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Grficadedoshiprbolasysusasntotas.

GeometraanalticaDeWikipedia,laenciclopedialibre

Lageometraanalticaestudialasfigurasgeomtricasmediantetcnicasbsicasdelanlisismatemticoydellgebraenundeterminadosistemadecoordenadas.Su desarrollo histrico comienza con la geometra cartesiana, contina con laaparicindelageometradiferencialdeCarlFriedrichGaussyms tardeconeldesarrollo de la geometra algebraica. Actualmente la geometra analtica tienemltiples aplicaciones ms all de las matemticas y la ingeniera, pues formaparte ahora del trabajo de administradores para la planeacin de estrategias ylogsticaenlatomadedecisiones.

Lasdoscuestionesfundamentalesdelageometraanalticason:

1. Dadolacurvaenunsistemadecoordenadas,obtenersuecuacin.2. Dada la ecuacin indeterminada, polinomio, o funcin determinar en un

sistema de coordenadas la grfica o curva algebraica de los puntos queverificandichaecuacin.

Lonovedosode lageometra analtica esque representa las figurasgeomtricasmediante frmulas del tipo , donde es una funcin u otro tipo de expresin matemtica: las rectas seexpresan como ecuaciones polinmicas de grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto decnicascomoecuacionespolinmicasdegrado2(lacircunferencia ,lahiprbola ),etc.

ndice

1Construccionesfundamentales1.1Localizacindeunpuntoenelplanocartesiano

1.1.1Comodistanciaalosejes1.1.2Comoproyeccinsobrelosejes

1.2Ecuacionesdelarectaenelplano1.3Seccionescnicas

1.3.1Expresinalgebraica1.4Funcionestrigonomtricas1.5Construccionesenelespaciotridimensional

2Clasificacindelageometraanalticadentrodelageometra3Historiadelageometraanaltica4Vasetambin5Referencias

5.1Bibliografa6Enlacesexternos

Construccionesfundamentales

Enunsistemadecoordenadascartesianas,unpuntodelplanoquedadeterminadopordosnmeros, llamadosabscisayordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos nmeros realesordenados(abscisayordenada),yrecprocamente,aunparordenadodenmeroscorrespondeunnicopuntodelplano.Consecuentementeelsistemacartesianoestableceunacorrespondenciabiunvocaentreunconceptogeomtricocomoesel de los puntos del planoy un concepto algebraico como son los pares ordenados de nmeros.Esta correspondenciaconstituyeelfundamentodelageometraanaltica.

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Ejemplosdeochopuntoslocalizadosenelplanocartesianomediantesusparesdecoordenadas.

Conlageometraanalticasepuededeterminarfigurasgeomtricasplanaspormediodeecuacioneseinecuacionescondos incgnitas.steesunmtodoalternativode resolucindeproblemas,ocuandomenosnosproporcionaunnuevopuntodevistaconelcualpoderatacarelproblema.

Localizacindeunpuntoenelplanocartesiano

Comodistanciaalosejes

En un plano (v.g. papel milimetrado) se traza dos rectas orientadasperpendicularesentre s (ejes)queporconvenio se trazandemaneraqueunadeellasseahorizontalylaotravertical,ycadapuntodelplanoquedaunvocamentedeterminadopor las distancias dedichopunto a cadaunodelos ejes, siempre y cuando se d tambin un criterio para determinar sobrequ semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esadistancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de nmeros, lascoordenadas,quedarrepresentadoporunparordenado ,siendo ladistanciaaunodelosejes(porconvenioserladistanciaalejevertical)eladistanciaalotroeje(alhorizontal).

En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que ladistanciasetomahacialaderechasobreelejehorizontal(ejedelasabscisas),yelsignonegativo(nuncaseomite)indicaqueladistanciasetomahacialaizquierda.Para lacoordenada ,elsignopositivo(tambinseomite) indicaqueladistanciasetomahaciaarribasobreelejevertical(ejedeordenadas),tomndosehaciaabajosielsignoesnegativo(enningncasoseomitenlossignosnegativos).

Alacoordenada selasueledenominarabscisadelpunto,mientrasqueala seladenominaordenadadelpunto.

Lospuntosdelejedeabscisastienenporlotantoordenadaiguala ,asqueserndelaforma ,mientrasquelosdelejedeordenadastendrnabscisaiguala ,porloqueserndelaforma .

Elpuntodondeambosejessecruzantendrporlotantodistancia acadaunodelosejes,luegosuabscisaser ysuordenadatambinser .Aestepuntoel seledenominaorigendecoordenadas.

Comoproyeccinsobrelosejes

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre s, "x" e "y", con un origen comn, el puntoO deinterseccindeambasrectas.

Teniendounpuntoa,alcualsedeseadeterminarlascoordenadas,seprocededelasiguienteforma:

PorelpuntoPsetrazanrectasperpendicularesalosejes,stasdeterminanenlainterseccinconlosmismosdospuntos,P'(elpuntoubicadosobreelejex)yelpuntoP''(elpuntoubicadosobreelejey).

DichospuntossonlasproyeccionesortogonalessobrelosejesxeydelpuntoP.

AlosPuntosP'yP''lecorrespondenpornmeroladistanciadesdeellosalorigen,teniendoencuentaquesielpuntoP'seencuentraalaizquierdadeO,dichonmerosernegativo,ysielpuntoP''seencuentrahaciaabajodelpuntoO,dichonmerosernegativo.

LosnmerosrelacionadosconP'yP'',eneseordensonlosvaloresdelascoordenadasdelpuntoP.

Ejemplo1:P' seencuentraa laderechadeOunadistancia iguala2unidades.P'' seencuentrahaciaarribadeO, unadistanciaiguala3unidades.PorloquelascoordenadasdePson(2,3).

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Coordenadasasignadasatrespuntosdiferentes(verde,rojoyazul),susproyeccionesortogonalessobrelosejesconstituyensuscoordenadascartesianas.

Ejemplo2:P'seencuentraaladerechadeOunadistanciaiguala4unidades.P''seencuentrahaciaabajodeO,unadistanciaiguala5unidades.PorloquelascoordenadasdePson(4,5).

Ejemplo3:P'seencuentraalaizquierdadeOunadistanciaiguala3unidades.P''seencuentrahaciaabajodeO,unadistanciaiguala2unidades.PorloquelascoordenadasdePson(3,2).

Ejemplo4:P'seencuentraalaizquierdadeOunadistanciaiguala6unidades.P''seencuentrahaciaarribadeO,unadistanciaiguala4unidades.PorloquelascoordenadasdePson(6,4).

Ecuacionesdelarectaenelplano

Una recta es el lugar geomtrico de todos los puntos en el plano tales que,tomados dos cualesquiera de ellos, el clculo de la pendiente resulta siempreigualaunaconstante.

Laecuacingeneraldelarectaesdelaforma:

cuyapendienteesm=A/Bycuyaordenadaalorigenesb=C/B.

Unarectaenelplanoserepresentaconlafuncinlinealdelaforma:

Comoexpresingeneral,staesconocidaconelnombredeecuacinpendienteordenadaalorigenypodemosdistinguirdos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, ser porque es paralela a l. Como los dos ejes sonperpendiculares,sinocortaaunodeellosforzosamentehadecortaralotro(siempreycuandolafuncinseacontinuaparatodoslosreales).Tenemospuestrescasos:

Rectasoblicuas. Rectashorizontales. Rectasverticales.

Lasrectasverticalesnocortanalejedeordenadasysonparalelasadichoejeysedenominanrectasverticales.Elpuntodecorteconelejedeabscisaseselpunto .Laecuacindedichasrectases:

Lasrectashorizontalesnocortanalejedelasabscisasy,portanto,sonparalelasadichoejeysedenominanrectas

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Lostresejemplosdeinterseccindeunplanoconuncono:parbola(A),elipse(B)ehiprbola(C).

Parbolastipoy=ax2,cona=4,1,1/4y1/10.

circunferenciacentradaenelorigenysuecuacin.

horizontales.Elpuntodecorteconelejedeordenadaseselpunto .Laecuacindedichasrectases:

Cualquierotrotipoderectarecibeelnombrederectaoblicua.Enellashayunpuntodecorteconelejedeabscisasyotropuntodecorteconelejedeordenadas .Elvalor recibeelnombredeabscisaenelorigen,

mientrasqueel sedenominaordenadaenelorigen.

Seccionescnicas

El resultado de la interseccin de la superficie de un cono, con unplano,dalugaraloquesedenominanseccionescnicas,queson:laparbola,laelipse(lacircunferenciaesuncasoparticulardeelipse)ylahiprbola.

La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos queequidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fijallamadadirectriz.

Unaparbola (figuraA) cuyo eje de simetra sea paralelo al eje deabcisasseexpresamediantelaecuacin:

La elipse es el lugar geomtrico de los puntos tales que la suma de susdistanciasadospuntosfijosllamadosfocosessiempreigualaunaconstantepositiva,eigualaladistanciaentrelosvrtices.

Unaelipse(figuraB)centradaenlosejes,conlongitudesdesemiejeaybvienedadaporlaexpresin:

Silosdosejessonigualesylosllamamosc:

elresultadoesunacircunferencia:

La hiprbola es el lugar geomtrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de susdistanciasadospuntosfijosllamadosfocosessiempreigualaunaconstantepositiva,eigualaladistanciaentrelos

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hiprbolaxy=1

FoliumdeDescartesx3+y33axy=0,a=1.

vrtices.

Lahiprbola(FiguraC)tieneporexpresin:

Expresinalgebraica

Encoordenadas cartesianas, las cnicas se expresan en forma algebraica medianteecuacionescuadrticasdedosvariables(x,y)delaforma:

enlaque,enfuncindelosvaloresdelosparmetros,setendr:

h>ab:hiprbola.

h=ab:parbola.

h

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Elipsoide.

Representacingrficaenunsistemadecoordenadascartesianasdelasfuncionestrigonomtricas.

Construccionesenelespaciotridimensional

Los razonamientos sobre la construccin de los ejes coordenados sonigualmente vlidos para un punto en el espacio y una terna ordenada denmeros,sinmsqueintroducirunatercerarectaperpendicularalosejesXeY:elejeZ.

Sinembargonohayanlogoalimportantsimoconceptodependientedeunarecta.Unanicaecuacinlinealdeltipo:

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar medianteecuacionesunarectaenelespacio tridimensionalnecesitaremosespecificar,nouna,sinodosecuacioneslinealescomolasanteriores.Dehechotodarectasepuedeescribircomointerseccindedosplanos.Asunarectaenelespaciopodraquedarrepresentadacomo:

Es importante notar que la representacin anterior no es nica, ya que una misma recta puede expresarse como lainterseccindediferentesparesdeplanos.Porejemplolosdosparesdeecuaciones:

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Clasificacindelageometraanalticadentrodelageometra

DesdeelpuntodevistadelaclasificacindeKleindelasgeometras(elProgramadeErlangen),lageometraanalticanoesunageometrapropiamentedicha.

Desdeelpuntodevistadidctico,lageometraanalticaresultaunpuenteindispensableentrelageometraeuclidianayotras ramas de lamatemtica y de la propia geometra, como son el propio anlisismatemtico, el lgebra lineal, lageometraafn,lageometradiferencialolageometraalgebraica.

Enfsicaseutilizalossistemasdecoordenadasparalarepresentacindemovimientosyvectoresentreotrasmagnitudes.

Historiadelageometraanaltica

Existeunaciertacontroversiasobrelaverdaderapaternidaddeestemtodo.Lonicociertoesquesepublicaporprimeravezen1637como"Geometraanaltica",apndicealDiscursodelmtodo,deDescartes,sibiensesabequePierredeFermatconocayutilizabaelmtodoantesdesupublicacinporDescartes.AunqueOmarKhayyamyaenelsigloXIutilizara unmtodomuy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de loscitadosmatemticosfrancesestuvieranaccesoasuobra.

El nombredegeometraanaltica corri parejo al degeometra cartesiana, y ambos son indistinguibles.Hoy en da,paradjicamente, se prefiere denominar geometra cartesiana al apndice delDiscurso del mtodo, mientras que seentiendequegeometraanalticacomprendenosloa lageometracartesiana(enelsentidoqueacabamosdecitar,esdecir,altextoapndicedelDiscursodelmtodo),sinotambintodoeldesarrolloposteriordelageometraquesebaseenla construccin de ejes coordenados y la descripcin de las figurasmediante funcionesalgebraicas o nohasta laaparicin de la geometra diferencial de Gauss (decimos "paradjicamente" porque se usa precisamente el trmino"geometra cartesiana" para aquello que el propioDescartes bautiz como "geometra analtica"). El problema es quedurante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometra analtica y anlisis matemtico esta falta dediferenciasedebeprecisamentealaidentificacinhechaenlapocaentrelosconceptosdefuncinycurva,porloqueresultaavecesmuydifcilintentardeterminarsielestudioqueseestrealizandocorrespondeaunauotrarama.

Lageometradiferencialdecurvassquepermiteunestudiomedianteunsistemadecoordenadas,yaseaenelplanooenelespaciotridimensional.Peroenelestudiodelassuperficies,engeneral,aparecenseriosobstculos.Gausssalvadichosobstculoscreandolageometradiferencial,ymarcandoconelloelfindelageometraanalticacomodisciplina.Esconeldesarrollodelageometraalgebraicacuandosepuedecertificartotalmentelasuperacindelageometraanaltica.

Esdepuntualizarqueladenominacindeanalticadadaaestaformadeestudiar lageometraprovocquelaanteriormanera de estudiarla (es decir, la manera axiomticodeductiva, sin la intervencin de coordenadas) se terminaradenominando,poroposicin,geometrasinttica,debidoaladualidadanlisissntesis.

Vasetambin

Portal:Matemtica.ContenidorelacionadoconMatemtica.

Referencias

Bibliografa

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Enlacesexternos

Graficadorgratuitodefunciones,cnicasyhacesparageometraanaltica(http://gdf2004.tripod.com/)Construyaobjetosdelageometraanaltica(http://www.mygeometryteacher.com/)

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