio. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que

se encuentra en la página 131.

Individual

96

INSTRUCCIONES: Resuelve de forma individual determina el perímetro y el área de los

siguientes polígonos

1. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se

sabe que la longitud de cada lado del terreno mide 150m y que la suma de los

ángulos interiores es de 900º. ¿Cuántos metros de valla se necesitan?

2. Se quiere vallar una propiedad cuyo terreno es de forma de polígono regular. Si se

sabe que cada ángulo interior del terreno regular mide 140º. ¿Cuántos lados

tiene?

3. Si los ángulos interiores de un terreno de forma de polígono regular mide 90° y de

lado mide 200m. ¿Cuántos metros de tela se necesitan para cercarlo?

4. Si los ángulos exteriores de un terreno de forma de polígono regular mide 40° y de

lado mide 250m. ¿Cuántos lados tiene dicho terreno?

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132.

Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________



97

2.2. CIRCUNFERENCIA

2.2.1. Elementos

La naturaleza ofrece múltiples ejemplos de círculos y circunferencias. La sección

transversal de la tierra es circular, un corte transversal a un tallo también es circular. Se

puede observar la gran variedad de aplicaciones que tienen los objetos circulares: Una

llanta de un automóvil, en los componentes de un reloj se encuentran bastantes piezas

circulares; podría enumerarse una infinidad de objetos de forma circular.

Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo,

aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es

preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente.

Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos que es la

circunferencia:

CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos

equidistan de un punto fijo e interior llamado centro, es decir, es la línea curva cerrada y

plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro).

SEMI-CIRCUNFERENCIA: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia

CÍRCULO: La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el

círculo.

SEMI-CÍRCULO: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la

semicircunferencia correspondiente.

Define una circunferencia. Diferencia el círculo de la circunferencia.

Diferencia el semicírculo del círculo Diferencia la semicircunferencia de la circunferencia Identifica los elementos de una circunferencia. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Sesión

24

Circunferencia círculo semi-circunferencia semi- círculo

98

Principales elementos de las circunferencias:

El centro y el radio son los elementos característicos de la circunferencia y del círculo.

Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es decir, es el segmento que tiene por extremos puntos de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es de longitud dos veces el radio. D = 2R

La longitud de la circunferencia dividida entre la longitud del diámetro es una constante que se llama

Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia.

Arco: Es una parte de la circunferencia. El símbolo se lee: “arco AB”

Tangente: Es la recta que toca a la circunferencia en un punto. El punto único se llama punto de tangencia o punto de contacto.

Secante: Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos (partes).

99

1. Dar el nombre que corresponde a cada uno de los puntos y/o rectas que se te

indica

2. En la circunferencia siguiente de centro O:

Nombra 3 cuerdas ______________________________

Nombra 4 radios ________________________________

Nombra la cuerda mayor _________________________

¿Qué arco subtiende el ángulo DOC? _______________

¿Qué arco subtiende el ángulo CAB? _______________

AB: ______________

CD: ______________

EF: ______________

GH: ______________

OI: _______________

O: _______________

P: _______________

: ______________

Ejercicio no. 3

De forma individual responde lo que se te indica en cada problema.

En una discusión grupal dirigida por tu profesor compara tus

repuestas con el resto del grupo.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en

la página 131.

Individual

100

¿Qué arco es subtendido por el ángulo AOB? ___________________________________

I. Trazar dos circunferencias de 2 cm y de 3 cm de radio cada una, y en ellas dibújese los elementos solicitados:

a) un diámetro

b) una tangente

c) una cuerda de 1.5 cm

d) una cuerda que subtienda un arco de 120º y otra que subtienda un arco de

45º

e) Inscribir un cuadrado

f) Inscribir un hexágono en una de las circunferencias y circunscribir otro en la

segunda circunferencia.

INSTRUCCIONES: Con la ayuda de un compás y un transportador realiza en tu cuaderno de apuntes y en forma individual, las actividades que se proponen a continuación: Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 132.

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Individual Tarea no. 1



___________________________________________________________

__________________________________________________

___________________________________________________________

___

101

2.2.2. Ángulos en la circunferencia

Principales ángulos de la circunferencia:

A). Ángulo central:

Sus lados son dos radios.

Su vértice es el centro de la circunferencia.

B). Ángulo inscrito:

Sus lados son cuerdas.

Su vértice es un punto de la circunferencia.

C). Ángulo interior:

Sus lados son dos cuerdas que se cortan.

Su vértice es un punto dentro la circunferencia.

D). Ángulo exterior:

Sus lados pueden ser dos secantes; una secante y

una tangente o dos tangentes que se cortan en un

punto fuera del círculo.

Su vértice es un punto fuera de la circunferencia.

E). Ángulo semiinscrito:

Sus lados son una tangente y una cuerda.

Su vértice es un punto de la circunferencia.

Diferencia los diferentes ángulos en la circunferencia. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Sesión

25

102

I. Dada la circunferencia siguiente identificar los ángulos que se te indican

1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo central?

a) <JKN b) <OLM c) <OML d) <KNO e) <JON

2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo inscrito?

b) <JKN b) <OLM c) <OML d) <LOM e) <JON


Organizados en parejas identificar los ángulos que se te indican. Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se encuentra en la página 131.

Grupal

Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.

La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente.

El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

103

3. ¿Cuántos ángulos inscritos hay en la figura?

c) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5

4. ¿Cuántos ángulos centrales hay en la figura?

d) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) más de 5

II. En la circunferencia siguiente de centro O:

Nombra 4 ángulos del centro ________________________________________________

Nombra dos ángulos inscritos ________________________________________________

Nombra dos ángulos que subtienden el arco BC _________________________________

III. Un ángulo central mide 80° ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que comprende el

mismo arco?

a) 80°

b) 40°

c) 160°

d) Todos los ángulos inscritos miden 90°

104

2.2.3. Área del círculo

Las fórmulas para encontrar el área del círculo son:

Solución:

a). b).

Calcula el área del círculo a partir de datos dados. Formula y resolver problemas. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


EJEMPLO

Calcular el área del círculo que mide:

a) 3 m de radio.

b) 1.5 m de diámetro.

Sesión

26

El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por .

105

1. Calcular el área de un círculo que

mide:

a) 2.5 m de radio.________

b) 7.5 cm de diámetro.____

c) 1.75 km de radio.______

2. Dado un círculo que tiene un área de:

a) 12.5664 m2, hallar el radio._________

b) 0.7854 m2, hallar el diámetro._______

c) 324π, hallar el diámetro.__________

d) 25π, hallar el radio.______________

2.2.4. Perímetro

Longitud de la circunferencia

Sabías que:

Una rueda, al dar una vuelta completa, describe una trayectoria cuya longitud es el

perímetro de la circunferencia de la rueda.


Organizados en parejas resuelve en tu cuaderno de apuntes los

siguientes ejercicios.


Grupal

Calcula el perímetro del círculo. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Sesión

27

106

A trabajar

1. Dibuja una línea de dos centímetros. 2. Abre tu compás con esa medida. 3. Dibuja una circunferencia, en un papel, utilizando esa medida, que será de radio 2

centímetros y por lo tanto 4 centímetros de diámetro. 4. Recorta la circunferencia. 5. Coloca una lana o pitilla pegada sobre el molde de la circunferencia. 6. Mide la extensión de la lana utilizada con una regla, la medida corresponde al

perímetro de la figura. 7. Luego dibuja y recorta circunferencias (perímetro del círculo) con las siguientes

medidas a) 6 cm. de diámetro (radio 3 cm.) b) 8 cm. de diámetro (radio 4 cm.) c) 10 cm. de diámetro (radio 5 cm.) d) 12 cm. de diámetro (radio 6 cm.)

8. Mide la longitud de la circunferencia o perímetro del círculo 9. Completa la tabla con las medidas obtenidas.

Perímetro

encontrado

Diámetro de la

circunferencia

Cociente entre el perímetro y el diámetro: P/d

4 cm.

6 cm.

8 cm.

10 cm.

12 cm.

Te darás cuenta que el cociente entre el perímetro y el diámetro de la circunferencia es un

valor que es independiente del tamaño de la circunferencia.

107

El cociente es constante y corresponde aproximadamente a 3,141592653589793.......

veces en la longitud de la circunferencia. A este número se le llama con la letra

griega pi. ( )

Así,

Diámetro = AB = AC =CD = DE

Radio = OA = O1G

Concluimos entonces que el perímetro de un círculo es una circunferencia y su ecuación es:

o

donde:

P es el perímetro

es la constante matemática pi (π = 3.14159265...) es el radio

es el diámetro del círculo

La longitud de una circunferencia es igual al valor de su diámetro multiplicado por

108

EJEMPLOS

1. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 12 cm.

Solución:

= (12 cm) (π)=37.699 cm

2. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por radio 25 m?

Solución:

= (2)(25 cm) (π)=157.079 cm

109

INSTRUCCIONES: De forma individual determina lo que se pide.


3. Si la circunferencia mide de perímetro 28.2744 cm. ¿Cuánto mide su diámetro?

4. Si la circunferencia mide de perímetro 31.4159 m. ¿Cuánto mide su radio?

5. ¿Qué símbolo hace referencia a π?

6. Calcular el perímetro de la circunferencia que tiene por diámetro 5 m?

7. Si el radio de una circunferencia es 10 m. ¿Cuánto mide el perímetro del cuadrado

circunscrito a ella?

8. Determina la longitud de una circunferencia si el perímetro del cuadrado que la

circunscribe es de 40 cm.



___________________________________________________________

__________________________________________________

___________________________________________________________

___

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Individual Tarea no. 2

111

2.2.5. Áreas de figuras circulares

Para calcular el área del círculo basta con conocer su radio. Del resto de figuras

circulares, como el sector, el segmento, la corona o el trapecio, habrá que conocer otros

elementos identificativos.

Longitud y área de figuras circulares

Nombre Dibujo Longitud Área

Circunferencia

L = 2πR

Arco

Círculo

A = πR2

Sesión

28

Calcula el área de figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunicarte en forma oral y escrita.


112

Sector circular

Corona circular

A = π(R2 – r2)

1.

a) ¿Cuánto mide el diámetro?

b) ¿Cuánto mide el radio?

c) ¿Cuál es el área total del círculo?

d) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

e) ¿Cuál es el área del cuadrado?

f) ¿Cuál es la diferencia entre las áreas?

g) ¿Cuánto mide el área sombreada?

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

__________________________________

Ejercicio no. 7

Organizados en parejas encuentren el valor del área sombreada en

cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida

por tu profesor compara tus repuestas con el resto del grupo.


la página131.

Grupal

113

2.

a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

b) ¿Cuál es el área total del cuadrado?

c) ¿Cuánto mide el radio del círculo?

d) ¿Cuál es el área del círculo?

e) ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la del círculo?________________

f) ¿Cuánto mide el área de la región sombreada? ______________________________

3.

a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?

b) ¿Cuál es el área total del cuadrado?

c) ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?

d) ¿Cuál es el radio del círculo?

e) ¿Qué parte del círculo es cada sector circular? ________________________________

f) ¿Qué parte del círculo completas con los dos sectores circulares? ________________

g) ¿Cuál es la diferencia entre el área del cuadrado y la de los sectores circulares?_____

h) ¿Cuánto mide el área de la región sombreada? _______________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

_____

114

4. Encuentre analítica y gráficamente el área de los sectores circulares siguientes. Empléese π = 3.14.

a) Ángulo central 50° y radio 3 cm.

b) Ángulo central 75° y radio 5.8 m.

5. Encuentre el área de los sectores circulares sombreados. Responda en función de π

6. Unos círculos tangentes exteriormente uno a uno, con radios congruentes, están colocados en un rectángulo como lo ilustra la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

115

2.2.6. Teoremas

Principales teoremas de ángulos de la circunferencia:

A). Teorema:

Todo ángulo central se mide por el arco comprendido entre sus

lados.

B). Teorema:

Todo ángulo inscrito en la circunferencia tiene por medida la

mitad del arco comprendido entre sus lados.

COROLARIO 1. Todo ángulo inscrito en una

semicircunferencia es un ángulo recto.

COROLARIO 2. Todos los ángulos inscritos que comprenden

un mismo arco o arcos son iguales.

1. Si <BDC es un ángulo inscrito y <BOC es un ángulo

central, como se ilustra, hallar < BOC, si <BDC = 50° 2. Si <GRT y <GST son ángulos inscritos, como se ilustra,

hallar < GRT y <GST si GT es el diámetro

Sesión

29

Calcula la medida de ángulos en figuras circulares. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Comunícate en forma oral y escrita.


Ejercicio no. 8

Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en

cada una de las siguientes figuras. En una discusión grupal

dirigida por tu profesor compara tus repuestas con el resto del

grupo.

Esta actividad se evaluará con la lista de cotejo que se

encuentra en la página 134.

Grupal

116

C). Teorema:

Todo ángulo formado por dos cuerdas que se cortan (ángulo

interior) tiene por medida la semisuma de las medidas de los

arcos comprendido entre sus lados.

D). Teorema:

Todo ángulo formado por dos secantes que se cortan

fuera de la circunferencia (ángulo exterior) tiene por

medida la semidiferencia de las medidas de los arcos

comprendido entre sus lados.

E). Teorema:

Todo ángulo formado por una tangente y una cuerda (ángulo semiinscrito) tiene por medida la mitad de la medida de su arco subtendido por la cuerda

i. Si AB y CD son cuerdas que se cortan en E, como se ilustra, hallar:

a) <x si

b) <x si

c) <x si

d)

Sesión

30

Ejercicio no. 9

Organizados en parejas encuentren el valor de los ángulos en cada

una de las siguientes figuras. En una discusión grupal dirigida por tu

profesor compara tus repuestas con el resto del grupo.


la página 134.

Grupal

117

1. ¿Qué medida en grados, tiene el ángulo formado por las manecillas del reloj

mostrado en la siguiente figura?

Hora 6:00 equivale a ________°

ii. ¿Cuánto mide cada ángulo central del timón de la figura?

iii. Un guardabosque alcanza a ver, desde su torre de observación, hasta una distancia

de 24 kilómetros (km) en todas direcciones. ¿Cuál es la superficie, en kilómetros

cuadrados (km2), que puede vigilar?

iv. Una regadora automática de agua cubre una distancia de ocho metros de radio.

¿Cuántos metros cuadrados (m2) puede regar en una vuelta completa?

v. Una estación de televisión envía su señal en un radio de 89 km. ¿Qué superficie total

puede cubrir?.

Nombre ____________________________________________________

Grupo ________________________ Turno _____________________

Fecha _____________________________________________________



118

2.3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2.3.1. Relaciones trigonométricas

Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo se expresan en

términos de las relaciones Trigonométricas. En trigonometría los ángulos se expresan por

medio de las letras griegas, como por ejemplo el símbolo ζ que se llama theta.

Se han agrupado las seis relaciones trigonométricas para el ángulo ζ como sigue:

Sesión

31


Conoce las relaciones trigonométricas. Diferencia las relaciones trigonométricas. Describe las relaciones trigonométricas. Calcula relaciones trigonométricas Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos


Expresar ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

119

Donde a las funciones de Cscζ, Secζ y Cotζ se llaman funciones recíprocas de las

funciones del Senζ, Cosζ y Tanζ respectivamente.

Para los triángulos:

(A) (B)

Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de

modo que a partir de una de ellas podemos obtener el resto de razones

trigonométricas.

Y los valores de las razones de seno, coseno y tangente son:

sen 45 ° = c

a= a

a

2 = 2

1

cos 45 ° = c

a= a

a

2 = 2

1

tan 45 ° = aa

=1

Lad

o o

pu

esto

al Á

ngu

lo θ

θ

Lado adyacente al Ángulo θ

Hipotenusa

y

θ

x

r

r

α

α

α

En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos

agudos miden 45° cada uno. La hipotenusa, c, de

este tipo de triángulo rectángulo es: c =

22 aa = 22a = 2 a, siendo a la longitud

de cada cateto.

EJEMPLO

120

a)

b)

c)

Sen ζ = Csc ζ =

Cos ζ = Sec ζ =

Tan ζ = Cot ζ =

Sen ζ = Csc ζ =

Cos ζ = Sec ζ =

Tan ζ = Cot ζ =

Sen ζ = Csc ζ =

Cos ζ = Sec ζ =

Tan ζ = Cot ζ =

“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las

seis razones trigonométricas para los diferentes triángulos

formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ

indicados.:”


121

a)

b)

Sen ζ = Csc ζ =

Cos ζ = Sec ζ =

Tan ζ = Cot ζ =

Sen ζ = Csc ζ =

Cos ζ = Sec ζ =

Tan ζ = Cot ζ =

Resolver los siguientes triángulos encontrando el valor de las

razones trigonométricas en cada triángulo:


122

2.3.2. Funciones en el triángulo rectángulo

El propósito será calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos

en el triángulo rectángulo.

Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo agudo del triángulo

rectángulo.

En donde Tan ζ = ba

es la función que relaciona los datos del triángulo, entonces:

Tan ζ = 86

ζ = Tan-1( 86 )

ζ = 36.86º

Entonces, utilizando la calculadora se obtiene:

Sen(36.86º) = 0.6 Cos(36.86º) = 0.8 Tan(36.869 = 0.749

Ahora para obtener el valor de las funciones secante, cosecante y cotangente, se utilizan

las relaciones trigonométricas recíprocas:

Sec ζ = Cos1

Csc ζ = Sen1

Cot ζ = Tan1

Sesión

32 Aprendizajes a lograr

Calcula el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo.

Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos


Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

Para encontrar el valor de las seis funciones

trigonométricas, se necesita el valor de ángulo agudo del

triángulo, para buscarlo se utilizan las funciones

trigonométricas básicas:

Sen ζ = ca

Cos ζ = cb

Tan ζ = ba

123

a) b) c)

En donde al sustituir, se obtiene:

Sec (36.86º) = )º86.36(1

Cos = 1.25

Csc (36.86º) = )86.36(1

Sen = 1.66

Cot (36.86º) = )º86.36(1

Tan = 1.33

“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las

seis funciones trigonométricas para los diferentes triángulos

formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo ζ

indicados.”


124

2.3.3. Funciones en el plano cartesiano

Para saber los signos de las funciones trigonométricas de un ángulo cuyo lado terminal

está en cualquiera de los cuatro cuadrantes del plano cartesiano bidimensional, es bueno

tener presente que los catetos de los triángulos que contienen el ángulo al cual se

hallarán los valores de las funciones trigonométricas son la abscisa u ordenada y como

tales se consideran positiva y negativa con respecto al origen de coordenadas.

Si ζ es el ángulo, P(x,y) es el punto del lado terminal del ángulo y r, es la distancia OP ,

definida como 22 yxr

Donde x ≠ 0 y y ≠ 0

Sesión


Describe las funciones trigonométricas en el plano cartesiano. Conoce los signos de las funciones trigonométricas en el plano

cartesiano. Halla el valor de las funciones trigonométricas para ángulos de

inclinación de diferentes rectas en el plano cartesiano. Trabaja de manera colaborativa. Actúa con responsabilidad en el cumplimiento de tareas. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos



Reunidos en equipos de dos integrantes, encontrar el valor de las

funciones trigonométricas para los diferentes ángulos de rectas

que forman con el eje x.


125

Ángulo

en

grados

Ángulo

en

radianes

Seno

Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente

0º 0

45º /4

90º /2

135º 3 /4

150º 6 /5

180°

225º 5 /4

270º 3 /2

315º 7 /4

360º 2

“Reunidos en equipos de dos integrantes, indicar el signo de las

seis funciones trigonométricas que toman en cada uno de los

cuatro cuadrantes.


126

2.3.4. Funciones en el círculo unitario

Cuadrantes I II III IV

Seno

Coseno

Tangente

Secante

Cosecante

Cotangente

Sesión

34

127

El círculo unitario se llama así porque el radio mide una unidad, el centro del círculo esta

en el origen del plano cartesiano, los ángulos se generan de derecha a izquierda,

quedando distribuidos de la siguiente manera:

En el primer cuadrante tienes ángulos que van de 0 a 90 grados en el segundo de 90 a

180, en el tercero de 180 a 270, y en el cuarto de 270 a 360.

Si utilizamos las funciones trigonométricas se puede encontrar las coordenadas de los

puntos sobre la circunferencia conociendo el radio y el ángulo que forma con el eje “x”.

Encontrar las coordenadas del punto P(x,y) sobre la circunferencia unitaria, cuando el

radio forma un ángulo de α = 60º con el eje “x”.

Solución: Primeramente localizamos el punto P(x,y) sobre la circunferencia en el plano y le

trazamos el triángulo correspondiente mediante proyecciones del punto “P” sobre los ejes

“x” e “y”.

Formando un triángulo rectángulo, donde la hipotenusa coincide con el radio igual a uno y utilizando las razones trigonométricas:


Utiliza las funciones trigonométricas en el circulo unitario para encontrar las coordenadas de puntos sobre la circunferencia,




128

Cos α = r

x Sen α = r

x

Cos(60º) = 1x

Sen(60º) = 1x

Cos(60º) = x Sen(60º) = x

x = 0.5 y = 0.86

Solución: Las coordenadas del punto P son P(0.5,0.86)

Trazar las gráficas correspondientes en este espacio, en tu cuaderno de trabajo.

Ángulos

en

grados

Oº

45º

90º

135º

180º

225º

270º

315º

360º

x

y

(x,y)

Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar las

coordenadas del punto P sobre la circunferencia unitaria cuando el

radio forma el ángulo indicado con el eje x. Trazar la gráfica

correspondiente.


129

2.3.5. Resolución de triángulos rectángulos

El propósito es utilizar las funciones trigonométricas para que dados algunos elementos

de triángulos rectángulos, encontrar los que faltan.

a) Dado a = 6 y ζ = 30º, hallar los valores de “b” y “c”.

Para iniciar se tiene que decidir cuál de los lados, si el cateto adyacente “b” o bien la hipotenusa “c” se ha de encontrar primero.

Para encontrar el valor del lado “b”, se busca cuál de las seis relaciones trigonométricas

contiene los datos conocidos, además de que contenga lo que se quiere buscar (lado “b”).

Sesión


Utiliza las funciones trigonométricas para que dados un ángulo y uno de los lados determine los lados que faltan.




EJEMPLOS Encontrar un lado del triángulo cuando se conoce un ángulo agudo y uno de los lados:

130

De las seis relaciones, la que contiene estos datos es la tangente, entonces:

Tan ζ = ba

Al sustituir datos:

Tan 30º = b6

despejar “b” y resolver operaciones.

b = º306

Tan

b = 10.39

Para encontrar la hipotenusa, de nuevo se busca la relación trigonométrica

correspondiente que la contenga los datos mostrados del triángulo, en este caso con la

relación del seno.

Sen ζ = ca

Al sustituir datos en la expresión se tiene:

Sen30º = c6

ahora solo basta despejar “c”

C = º306

Sen

C = 12

131

a)

b)

“Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la

forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo

para resolver los ejercicios propuestos.


132

a) Dado b = 6 y c = 72 hallar los valores de “ζ” y “a”.

Para encontrar el ángulo agudo θ, tomar la función que contenga la información conocida, en este caso:

Cos ζ = c

b sustituir datos

Cos ζ = 72

6

Cos ζ = 0.707106 aplicando la función recíproca del coseno

ζ = 45º

Sesión

36

EJEMPLOS

Encontrar un ángulo agudo del triángulo cuando se conocen dos de los lados:

133

a) b)

a) b)

“Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la

forma del cómo se encuentran los lados que faltan en un triángulo

para resolver los ejercicios propuestos.


De manera individual, resuelve los triángulos encontrando los

valores que faltan.


134

1) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60º con respecto al piso.

2) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

Nombre ___________________________________________________

Grupo __________________________ Turno ___________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación ____________________ Página __________


135

3) Un árbol de hoja perenne está sostenido por un alambre que se extiende desde 1.5 pies debajo de la parte superior del árbol hasta una estaca en el suelo. El alambre mide 24 pies de largo y forma un ángulo de 58° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol?

136

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple relacionadas

con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta

correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

1. ¿Un cuadrado es?

a) Regular

b) Irregular

c) Cóncavo

d) Complejo

e) Equilátero

2. Un triángulo 36 m2 de área y 12 m de base ¿Cuánto mide de altura?

a) 6 m

b) 4 m

c) 9 m

d) 2 m

e) 6 m

3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice en el centro de la

circunferencia y está formado por dos radios, se llama

a) Ángulo interior

b) Ángulo exterior

c) Ángulo inscrito

d) Ángulo central

e) Ángulo semi inscrito

4. ¿Cuál es el área de una circunferencia de 16 π de longitud?

a) 127.14 m2

b) 430.86 m2

c) 201.06 m2

d) 321.27 m2

e) 178.57 m2

Nombre _________________________________________________

Grupo _________________________ Turno __________________

Fecha __________________________________________________

Autoevaluación

137

5. Si en un decágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas

diagonales se obtienen?

a) 6

b) 12

c) 36

d) 7 m

e) 10 m

6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 8 m de radio.

a) 15.71 m

b) 78.54 m

c) 50.26 m

d) 25 m

e) 31.42 m

7. Halla el valor numérico de csc 68°.

a) 5.71

b) 1.078

c) 6.223

d) 3.281

e) 2.669

8. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 3.6m y

b = 4.2 m.

a) 4.78 m

b) 2.10 m

c) 5.53 m

d) 2.4 m

e) 7.8 m

9. Dado Sin A = 2/5 halla el valor de Cot A

a) 2.29

b) 3.23

c) 3.57

d) 6.65

e) 3.89

10. Halla el valor de sec 25°

a) 2.36

b) 2.14

c) 3.57

d) 1.103

e) 3.894

138

INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN


En equipo


Sí No Ponderación

Calif.

1 Se integró al equipo. 0.2


0.2


0.3


0.5


0.5


Evaluación del desempeño (ejercicios):

Individual




0.3


0.4


0.5


0.5








139





0.5


1.5


0.5







Sí No Ponderación

Calif.


0.8


0.8


0.9





141

Unidad III TRIGONOMETRÍA

142

Al término de esta unidad el estudiante:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos

aritméticos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones

reales, hipotéticas o formales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los

contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

COMPETENCIAS

TEMARIO

3.1 TRIANGULOS OBLICUANGULOS

3.1.1. Ley de senos

3.1.2. Ley de cosenos

3.2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

3.2.1. Identidades fundamentales

3.2.2. Demostración de identidades

3.3. ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

3.3.1. Propiedades

3.3.2. Procedimientos de solución

3.4. ECUACIONES EXPONENCIALES

3.4.1 Propiedades

3.4.2 Procedimientos de solución

3.5 ECUACIONES LOGARITMICAS.

3.5.1 Propiedades


143

1. Los triángulos oblicuángulos pueden ser:

a). Acutángulos y rectángulos b). Acutángulos y obtusángulos

c). Rectángulos y Equiláteros d). Escaleno y equilátero

e). Escalenos y obtusángulos

2. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 2x = 8 a). 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. La ley de cosenos se representa por:

a). b).

c). d).

e).

4. La ley de senos se representa por:

a). b).

c). d).

e).

5. Es una ecuación

a). x2 = (x)(x) b). 2x +2 = 6 c). a2 + b2 = ( a+b)(a-b)

d). Cot x = 1 / tanx e). an SenxT xCosx

6. Es una identidad

a). x = 7

b). Sen x = 180° c). 2x = 3

d). 3x = 81 e).

an SenxT xCosx

7. es igual a

a). b).

c). d). Cos

e).


múltiple relacionadas con los temas de la unidad III, los cuales

profundizarás con más detalle a lo largo a las actividades del

cuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando la

respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final

del cuaderno de trabajo.


144

3.1. TRIANGULOS OBLICUANGULOS

3.1.1. Ley de senos

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los

lados de un triángulo cualquiera y que se utiliza para resolver ciertos tipos de problemas

de triángulos.

Donde a, b y c son los lados del triángulo y , , y son los ángulos del triángulo apuestos

a los lados correspondientes.

Resolver un triángulo significa encontrar todos los datos que faltan, a partir de los datos

que te dan. Si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y un lado, usa le

ley de los senos.

Sesión

37


Usa adecuadamente la ley de los senos para resolver triángulos oblicuángulos.




La ley de los Senos dice:

Senc

Senb

Sena

145

Datos del problema:

a= 5 = 43º

b = = 27º c = =

El ángulo es más fácil de encontrar, porque la suma de los ángulos internos de un

triángulo siempre suma 180º, entonces = 180º - - . Al sustituir los ángulos en esta

expresión se obtiene:

= 180º - 43º - 27º

= 180º - 70º

= 110º

Para encontrar los lados que faltan utilizamos la ley de los Senos, sustituyendo los datos:

Senc

Senb

Sena

º110º27º435

Senc

Senb

Sen Tomamos los dos primeros términos.

º27º435

Senb

Sen Despejamos “b” pasando Sen (27º) multiplicando

bSenSen

º43º275

Calcular la expresión realizando las operaciones.

3.328 = b

Y esto es lo que vale “b”.

Nada más falta calcular “c”. para encontrarla, volvemos a utilizar la ley de los Senos

EJEMPLOS

Resolver el siguiente triángulo.

146

º110º27328.3

º435

Senc

SenSen Tomamos la igualdad que contenga a “c”

º110º435

Senc

Sen Despejamos “c” pasando Sen(110º) multiplicando.

cSenSen

º43º1105

6.889 = c

Y con este resultado queda resuelto el triángulo.

a) b)

“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de los

datos que faltan en los triángulos, utilizando la Ley de los Senos


147

a)

b)

Sesión

38

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el

valor de las partes desconocidas:


149

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no. 1

INSTRUCCIONES: Resolver los siguientes problemas de aplicación para ley de los

senos, de manera individual. (Entregar la próxima sesión de clase)

1) Dos piedras se encuentran a la orilla de una playa a una distancia uno de otro de 1.8 Km. en los puntos A y B, y se encuentra una bolla situada en un punto C. Si la piedra A mide un ángulo CAB igual a 79.3° y el que está en B mide un ángulo CBA igual a 43.6°, ¿a qué distancia está la bolla de la costa?

2) Un poste forma un ángulo de 79° con el piso. El ángulo de elevación del sol desde el piso es de 69°. Encuentre la longitud del poste si su sombra es de 5.9 m.



___________________________________________________________

__________________________________________________

___________________________________________________________

___

151

3.1.2. Ley de cosenos

La Ley de los Cosenos, es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo

cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer.

Se describe de la siguiente forma, supongamos que se quiere conocer el lado C y se

tienen conocidos los valores de los lados a y b, además del ángulo .

C2 = a2 + b2 – 2abCos

.


Usa adecuadamente la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos.




Sesión

39

EJEMPLOS Resolver el siguiente triángulo rectángulo encontrando el valor de lado C, si a = 6, b = 10

y = 130º

152

Solución:

Utilizando la ley de los cosenos y sustituyendo:

C2 = a2 + b2 – 2abCos

C2 = a2 + b2 – 2abCos

C2 = (6)2 + (10)2 – 2(6)(10)Cos (130) ahora resolver las operaciones.

C2 = 36 + 100 – 120(-0.642)

C2 = 213.04

C = 04.213

C = 14.59

Que es la solución al problema al encontrar C = 14.59

a) b)

“Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor que

falta indicado en los triángulos, utilizando la Ley de los Cosenos


153

a)

b)

Sesión

40

Resolver los siguientes triángulos oblicuángulos, encontrando el

valor de lo que se indica.


154

Resolver los siguientes problemas aplicando las leyes de Seno y Coseno para encontrar

lo que se pide:

1) Un hombre mide el ángulo de elevación de una torre, desde un punto situado a

100 metros de ella. Si el ángulo medido es de 20º y la torre forma un ángulo de

inclinación de 68º con el suelo, determina su altura.

2) En una competencia de natación, dos amigos parten lanzándose al agua desde

una balsa al mismo tiempo, el primero nada a una velocidad de 6k/h y el segundo

a 5k/h.

Comienzan a alejarse entre sí con un ángulo de 35º , después de media hora de

competencia el segundo sufre un calambre.

¿Qué distancia recorrerá el primero para ir en su auxilio y qué ángulo tendrá la

nueva dirección de este?

Nombre ___________________________________________________

Grupo __________________________ Turno ___________________

Fecha _____________________________________________________

Instrumento de evaluación ____________________ Página __________


155

3) La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m.

¿Cuál es la medida del ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos

puntos extremos, de la sombra y del árbol?

4) Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de

10º hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del

aeropuerto se encuentra en ese momento.

156

3.2. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

3.2.1. Identidades Fundamentales

En matemáticas existen expresiones algebraicas que reciben en nombre de igualdades,

éstas se clasifican en ecuaciones e identidades.

Las ecuaciones como por ejemplo 2x +2 = 6 es una expresión que es válida para

determinados valores de las incógnitas, en este caso el valor x= 2 es el que satisface a la

ecuación ya que al sustituir 2(2) + 2 = 6.

Las identidades son expresiones que son validad para cualquier valor que tomen las

variables, en este caso la expresión x2 – y2 = (x+y)(x-y) es válida para cualquier valor de

las variables o incógnitas.

En trigonometría existen expresiones que relacionan los lados y ángulos de un triángulo

rectángulo y que son validas para cualquier valor de sus lados y ángulos y que reciben el

nombre de identidades trigonométricas.

Sesión

41

Investiga las 8 identidades trigonométrica fundaméntales.

Son 3 por reciprocas, 2 por cocientes o razón y 3 pitagóricas.

Las reciprocas las rescataremos en el subtema 2.3.1 de libro.


Conoce las 8 identidades trigonométricas fundamentales Clasifica las identidades trigonométricas fundamentales(reciprocas,

cociente y pitagóricas) Aplica identidades trigonométricas para encontrar el valor de las

funciones trigonométrica (Cotangente, Secante y Cosecante) utilizando calculadora para cualquier ángulo

Trabaja de manera colaborativa Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos

contextos Interpreta información contenida en un texto

.


157

Identidades Por reciprocas por cocientes o por

razón

Pitagóricas

2 2 1Cos x Sen x x x

an SenxT xCosx

2 2 1Cot x Csc x

1SenxCscx

2 21 Tan x Sec x

1CscxSenx

CosxCotxSenx

2 2 1Csc x Cot x

EJEMPLO

Dos funciones trigonométricas son reciprocas si el producto de

ellas es 1.

La definición del coseno en un triángulo rectángulo en razón de

los lados es cateto adyacente entre hipotenusa y la Secante es

hipotenusa entre cateto adyacente

Entonces 1Cosx Secx . Si despejamos Cos x queda

1Cosx

Secx

Esta es una identidad trigonométrica por reciproco.

Organizados en parejas completar la tabla adjunta clasificando las

identidades trigonométricas fundamentales que se te

proporcionan. Para lograrlo observa el ejemplo.


158

Solución:

Utilizando la identidad 1

SecxCosx

y sustituyendo la variable x por 56°, obtenemos:

156

56Sec

Cos

Por otro lado, al utilizar la calculadora tenemos que 56Cos =0.5591929035.

Así, 1

560.5591929035

Sec

, por lo tanto

56 1.78829165Sec

a). Cot 70° 1.108351………………… ( )

b). Csc 140° 1.701301…………………. ( )

c). Sec 25°32’45’’ 0.363970……………….….( )

d). 7Cot

1.555723……… ……….… ( )

e). -2.0……….….……………. ( )

f). Sec 240° -1.0……………….…….….( )

g). 2.076521…………………. ( )

EJEMPLO

Determinar el valor de sec 56°

Instrucciones. Relaciona correctamente la columna de la derecha con

la de la izquierda, colocando dentro del paréntesis la letra que

corresponda.

Individual Ejercicio no.3

159

3.2.2. Demostración de identidades

Solución:

Sustituyendo las identidades y en la expresión anterior

obtenemos:

11

senxCosx

Senx Cosx

Al multiplicar y simplificar se obtiene:

1

CosxSenx

SenxCosx

Así, nos da como resultado:

1 = 1

Por lo tanto la identidad 1CosxCscxTanx es verdadera.

EJEMPLO

Aplica métodos para demostrar identidades trigonométricas.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos.

Interpreta información contenida en un texto.

.


Sesión

42

Verifica la identidad:

1CosxCscxTanx

160

Ejercicios Demostración

1) Senx Cotx Cosx

2) otCscx

C xSecx

3) 1SecxCotxSenx

Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a

continuación.


161

Demostración:

Se factoriza el lado izquierdo de la igualdad:

2 2( )Senx Sen x Cos x Senx

Aplico la identidad trigonométrica pitagórica para obtener:

2 2 1Sen x Cos x

Así, nos queda que (1)Senx Senx . Por lo tanto, Senx Senx

Identidades Demostración

1Senx Cosx

Cscx Secx

3 2Cos x CosxSen x Cosx

2 22

2 2

os

os os

Sen x C xSec x

C x C x

Ejemplo de identidad trigonométrica

pitagórica

Demuestra que 3 2Sen x SenxCos x Senx

EJEMPLO

Sesión

43

Verificar las siguientes identidades que se te proporciona a

continuación


162

3.3. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS

3.3.1. Propiedades

Antes de iniciar con el estudio de las ecuaciones trigonométricas, es indispensable

conocer algunas propiedades de las funciones trigonométricas; conocidas como

identidades trigonométricas.

En el tema 3.2.1 tuviste la oportunidad de identificar y clasificar las 8 identidades

fundamentales, divididas en 3 grupos. El de las identidades recíprocas, de razón o

cociente y el de las pitagóricas.

A continuación realiza la siguiente investigación en donde identifiques y clasifiques

identidades que nos servirán para resolver un tipo particular de ecuación; al cual se le

llama ecuaciones trigonométricas.

Sesión

44


Conoce e idéntica las identidades trigonométricas de suma de ángulos, ángulos dobles, opuestos, mitad de un ángulo.

Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en distintos contextos

Interpreta información contenida en un texto Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida

.

Investiga las identidades trigonométricas del seno, coseno y

tangente relacionadas con la suma de ángulos, mitad de un ángulo y

ángulos opuestos y con ésta información contesta el ejercicio en

equipo.

Tarea de investigación no.2

163

SUMA DE ÁNGULOS

Sen(A ± B) = Sen(A)Cos(B)±Cos(A)Sen(B)

Cos( A ± B ) = Cos(A)Cos(B) Sen(A)Cos(B)

Tan( A ± B ) =

ANGULO DOBLE

Sen(2A)=

Cos(2A)=Cos2(A) – Sen2(A)

Tan(2A)=

ANGULO OPUESTO

Sen(-A) = -Sen(A)

Cos(-A) =

Tan(-A) =

Organizados en equipos de tres integrantes completar la tabla

adjunta, clasificando las propiedades de las funciones

trigonométricas de acuerdo a su ángulo (suma de ángulos,

ángulo doble, ángulos opuestos)

Grupal

Ejercicio no.4

164


Una ecuación trigonométrica es aquella donde intervienen términos trigonométricos, a

diferencias de las ecuaciones algebraicas vistas anteriormente, el número de soluciones

posibles es infinito. Para facilitar la solución a cada una de ellas, sólo se tomarán en

cuenta aquellas que estén entre dos valores determinados.

a). Resolveremos primeramente la ecuación Sen(x) = ½.

Solución: Tomando como referencia el ejercicio de grupo No. 12. Del tema 2.3.3

El valor del Sen (30°) = ½ ; por lo tanto el la solución es x = 30° = /6 rad.

b). Ahora resolveremos la ecuación Cos(2x) = .

Solución: Tomando de referencia el ejercicio No 12 de grupo pag. 118 el Cos(30°) = ;

por lo tanto 2x = 30°. Por lo tanto x = 30°/2 = 15° = /12 rad.

Resolver la ecuación Tan(x/2) = 1. De la tabla elaborada en la pag. 118, Tenemos que la

Tan(45°) = 1 ; Por tanto x/2 = 45° y x = 2(45°)= 90° = /2 rad.

EJEMPLO

Sesión

45

Usa las propiedades en la solución de ecuaciones trigonométricas

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos

Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa

.


Resolver las ecuaciones:

a) Sen(x) = ½

b) Cos(2x) = .

165

1) Resuelve la ecuación trigonométrica Sen (2x) = en radianes.

A) 6

B) 4

C) 3

D) 12

E) 15

2) Encuentra el valor de x de Sec(x) =

A) 30° B) 45° C) 60° D)45° E) 30°

3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación 24 3Sen x

A) 90° B) 45° C) 60° D) 180° E) 145°

Organizados en equipo de tres alumnos, resolver las ecuaciones

trigonométricas y comenten las respuestas ante el grupo.

Grupal Ejercicio no.5

166

Solución: Para encontrar la solución de la ecuación es necesito despejar x (utilizando

las propiedades).

Paso 1). Usando el inverso aditivo de 3 en la igualdad dada, obtenemos:

(4 ) 3Tan x

Paso 2). Despejando 4x nos queda

14 ( 3)x Tan

Paso 3). Despejando x y sustituyendo 1( 3) 60Tan , tenemos que

60

4x , es decir x =15°

Paso 4). La conversión de 15° a radianes es 12

.

Así concluimos que x = 12

EJEMPLO

Sesión

46 ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface

a (4 ) 3 0Tan x en radianes?

167

1) Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cosx- 3 =0 en radianes.

A) 6

B) 4

C) 3

D) 12

E) 15

2) Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a Tan4x- 3 =0 en grados?

A) 20 B) 15 C) 10 D)30 E) 60

3) Halla el valor de x de la siguiente ecuación 2 0Cscx

A) 30 B) 25 C) 45 D)50 E) 60

Resuelve las siguientes ecuaciones que se te proporciona a

continuación


168

3.4. Ecuaciones Exponenciales

3.4.1. Propiedades

Las expresiones exponenciales son aquellas donde la base es contante y el exponente

es la variable(o incógnita) a esta reciben el nombre expresiones transcendentales.

Las expresiones que mas estudiamos en el algebra son donde la base es la variable (o

incógnita) y el exponente es constante se conocen como expresiones algebraicas.

Las expresiones exponenciales tiene una gran aplicación en las campos de Química,

Biología, Ciencias Sociales, física e ingeniera.

Sesión

47

Reconoce las propiedades y ecuaciones exponenciales. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en

distintos contextos Interpreta información contenida en un texto Trabaja de manera colaborativa

.


El número de bacterias de un cultivo que se duplica cada

día y si hay 100 bacterias al inicial el experimento.

Calcular:

a) El modelo matemático de este problema en forma de

ecuación cuando se tenga 3200 bacterias.

b) La solución del problema matemáticamente y

lógicamente

EJEMPLO

Las expresiones exponenciales son de tres tipos:

1) Expresión exponenciales con base “a” donde “a” es positiva (

), tiene la forma xa ejemplo , y

.

2) Expresión exponencial natural es un caso particular de la primera, es cuando

a = 2.71828182... Su forma es 2.718281x pero es más conocida como xe

3) Expresión exponencial común también es un casa particular de la

primera y es cuando a = 10 su forma es 10X

169

Soluciones:

a) Como de duplica cada día y cada día es “x” se expresa 2x, luego se multiplica por

100 las bacterias iníciales y se iguala 3200 las que se quieren.

La ecuación resulta (100)2 3200 2 (100) 3200x xó

Lógicamente primer día 200, segundo 400, tercer 800, cuarto 1600 quinto 3200.

b). Matemáticamente

(100)2 3200x Usando el inverso multiplicativo

32002

100

x simplificando la

división 2 32x descomponiendo en factores primos el 32 queda

52 2x

Por lo tanto 5x como “x” representa días entonces se necesitan 5 das para

obtener 3200 bacterias

1) Determina el valor de “x” de la ecuación exponencial 3 81x

A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E)6

2) Halla la raíz de la ecuación exponencial 2 512 0x

A) 6 B) 7 C) 8 D)9 E)10

3) Resuelve la ecuación 5 8 2 43 3x x

A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E)6

4) La desintegración de una sustancia radiactiva como la del isótopo de polonio disminuye la mitad de la cantidad que se tenga cada 140 días. Si tenemos 40 miligramos de esa sustancia radiactiva ¿Cuánto días tardará para que se desintegren 35 miligramos?

A) 140 días B) 280 días C) 420 días D) 560 días E)700 días

Resuelve los siguientes ejercicios encontrando el valor de la

incógnita de las ecuaciones exponenciales.


170

EJEMPLO


La Ecuación Exponencial: Se conoce como ecuación exponencial a una ecuación donde

la incógnitas forman parte solo de los exponentes de potencias para ciertas bases

constantes. Usualmente la letra ((x)) es la incógnita, pero se puede usar cualquier letra.

Una de la ecuaciones exponenciales más simples, cuya solución se reduce a la de una

ecuación algebraica, es la ecuación del tipo af(x) = b, pero tenemos también ecuaciones

exponenciales del tipo af(x) = bg(x).

Ejemplos: 8x = 512 b) 3x-1 = 2187 6 c) 333

2

66xx

Existen dos métodos fundamentales de resolución de las ecuaciones exponenciales.

Método de reducción a una base común. Si ambos miembros de una ecuación se pueden representar como potencias de base común a , donde a es un número positivo, distinto de 1. Usando la propiedad

af(x)

= ag(x)

de donde se tiene que f(x) = g(x)

en otras palabras, los exponentes se igualan y resulta un tipo de ecuación en el cual se

aplican las transformaciones algebraicas explicadas anteriormente.

Sesión

48

Resolver ecuaciones exponenciales Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en


.


a) Resolver la ecuación exponencial 2m

= 64.

Solución:

primero, descomponer el número 64 en factores primos. Así

2m

= (2)(2)(2)(2)(2) utilizando las leyes de los

exponentes, tenemos: 2m

= 26.

Por lo que concluimos que m = 6.

171

1. 2x

= 16

2. 5x

= 15625

3. 3x = 243

4. 6x

= 1

5. 83x-1

= 1

6. 7x+2

= 343

7. 4x

= 1

a) 23x+1

= 128

b) 8x = 10

x

c) 35x = 27

x

d) 23x+1

= 128

Organizados en equipo de tres para resolver las ecuaciones

exponenciales siguientes, usando leyes de exponentes.

Grupo

Ejercicio no. 6


incógnita, utilizando las leyes de los exponentes.


172

3.5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS

3.5.1. Propiedades

La función logarítmica y exponencial son funciones inversas;

Por definición el logaritmo de un numero x (positivo) es el exponente que indica las veces

que se debe de multiplicar la base “a”(positivo) para obtener el número ” x”, es

equivalente a ya x donde “y” es el logaritmo. Algebraicamente se expresa

logay x Se conoce como forma logarítmica.

De otra forma la definición de logaritmo es equivalente a.

El logaritmo con base a se expresa como loga x y de lee logaritmo de x con base “a”.

El logaritmo natural se expresa ln x y se lee logaritmo natural de x.

El logaritmo común se expresa log x y se lee logaritmo común de x.

Las propiedades de los logaritmos son:

1) log log loga a axy x y

2) log log loga a a

xx y

y

3) lnln nnx x

4) ln lnlnnm nm n

x xm

x

ln

log10

log log

log 10

yx xa e

yx x

yy x si y sólo si x a ó y si y sólo si x e

ó y si y sólo si x

Sesión

49

Usa la definición y las propiedades de logaritmos Escucha, interpreta y emite mensaje pertinentes en


.


173

1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo 3 81 4Log .

Solución: Usando la definición logay

y x si y sólo si x a

, tenemos que :

a = 3, x = 81 y y = 4

Entonces: 481 3

2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial 532 2 ?

Solución: Usando la definición de logaritmo tenemos que a = 2, x = 32 y y = 5. Por lo

tanto:

2 32 5log

Ó 25 32log

3.5.2. Procedimientos de solución

1. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo

3 81 4Log .

2. ¿Cuál es la forma logarítmica de la exponencial 532 2 ?

EJEMPLO

Usa la definición y las propiedades de logaritmos Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en


.


Sesión

50

174

A). Expresa

5 2

3ln

y x

z en términos de Logaritmos de y, x y z.

Solución:

EJERCICIO: DESARROLLO: JUSTIFICACIÓN:

5 2

3ln

y x

z

= 5 2 3ln lny x z Por la propiedad

log log loga a a

xx y

y

= 5 2 3ln ln lny x z

Por la propiedadlog log loga a axy x y

= 5ln 2ln 3lny x z Por la propiedad

lnln nnx x

B). Expresa como un logaritmo 3 3 332

2log 3log logx y w.

Solución

EJERCICIO: REDUCCIÓN: JUSTIFICACIÓN:

3 3 332

2log 3log logx y w

= 3 3 3

32

2log (3log log )x y w

Factorizando

= 3 3 3

3 22 3log (log log )x y w Usando lnln nnx x

y

ln lnlnnm nm n

x xm

x

= 3 3

3 22 3log logx y w log log loga a axy x y

= 3

3 2

2

3log

x

y w

log log loga a a

xx y

y

Usa las propiedades de logaritmo:

A). Expresa

5 2

3ln

y x

z en términos de Logaritmos de y, x y z.

B). Expresa como un logaritmo 3 3 332

2log 3log logx y w

EJEMPLO

175

1) Expresa

5

3 2ln

y

z x en términos de logaritmos de y, x y z

A) 2 ln3ln5ln xzy B) 3 2 lnln5ln xzy

C)

2 ln3ln5ln xzy D)

3 2 lnln5ln xzy E)

2 ln 53ln lnxz y

2) Expresa 54

5 3ln

w

z x en términos de logaritmos de x, z y w

A) 2 ln5 ln4

ln5

xzw B) ln5 ln 34

ln5

xzw C)

3 ln5 ln5

ln4

xzw

D)

lnln 34

ln 55

xzw E)

3 lnln4

5ln5

xzw

3) Expresa como un solo logaritmo 3 3 3

37

5log 4log logx z w

A) 3

7 3

5

4log

x

z w B)

33 7

5

4log

x

z w C)

7 3

3

5

4log

x w

z

D)

7 3

3 5 4log

w

x z E)

7 3

3

5 4log x z w

Organizados en equipo de tres para que resuelva los siguientes

problemas que involucran expresiones, ecuaciones logarítmicas

y exponenciales.

Grupo

Ejercicio no.7

176

A. Resolver la ecuación logarítmica de base 4;

Solución: Para resolver una ecuación logarítmica, es conveniente escribirla en la forma exponencial. Es decir, Log4 356 = x es equivalente a:

Tomando logaritmo natural (Ln) o logaritmo base 10 (Log10) en ambos lados de la ecuación.

ln(4x ) = Ln(356) Aplicando la ley de los logaritmos para las potencias se obtiene,

x(ln4) =Ln(356) Por último despejando x ; tenemos que:

x = kn(356)/ln(4) = 4.237866715 En general cualquier ecuación logarítmica de la forma Logb (a) = x , la solución está dada por :

Se usa logaritmo natural o de base 10 por estar almacenados en las calculadoras. B. Resolver la ecuación logarítmica Logx(81) = 2 Solución: Al escribir la ecuación a la forma exponencial se tiene que:

Logx(81) = 2 es equivalente a x2 = 81 ,

Al extraer la raíz cuadrada en ambos lados y se tiene:

, Como la base de un logaritmo debe de ser positiva, la solución es x = 9.

C. Resolver la ecuación Ln (x) = 2 .

Solución: Como se trata del logaritmo natural, su base es el número e; escribiendo la ecuación a la forma exponencial, se tiene: e2 = x , utilizando la calculadora x = __________

Sesión

51

177

1) Soluciona la ecuación logarítmica Log3 50 = x A) 4 .98 B) 1.23 C)6.021 D)3.5 E)8.23

2) Soluciona la ecuación exponencial con logarítmicos Logx(16) = 2 A) 4.1546 B) 4 C) 2 D)4.0656 E) 4.7654

3) Resuelve la ecuación exponencial con logarítmicos Ln(x) = 2 A) 1.2743 B) 7.38 C) 1.8976 D)2.6836 E) 1.9543

2. Resolver la ecuación Lnx2 = 20

Solución:

2Lnx = 20………. Aplicando propiedades del logaritmo de una potencia.

Lnx = 20 /2 = 10……….Dividiendo por 2 en ambos lados de la igualdad.

x = e10 …………..Como la base del logaritmo natural es e, se tiene que: x = 21586.27


incógnita.


Sesión

52

EJEMPLO

1. Resolver la ecuación Log(2x-6) = 2 :

Solución:

Como la base es 10 se escribe la ecuación a la forma exponencial 102 =2 x-6 ; entonces :

2. 2x -6 = 100

Resolviendo la ecuación resultante obtenemos:

3. 2x = 100+6

Por lo tanto la solución es x = 106/2 = 53

178

1) Calcular x para que cada una de las siguientes expresiones sea cierta:

a) log x 8 = ½

b) log x 1/9 = -2

c) log 27 x = 1/3

d) log 10 0,01 = x

e) log 1/2 x = -1

2) Resolver la ecuación 2 log x = 1 + log (x - 0,9)

3) Resolver la ecuación 3.log x - log 32 = log x/2.

4) Calcular por definición de logaritmos el valor de y

0.25 = y

Resuelve los ejercicios que se te proporciona a continuación,

encontrando el valor de cada incógnita.


179

1. ¿Qué tipo es la siguiente identidad Senx Cscx = 1?

A) Reciproca B) Cociente C) Pitagórica D) Inversas E) Radical

2. Utilizando una identidad trigonométrica fundamental, ¿Cuál es el valor de la Sec 56° en la calculadora?.

A) 0.8191520443 B) 1.220774589 C) 1.78829165

D) 1.428148007 E) 0.7002075382

3. Utilizando identidades trigonométricas, demuestra que , es igual a

A) Sen x B) Cos x C) Tan x D) Cot x E) Sec x

4. ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 4Sen x-2=0 en grados?

A) 60° B) 210° C) 30° D) 300° E) 45°

5. Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cos2x = 1 en radianes

A) 2

B) 6

C) 3

4 D)

5

3 E)

2

3

6. ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 3Cot x- 3 =0 en grados?

A) 60° B) 90° C) 30° D) 120° E) 150°

7. ¿Cuál es una ecuación exponencial natural?

A) 2x=4 B) 2 4x C) 2 4x D) 2xe E) 10 0.01x

8. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 12 32x

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno ___________________

Fecha _________________________________________________

Autoevaluación

180

9. ¿Cuál es la expresión exponencial del logaritmo ?

A) 23 4(2) B) 23 8 C)

2 8 3 D) =8 E) 32 8

10. Expresa 2 5 3ln x z w en términos de logaritmos de x, z y w.

A) 2ln 5ln 3lnx z w B) 2ln 5ln 3lnx z w C) 2ln 5ln 3lnx z w

D) 2ln 5ln 3lnx z w E) 3ln 5ln 2lnw z x

11. Expresa como un logaritmo 3 3 3

12log 3log log2

w z x

A) 2 3

3logw z

x B)

2

3 3log

w x

z C)

3

3 2log

z

w x

D) 3 2 3

logx

w z E)

2

3 3log

w

z x

12. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación logarítmica log(3 5) log17x ?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8

13. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación 4 456x?

A) 4.204567x

B) 4.59657x

C) 5.807354x

D)

E) 4.416445007x

181

INSTRUMENTOS DE EVALAUCIÓN


En equipo


Sí No Ponderación Calif. 1 Se integró al equipo. 0.3


0.3


0.3


0.6


0.6





Evaluación del desempeño (ejercicios):

Individual




0.4


0.5


0.5


0.7





182





0.75


2.0


1.0









1.25


1.25


1.25





183

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CRITERIO: PORCENTAJE:

Producto 15%

Desempeño 35%

Conocimiento 50%

Total: 100%

RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA

UNIDAD I

REACTIVO: OPCIÓN CORRECTA:

1 D

2 C

3 B

4 B

5 E

6 C

7 B

8 A

9 D

10 C

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIÓN

UNIDAD I


1 C

2 A

3 D

4 D

5 B

6 A

7 A

8 D

9 D

10 C

11 A

12 C

13 B

14 A

15 C

184

PORCENTAJE DE ACTIVIDADES Y PRODUCTOS EVALUABLES UNIDAD 1

No. Producto a entregar por el alumno

% Dinámica empleada

Criterio Sesión No.

1 Ejercicio 1: Lectura y respuestas a cuestionamientos.

2.06 Individual Desempeño 3

2 Tareas de Investigación 1. 1.36 Individual Producto Extra-clase

3 Ejercicio no.2: Completar la tabla.



5 Ejercicio no 3: Diferenciar entre axioma, postulado, teorema, lema y corolario.



7 Ejercicios no. 1. Deducciones de conjeturas.

2.06 Grupal Desempeño 6

8 Ejercicios de aplicación 1.36 Individual Producto Extra-clase

9 Ejercicios no. 4. Identificación de ángulos.


10 Tareas de Investigación 4 1.36 Individual Producto Extra-clase

11 Ejercicios no. 2. Identificación de pares ángulos.


12 Ejercicios no. 5. Conversiones.






15 Tarea 1 1.36 Individual Producto Extra-clase

16 Ejercicios no. 4. Calcular la medida de ángulos.


17 Ejercicios no. 5. Calcular la medida de ángulo.




20 Ejercicios no.6. Relación de columnas.


185


22 Ejercicios no. 7. Relación de columnas.


23 Ejercicios no. 8. Calcular la medida de ángulos.


24 Ejercicios no. 9. Aplicación de Teorema de Pitágoras.


25 Ejercicios no. 7. Aplicación de Teorema de Pitágoras.


26 Tarea 2 1.36 Individual Producto Extra-clase

27 Ejercicios no. 10. Aplicación de Teorema de Tales.



29 Tareas de Investigación 7 0 Individual Producto Extra-clase

186

RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA

UNIDAD 2


1 B

2 B

3 C

4 B

5 E

6 A

7 C

8 E

9 B

10 B

11 C

IÓN


UNIDAD 2


1 A

2 E

3 D

4 C

5 D

6 C

7 B

8 C

9 A

10 D

11 B

12 A

13 E

14 E

15 E

187





1 Tareas de Investigación 7: cuadro sinóptico incluido en la página 63 de la unidad 1.

2.5 Individual Producto Extra-clase

2 Ejercicio no. 1:Tabla correspondiente


3 Ejercicio no. 2: Tabla correspondiente


4 Ejercicio no. 3: Tablas correspondientes


5 Ejercicio no.4: Tabla correspondiente


6 Ejercicios no. 1: Problemas


7 Ejercicios no. 2: Problemas



9 Ejercicios no. 3: Identificar puntos y rectas en la circunferencia


10 Tarea no. 1: Trazos en la circunferencia

2.5 Individual Desempeño Extra-clase

11 Ejercicios no. 5: Identificar ángulos en la circunferencia


12 Ejercicios no. 6: Cálculos de áreas


13 Trazos y cálculo de perímetro y área del círculo

0 Individual Desempeño 27

14 Tarea no. 2: Problemas 2.5 Individual Producto Extra-clase

15 Ejercicios no. 7: Cálculos de áreas


16 Ejercicios no. 8: Medidas de ángulos


17 Ejercicios no. 9: Medidas de ángulos



19 Ejercicios no. 10: Resolución de triángulos rectángulos.


188





23 Ejercicios no. 13: Completa la tabla.













189

RESPUESTAS A LA EVALUACIÓN

DIAGNOSTICA UNIDAD 3


1 B

2 C

3 A

4 A

5 B

6 E

7 B


UNIDAD 3


1 A

2 C

3 A

4 C

5 B

6 A

7 D

8 D

9 D

10 B

11 A

12 B

13 D

190





1 Ejercicio 1: Resolución de

triángulos oblicuángulos

2.1

Grupal

Desempeño

37



2.1

Individual

Desempeño

38

3 Tarea 1. Aplicaciones de

la ley de los senos

3.75

Individual

Producto

Extra-

clase



2.1

Grupal

Desempeño

39



2.1

Individual

Desempeño

40

6 Ejercicios de aplicación 1. 3..75 Individual Producto Extra-

clase

7 Tarea de Investigación 1. 3.75 Individual Producto Extra-

clase

8 Ejercicio 3: Completar la

tabla correspondiente.


9 Ejercicio 3. Relación de

columnas.


10 Ejercicio 4. Completar la

tabla correspondiente.


11 Ejercicio 5. Demostración

de identidades.


12 Tarea de investigación 2 3.75 Individual Producto 44

13 Ejercicio 4. Complementar

la tabla adjunta


14 Ejercicio 5. Problemas. 2.1 Grupal Desempeño 45

15 Ejercicio 6. Problemas. 2.1 Individual Desempeño 46

16 Ejercicio 7. Problemas. 2.1 Individual Desempeño 47

17 Ejercicio 6. Resolución de 2.1 Grupal Desempeño 48

191

ecuaciones

exponenciales.

18 Ejercicio 8. Aplicación de

ley de los exponentes.



ley de exponentes y de

logaritmos.



ley de los logaritmos.


21 Ejercicio10. Calcular el

valor de la incógnita x,

utilizando leyes de

logaritmos.


192

GLOSARIO Ángulo: Dos rayos que comparten un punto extremo común, en el supuesto de que los dos rayos no estén en la misma recta. El punto extremo común de los dos rayos que forman el ángulo es el vértice del ángulo. Los dos rayos se denominan lados del ángulo.

Ángulo agudo: Ángulo que mide menos de 90º.

Ángulo central: Ángulo cuyo vértice es el centro de una circunferencia y cuyos lados contienen a los radios de ésta.

Ángulo de depresión: Si una persona está mirando hacia abajo, entonces el ángulo visto desde la horizontal hacia abajo a la línea de visión se denomina ángulo de depresión.

Ángulo de elevación: Si una persona está mirando hacia arriba, entonces el ángulo de la horizontal a la línea de visión se denomina ángulo de elevación.

Ángulo de rotación: Un número, por lo general en grados, que describe un movimiento de giro alrededor de un centro dado.

Ángulo exterior: Ángulo que forma un par lineal con uno de los ángulos internos del polígono.

Ángulo inscrito: Ángulo cuyo vértice está en una circunferencia y cuyos lados contienen cuerdas del círculo.

Ángulo interior adyacente: El ángulo interior que forma un par lineal con un ángulo exterior dado.

Ángulo obtuso: Ángulo que mide más de 90º.

Ángulo recto: Ángulo que mide 90°.

Ángulos complementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 90º.

Ángulos congruentes: Dos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.

Ángulos consecutivos: Dos ángulos de un polígono que comparten un lado común.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º.

Apotema de un polígono regular: Segmento perpendicular del centro del círculo circunscrito por el polígono a un lado del polígono.

Arco de círculo: Dos puntos en una circunferencia y la parte continua (sin romper) de la circunferencia entre los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos extremos del arco.

Arco mayor: Arco de círculo cuya longitud es mayor que la longitud de un semicírculo del círculo.

Arco menor: Arco de círculo cuya longitud es menor que la longitud de un semicírculo del círculo.

Área: Medida de la región encerrada por una figura plana.

Argumento lógico: Conjunto de premisas y una conclusión. Cada proposición dada es una premisa. La proposición a que se llega a través del razonamiento se denomina conclusión. Un argumento es válido si la conclusión fue obtenida mediante formas aceptadas de razonamiento.

193

Base de un triángulo isósceles: El lado opuesto al ángulo vértice en un triángulo isósceles.

Bisectriz de un ángulo: Rayo que tiene un punto extremo en el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales de la misma medida.

Bisectriz de un segmento: Recta que pasa por el punto medio de un segmento.

Centro idee: Punto de concurrencia de las tres medianas de un triángulo.

Círculo: Conjunto de todos los puntos en un plano que están a una distancia de un punto dado (el centro del círculo) en el plano.

Circulo circunscrito en un polígono: Círculo que pasa por cada uno de los vértices de un polígono. El polígono está inscrito en el círculo.

Circulo inscrito en un polígono: Círculo que toca una vez cada lado de un polígono exactamente en un punto. El polígono está circunscrito en el círculo.

Círculos concéntricos: Círculos que comparten el mismo centro.

Círculos congruentes: Círculos del mismo radio.

Círculos tangentes: Círculos que son tangentes a la misma recta en el mismo punto. Pueden ser tangentes internamente o tangentes externamente, como se muestra en la figura de la derecha.

Circuncentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices perpendiculares de los lados de un triángulo.

Circunferencia: Distancia alrededor del círculo; es decir, el perímetro. La circunferencia de un círculo de radio r es 2π r.

Congruente: Dos figuras geométricas son congruentes si y sólo si son idénticas en forma y tamaño.

Corolario: Teorema demostrado como una consecuencia inmediata de otro teorema.

Cuadrilátero: Polígono de cuatro lados.

Cuerda de un círculo: Segmento cuyos puntos extremos están en una circunferencia.

Decágono: Polígono de diez lados.

Diagonal de un polígono: Segmento que conecta dos vértices no consecutivos cualesquiera.

Diámetro: Cuerda que contiene al centro del círculo

Distancia de un punto a una recta: Longitud del segmento perpendicular que va del punto a la recta

Dodecágono: Polígono de doce lados.

Eneágono: Polígono de nueve lados.

Esfera: Conjunto de todos los puntos en el espacio a una distancia dada de un punto dado. La distancia dada se denomina radio y el punto dado es el centro.

Figuras semejantes: Figuras que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño.

194

Grado: Unidad de medida de los ángulos.

Hemisferio: Mitad de una esfera.

Heptágono: Polígono de siete lados.

Hexágono: Polígono de seis lados.

Hexágono regular: Figura cuyos seis lados tienen la misma longitud y cuyos ángulos miden lo mismo.

Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo. Los otros dos lados se denominan catetos.

Incentro: El punto de concurrencia de las tres bisectrices de los ángulos de un triángulo.

Lado de un polígono: Cada segmento de recta de un polígono.

Lados consecutivos: Dos lados de un polígono que comparten un vértice común.

Ley de los cósenos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C), c2 = a2 + b2 -2ab cos C.

Ley de los senos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de

longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C),

Longitud de arco: Fracción de la circunferencia de un círculo definida por el arco.

Mediana de un triángulo: Segmento que conecta el punto medio de un lado con el vértice opuesto.

Mediatriz: Recta que divide (biseca) un segmento de recta en dos partes congruentes y que también es perpendicular al segmento de recta.

Medida de un ángulo: La mínima cantidad de rotación necesaria para girar de un rayo de un ángulo al otro.

Modelo matemático: Abstracción de un problema del mundo real en un problema matemático. La creación de un modelo matemático puede implicar establecer hipótesis y efectuar simplificaciones crear figuras geométricas, gráficas y tablas; o encontrar ecuaciones que aproximan el comportamiento de un evento real.

Nonágono: Polígono de nueve lados.

Octágono: Polígono de ocho lados.

Ortocentro: El punto de concurrencia de las tres alturas (o de las rectas que pasan por las alturas) de un triángulo.

Paralelogramo: Cuadrilátero en el que ambos pares de lados opuestos son paralelos

Pentágono: Polígono de cinco lados.

Perímetro de un polígono: La suma de las longitudes de los lados de un polígono.

Polígono: Figura geométrica cerrada en un plano en la que segmentos de recta conectan punto extremo con punto extremo y cada segmento corta exactamente a otros dos segmentos.

195

Polígono cóncavo: Polígono en que por lo menos un segmento que une dos vértices está fuera del polígono.

Polígono convexo: Polígono en que ningún segmento que une dos vértices está fuera del polígono.

Polígono equiángulo: Polígono cuyos ángulos miden lo mismo.

Polígono equilátero: Polígono cuyos lados miden lo mismo.

Polígono regular: Polígono que es equilátero y equiángulo.

Polígonos congruentes: Dos polígonos son congruentes si y sólo si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y todos sus lados correspondientes son congruentes.

Polígonos semejantes: Polígonos cuyos ángulos correspondientes son congruentes y cuyos lados correspondientes son proporcionales.

Postulado: Proposición aceptada sin demostración.

Proporción: Proposición de igualdad entre dos razones.

Punto: Término indefinido. Unidad básica de la geometría. No tiene tamaño, es infinitamente pequeño y sólo tiene ubicación.

Puntos colineales: Dos o más puntos que están en la misma recta.

Puntos coplanares: Dos o más puntos que están en el mismo plano.

Radio: Segmento trazado de un punto de una circunferencia o esfera al centro. La longitud del segmento también se denomina radio.

Recta: Término indefinido. Disposición recta de puntos. En una recta hay una infinidad de puntos. Una recta tiene longitud infinita aunque carece de grosor y se extiende sin límite en ambas direcciones.

Recta auxiliar: Una recta o segmento adicional que se traza en una figura como ayuda en una demostración.

Recta de Euler: Recta que pasa por el circuncentro, el ortocentro y el centroide de un triángulo; así denominada en honor del físico y matemático suizo Leonhard Euler.

Rectángulo: Paralelogramo equiángulo.

Rectas concurrentes (segmentos o rayos): Rectas, segmentos o rayos que están en el mismo plano son concurrentes si y sólo si se cortan en un solo punto. El punto de intersección es el punto de concurrencia.

Rectas oblicuas: Rectas que no están en el mismo plano y no se cortan.

Rectas paralelas: Dos o más rectas que están en el mismo plano y no se cortan.

Rectas perpendiculares: Dos rectas que se cortan y forman un ángulo recto.

Rectificar: Transformar una figura en rectángulo por medio de corte y reensamblaje.

Recurrencia: Proceso de generación de una sucesión (o patrón) a partir de un primer término dado al aplicar una regla a fin de obtener cualquier término subsecuente a partir del término precedente.

Regla: Instrumento utilizado para trazar rectas.

196

Regla graduada: Instrumento utilizado para medir la longitud de segmentos de recta.

Rombo: Paralelogramo equilátero.

Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.

Rumbo: Ángulo medido en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj con respecto al norte.

Secante de un círculo: Recta que contiene una cuerda.

Sección: Figura plana que resulta cuando un sólido es cortado por un plano.

Sector de un círculo: Región entre dos radios de un círculo y el arco incluido.

Segmento de Euler: Segmento cuyos puntos extremos son el ortocentro y el circuncentro de un triángulo. (El segmento de Euler también contiene al centroide del triángulo).

Segmento de recta o segmento: Dos puntos y todos los puntos entre aquéllos, que están en la recta que contiene a los dos puntos. Los dos puntos se denominan puntos extremos del segmento de recta.

Segmento de un círculo: Región entre una cuerda de un círculo y el arco incluido.

Segmento medio de un trapezoide: Segmento de recta que conecta los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapezoide.

Segmento medio de un triángulo: Segmento de recta que conecta los puntos medios de dos lados de un triángulo.

Segmentos congruentes: Dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida.

Semicírculo: Arco de círculo cuyos puntos extremos son los puntos extremos de un diámetro.

Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , sen A = Longitud del cateto opuesto a / Longitud de la hipotenusa.

Simetría: Una figura es simétrica si coincide consigo misma después de una transformación rígida.

Simetría de reflexión: Una figura tiene simetría de reflexión si puede reflejarse a través de una recta de forma que la imagen resultante coincida con la figura original. La simetría de reflexión también se denomina simetría con respecto a una recta o simetría especular. La recta de reflexión se denomina recta de simetría o espejo.

Simetría de reflexión por deslizamiento: Una figura o patrón tiene simetría de reflexión por deslizamiento si puede experimentar una reflexión por deslizamiento de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de reflexión por deslizamiento necesariamente se repiten de forma infinita.

Simetría de rotación: Una figura tiene simetría de rotación n veces si puede rotarse grados alrededor de un punto (donde n es un entero positivo) de modo que la imagen resultante coincida con la figura original.

197

Simetría de traslación: Una figura presenta simetría de traslación si puede trasladarse de modo que la imagen coincida con la figura original. Las figuras con simetría de traslación necesariamente se repiten de forma infinita; sólo es posible representar una parte finita de la figura.

Simetría puntual: Una figura presenta simetría puntual si puede rotarse 180º alrededor de un punto de modo que la figura coincida con su imagen.

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , tan A = Longitud del cateto adyacente b / Longitud del cateto opuesto a.

Tangente de un círculo: Recta que está en el plano de un círculo y que corta a éste exactamente en un punto. El punto de tangencia es el punto en que la tangente toca el círculo.

Teorema: Proposición que puede demostrarse.

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos.

Tetraedro: Poliedro con cuatro caras.

Transformación: Regla que establece una correspondencia uno a uno entre cada punto del plano y otro punto en el plano, denominado su imagen Transformación rígida o isometría. Transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metría significa "medida"). La imagen de una figura bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original.

Transportador: Instrumento utilizado para medir en grados el tamaño de un ángulo.

Transversal: Recta que corta dos o más rectas coplanares.

Trapezoide: Cuadrilátero con exactamente un par de lados paralelos. Los lados paralelos se denominan bases. Dos ángulos que comparten una base como lado común se denominan par de ángulos de la base.

Trapezoide isósceles: Trapezoide cuyos dos lados no paralelos tienen la misma longitud

Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas. Una traslación está determinada por un vector de traslación, representado por una flecha. La distancia del desplazamiento es la longitud del vector de traslación desde el punto de inicio hasta la punta, y la dirección del desplazamiento es la dirección en que apunta la flecha.

Triángulo: Polígono de tres lados

Triángulo agudo: Triángulo con tres ángulos agudos.

Triángulo escaleno: Triángulo con tres lados de longitudes diferentes.

Triángulo isósceles: Triángulo con por lo menos dos lados de la misma longitud. El ángulo entre los dos lados de la misma longitud se denomina ángulo vértice. El lado opuesto al ángulo vértice se denomina base. Los dos ángulos opuestos a los dos lados de la misma longitud se denominan ángulos de la base.

Triángulo obtuso: Triángulo con exactamente un ángulo obtuso.

Triángulo rectángulo: Triángulo con exactamente un ángulo recto.

198

Tripleta pitagórica: Tres enteros positivos que producen una igualdad en la fórmula de Pitágoras. Si los tres enteros no tienen factores comunes enteros, entonces la tripleta es primitiva. Si los tres enteros tienen un factor común, entonces la tripleta es un múltiplo.

Undecágono: Polígono de once lados.

Vértice de un polígono: Cada punto extremo donde se encuentran los lados de un polígono.

Vértices consecutivos: Dos vértices de un polígono conectados por un lado.

199

B I B L I O G R A F I A

1. Barnett, Raymond A.(1987). Álgebra y trigonometría, Editorial McGraw Hill,

México.

2. Swokowski, Earl W. \ Cole, Jeffery A., Coaut. \ Muñoz, Jorge Humberto. (1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica . 9a. ED. México.

3. Kelly, Timothy J. et al. (1996). Álgebra y Trigonometría. Editorial Trilla, México.

4. Leithold, Louis. (1994). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial

OXFORD UNIVERSITY PRESS. México.

5. Fleming, W.(1991). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. PRENTICE-

HALL. México.

6. Peterson, John (1998). Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría y geometría

analítica. Compañía editorial Continental (CECSA), México.

7. Ortiz, Francisco J. (2006). Matemáticas, Geometría y Trigonometría. Publicaciones

Cultural. México.

8. Stanley A. Smith, Randall I. Charles, John A. Dossey, Mervin L. Keedy L. Bittinger.

(1998). Algebra,Trigonometría y Geometría Analítica.ED. Pearson.

200

“Fecha de terminación de la impresión”

“Diseñada por”

Dirección donde fue diseñada

“Número de ejemplares impresos”

geomtrig_bt

Documents