geometría hasta el siglo euclides de alejandría xix dibujo

DIB

UJO

TÉC

NIC

O

BACHILLERATO

1B. MasR. Gasull

Euclides de Alejandría

(325 – 265 a. de C., aproximadam

ente)

Matem

ático griego conocido com

o el «padre de la

geometría» por h

aber fijado, en

el célebre tratado

Elemen

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asta el siglo xix.

Euclides con

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o por interés práctico. U

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tó: «¿Y qué gan

o, yo, estudian

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todo esto?» El maestro en

tregó un

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a su esclavo y le dijo: «D

áselas, ya que tien

e que gan

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algo con lo qu

e aprende.»

Encontrarás los recursos digitales y el formato digital del libro en

ecasals.net/dibujo1ba

BAC

HIL

LERA

TOD

IBU

JO T

ÉCN

ICO

1

UNIDAD 1

Construcciones geométricas fundamentales

1. Elementos simples: posiciones relativas El punto. La línea. El plano.

2. Lugares geométricos La mediatriz. La bisectriz. La recta paralela. La circunferencia. El arco capaz.

3. Trazados de paralelas y perpendiculares Trazado de paralelas con escuadra y cartabón. Trazado de perpendiculares con escuadra y cartabón.

Perpendiculares por un punto P de una recta. Paralela a una recta que pase por un punto P.

4. Ángulos: tipos y criterios de igualdad Clasificación por su valor. Clasificación en relación con otros ángulos Igualdad de ángulos. Trazado de ángulos con escuadra y cartabón. Trazado de ángulos con compás.

5. Operaciones con segmentos Suma, resta y producto de segmentos. Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales.

División de un segmento en partes proporcionales.

6. Operaciones con ángulos Transporte de ángulos. Operación combinada de ángulos. División de un ángulo en partes iguales.

Pág. 9 7. Ejercicios globalesACTIVIDADES

UNIDAD 2

Polígonos

1. Polígonos Elementos de cualquier polígono. Clasificación.

2. Triángulos Propiedades y clasificación. Rectas y puntos notables de un triángulo. Construcción de triángulos.

3. Cuadriláteros Clasificación y características. Cuadriláteros inscribibles y circunscritos. Construcción de cuadriláteros.

4. Construcción de polígonos regulares Construcciones a partir del radio de la circunferencia circunscrita.

Construcciones a partir del lado.

5. Polígonos estrellados

Pág. 27 6. Módulos y redes

ACTIVIDADES

UNIDAD 3

Igualdad, semejanza y proporcionalidad

Pág. 51

1. Igualdad Por triangulación, radiación e itinerario. Por transformaciones isométricas o movimientos en el plano.

2. Otras transformaciones: semejanza, homotecia y afinidad

Semejanza. Homotecia. Homotecia entre circunferencias. Afinidad.

3. Proporcionalidad Proporcionalidad directa e inversa. Utilización de la proporcionalidad directa. Teoremas del triángulo rectángulo. Media proporcional de dos segmentos. Parte áurea de un segmento.

4. Escalas Escalas gráficas.

ACTIVIDADES

Í N D I C E

I GEOMETRÍA

UNIDAD 4

La circunferencia.Tangencias y enlaces

1. La circunferencia Elementos de la circunferencia. Propiedades. Rectificación. Círculo: elementos.

2. Posiciones relativas Recta y circunferencia. Entre circunferencias.

3. Propiedades de la posición de tangencia Entre recta y circunferencia. Entre circunferencia. Lugares geométricos relacionados.

4. Trazado de tangentes Entre rectas y circunferencias. Entre circunferencias.

5. Enlaces Trazados de enlaces.

Pág. 67 6. Ejercicios globales: tangencias y enlaces

ACTIVIDADES

UNIDAD 5

Curvas geométricas

1. Curvas geométricas Clasificación.2. Curvas técnicas Curvas técnicas cerradas. Tipos y construcción.

Curvas técnicas abiertas. Tipos y construcción.

Pág. 91 3. Curvas alabeadas Hélice.ACTIVIDADES

I I S ISTEMAS DE REPRESENTACIÓN

UNIDAD 6

Los sistemas de representación

Pág. 103

1. El paso de tres a dos dimensiones Elementos de la geometría proyectiva. Operaciones de geometría proyectiva. Tipos de proyección. Invariantes proyectivos. Teorema de Desargues.

2. Sistemas de representación Características de un sistema de representación. Clasificación.

3. Sistema de planos acotados Representación de punto y recta: graduación y tipos de rectas.

Representación del plano: tipos. Intersecciones, rectas y planos. Aplicaciones del sistema acotado.

ACTIVIDADES

UNIDAD 7

El sistema diédrico

Pág. 117

1. Fundamentos del sistema diédrico2. Proyecciones diédricas de los elementos

fundamentales Representación del punto. Representación de la recta. Trazas y visibilidad. Representación del plano y determinación de

sus trazas.

3. Posiciones favorables Alfabeto de la recta. Alfabeto del plano. Proyecciones de elementos no situados en

el primer cuadrante.4. Pertenencia entre elementos Punto perteneciente a una recta.

Recta perteneciente a un plano. Rectas notables de un plano. Punto perteneciente a un plano.

5. Paralelismo Entre rectas. Entre planos. Entre recta y plano.

6. Perpendicularidad Teoremas de la perpendicularidad. Entre recta y plano. Entre rectas. Entre planos.

7. Intersecciones Entre rectas. Entre planos. Entre recta y plano.

8. Determinación de secciones planas en verdadera magnitudACTIVIDADES

I I I NORMALIZACIÓN

UNIDAD 9

La perspectiva cónica

Pág. 163

1. Percepción visual y fotográfica La visión humana. La fotografía.

2. Fundamentos de la perspectiva cónica Elementos por considerar. Tipos de perspectiva cónica. Variaciones y tipología de la perspectiva cónica.

3. Construcción de perspectivas frontales Disposición de los parámetros de la perspectiva.

Perspectiva de formas planas. Perspectiva de sólidos.

4. Construcción de perspectivas oblicuas Disposición de los parámetros de la perspectiva.

Perspectiva oblicua de formas planas. Perspectiva oblicua de sólidos.

ACTIVIDADES

UNIDAD 8

Sistemas axonométricosy perspectiva caballera

Pág. 145

1. Fundamentos del sistema axonométrico Elementos que se han de tener en cuenta. Tipos de axonometrías.

2. Coeficientes de reducción y escalas gráficas

Escalas gráficas.

3. Ternas axonométricas más usuales4. Representaciones axonométricas De los elementos simples.

De formas planas. De sólidos tridimensionales.

5. Sistemas de perspectiva caballera Características. Tipos. Ternas más usuales. Representaciones en perspectiva caballera.

6. Determinación de secciones planas7. Determinación de sombras Sombra por un foco puntual.

Sombra producida por la luz solar.ACTIVIDADES

UNIDAD 10

Normalización,vistas y cotas.

1. La normalización Clasificación de las normas. Organismos de normalización. Normalización en España.

2. Normas fundamentales Formatos. Líneas y usos. Rotulación normalizada.

3. Representación normalizada de cuerpos Distribución de vistas. Vistas especiales.

4. Cortes, secciones y roturas Concepto de corte y sección; representación. Tipos de cortes. Tipos de secciones. Simplificación por rotura.

5. Elementos roscados Tipos de roscas. Representación simbólica de roscas.

6. Acotación Elementos de acotación. Sistemas de distribución de cotas. Principios de acotación.

Pág. 183 7. Aplicaciones de la normalización Despiece de un conjunto mecánico. Dibujo arquitectónico.

ACTIVIDADES

DIBUJO INFOGRÁFICO

ANEXO

Arte y dibujo técnico. Pág. 266

Glosario. Pág. 284

Bibliografía. Pág. 286

III. Complementos al dibujo infográfico

Pág. 247

1. Acotación Elementos de acotación. Estilos de acotación. Creación de cotas.

2. Sombreados3. Dibujo isométrico4. Impresión5. Programas de geometría dinámica Interfaz de usuario.

La barra de herramientas. Ejercicio de aplicación.

ACTIVIDADES

I. El dibujo infográfico 2D.Órdenes básicas

Pág. 217

1. Introducción El dibujo infográfico: tipos y programas. El entorno gráfico. Inicio, guardar y fin de una sesión de

AutoCAD. Introducción de comandos. Modos de visualización.

2. Ayudas al dibujo Asociadas a teclas de función. Coordenadas por teclado. Referencias a objetos. Selección de elementos. Propiedades de objetos. Corrección de errores.

3. Órdenes básicas De dibujo. De edición o modificación. Ejercicios guiados como aplicación

de las órdenes básicas.ACTIVIDADES

II. Trabajo con capas.Nuevas órdenes de dibujo y edición

Pág. 233

1. Creación y control de capas Estado de las capas. Creación de capas.

2. Órdenes más habituales De dibujo. De edición. Ejercicio guiado de aplicación.

3. Órdenes complementarias De dibujo. De edición. Ejercicio de aplicación.

4. Trabajo con bloques Creación de un bloque de dibujo. Creación de un bloque del disco. Inserción de un bloque.

ACTIVIDADES

Competencia matemática y competencias en ciencia y tecnología

Competencia digital

Conciencia y expresiones culturales

Competencias sociales y cívicas

Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor

Aprender a aprender

Comunicación lingüística

Avanzada

Reto

COMPETENCIAS

ACTIVIDADES

80

A0 1189 X 841

3B2BB

3H4H5H

6H

HBFH

2H

841 X 594

594 X 420

420 X 297

297 X 210

210 X 148

148 X 105

150

A1

240

A2

A3

A4

A5

A6

Instrumentos y materiales de dibujo técnico

EL PAPELClasificación:

Según su gramaje (grosor del papel)

Según su tamaño (normas DIN*)

Según el tipo de papel– Opaco: ha de ser blanco, satinado y liso.– Transparente:

EL LÁPIZTipos de lápices para dibujo técnico:– Portaminas convencional, con minas de 2 mm.– Portaminas calibrado, con minas de diámetros norma-

lizados:

Según la dureza de la mina

Gramaje (en g/m2)

Dureza Designación Aplicación

Muy blanda

Blanda

Muy dura

Extradura

Semiblanda

Dura

Cartografía y urbanismo

Esbozos y sombreados

Croquis y dibujos a mano alzada

Trazados auxiliares de dibujo técnico

Dibujo en superficies duras

Croquis y acabados de dibujo técnicoTrazados y acabados de dibujo técnicoTrazados de dibujo técnicoTrazados de dibujo técnico

Uso cotidiano, fotocopias…

6B5B4B

Cartografía y urbanismo

Dibujo técnico

Arquitectura

Arquitectura y dibujo técnico

Dibujo técnico

Acuarela, gouache…

Utilización

Utilización

FormatoMedidas (en mm)

LA GOMA DE BORRARPara el dibujo técnico la más utilizada es la goma blanca. El portagomas permite una mayor precisión en su utiliza-ción que una goma normal; además, la protege para evitar que se ensucie.

LA ESCUADRA Y EL CARTABÓNSe utilizan para trazar paralelas y perpendiculares o para construir determinados ángulos.– Cartabón. Triángulo rectángulo escaleno con los ángu-

– Escuadra. Triángulo rectángulo isósceles con dos ángu-

LA REGLA Y EL ESCALÍMETROLa regla es un instrumento alargado, plano y fino que sir-ve para trazar líneas rectas y tomar medidas. Tiene un lado biselado, graduado en centímetros.

El escalímetro es una regla graduada de forma triangular con seis escalas normalizadas. Las más usuales son:

EL COMPÁSSirve para transportar medidas de un modo rápido y pre-ciso; además, es esencial en el trazado de arcos de circun-ferencias.

El compás milimétrico incorpora una rueda enroscada que facilita el ajuste a medidas concretas. Mediante un adaptador universal, podemos utilizar un alargador para realizar circunferencias de grandes dimensiones o colocar un portaminas.

EQUIPO RECOMENDADO

PAPEL 2, opacas, blancas, satinadas y lisas.

LÁPIZ

PORTAGOMAS

ESCUADRA Y CARTABÓN Transparentes, sin graduar y que no tengan bisel, ya que este dificulta el trazado.

que ha de coincidir con el cateto mayor de la escuadra.

REGLA

COMPÁS Mejor si es milimétrico. Es aconsejable que disponga de alargador y adaptador universal para usar portaminas.

9

Recta

Semirrecta

Segmento

Poligonal abierta

Poligonal cerrada

Curva

Mixta

TIP

OS D

E R

EC

TA

1 ELEMENTOS SIMPLES: POSICIONES RELATIVAS

En geometría hay tres elementos simples con los que po-demos construir cualquier forma más compleja: vértice o punto, arista o línea y cara o plano.

1.1 El punto

Es el elemento geométrico más simple y queda definido en la intersección de dos rectas coplanarias*. Se designa con alguna letra mayúscula del abecedario: A, B, C, D…

Punto propio: corresponde a una posición concreta del espacio real; por ejemplo: el centro de una circunfe-rencia o la intersección de dos rectas que se cortan.

Punto impropio: es un punto situado en el infinito; por ejemplo: el lugar de intersección de dos rectas paralelas.

1.2 La línea

Una línea está formada por un número infinito de puntos que, si tienen la misma dirección, definen una recta. Se designa con letras minúsculas: r, s, m, n... Un punto inte-rior de una recta la divide en dos semirrectas.

La posición de una recta la determinan dos puntos.

Por un punto pasan infinitas rectas, las cuales definen un haz de rectas.

Todos los tipos de líneas anteriores son rectas propias porque pueden situarse en el plano y representarse. Las rectas impropias son las que están situadas en el infinito.

* Las palabras marcadas con un asterisco están definidas en el Anexo final del libro (Glosario).

Distinguimos los siguientes tipos de rectas:

Segmento: parte de la recta delimitada entre dos pun-tos.

Líneas poligonales: se componen de varios segmen-tos y pueden ser abiertas o cerradas.

Línea curva: aquella cuyos puntos no están en la mis-ma dirección.

Mixta: cuando la recta combina partes rectas y curvas.

Construcciones geométricas fundamentales

Competencia matemática y competencias en ciencia y tecnología

1

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Construcciones geométricas fundamentalesGeometría

1.3 El plano

Un plano contiene un número infinito de puntos y de rec-tas. Necesitamos tres puntos no alineados para determinar la posición de un plano. Esta posición también puede que-dar definida por:

Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan. Una recta y un punto exterior a ella.

Los planos se designan con letras del alfabeto griego: (alfa), (beta), etc.

Son planos propios aquellos que contienen rectas y pun-tos propios; por ejemplo, las caras de un cubo; el plano impropio o del infinito es el que contiene rectas y puntos impropios.

Por una recta pasan infinitos planos, definiendo una figura geométrica que denominamos haz de planos (Fig. 1).

Las rectas de un mismo plano se llaman coplanarias y pue-den ser secantes o paralelas. Un caso particular de se-cantes son las rectas perpendiculares.

Las rectas de dos planos diferentes pueden ser paralelas o cruzarse pero no se cortarán nunca; su posición relativa será la de rectas que se cruzan en el espacio.

2 LUGARES GEOMÉTRICOS

Un lugar geométrico define una posición en el plano o en el espacio; todos los puntos de un lugar geométrico cum-plen la misma propiedad geométrica.

2.1 La mediatriz

Es la perpendicular a un segmento en su punto medio y define el lugar geométrico de puntos equidistantes de los dos extremos del segmento. Los puntos de la mediatriz son los centros de las infinitas circunferencias que pasan por los extremos del segmento (Fig. 2).

Con un radio un poco mayor que la mitad del segmento AB y haciendo centro, alternativamente, en sus extremos, determinamos dos arcos de circunferencia que se cortan en dos puntos equidistantes* de A y B. La recta que de-

11

1

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6 Fig. 7


2.2 La bisectriz

Es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales pa-sando por su vértice. Cada punto de la bisectriz está a la misma distancia de los dos lados, y se define como el lu-gar geométrico de puntos equidistantes de los lados del ángulo. Cualquier punto de la bisectriz es centro de una circunferencia tangente* a los dos lados del ángulo (Fig. 4).

Situando el centro en el vértice del ángulo y con un radio cualquiera, trazamos un arco que corta los lados por los puntos 1 y 2. Estos puntos son centros de dos arcos del mismo radio que determinan el punto 3; la recta que une

Cuando el vértice es inaccesible*, trazamos un segmento cualquiera que corte los lados en los puntos M y N. Estos puntos son vértices de cuatro ángulos a, b, c y d, cuyas bisectrices se cortan, dos a dos, en los puntos 1 y 2 que

Si trazamos rectas paralelas equidistantes a los lados del ángulo, de manera que se corten en los límites del dibu-jo, el ángulo entre estas paralelas tiene la misma bisectriz que el ángulo inicial (Fig. 7).

12

1

Fig. 8

Fig. 9


2.3 La recta paralela

Dos rectas paralelas se mantienen a distancia constante; por tanto, la recta paralela es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una recta dada. De una recta cualquiera podemos trazar dos rectas paralelas a la misma distancia; sus puntos son centros de circunferencias tangentes a la recta inicial.

De dos rectas paralelas m y n podemos determinar la paralela media (Fig. 8). Es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas paralelas.

2.4 La circunferencia

Es una curva plana y cerrada cuyos puntos equidistan de uno interior llamado centro. Constituye el lugar geomé-trico de los puntos que equidistan, una distancia igual al radio, del centro de la circunferencia.

2.5 El arco capaz

El arco capaz de un ángulo respecto a un segmento AB es el lugar geométrico formado por las posiciones de los vértices de los ángulos iguales a cuyos lados pa-san por los extremos A y B del segmento.

Por el extremo A del segmento trazamos una semirrecta que forme el ángulo con el segmento (respecto al seg-mento en el semiplano* opuesto al que queremos el arco capaz), y una perpendicular a esta semirrecta. La intersec-ción de esta perpendicular con la mediatriz del segmento AB es el centro O del arco capaz, cuyo radio es la distancia OA (Fig. 9).

1

Fig. 10

Fig. 11

Fig. 12


3 TRAZADOS DE PARALELAS Y PERPENDICULARES

3.1 Trazado de paralelas con escuadra y cartabón

Hacemos coincidir la hipotenusa de la escuadra con la dirección de la recta r a la que queremos trazar paralelas. Apoyamos la hipotenusa del cartabón sobre uno de los catetos de la escuadra para que nos sirva de guía en su desplazamiento. Con el movimiento indicado en la figu-

la que, deslizando el lápiz sobre la hipotenusa, trazamos una recta paralela a la primera.

3.2 Trazado de perpendiculares con escuadra y cartabón

La posición de partida es la misma que para el trazado de rectas paralelas. Manteniendo fija la posición del cartabón, cambiamos el cateto de soporte de la escuadra y, deslizan-do el lápiz sobre la nueva posición de la hipotenusa, traza-mos una recta perpendicular a la primera (Fig. 11).

Perpendicular desde un punto P exterior a una recta Este trazado y los siguientes se suelen llevar a cabo con

escuadra y cartabón para conseguir una total exactitud, pero también se pueden realizar con compás.

Haciendo centro en el punto P, trazamos un arco que corte por M y N la recta (Fig. 12). La mediatriz del seg-mento MN será la perpendicular a r desde el punto P.

El segmento PI es la distancia que hay entre el punto P y la recta r; esta distancia (la menor posible) siempre es un segmento perpendicular a la recta.

14

1

Fig. 13

Fig. 14

Fig. 15


3.3 Perpendicular por un punto P de una recta

Situando el centro en Ptrazamos un arco que corta la recta r en el punto 1. Tras-ladamos el mismo radio a partir del punto 1 para obtener sobre el arco los puntos 2 y 3.

Situamos el centro en estos últimos puntos y, con el mismo radio, determinamos dos arcos nuevos que se cortan en el punto 4. La recta P4 es la perpendicular a r desde P.

3.4 Paralela a una recta que pase por un punto P

Con el centro en P trazamos un arco que corte en el punto 1 la recta r. Con el mismo radio y centro en el punto 1, trazamos un nuevo arco que también pasará por P; este segundo arco cortará r por el punto 2.

Con un radio igual a la distancia P2 obtenemos el punto 3 sobre el primer arco trazado, con un arco auxiliar cuyo centro es el punto 1. Los puntos P y 3, equidistantes de r, definen la paralela que queríamos trazar (Fig. 14).

4 ÁNGULOS: TIPOS, CRITERIOS DE IGUALDAD

Dos rectas que se cortan forman cuatro ángulos; las rec-tas se denominan lados del ángulo y su intersección es el vértice. Se representan con tres letras mayúsculas que corresponden a los lados y al vértice (la correspondiente al vértice siempre se escribe entre las otras dos); también se pueden designar únicamente con la letra del vértice o con

1

RECTO AGUDO

Es cada uno de los ángulos que forman dos rectas perpendiculares; es Es el ángulo menor que un ángulo recto.

OBTUSO LLANO

Es el ángulo mayor que un ángulo recto. Es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas; es la mitad de una

COMPLEMENTARIOS SUPLEMENTARIOS

CONSECUTIVOS ADYACENTES

Son dos ángulos con un lado común. Son dos ángulos consecutivos y suplementarios.

OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Sus lados son semirrectas opuestas. Siempre son iguales.


4.1 Clasificación por su valor

4.2 Clasificación en relación con otros ángulos

1

Fig. 16

Fig. 17

Fig. 18


4.3 Igualdad de ángulos

Los ángulos de lados paralelos dispuestos en el mismo sentido o en el contrario son iguales.

Si un lado está colocado en el mismo sentido y el otro en

Dos ángulos con los lados respectivamente perpendicula-res son iguales o suplementarios (Fig. 17).

Cuando se cortan dos rectas paralelas por una secan-te (Fig. 18), se determinan ocho ángulos. Aplicando los criterios anteriores de igualdad (opuestos por el vértice y de lados paralelos) podemos establecer la igualdad de los ángulos 1, 4, 5 y 8; también la de los ángulos 2, 3, 6 y 7.

Ángulos iguales

Ángulos suplementarios

17

1

Fig. 19

Fig. 20


4.4 Trazado de ángulos con escuadra y cartabón

La utilización individual o combinada de la escuadra y el cartabón (Fig. 19) nos permite trazar líneas, con una inclinación respecto a

de la escuadra y el cartabón para poder con-

18

1

Fig. 24

Fig. 23

Fig. 22

Fig. 21


Con la bisectriz

Con alguna de las construcciones anteriores o combinándolas, podemos trazar el resto de ángulos, como puede verse en la figura 24.

Con la bisectriz del ángulo comprendido

Con la bisectriz Con la bisectriz del ángulo

comprendido entre las


Realizando dos ángulos


4.5 Trazado de ángulos con compás

Con una regla y un compás es posible trazar los mismos ángulos del apartado anterior. Nos basamos en tres construcciones básicas:

Perpendicular a una recta por uno de sus puntos, que hemos visto en el

Trazado de la bisectriz para obtener el ángulo que es la mitad de otro; en

V de una semirrec-ta para trazar un arco de un radio cualquiera, que corte la semirrecta por el punto 1. Con el mismo radio y haciendo centro en el punto 1, fijamos sobre el arco la posición del punto 2; la semirrecta V2

19

1

Fig. 25

Fig. 26


5 OPERACIONES CON SEGMENTOS

Gráficamente, podemos obtener un segmento que sea la suma de otros; de forma combinada realizamos sumas, restas y productos.

5.1 Suma, resta y producto de segmentos

A partir de tres segmentos dados m, n y p, queremos reali-zar la operación combinada (3m - 2n + p). Sobre una recta fijamos un punto inicial A; hacia su derecha llevamos su-mandos positivos y hacia su izquierda, sumandos negativos

Transportamos tres veces la longitud del segmento m y ob-tenemos el punto B. Hacia la izquierda de B llevamos dos veces la longitud del segmento n y conseguimos el punto C; hacia la derecha de C trasladamos una longitud igual a la del segmento p y obtenemos la posición del punto D. El segmento AD representa la operación (3m - 2n + p).

5.2 Teorema de Tales. División de un segmento en partes iguales

Cuando dos rectas secantes son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos interceptados sobre una de las rectas secantes son proporcionales a los determinados

AB / A’B’ = BC / B’C’ = AC / A’C’

Tales de Mileto y el enigma de la pirámide

Explica Heródoto que Tales de Mileto, uno de los siete sabios de Grecia, dejó sorprendidos a los sabios más famosos de Egipto, que lo habían retado a calcular con precisión la altura de la gran pirámide de Keops.

Tales trazó una circunferencia en el suelo con un radio igual a la altura de su ayudante y lo situó en el centro. Cuando la sombra de la cabeza del ayudante tocó la circunferencia, ordenó que marcaran el punto donde se encontraba la sombra de la pirámide. De este modo tan sorprendente determinó su altura y ridiculizó a los sabios egipcios.

1

Fig. 28

Fig. 29

Fig. 27


Queremos dividir el segmento MN en un número exacto de partes iguales. Por uno de los extremos del segmento trazamos una semirrecta con una inclinación cualquiera y, sobre ella, llevamos tantas unidades u iguales como partes queramos hacer del segmento MN

La unión del final de la última división con el otro extremo del segmento define una dirección a la que trazamos pa-ralelas por las divisiones restantes de la semirrecta auxiliar; estas paralelas determinan las divisiones iguales sobre el segmento MN.

5.3 División de un segmento en partes proporcionales

La aplicación del teorema de Tales también nos sirve para dividir un segmento MN en varias partes diferentes entre sí, pero proporcionales a unos valores o segmentos cono-cidos.

En la figura 28 se ha dividido el segmento MN en tres par-tes proporcionales a los segmentos m, n y p. Sobre la se-mirrecta auxiliar llevamos las longitudes m, n y p y unimos el final con el extremo N del segmento; trazamos paralelas por los límites de m y n para completar la división.

6 OPERACIONES CON ÁNGULOS

6.1 Transporte de ángulos

En la figura 29 tenemos un ángulo cualquiera, que que-remos reproducir en otra posición. La acción de copiar o trasladar ángulos debe hacerse respecto a arcos que ten-gan el mismo radio, ya que únicamente sobre arcos de la misma longitud corresponden ángulos iguales.

Por el vértice del ángulo , trazamos un arco con un radio cualquiera que corta sus lados en los puntos 1 y 2. En la posición donde queremos reproducir el ángulo, trazamos otro arco del mismo radio, que corta uno de los lados del nuevo ángulo en el punto 1'. Tomamos la apertura entre los puntos 1 y 2, y a partir de 1' fijamos la posición 2' por la cual ha de pasar el segundo lado del ángulo trasladado.

21

1

Fig. 30

Fig. 31

Fig. 32


6.2 Operación combinada de ángulos

Partimos de dos ángulos y cualesquiera para realizar, - 2

Tomamos el extremo V de una semirrecta r como vértice del nuevo ángulo. Situando el centro en los vértices de los ángulos y y en el punto V, trazamos tres arcos del mis-mo radio.

A partir del punto en el que el arco del centro V corta la semirrecta, trasladamos tres veces consecutivas la amplitud 1-2 del ángulo y por su extremo, pero en sentido con-trario, dos veces la amplitud 3-4 del ángulo . Este punto

- 2 ).

6.3 División de un ángulo en partes iguales

Podemos dividir un ángulo de valor arbitrario en un número par de partes iguales 2, 4, 8… realizando bisectrices sucesi-

El ángulo recto es el único ángulo que podemos dividir grá-ficamente en tres partes iguales, como vemos en la figura

1 y 2 los lados del ángulo; hacemos centro en estos puntos y, con el mismo radio del arco, determinamos los puntos de paso de sus tercios.

22

1

Fig. 33


7 EJERCICIOS GLOBALES

Para realizar el ejemplo de la «guitarra cubista» de AB, de 8 cm, en

posición horizontal. A partir del extremo B, situa-mos el cartabón con el cateto menor paralelo a AB y trazamos una línea auxiliar que forme un ángulo

con una apertura de 4 cm, hallamos sobre esta recta el punto C.

A partir de C, y con ayuda de la escuadra y el carta-bón, dibujamos una línea que forme un ángulo de

BC. Igual que antes, con el compás y D.

Para obtener el punto E, trazamos dos arcos con ayuda del compás: uno a partir de C, con un radio

D, con un radio de 4 cm.

Continuamos de este modo hasta determinar el punto K. A partir de aquí retomaremos el di-bujo desde el punto A y hacia N.

Cuando tengamos situados los puntos K y M, determinaremos el punto L por medio del arco ca-

segmento KM.

Finalmente, unimos A con D, buscamos el punto medio a tra-vés de la mediatriz del segmento AD y dibujamos una circunferen-cia de 4 cm de diámetro.

Una vez resuelto el dibujo y efectuadas las comprobaciones necesarias para asegurarnos de que es correcto, hemos de dife-renciar las líneas auxiliares de las definitivas y dotar el dibujo del valor de línea apropiado.

ACTIVIDADES

LUGARES GEOMÉTRICOS1 Dados una recta r y dos puntos exteriores A y B, deter-

mina un punto P situado sobre la recta y que se encuen-tre a la misma distancia de A y B,

2 A partir de una recta r cualquiera, traza una paralela a 2 cm de distancia. Utiliza únicamente el compás.

3 Traza una perpendicular a la recta r que pase por el pun-to exterior A.

4 Determina un punto interior en el triángulo ABC de la

de los otros dos lados.

5 En el triángulo anterior, determina un punto que equi-diste de los tres lados del triángulo; después haz lo mis-mo, pero en relación con sus tres vértices.

6 Determina un punto interior en el triángulo ABC de la B y C, forme un

triángulo.

SEGMENTOS7 Gráficamente, divide un segmento de 9 cm en siete

partes iguales.

8 Gráficamente, divide un segmento de 8 cm en dos par-

9 A partir de los segmentos m, n y pdetermina gráficamente el segmento (2m + 4n – 3p).

10

horizontal.

ÁNGULOS11 Determina la bisectriz del ángulo que forman las rectas

12

24

ACTIVIDADES

13 divídelo en tres ángulos iguales.

14 Con los ángulos , y de la figura 41, determina el ángulo (2 – 2 ).

17 Dibuja los tres segmentos poligonales con ayuda de

18 A partir del croquis adjunto obtén la figura 47. Cotas en milímetros.

15 Dibuja una poligonal como la de la figura 42 trasladan-do los ángulos con el compás.

16 Traslada, con ayuda del compás, la forma poligonal ABCDEFGH a la nueva posición determinada por el punto A’

19 Reproduce la siguiente figura 48 a partir de los datos del enunciado. Cotas en milímetros.

Cotas en milímetros

Cotas en milímetros

LUGARES GEOMÉTRICOS20 Localiza un punto P interior al triángulo ABC que equi-

diste de los lados AC y BC, de forma que el ángulo APB

21 Desde un barco se observan tres puntos de la costa, A, B y C. Se sabe que las visuales XA con XBy que la XB con XCen el mar del barco X

22 Determina gráficamente un punto P de manera que el ángulo APC BPC,

23 Una vía férrea recta se introduce por el centro de un túnel de 7 metros de ancho de extremos C y D. En una posición determinada «A», el maquinista observa los

-mente, desde otra posición «B» lo observa bajo un ángulo recto. Representa la longitud AB recorrida por

EJE DE LA VÍA

O B J E T I V O U N I V E R S I D A D

geometría hasta el siglo euclides de alejandría xix dibujo

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