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LA GEOMETRÍA EN EL CURRICULUM DE LA ESO

CONCEPCIONES RELACIONADAS AL ENFOQUE ACTUAL

Enseñanza de la Geometría en la Secundaria (en general), de su evolución a lo largo de estos

últimos 60 o 70 años (desde antes de la “matemática moderna” hasta las últimas

transformaciones educativas)

La geometría ocupó un lugar muy importante en la educación siempre… Por mucho tiempo

hubieron dos instrumentos esenciales que permitieron a las personas que accedían a la educación

poder educarse, los dos libros más editados en la historia de la civilización: la Biblia, con la que se

aprendía a leer y escribir, y "Los elementos" de Euclides (siglo III a.C.), con los que se enseñaba a

razonar.

Euclides, más que un creador, fue un compilador de la geometría existente hasta ese momento. Se

ubica en Alejandría, la ciudad más importante de la época y la primera que fue construida como tal,

en forma geométrica (de damero).

Esa geometría de Euclides es la que nuestros niños aprenden hoy en la escuela. No hay nada nuevo

desde el punto de los contenidos, ni siquiera en Secundaria: todo estaba allí hace 23 siglos

(recordemos que la geometría euclidiana es la que hace referencia a las formas y propiedades de

figuras y cuerpos sin el uso de la medida y el cálculo aritmético, privilegia las transformaciones

rígidas en las que las figuras no cambian de forma ni de tamaño; la geometría descriptiva se dirige a

las representaciones planas de objetos; la geometría proyectiva estudia las figuras que se obtienen

al seccionar o proyectar un cuerpo…) En realidad, debiera darse en la escuela primaria y secundaria

algunas cuestiones (no como algo aparte sino imbricadas con las nociones de la geometría

euclidiana) de estas geometrías pero, en realidad, es poco lo que se trabajan. Decíamos que la

geometría euclidiana no refiere al uso de la medida y el cálculo a aritmético; sin embargo, este es

un “cruce” que sí se da en la escuela; esto es la geometría asociada a las cuestiones de la medida.

La enseñanza de la geometría ocupó un lugar importante en los currículos escolares y las

adaptaciones curriculares conservaron la enseñanza de la geometría, que estuvo muy presente

hasta mediados del siglo XX. A partir de la década del 50 se le quitó importancia a la enseñanza de

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la geometría en la escuela primaria y secundaria a partir de la reforma de la “matemática

moderna”, que incluyó la teoría de conjuntos; cuestión esta que llenó de abstracciones

(innecesarias) a las aulas de primaria y secundaria y las vació de los conocimientos geométricos, sus

contenidos y problemas con gran asidero a la realidad circundante de los estudiantes.

A partir de 1960 comienza a verse un importante avance de esta teoría de conjuntos en toda

Latinoamérica pero, finalmente, a mediados de los 70 los educadores, especialmente en Europa, se

dan cuenta de que esa reforma no sirvió, de que la teoría de conjuntos (que si bien es buena en sí

misma) como base de toda la matemática no estaba permitiendo a los alumnos desarrollar

competencias intelectuales asociadas al mundo real y comenzaron las primeras críticas: los chicos y

jóvenes estaban perdiendo las capacidades para manejar las cuestiones concretas!... de

modelización, de interpretación, de visualización, de comprensión del mundo real usando la

“mirada matemática”. Es entonces, a partir de advertir este problema que se comienza, en la

década de los 80 y en todo el mundo, a darle un mayor lugar al estudio del espacio y de la

geometría.

Se refuerza esta idea en la década de los 90 con propuestas oficiales contundentes para recuperar

el lugar de la geometría en los currículos escolares (primero, el plan de los “Bloques temáticos

innovadores…más tarde la transformación educativa “de los 90”)

La geometría hoy, no ha recuperado aún el lugar que reconocemos necesario. .. Creo que así como

le llevó 20 años “casi desaparecer”…, ¡le está llevando un tiempo importante volver a ocupar “su

lugar”!

No obstante, la geometría, a través de las nuevas propuestas curriculares, desde los 90 hasta

nuestros días, de alguna manera, ha recuperado cierto vigor. Aunque aún podemos ver que la

geometría pierde espacio en las aulas de primaria y secundaria por el excesivo “peso” que toma la

enseñanza de la aritmética en primaria y el álgebra en secundaria en desmedro de la enseñanza de

la geometría. Es común observar, especialmente en primaria, en los currículos escolares, escasos

contenidos de geometría que se trabajan casi de manera reiterada, sin avanzar en niveles

necesarios de complejidad, sentido y aplicabilidad y, por lo tanto, en los grados de

conceptualización por parte de los alumnos y las pocas posibilidades de desarrollar las

competencias que el conocimiento/pensamiento geométrico pone en juego.

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ALGUNOS PROBLEMAS ACTUALES DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN LA ESCUELA

Si bien, las tendencias actuales respecto a qué geometría enseñar en la escuela, para qué y cómo

hacerlo, está plasmado en las propuestas curriculares jurisdiccionales, nacionales e internacionales

con un enfoque dinámico y funcional, aún persiste en la escuela cierta ausencia de esta rama de la

matemática como así también una enseñanza muy tradicionalista basada en definiciones, muestra

ostensiva de características de cuerpos y figuras, aplicación de fórmulas y construcciones

algorítmicas de figuras sin que se sepa claramente cuáles son los fundamentos que sustentan uno u

otro método para dichas construcciones; aparece separada de las demás ramas y sin demasiado

asidero en la resolución de problemas de la vida real que puedan representarse y tratarse a través

de modelos geométricos.

Posibles razones por las cuales no se termina de instalar bien la geometría en las aulas del

secundario tanto en contenidos como en capacidades y metas formativas actuales

Ciertas dificultades que aducen tener los docentes para encontrar suficientes situaciones o

problemas que representen verdaderos desafíos. Es decir, si se tratase de involucrar, por

ejemplo a los alumnos a que se ocupen de problemas de función lineal, es como que resulta

más fácil pensar en prácticas, situaciones, actividades que pongan en juego ese contenido…

en cambio si el tema es , por ejemplo “lugar geométrico” … es como que no queda muy claro

a qué le podríamos llamar verdaderos problemas con este tema…

En general las propuestas curriculares escolares de matemática presentan de manera

“inespecífica” los aprendizajes de geometría en enunciaciones muy poco claros respecto al

recorrido y los sentidos que los alumnos deberán transitar para aprender geometría.

Demasiada ponderación curricular de temas de álgebra y aritmética...”si algo se cae del

programa por falta de tiempo, seguro que es la geometría!”…(Horacio Itzcovich , 2005).

Inclusive, prácticamente no se consideran “acreditables” los contenidos de geometría y las

capacidades asociadas a ellos.

Existe, en muchos casos, cierta resistencia a enseñar geometría vinculada con cuestiones

atinentes a la formación inicial y a la historia escolar del docente que, en la mayoría de los

casos, no logró vincularse de la mejor manera con este dominio matemático.

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¿Por qué es importante enseñar y aprender geometría y en el marco de las tendencias

actuales?

Los alumnos, al aprender geometría acceden a una forma particular de pensar, se involucran

con otras formas de razonamiento que son específicas de este dominio; las prácticas

geométricas tienen un alto valor formativo y se promueve un vínculo de los jóvenes con un

modo cultural diferente. Este modo de trabajo en geometría incluye las siguientes

características:

Los objetos de la geometría (punto, figuras, cuerpos…) no pertenecen a un espacio físico,

real, sino a un espacio conceptual, teórico. Es necesario resolver este problema didáctico

de hacer que los chicos entiendan que los objetos con los que se trabaja en geometría

son teóricos y no reales.

Los dibujos trazados son representaciones de esos objetos teóricos…muchas veces los

alumnos le asignan a esos dibujos propiedades, características que no son propias del

dibujo… en este caso hay que ayudarles a “despegarse” del trabajo meramente

perceptivo o visual para llevarlos a un trabajo con abstracciones.

Es claro que las figuras de análisis o sea los dibujos sirven como para ir explorando

empíricamente (analizando la figura, midiendo…). Estas experiencias debieran ser

“motores” para la construcción de conjeturas y sus posteriores validaciones basadas en

las propiedades de los objetos geométricos ayudando así a que los alumnos ingresen en

un trabajo de características deductivas.

¿Qué tipo de tareas es razonable proponer en clase de manera que se ayude a los

alumnos a ir produciendo las generalidades que se plantean en los enunciados,

propiedades y relaciones geométricas? (que no quede en un trabajo de corte intuitivo,

sin fundamentos, empírico, en el que las conjeturas queden “en el aire” sin que nada

sostenga su razonabilidad).

Entonces, sostenemos que se trata de enseñar geometría a través de tareas que pongan en

juego la racionalidad propia del trabajo geométrico en el que, partiendo de una situación-

problema, el alumno se “ocupe” de esta, la analice usando instrumentos variados

(informáticos o no) construya conjeturas y las pueda validar usando encadenamientos

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deductivos que impliquen relacionar la conjetura con propiedades conocidas; de igual

manera deberá validar la razonabilidad de los resultados obtenidos.

¿Cuándo podemos decir que una situación responde a un problema geométrico?

(Tomado de Barallobres, Fioriti, Itzcovich, Sessa. 2000)

Destacamos las siguientes características:

o Para resolver el problema se ponen en juego las propiedades de los objetos geométricos.

o El problema pone en interacción a los estudiantes con objetos que ya no pertenecen al

espacio físico sino a un espacio conceptualizado: las figuras-dibujo que el alumno realiza

para “guiarse” no hacen más que representar a dichos objetos.

o La función que cumplen los dibujos (figura de análisis) en la resolución del problema no

es la de permitir la llegada a la solución/respuesta por simple constatación sensorial.

o La validación de la respuesta dada al problema (es decir la validación autónoma del

alumno acerca de la verdad o falsedad de su respuesta) no se establece empíricamente,

sino que se elabora apoyándose en las propiedades de los objetos geométricos. Las

argumentaciones a partir de las propiedades conocidas de los cuerpos y figuras

producen nuevo conocimiento sobre los mismos.

Ejemplos:

Dado un triángulo, construir con regla no graduada y compás un paralelogramo que

tenga la misma área que el triángulo. ¿Hay una sola posibilidad?

Usando solamente regla no graduada y compás, construir un triángulo ADC de

manera tal que D pertenezca a la recta AB y que el área del triángulo ADC sea 1/3 del

área del triángulo ABC.

Dado un cuadrado de lado a construir un rectángulo que tenga la misma área del

cuadrado usando, únicamente, regla no graduada y compás.(¿Es único?¿Por qué)?

a)Dibujen una circunferencia de centro O y radio 3 cm. Tracen un diámetro y llámenle

A y B a las intersecciones con la circunferencia. Marquen un punto P en la

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circunferencia (que no coincida ni con A ni con B), de modo tal que el ángulo PAO

mida 30° y el ángulo POB mida 60°. Si necesitan, pueden usar el transportador.

b)Marquen ahora, en otra circunferencia de centro O, los extremos del diámetro.

Llámenlos A y B y señalen un punto Q sobre la circunferencia (que no sea ni A ni B)

de modo tal que el ángulo QAO mida 40° y el ángulo QOB mida 100°

Cuando terminen ambos trazados con esas condiciones nos contamos cómo lo hicimos

y qué pasa en cada caso…

Respuestas posibles

1)

Usando el marco algebraico: Para que ambos tengan la misma área pueden darse varias

condiciones:

- la base del triángulo es el doble que la base del paralelogramo y la mismas alturas

- la altura del triángulo es el doble de la altura del paralelogramo

- ………..y sus recíprocas que son equivalentes.

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At= -------------- Ap= h´ y h´=h

si b´= b/2, entonces Ap =

Lo expresamos y validamos algebraicamente, con lo cual garantizamos la construcción dada.

2) El hecho de usar regla no graduada tiene la intencionalidad de “no poder medir” con lo cual

ayudamos a que los estudiantes “hechen mano” a relaciones/propiedades conocidas para construir

la figura pedida con lo cual, el método de construcción validaría tanto el proceso como el resultado

de esta situación. Se supone que los chicos están en 2° año de la ESO y que ya han estudiado

proporcionalidad de segmentos, contenido que podrían “usar” ahora para “ocuparse” de esta

situación-problema.

Observemos la construcción realizada con GeoGebra; trazamos un segmento BD y, usando la

herramienta “compás” del prográmalo dividimos en tres partes iguales; unimos G con C y trazamos

paralelas por cada uno de los puntos que marcamos en el segmento auxiliar BD hasta cortar la base

del triángulo obteniendo tres segmentos iguales… Entonces. Ya tenemos 1/3 de la base y por lo

tanto:

At2 = = = que es lo que nos pedían obtener. Esta expresión algebraica valida

“per se” y absolutamente la estrategia usada, las conjeturas que podrían haberse construido y el

resultado obtenido.

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3) En este caso se trata de construir un rectángulo con área igual al área de un cuadrado de lado a;

es decir si Ac = a2 ; entonces AR = b x c ; si AC = AR, entonces a2 = b x c. Esto nos hace pensar que a es

“medio proporcional” entre b y c. Asociamos esto a la relación que existe entre la altura de un

triángulo rectángulo respecto a su hipotenusa y los segmentos en que esta altura divide a dicha

hipotenusa.

; se cumple que a2 = b x c

Esta sería la validación y fundamentación de la construcción que se presenta a continuación:

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Ver que los segmentos b y c en que la altura del triángulo rectángulo divide a la hipotenusa (el diámetro de

la circunferencia) serán las medidas que tomaremos para base y altura del rectángulo pedido.

Y… por qué “usamos” la circunferencia?? Usando este lugar geométrico tendremos la “seguridad” de que el

triángulo trazado es rectángulo en F ya que conocemos otra relación que aquí no0s es útil: “el ángulo

inscripto en una semicircunferencia es un ángulo recto”!! (tener en cuenta que para plantear esta práctica de

aprendizaje, los alumnos ya debieran haber estudiado ángulos inscriptos y la relación entre un ángulo

inscripto y su ángulo central…)

Observar!! Cómo las propiedades y relaciones son sumamente fértiles a la hora de pensar en construcciones

a realizar bajo ciertas condiciones, que son “verdaderos problemas geométricos”.

4) Al trazar las figuras pedidas, los alumnos se darán cuenta que en (a) la construcción “sale sola”, en el caso

(b) la construcción es imposible. Esta imposibilidad de cosntruir lo que se pide llevará a los chicos a

“sospechar” que los ángulos no son independientes unos de otros, que existe “cierta relación” entre ellos (1°

paso conjetural). Aquí el docente debe guiar estratégicamente para que indaguen sobre la veracidad de las

conjeturas elaboradas…Tal vez un grupo diga… “son complementarios!”… otro grupo que investiga

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“probando” con otros valores puede decir…” uno es igual al doble del otro!!”. Es necesario aquí trabajar

ambas conjeturas y aclarar bien (validando) cal es falsa y por qué y cuál es verdadera y por qué.

Por ejemplo:

Validamos la conjetura algebraicamente haciendo que los chicos “se despeguen” del dibujo construido, en

este caso, usando GeoGebra (otros usarán regla, compás y transportador). Usando las propiedades de los

triángulos isósceles (ya que lo son puesto que dos de sus lados son radios de la circunferencia…) podremos

decir que:

= 180°, reemplazando:

De donde constatamos que:

….. Validación de la conjetura planteada por uno de los grupos de estudiantes!

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CAPACIDADES A DESARROLLAR EN LOS ESTUDIANTES DE 1° Y 2° AÑOS DE LA ESO CON EL

TRABAJO EN GEOMETRÍA.

• Producir e interpretar conjeturas y afirmaciones de carácter general y analizar su

campo de validez, avanzando desde argumentaciones empíricas hacia otras más

generales.

• Usar y explicitar las propiedades de figuras y cuerpos geométricos en la resolución de

problemas.

• Producir y analizar construcciones geométricas considerando las propiedades

involucradas y las condiciones necesarias y suficientes para su construcción.

• Elaborar y validar conjeturas sobre relaciones y propiedades geométricas, avanzando

desde fundamentaciones intuitivas /experimentales hacia otras más deductivas y

generales.

Esto teniendo en cuenta que las COMPETENCIAS acordadas jurisdiccionalmente son:

- Resolver problemas en contexto.

- Usar el razonamiento matemático

- Comunicar usando el lenguaje matemático asociado al lenguaje natural

Es importante priorizar un trabajo centrado en la exploración y formulación de conjeturas respecto de

las relaciones entre ángulos opuestos por el vértice, adyacentes y determinados por dos rectas

paralelas cortadas por una tercera, y la validación de aquellas que generen algún tipo de duda e

involucren la puesta en juego de un encadenamiento deductivo. Estas cuestiones ponen en relieve la

vital importancia que tiene en el curriculum para el aula la secuenciación de contenidos y las

capacidades a trabajar para posibilitar el trabajo deductivo.

….No se trata entonces de una práctica centrada en la memorización de los nombres de los ángulos y de

sus propiedades, sino en una que propicia un trabajo de elaboración y validación de las mismas, por parte

de los alumnos…