geometr´ıa de los espacios eucl´ıdeos - upv/ehumtpalezp/mundo/ana2/cdi2cap1.pdfdados un punto p...

CALCULODIFERENCIALEINTEGRAL2,UPV/E

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Cap´ıtulo 1Geometrıa de los espacios euclıdeos

En este capıtulo introductorio recordamos los conceptos basicos de la geometrıa de los espacioseuclıdeos n-dimensionales, sus elementos llamados vectores, las operaciones con vectores y suspropiedades, ası como los conceptos topologicos de compacidad, convexidad, convergencia,etc.

1.1. Vectores. Operaciones con vectores

En este curso se estudian las funciones f : Rn ! Rm, es decir, funciones definidas sobre elespacio euclıdeo de dimension n

Rn = {(x1, . . . , xn) : xi 2 R, 1 i n},

y con imagen en el espacio analogo Rm de dimension arbitraria m.

Como la representacion grafica de estas funciones debe hacerse en el espacio Rn+m, debemosrecordar en primer lugar los resultados fundamentales de la geometrıa del espacio euclıdeoreal Rn.

Como es usual, estableceremos la equivalencia entre los puntos P = (x1, . . . , xn) de Rn y losvectores libres ~v = ~OP que unen el origen con el punto P .

Las operaciones basicas que se definen en el espacio Rn son las siguientes:

Suma de vectores. Dados ~v = (x1, . . . , xn), ~w = (y1, . . . , yn) 2 Rn,

~v + ~w = (x1 + y1, . . . , xn + yn

).

Multiplicacion por un escalar. Dados a 2 R, ~v = (x1, . . . , xn) 2 Rn,

a~v = (ax1, . . . , axn).

Con estas operaciones, Rn tiene estructura de espacio vectorial (de ahı que los elementosde Rn reciban el nombre de vectores, a diferencia de los elementos de R que llamaremosescalares).

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8 1.1. Vectores. Operaciones con vectores

Todo vector de ~v = (x1, . . . , xn) 2 Rn puede descomponerse de forma unica como combinacionlineal de los vectores

~e1 = (1, 0, . . . , 0), ~e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , ~en

= (0, 0, . . . , 1)

(los cuales corresponden a las direcciones de los ejes de coordenadas rectangulares), como~v = x1 ~e1 + · · ·+ x

n

~en

. Estos vectores forman lo que llamamos la base canonica de Rn.

Definicion. Dados ~v = (x1, . . . , xn), ~w = (y1, . . . , yn) 2 Rn, definimos el producto escalar de~v y ~w al numero real

h~v, ~wi = x1y1 + · · ·+ xn

yn

.

El producto escalar verifica las siguientes propiedades basicas:

i) h~v,~vi > 0 si ~v 6= 0.

ii) h~v,~vi = 0 si ~v = 0.

iii) h~v, ~wi = h~w,~vi, 8~v, ~w 2 Rn.

iv) ↵h~v, ~wi = h↵~v, ~wi = h~v,↵~wi, 8~v, ~w 2 Rn, ↵ 2 R.

v) h~u,~v + ~wi = h~u,~vi+ h~u, ~wi, 8~u,~v, ~w 2 Rn.

Llamamos norma de un vector ~v = (x1, . . . , xn) 2 Rn al numero real positivo

k~vk =ph~v,~vi =

qx21 + · · ·+ x2

n

.

Si ~v = ~OP , la norma de ~v representa la distancia del punto P al origen de coordenadas.

De forma analoga, se define la distancia entre dos puntos P y Q como

d(P,Q) = k ~OQ� ~OPk.

Las siguientes propiedades son resultados importantes.

Proposicion 1.1.1 (desigualdad de Cauchy-Schwarz). |h~v, ~wi| k~vk · k~wk, 8~v, ~w 2 Rn.

Demostracion. Dado � 2 R, como k�~v+ ~wk2 � 0, resulta que �2k~vk2 +2�h~v, ~wi+ k~wk2 � 0.Esto significa que h~v, ~wi2 � k~vk2 · k~wk2 0, lo que conduce al resultado.

Proposicion 1.1.2 (desigualdad triangular). k~v + ~wk k~vk+ k~wk, 8~v, ~w 2 Rn.

Demostracion. Si aplicamos la desigualdad anterior, tenemos que

0 k~v + ~wk2 = k~vk2 + 2h~v, ~wi+ k~wk2 k~vk2 + 2k~vk · k~wk+ k~wk2 = (k~vk+ k~wk)2,

con lo que basta sacar raıces cuadradas para llegar al resultado.

Proposicion 1.1.3 (teorema de Pitagoras). h~v, ~wi = 0 () k~v + ~wk2 = k~vk2 + k~wk2.


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Capıtulo 1. Geometrıa de los espacios euclıdeos 9

La demostracion es consecuencia directa del resultado anterior.

En el caso particular ~v, ~w 2 R2, si llamamos # al angulo que forman, el teorema de los cosenosafirma que

k~v � ~wk2 = k~vk2 + k~wk2 � 2k~vk · k~wk · cos#.

Al desarrollar el primer miembro, llegamos a

k~vk2 + k~wk2 � 2h~v, ~wi = k~vk2 + k~wk2 � 2k~vk · k~wk · cos#,

de lo que se deduce que h~v, ~wi = k~vk · k~wk · cos#.Esto sugiere la definicion de angulo entre dos vectores ~v, ~w 2 Rn como el numero # 2 [0,⇡]tal que

cos# =h~v, ~wi

k~vk · k~wk .

Esta definicion proporciona otra formula para el producto escalar de dos vectores:

h~v, ~wi = k~vk · k~wk · cos#.

En el caso de que # = ⇡/2, los vectores ~v y ~w son perpendiculares u ortogonales, en cuyocaso utilizamos la notacion ~v?~w. De la definicion deducimos que, en este caso, h~v, ~wi = 0.

En general, decimos que A ⇢ Rn es un conjunto ortogonal cuando h~v, ~wi = 0, 8~v, ~w 2 A.Si, ademas, todos los vectores son unitarios, decimos que A es un conjunto ortonormal. Asıpues, una base ortonormal de Rn es un conjunto ortonormal formado por n vectores. Es facilcomprobar que, dada una base ortonormal { ~u1, . . . , ~un}, todo vector ~x 2 Rn puede expresarsecomo ~x =

Pn

i=1 xi ~ui, donde xi

= h~x, ~ui

i, i = 1, . . . , n.

En el caso particular de R3 se define tambien el producto vectorial de dos vectores ~v =(x1, x2, x3) y ~w = (y1, y2, y3) como el siguiente vector:

~v ⇥ ~w = (x2y3 � x3y2, x3y1 � x1y3, x1y2 � x2y1) =

��

~i ~j ~kx1 x2 x3y1 y2 y3

��,

donde denotamos, como es usual, ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) y ~k = (0, 0, 1) a los vectoresunitarios de la base canonica en R3.

Destacaremos las siguientes propiedades basicas del producto vectorial:

i) ~v ⇥ ~v = 0, 8~v 2 R3.

ii) ~v ⇥ ~w = �(~w ⇥ ~v), 8~v, ~w 2 R3.

iii) (↵~u+ �~v)⇥ ~w = ↵(~u⇥ ~w) + �(~v ⇥ ~w), 8~u,~v, ~w 2 R3, ↵,� 2 R.

iv) h~v,~v ⇥ ~wi = h~w,~v ⇥ ~wi = 0, 8~v, ~w 2 R3.

Esto quiere decir que ~v ⇥ ~w es ortogonal a ambos vectores ~v y ~w.


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10 1.2. Curvas y superficies en R3

v) k~v ⇥ ~wk = k~vk · k~wk · sen↵, donde ↵ es el angulo entre ~v y ~w.

Esto indica que la norma de ~v ⇥ ~w mide el area del paralelogramo que determinan losvectores ~v y ~w (ver ejercicio 1.4).

Tambien en el espacio tridimensional definimos el producto mixto de tres vectores ~u =(x1, x2, x3), ~v = (y1, y2, y3), ~w = (z1, z2, z3) como el numero real dado por

[~u,~v, ~w] = h~u,~v ⇥ ~wi =

��

x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

��.

El producto mixto representa el volumen del paralelepıpedo cuyas aristas son los vectores ~u,~v y ~w.

En efecto, si la base del paralelepıpedo es el paralelogramos generado por los vectores ~u y ~v,como la altura es h = k~wk · cos↵, el volumen del paralelepıpedo tiene la formula

V = S · h = k~u⇥ ~vk · k~wk · cos↵ =��[~u,~v, ~w]

��.

1.2. Curvas y superficies en R3

Una ecuacion en tres variables F (x, y, z) = 0 representa geometricamente una superficie enel espacio euclıdeo tridimensional R3, mientras que una curva se obtiene como interseccion

de dos superficies,

⇢F (x, y, z) = 0G(x, y, z) = 0.

La ecuacion general de primer grado (o ecuacion lineal)

Ax+By + Cz +D = 0,

es la mas sencilla de las ecuaciones en tres variables y representa un plano que corta a losejes de coordenadas en los puntos (�D/A, 0, 0), (0,�D/B, 0), (0, 0,�D/C) (siempre que loscoeficientes A, B y C sean no nulos).

Planos en R3. Dados un punto P y dos vectores no paralelos ~v y ~w, definimos el plano quepasa por P y esta generado por ~v y ~w como el conjunto

{P + ↵~v + � ~w : ↵,� 2 R}.


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Distintas parametrizaciones de un mismo plano se obtienen utilizando un punto distinto a Po dos vectores ~v0 y ~w0 tales que

{↵~v + � ~w : ↵,� 2 R} = {↵~v0 + � ~w0 : ↵,� 2 R}

(es decir, el subespacio generado por ~v y ~w coincide con el generado por ~v0 y ~w0).

Otra forma de definir un plano es mediante un punto P del mismo y un vector ~u perpendicularal mismo, pues todo punto Q del plano verifica la condicion

h ~PQ, ~ui = 0.

Un tercer metodo es dar tres puntos del plano P1, P2, P3 no alineados, pues los vectores ~P1P2

y ~P1P3 generan dicho plano. Un punto generico P del plano verifica la ecuacion

[ ~P1P , ~P1P2, ~P1P3] = 0.

Del mismo modo, el sistema formado por dos ecuaciones de primer grado representa la rectainterseccion de los dos planos definidos por dichas ecuaciones.

Rectas en R3. Dados un punto P y un vector ~v 6= 0, definimos la recta que pasa por P ytiene la direccion de ~v como el conjunto

{P + ↵~v : ↵ 2 R}.

El vector ~v recibe el nombre de vector director (o vector direccional) de la recta.

Decimos que dos rectas son paralelas si sus vectores direccionales son paralelos. A diferenciade lo que sucede en R2, dos rectas que no son paralelas no necesariamente se cortan en algunpunto.

Una misma recta puede definirse utilizando puntos distintos a P o vectores paralelos a ~v, loque produce distintas parametrizaciones de la recta.

Tambien puede definirse una recta mediante dos puntos distintos P y Q, ya que el vector~v = ~OQ� ~OP es un vector direccional de la recta.

Otras superficies que utilizaremos frecuentemente en lo sucesivo son las cuadricas cuya ex-presion general, en su forma canonica, corresponde a un ecuacion de segundo grado en lasvariables x, y y z:

Ax2 +By2 + Cz2 +Dx+ Ey + Fz +G = 0.

Como regla general, las cuadricas se obtienen de las conicas haciendo girar estas alrededorde un eje y dilatando convenientemente uno de los ejes. La excepcion es el paraboloidehiperbolico (tambien llamado silla de montar). En las imagenes siguientes se muestran lasfiguras correspondientes a las distintas cuadricas y sus ecuaciones canonicas.


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12 1.2. Curvas y superficies en R3

x

y

z

x

y

z

xy

z

Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojasx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 �x2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 �x2

a2� y2

b2+

z2

c2= 1

x

y

z

x

y

z

Cono Paraboloide elıptico Paraboloide hiperbolico

z2 =x2

a2+

y2

b2z =

x2

a2+

y2

b2z =

x2

a2� y2

b2

xy

z

x

y

z

x

y

z

Cilindro elıptico Cilindro hiperbolico Cilindro parabolicox2

a2+

y2

b2= 1

x2

a2� y2

b2= 1 x2 = py


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1.3. Nociones de topologıa metrica

En la seccion 1.1 se ha definido la nocion de producto escalar de vectores en Rn, la cualpermitıa a su vez definir la norma de un vector y la distancia entre dos puntos. Ahora bien,esta forma de definir distancia entre dos puntos no es la unica posible.

Definicion. En general, se dice que una aplicacion d : Rn ⇥Rn ! R es distancia (o metrica)

cuando verifica los cuatro axiomas siguientes:

(1) d(~x, ~y) > 0 () ~x 6= ~y.

(2) d(~x, ~y) = 0 () ~x = ~y.

(3) d(~x, ~y) = d(~y, ~x), 8~x, ~y 2 Rn.

(4) d(~x, ~z) d(~x, ~y) + d(~y, ~z), 8~x, ~y, ~z 2 Rn (desigualdad triangular).

El par (Rn, d) recibe el nombre de espacio metrico.

Un ejemplo trivial de distancia en Rn es la aplicacion definida por

d(~x, ~y) =

(0 si ~x = ~y,

1 si ~x 6= ~y.

Definicion. Analogamente, toda aplicacion k·k : Rn ! R que verifique los siguientes axiomas:

(1) k~xk � 0, 8~x 2 Rn.

(2) k~xk = 0 () ~x = 0.

(3) k↵~xk = |↵| · k~xk, 8↵ 2 R, ~x 2 Rn.

(4) k~x+ ~yk k~xk+ k~yk, 8~x, ~y 2 Rn (desigualdad triangular).

recibe el nombre de norma, y el par (Rn, k · k) se llama espacio normado.

Dada una norma arbitraria k · k en Rn, la aplicacion d(~x, ~y) = k~x � ~yk es una distancia.Recıprocamente, dada una distancia d (con ciertas propiedades que no vamos a especificaraquı), la aplicacion k~xk = d(~x,O) es una norma.

Ejemplos de normas en Rn son las siguientes aplicaciones:

k(x1, . . . , xn)kp = (|x1|p + · · ·+ |xn

|p)1/p, 8p 2 [1,1);

k(x1, . . . , xn)k1 = max{|x1|, . . . , |xn|}

Es facil en todos los casos comprobar los tres primeros axiomas, pero no es tan sencillo de-mostrar la desigualdad triangular. En el ejercicio 1.6 proponemos la demostracion de estapropiedad para los casos extremos. Veremos aquı la prueba del caso general, resultado co-nocido como desigualdad de Minkowski. Para la demostracion necesitaremos dos resultadosprevios.


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14 1.3. Nociones de topologıa metrica

Lema 1.3.1 (desigualdad de Young). Si a, b 2 R y p, q > 1 verifican la identidad 1/p+1/q =1, entonces

|a| · |b| |a|p

p+

|b|q

q.

Demostracion. Debemos recordar, en primer lugar, que la funcion exponencial f(x) = ex esconvexa, de modo que

f((1� t)x+ ty) (1� t)f(x) + tf(y), 8x, y 2 R, t 2 [0, 1].

Basta sustituir en la desigualdad anterior los valores t = 1/q, x = p · ln |a|, y = q · ln |b| paraobtener la desigualdad deseada.

Proposicion 1.3.2 (desigualdad de Holder). Dados dos vectores arbitrarios x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , yn), si p, q > 1 verifican la identidad 1/p+ 1/q = 1, entonces

nX

i=1

|xi

| · |yi

| ⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

·⇣ nX

i=1

|yi

|q⌘1/q

.

Demostracion. Llamamos A =⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

y B =⇣ nX

i=1

|yi

|q⌘1/q

, y suponemos que A 6= 0

y B 6= 0 (en caso contrario, la desigualdad es evidente). Llamamos tambien ui

= xi

/A y

vi

= yi

/B. Ası definidos, esta claro quenX

i=1

|ui

|p =nX

i=1

|vi

|p = 1.

Por la desigualdad de Young,

|ui

| · |vi

| |ui

|p

p+

|vi

|q

q,

de dondenX

i=1

|ui

| · |vi

| nX

i=1

|ui

|p

p+

nX

i=1

|vi

|q

q=

1

p+

1

q= 1.

De aquı se deduce inmediatamente la desigualdad buscada.

Proposicion 1.3.3 (desigualdad de Minkowski). Dados x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) 2Rn,

⇣ nX

i=1

|xi

+ yi

|p⌘1/p

⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

+⇣ nX

i=1

|yi

|p⌘1/p

.

Demostracion. A partir de la desigualdad triangular en R, podemos descomponer

nX

i=1

|xi

+ yi

|p =nX

i=1

|xi

+ yi

| · |xi

+ yi

|p�1 nX

i=1

|xi

| · |xi

+ yi

|p�1 +nX

i=1

|yi

| · |xi

+ yi

|p�1,


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y aplicamos a cada sumando la desigualdad de Holder. Teniendo en cuenta que q(p� 1) = p,resulta que

nX

i=1

|xi

+ yi

|p ⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

·⇣ nX

i=1

|xi

+ yi

|q(p�1)⌘1/q

+⇣ nX

i=1

|yi

|p⌘1/p

·⇣ nX

i=1

|xi

+ yi

|q(p�1)⌘1/q

=

"⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

+⇣ nX

i=1

|yi

|p⌘1/p

#·⇣ nX

i=1

|xi

+ yi

|p⌘1/q

.

En definitiva,⇣ nX

i=1

|xi

+ yi

|p⌘1�1/q

⇣ nX

i=1

|xi

|p⌘1/p

+⇣ nX

i=1

|yi

|p⌘1/p

,

lo que demuestra la desigualdad triangular.

Definicion. Decimos que dos normas cualesquiera k·k1 y k·k2 definidas en Rn son equivalentes

cuando9a, b > 0 : ak~vk1 k~vk2 bk~vk1, 8~v 2 Rn.

Una propiedad interesante es que todas las normas definidas en Rn son equivalentes (verejercicio 2.3.16).

Enumeramos a continuacion algunas nociones topologicas en un espacio metrico (Rn, d) y suspropiedades basicas.

Definiciones.

1) Sean ~a 2 Rn, r > 0; se llama bola abierta de centro ~a y radio r al conjunto

B(~a, r)�= B

r

(~a)�= {~v 2 Rn : d(~v,~a) < r}.

Analogamente se definen las correspondientes bolas cerradas

B(~a, r) = {~v 2 Rn : d(~v,~a) r}

y las esferasS(~a, r) = {~v 2 Rn : d(~v,~a) = r}.

Un sencillo argumento geometrico muestra que

B(~a, r) = ~a+ r ·B(O, 1).

La bola B(O, 1) de centro el origen y radio 1 es la llamada bola unidad del espacio metrico.

2) Dado un subconjunto A ⇢ Rn, se dice que ~a 2 A es punto interior de A si existe r > 0 talque B(~a, r) ⇢ A. Se llama interior de A al conjunto

intA = {~a 2 A : ~a es punto interior de A}.

Si intA = A, A se dice abierto. Por ejemplo, las bolas abiertas son siempre conjuntosabiertos (ver ejercicio 1.10). El conjunto vacıo y el espacio Rn son tambien conjuntosabiertos. Ademas, la union arbitraria de conjuntos abiertos es abierto y la interseccionfinita de conjuntos abiertos es abierto.


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3) Dado ~a 2 Rn, se llama entorno de ~a a cualquier subconjunto S ⇢ Rn tal que existe r > 0con B(~a, r) ⇢ S.

De la definicion se deduce que un conjunto es abierto si es entorno de todos sus puntos.Es evidente que cualquier interseccion finita de entornos de un punto es un entorno delpunto. Ademas, dados dos puntos distintos, existen entornos de dichos puntos que sondisjuntos (ver ejercicio 1.11).

4) Dado un subconjunto A ⇢ Rn, un vector ~x 2 Rn es punto exterior de A si

9r > 0, B(~x, r) ⇢ Ac

(lo que equivale a decir que B(~x, r) \A = ;).Denotaremos por extA al conjunto de los puntos exteriores de A.

5) Analogamente, un vector ~x 2 Rn es punto frontera de A si

8r > 0, B(~x, r) \A 6= ; y B(~x, r) \Ac 6= ;.

El conjunto de los puntos frontera de A lo denotaremos por frA.

6) Un vector ~x 2 A es punto aislado de A si

9r > 0,�B(~x, r) \ {~x}

�\A = ;.

7) Dado un subconjunto A ⇢ Rn, un vector ~x 2 Rn es punto de adherencia de A si

8r > 0, B(~x, r) \A 6= ;.

El conjuntoA = {~x 2 Rn : ~x es punto de adherencia de A}

se llama clausura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las bolas cerradasson los primeros ejemplos de conjuntos cerrados (ver ejercicio 1.10). Tambien los rectangu-los [a1, b1]⇥ [a2, b2] son cerrados en R2. En general, los n-intervalos [a1, b1]⇥ [a2, b2]⇥ · · ·⇥[a

n

, bn

] son cerrados en Rn.

De la definicion se deduce facilmente que un conjunto es cerrado si y solo si su complemen-tario es abierto. Esto implica que el conjunto vacıo y el espacio Rn son tambien conjuntoscerrados. Ademas, la interseccion arbitraria de conjuntos cerrados es cerrado y la unionfinita de conjuntos cerrados es cerrado.

8) Dado un subconjunto A ⇢ Rn, un vector ~x 2 Rn es punto de acumulacion de A si

8r > 0,�B(~x, r) \ {~x}

�\A 6= ;.

Es facil probar a partir de la definicion que los conjuntos finitos no tienen puntos deacumulacion.

El conjuntoA0 = {~x 2 Rn : ~x es punto de acumulacion de A}

recibe el nombre de conjunto derivado de A. Se puede probar tambien que un conjunto Aes cerrado si y solo si A0 ⇢ A (ver ejercicio 1.12).


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9) Un conjunto A ⇢ Rn es acotado si

9r > 0 : A ⇢ B(O, r).

Teorema 1.3.4 (Bolzano-Weierstrass). Si A ⇢ Rn es un conjunto infinito y acotado,entonces A0 6= ;.

Demostracion. Veamos primero el caso n = 1. Si A es acotado, existe a > 0 tal queA ⇢ [�a, a]. Como A es infinito, alguno de los intervalos [�a, 0] o [0, a], que llamaremos[a1, b1], contiene un subconjunto infinito de A.

Al dividir [a1, b1] en dos partes iguales, alguno de los intervalos, digamos [a2, b2], contieneun subconjunto infinito de A.

De forma recurrente, llegamos a una sucesion ([an

, bn

])n2N, donde b

n

� an

= a/2n�1, conlo que sup a

n

= ınf bn

= x. Veamos que x 2 A0.

Dado r > 0, existe n 2 N tal que [an

, bn

] ⇢ B(x, r) pues basta que bn

� an

< r/2. Porconstruccion, B(x, r) contiene algun punto de A distinto de x.

Con respecto al caso general, si A es acotado, existe a > 0 tal que A ⇢ B(0, a). Por tanto,A ⇢ J1, donde J1 = {(x1, . . . , xn) : �a x

k

a, k = 1 . . . , n}.

Podemos escribir J1 = I(1)1 ⇥· · ·⇥I(1)n

, donde I(1)k

= {xk

2 R : �a xk

a} (k = 1, . . . , n)

y dividir cada I(1)k

en dos subintervalos

I(1)k,1 = {x

k

2 R : �a xk

0}, I(1)k,2 = {x

k

2 R : 0 xk

a}, k = 1, . . . , n.

Consideramos los 2n n-intervalos de la forma

I(1)1,k1⇥ I(1)2,k2

⇥ · · ·⇥ I(1)n,k

n

, ki

= 1 o 2.

Como su union es J1, alguno de ellos, que llamaremos J2, contiene un subconjunto infinitode A.

Nuevamente, podemos escribir J2 = I(2)1 ⇥ · · ·⇥ I(2)n

, donde cada I(2)k

es algun subintervalo

de I(1)k

de longitud a.

Repitiendo el proceso de dividir cada I(2)k

en dos partes iguales y construyendo un intervaloJ3 que contenga un subconjunto infinito de A, y ası sucesivamente, obtenemos una sucesion

de n-intervalos (Jm

)m2N tal que J

m

= I(m)1 ⇥ · · ·⇥ I(m)

n

, con I(m)k

⇢ I(1)k

, de modo que, si

I(m)k

= [a(m)k

, b(m)k

], entonces b(m)k

� a(m)k

= a/2m�2, k = 1, . . . ,m.

Para cada k fijo, supm

a(m)k

= ınfm

b(m)k

= zk

. Entonces z = (z1, . . . , zn) es un punto deacumulacion de A porque, dada una bola B(z, r), si hacemos m 2 N tal que a/2m�2 < r/2,entonces z 2 J

m

⇢ B(z, r). Como Jm

contiene infinitos puntos de A, tambien lo haraB(z, r).

El siguiente resultado es consecuencia del teorema anterior.

Teorema 1.3.5 (encaje de Cantor). Sea (Qk

)k2N una sucesion de conjuntos cerrados y

no vacıos de Rn tales que Qk+1 ⇢ Q

k

(k 2 N) y Q1 esta acotado. EntoncesT

k2NQk

escerrado y no vacıo.


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Demostracion. Llamamos A =T

k2NQk

el cual es cerrado (por ser interseccion numerablede cerrados). Si algun Q

k

es finito, es evidente que A 6= ;.Podemos suponer, por tanto, que todos los conjuntos Q

k

contienen infinitos puntos. Cons-truimos el conjunto Q = {x1, x2, . . . }, donde x

k

2 Qk

, 8k 2 N, y xk

6= xj

si k 6= j. ComoQ es infinito y Q ⇢ Q1, por el teorema anterior, tendra un punto de acumulacion, quellamaremos x. Ası pues, cada entorno de x contiene infinitos puntos de Q. Como todos,salvo un numero finito, los puntos de Q estan en Q

k

, x es tambien punto de acumulacionde Q

k

. Al ser Qk

cerrado, x 2 Qk

, para todo k 2 N, es decir x 2 A.

10) Una familia {Ai

}i2I de conjuntos se llama recubrimiento de un conjunto A cuando A ⇢S

i2I Ai

. Dado un recubrimiento {Ai

}i2I de A, se llama sub-recubrimiento a todo recubri-

miento {Ai

}i2J tal que J ⇢ I.

Un conjunto es compacto si de todo recubrimiento por abiertos se puede extraer un sub-recubrimiento finito (esta es la llamada propiedad de Borel-Lebesgue).

Ası, por ejemplo, en R con la metrica usual, el intervalo abierto (0, 1) no es compacto puesdel recubrimiento {(1/n, 1), n 2 N} no se puede extraer ningun sub-recubrimiento finito.Sin embargo, cualquier conjunto finito de Rn es compacto.

Una importante caracterizacion de los conjuntos compactos es la siguiente:

Teorema 1.3.6. Dado A ⇢ Rn, las siguientes proposiciones son equivalentes.

a) A es compacto.

b) A es cerrado y acotado.

c) Todo subconjunto infinito de A tiene un punto de acumulacion en A.

Demostracion. La implicacion b) =) a) corresponde al teorema de Heine-Borel cuyademostracion no daremos aquı (ver por ejemplo, [Ap]).

Para probar que a) =) b), dado x 2 A, la coleccion {B(x, k) : k 2 N} es un recu-brimiento por abiertos de A. Por hipotesis, existe un sub-recubrimiento finito, es decirA ⇢

Sp

k=1B(x, k) = B(x, p), de modo que A es acotado.

Si A no fuera cerrado, existirıa y 2 A0 pero y 62 A. Dado x 2 A, sea rx

= kx � yk/2.La coleccion {B(x, r

x

) : x 2 A} es un recubrimiento por abiertos de A, por tanto existep 2 N tal que A ⇢

Sp

k=1B(xk

, rk

). Si llamamos r = mın{r1, . . . , rp}, veamos que B(y, r)\B(x

k

, rk

) = ;, 8k = 1, . . . , p.

En efecto, sea z 2 B(y, r). Entonces kz�yk < r rk

, de donde ky�xk

k ky�zk+kz�xk

k,con lo que

kz � xk

k � ky � xk

k � kz � yk = 2rk

� kz � yk > rk

,

es decir z 62 B(xk

, rk

).

Ası pues, B(y, r) \ A = ;, lo que contradice que y es punto de acumulacion de A. Endefinitiva, A es cerrado.

Veamos ahora que b) =) c). Si M ⇢ A, entonces M esta acotado. Por el teorema deBolzano-Weierstrass 1.3.4, tiene un punto de acumulacion, x 2 M 0, de modo que x 2 A0.Por ser cerrado, x 2 A.


HU


Por ultimo, veamos que c) =) b). Si A no esta acotado, dado m 2 N, existe xm

2 A talque kx

m

k > m. La sucesion M = {x1, x2, . . . } es un subconjunto infinito de A de modoque tiene un punto de acumulacion en A, que llamaremos y. Si hacemos m > 1 + kyk,entonces

kxm

� yk � kxm

k � kyk > m� kyk > 1,

lo que es una contradiccion.

Queda comprobar que A es cerrado. Para ello, sea x un punto de acumulacion de A.Elegimos la sucesion M = {x1, x2, . . . } de puntos distintos x

k

2 A y kx� xk

k < 1/k. Deeste modo, x es tambien punto de acumulacion de M . Por ser M un subconjunto infinitode A, tiene un punto de acumulacion en A. Veamos que x es el unico punto de acumulacionde M .

Si fuera y 6= x, llamamos r = ky�xk/2. Entonces ky�xk ky�xk

k+kxk

�xk, 8xk

2 M ,de donde

ky � xk

k � ky � xk � kxk

� xk > 2r � 1/k.

Elegimos k0 2 N de modo que 1/k < r, para todo k � k0. De este modo, ky � xk

k > r,8k � k0. Esto prueba que x

k

62 B(y, r), si k � k0, de modo que y no puede ser punto deacumulacion de M .

11) Un conjunto A ⇢ Rn es no conexo si existen dos conjuntos X,Y abiertos tales que

X \A 6= ;, Y \A 6= ;, (X \A) \ (Y \A) = ;, (X \A) [ (Y \A) = A.

En caso contrario, decimos que A es conexo.

Por ejemplo, todos los intervalos de R son conjuntos conexos (de hecho, son los unicosconjuntos conexos en R). En general, las bolas B(~a, r) son conjuntos conexos en Rn.

1.4. Sucesiones en Rn

Definicion. Dada una sucesion ( ~xk

)k2N de puntos de Rn, se dice que converge al punto

~x 2 Rn, y se escribe ~xk

! ~x, cuando

8r > 0, 9N : ~xk

2 B(~x, r), 8k � N.

El punto ~x recibe el nombre de lımite de la sucesion.

La condicion anterior equivale a que la sucesion de numeros reales {d( ~xk

, ~x)}k2N converge a

cero.

Definicion. Una sucesion ( ~xk

)k2N en Rn es acotada cuando

sup{d( ~xk

, ~xj

) : k, j 2 N} < 1.

Las siguientes propiedades son consecuencias sencillas de estas definiciones.

Proposicion 1.4.1. Si ( ~xk

)k2N es convergente, entonces esta acotada y su lımite es unico.


HU

20 1.4. Sucesiones en Rn

Demostracion. Haciendo " = 1, sabemos que existe N 2 N tal que d( ~xk

, ~x) < 1, 8k � N .Por otra parte, para los valores k < N, existe a = max{d( ~x1, ~x), . . . , d( ~x

N�1, ~x)}. Entoncesd( ~x

k

, ~x) 1 + a, 8k y d( ~xk

, ~xj

) 2(1 + a), 8k, j.Si ~x

k

! ~x, ~xk

! y, entonces 0 d(~x, ~y) d(~x, ~xk

) + d( ~xk

, ~y) ! 0.

Proposicion 1.4.2. Si ~xk

! ~x, ~yk

! ~y, entonces d( ~xk

, ~yk

) ! d(~x, ~y).

Demostracion. Por la desigualdad triangular,

d( ~xk

, ~yk

) d( ~xk

, ~x) + d(~x, ~y) + d(~y, ~yk

).

Entonces |d( ~xk

, ~yk

)� d(~x, ~y)| d( ~xk

, ~x) + d(~y, ~yk

) ! 0.

Proposicion 1.4.3. Dada la sucesion ( ~xk

)k2N, ~x

k

! ~x si y solo si todas las subsucesionesde ( ~x

k

)k2N convergen a ~x.

Demostracion. Supongamos que ~xk

! ~x. Por hipotesis, para cada " > 0, existe N 2 N talque d( ~x

k

, ~x) < ", para todo k � N . Si ( ~xk

j

)j2N es una subsucesion arbitraria, existe M 2 N

tal que kj

� N para j � M , con lo que d( ~xk

j

, ~x) < ".

El recıproco es trivial.

Proposicion 1.4.4. Dada la sucesion ( ~xk

)k2N de puntos de Rn, ~x

k

! ~x = (x1, . . . , xn) si ysolo xk

i

! xi

para todo i = 1, . . . , n, donde ~xk

= (xk1, . . . , xk

n

).

Demostracion. Si ~xk

! ~x, entonces k ~xk

� ~xk ! 0. Como |xki

� xi

| kxk

� xk, entonces|xk

i

� xi

| ! 0 para todo i = 1 . . . , n.

Recıprocamente, si |xki

�xi

| ! 0 para todo i, como k ~xk

�~xk n·max{|xki

�xi

| : i = 1, . . . , n},entonces k ~x

k

� ~xk ! 0.

Definicion. Una sucesion ( ~xk

)k2N es de Cauchy cuando 8" > 0, 9N : d( ~x

k

, ~xj

) < ", 8k, j �N.

Es facil comprobar que toda sucesion convergente es de Cauchy. El recıproco tambien es cier-to en Rn (basta aplicar el resultado en R y la proposicion 1.4.4), pero no lo es en cualquierespacio metrico.

Muy util en lo sucesivo seran las siguientes caracterizaciones de la clausura y del derivado deun conjunto.

Proposicion 1.4.5. ~x 2 A () 9( ~xk

)k2N ⇢ A tal que ~x

k

! ~x.

Demostracion. Si ~x 2 A, por definicion, B(~x, 1/k) \ A 6= ;, 8k 2 N. Elegimos un punto~xk

2 B(~x, 1/k) \A. Esta claro que ~xk

! ~x porque d( ~xk

, ~x) < 1/k.

Recıprocamente, si ~xk

! ~x con ~xk

2 A, dado cualquier r > 0, existeN(r) tal que ~xk

2 B(~x, r),8k � N(r), de donde B(~x, r) \A 6= ;.

Corolario 1.4.6. Un conjunto A es cerrado si y solo si dada cualquier sucesion ( ~xk

)k2N

contenida en A y ~xk

! ~x, entonces ~x 2 A.


HU


Teorema 1.4.7. Un conjunto A es compacto si y solo si toda sucesion ( ~xk

) ⇢ A tiene algunasubsucesion convergente en A.

Demostracion. Supongamos en primer lugar que A es compacto y sea ( ~xk

) ⇢ A.

Si ( ~xk

) es finita, existe k0 2 N tal que ~xp

= ~xq

= ~x, 8p, q � k0. Por tanto, lım ~xk

= ~x 2 A.

Si ( ~xk

) es infinita, por hipotesis existe ~x 2 A0 \A, lo que significa que existe una subsucesion( ~x

k

j

) que converge a ~x.

Recıprocamente, sea A ⇢ Rn un conjunto infinito (si fuera finito, serıa compacto). DadoB ⇢ A infinito, existe {~s1, . . . , ~s

k

, . . . } ⇢ B. Por hipotesis, existe una subsucesion ( ~sk

j

) talque ~s

k

j

! ~p 2 B. Como ~p 2 B0 y B ⇢ A, entonces A es compacto.

Proposicion 1.4.8. Dados ~x 2 Rn y A ⇢ Rn, son equivalentes:

i) ~x 2 A0,

ii) 9( ~xk

)k2N ⇢ A, ~x

k

6= ~x, tal que ~xk

! ~x.

Demostracion. Si ~x 2 A0, 8k 2 N, 9 ~xk

2 B(~x, 1/k) \ A, ~xk

6= ~x. Como k ~xk

� ~xk < 1/k,entonces ~x

k

! ~x.

Recıprocamente, dado r > 0, existe k0 tal que ~xk

2 B(~x, r), 8k � k0, de donde B(~x, r)\A 6= ;.Como ademas ~x

k

6= ~x, ~x 2 A0.

1.5. Ejercicios

Ejercicio 1.1. Si consideramos el espacio R3 con la norma euclıdea, ¿cuales de las siguientespropiedades son ciertas y por que?

a) k~v + ~wk = k~vk+ k~wk.

b) |h~v, ~wi| = k~vk · k~wk.

c) Si k~vk · k~wk = h~v, ~wi, entonces ~v?~w.

d) h~v,~v ⇥ ~wi = 0.

e) Si k~vk · k~wk = k~v ⇥ ~wk, entonces ~v?~w.

f) Si ~v, ~w 2 R3, entonces k~vk2 · k~wk2 = (h~v, ~wi)2 + k~v ⇥ ~wk2.

g) h~a,~bi = h~a,~ci =) ~b = ~c.

h) ~a?~b () k~a+~bk = k~a�~bk.

i) Si [~a,~b,~c] = 0, entonces ~a = ~b o ~a = ~c o ~b = ~c.

j) (~a⇥~b)⇥ ~c = ~a⇥ (~b⇥ ~c).

k) Si ~a 6= 0,~b 6= ~0, la ecuacion ~a⇥ ~x = ~b tiene solucion unica.


HU

22 1.5. Ejercicios

l) Tres vectores ~a,~b,~c estan en el mismo plano que pasa por el origen si y solo si existen↵,�, � no todos nulos tales que ↵~a+ �~b+ �~c = ~0.

m) El vector ~v = k~ak~b+ k~bk~a biseca el angulo entre ~a y ~b.

Ejercicio 1.2. Dados dos vectores ~u, ~v en R3, describir:

a) El conjunto de puntos en el interior del paralelogramo definido por ~u y ~v.

b) Los puntos del interior del triangulo de vertices el origen y los extremos de ~u y ~v.

c) Los puntos en el interior del angulo definido por ~u y ~v.

Ejercicio 1.3. a) Probar que |h~x, ~yi| = k~xk · k~yk si y solo si existe � 2 R tal que ~x = �~y.

b) Probar que k~x+ ~yk = k~xk+ k~yk si y solo si existe � > 0 tal que ~x = �~y.

Ejercicio 1.4. Hallar el area del triangulo de vertices A(0, 1, 0), B(�1, 1, 2) y C(2, 1,�1).

Ejercicio 1.5. Se consideran los vectores ~u = 3~i�~j � 2~k, ~v =~i+ 2~j � 3~k.

a) Hallar el angulo entre ellos.

b) Calcular la proyeccion de ~u sobre ~v.

c) Si se definen los cosenos directores de un vector como los cosenos de los angulos que elvector forma con los vectores coordenados ~i, ~j, ~k, calcular los cosenos directores de ~u y ~v.

Ejercicio 1.6. Probar que las siguientes aplicaciones son normas en Rn:

a) k(x1, . . . , xn)k1 = |x1|+ · · ·+ |xn

|.

b) k(x1, . . . , xn)k1 = max{|xi

| : 1 i n}.

Representar graficamente sus respectivas bolas unitarias.

Ejercicio 1.7. Dibujar las regiones siguientes e indicar si son conjuntos abiertos o cerrados:

a) A = {(x, y) 2 R2 : |x| 1, |y| 1}.

b) B = {(x, y) 2 R2 : y > x2, |x| < 2}.

c) C = {(x, y) 2 R2 : xy < 1}.


HU


d) D = {(x, y) 2 R2 : x 6= 0, y 6= 0}.

e) E = {(x, y) 2 R2 : x � 0, y � 0, x+ y < 1}.

Ejercicio 1.8. Se consideran los siguientes conjuntos:

a) A = {(x, y) 2 R2 : x 6= 0, y 6= 0}.

b) B = {(x, y) 2 R2 : y = 2x+ 5}.

c) C = {(x, y) 2 R2 : 0 x 1, y = x}.

d) D = {(x, y) 2 R2 : x > 1, y � 2}.

i) Determinar si son abiertos y conexos.

ii) Calcular el interior, frontera y exterior de cada conjunto, ası como su clausura y suconjunto derivado.

iii) Determinar si son acotados y compactos.

Ejercicio 1.9. Si A ⇢ Rn es abierto y B ⇢ Rn es cerrado, probar que A \ B es abierto yB \A es cerrado.

Ejercicio 1.10. Probar que toda bola abierta es un conjunto abierto y que toda bola cerradaes un conjunto cerrado.

Ejercicio 1.11. Sean ~x, ~y 2 Rn dos puntos distintos. Probar que existen V (~x), V (~y) entornosde ~x e ~y, respectivamente, tales que V (~x) \ V (~y) = ;.

Ejercicio 1.12. Probar que A es cerrado si y solo si A0 ⇢ A.

Ejercicio 1.13. Sea ( ~xk

)k2N una sucesion en Rn con la siguiente propiedad:

Existe ↵ 2 (0, 1) tal que k ~xk+2 � ~x

k+1k ↵k ~xk+1 � ~x

k

k, 8k 2 N.

Probar que ( ~xk

)k2N es convergente.

geometr´ıa de los espacios eucl´ıdeos - upv/ehumtpalezp/mundo/ana2/cdi2cap1.pdfdados un punto p...

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