Geometra Diferencial - Unidad 2

Fabin Levis - Julio C. BarrosDepartamento de Matemtica. Facultad de CienciasExactas Fsico-Qumicas y Naturales. UNRC

Abstract

La presente unidad tiene por objetivo expresar matemtica-mente la idea de sistema mvil de referencia como campo desistemas de referencia que se denen sobre curvas del espacioeucldeo. Para lograr este objetivo se emplear el campo deFrenet-Serret de sistema de referencia, T;N;B de la curva. Alexpresar las derivadas de estos campos vectoriales, aparecen dosnmeros que caracterizan geomtricamente la curva, stos son:la curvatura y la torsion. Se introduce adems el concepto deDeerivada Covariante.Temas: Producto escalar. Distancia eucldea. Sistema de ref-

erencia en un punto. Producto vectorial. Curvas. Longitud dearco. Rapidez unitaria. Campo vectorial en una curva. Fr-mulas de Frenet. Campo de sistemas de referencia de Frenet.Curvatura. Torsin. Curvas de rapidez arbitraria. Derivadascovariantes.

1 El Producto Escalar

Denition 1 El producto Escalar (o producto interno cannico) entrelos punntos p = (p1; p2; p3) y q = (q1; q2; q3) en R3 es el nmero real,

p q =3Xi=1

piqi

Remark 2 El producto escalar satisface las propiedades de Bilineal-idad, Simetra y Denido positivo. A partir del producto escalarpodemos dotar a R3 de una norma y con ello de una nocin de distan-cia.

1

Denition 3 La Norma de p = (p1; p2; p3) es el nmero real,

kpk = pp pRemark 4 La norma kk : R3 ! R es una funcin que satisface,1. kapk = jaj kpk 8a 2 R2. kp+ qk kpk+ kqk

Denition 5 Si p; q 2 R3 laDistancia Eucldea de p a q es el nmeroreal,

d (p; q) = kp qkDenition 6 Si p 2 R3 y > 0, el conjunto,

U =q 2 R3 : d (p; q) <

Se llama -vecindad de p. El conjunto O R3 se dice abierto si cadapunto de O tiene una -vecindad contenida en O:Denition 7 El producto escalar de los vectores tangentes vp y wp enel mismo punto p 2 R3 est denido por,

vp wp = v wEsta denicin prove un producto escalar en cada espacio tangenteTp (R3), en particular kvpk = kvk.Remark 8 Un resultado importante es la Desigualdad de Cauchy-Schwarz,

jv wj kvk kwkEsta desigualdad nos permite denir el coseno del ngulo que formanv y w mediante la ecuacin,

v w = kvk kwk cos

ngulo entre dos vectores

2

Denition 9 Dos vectores son ortogonales si

v w = 0

Un vector es unitario si kvk = 1

Denition 10 Un conjunto de vectores fe1; e2; e3g de tres vectores uni-tarios ortogonales entre si, tangentes a R3 en p, se llama Sistema dereferencia en el punto p.

Remark 11 De acuerdo a la denicin fe1; e2; e3g es un sistema dereferencia si y slo si ei ei = 1; 1 i 3 y ei ej = 0, si i 6= j esdecir ei ej = i;j; 1 i; j 3. Por ejemplo fUi (p)g3i=1 es un sistemade referencia de R3 en p.

Theorem 12 Sea fe1; e2; e3g un sistema de referencia en p 2 R3. Siv 2 Tp (R3) entonces,

v =3Xi=1

(v ei) ei

Proof. Vemos que fe1; e2; e3g es LI para ello planteamos,3Xi=1

ciei = 0) 0 =

3Xi=1

ciei

! ej =

3Xi=1

cei ej =3Xi=1

ci;j = cj

) cj = 0; 1 j 3

Como Tp (R3) es isomorfo a R3 por lo tanto, tiene dimensin 3 por ende,fe1; e2; e3g es una base de Tp (R3). En consecuencia dado v 2 Tp (R3),existen nicos escalares 1; 2; 3 reales tales que,

v =3Xi=1

iei ) j = v ej

De lo cual deducimos,

v =

3Xi=1

(v ei) ei

Denition 13 Sea fe1; e2; e3g un sistema de referencia en p 2 R3. Lamatriz A 2 R33 cuyas las son las coordenadas eucldeas de los tres

3

vectores, se llamaMatriz de disposicin del sitema de referencia. Enforma explsita se tiene, si ei = (ai1; ai2; ai3) entonces,

A =

0@a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

1AEntonces las las de A son ortonormales pues,

3Xk=1

aikajk = ei ej = ij 1 i; j 3

Esto signica que AtA = AAt = I

Denition 14 Si v; w 2 Tp (R3). Entonces el Producto Vectorial dev y w es el vector tangente,

v w =U1 (p)U2 (p)U3 (p)v1 v2 v3w1 w2 w3

Donde las barras denotan el "determinante". El producto vectorial vwes lineal en v y en w, satisface la regla de alternacin,

v w = w v

De donde se deduce que,v v = 0

Lemma 15 El producto vectorial v w es ortogonal a v y w y tieneuna longitud tal que,

kv wk2 = kvk2 kwk2 (v w)2

Proof. Sea v w =3Xi=1

ciUi (p) entonces, v (v w) =3Xi=1

vici ahora

bien, teniendo en cuenta la denicin de producto vectorial, las coorde-nadas eucldeas ci de v w son tales que,

v (v w) =v1 v2 v3v1 v2 v3w1w2w3

4

Este determinante es cero pues, tiene dos las iguales. En consecuenciavw es ortogonal a v y de forma anloga se demuestra que es ortogonala w. Por otro lado tenemos,

kvk2 kwk2 (v w)2=Xi

v2iXj

w2j X

i

viwi

!2

=Xi;j

v2iw2j

Xi

v2iw2i + 2

Xi

Remark 19 Muchas veces lo que interesa al estudiar un problema es latrayectoria que sigue una curva, y no la rapidez particular con que se larecorre. Una forma de omitir la consideracin de la rapidez de la curvaconsiste en reparametrizarla a una curva con rapidez unitaria.

Theorem 20 Si : I ! R3 es una curva regular en R3, entonces existeuna reparametrizacin de tal que tiene rapidez unitaria.

Proof. Fijando a en I y considerando:

s (t) =

tZa

k0 (u)k du

Al se una curva regular se tiene, 0 (t) 6= 0 8t 2 I. Por lo tantodsdt= v = k0k > 0. Luego s tiene funcin inversa, t = t (s), cuya

derivada dtdsen s = s (t) es 1ds

dt(t(s))

> 0. Sea (s) = (t (s)) entonces,

0 (s) =dt

ds(s)0 (t (s))

por ende,

k0 (s)k = dtds(s) k0 (t (s))k = dt

ds(s)ds

dt(t (s)) = 1

Remark 21 La curva (del Teorema) de rapidez unitaria se dice quetiene una parametrizacin por longitud de arco, puesto que la lon-gitud de arco de desde s = a hasta s = b (a < b) es b a.

Denition 22 Se dice que una reparametrizacin (h) de una curva conserva la orientacin si h0 0 y que invierte la orientacin sih0 0, en este ltimo caso y (h) recorren la misma trayectoria ensentidos opuestos.

Remark 23 Una reparametrizacin de rapidez unitaria conserva la ori-entacin pues ds

dt> 0.

Denition 24 Un campo vectorial Y en una curva : I ! R3 es unafuncin que asigna a cada t 2 I un vector tangente Y (t) a R3 en elpunto (t) (es decir Y (t) 2 T(t) (R3)).

6

Remark 25 Ya se han empleado campos vectoriales como los de ladenicin anterior. Un ejemplo lo constituye la velocidad 0 de unacurva , y segn vimos 0 (t) es un campo tangente en (t). Los cam-pos vectoriales arbitrarios en no necesariamente son tangentes a lacurva , en general pueden apuntar en cualquier direccin.

Campo Vectorial sobre una curva

Remark 26 Las propiedades de los campos vectoriales en curvas sonanlogas a las de los campos vectoriales en R3. Por ejemplo si Y es uncampo vectorial en : I ! R3 entonces, para cada t 2 I tenemos,

Y (t) = (y1 (t) ; y2 (t) ; y3 (t)) =Xi

yi (t)Ui ( (t))

Las funciones a valores reales yi denidas sobre I se llaman funcionescoordenadas eucldeas de Y . Siempre se supondr que estas fun-ciones son diferenciables. Hay que observar que la funcin compuestat ! Ui ( (t)) es un campo vectorial en . Las operaciones de adicin,multiplicacin por un escalar, producto escalar y producto vectorial decampos vectoriales en la misma curva se denen todas de la forma ha-bitual de operar punto por punto.

Example 27 Si

Y (t) = t2U1 tU3; Z (t) = (1 t2)U2 + tU3

f (t) =t+ 1

t

7

Obtenemos los campos vectoriales

(Y + Z) (t)= t2U1 +1 t2U2

(fY ) (t)= t (t+ 1)U1 (t+ 1)U3Para el producto vectorial de Y y Z en t obtenemos,

(Y Z) (t) = t 1 t2U1 t3U2 + t2 1 t2U3Para el producto escalar Y y Z en t obtenemos la funcin de valoresreales,

(Y Z) (t) = t2Para diferenciar un campo vectorial en , se derivan sus funciones co-ordenadas eucldeas, de esta forma se obtiene un nuevo campo vectorialen . Si Y (t) =

Xi

yi (t)Ui entonces, Y 0 (t) =Xi

dyidt(t)Ui. Para el

caso del presente ejemplo tenemos,

Y 0 = 2tU1 U3; Y 00 = 2U1; Y 000 = 0Denition 28 La derivada 00 de la velocidad 0 de la curva se llamaAceleracin de . As si la curva est dada por, = (1; 2; 3), laaceleracin 00 es el campo vectorial en ,

00 =d21dt2

;d22dt2

;d23dt2

Remark 29 La aceleracin en general no es tangente a la curva.

Proposition 30 Sean Y; Z campos vectoriales en una curva , f unafuncin a valores reales, a; b 2 R entonces,1) (aY + bZ)0 = aY 0 + bZ 0

2) (fY )0 = dfdtY + fY 0

3) (Y Z)0 = Y 0 Z + Y Z 0

4) Si la funcin Y Z es constante entonces,Y 0 Z + Y Z 0 = 0

Remark 31 En el caso que el campo vectorial tenga longitud constante,es decir kY k = c entonces,

2Y 0Y = 0

Es decir Y e Y 0 son ortogonales.

8

Recordemos que los vectores tangentes son paralelos si tienen lamisma parte vectorial.

Denition 32 Diremos que un campo vectorial Y en una curva es paralelocuando todos los valores (de vectores tangentes) son paralelos. En estecaso, si la parte vectorial que tienen en comn es (v1; v2; v3) entonces,

Y (t) = (v1; v2; v3)(t) =Xi

viUi; 8t

Remark 33 El paralelismo en un campo vectorial es equivalente a laconstancia de sus funciones coordenadas eucldeas.

1) Una curva es constante si y slo si su velocidad es cero: 0 = 0.

2) Una curva no constante es una recta si y slo si su aceleracin escero: 00 = 0.

3) Un campo vectorial en una curva es paralelo si y slo si su derivadaes cero: Y 0 = 0

Proof. En cada caso es suciente examinar las funciones coordenadas.Se demostrarn 2) y 3).

2) )) Si (t) = tq + p; q 6= 0 entonces, 00 = 0.() 00 =

d21dt2; d

22dt2; d

23dt2

= (0; 0; 0) esto nos dice que, d

2idt2

=

0; i = 1; 2; 3. Luego i = qit+ pi; qi 6= 0; i = 1; 2; 3 de esta forma (t) = tq + p con p = (p1; p2; p3) y q = (q1; q2; q3).

3) )) Por la hiptesis Y (t) = (v1; v2; v3)(t) ) Y 0 = 0() Y 0 (t) = dy1

dt; dy2dt; dy3dt

= (0; 0; 0)) dyi

dt= 0; i = 1; 2; 3. Luego

yi = vi; i = 1; 2; 3 de donde Y (t) = (v1; v2; v3)(t)

3 Las Frmulas de Frenet

Considerando curvas de rapidez unitaria se deducirn dos medidas defundamental importancia para estudiar el comportamiento de las curvas,stas son la curvatura y la torsion.

Denition 34 Sea : I ! R3 una curva de rapidez unitaria, k (s)k =1 para cada s 2 I entonces,

T = 0

Se llama campo vectorial tangente unitario en .

9

Remark 35 Puesto que T tiene longitud constante 1, su derivada T 0 =00 mide la manera en que la curva da vuelta en R3. Decimos que,

T 0 = 00

es el campo vectorial de Curvatura de . Puesto que kTk2 = T T = 1 ) T T 0 = 0 de manera que T 0 es siempre ortogonal a T , esdecir normal a . La norma de 00 (s) es decir, k00 (s)k mide la tas devariacin del ngulo que las tangentes vecinas forman con la tangenteen s.

Denition 36 La longitud del campo vectorial de curvatura T 0 da unamedida numrica de la manera en que da vueltas. A la funcin:

(s) = kT 0k 8s 2 ISe la denomina funcin de curvatura de la curva . De acuerdo ala denicin se tiene (s) 0 8s 2 I. A medida que es mayor, setienen vueltas ms pronunciadas de la curva .

Denition 37 Suponiendo que no se anula entonces,

N =T 0

; en

Es el campo vectorial unitario que indica la direccin en que da vueltasen cada punto. A N se lo llama el Campo vectorial Normal Prin-cipal de . Al plano generado por T y N de lo denomina Plano Os-culador.

Denition 38 Al campo vetorial

B = T N; en Se lo denomina Campo vectorial Binormal de .

10

Lemma 39 Sea : I ! R3 una curva de rapidez unitaria, en la que >0 entonces, los tres campos vectoriales T;N y B son campos vectorialesunitarios ortogonales entre si, en cada punto. Diremos que T;N y Bconstituyen el campo de sistemas de referencia de Frenet en .

Proof. Por denicin kTk = 1. Por la hiptesis = kT 0k > 0 entonces,kNk = kT 0k

= 1. Ya se prob que T N = 0. Por Lema anterior se tiene,kBk2 = kT Nk2 = kTk2 kNk2 (T N)2

Es decir,kBk = 1

De manera que B es ortogonal a T y N

Denition 40 La funcin : I ! R tal que,B0 = N

Se llama la funcin de Torsin de la curva . El campo vectorialbinormal es ortogonal al plano osculador (para cada s 2 I) y kB0 (s)k =j j mide la tasa de variacin del ngulo del plano osculador en s conlos planos osculadores vecinos, sto es, j j indica cuan rpidamente lacurva se aparta, en una vecindad de s del plano osculador en s.

Remark 41 El signo menos tiene origen en la tradicin (y evita variossignos menos ms adelante). Los valores de pueden ser positivos,negativos o cero. A continuacin se ver que mide la torcedura otorsin de la curva .

Theorem 42 (Las Frmulas de Frenet) Si : I ! R3 es una curva derapidez unitaria, en la que > 0 y la torsin es entonces,

T 0=N

N 0=T + BB0=N

Proof. Las frmulas primera y tercera son en esencia las denicionesde curvatura y torsin. Observemos que fT;N;Bg constituye una baseortonormal (en cada punto) por ende, N 0 se escribe en la forma:

N 0 = (N 0 T )T + (N 0 N)N + (N 0 B)BComo N T = 0 entonces, N 0 T = N T 0 = N (N) = . Ademscomo kNk = 1 entonces, N 0 N = 0. Por ltimo al ser N B = 0 setiene, N 0 B = N B0 = N (N) = . Por lo tanto,

N 0 = T + B

11

Example 43 Sea la hlice de rapidez unitaria

(s) =a cos s

c; a sin s

c; bsc

c =

pa2 + b2 a > 0

Calculemos la funcin de curvatura y la torsin. Para ello calculemosprimero el campo vectorial tangente unitario.

T (s) = 0 (s) =acsins

c;a

ccos

s

c;b

c

Por lo tanto,

T 0 (s) = ac2cos

s

c; ac2sins

c; 0

As obtenemos,

(s) = kT 0k = ac2=

a

a2 + b2> 0; 8s

El campo normal est dado por,

N (s) =T 0 (s) (s)

= cos s

c; sin s

c; 0

Observar que siempre N apunta directamente al eje del cilindro en elque descansa la hlice. Calculemos el campo binormal.

B (s) = T (s)N (s) =b

csins

c;bccos

s

c;a

c

Para calcular la torsin observemos que,

B0 (s) =b

c2cos

s

c;b

c2sins

c; 0

Por denicin,

B0 = NComparando las expresiones de B0 y N , concluimos:

(s) =b

c2=

b

a2 + b2; 8s

De esta manera tanto la funcin de curvatua, como la torsin son con-stante en el caso de la hlice. Cuando b = 0, la hlice se reduce a unacircunferencia de radio a > 0, la curvatura de esta circunferencia es = 1

ay la torsin es cero.

12

Remark 44 El plano que pasa por p y es ortogonal a q 6= 0 consiste detodos los puntos r 2 R3 tales que

(r p) q = 0

Plano

Remark 45 El objetivo es mostrar en que forma la curvatura y la tor-sin inuyen en la forma de la curva. Para este n consideremos lacurva de rapidez unitaria (s) = (1 (s) ; 2 (s) ; 3 (s)) cerca del punto (0). Si s est en un entorno pequeo del cero entonces, cada compo-nente i (s) se puede aproximar por los primeros trminos de su desar-rollo de Taylor en torno a s = 0.

i (s) t i (0) +dids(0) s+

1

2

d2ids2

(0) s2 +1

6

d3ids3

(0) s3

En consecuencia,

(s) t (0) + 0 (0) s+1

200 (0) s2 +

1

6000 (0) s3 (1)

Ahora escribiendo, 0 (0) = T0 y 00 (0) = 0N0 donde el subndice indica

la evaluacin en s = 0 y suponiendo 0 6= 0. Ahora bien 000 se calculacomo,

000 = (N)0 =d

dsN + N 0

Usando las frmulas de Frenet y evaluando en s = 0 obtenemos,

000 (0) = 20T0 +d

ds(0)N0 + 0 0B0

13

Sustituyendo en (1) obtenemos,

(s) t (0) + T0s+1

20N0s

2 +1

60 0B0s

3 = e (s)La curva e se llama aproximacin de Frenet de en las proximi-dades de s = 0. El primer trmino de e es el punto (0). Los dosprimeros dan la recta tangente s ! (0) + T0s de en (0), llamadaaproximacin lineal de cerca de (0). Cuando se consideran lostres primeros trminos se tiene la parbola s ! (0) + T0s + 120N0s2que resulta la mejor aproximacin cuadrtica de de cerca de (0).Esta parbola est sobre el plano

r 2 R3 : (r (0)) B0 = 0

Llamado plano osculador de en (0). Esta parbola tiene la mismaforma que la parbola y = 1

20x

2 en el plano xy y queda determinadadpor la curvatura 0 de en s = 0. La torsin 0 que aparece en el ltimotrmino de e controla el desplazamiento de en la direcin ortogonal alplano osculador en (0).

(t; t; et 1)

-4 -2-4

0 00-2

xy

100

2

50

z

150

424

Proposition 46 Si una curva de rapidez unitaria tiene curvatura nulaentonces, es una recta.

Proof. Puesto que = kT 0k = k00k = 0 , 00 = 0 es decir laaceleracin de la curva es cero y por lo tanto es una recta

14

Denition 47 Diremos que una curva en R3 es plana si est entere-mente contenida en un plano.

Remark 48 La aproximacin de Frenet de una curva , hace ver quesi s es pequeo (prximo a s = 0), la curva tiende a quedarse en suplano osculante en (0), lo que hace que se aleje del plano osculante(se tuerza) es el hecho que 0 6= 0.

Corollary 49 Sea una curva de rapidez unitaria en R3 en la cual > 0. Entonces es una curva plana si y slo si = 0.

Proof. Supongamos que es una curva plana entonces, existen p y qtales que,

( (s) p) q = 0; 8sDiferenciando dos veces resulta,

0 (s) q = 00 (s) q = 0; 8s

Por lo tanto q es siempre ortogonal a T = 0 y a N = 00. Sabemos que

el campo binormal es tambin ortogonal a T y a N y que kBk = 1 con-cluimos que, B = qkqk , en consecuencia B0 = 0 y por denicin = 0.Recprocamente, supongamos = 0 entonces, B0 = 0. Esto signica queB es paralelo, por lo cual sus funciones coordenadas eucldeas son con-stantes. Luego descansa en el plano que pasa por (0) y es ortogonala B. Para ver sto sea,

f (s) = ( (s) (0)) B 8s

Entonces,df

ds= 0 B = T B

Como f (0) = 0) f 0 luego,

( (s) (0)) B = 0 8s

Con lo cual descansa en el plano que pasa por (0) y es ortogonal aB.

Lemma 50 Si es una curva de rapidez unitaria con curvatura con-stante > 0 y torsin cero entonces, forma parte de una circunferenciade radio 1

.

15

Proof. Al ser > 0 y = 0 resulta una curva plana, hay que probarque cada punto de est a una distancia 1

de un cierto punto jo, que

ser el centro de la circunferencia de la cual forma parte. Para demostrarste hecho consideremos la curva,

= +1

N

Entonces,

0 = 0 +1

N 0 = T +

1

1T

= 0

Por lo cual existe c 2 R3 tal que,

(s) +1

N (s) = c 8s

De esta ltima igualdad se concluye,

k (s) ck = 18s

Como se deseaba ver.

Corollary 51 Supongamos que es una curva de rapidez unitaria quedescansa en la esfera S2 = fr 2 R3 : krk = a; a > 0g entonces, la cur-vatura de satisface 1

a.

Proof. Puesto que descansa en la esfera, k (s)k2 = (s) (s) = a2,al difeerenciar obtenemos, 2 (s)0 (s) = 0, es decir T = 0. Derivandonuevamente se obtiene,

0 T + T 0 = 0

Aplicando las frmulas de Frenet,

T T + N = 0 ) N = 1

Usando la desigualdad de Schuarz,

j N j kk kNk = a

de donde,

=1

j N j 1

a

16

4 Curvas de Rapidez Arbitraria

a) Si s (t) =

tZa

k0 (u)k du es una funcin longitud de arco de en-

tonces, (t) = (s (t)) 8t

La curva es una reparametrizacin de de rapidez unitaria.Notamos a por = entonces, = (s). Si > 0; T ;N y Bse han denido para se dene con relacin a

a) La funcin de curvatura: = (s)

b) La funcin torsin: = (s)

c) El campo vectorial tangente unitario: T = T

d) El campo vectorial normal principal: N = N

e) El campo vectorial binormal: B = B

En general y son funciones distintas, denidas en intervalosdiferentes, pero dan la misma descripcin de las vueltas que hay enlas trayectorias de y puesto que, en cualquier punto se verica, (t) = (s (t)), los nmeros (t) y (s (t)) son por denicin iguales.Lo mismo sucede con el resto del aparato de Frenet. El signicadogeomtrico fundamental es el mismo pues, solamente interviene en ladenicin un cambio de parametrizacin. En particular T;N y B vuelvea ser un campo de sistema de referencia de .

Lemma 52 Si es una curva regular en R3 con > 0 entonces,

T 0=vN (2)

N 0=vT + vBB0=vN

Donde v = k0k es la rapidez de la curva .

Proof. Sea es una reparametrizacin de de rapidez unitaria en-

tonces, por denicin T = T (s) donde s (t) =

tZa

k0 (u)k du es una

funcin longitud de arco de . Por la regla de la cadena se verica:

T 0 = T 0 (s)ds

dt

17

Por Frenet se tiene, T0= N y por denicin T

0(s) = (s)N (s) = N .

Adems dsdt= k0k = v en consecuencia,

T 0 = vN

Las frmulas de N 0 y B0 se deducen de la misma manera.

Lemma 53 Si es una curva regular en R3 cuya funcin de rapidez esv entonces, la velocidad y la aceleracin de estn dadas por:

0= vT

00=dv

dtT + v2N

Velocidad y Aceleracin

Proof. Sea (t) = (s (t)) con s (t) =

tZa

v (u) du entonces,

0 (t) = 0 (s (t))ds

dt= vT = vT

Derivando por segunda vez obtenemos:

00 =dv

dtT + vT 0

Usando el resultado del lema anterior obtenemos:

00 =dv

dtT + v2N

18

Theorem 54 Si es una curva regular en R3 entonces,

1) T = 0

k0k

2) N = B T3) B =

000k000k

4) = k000kk0k3

5) = (000)000k000k2

Proof. Por ser una curva regular se tiene que v = k0k > 0, la frmulaT =

0k0k es equivalente a

0 = vT entonces, usando el lema anterior,

0 00= vT dv

dtT + v2N

0 00=v3T N0 00=v3B

Tomando norma:k0 00k = v3 kBk = v3

Esta ltima frmula dice que en las curvas regulares la condicin k0 00k >0 es equivalente a la condicin > 0, de esta forma cuando > 0, 0 y00 son linealmente independientes y determinan el Plano Osculante encada punto como lo hacen T y N . Entonces

=k0 00k

v3=k0 00kk0k3

B =0 00v3

=0 00k0 00k

En cualquier campo de sistema de referencia de Frenet se cumple: N =B T . Para calcular apelamos al lema anterior nuevamente,

00 =dv

dtT + v2N

Derivando,

000 =d2v

dt2T +

dv

dtT 0 +

d (v2)

dtN + v2N 0

Usando las frmulas (2) obtenemos,

000 =d2v

dt2 2v3

T +

vdv

dt+d (v2)

dt

N + v3B

19

Luego,(0 00) 000 = v3B 000 = 2v6

Puesto que k0 00k = v3 se concluye,

=(0 00) 000k0 00k2

Example 55 Calcular el aparato de Frenet de la curva:

(t) =3t t3; 3t2; 3t+ t3

Derivando obtenemos,

0 (t)= 31 t2; 2t; 1 + t2

00 (t)= 6 (t; 1; t)000 (t)= 6 (1; 0; 1)

Al calcular la norma de 0 (t) obtenemos:

v (t =) k0 (t)k = 3p21 + t2

Por otro parte

0 (t) 00 (t) = 18 1 + t2;2t; 1 + t2Y por lo tanto,

k0 (t) 00 (t)k = 18p21 + t2

De las expresiones para 0 (t) 00 (t) y 000 (t) resulta,

(0 (t) 00 (t)) 000 (t) = 216

Al sustituir en las frmulas del teorema obtnemos:

1)

T =1p

2 (1 + t2)

1 t2; 2t; 1 + t2

2)

N =1

(1 + t2)

2t; 1 t2; 0

20

3)

B =1p

2 (1 + t2)

1 + t2;2t; 1 + t24)

= =1

3 (1 + t2)2

Denition 56 Se dice que una curva regular en R3 es una HliceCilndrica cuando el campo tangente unitario T de forma un n-gulo constante con algn vector jo u es decir,

T (t) u = cos ; 8tEsta condicin no se ve alterada por reparametrizacin de modo que

para nes tericos, necesitamos estudiar solamente una Hlice cilndrica con rapidez unitaria. Supongamos de rapidez unitaria en la cualT (t) u = cos . Si se toma un punto de referencia, por ejemplo (0),en y considerando la funcin de valores reales:

h (s) = ( (s) (0)) u (3)Esta funcin mide cunto se "alza" (s) en la direccin u desde (0).

4

2

1

0.0

-1.0

-0.5 -1.0-0.5

0.0

y x

0

0.5

3

0.5

z

1.0

5

1.0

Hlice circular

Derivando (3) obtenemos,

dh

ds= 0 u = T u = cos

21

De manera que se alza con una tasa constante en relacin con lalongitud de arco y por lo tanto,

h (s) = s cos

En el caso de una parametrizacin arbitraria esta frmula se convierteen:

h (t) = s (t) cos

Donde s es la funcin longitud de arco.Al trazar una recta por cada punto de en la direccin de u, se

construye un cilindro generalizado C en el cual descansa de maneraque corta a cada Regladura en un ngulo constante .

Cilindro Generalizado

Theorem 57 Una curva regular en R3 en la cual > 0, es una hlicecilndrica si y slo si

es constante.

Proof. Se puede suponer que tiene rapidez unitaria.)) Si es una hlice cilndrica en la cual T u = cos entonces,

0 = (T u)0 = T 0 u = N u

Como > 0, se tiene,N u = 0

22

Entonces para cada t, el vector u est en el plano determinado porT y B. Puesto que fT;N;Bg es base ortonormal tenemos,

u = cos T + sin B

Diferenciando y usando las frmulas de Frenet obtenemos:

( cos sin )N = 0En consecuencia

cos = sin

De forma tal que,

= cot

es de valor constante.() Si

es constante. Sea tal que,

= cot . Sea

U = cos T + sin B

Entonces,U 0 = ( cos sin )N = 0

Este campo vectorial paralelo U , determina un vector unitario u con lapropiedad:

T u = cos De manera que es una hlice cilndrica

Example 58 La curva (t) = (3t t3; 3t2; 3t+ t3) es una hlice ciln-drica pues = = 1

3(1+t2)2entonces,

= 1 = cot , tomando =

4,

obtenemosu = cos T + sin B = (0; 0; 1)

Observar que no es ncesrio convertir a en una curva de rapidez uni-taria. Al reparametrizar se reparametriza ; ; T y B sin afectar a ni a u.

Remark 59 Imponiendo las siguientes hiptesis a una curva regular enR3 producen los efectos citados:

a) = 0 , la curva es una recta.b) = 0 , la curva es plana.c) = c > 0 y = 0 , la curva es una circunferencia.d) = c1 > 0 y = c2 6= 0 , la curva es una hlice circular.e)

= cons tan te, la curva es una hlice cilndrica.

23

5 Derivada covariante

Denition 60 Sea W un campo vectorial en R3 y sea v 2 Tp (R3). Laderivada covariante de W con respecto a v es el vector tangente:

rvW = dW (p+ tv)dt

t=0

De esta forma rvW mide la rapidez inicial de variacin de W (p) amedida que p se desplaza en la direccin v.

(t; 0; 0)

Derivada covariante

Example 61 Si W = x2U1 + yzU2 , v = (1; 0; 2) y p = (2; 1; 0)entonces,

rvW = dW (p+ tv)dt

t=0

= 4U1 (p) + 2U2 (p)

Lemma 62 Si W =3Xi=1

wiUi es un campo vectorial en R3 y si v 2Tp (R3) entonces,

rvW =3Xi=1

v [wi]Ui (p)

Proof. Al evaluarW en p+tv obtenemos,W (p+ tv) =3Xi=1

wi (p+ tv)Ui (p+ tv)

al diferenciar un campo vectorial, se diferencia sus coorenadas eucldeas

24

(y las evaluamos en t = 0). La derivada de wi (p+ tv) en t = 0 es v [wi]

de esta forma obtenemos rvW =3Xi=1

v [wi]Ui (p)

Theorem 63 Sean v; w 2 Tp (R3) y Y y Z campos vectoriales en R3,f 2 C1 y a; b 2 R entonces,1) rav+bwY = arvY + brwY2) rv (aY + bZ) = arvY + brvZ3) rv (fY ) = v [f ]Y (p) + f (p)rvY4) v [Y Z] = rvY Z (p) + Y (p) rvZProof. Demostraremos 4) con las otras armaciones se procede de formasimilar. Considermos:

Y =3Xi=1

yiUi; Z =3Xi=1

ziUi

Entonces,

Y Z =3Xi=1

yizi

Luego,

v [Y Z] =3Xi=1

v [yi] zi (p) +3Xi=1

yi (p) v [zi]

Por otra parte,

rvY =3Xi=1

v [yi]Ui (p) ; rvZ =3Xi=1

v [zi]Ui (p)

De esta forma

v [Y Z] = rvY Z (p) + Y (p) rvZ

Denition 64 Se puede tomar la derivada covariante de un campo vec-

torial W respecto de otro campo vectorial V , si W =3Xi=1

wiUi entonces,

rVW =3Xi=1

V [wi]Ui

25

Example 65 Si V = (y x)U1 + xyU3 y W = x2U1 + yzU3, calcularrVW (p) en p = (2; 1; 0) . Si se tiene en cuenta la identidad

Ui [f ] =@f

@xi

entonces,

Vx2=(y x)U1

x2= 2x (y x)

V [yz] =xyU3 [yz] = xy2

Por lo tanto,rVW = 2x (y x)U1 + xy2U3

Como p = (2; 1; 0) obtenemos,

rVW (p) = 4U1 (p) + 2U2 (p)

Theorem 66 Sean V;W; Y y Z campos vectoriales en R3, f; g 2 C1 ya; b 2 R entonces,

1) rV (aY + bZ) = arV Y + brVZ2) rfV+gWY = frV Y + grWY3) rV (fY ) = V [f ]Y + frV Y4) V [Y Z] = rV Y Z + Y rVZ

Remark 67 Observar que frV Y = rfV Y 6= rV (fY )

Theorem 68 Sea W un campo vectorial denido en una regin quecontiene la curva . Entonces, t ! W ( (t)) es un campo vectorial en que se denomina la restriccin de W a y se denota por W estecampo tiene la propiedad:

r0(t)W = (W)0 (t)

Proof. Por hiptesis 8t; W(t) = W ( (t)) 2 T(t) (R3). Supongamos

que W =3Xi=1

wiUi entonces,

W ( (s)) =3Xi=1

wi ( (s))Ui ( (s))

26

De esta forma tenemos:

(W)0 (t) =

3Xi=1

dwi ( (s))

ds(t)Ui ( (t))

Por otra parte,

r0(t)W =3Xi=1

0 (t) [wi]Ui ( (t))

Al calcular 0 (t) [wi] tenemos:

0 (t) [wi] =dwi ( (t) + s

0 (t))ds

s=0

=3Xj=1

@wi@xj

( (t))0 (t) =dwi ( (s))

ds(t)

Por lo que antecede tenemos:

r0(t)W = (W)0 (t)

27