11SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 4

SNII2G4

GEOMETRATEMA 4

CIRCUNFERENCIA I

DESARROLLO DEL TEMA

I. DEFINICIN Esaquellafigurageomtricaformadaportodoslospuntos

deunplanoqueequidistandeunpuntofijodelmismoplanollamadocentro.

II. ELEMENTOS

Or

Centro :O Radio :r

Nota:MedidaAngular:360MedidaLongitudinal:2pr

III. ELEMENTOS ASOCIADOS A LA CIR-CUNFERENCIA

Cuerda:AB

CS

B

QP

A

N

T

LTLS M

Dimetro:PQ PQ=2r ArcoAB

PuntodeTangencia:T RectaTangente:LT RectaSecante:LS Flecha:CS

IV. PROPIEDADES FUNDAMENTALES1. Si:AB//CDsecumple:

A B

C D

a b mAC=mBD

a = b

2.

A

D

Cb

aB

Si:AB=CDsecumple: mAB=mCD a = b

3. Si:OP ABsecumple: P

AB

O

M

AM=MB mAP=mPB

4. Si: L rectatangente

L

T

Oa

secumple:

5. Si:A,Bsonpuntosde A P tangencia,secumple: AP=PB

CIRCUNFERENCIA I

22 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 4

6. Si:AP y PBysonpuntos

aq

A

O

B

P

detangencia

Nota:SitepidenelinradiodeuntringulorectngulosernecesarioaplicarelteoremadePoncelet.Sisetieneelgrfico.

qq

A

O B

ysetienem]ABCesconvenientetrazar

V. CIRCUNFERENCIA INSCRITA EN UN TRINGULO

Esaquellacircunferenciaqueestangentealosladosdeuntringulo.

Nota:Todo tringulo tiene una circunferencia inscrita asu centro, sedenomina incentro y sedeterminaalintersectarselasbisectricesinteriores,ademselradiosedenominainradio.

DACUTNGULO DOBTUSNGULO DRECTNGULO

VI. CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRINGULO

Esaquellacircunferenciaquecontienealosvrticesdeuntringulo.

Nota:Todo tringulo tieneuna circunferencia circunscritacuyocentrosedenominacircuncentroysedeterminaalintersectarlasmediatricestrazadasacadaladodeltringuloycuyoradiosellamacircunradio.

DACUTNGULO DRECTNGULO DOBTUSNGULO

Nota:Setiene:

T

r

Ar

Ba

a

2a

Setraza

VII. TEOREMA DE PONCELET Entodotringulorectngulolasumadeloscatetoses

iguala la longitudde lahipotenusamsdosveceselinradio.

A

r

B C

AB+BC=AC+2r

*rinradiodel

ABC

VIII. TEOREMA DE PITOT En todo cuadriltero convexo circunscrito a una

circunferencialasumadelosladosopuestossoniguales.

AB+CD=BC+AD

A

BC

D

Nota:El teorema de Pitot se puede aplicar en cualquierpolgonoconvexocuyonmerodeladosseapar.

Sidoscuerdassoncongruentes,entoncesladistanciadelcentroendichascuerdassoncongruentes.

Losnicosparalelogramosquesepuedaninscribirenunacircunferenciasonelrectnguloyelcuadrado.

CIRCUNFERENCIA I

33SAN MARCOS REGULAR 2014 II GEOMETRA TEMA 4

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1Calcula:"x".(T:puntodetangencia)

2x

T

x

A) 18 B) 14 C) 16D) 12 E) 13

Resolucin:

T

2x

2x

r

r

O4x x MV

Piden:x

DVOT(m] VTO=2x)

m]TOM=4x

OTM

4x+x=90

5x=90

x=18

Respuesta: 18

Problema 2Enelgrfico,siAB=50,BC=70yAC=60.Calcula AQ. (P, Q y T son puntos detangencia)

PB

CT

AQ

A) 28 B) 20 C) 30D) 22 E) 23

Resolucin:Piden:AQ=x

PB 70

C

60

50

QA

T

x

Porpropiedad:CQ = CP =pDABC=

50+60+ 702

CQ = CP =90 60+x=90x=30

Respuesta: 30

Problema 3Calcula el permetrodel tringuloBTCsielcuadradoABCDtieneunladocuyalongitudesiguala10.

B C

A D

P

T

B C

A D

10

aq

a

P

5 5O

T

10

A) 28 B) 20 C) 35D) 30 E) 23

Resolucin:Piden:2pDBTC

ODC(Not.532

)

a = 532

q=37TBC(Not.37y53)

2pDTBC=30

Respuesta: 30

PROBLEMAS DE CLASE

EJERCITACIN

1. Calcule"x"siT;puntodetangenciayAT=TB.

T

BO CA

x

A) 10 B) 20C) 30 D) 40E) 60

2. En el grfico calcula "x" si A espuntodetangencia.

C

x

B

P A

6

2

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

3. En la figura calcule "x". Si ABCF:romboide.

A

B

x

F

C

D

E100

A) 10 B) 30 C) 50D) 70 E) 90

CIRCUNFERENCIA I

44 SAN MARCOS REGULAR 2014 IIGEOMETRATEMA 4

4. Calcula"x".

x

A

B C

D

E

b

b

a

100

aa

A) 44 B) 46 C) 48D) 50 E) 52

5. Delgrficocalcule"x".SiAyBsonpuntosdetangencia.

A D

B

R

2824

A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10

PROFUNDIZACIN

6. Enlafiguracalculexsi"T"espuntodetangencia.

B

100

P

T

O

Ax

A) 10 B) 20 C) 30D) 40 E) 50

7. Enelgrfico,calcule"x". Sia+b=28.

baO3

x

A) 18 B) 19 C) 21D) 22 E) 23

8. Delgrfico,calcule"x".

5C

53

6O

x

11

B

A D

A) 4 B) 3 C) 6D) 2 E) 5

9. En la figura, O: es centro de lacircunferencia. Si OC = r es elradiodelacircunferenciayq=3b.CalculeCD(ex-admisin2014-II)

qC

DO

b

A) r/3 B) r C) r/2D) 2r E) 3r

SISTEMATIZACIN

10. Enelgrfico,calcule"BC"si:AB=10;AD=8yCD=3(J;H;GyF:puntosdetangencia).

IB

ACH

G

ED

F

J

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

11. Enelgrfico,calculex.SIA;B;CyDsonpuntosdetangencia.

A

DB P C

x

A) 30 B) 60 C) 90D) 120 E) 150

12. Enelgrfico,calcule"BD"si:M,S,TyVsonpuntosdetangencia.

A

B

M

Q C

D

2T

S7

V

A) 7 B) 5 C) 10D) 9 E) 11