geometría conforme y teorema de uniformización

Universidad de Los Andes

Tesis de grado

Geometría conforme y teorema de

uniformización

Sergio Alejandro Medrano Díaz

Asesor: Jonatan Torres Orozco Román

Coasesor: Jean Carlos Cortissoz Iriarte

Bogotá, Colombia

2021

3

Índice general

1. Preliminares 9

1.1. Aplicaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Conceptos de curvatura en superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Propiedades de conexidad en espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Transformaciones de Möbius y los modelos de la geometría hiperbólica 29

2.1. Transformaciones de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2. Superficie de curvatura constante negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3. Modelo del semiplano superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4. Modelo del disco de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3. Grupo fundamental y espacios recubridores 43

3.1. El grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. Espacios recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. El grupo fundamental del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4. Equivalencia de espacios recubridores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Espacio recubridor universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. Uniformización 59

4.1. Teorema de representación conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Espacios recubridores en superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Teorema de uniformización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Flujo de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5

Introducción

La geometría conforme es el estudio de las transformaciones del espacio que preservan ángulos (trans-

formaciones conformes). Para el caso particular de dos dimensiones, los espacios que se consideran son las

superficies de Riemann, ya que estas, por su definición, son los objetos naturales para estudiar estas trans-

formaciones. El concepto en el que reside la importancia de las superficies de Riemann es la diferenciabilidad

compleja. Una función diferenciable en el sentido complejo, llamada función holomorfa, tiene consecuencias

mucho más fuertes que la diferenciabilidad en el caso real. Si una función de variable compleja es diferencia-

ble en el sentido complejo, entonces la función tiene derivadas de cualquier orden, lo cual dista mucho de la

diferenciación en el caso real. Gracias a esto, toda función holomorfa coincide con su representación en serie

de Taylor en una vecindad de los puntos donde es diferenciable.

Otra característica de la diferenciabilidad compleja es que toda función holomorfa f , cuya derivada no se

anula, es una transformación conforme, es decir, una transfomación del plano complejo que preserva ángulos.

Específicamente esto quiere decir que para cualquier par de curvas definidas sobre el plano complejo que se

intersecten en cierto ángulo φ, se tiene que las imágenes de estas curvas bajo f , son otro par de curvas que se

intersectan en el mismo ángulo φ. Por lo tanto, una importante parte de la estructura geométrica se preserva

después de aplicar una transformación conforme.

En ese sentido, las superficies de Riemann se vuelven de gran interés ya que son variedades que localmente

se asemejan a los abiertos del plano complejo, y por lo tanto, se puden definir funciones holomorfas entre

ellas. Toda superficie de Riemann puede ser identificada con una superficie real, con la diferencia de que la

primera tiene ciertas propiedades geométricas adicionales (gracias a su estructura compleja). Una estructura

compleja de una superficie general es más flexible que una estructura métrica Riemanniana y más rígida que

una estructura topológica. Trata las deformaciones del espacio que no admite la geometría Riemanniana,

pero preserva grán cantidad de información geométrica que por medio de métodos topológicos se perdería.

Desde un punto de vista práctico, la geometría conforme ofrece poderosas herramientas para trabajar

6 Índice general

una amplia gama de problemas geométricos de la vida real. Esto gracias a que toda superficie de la vida

real es una superficie de Riemann que admite una estructura conforme. Algunos de estos problemas son:

Teselado de superficies, deformación geométrica, emparejamiento de imágenes, clasificación de superficies,

entre otros. El poder de la geometría conforme proviende del siguiente hecho: Toda superficie de la vida real

puede ser deformada en una de las tres formas canónicas: La esfera, el plano o el disco. La deformación

preserva ángulos y está determinada por un pequeño número de parámetros. En ese sentido, todo problema

geométrico en el espacio euclídeo tridimensional puede ser transformado a un problema geométrico dos-

dimensional en el plano, lo cual reduce drásticamente su complejidad es muchos casos. Lo anterior se tiene

gracias a un teorema conocido como “el teorema de uniformización”. El objetivo de este trabajo será establecer

los conceptos necesarios para entender y demostrar este importante hecho.

La primera herramienta importante para establecer este hecho es el teorema de la representación conforme

de Riemann, o Riemann Mapping Theorem como se conoce en inglés, el cual establece que todo dominio

simplemente conexo del plano complejo puede ser enviada al disco unitario por medio de una aplicación

conforme. Más aún, si D es el disco unitario, para cada abierto U ⊂ C y para cada punto z0 ∈ U existe una

única aplicación conforme f : U → D tal que f(z0) = 0 y f ′(z0) > 0. En general, un dominio simplemente

conexo en el plano puede llegar a ser extremadamente complicado, incluso se podría tener el caso en que

la frontera es una curva no diferenciable en ningún punto. El hecho de que tal dominio puede ser enviado

al disco unitario por medio de una aplicación que preserva ángulos, es de gran utilidad para la solución de

problemas geométricos de superficies tridimensionales.

Resulta ser que el disco abierto unitario D admite cierta geometría particular que nos permite medir

distancias y ángulos entre curvas de manera diferente a como se hace regularmente en la geometría Euclidiana.

De este modo, las superficies que son enviadas al disco admiten también este tipo de geometría conocida como

la geometría hiperbólica. Al negar el quinto postulado de Euclides (el postulado de las paralelas) se da origen

a las geometrías no euclidianas. En particular, la geometría hiperbólica, surge de dotar el semiplano superior

complejo H con una métrica de curvatura constante negativa K = −1, la cual proviene de la pseudoesfera

(superficie de revolución de curvatura k = −1). Con esta métrica, las geodésicas en H son las semirectas

paralelas al eje imaginario y los semicírculos con centro en el eje real. En este espacio, el quinto postulado

de Euclides se transforma en lo siguiente: “Por un punto exterior a una recta, pasan infinitas rectas paralelas

a la primera.” Para facilitar algunos resultados de la geometría hiperbólica, se usan diferentes modelos del

plano hiperbólico. Uno de ellos es el modelo del disco de Poincaré, el cual se obtiene mediante una isometría

Índice general 7

P entre H y el disco unitario D.

Existe una noción de recubrimiento para algunos espacios topológicos conocidos como el espacio recu-

bridor universal. Aplicado a superficies de Riemann, el espacio recubridor universal preserva localmente la

geometría de la superficie que recubre. El teorema de uniformización estrictamente clasifica los espacios re-

cubridores y determina qué geometrías admite cada uno de ellos. Sin embargo, no es inmediatamente claro

cuál recubrimiento corresponde con cuál superficie. Para ello, El teorema de Gauss-Bonnet nos proporciona

una solución a este problema de clasificación mediante un sencillo método que únicamente pide información

topológica de la superficie. De este modo, es posible conocer propiedades geométricas de una superficie de

Riemann partiendo de información meramente topológica, de ahí su importancia.

En el primer capítulo de este trabajo de grado estableceremos la base conceptual de lo que se estudiará

en los capítulos posteriores. Para ello, definiremos lo que es una aplicación conforme y estableceremos su

equivalencia con las funciones holomorfas. Recordaremos algunos resultados importantes del análisis complejo

como el teorema de Liouville. Definiremos el concepto de primera forma fundamental, el cual permite definir

una geometría interna de una superficie. Hablaremos del concepto de curvatura y por último recordaremos

algunos conceptos básicos de topología.

En el segundo capítulo veremos todo lo relacionado con geometría hiperbólica. Definiremos las transforma-

ciones de Möbius, cuales son precisamente las aplicaciones conformes del plano complejo extendido. Veremos

el espacio resultante de considerar una superficie con curvatura constante negativa, su representación como

el semiplano superior y la isometría entre el semiplano y el disco que permite definir del modelo de geometría

hiperbólica del disco de Poincaré.

En el tercer capítulo repasaremos todos los conceptos de topología algebraica necesarios para llegar al

espacio recubridor universal. Definiremos lo que son las homotopías y homotopías por caminos, el grupo

fundamental de un espacio topológico, los espacios recubridores junto con su estrecha relación con los grupos

fundamentales, y estableceremos las condiciones necesarias y suficientes para que un espacio topológico posea

un recubrimiento universal.

Por último, en el capítulo cuatro, estudiaremos los resultados que motivan este trabajo. Veremos ciertas

características importantes de los espacios recubridores de las superficies de Riemann y demostraremos los

resultados centrales de esta tesis de grado, el teorema de representeación conforme de Riemann y el teorema

8 Índice general

de uniformización.

9

Capítulo 1

Preliminares

1.1. Aplicaciones conformes

Definición 1.1.1. Sea U ⊂ C un dominio abierto conteniendo a z0 y sea f : U → C una función de variable

compleja. La función f se dice holomorfa en un punto z0 si es complejo-diferenciable en z0, es decir, si el

límite

lımh→∞

f(z0 + h)− f(z0)

h= f ′(z0)

existe, para h ∈ C diferente de cero y z0 +h ∈ U . El valor f ′(z0) es la derivada de f en z0. Se dice holomorfa

si es holomorfa en cada punto de su dominio y biholomorfa si su inversa (si tiene) también lo es. Si es

holomorfa en todo C, se dice que f es entera.

Esta condición es mucho más fuerte que la diferenciabilidad en el caso real. Implica que la función

es infinitamente diferenciable, y por lo tanto, localmente igual a su serie de Taylor. El hecho de que las

funciones holomorfas son funciones complejas analíticas y viceversa, es uno de los resultados notables del

análisis complejo.

Definición 1.1.2. Sean U y V abiertos en Rn. La función f : U → V es una función conforme en u0 ∈ U

si preserva el ángulo de intersección entre todo par de curvas que pasen por u0.

Lema 1.1.3. Sea U un abierto en C. Una función diferenciable f : U → C es conforme si y solo si su matriz

Jacobiana Dfz es una matriz de rotación por un escalar, para todo z ∈ U .

Para el caso dos dimensional, tenemos la siguiente afirmación:

Proposición 1.1.4. Sea U un abierto en C. Una función f : U → C es una función conforme si y solo si

es holomorfa y sus derivadas en U son siempre diferentes de cero.

10 Capítulo 1. Preliminares

Demostración. (⇐) Suponga que f es holomorfa y que su derivada es siempre diferente de 0 en U . Si

escribimos f(x+ iy) = u(x, y) + iv(x, y) entonces Dfz es de la forma

ux(x, y) vx(x, y)

uy(x, y) vy(x, y)

.

Dado que f es conforme, f satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, es decir

ux = vy, uy = −vx,

entonces Dfz es de la forma a b

−b a

= a2 + b2

aa2+b2

ba2+b2

−ba2+b2

aa2+b2

.

La cual es una matriz de rotación por un escalar.

(⇒) Si f es conforme, su matriz Jacobiana es una matriz de rotación por un escalar. Por lo tanto, sus

derivadas parciales cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Si f es inyectiva y holomorfa, su derivada será siempre diferente de cero (no es trivial), lo cual motiva

una definición alternativa. Usando el teorema de la función abierta (o teorema de Banach-Schauder), el cual

establece que si f es holomorfa y no constante entonces es una función abierta, se puede probar que la inversa

de f debe ser holomorfa. Entonces si f es biholomorfa, también es conforme. El recíproco no siempre se tiene

como ejemplifica la función ez, la cual es conforme pero no biholomorfa ya que es periódica. Sin embargo,

existe un resultado que establece que si f es holomorfa en z0 y f ′(z0) 6= 0, entonces f es localmente injectiva

en z0. Por lo tanto, tenemos que f es localmente conforme si y solo si es biholomorfa en una entorno de

un punto z0 en el dominio de f .

Definición 1.1.5. Un atlas sobre una superficie S con cartas zα : Uα → C se dice atlas conforme si las

funciones de transición

zβ z−1α : zα(Uα ∩ Uβ)→ zβ(Uα ∩ Uβ)

son holomorfas.

Una carta es compatible con un atlas conforme si al agregarla al atlas aún se tiene un atlas conforme.

Una estructura conforme es un atlas maximal obtenido al agregar todas las cartas compatibles con el atlas

conforme.

1.1. Aplicaciones conformes 11

Definición 1.1.6. Una superficie de Riemann es una superficie equipada con una estructura conforme.

Las variedades con una estructura conforme son llamadas variedades complejas. En ese sentido, una

superficie de Riemann es una variedad compleja de dimensión uno.

Ejemplo 1.1. Sea C∞ = C∪∞. Defina las cartas ϕ(z) = z para todo z ∈ C∞\∞ y ψ(z) = 1z para todo

z ∈ C∞\0 y defina 1∞ = 0. Como ϕ y ψ son compatibles, entonces ϕ,ψ es un atlas que hace de C∞ una

superficie de Riemann.

Ejemplo 1.2. Sean U1 = S2\(0 + i0, 1) y U2 = S2\(0 + i0,−1). Considere las funciones

f(x+ iy, z) =x+ iy

1− zen U1, g(x+ iy, z) =

x− iy1 + z

en U2.

Observe que f = 1g en U1 ∩ U2, en efecto

1

g=

1 + z

x− iy=

(1 + z)(x+ iy)

x2 + y2=x+ iy

1− z· 1− z2

x2 + y2︸︷︷︸1

= f,

esto debido a que

1− z2

x2 + y2=

1− z2

x2 + y2 + z2 − z2=

1− z2

1− z2.

Entonces

(f g−1)(p) =1

p

Como f(U1∩U2) = g(U1∩U2) = C\0, las funciones de transición son holomorfas, luego S2 es una superficie

de Riemann. En particular, la proyección estereográfica es una aplicación conforme.

Figura 1.1

Definición 1.1.7. Una función continua h : S1 → S2 entre superficies de Riemann es una función ho-

lomorfa si, dadas las coordenadas locales Uα, φα para S1 y Vβ , ψβ para S2, la función de cambio de

coordenadas ψ h φ−1 es holomorfa.


Definición 1.1.8. Sean S1 y S2 dos superficies de Riemann. Se dice que son conformemente equivalentes

si existe un biholomorfismo entre ambas, esto es, una biyección holomorfa con inversa holomorfa. Esta

aplicación también es llamada a veces isomorfismo conforme.

Definición 1.1.9. Sea f : U ⊂ Rn → R. Se dice que f es una función armónica si tiene segundas derivadas

parciales continuas (C2), y si satisface la ecuación de Laplace, esto es,

∂2f

∂x21

+ · · ·+ ∂2f

∂x2n

= 0.

Esto se suele denotar por ∇2f = ∇ · ∇f = 0 o como 4f . Para efectos de este trabajo, U será un abierto en

C ∼= R2. Por lo tanto, f será armónica si∂2f

∂x2+∂2f

∂y2= 0.

Es fácil ver que si dos funciones u(x, y) y v(x, y) con segundas derivadas continuas verifican las ecuaciones

de Cauchy-Riemann

ux = vy

uy = −vx

entonces u y v serán armónicas. En tal caso se les llama armónicas conjugadas. Dado que satisfacer las

ecuaciones de Cauchy-Riemann es equivalente a que la función sea holomorfa, las partes real e imaginaria de

una función holomorfa serán armónicas conjugadas.

Funciones meromorfas

Las demostraciones de los resultados presentados en el resto de la sección se pueden buscar en [Stein and Shakarchi(2010)].

Para definir el concepto de función meromorfa, que será útil más adelante, será necesario hablar primero de

ceros y polos. Para ello, haremos uso del siguiente concepto:

Sea z0 ∈ C. Se denomina entorno perforado de z0 al disco abierto D centrado en z0 sin el punto z0,

para algún radio r. Esto es, un conjunto de la forma

D = z ∈ C | 0 < |z − z0| < r

Definición 1.1.10. Sea f : U → C una función de variable compleja. Se dice que el número complejo z0 es

un cero de f si f(z0) = 0. Se dice que es un polo si 1/f(z0) = 0.

1.1. Aplicaciones conformes 13

Los ceros de una función holomorfa son puntos aislados, es decir, para cada cero z0 existe una entorno

perforadoD de z0 tal que f es distinto de 0 en todoD. En concecuencia, los polos de la función 1/f son también

puntos aislados, es decir, la función 1/f es holomorfa en todo D. Tenemos las siguientes caracterizaciones

para un cero y un polo de una función:

Proposición 1.1.11. Sea f una función holomorfa en un entorno conexo U ⊂ C con un cero z0 en U .

Entonces f se puede escribir de la forma

f(z) = (z − z0)nΦ(z)

para alguna función holomorfa Φ en z0 con Φ(z0) 6= 0, y un único n ∈ Z+. En este caso decimos que z0 es un

cero de orden n.

Proposición 1.1.12. Sea f una función holomorfa en un entorno conexo U ⊂ C con un polo z0 en U .

Entonces f se puede escribir de la forma

f(z) =Φ(z)

(z − z0)n

para alguna función holomorfa Φ en z0 con Φ(z0) 6= 0, y un único n ∈ Z+. En este caso decimos que z0 es un

polo de orden n.

Proposición 1.1.13. Sea f una función holomorfa con un polo de orden n en z0, entonces

f(z) =a−n

(z − z0)n+

a−n+1

(z − z0)n−1+ · · ·+ a0 + a1(z − z0) + . . .

La anterior serie se denomina serie de Laurent, y se escribe en forma general como

∞∑k=1

a−k(z − z0)−k +

∞∑k=0

ak(z − z0)k.

La primera sumatoria se denomina parte principal, mientras que la segunda es la parte analítica. Si la

parte principal de f tiene infinitos términos, decimos que z0 es una singularidad esencial de f . Si todos los

términos de la parte principal son nulos, f es una función holomorfa cuya representación en serie de potencia

es la parte analítica.

Proposición 1.1.14. Sea f(z) = g(z)/h(z) con g y h funciones holomorfas en z0, y tales que g(z0) 6= 0 y

que z0 sea un cero de orden n de h. Entonces la función f tiene un polo de orden n en z0.


Ejemplo 1.3. El denominador de la función

f(z) =2z + 5

(z − 1)(z + 5)(z − 2)4

tiene ceros de orden uno en z = 1 y z = −5, y un cero de orden cuatro en z = 2. Como estos no son ceros

del numerador, el teorema anterior nos dice que z = 1 y z = −5 son polos de orden uno, y que z = 2 es un

polo de orden cuatro de f .

Definición 1.1.15. Una función de variable compleja se dice función meromorfa en un abierto D si es

holomorfa en D excepto en un conjunto de puntos aislados. Estos puntos aislados son los polos de la función.

Observe que toda función meromorfa es el cociente de dos funciones holomorfas (proposición 1.1.12).

Ejemplo 1.4.

Las funciones

f(z) =ez

zy

sin z

(z − 1)2

son funciones meromorfas en todo el plano complejo. Esto debido a que la parte principal de sus series

de Laurent tiene finitos términos.

La función

f(z) =1

sin(

1z

)no es meromorfa en todo C. El punto z = 0 es un punto de acumulación de los polos, luego z = 0 no es

una singularidad aislada y por lo tanto no es un polo. Esto es debido a que el punto z = 0 es un punto

de acumulación de los ceros de sin(

1z

).

Lema 1.1.16 (Lema de Schwarz). Sea f : D → C una función holomorfa definida sobre el disco abierto

unitario tal que f(0) = 0 y |f(z)| < 1 para todo z ∈ D, entonces

|f(z)| ≤ |z| ∀z ∈ D y |f ′(0)| ≤ 1.

Los siguientes tres resultados son consecuencia del teorema integral de Cauchy, el cual establece que los

valores de una función holomorfa en un dominio simplemente conexo D, están completamente determinados

por sus valores en la frontera ∂D.

1.2. Primera forma fundamental 15

Teorema 1.1.17 (Desigualdad de Cauchy). Suponga que f es una función holomorfa en un dominio sim-

plemente conexo D, y que C es el círculo definido por la ecuación |z − z0| = r completamente contenido en

D. Si |f(z)| ≤M para todo z ∈ C y para algún M > 0, entonces se tiene que

|f (n)(z0)| ≤ n!M

rn,

Teorema 1.1.18 (Teorema de Liouville). Sea f : C → C una función entera y acotada, es decir, existe

M > 0 tal que

f(z) < M ∀z ∈ C,

entonces f es constante.

Lo anterior nos dice que las únicas funciones acotadas y holomorfas en todo C son las funciones constantes.

Teorema 1.1.19 (Principio del módulo máximo). Sea f una función holomorfa no constante en un dominio

cerrado y conexo K. Entonces f alcanza su máximo en la frontera de K. Si f está definida sobre un abierto

no alcanza su máximo.

1.2. Primera forma fundamental

En el contexto de superficies de Riemann, el concepto de curva o trayectoria sobre la superficie será

fundamental y constantemente utilizado. Cuando estudiamos las propiedades geométricas de una superficie,

lo primero que nos podemos preguntar es cual es la distancia entre dos puntos cualesquiera, o dicho de otro

modo, cual es el camino sobre la superficie más corto entre ellos. Como en el espacio euclídeo, el camino más

corto entre 2 puntos está dado por una sola trayectoria o segmento de curva. Sin embargo, en una superficie

más general, no será tan obvio saber cual es el camino más corto entre ambos puntos.

Diremos que una curva paramétrica o trayectoria en Rn es una función continua γ : (a, b) → Rn,

para a, b ∈ R. Por lo tanto, γ será una función de un parámetro con n funciones componentes, de modo que

su derivada será un vector en Rn. Para simplificar la escritura, de aquí en adelante denotaremos por γ(t) a la

derivada γ con respecto al parámetro t. El vector γ(t) resulta ser precisamente el vector tangente a la curva

γ en el punto γ(t) que determina que tan “rápido” se recorre la curva a medida que se varía el parámetro t.

Así, decimos que la rapidez en el punto γ(t) es la cantidad |γ(t)|.


Definición 1.2.1. La longitud de arco de una curva γ desde el punto γ(t0) hasta el punto γ(t) es la

función

l(t) =

∫ t

t0

||γ(u)|| du.

Observe que la longitud de arco de una curva γ es una parametrización de la misma. En este caso, el

vector tangente γ(t) siempre será un vector unitario para todo t ∈ [a, b]. De hecho, la parametrización por

longitud de arco es esencialmente la única que cumple esto. En este trabajo en particular, nos referiremos a

las curvas parametrizadas por su longitud de arco como curvas unitarias.

Proposición 1.2.2. Sea γ(t) una curva unitaria. Entonces el producto

γ · γ = 0

para todo t, es decir, γ es cero o perpendicular a γ.

Demostración. Como la curva es unitaria, γ · γ = 1. Derivando esta expresión con respecto a t tenemos

γ · γ + γ · γ = 0

entonces 2γ · γ = 0 ⇒ γ · γ = 0 .

Proposición 1.2.3. Una curva paramétrica puede ser reparametrizada a una curva unitaria si y solo si la

curva es regular.

Definición 1.2.4. Una superficie regular es un conjunto S ⊂ R3 donde se cumple que para cada punto

p ∈ S existe un entorno W ∈ R3 de p tal que W ∩S es difeomordismo a un abierto U ⊂ R2. El difeomorfismo

σ : U → W ∩ S se llama parametrización regular del abierto W ∩ S. En este sentido, todo punto p ∈ S

tendrá un espacio tangente bien definido.

Dada una variedad diferencial S de dimensión n (superficie de Riemann para el caso n = 2), para cada

p ∈ S tenemos su espacio tangente asociado TpS. Un tensor métrico g : TpS × TpS → R en p es un tensor

de rango 2 cuyas entradas son vectores del espacio tangente asociado a p. Dada la base (dx1, . . . , dxn) del

espacio cotangente T ∗p S, tenemos que

g =

n∑i

n∑j

gijdxi ⊗ dxj


donde

dxi(~v) = dxi(vj

∂

∂xj

)= δijvj = vi.

O en su forma matricial

g =

g11 · · · g1n

.... . .

...

gn1 · · · gnn

.

En coordenadas locales ϕ = (x1, . . . , xn) de un abierto U ⊂ S,

gij =⟨ ∂

∂xi,∂

∂xj

⟩

donde(

∂∂x1

, . . . , ∂∂xn

)es la base del espacio tangente TpS.

Para el caso particular en el que S es una superficie parametrizada localmente por ϕ : U ⊂ R2 → R3, se

tiene que

gij = 〈ϕu, ϕv〉.

donde ϕu y ϕv son las derivadas parciales ∂ϕ∂u y ∂ϕ

∂v respectivamente.

El tensor métrico determina la geometría interna de una variedad. Al igual que el producto punto, el tensor

métrico se usa para definir distancias y ángulos entre vectores tangentes. También permite definir volumen

y longitud de curva mediante integración. Toda superficie regular puede ser vista como el embebimiento de

alguna superficie de Riemann en R3.

La primera forma fundamental de una superficie S en el punto p asociada a los vectores tangentes

u, v ∈ TpS es el escalar

〈u, v〉 = u · v

el cual no es más que el producto punto, pero restringido a vectores tangentes a p. Sin embargo, tradicional-

mente la primera forma fundamental se ve algo diferente. Sea ϕ : U ⊂ R2 → R3 una parametrización local

regular de S. Entonces cada vector tangente es una combinación lineal de los vectores básicos ϕu y ϕv. Dado

v = aϕu + bϕv, recordemos que du(v) = a y dv(v) = b. Ahora, como 〈 , 〉 es una forma bilineal y simétrica,

tenemos:

〈v,v〉 = a2〈ϕu, ϕu〉+ 2ab〈ϕu, ϕv〉+ b2〈ϕv, ϕv〉.


Si llamamos

E = ||ϕu||2, F = ϕu · ϕv, G = ||ϕv||2

tenemos

〈v,v〉 = a2E + 2abF + b2G = du(v)2E + du(v)dv(v)F + dv(v)2G

comunmente expresado como

ds2 = Edu2 + 2Fdudv +Gdv2

ds puede ser interpretado como la distancia infinitesimal entre los puntos ϕ(u, v) y ϕ(u+ du, v + dv).

Si γ es una curva sobre la superficie dada por la parametrización ϕ, tenemos que

γ(t) = ϕ(u(t), v(t))

para un par de funciones suaves u y v que determinan una curva en R2. Por la regla de la cadena, γ =

(ϕu, ϕv) · (u, v) = uϕu + vϕv, así que

〈γ, γ〉 = Eu2 + 2Fuv +Gv2,

luego la longitud de la curva γ es ∫(Eu2 + 2Fuv +Gv2)1/2 dt.

Ejemplo 1.5. Considere la superficie de revolución

ϕ(u, v) = (f(u) cos v, f(u) sin v, g(u)).

Podemos asumir que f(u) > 0 para todo valor de u y que la curva u → (f(u), 0, g(u)) es unitaria, de modo

que f2 + g2 = 1. Entonces

ϕu = (f cos v, f sin v, g), ϕv = (−f sin v, f cos v, 0),

E = ||ϕu||2 = f2 + g2 = 1, F = ϕu · ϕv = 0, G = ||ϕv||2 = f2.


Por lo tanto la primera forma fundamental de una superficie de revolución es

du2 + f(u)2dv2.

Isometrías y transformaciones conformes

Las demostraciones de los siguientes resultados se encuentran en las secciones 6.2 y 6.3 de [Pressley(2010)].

Una isometría es una aplicación entre espacios métricos que preserva las distancias entre puntos, esto es, si E1

y E2 son dos espacios métricos, ϕ es una isometría si se cumple que d1(x, y) = d2(ϕ(x), ϕ(y)) donde d1 y d2

son las respectivas funciones de distancia de E1 y E2. Son los morfismos de los espacios métricos. En nuestro

caso particular, los espacios métricos serán las superficies regulares. Por otro lado, una aplicación conforme

es una aplicación entre espacios métricos que preserva ángulos entre curvas. En términos de la primera forma

fundamental, dos espacios son conformemente equivalentes si la primera forma fundamental de uno es un

múltiplo de la del otro.

Definición 1.2.5. Sean S1 y S2 dos superficies regulares, y sea f : S1 → S2 una aplicación diferenciable.

Decimos que f es una isometría si envía cada curva en S1 a una curva de la misma longitud en S2.

Teorema 1.2.6. Una aplicación diferenciable f : S1 → S2 es una isometría si y solo si

〈v,w〉p = 〈dfp(v), dfp(w)〉f(p)

para todo v,w ∈ TpS1 y para todo p ∈ S1. Es decir, si la aplicación dfp entre espacios vectoriales es una

isometría para todo p ∈ S1.

Corolario 1.2.7. Sea f : S1 → S2 una aplicación diferenciable. Sean ϕ1 y f ϕ1 parametrizaciones de S1 y

S2 respectivamente para cualquier parametrización ϕ1 de S1. Entonces f es conforme si y solo las superficies

tienen la misma primera forma fundamental.

Para medir ángulos de intersección entre curvas, nos fijamos en el ángulo de intersección entre sus res-

pectivos vectores tangentes. Usando la fórmula del producto para hallar ángulos entre vectores, el ángulo de

intersección entre las curvas γ y γ está dado por

cos θ =γ · ˙γ

||γ|| || ˙γ||=

〈γ, ˙γ〉〈γ, γ〉1/2 〈 ˙γ, ˙γ〉1/2

,


lo cual en términos de la primera forma fundamental es

cos θ =Eu ˙u+ F (u ˙v + v ˙u) +Gv ˙v

(Eu2 + 2Fuv +Gv2)1/2(E ˙u2 + 2F ˙u ˙v +G ˙v2)1/2.

Teorema 1.2.8. Una aplicación diferenciable f : S1 → S2 es conforme si y solo si existe una función positiva

λ : S1 → R tal que

λ(p)〈v,w〉p = 〈dfp(v), dfp(w)〉f(p)

para todo v,w ∈ TpS1 y para todo p ∈ S1

Corolario 1.2.9. Sea f : S1 → S2 una aplicación diferenciable. Sean ϕ1 y f ϕ1 parametrizaciones de S1 y

S2 respectivamente para cualquier parametrización ϕ1 de S1. Entonces f es conforme si y solo las primeras

formas fundamentales son proporcionales.

En particular, una superficie parametrizada por ϕ(u, v) será conforme al plano si su primera forma fun-

damental es λ(du2 + dv2) para una función suave λ(u, v), dado que la primera forma fundamental del plano

es du2 + dv2.

1.3. Conceptos de curvatura en superficies

Intuitivamente, la curvatura es una medida de que tanto “se curva” una trayectoria, para lo cual se

usa como punto de referencia el vector tangente. Si pensamos en una trayectoria γ sobre el plano R2 y

consideramos un punto particular γ(t0) sobre ella, será claro geométricamente que cuanto más se aleje la

trayectoria de su vector tangente γ(t0), más “pronunciada” o “brusca” será la curvatura de la trayectoria

en ese punto. En cambio, si γ es más cercana a su vector tangente cerca de γ(t0), diremos entonces que

la trayectoria se asemeja a una recta en este punto, y por lo tanto que se “curva” poco. Formalmente, la

curvatura de una trayectoria se define como sigue:

K =||γ × γ||||γ||3

,

donde γ denota la segunta derivada con respecto a t. Observe que si γ es una curva unitaria, la curvatura se

reduce al término ||γ||. De ahí que siempre se busque trabajar con curvas unitarias.

Si consideramos ahora trayectorias sobre superficies más generales, hablaremos de dos tipos de curvatura,

la curvatura normal y la curvatura geodésica. Intuitivamente, la curvatura normal indica qué tanto se

1.3. Conceptos de curvatura en superficies 21

aleja la superficie de su plano tangente mientras que la curvatura geodésica hace referencia a qué tanto se

curva la trayectoria en el “mundo” de la superficie. Piense por ejemplo en una trayectoria γ sobre el planeta

tierra. Claramente, γ tendrá cierto valor de curvatura normal, debido a que la tierra es curva. Sin embargo,

para un ser que vive en la tierra, habrá ciertos caminos que este individuo verá como rectos. En estos casos

la curvatura geodésica será cero.

Enfoquemos ahora nuesta atención en superficies. Usando trayectorias, también podemos hablar de que

tanto se curva una superficie S en algún punto p0 de S. Para ellos, se consideran dos trayectorias α y β muy

particulares que pasan por p0, cuyas curvaturas llamaremos curvaturas principales y denotaremos por K1

y K2. La particularidad de α y β es que son las trayectorias con mayor y menor curvatura normal de entre

todas las posibles que pasan por el punto p0, y resulta ser además que son perpendiculares, como nuestra

intuición geométrica diría que debe ser.

Definimos ahora la curvatura de Gauss, denotada porK, como el producto de las curvaturas principales.

Dependiendo de los signos de K1 y K2, K podrá ser, negativa, cero o positiva, lo cual nos dirá como se ve

localmente la superficie en cuestión.

K < 0 K = 0 K > 0

Las geodésicas son las trayectorias en la superficie que un ser viviendo en la superficie identificaría como

caminos rectos. De este modo, las geodésicas serán el camino más corto entre dos puntos de la superficie.

De acuerdo con lo que habíamos mencionado antes, una trayectoria será geodésica si y solo si su curvatura

geodésica es cero.

Definición 1.3.1. Un trayectoria γ en una superficie S es llamada geodésica si γ(t) es cero o perpendicular

al plano tangente en γ(t) para todo t.


Recordemos que una variedad diferencial M es un espacio topológico en el que para cada abierto Uα de

M , existe un difeomorfismo ϕα : U → V para algún abierto V del espacio euclideo Rn. La colección de pares

(ϕα, Uα) es lo que llamamos carta coordenada y se debe cumplir que si Uα ∩Uβ 6= ∅, entonces la función real

ϕβ ϕ−1α es diferenciable.

Definición 1.3.2. Sea F : U ⊂ M → N una aplicación diferenciable entre variedades. Para cada p ∈ U se

asocia la aplicación lineal dFp : TpM → TF (p)N llamada diferencial de F en p y se define como sigue: Sea

v ∈ TpM y σ : (−ε, ε) → U una curva diferenciable que pasa por p tal que σ(0) = p y σ′(0) = v. Entonces

definimos la diferencial de F en p aplicada al vector tangente v como el correspondiente vector tangente a la

curva F σ en el punto F (p), esto es, dFp(v) := (F σ)′(0).

Definición 1.3.3. Una variedad Riemanniana (M, g) es una variedad diferenciable en la que se equipa

cada espacio tangente TpM con un producto interno definido positivo gp de manera que varía suavemente

entre los puntos de M .

La familia de productos internos gp se denomina métrica Riemanniana o tensor métrico y permite que se

definan varias nociones de métrica sobre la variedad como longitud de curvas, ángulos y áreas (se verá más

adelante como esto es posible).

La característica de Euler es un invariante topológico que permite clasificar poliedros en términos de

sus vértices, caras y aristas bajo la sencilla fórmula

χ = V −A+ C.

Esta definición se puede extender a superficies de Riemann mediante homeomorfismo. Superficies como la

esfera, el toro o el disco con frontera, surgen de deformar de forma continua un poliedro. Por ejemplo, si

deformamos un octaedro para obtener una esfera, los vértices del poliedro serán puntos, las aristas segmentos

de curvas y las caras curvas cerradas sobre la esfera. De este modo tendremos una “triangulación” sobre la

esfera, ya que las caras de un octaedro son triángulos. De este modo, la característica de Euler de la esfera

χ = 6− 12 + 8 = 2,

que es de hecho la característica de Euler de cualquier poliedro homeomorfo a la esfera.

Característica de Euler de algunos espacios comunes:

Esfera: χ=2.

1.4. Propiedades de conexidad en espacios topológicos 23

Toro: χ=0.

Doble toro: χ=-2.

Disco cerrado: χ=1.

Otro invariante topológico para superficies de Riemann es el género. El género de una superficie se define

como el número máximo de curvas cerradas no intersectantes que se pueden trazar para dividir la superficie

de modo que el espacio resultante se mantenga conexo. En otras palabras, es el número de agujeros que tiene

una superficie. Alternativamente, también puede ser definido en términos de su característica de Euler por

medio de la relación

χ = 2− 2g,

donde g es el género.

g = 0

g = 1

g = 2

g = 3

1.4. Propiedades de conexidad en espacios topológicos

Los siguientes son resultados clásicos de topología. Para la redacción de esta tesis se hizo uso del libro

[Munkres(2002)].

Recordemos que un espacio topológico es un conjunto X junto con una colección T de subconjuntos U de

X que llamamos abiertos, y que cumplen las siguientes tres propiedades: el vacío y todo X son abiertos, la

unión arbitraria de abiertos es un abierto y la intersección finita de abiertos es también un conjunto abierto.

Repasaremos diversas nociones de conexidad que son relevantes en este trabajo

Definición 1.4.1. Sea X un conjunto. Una base para una topología sobre X es una colección B de subcon-

juntos de X (llamados elementos básicos) tales que:

1. Para cada x ∈ X, existe al menos un elemento básico que contiene a x.


2. Si x ∈ B1 ∩B2 para B1 y B2 elementos básicos, entonces existe un elemento básico B3 que contiene a

x y tal que B3 ⊂ B1 ∩B2.

La topología T generada por B se define como sigue: Un subconjunto U ⊂ X se dice abierto (es decir, un

elemento de T ) si para todo x ∈ U , existe un elemento básico B ∈ B tal que x ∈ B y B ⊂ U . Note que todo

elemento básico es a la vez un abierto.

Lema 1.4.2. Sea X un conjunto y B base para una topología T sobre X. Entonces T es igual a la colección

de todas las uniones de elementos de B.

Lo anterior nos dice que todo abierto U en X se puede expresar como la unión de elementos básicos.

Definición 1.4.3. Una colección de subconjuntos de X es una subbase S de la topología T sobre X si todas

las intersecciones finitas de elementos de S forma una base para T . Por lo tanto, la topología generada por la

subbase S se define como la colección de todas las uniones de intersecciones finitas de elementos subbásicos.

Definición 1.4.4. Una aplicación f : X → Y entre espacios topológicos se dice continua si para cada

abierto U ∈ TY , existe V ∈ TX tal que f−1(U) = V . Es decir, la preimagen de todo abierto es un abierto.

Definición 1.4.5. Un homeomorfismo es una biyección continua entre espacios topológicos cuya inversa

también es continua.

Lo anterior nos dice que las topológias de ambos espacios son equivalentes en el siguiente sentido: Si X y

Y son espacios topológicos y f : X → Y es un homeomorfismo, existe una correspondencia biunívoca entre

los abiertos de X y los abiertos de Y por medio de f .

Definición 1.4.6. Sean X y Y espacios topológicos. Una función continua e inyectiva f : X → Y es un

embebimiento topológico (embedding) si f es un homeomorfismo entre X y su imagen f(X). (donde

f(X) tiene la topología de subespacio inherente a Y ). Intuitivamente, el embebimiento f permite ver a X

como un subespacio de Y .

En términos generales, un embebimiento es una aplicación inyectiva que preserva la estructura del espa-

cio, es decir, un morfismo inyectivo. Como solo hablaremos de embebimientos topológicos, los llamaremos

simplemente embebimientos.

Ejemplo 1.6.

Trivialmente, la aplicación identidad es un embebimiento.

La curva γ : R→ R2 dada por γ(t) = (t3, 0) es un embebimiento.


La curva σ : R→ R2 dada por σ(t) = (cos t, sin t) no es un embebimiento, ya que su imagen (el círculo

unitario) es un compacto con la topología de subespacio, mientras que su dominio no lo es.

Definición 1.4.7. SeaX un espacio topológico. Un conjunto G ⊂ X se dice conexo si no puede ser expresado

como la unión disjunta de dos abiertos. Equivalentemene, G es conexo si y solo si G ⊂ A ∪ B implica que

G ⊂ A o G ⊂ B para dos abiertos disjuntos A,B ⊂ X.

Lema 1.4.8. Un espacio topológico X es conexo si y solo si los únicos subconjuntos abiertos y cerrados en

X son el vacío y el propio X.

Teorema 1.4.9. La imagen de un espacio conexo bajo una aplicación continua es un espacio conexo.

Claramente, lo conexidad es una propiedad meramente topológica, ya que se formula en términos de los

abiertos de un espacio. Por lo tanto, si X es un espacio conexo, entonces también lo es cualquier otro espacio

homeomorfo a X.

Definición 1.4.10. Un espacio topológico X se dice conexo por caminos si todo par de puntos puede ser

conectado por un camino, esto es, ∀x, y ∈ X, existe una aplicación continua f : [0, 1]→ X tal que f(0) = x

y f(1) = y.

conexo por caminos =⇒ conexo

Dado un espacio topológico X, existe una manera natural de dividirlo en sus subconjuntos conexos y

conexos por caminos.

Considere la relación x ∼ y si y solo si existe un subespacio conexo de X que contiene ambos puntos. Esta,

en efecto, es una relación de equivalencia. La simetría y reflexividad son claras. Ahora, suponga que x ∼ y y

y ∼ z. Entonces existen conjuntos conexos G y G′ tales que x, y ∈ G y y, z ∈ G′. Suponga que G ∪ G′ = A∪B

para dos abiertos disjuntos A,B ∈ X. Como G es conexo, G ⊂ A o G ⊂ B (en caso contrario tendríamos un

separación de G). Lo mismo aplica para G′. Suponga G ⊂ A, entonces G′ ⊂ A ya que y es elemento de ambos

conjuntos. Lo anterior implica que B debe ser vacío, luego A y B no son disjuntos. Contracción. Se concluye

que G ∪ G′ es conexo luego x ∼ z. Las clases de equivalencia se denominan componentes conexas de X.

Considere ahora la relación x ∼c y si y solo si existe un subespacio conexo por caminos de X que contiene

ambos puntos. También es una relación de equivalencia. De nuevo, la simetría y la reflexividad son claras.

Suponga x ∼c y y y ∼c z. Entonces existen caminos f y g tales que f(0) = x, f(1) = g(0) = y y g(1) = z. El

camino h definido por

h =

f(2t) si t ∈ [0, 12 ]

g(2t− 1) si t ∈ [ 12 , 1]


es un camino de x a z, luego x ∼c z. Las clases de equivalencia se denominan componentes conexas por

caminos de X.

Proposición 1.4.11. Las componentes conexas de X son subespacios disjuntos conexos de X, cuya unión

es igual a X y tales que cada subespacio conexo de X intersecta únicamente a una de las componentes.

Proposición 1.4.12. Las componentes conexas por caminos de X son subespacios disjuntos conexos por

caminos de X, cuya unión es igual a X y tales que cada subespacio conexo por caminos de X intersecta

únicamente a una de las componentes.

En este sentido, las componentes conexas (o conexas por caminos) son maximales. El único espacio conexo

(o conexas por caminos) en el que puede estar contenido una componente es en ella misma.

En consecuencia, como la clausura de un espacio conexo es conexa, toda componente conexa de un espacio

X debe ser cerrada en X, ya que de lo contrario, estaría contenida propiamente en un subespacio conexo

(su clausura). Adicionalmente, si X solo tiene un número finito de componentes conexas, entonces cada

componente es también un abierto en X, pues su complemento es una unión finita de cerrados. En general,

las componentes conexas no son abiertas.

Definición 1.4.13. Un espacio X se dice localmente conexo en x si para todo entorno U de x, existe un

entorno V ⊂ U de x que es conexo. Si X es localmente conexo en cada uno de sus puntos, se dice que X es

localmente conexo. Análogamente, un espacio X se dice localmente conexo por caminos en x si para

todo entorno U de x, existe un entorno V ⊂ U de x que es conexo por caminos. Si X es localmente conexo

por caminos en cada uno de sus puntos, se dice que X es localmente conexo por caminos.

En palabras sencillas, la conexidad local (o conexidad local por caminos) dice que cada punto del espacio

tiene entornos conexos (o conexos por caminos) arbitrariamente pequeños.

Ejemplo 1.7. Cada intervalo o rayo de la recta real es conexo por caminos y localmente conexo por caminos.

El subespacio [−1, 0) ∪ (0, 1] no es conexo pero es localmente conexo por caminos. Los racionales Q no son

ni conexos, ni localmente conexos debido a que son un conjunto de puntos aislados.

Proposición 1.4.14. Un espacio X es localmente conexo si y solo si para cada abierto U ⊂ X, cada

componente conexa de U es abierta en X.

Proposición 1.4.15. Un espacio X es localmente conexo por caminos si y solo si para cada abierto U ⊂ X,

cada componente conexa por caminos de U es abierta en X.


En particular, como X es por si mismo un abierto, luego X es conexo (o conexo por caminos) si y solo si

las componentes conexas (o conexas por caminos) son abiertas.

La relación entre componentes conexas y componentes conxas por caminos está representada en el siguiente

resultado:

Proposición 1.4.16. Sea X un espacio topológico. Entonces cada componente conexa por caminos está

contenida en una componente conexa de X. Si X es localmente conexo por caminos, las componentes conexas

y las componentes conexas por caminos son iguales.

Definición 1.4.17. Una colección A de subconjuntos de X se dice que cubre X o que es un recubrimiento

de X si la unión de los elementos de A es todo X. Se dice que A es un cubrimiento abierto de X si es un

cubrimiento de X formado por abiertos.

Definición 1.4.18. Un espacio X se dice compacto si para todo cubrimiento abierto de X, se puede extraer

un subcubrimiento finito.

29

Capítulo 2

Transformaciones de Möbius y los

modelos de la geometría hiperbólica

2.1. Transformaciones de Möbius

Las transformaciones de Möbius son precisamente las aplicaciones conformes del plano complejo exten-

dido. Resultan fundamentales para entender las propiedades de la geometría hiperbólica, y por lo tanto,

del modelo del disco de Poincaré. Adicionalmente, tienen la interesante propiedad de quedar completamente

determinadas cuando se define que puntos son enviados al cero, el uno y el infinito.

Una transformación de Möbius es una aplicación de la forma

M(z) =az + b

cz + d(2.1)

en donde a, b, c, d ∈ C tales que ad− bc 6= 0. También puede ser definida mediante una matriz A ∈ GL(2, n)

de la forma

A =

(a bc d

)

y la denotamos por MA(z). Considere el plano complejo extendido C∞ = C ∪ ∞, entonces extendemos la

definición de MA en C∞ como sigue:

MA(−d/c) =∞

MA(∞) =∞ si c = 0

MA(∞) = a/c si c 6= 0

30 Capítulo 2. Transformaciones de Möbius y los modelos de la geometría hiperbólica

Proposición 2.1.1.

i) Toda transformación de Möbius define una biyección C∞ → C∞ cuya inversa es otra transformación

de Möbius.

ii) Composición de transformaciones de Möbius es una transformación de Möbius.

Los ejemplos más sencillos de transformaciones de Möbius son

Translaciones: Ta(z) = z + a, para a ∈ C.

Dilatación compleja: Da(z) = az, para a ∈ C y a 6= 0.

Recíproco: K(z) = 1/z.

Proposición 2.1.2. Toda transformación de Möbius es una composición de las tres transformaciones men-

cionadas anteriormente.

Demostración. Sea MA(z) una transformación de Möbius como en (2.1). Si c = 0, entonces a 6= 0 y

MA(z) = az + b = a(z + b/a) = DaTb/a(z).

Si c 6= 0,

MA(z) =az + b

cz + d=acz + bc+ (ad− ad)

c(cz + d)=a(cz + d) + (bc− ad)

c(cz + d)

=a

c+

bc− adc(cz + d)

= Ta/cD(bc−ad)/cK(cz + d)

= Ta/cD(bc−ad)/cKTdDc(z)

Proposición 2.1.3. Sean z2, z3, z4 ∈ C∞. Entonces existe una única transformación de Möbius MA tal que

MA(z2) = 1, MA(z3) = 0, MA(z4) =∞.

2.1. Transformaciones de Möbius 31

Demostración. Si todos los puntos son distintos de infinito, basta tomar

MA(z) =z − z3

z − z4· z2 − z3

z2 − z4.

En caso contrario, se tiene lo siguiente:

Si z2 =∞, se toma

MA(z) =z − z3

z − z4

Si z3 =∞, se toma

MA(z) =z2 − z4

z − z4

Si z4 =∞, se toma

MA(z) =z − z3

z2 − z3

Es claro geométricamente que las translaciones y la dilatación compleja mandan rectas en rectas y círculos

en círculos, pero para la transformación recíproca K, se puede dar que K mande círculos en rectas y rectas

en círculos. Por ello es útil tener la siguiente ecuación.

Proposición 2.1.4. Cada círculo o recta en C∞ está descrito por la ecuación

azz + bz + bz + c = 0, (2.2)

para a, c ∈ R y b ∈ C. La ecuación (2.2) representará una recta si a = 0 y b 6= 0, y un círculo si a 6= 0 y

|b|2 > ac.

Demostración. Escriba z = x+ iy y b = p+ iq. Si a = 0 y b 6= 0, tenemos

0 = bz + bz + c

= (p− iq)(x+ iy) + (x− iy)(p+ iq) + c

= (px+ qy − iqx+ ipy) + (px+ qy − ipy + iqx) + c

= 2(px+ qy) + c

= px+ qy + c.


Lo anterior es precisamente la ecuación de un recta en el plano xy. Ahora, si a 6= 0 y |b|2 > ac, tome

c = p2 + q2 − r2 y a = 1, tenemos

0 = azz + bz + bz + c

= x2 + y2 + 2(px+ qy) + p2 + q2 − r2

= (x2 + 2pq + p2) + (y2 + 2qy + q2)− r2

= (x+ p)2 + (y + q)2 − r2.

Lo anterior es precisamente la ecuación de un círculo en el plano xy. Observe que |b|2 − ac = r2. En este

mismo caso, si b = 0, entonces a < 0 o c < 0, despejando de (2.2) se observa que los z que satisfacen la

ecuación son los números complejos de módulo constante. Nuevamente esto describe un círculo. Así, se han

considerado todos los casos, luego la ecuación (2.2) solo describe círculos o rectas.

Proposición 2.1.5. Toda transformación de Möbius envía un círculo o una recta en un círculo o una recta.

Demostración. Esto es claro para el caso de translaciones y dilatación compleja, por lo tanto basta probarlo

para la transformación recíproco. Llame w = K(z) = 1z , entonces

0 = azz + bz + bz + c

=a

ww+b

w+b

w+ c

= a+ bw + bw + cww,

luego w satisface la ecuación (2.2). Si c = 0, lo anterior es la ecuación de una recta. Si c 6= 0, se tiene la

ecuación de un círculo ya que |b|2 > ca.

Observe que la anterior prueba también nos muestra que K manda círculos que intersectan el origen

en rectas, y el resto de círculos en círculos. Como se mencionó antes, si (2.2) modela un círculo, entonces

r2 = p2 + q2 − c2. Si c = 0, se tiene r2 = p2 + q2, luego el círculo intersecta el origen. Por la prueba anterior,

este círculo es mandado en una recta.

Teorema 2.1.6. Toda transformación de Möbius es conforme.

Demostración. En virtud de la proposición 2.1.2, basta probar que las transformaciones translación, dilatación

compleja y recíproco son conformes. Como las translaciones y rotaciones son isometrías, en particular son

conformes. Adicionalmente, es facil ver que una dilatación por un factor de a ∈ R preserva ángulos, luego

2.1. Transformaciones de Möbius 33

también es conforme. Por lo tanto, solo resta probar que el recíproco es conforme. Para esto, observe que la

inversa de K es K. Sea u+ iv ∈ C y u+ iv = K(u+ iv), entonces

u+ iv = K(u+ iv) =1

u+ iv=

u− ivu2 + v2

=⇒ u =u

u2 + v2, v =

−vu2 + v2

luego,

du =du(u2 + v2)− u(2udu+ 2vdv)

(u2 + v2)2

=((u2 + v2)− 2u2)du− 2uvdv

(u2 + v2)2

=v2 − u2

(u2 + v2)2du− 2uv

(u2 + v2)2dv.

Análogamente

dv =2uv

(u2 + v2)2du+

v2 − u2

(u2 + v2)2dv.

La primera forma fundamental du2 + dv2 en términos de u y v queda

(v2 + u2)2 + 4u2v2

(u2 + v2)4(du2 + dv2) =

du2 + dv2

(u2 + v2)2.

Como es múltiplo de du2 + dv2, K(C) es conforme con el plano euclídeo.

Transformación de Möbius conjugada

Una transformación de Möbius conjugada es una aplicación de la forma

z → az + b

cz + d

donde a, b, c, d ∈ C tales que ad− bc 6= 0. Por supuesto que esto solo es la composición MA C donde MA es

una transformación de Möbius como en (2.1) y C es la conjugación compleja C(z) = z.

Proposición 2.1.7. La composición de una transformación de Möbius y una Möbius conjugada (en cualquier

orden) es una transformación de Möbius conjugada. La composición de dos Möbius conjugadas es Möbius.

Proposición 2.1.8. Las transformaciones de Möbius conjugadas envían círculos o rectas en círculos o rectas.

Demostración. Se optiene de la proposiciones 2.1.5 y el teorema 2.1.6, junto con el hecho de que C es una

reflexión con respecto al eje real, luego es conforme y envía rectas en rectas y círculos en círculos.


Hay dos tipo importante de transformaciones geométricas entre las transformaciones de Möbius conju-

gadas. Las primeras son las reflexiones con respecto a rectas. Si tenemos una rectas dada por la expresión

compleja

bz + bz + c = 0,

cuya ecuación en forma real sería

px+ qy + c = 0,

donde c = c2 (siguiendo la notación de la proposición 2.1.4), entonces la reflexión con respecto a esta recta

está dada por

R(z) = −b2z − bc.

Las segundas transformaciones son las inversiones: definimos la inversión Ia,r con respecto al círculo Ca,r

centrado en a y de radio r, como la transformación que envía el punto z ∈ C con z 6= a al punto z′ que está

sobre el mismo radio vector que pasa por z y tal que el producto de las distancias |z − a| y |z′ − a| es r2 .

Tenemos entonces que z′ − a = λ(z − a) para algún λ > 0 y que |z′ − a||z − a| = r2. Sacando normas en la

primera ecuación y reemplazando en la segunda queda

λ =r2

|z − a|2.

Por último, si se reemplaza este λ en la primera ecuación y se despeja z′ se obtiene como resultado

Ia,r(z) = a+r2

z − a.

Como Ia,r es una transformación de Möbius conjugada, esta envía rectas o círculos en rectas o círculos. De

hecho, como Ia,r(a) =∞, la inversión debe envíar los cículos que pasan por a en rectas y el resto de círculos

en círculos.

Proposición 2.1.9. La inversión Ia,r fija el círculo C si y solo si C intersecta Ca,r de forma perpendicular.

2.2. Superficie de curvatura constante negativa

Los cálculos necesarios para obtener la curvatura de Gauss de una superficie de revolución y la parame-

trización de la pseudoesfera pueden verse en la sección 8.3 de [Pressley(2010)].

2.2. Superficie de curvatura constante negativa 35

Figura 2.1

Recordemos que una superficie de revolución puede ser parametrizada de la forma

σ(u, v) = (f(u) cos(v), f(u) sin(v), g(u)) f(u) > 0

la cual se obtiene de rotar alrededor del eje z la curva unitaria u → (f(u), 0, g(u)) definida en el plano xz.

Mediante unos cálculos que omitiremos por falta de algunos conceptos para llegar a ellos, obtenemos que la

curvatura de Gauss de una superficie de revolución está dada por:

K = − ff.

Centremos nuestra atención en superficies de curvatura constante. Si suponemos K = 0, tenemos como

resultado que σ describe una superficie reglada (la cual es isométrica al plano). Si suponemos ahora K > 0,

digamos K = 1R2 para R > 0 constante, σ será una esfera de radio R. Por último, suponga K < 0. Podemos

restringirnos al caso K = −1 y obtener el caso general a partir de este aplicando una dilatación. Para este

caso, σ es la pseudoesfera (figura 2.1), la cual es la superficie de revolución parametrizada por

σ(u, v) = (eu cos v, eu sin v,√

1− e2u− cosh−1(e−u)).


Si tomamos w = e−u, la superficie reparametrizada es

σ(v, w) =

(1

wcos v,

1

wsin v,

√1− 1

w2− cosh−1 w

),

donde w > 1 para que σ esté bien definido, y cuya primera forma fundamental es

dv2 + dw2

w2.

Visto en el semiplano superior vw para w > 0, las geodésicas en la pseudoesfera son las imagenes bajo σ de

las semirectas perpendiculares al eje v y de los semicírculos

(v − v0)2 + w2 = r2

en la región w > 1 (ya que σ solo está bien definido para w > 1).

2.3. Modelo del semiplano superior

Las demostraciones faltantes de los resultados presentados en el resto del capítulo se pueden encontrar en

el las secciones 11.1, 11.2 y 11.3 de [Pressley(2010)].

La primera forma fundamental de una superficie determina completamente su geometría interna. Como vimos

antes, la pseudoesfera solo está bien definida si w > 1. Sin embargo, su primera forma fundamental

dv2 + dw2

w2(2.3)

está bien definida si w > 0. Por lo tanto, podemos usar al semiplano superior

H = z ∈ C | Im(z) > 0

dotado con la primera forma fundamental (2.3) para estudiar longitudes de arco, ángulos entre curvas, áreas,

geodésicas, isometrías locales, etc..., de superficies con curvatura negativa constante K = −1. Equipar a H

con la primera forma fundamental de la pseudoesfera es asignar “artificialmente” a cada punto un espacio

tangente y definir como es el producto interno entre los vectores tangentes, como se define en la pseudoesfera.

Los ángulos, longitudes y áreas serán llamados ángulos hiperbólicos, longitudes hiperbólicas y áreas hiperbó-

licas respectivamente. Las geodésicas las llamaremos lineas hiperbólicas.

2.3. Modelo del semiplano superior 37

Figura 2.2: Geodésicas en el plano hiperbólico

Lo primero que se debe observar es que los ángulos hiperbólicos en H serán iguales a los ángulos del es-

pacio euclídeo. Esto se debe a que la primera forma fundamental (2.3) de H es un múltiplo de du2 + dv2, la

primera forma fundamental del plano. Por lo tanto la pseudoesfera es una parametrización conforme.

Proposición 2.3.1. Las geodésica en H son las semirectas paralelas al eje imaginario y los semicírculos con

centro en el eje real (figura 2.2).

Proposición 2.3.2.

Para dos puntos cualesquiera en H, existe una única linea hiperbólica que los intersecta.

No se satisface el quinto postulado de Euclides de las paralelas.

Propiedades geométricas

Tenemos las siguientes isometrías de H:

i) Translación paralela al eje real, dada por

Ta(z) = z + a a ∈ R.

ii) Reflexión con respecto a rectas paralelas al eje imaginario, dada por

Ra(z) = 2a− z a ∈ R.

Ra(z) es la reflexión con respecto a la recta Re(z) = a.


iii) Dilatación por un factor de a > 0, dada por

Da(z) = az.

En términos de los parámetros (v, w), estas aplicaciones están dadas por (v, w) → (v + a,w), (v, w) →

(2a − v, w) y (v, w) → (av, aw) respectivamente, donde es claro que son biyecciones de H que además

preservan la primera forma fundamental. Sin embargo, hay una cuarta aplicación la cual no es tan evidente

que es una isometría:

iv) Inversión en círculos con centro en el eje real, dada por

Ia,r(z) = a+r2

z − a

donde a ∈ R y radio r > 0 son el centro y radio del círculo respectivamente.

Para ver que hace Ia,r podemos considerar el caso base a = 0 y r = 1. El caso general se obtiene a partir de

este ya que la aplicación

Ia,r(z) = Ta

( r2

z − a

)= TaDr2

( 1

z − a

)= TaDr2I0,1(z − a) = TaDr2I0,1T−a(z)

es I0,1 en composición con las isometrías antes mencionadas, esto es, Ia,r = Ta Dr2 I0,1 T−a. Veamos

entonces cuál sería la imagen de I0,1:

I0,1(z) = 0 +12

z − 1=

1

v − iw=

v + iw

v2 + w2

luego ∣∣∣I0,1(z)∣∣∣ =|v + iw|v2 + w2

=

√v2 + w2

v2 + w2=

1√v2 + w2

=1

|z|. (2.4)

Para ver que es una isometría, procedemos igual que en la demostración del teorema 2.1.6:

v =v2

w2 + v2w =

w2

w2 + v2

dv =(w2 − v2)− 2vwdw

(v2 + w2)2dw =

−2vwdv + (vw − w2)dv

(v2 + w2)2

2.3. Modelo del semiplano superior 39

luego

dv2 + dw2

w2=

1

w2(v2 + w2)2

[((w2 − v2)dv − 2vwdw)2 + (−2vwdv + (v2 − w2)dw)2

]=

(w2 − v2)2 + 4v2w2

w2(v2 + w2)2(dv2 + dw2) =

dv2 + dw2

w2.

De la ecuación (2.4) concluimos 3 cosas. Lo primero es toda sucesión que tienda a cero, es enviada a una

sucesión que tiende a infinito. Lo segundo es que la imagen, la preimagen y el origen son colineales, entonces

cada punto es enviado al mismo radio vector al que pertenece. Y por último, que I0,1 envía adentro del disco

todo lo que está por fuera, y viceversa (la frontera del disco se mantiene invariante). Para el caso general se

tiene lo mismo ya que es el caso base compuesto con dilataciones y translaciones. Esto nos da una intuición

general de lo que hace la aplicación Ia,r.

Sin embargo, no es del todo claro cuál es la imagen de las lineas hiperbólicas. Como las isometrías preservan

geodésicas, la imagen de una linea hiperbólica debe ser otra linea hiperbólica. Es claro que las translacio-

nes, reflexiones y dilataciones envía semirectas en semirectas y semicírculos en semicírculos, pero para las

inversiones del círculo no es exactamente así.

Proposición 2.3.3. La inversión Ia,r en el círculo con centro en a ∈ R y radio r > 0 envía las lineas

hiperbólicas que intersectan (de forma perpendicular) el eje real en a, en semirectas, el resto de lineas

hiperbólicas las manda en semicírculos.

El resultado es intuitivamente claro. La definición de Ia,r nos dice que si un conjunto de puntos tiende

al centro a (semicírculos que intersectan a de forma perpendicular), sus imágenes tenderán a infinito, por lo

tanto sus imágenes no pueden ser otros semicírculos. Llame S al círculo de inversión centrado en a y de radio

r, observe ademas que I2a,r es la identidad, tenemos entonces lo siguiente:

Semicírculos completamente contenidos en S que intersectan el centro a de forma perpendicular son

enviados a semirectas fuera de S, y viceversa.

Semicírculos parcialmente contenidos en S que intersectan el centro a de forma perpendicular son

enviados a semirectas parcialmente contenidas en S, y viceversa.

Semicírculos parcialmente contenidos en S que no intersectan el centro a son enviados a semicírculos

parcialmente contenidos en S que no intersectan el centro a.


Semicírculos completamente contenidos en Sc son enviados a semicírculos completamente contenidos

en S que no intersectan el centro a, y viceversa.

La frontera de S es el conjunto de puntos fijos.

Las isometrías i)− iv) son llamadas isometrías elementales.

Teorema 2.3.4. Toda isometría en H es una composición finita de isometrías elementales.

2.4. Modelo del disco de Poincaré

Considere la transformación

P(z) =z − iz + i

la cual define una biyección de C− −i en C− 1. Su inversa en la aplicación

P−1(z) =z + 1

i(z − 1).

Observe que en particular, P está bien definida para todo H. Veamos entonces cuál es la imagen de H bajo

P:

P(v + iw) =v + i(w − 1)

v + i(w + 1)

entonces ∣∣∣P(v + iw)∣∣∣ =

(v2 + (w − 1)2

v2 + (w + 1)2

)1/2

=

(v2 + w2 + 1− 2w

v2 + w2 + 1 + 2w

)1/2

.

Tenemos entonces que |P(z)| < 1 si Im(z) > 0

|P(z)| = 1 si Im(z) = 0

|P(z)| > 1 si Im(z) < 0

∀z ∈ C.

Por lo tanto, P transforma H en el disco unitario

D = z ∈ C : |z| < 1,

y envía el eje real en la frontera de D.

2.4. Modelo del disco de Poincaré 41

Definición 2.4.1. El modelo del disco de Poincaré DP del plano hiperbólico es el disco unitario D equipado

con la primera forma fundamental para la cual P : H → DP (como se definió anteriormente) es una isometría.

Teorema 2.4.2. La primera forma fundamental para la cual se cumple que P es una isometría es

4(dv2 + dw2)

(1− v2 − w2)2. (2.5)

En particular, es un modelo de geometría hiperbólica conforme con el plano euclídeo.

Demostración. Bajo el supuesto de que P es una isometría, P−1 : DP → H preserva la métrica de H, es

decir, si a, b son dos puntos en DP , se cumple que dDP(a, b) = dH(P−1(a),P−1(b)), donde dDP

y dH son las

respectivas funciones de distancia en DP y H. Por lo tanto, como ya conocemos la métrica de H, la primera

forma fundamental en P−1(v + iw) = v + iw es

dv2 + dw2

w2.

Para llegar a la expresión de la primera forma fundamental de DP en v + iw, observe que

v + iw = P−1(v + iw) =v + 1 + iw

i(v − 1 + iw)

=(v + 1) + iw

−w + i(v − 1)

=((v + 1) + iw)(−w − i(v − 1))

(v − 1)2 + w2

=−w(v + 1) + w(v − 1)− iw2 − i(v2 − 1)

(v − 1)2 + w2

=−2w

(v − 1)2 + w2+ i

1− v2 − w2

(v − 1)2 + w2

es decir

v =−2w

(v − 1)2 + w2w =

1− v2 − w2

(v − 1)2 + w2.

Por lo tanto

dv =−2dw(w2 + (v − 1)2) + 2w(2wdw + 2(v − 1)dv)

((v − 1)2 + w2)2

=−2w2dw − 2(v − 1)2dw + 4w2dw + 4w(v − 1)dv

((v − 1)2 + w2)2

=2w2dw − 2(v − 1)2dw + 4w(v − 1)dv

((v − 1)2 + w2)2


luego

dv =4(v − 1)wdv − 2((v − 1)2 − w2)dw

((v − 1)2 + w2)2,

y análogamente

dw =2((v − 1)2 − w2)dv + 4(v − 1)wdw

((v − 1)2 + w2)2.

Tenemos entonces

dv2 + dw2 =16(v − 1)2w2 + 4((v − 1)2 − w2)2

((v − 1)2 + w2)4(dv2 + dw2) =

4(dv2 + dw2)

((v − 1)2 + w2)2,

luego

dv2 + dw2

w2=

4(dv2 + dw2)

(1− v2 − w2)2.

Como la primera forma fundamental de DP es un múltiplo de dv2 +dw2, DP es un modelo conforme al plano

euclídeo.

La transformación P es una biyección que envía puntos de H en puntos del disco unitario D. Equipado

con la primera forma fundamental (2.5), las longitudes, ángulos entre curvas y áreas en D resultan ser la

mismas que en H bajo la transformación P.

Como P : H → DP es una isometría, se sigue que las isometrías en DP son precisamente las transformaciones

P F P−1,

donde F es una isometría de H. En efecto, si G es una isometría en DP , entonces F = P−1 G P es una

isometría de H, y G = P F P−1.

Figura 2.3: Geodésicas en el disco de Poincaré

43

Capítulo 3

Grupo fundamental y espacios

recubridores

En este capítulo se presentarán algunos resultados básicos de topología algebraica. Para ellos se hizo uso

del libro [Munkres(2002)]. Las demostraciones faltantes se pueden encontrar en los capítulos 9 y 13 del mismo.

3.1. El grupo fundamental

Definición 3.1.1. Sean f y g aplicaciones continuas del espacio X en el espacio Y . Decimos que f es

homotópica a g si existe una aplicación continua H : X × [0, 1]→ Y tal que

H(x, 0) = f(x) y H(x, 1) = g(x).

La función H se denomina homotopía entre f y g. De manera análoga a como se demostró en el capítulo 1

que la conexidad por caminos es una relación de equivalencia, se puede demostrar que la homotopía define

una relación de equivalencia en el conjunto de las aplicaciones continuas de X en Y . Por lo tanto, si f y g

son homotópicas, escribimos f ' g.

Si pensamos en el parámetro t ∈ [0, 1] como el tiempo, entonces la homotopíaH describe una “deformación”

continua de la aplicación f en la aplicación g a medida que t varía de 0 a 1.

Consideremos ahora el caso particular en el que f : [0, 1] → X, es decir, un camino en X. Entonces, si

f(0) = x0 y f(1) = x1, llamamos punto inicial y punto final del camino a x0 y x1 respectimvamente. Si f

y g son dos caminos en X, existe una relación entre ellos más fuerte que la homotopía. Se define como sigue:

44 Capítulo 3. Grupo fundamental y espacios recubridores

Definición 3.1.2. Dos caminos f y g en X se dicen homotópicos por caminos si tienen los mismos puntos

incial y final, y si además existe una homotopía entre ellos. Es decir, serán homotópicos por caminos si existe

una aplicación continua H : [0, 1]× [0, 1]→ X tal que

H(i, 0) = f(i) y H(i, 1) = g(i) ∀i ∈ [0, 1]

H(0, t) = x0 y H(1, t) = x1 ∀t ∈ [0, 1].

La aplicación H se denomina homotopía de caminos entre f y g. Al igual que antes, esto determina una

relación de equivalencia, escribimos f 'p g cuando f y g son homotópicas por caminos y denotamos su clase

de equivalencia por [f ].

La primera condición dice que H es una “deformación” continua de f en g, mientras que la segunda dice

que ambos caminos tienen el mismo punto inicial y final y que estos permanecen fijos durante la deformación,

a medida que t varía de 0 a 1.

Ejemplo 3.1. Sean f y g dos aplicaciones cualesquiera que van de un espacio topológico X en R2. La

aplicación

H(x, t) = (1− t)f(x) + tg(x)

es una homotopía entre ellas. Para un t ∈ (0, 1) fijo, la función (1 − t)f + tg tiene su imagen sobre los

segmentos de recta que unen los puntos f(x) con g(x) para los diferentes x. La homotoía H se conoce como

homotopía por rectas porque “lleva” el punto f(x) al punto g(x) a lo largo del segmento de recta que los

une.

Si f y g son dos caminos con el mismo punto inicial y final, entonces H será una homotopía por caminos.

En general, si A es un subespacio convexo de Rn (lo cual significa que para dos puntos cualesquiera a, b ∈ A,

el segmento de recta que los une está completamente contenido en A), entonces dos caminos cualesquiera f

y g en A, ambos de x0 a x1, serán homotópicos por caminos ya que la homotopía por rectas H mantiene su

imagen en A.

Definiremos ahora una operación entre caminos que induce una operación sobre las clases de homotopía

por caminos como sigue:

3.1. El grupo fundamental 45

Definición 3.1.3. Sean f y g dos caminos en X que van de x0 a x1 y de x1 a x2 respectivamente. Definimos

el producto f ∗ g como el camino h : [0, 1]→ X definido de la forma

h(i) =

f(2i) para i ∈ [0, 12 ]

g(2i− 1) para i ∈ [ 12 , 1]

La aplicación h es un camino de x0 a x2, pensamos en h como el camino cuya primera mitad es el camino f

y cuya segunda mitad es el camino g.

El anterior producto entre caminos induce naturalmente una operación bien definida sobre las clases de

homotopía por caminos, dada por lo siguiente:

[f ] ∗ [g] = [f ∗ g].

Fácilmente se puede comprobar que si f 'p f ′ y si g 'p g′, entonces f ∗ g 'p f ′ ∗ g′. Si F es una homotopía

por caminos entre f y f ′, y G es una homotopía por caminos entre g y g′, la aplicación H : [0, 1]× [0, 1]→ X

definida por

H(i, t) =

F (2i, t) para i ∈ [0, 12

G(2i− 1, t) para i ∈ [ 12 , 1]

es una homotopía por caminos entre f ∗ g y f ′ ∗ g′.

La operación ∗ satisface los axiomas de grupo, con la excepción de que no está definida para cualquier

par de clases de homotopía, sino únicamente para aquellos pares [f ] y [g] para las cuales f(1) = g(0). Sin

embargo, podemos restringirnos a los caminos que empiezan y terminan en el mismo punto x0 ∈ X, los cuales

llamaremos lazos con base en x0. Claramente, si f y g son dos lazos con base en x0, el producto f ∗ g es un

lazo con base en x0. El conjunto de clases de homotopía de los lazos con base en x0 junto con la operación ∗

forman un grupo.

Proposición 3.1.4. La operación ∗ tiene las siguiente propiedades:

1. (Asociatividad). Si [f ] ∗ ([g] ∗ [h]) está definida, también lo está ([f ] ∗ [g]) ∗ [h] y son iguales.

2. (Elemento neutro). Dado x ∈ X, denotamos por ex al camino constante ex : [0, 1]→ X que envía todo

el intervalo [0, 1] en x. Si f es un lazo con base en x0, entonces

[f ] ∗ [ex0] = [ex0

] ∗ [f ].


3. (Inverso) Dado el lazo f con base en x0, sea f el lazo definido por f(i) = f(1− i). El lazo f se denomina

inverso de f y satisface

[f ] ∗ [f ] = [f ] ∗ [f ] = [ex0].

Intuitivamente, el lazo f recorre el mismo camino que f pero en sentido contrario.

Definición 3.1.5. Sea X un espacio topológico y x0 un punto de X. El conjunto de las clases de homotopía

de caminos asociadas a los lazos con base en x0, junto con la operación ∗ se denomina grupo fundamental

de X relativo al punto base x0. Este grupo se denota por π1(X,x0).

Ejemplo 3.2. Sea Rn el espacio euclídeo n-dimensional. Entonces π1(Rn, x0) es el grupo trivial (cuyo único

elemento es el elemento neutro), ya que si f es un lazo en Rn con base en x0, la homotopía por rectas es una

homotopía por caminos entre f y el camino constante x0. En general, si A es un conjunto convexo de Rn,

entonces π1(A, x0) es el grupo trivial. En particular, la bola unitaria Bn de Rn,

Bn = ~x | x21 + · · ·+ x2

n ≤ 1,

tiene grupo trivial.

Como normalmente se habla del grupo fundamental de un espacio topológico si especificar ningún punto,

una cuestión natural que surge es qué tanto depende el grupo fundamental del punto al cual es relativo. Para

considerar este interrogante se tiene la siguiente definición:

Definición 3.1.6. Sea α un camino en X de x0 a x1 y f un lazo con base en x0. Definimos la aplicación

α : π1(X,x0)→ π1(X,x1)

por la ecuación

α([f ]) = [α] ∗ [f ] ∗ [α].

Tenga en cuenta que el producto [α]∗[f ]∗[α] no se lee de derecha a izquierda como si fuera una composición

de funciones. El lazo α ∗ f ∗ α con base en x1 es un lazo cuya primera parte es un camino de x1 a x0, su

segunda parte es un lazo con base en x0 y su último tramo es una camino de x0 a x1 (figura 3.1. Recuperada

de [Munkres(2002)]). Por lo tanto α envía elementos del grupo fundamental π1(X,x0) en elemntos del grupo

fundamental π1(X,x1).

Teorema 3.1.7. La aplicación α es un isomorfismo de grupos.

3.1. El grupo fundamental 47

Demostración. Veamos primero que α es un homomorfismo:

α([f ]) ∗ α([g]) = ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗ ([α] ∗ [g] ∗ [α])

= ([α] ∗ [f ] ∗ [g] ∗ [α])

= α([f ] ∗ [g])

Veamos ahora que α es el inverso de α:

α([f ]) = ([ ¯α] ∗ [f ] ∗ [α]) = ([α] ∗ [f ] ∗ [α]),

α(α([f ])) = [α] ∗ ([α] ∗ [f ] ∗ [α]) ∗ [α] = [f ].

Un cálculo análogo muestra que α(α([f ])) = [f ]. Por lo tanto α es una biyección.

Figura 3.1

Corolario 3.1.8. Sea X un espacio topológico conexo por caminos, y sean x0, x1 ∈ X, entonces los grupos

fundamentales π1(X,x0) y π1(X,x1) son isomorfos.

Si C es una componente conexa por caminos de X que contiene a x0, entonces π1(C, x0) y π1(X,x0)

son iguales ya que todos los lazos y homotopías en X con base en x0 deben pertenecer al subespacio C. Si

X es un espacio conexo por caminos, todos los grupos fundamentales π1(X,x0) son isomorfos. A pesar de

ello, es conveniente no omitir el punto base ya que caminos diferentes α y β de x0 a x1, pueden conducir a

isomorfismos diferentes entre estos grupos.

Definición 3.1.9. Un espacio topológico X se dice simplemente conexo si es conexo por caminos y si su

grupo fundamental es trivial.


Si p : X → Y es una aplicación continua entre espacios topológicos que envía el punto x0 ∈ X al punto

y0 ∈ Y , denotamos esta propiedad escribiendo

p : (X,x0)→ (Y, y0).

Ahora, suponga que p : (X,x0)→ (Y, y0) es una aplicación continua. Defina

p∗ : π1(X,x0)→ π1(Y, y0)

por la ecuación

p∗([f ]) = [p f ].

La aplicación p∗ se denomina homomorfismo inducido por p, relativo al punto base x0. El que p∗ esté

bien definido y sea un homomorfismo se deriva de los siguientes dos hechos fundamentales que se obtienen

de la definición del operador ∗.

Si H es una homotopía de caminos entre f y g, entonces p H es una homotopía de caminos entre los

caminos p f y p g.

Si p : X → Y es una aplicación continua y si f y g son dos caminos en X con f(1) = g(0), entonces

p (f ∗ g) = (p f) ∗ (p g).

Teorema 3.1.10. Si p : (X,x0)→ (Y, y0) es un homeomorfismo entre X y Y , entonces p∗ es un isomorfismo

entre los grupos π1(X,x0) y π1(Y, y0).

Esto indica que el grupo fundamental de un espacio es un invariante topológico.

3.2. Espacios recubridores

Un espacio recubridor E de un espacio topológico X es intuitivamente un espacio topológico que lleva

consigo varias copias de los abiertos del espacio X que recubre. Si U es un abierto en X, frecuentemente

dibujamos los correspondientes abiertos en E como una “pila de masitas” con la misma forma y tamaño que

U , flotando en el aire sobre U (figura 3.2). Entonces existe una aplicación sobreyectiva y continua entre E

y X que las comprime todas las masitas sobre U . Unas de las herramientas más importantes para calcular

grupos fundamentales son los espacios recubridores. Como veremos, existe una estrecha relación entre ambos

3.2. Espacios recubridores 49

Figura 3.2

conceptos. Los espacios recubridores son también importantes para el estudio de las superficies de Riemann

como contemplaremos más adelante.

Definición 3.2.1. Sea p : E → X una aplicación continua y sobreyectiva. Un conjunto abierto U ⊂ X se

dice que está regularmente cubierto por p si la preimagen p−1(U) es una unión disjunta de conjuntos

abiertos Vα ⊂ E, tales que, para cada α, la restricción p : Vα → U es un homeomorfismo. La colección Vα

se denomina partición de p−1(U) en rebanadas.

Definición 3.2.2. Sea p : B → X una aplicación continua y sobreyectiva. Si todo x ∈ X tiene un entorno

U que está regularmente cubierto por p, entonces se dice que p es una aplicación recubridora y E un

espacio recubridor de X.

Observe que si p : E → X es una aplicación recubridora, para cada x ∈ X, el espacio p−1(x) es un

espacio discreto con la topología discreta. Esto debido a que cada rebanada Vα es abierta en E e intersecta

al conjunto p−1(x) en un solo punto. Por lo tanto, este punto es abierto en p−1(x). Por el mismo argumento,

p−1(x) es un conjunto de puntos aislados, luego es discreto.

Proposición 3.2.3. Si p : E → X es una aplicación recubridora, entonces es una aplicación abierta.

Para esta prueba recuerde que U ∈ X es un conjunto abierto si y solo si para todo x ∈ U , existe un

entorno V de x contenido en U .

Demostración. Sea A ⊂ E un abierto y sea x ∈ p(A), veamos que p(A) es un abierto en X. Elija un entorno

U de x que esté regularmente cubierto por p. Sea Vα una partición en rebanadas de p−1(U). Existe un

y ∈ A tal que p(y) = x. Sea Vβ la rebanada que contiene a y. El conjunto Vβ ∩ A es abierto en E, y por lo

tanto abierto en Vβ . Como Vβ y U son homeomorfos bajo p, tenemos que p(Vβ ∩ A) es abierto en U , y por

lo tanto, en X. Entonces p(Vβ ∩A) es un entorno de x contenido en p(A), luego p(A) es abierto.


Si p es una aplicación recubridora, entonces p es un homeomorfismo local entre E y X. Es decir, cada

punto e ∈ E tiene un entorno A tal que A es homeomorfo a p(A). Esto implica que E y X comparten las

mismas propiedades topológicas locales.

Proposición 3.2.4. La aplicación p : R→ S1 dada por

p(x) = (cos 2πx, sin 2πx)

es una aplicación recubridora.

Demostración. Considere el abierto U ⊂ S1 dado por la intersección de S1 con el semiplano derecho abierto.

El conjunto p−1(U) consiste de aquellos puntos para los que el coseno es positivo, esto es, la unión de los

intervalos

Vn =(n− 1

4, n+

1

4

)∀n ∈ Z.

Ahora, la aplicación p restringida a los intervalos Vn es inyectiva ya que en ellos la función sin 2πx es

estrictamente monótona. Por lo tanto p|Vnes sobreyectiva en su imagen U . Por otro lado, la aplicación p es

continua ya que sus funciones componentes lo son. Como p|Vnes una aplicación continua de un compacto a

un espacio Hausdorff, entonces es cerrada. Dado que p|Vnes biyectiva, si es una aplicación cerrada también

es abierta (y viceversa). Concluimos que p|Vnes un homeomorfismo entre Vn y U , en particular lo es entre

Vn y U .

Se puede aplicar el mismo razonamiento para la intersección de S1 con los semiplanos abiertos, superior,

inferior e izquierdo. Estos abierto cubren S1 y están regularmente cubiertos por p. Concluimos que p : R→ S1

es una aplicación recubridora

Proposición 3.2.5. Sean p : E → X y p′ : E′ → X ′ aplicaciones recubridoras. Entonces

p× p′ : E × E′ → X ×X ′

es una aplicación recubridora.

Ejemplo 3.3. Considere el toro T = S1 × S1, entonces la aplicación producto

p× p : R× R→ S1 × S1

3.3. El grupo fundamental del círculo 51

es un cubrimiento del toro por el plano R2, donde p es la aplicación recubridora de la proposición 3.2.4. Cada

uno de los cuadrados unitarios [n, n+ 1]× [m,m+ 1] cubre completamente el toro, por medio de p× p.

3.3. El grupo fundamental del círculo

Definición 3.3.1. Sean p : E → X una aplicación cualquiera y f : Y → X una aplicación continua para

algún espacio Y . Un levantamiento de f es una aplicación f : Y → E tal que p f = f .

Y

E

X

f p

f

Un caso particular del anterior diagrama es cuando p es una aplicación recubridora y f es un camino.

Esto nos dice que los caminos pueden ser levantados, y por lo tanto, las homotopías de caminos también

pueden ser levantadas.

Ejemplo 3.4. Considere el cubrimiento p : R → S1 de la proposición 3.2.4. El camino f : [0, 1] → S1 que

comienza en b0 = (1, 0) dado por f(i) = (cosπi, sinπi) se levanta al camino f : [0, 1]→ R dado por f(i) = i2

que comienza en 0 y termina en 12 .

Observe que

(p f)(i) = p( i

2

)=(

cos 2πi

2, sin 2π

i

2

)= (cosπi, sinπi) = f(i).

El camino h(i) = (cos 4πi, sin 4πi) se levanta al camino h(i) = 2i que comienza en 0 y acaba en 2. Intuitiva-

mente, h “enrolla” dos veces el intervalo [0, 1] alrededor del círculo S1.

Lema 3.3.2. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Cualquier camino f : [0, 1] → X

que comience en x0 tiene un único levantamiento a un camino f que comience en e0.

Lema 3.3.3. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Sea F : [0, 1] × [0, 1] → X una

aplicación continua con F (0, 0) = x0. Existe un único levantamiento de F a una aplicación continua

F : [0, 1]× [0, 1]→ E

tal que F (0, 0) = e0. En particular, si F es una homotopía de caminos , entonces F también es una homotopía

de caminos.


Proposición 3.3.4. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Sean f y g dos caminos

en X de x0 a x1, y sean f y g sus respectivos levantamientos a caminos en E ambos comenzando en e0. Si

f y g son homotópicos por caminos, entonces f y g son homotópicos por caminos, y por lo tanto, también

terminan en el mismo punto de E.

Definición 3.3.5. Sea p : E → X una aplicación recubridora y x0 ∈ X. Elija un e0 ∈ E que cumpla

p(e0) = x0. Dado un elemento [f ] ∈ π1(X,x0), sea f el levantamiento de f a un camino en E que comience

en e0. Tenga en cuenta que f no necesariamente es un lazo. Definimos la aplicación

Φ : π1(X,x0)→ p−1(x0)

por la ecuación

Φ([f ]) = f(1),

es decir, Φ envía la clase de f en el punto final del camino f . Llamamos a Φ la correspondencia del

levantamiento derivada de la aplicación recubridora p.

.

Como Φ depende completamente de f , y f es único después de haber fijado e0, entonces Φ depende de

la elección de e0. Observe que la definición de Φ no depende de la elección de respresentante de la clase [f ]

gracias al lema 3.3.2. Además, por la proposición 3.3.4, si f y g son dos representantes de la misma clase de

equivalencia, f y g son homotópicos por caminos y por lo tanto f(1) = g(1). Entonces la aplicación Φ está

bien definida.

Proposición 3.3.6. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Si E es conexo por caminos,

entonces la correspondencia del levantamiento

Φ : π1(X,x0)→ p−1(x0)

es sobreyectiva. Si E es simplemente conexo, entonces Φ es biyectiva.

Teorema 3.3.7. El grupo fundamental de S1 es isomomorfo al grupo aditivo de los enteros.

Demostración. Sea p : R → S1 la aplicación recubridora de la proposición 3.2.4. Elija e0 = 0, entonces

p(e0) = (1, 0). Observe que p−1(1, 0) es el conjunto Z de los números enteros. Por el teorema 3.3.6, dado que

3.4. Equivalencia de espacios recubridores 53

R es simplemente conexo, la correspondencia del levantamiento

Φ : π1(S1, (1, 0))→ Z

es biyectiva. Ahora solo resta probar que Φ es un homomorfismo. Para esto, sean [f ], [g] ∈ π1(S1, (1, 0)) y

sean f y g sus respectivos levantamientos a caminos en R comenzando en 0. Tenga en cuenta que en general

[f ] 6= [g], luego f 6'p g en general, entonces no necesariamente terminan en el mismo punto en R. Sean

n = f(1) = Φ(f) y m = g(1) = Φ(g). Sea g el camino en R definido por

g(i) = n+ g(i),

entonces g empieza donde termina f , y por lo tanto el producto f ∗ g está bien definido. Como p(n+x) = p(x)

para todo x ∈ R (por la definición de p), entonces p(n+ g(i)) = p(g(i)), luego g también es un levantamiento

de g con la diferencia que comienza en n. Tenemos entonces que el producto f ∗ g es el levantamiento de

f ∗ g que comienza en 0. El punto final de este levantamiento es g(1) = n+m. Entonces tenemos la siguiente

ecuación:

Φ([f ] ∗ [g]) = (f ∗ g)(1) = n+m = f(1) + g(1) = Φ([f ]) + Φ([g]).

Observe que el número entero asociado a cada lazo corresponde al número de veces que este se “enrolla”

en S1, y que los lazos en la misma clase de equivalencia difieren únicamente en la “velocidad” con la que se

recorre el lazo, geométricamente son iguales.

3.4. Equivalencia de espacios recubridores

En esta seción, veremos que existe una estrecha relación entre el grupo fundamental de un espacio topo-

lógico X y sus posibles espacios recubridores E. De hecho, bajo ciertas condiciones de conexidad, existe una

correspondencia biyectiva entre clases de conjugación de subgrupos de π1(X,x0), y clases de equivalencia de

los espacios recubridores, cuya relación de equivalencia definiremos próximamente. Para este fin, haremos uso

de los siguientes resultados:

Lema 3.4.1. Sea p : E → X una aplicación recubridora. Sea X0 es un subespacio de X y E0 = p−1(X0).

Entonces la aplicación p0 : E0 → X0, obtenida al restringir p, es una aplicación recubridora.


Lema 3.4.2. Sea X conexo por caminos y localmente conexo por caminos. Sea p : E → X una aplicación

recubridora y suponga que E0 es una componente conexa por caminos de E. Entonces la aplicación p0 : E0 →

X, obtenida al restringir p, es una aplicación recubridora.

Con el objetivo de usar el grupo fundamental para estudiar los espacios recubridores, nos restringiremos

al caso en que X es localmente conexo por caminos. Como el espacio E es localmente homeomorfo a X por

medio de p, entonces E también será localmente conexo por caminos. Recordemos que, por el teorema 1.4.16,

como X y E son localmente conexos por caminos, sus componentes conexas coinciden con sus componentes

conexas por caminos. Por lo tanto, X y E serán conexos si y solo si son conexos por caminos.

Ahora, podemos restringirnos a las componentes conexas Xα de X, ya que por el lema 3.4.1, las aplica-

ciones pα : Eα → Xα obtenidas al restringir p son también aplicaciones recubridoras. En ese caso, la unión de

los Eα será un espacio recubridor de X y la aplicación p obtenida al extender adecuadamente las restricciones

pα será la respectiva aplicación recubridora. Podemos restringirnos también a las componentes conexas Eα

de E. Por el lema 3.4.2, las aplicaciones obtenidas al restringir p son también aplicaciones recubridoras de

los subespacios conexos Xα.

Así pues, podemos determinar todos los recubrimientos de un espacio localmente conexo por caminos X,

determinando los espacios recubridores conexos Eα para cada una de las componentes conexas de X. De

modo que, para los objetivos de esta sección, podemos pedir que X y E sean conexos por caminos.

Teorema 3.4.3. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Entonces el homomorfismo

inducido

p∗ : π1(E, e0)→ π1(X,x0)

es inyectivo.

Demostración. Como p∗ es un homomorfismo, basta con probar que el kernel de p∗ es trivial. Sea p∗([h]) el

elemento neutro del grupo π1(X,x0). Queremos ver que [h] es el elemento neutro de π1(X,x0). Tenemos que

h es un lazo en E con base en e0. Como p∗([h]) es el elemento neutro, existe una homotopía de caminos H

entre p h y el lazo constante en X. Si H es el levantamiento de H en E tal que H(0, 0) = e0, entonces H es

una homotopía de caminos entre h y el lazo constante. Por lo tanto la clase de h es el neutro del grupo.

De acuerdo con el teorema anterior, como p∗ es inyectivo, existe un isomorfismo entre π1(E, e0) y su ima-

gen, la cual es un subgrupo de π1(X,x0). De manera que podemos identificar el subgrupo H0 := p∗(π(X,x0))

con el grupo fundamental π1(E, e0) del espacio recubridor. Resulta que el subgrupo H0 determina comple-

tamente la aplicación recubridora p, salvo cierta relación de equivalencia que definiremos a continuación. Es

3.4. Equivalencia de espacios recubridores 55

decir que a cada recubridor p le corresponde un subgrupo H0, y a recubridores equivalentes les corresponde el

mismo H0. Ademas, bajo una muy suave condición adicional sobre X, para cada subgrupo H0 de π1(X,x0)

existe un recubrimiento p : E → X cuyo subgrupo correspondiente bajo p∗ es H0. Así, podemos determi-

nar todos los espacios recubridores de X simplemente examinando la colección de todos los subgrupos de

π1(X,x0).

Definición 3.4.4. Sean p : E → X y p′ : E′ → X aplicaciones recubridoras. Diremos que las aplicaciones

o los espacios recubridores son equivalentes si existe un homeomorfismo h : E → E′ tal que p = p′ h. El

homeomorfismo h se denomina homeomorfismo de equivalencia.

E E′

X

h

p′p

Proposición 3.4.5. Sean p : E → X y p′ : E′ → X ′ aplicaciones recubridoras con E,E′, X y X ′ conexos por

caminos y localmente conexos por caminos. Sean e0 ∈ E y e′0 ∈ E′ tales que p(e0) = p′(e′0) = x0. Entonces

existe un homeomorfismo de equivalencia h : E → E′ que envía e0 en e′0, si y solo si los subgrupos

H0 = p∗(π1(E, e0)) y H ′0 = p′∗(π1(E′, e′0))

de π1(X,x0) son iguales. En este caso, h será única.

Acabamos de establecer condiciones necesarias y suficientes la existencia de un homeomorfismo de equi-

valencia h : E → E′ que envíe e0 en e′0. Sin embargo, como en general la preimagen de x0 bajo una aplicación

recubridora consiste de más de un punto, podríamos creer falsamente que no existe una equivalencia entre

aplicaciones recubridoras. Sería posible el caso en que no exista un homeomorfismo de equivalencia que envíe

e0 en e′0, pero si uno que envíe e0 en e′1, para algún e′1 ∈ (p′)−1(x0), en cuyo caso también se cumpliría que

p(e0) = p′(e′1) = x0, y por lo tanto las aplicaciones recubridoras p y p′ serían equivalentes.

A fin de evadir esta dificultad, necesitamos establecer condiciones necesarias y suficientes más generales.

Para ellos, recordemos que dos subgrupos H1 y H2 de un grupo G son conjugados entre si, si se cumple que

H2 = g ·H1 ·g−1 para algún g ∈ G. Dicho de otra manera, los subgrupos son conjugados si el automorfismo que

aplica x en g ·x · g−1, aplica H1 en H2. Es fácil comprovar que la conjugación es una relación de equivalencia

en el conjunto de subgrupos de G. El siguiente lema presenta para simplificar la prueba del teorema 3.4.7.

Lema 3.4.6. Sea p : E → X una aplicación recubridora y x0 un punto cualquiera en X.


(a) Sean e0, e1 ∈ p−1(x0) y Hi = p∗(π1(E, e0)). Si γ es un camino en E de e0 a e1 y α es el lazo en X

dado por α = p γ, entonces se satisface la ecuación [α] ∗H1 ∗ [α]−1 = H0. Por lo tanto, H0 y H1 son

conjugados.

(b) Sean e0 ∈ p−1(x0) y H0 = p∗(π1(E, e0)). Recíprocamente, si H0 y H1 son conjugados, para algún

subgrupo H1 de π1(X,x0), entonces existe e1 ∈ p−1(x0) tal que H1 = p∗(π1(E, e1)).

Una pequeña observación que se debe tener en cuenta es que si E es conexo por caminos, (a) nos dice que

todos los Hi son conjugados entre si, para todo ei ∈ p−1(x0).

Proposición 3.4.7. Sean p : E → X y p′ : E′ → X ′ aplicaciones recubridoras con E,E′, X y X ′ conexos por

caminos y localmente conexos por caminos. Sean e0 ∈ E y e′0 ∈ E′ tales que p(e0) = p′(e′0) = x0. Entonces

existe un homeomorfismo de equivalencia h : E → E′, si y solo si los subgrupos

H0 = p∗(π1(E, e0)) y H ′0 = p′∗(π1(E′, e′0))

de π1(X,x0) son conjugados entre si.

Demostración. (⇒) Sea h : E → E′ un homeomorfismo de equivalencia, y sean e′1 = h(e0) y H ′1 =

p′∗(π1(E′, e′1)) Por definición de homeomorfismo de equivalencia se tiene que p(e′1) = x0. El teorema 3.4.5

implica que H0 = H ′1, mientras que el lema anterior nos dice que H ′1 es conjugado de H ′0. Entonces H0 es

conjugado de H ′0.

(⇐) Reciprocamente, si los grupos H0 y H ′0 son conjugados, el lema anterior nos dice que existe un punto

e′1 ∈ E′ tal que H1 = H ′0. El teorema 3.4.5 nos dice entonces que existe un homeomorfismo de equivalencia

h : E → E′ tal que h(e0) = e′1.

Ejemplo 3.5. Consideremos los espacios recubridores del círculo X = S1. Como el grupo fundamental del

círculo π1(S1, x0) = (Z,+) es abeliano, dos subgrupos de π1(S1, x0) son conjugados si y solo si son iguales.

Por lo tanto, dos recubridores de S1 son equivalentes si y solo si se corresponden con el mismo subgrupo de

π1(S1, x0). Por un conocido resultado de álgebra, sabemos que los subgrupos no triviales de Z son los grupos

nZ = nz | z ∈ Z y n ∈ Z+.

Recordemos el ya conocido recubrimiento del círculo p : R → S1. Como R es simlemente conexo, su

grupo fundamental es trivial y por lo tanto p∗(π1(R, e0)) = 0. Entonces el recubridor p se corresponde con

el subgrupo trivial de Z, es decir, 0Z. Considere ahora el recubridor p : S1 → S1 definido por p(z) = zn,

donde z es un número complejo. Recuerde que el número complejo z · z′ tiene módulo |z||z′| y argumento

3.5. Espacio recubridor universal 57

arg(z) + arg(z′). Por lo tanto, es fácil ver que p∗ envía el lazo que se “enrolla” m veces en S1, en el lazo que

se “enrolla” n ·m veces en S1. De modo que este recubridor se corresponde con el subgrupo nZ.

Concluimos por el teorema anterior que estos son todos los espacios recubridores conexos de S1 salvo

equivalencia.

3.5. Espacio recubridor universal

Definición 3.5.1. Sea p : E → X una aplicación recubridora con p(e0) = x0. Si el espacio E es simplemente

conexo, entonces E se denomina espacio recubirdor universal de X.

Como el grupo fundamental de un espacio recubridor universal es siempre trivial, π1(E, e0) siempre es

enviado al subgrupo trivial de π1(X,x0) bajo la aplicación p∗. Luego el teorema 3.4.7 implica que cualesquiera

dos espacios recubridores universales son equivalentes. Por ello es común hablar de “el” espacio recubridor

universal de un espacio X.

Lema 3.5.2. Sean p, q y r aplicaciones continuas con p = r q como se muestra en el siguiente diagrama:

A

B

C

q

r

p

Entonces si p y r son aplicaciones recubridoras, también los es q.

Teorema 3.5.3. Sea p : E → X una aplicación recubridora, con E simplemente conexo. Dada cualquier

aplicación recubridora r : Y → X, existe una aplicación recubridora q : E → Y tal que r q = p.

E

Y

X

q

r

p

El teorema anterior nos dice que el recubrimiento universal de un espacio X recubre cualquier otro espacio

recubridor de X. Es por esto que se llama “universal”.

Haste el momento, hemos visto que para cada aplicación recubridora p : E → X, existe una correspon-

diente clase de conjugación de subgrupo de π1(X,x0) determinado por la aplicación inyectiva p∗, y que dos


de tales aplicaciones son equivalentes si y solo si corresponden a las misma clase de conjugación. De modo

que tenemos una correspondencia inyectiva entre clases de equivalencia de recubridores de X y clases de con-

jugación de subgrupos de π1(X,x0). Como se mencionó antes, para obtener una correspondencia biyectiva

requerimos de una muy suave condición adicional sobre X que daremos a continuación. Es por ello que, sin

esta condición adicional, no todo espacio X tiene un recubridor universal. Si existe dicho recubridor, siempre

estará en correspondencia que el subgrupo trivial de π1(X,x0), por lo que en este case E será simplemente

conexo. Pero como la correspondencia no es sobreyectiva, el subgrupo trivial de π1(X,x0) puede no tener un

recubridor asociado.

Definición 3.5.4. Un espacio X se dice semilocalmente simplemente conexo si para cada x ∈ X, existe

un entorno U de x tal que el homomorfismo

i∗ : π1(U, x)→ π1(X,x) (3.1)

inducido por la inclusión es trivial.

Teorema 3.5.5. Sea X conexo por caminos, localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente

conexo por caminos. Sea x0 ∈ X. Para cada subgrupo H de π1(X,x0), existe una correspondiente aplicación

recubridora p : E → X tal que

H = p∗(π1(E, e0))

para un cierto e0 ∈ p−1(x0).

Corolario 3.5.6. El espacio X tiene un espacio recubridor universal si y solo si X es conexo por caminos,

localmente conexo por caminos y semilocalmente simplemente conexo.

59

Capítulo 4

Uniformización

4.1. Teorema de representación conforme

La discución de esta sección está motivada por la siguiente cuestión: Dados dos dominios abiertos U, V ∈ C,

¿Existe un isomorfismo conforme entre ellos? Un camino alternativo que lleva a una solución equivalente es

cambiar uno de estos dominios con poca estructura geométrica por uno con más propiedades útiles. Para ello,

reemplazamos uno de los dominios por el disco abierto unitario D. Entonces la cuestión es si cualquier dominio

abierto U ∈ C es conformemente equivalente al disco abierto unitario. El teorema de representación conforme,

conocido en ingles como Riemann Mapping Theorem, nos dice que sí es posible bajo ciertas restricciones sobre

el dominio abierto. Primero, si U = C, por el teorema de Liouville sabemos que no es posible tener dicho

isomorfismo conforme. Por lo tanto es necesario que U ( C. Adicionalmente, D es simplemente conexo, luego

también debemos imponer que U sea simplemente conexo. Estas condiciones son suficientes para garantizar

las existencia de tal isomorfismo conforme.

Teorema 4.1.1 (Teorema de representación conforme). Sea U un abierto simplemente conexo estrictamente

contenido en C, z0 ∈ U y D el disco abierto unitario. Entonces existe una única transformación conforme

biyectiva con inversa conforme (isomorfismo conforme) f : U → D tal que f(z0) = 0 y f ′(z0) > 0.

Corolario 4.1.2. Cualesquiera dos abiertos propios simplemente conexos en C son conformemente equiva-

lentes.

Claramente, el corolario se sigue del teorema ya que se puede usar el disco abierto unitario como inter-

mediario para obtener la transformación conforme entre ambos abiertos.

60 Capítulo 4. Uniformización

Antes de hablar de la prueba del teorema de representación conforme (Riemann Mapping Theorem), es

necesario mencionar algunas definiciones y resultados.

Sea U un abierto en C. Una familia F de funciones holomorfas en U se dice normal si toda sucesión de

funciones de F tiene una subsucesión que converge uniformemente en cualquier compacto de Ω (la función

límite no tiene porque estar en F).

La familia F se dice uniformemente acotada en compactos de U si para cada compacto K ⊂ U existe

c > 0 tal que

|f(z)| ≤ c ∀z ∈ K y f ∈ F .

La familia F se dice equicontinua en un compacto K si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo

z, w ∈ K, si |z − w| < δ, entonces

|f(z)− f(w)| < ε ∀f ∈ F .

Esto es continuidad uniforme pero se debe cumplir para todas las funciones de la familia.

Teorema 4.1.3 (Montel). Suponga que F es un familia de funciones holomorfas en U que es uniformemente

acotada en compactos de U . Entonces

i) F es equicontinua en todo compacto de U .

ii) F es normal.

Proposición 4.1.4. Sea U es un dominio abierto simplemente conexo en C y fn es una secuencia de

inyecciones holomorfas definidas sobre U . Si la familia de funciones converge uniformemente en todo compacto

contenido en U a una función holomorfa f , entonces f es constante o inyectiva.

Con los resultados anteriores ya estamos listos para presentar la prueba del teorema de representación

conforme de Riemann. Dividiremos la prueba en tres partes. Primero, construiremos una función F : U →

C conforme definida en algún dominio simplemente conexo de C, y mediante translaciones y reescalados,

podremos transladar la imagen de F para que contenga al cero y esté contenida en el disco abierto unitario.

En la segunda parte, consideraremos todas las funciones inyectivas holomorfas f : U ⊂ D → D que fijan

el cero. En este punto quisieramos que la imagen de f sea todo D, lo cual será posible haciendo |f ′(0)| tan

grande como sea posible. Para lograr esto, consideraremos la convergencia uniforme de una secuencia de

funciones de modo que la función límite será la que estemos buscando. Por último, veremos que ademas de

ser inyectiva y holomorfa, también será sobreyectiva, y por lo tanto holomorfa. Componiendo esta función

con la función F de la parte 1, tendremos la transformación conforme del enunciado del teorema.

4.1. Teorema de representación conforme 61

Demostración. (Parte 1). Suponga U un dominio propio simplemente conexo de C. Tome un complejo α /∈ U ,

entonces la expresión z − α nunca se anula ∀z ∈ U . Defina la función holomorfa

f(z) = z − α.

Observer f es inyectiva. Si f(z) = f(z′), entonces ef(z) = ef(z′) ⇒ z − α = z′ − α⇒ z = z′. Tome un punto

w ∈ U y note que

f(z) 6= f(w) + 2πi ∀z ∈ U.

Si no fuera así, exponenciando la anterior expresión se tiene z = w, luego f(z) = f(w), contradicción. De

hecho, los puntos f(z) y f(w) + 2πi están suficientemente alejados, en el sentido de existe un disco centrado

en f(w) + 2πi que no contiene ningún punto de f(U). Si no fuera así, todo disco centrado en f(w) + 2πi

contendría algún punto de f(U) luego sería un punto de acumulación. En ese caso, existiría una secuencia

zn de elementos en U tal que f(zn) → f(w) + 2πi. Exponenciando se tiene que zn → w gracias a que la

función exponencial es continua, luego f(zn)→ f(w), contradicción. Considere ahora la función

F (z) =1

f(z)− (f(w) + 2πi).

Como f es inyectiva y holomorfa, también lo es F . Entonces F : U → F (U) es conforme. Más aún, por lo

dicho anteriormente, el denominador de F no es cero, ni tiende a cero, luego F (U) es un domninio acotado.

Podemos transladar y reescalar la función F de modo que su imagen esté contenida en el disco abierto unitario

D y contenga el origen. Tenemos una función conforme de un abierto U a un subconjunto simplemente conexo

de D que contiene el origen.

(parte 2). Asuma ahora que U es un abierto en D tal que 0 ∈ U . Considere la familia F de todas las

funciones inyectivas holomorfas que van de U en D y que fijan el origen:

F = f : U → D | f es holomorfa, inyectiva y f(0) = 0.

Observe que F no es vacio ya que contiene a la identidad y que esta familia es uniformemente acotada por

el disco unitario. Nos interesa ahora hallar una función f ∈ F que maximize |f ′(0)|. Por la desigualdad

de Cauchy (teorema 1.1.17), los valores de |f ′(0)| están acotados para toda f ∈ F , gracias a que siempre


podemos encontrar un disco cerrado centrado en el origen completamente contenido en U . Sea

s = supf∈F|f ′(0)|,

y tome una secuencia fn de F tal que |f ′n(0)| → s cuando n → ∞. Por el teorema de Montel, la familia

F es normal, luego existe una subsecuencia fnk que converge uniformemente en compactos a una función

holomorfa f definida U . Veamos ahora que f ∈ F . Como s ≥ 1 (debido a que la identidad está en F), f es

no constante, luego inyectiva por la proposición 4.1.4. Por otro lado, fn(z) < 1 ∀z ∈ U y ∀n, entonces se

tiene que f(z) ≤ 1, pero por el principio del módulo máximo teorema 1.1.19) vemos que f(z) < 1 para todo

z ∈ U . Adicionalmente, por la uniformidad de la convergencia f(0) = 0, entonces concluimos que f ∈ F con

|f ′(0)| = s.

Parte 3. En esta última parte probaremos que f es una aplicación conforme de U en el disco. Como

ya sabemos que f es holomorfa en inyectiva, basta ver que es sobreyectiva para tener un biholomorfismo.

Procederemos por contradicción. Suponga que α ∈ D pero α /∈ f(U). Considere el automorfismo ψα del disco

que intercambia α con el 0

ψα(z) =α− z1− αz

,

el cual es una transformación de Möbius, y por lo tanto conforme. Como U es conexo, también lo es Ω =

(ψα f)(U). Note que Ω no contiene el origen. Definimos ahora la raiz cuadrada en Ω por

g(w) = e12 lnw.

Ahora, considere la función

H = ψg(α) g ψα f.

Veamos que H ∈ F . Claramente H(0) = 0 y es holomorfa. Ademas, tiene su imagen dentro del disco unitario

y es inyactiva dado que así es para cada una de las funciones compuestas. Sea h(w) = w2, entonces

f = ψ−1α h ψ−1

g(α) H = Φ H.

Note Φ aplica D en D con Φ(0) = 0 y es holomorfo porque las funciones que se componen lo son. Por el lema

de Schwarz (lema 1.1.16), se tiene que |Φ′(0)| < 1. Por la regla de la cadena

f ′(0) = Φ′(0)H ′(0)

4.2. Espacios recubridores en superficies de Riemann 63

luego

|f ′(0)| < |H ′(0)|

lo cual contradice la maximalidad de f ′(0) en F .

La función que cumple el enunciado del teorema es la composición de las dos transformaciones conformes

halladas en los pasos 1 y 2, llamela f . Por último, podemos multiplicar f por un adecuado numero complejo

de norma 1, de modo que f ′(0) sea real y mayor que 0.

4.2. Espacios recubridores en superficies de Riemann

Para la prueba del siguiente teorema, usaremos el hecho de que cualquier abierto en el plano complejo

es homemorofo al disco abierto unitario. En ese sentido, una superficie de Riemann es una variedad con un

atlas de cartas cuyas imagenes son el disco abierto unitario, y cuyas funciones de transición son holomorfas.

Además, se dará por supuesto que toda superficie de Riemann tiene recubrimiento universal, esto debido a

que cumple las condiciones del corolario 3.5.6.

Teorema 4.2.1. Sea M una superficie de Riemann y p : E → M su recubrimiento universal. Entonces el

espacio E es también una superficie de Riemann.

Demostración. Sea e un punto cualquiera en E y considere el punto p(e) ∈ M . Como M es una superficie

de Riemann, existe un homeomorfismo ϕ entre un entorno U de p(e) y el disco abierto unitario D en C.

Además, por definición de p, también existe algún otro entorno V de p(e) tal que V es homeomorfo a un

abierto de E que contiene a e. Considere la intersección entre U y V , la cual es otro entorno de p(e). Esta

intersección será homeomomorfa a un abierto en E y al disco abierto unitario en C. Por lo tanto, tenemos

un abierto conteniendo a e que es homeomorfo a D, por medio de la aplicación p ϕ. Hemos demostrado que

para cualquier punto e ∈ E, existe un entorno de e homeomorfo al disco abierto unitario.

Ahora, tome dos puntos a, b ∈ E tales que Ua y Ub sean enviados al disco abierto unitario por medio ψ y

φ respectivamente. Entonces ψ es la composición β p, donde β es la carta que envía un entorno de p(a) en

D y φ la composición γ p, donde γ es la carta que envía un entorno de p(b) en D. Queremos ver que ψ φ−1

es holomorfa. Podemos suponer que Ua ∩Ub 6= ∅, y por lo tanto p(Ua)∩ p(Ub) 6= ∅. Como φ = γ p, entonces

φ−1 = p−1 γ−1, luego ψ φ−1 = β p p−1 γ−1 = β γ−1. Como M es una superficie de Riemann, ψ φ−1

es holomorfa. Concluimos que E es una superficie de Riemann.


Observe que en la anterior demostración nunca se usó el hecho de que el espacio E fuera simplemente

conexo. Por ello, el anterior resultado se puede generalizar un poco más: cualquier espacio recubridor de una

superficie de Riemann es también una superficie de Riemann.

Por otro lado, también se demostró que la aplicación recubridora p es diferenciable. Vimos que ψ φ−1 =

βpφ−1 es holomorfa, en particular diferenciable, en concecuencia p es diferenciable. Mediante un argumento

similar, tenemos también que p−1 es diferenciable. Entonces la aplicación p es un difeomorfismo local. Por lo

dicho en el parrafo anterior, esto se cumple para cualquier aplicación recubridora.

Proposición 4.2.2. Sea M una superficie de Riemann con una métrica g y sea p : E →M su recubrimiento

universal. Entonces existe una única metrica h en E tal que p es una isometría local.

Demostración. Sea q ∈ E. Como se dijo antes, la aplicación p es un difeomorfismo local, luego la diferencial

dp : TqE → Tp(q)M es un isomorfismo. En ese sentido, una métrica h sobre E debe satisfacer la siguiente

ecuación:

hq(v,u) = gp(q)(dp(v), dp(u))

para v,u ∈ TqE. Así, la anterior ecuación define un producto escalar hq sobre el espacio tangente TqE, y por

lo tanto una única métrica sobre E.

4.3. Teorema de uniformización

Existe una generalización del teroema de representación al contexto de superficies de Riemann. Tenemos

que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de las siguientes

tres formas canónicas: la esfera unitaria, el plano euclidiano o el espacio hiperbólico. El anterior hecho es

conocido como el teorema de uniformización. Esto nos dice que toda superficie de R3 tiene como recubrimiento

universal una de las tres superficies: el plano complejo extendido C∞, el plano complejo C o el disco abierto

unitario D. Dicho de otro modo, como las aplicaciones recubridoras son isometrías locales, toda superficie de

Riemman adminte una métrica de curvatura de Gauss constante, 1, 0 o −1. Por lo tanto, admite una de las

3 geometrías: esférica, euclídea o hiperbólica.

Es sencillo ver que estas tres formas canónicas son, en efecto, conformemente distintas. La compacidad

distingue la esfera del disco unitario y el plano complejo. Para diferenciar el disco del plano, el teorema de

Liouville (Teorema 1.1.18) nos dice que una función holomorfa que envíe todo el plano complejo en el disco

unitario, debe ser necesariamente constante, luego no puede ser conforme y menos una biyección. Por lo

tanto, el disco unitario no puede ser conformemente equivalente al plano complejo.

4.3. Teorema de uniformización 65

El teorema de Riemann-Roch, cuyo contenido no explicaremos porque excede los alcances de los temas

tratados en esta tesis, tenemos que si M es una superficie de Riemann compacta de género cero, existe una

función f : M → C meromorfa con un polo de grado uno. En ese caso, f tiene un único punto donde no es

holomorfa y tiende a infinito en puntos cercanos al polo. Por lo tanto, si se agrega el infinito al espacio de

llegada, la función meromorfa será una aplicación conforme de M al plano complejo extendido C∞. Por lo

tanto, tendremos que M es conformemente equivalente a la esfera de Riemann.

Teorema 4.3.1 (Teorema de uniformización). Toda superficie de Riemann simplemente conexa es confor-

memente equivalente a una de las siguientes tres superficies de Riemann canónicas:

La esfera de Riemann (el plano complejo extendido C∞ = C ∪ ∞).

El plano complejo C.

El disco de Poincaré D = z ∈ C | |z| < 1

Demostración. Para superficies compactas de género cero, de acuerto con el teorema de Riemann-Roch, existe

una función meromorfa con un polo de grado uno sobre la superficie, entonces la superficie es conformemente

equivalente a C∞.

Suponga ahora que M es una superficie de Riemann no compacta y simplemente conexa. Construya una

secuencia de dominios abiertos Mn en M tales que

Mn ⊂ Mn ⊂Mn+1, n = 1, 2, . . . , M =

∞⋃n=1

Mn,

y tal que la frontera ∂M sea una curva de Jordan real analítica. Como cada abierto Mn es en particular

una subvariedad, podemos dotar a cada Mn de un atlas conforme (Uα, ϕα) de modo que cada Mn sea

una superficie de Riemann compacta con frontera. Construya otra superficie de Riemann M ′n con la misma

topología que Mn, pero con otro atlas conforme (Uα, ϕ′α). De este modo, podemos pegar ambas superficies

por la frontera mediante una aplicación cociente para formar otra superficie de Riemann Mn. La nueva

superficie Mn será un recubrimiento doble de Mn, en el sentido de que cada fibra del recubrimiento será un

conjunto de dos elementos. Ademas, por construcción, Mn es una superficie de Riemann compacta de género

cero.

Escoja ahora p0, p1 ∈M1, de modo que p0, p1 ∈⋂Mn. Suponga que p′0, p′1 ∈ M ′n son los correspondientes

puntos, entonces en particular p′0 ∈ Mn. Como el cubrimiento doble es conformememnte equivalente a C∞,


existe una aplicación conforme (y biyectiva)

fn : Mn → C∞, fn(p0) = 0, fn(p1) = 1, fn(p′0) =∞.

Esto se puede lograr gracias a la proposición 2.1.3 del capítulo 2 mediante la composición de una aplicación

conforme con una adecuada transformación de Möbius. Defina φn = fn|Mn . Entonces φn es un mapa conforme

con φn(Mn) ⊂ C, φn(p0) = 0 y φn(p1) = 1. Como el punto que es mandado al infinito por medio de fn no

está en Mn, y fn es continua, existe un entorno V de p′0 propiamente contenido en M ′n, tal que |fn(v)| < c,

para algún c > 0 y para todo v ∈ V c. Entonces las funciones φn son acotadas. Por el teorema de Montel,

la familia φn es normal. Recuerde que M =⋃Mn, entonces existe una subsecuencia φnk

que converge

uniformemente:

lımk→∞

φnk= φ.

Por lo tanto φ es una aplicación conforme con φ(p0) = 0 y φ(p1) = 1. Si φ(M) = C, entonces tenemos que M

es conformemente equivalente a todo C. En caso de que no sea así, φ(M) es un dominio abierto simplemente

conexo de C, el cual es conformemente equivalente al disco de Poincaré D.

Teorema de Gauss-Bonnet

Gracias al teorema de uniformización, sabemos que cada superficie de Riemann tiene como recubrimiento

universal una superficie conformemente equivalente a una de las tres superficies canónicas mencionadas,

y en ese sentido, admite una de las tres métricas de curvatura constante. Sin embargo, no es claro cuál

recubrimiento corresponde a cuál superficie. El teorema de Gauss-Bonnet es una poderosa herramienta que nos

permite saber cual es el recubrimiento correspondiento a cada superficie, y por lo tanto, que geometría admite.

Lo sorprendente de este resultado es que nos permite conocer propiedades geométricas de una superficie de

Riemann usando únicamente información topológica de la misma.

Teorema 4.3.2 (Gauss-Bonnet). Suponga que M es una variedad Riemanniana compacta y orientable de

dimensión 2, con borde ∂M . Denótese por kn la curvatura normal (o Gaussiana) en los puntos de M y por

kg la curvatura geodésica en los puntos de ∂M . Entonces se tiene que

∫M

kndA+

∫∂M

kgds = 2πχ(M)

4.4. Flujo de Ricci 67

donde χ(M) es la característica de Euler de M . Para el caso en el que M es una superficie compacta sin

frontera, ∫M

kndA = 2πχ(M)

Con este resultado es bastante simple clasificar las superficies, todo lo que necesitamos es conocer el género

del espacio en cuestión y mediante la equivalencia

χ = 2− 2g

mencionada en el capítulo 1, tenemos su característica de Euler. Si la superficie es de género 0, la integral de

su curvatura es positiva. Entonces su recubrimiento universal es una superficie de curvatura positiva, esto es,

la esfera. Si el género de la superficie es 1, la integral de su curvatura es 0, luego su recubrimiento universal es

una superficie de curvatura 0, esto es, el plano complejo. Por último, si el género de la superficies es mayor a

1, la integral de su curvatura es negativa, por lo tanto su espacio recubridor universal es el disco de Poincaré.

4.4. Flujo de Ricci

Como punto de partida tenemos una variedad de Riemann M dotada de una métrica riemanniana g.

Para cada punto p ∈ M , gp es un producto interno definido positivo en el espacio tangente TpM , que varía

suavemente a lo largo de M . Dada una familia de métricas gp(t) dependientes del parámetro t ∈ [a, b],

podemos considerare la derivada ∂∂tgp. El Flujo de Ricci es una ecuación de evolución geométrica para la

métrica g dada por la ecuación diferencial parcial

∂g

∂t= −2Ric(g),

donde Ric(g) es la curvatura de Ricci que está completamente determinada por la métrica g. El flujo se

puede ver como una deformación de g en una métrica distinguible por su curvatura. Dada la métrica inicial

g = g(a), entonces g(t) es una deformación de la métrica de tal forma que sea solución de la anterior ecuación

diferencial parcial. De este modo, la forma y geometría de la variedad M se ve alterada a medida que la

métrica evoluciona en el “tiempo”.

Naturalmente, en mucho casos será deseable que el volumen de la variedad se preserve durante el proceso

de deformación de la métrica. Para este fin, se usa el Flujo de Ricci normalizado dado por la ecuación


diferencial parcial∂g

∂t= −2Ric(g) +

2

nRg,

donde R es la curvatura escalar de g y n es la dimensión de la variedad.

Para el caso particular de superficies cerradas, esto es, superficies compactas y sin frontera, la evolución

de la métrica bajo el flujo normalizado converge a una métrica de curvatura constante. Más aun, la defor-

mación de la métrica es conforme, de modo que esto nos proporciona una prueba alternativa al teorema

de uniformización para superficies cerradas (ver [Stetler()] y [Chen et al.(2006)Chen, Lu, and Tian]). Por lo

tanto, tenemos el siguiente resultado:

Teorema 4.4.1. Sea (M,g(t)) una solución al flujo de Ricci normalizado sobre una superficies cerrada M .

Se tiene lo siguiente:

Si χ(M) < 0, entonces g(t) converge a una métrica de curvatura constante negativa.

Si χ(M) = 0, entonces g(t) converge a una métrica de curvatura constante igual a cero.

Si χ(M) > 0, entonces g(t) converge a una métrica de curvatura constante positiva.

4.5. Aplicaciones

Emparejamiento de superficies

Para el ser humano, en general, resulta sencillo identificar si dos rostros humanos son iguales o diferentes.

Constantemente estamos recolectando información de las caras que vemos diariamente mientras que incons-

cientemente nuestro cerebro compara estas imágenes para identificar si lo que vemos es un rostro conocido

o una cara nueva. Basta con identificar ciertas diferencias en los rasgos faciales como el ángulo de apertura

de los ojos o la forma de la nariz para saber que la información recolectada difiere de las imágenes familiares

previamente almacenadas en nuestra memoria.

La automatización de procesos es uno de los grandes aportes de la tecnología. Para evitar tareas mo-

nótonas, resulta útil poder programar un computador para realizar procesos repetitivos. Por ejemplo, para

diferenciar entre superficies, particularmente, entre rostros humanos, resulta conveniente que un computador

pueda realizar este trabajo. Mediantes metodos de geometría conforme, es posible reducir problemas de tres

dimensiones a problemas de dos dimensiones para simplificar drásticamente los problemas.

Gracias a la tecnología de escano 3D, es posible digitalizar un rostro humano y obtener una superficie

sin huecos parametrizada en computador, esto es, un disco topológico. Dada la superficie, se contruye otra

4.5. Aplicaciones 69

superficie con la misma topología y se pegan ambas por la frontera, de modo que el resultado es una esfera

topológica (tal y como se hizo en la prueba del teorema 4.3.1). Como el resultado es una superficie cerrada,

el flujo de Ricci nos dice que sin importar la métrica inicial, esta se puede deformar conformemente hasta

obtener una métrica de curvatura constante. Por el teorema de uniformización, existe una aplicación conforme

entre la superficie doble y la esfera unitaria, de manera que cada copia de la superficie inicial sea enviada

a un hemisferio de la esfera. Mediante la proyección estereográfica, proyectamos la esfera unitaria a todo el

plano complejo, con lo cual el hemisferio inferior será enviado al disco unitario. Esto induce una aplicación

conforme entre la superficie y el disco unitario.

Figura 4.1

Suponga que S1 y S2 son las superficies de dos rostros en R3. Sean φ1 : S1 → D y φ2 : S2 → D las

aplicaciones conformes de las superficies en el disco unitario (figura 4.1, recuperada de [Gu and Yau(2008)]).

Como las transformaciones conformes del disco en si mismo son las transformaciones de Möbius del disco que

fijan la frontera, basta encontrar una transformación de Möbius f : D → D para que la aplicación

f = φ−12 f φ1, S1 → S2

sea una equivalencia conforme entre las dos superficies. En este caso sería posible decir que ambos rostros

pertenecen a la misma persona. En caso de que no exista tal f , no necesariamente se tiene que los rostros sean

de personas diferentes, ya que podría ser la misma persona pero realizando diferentes gestos. Sin embargo, sí


se podría concluir que las imágenes son diferentes.

Banco de cerebros

Con el acelarado desarrollo de la tecnología para generar imágenes del interior del cuerpo, existe una gran

cantidad de imágenes médicas del cuerpo humano disponibles actualmente. Por ejemplo, en la generación

de imágenes de cerebros, se vuelve una tarea desafiante el diferenciar las superficies corticales de distintos

cerebros. Dado que la superficie del cerebro está altamente circunvolucionada, la estructura anatómica de

este varía de una persona a otra, por lo tanto surge el problema de comparar y clasificar estos datos.

Figura 4.2: Cerebros transformados de manera conforme en esferas

Una forma de comparar y analizar la información de diferentes cerebros es transformalos en una forma

canónica mientras se mantiene la mayor cantidad de información geométrica posible de la superficie cortical.

Dado que la corteza cerebral es una superficie de género uno, el teorema de uniformización establece que

la superficie es conformemente equivalente a la esfera unitaria (figura 4.2, extraida de [Gu and Yau(2008)]).

4.5. Aplicaciones 71

Como se vio anteriormente, las aplicaciones conformes del plano complejo extendido en si mismo son las

transformaciones de Möbius. De este modo, todas las diferentes aplicaciones conformes de cada cerebro en

la esfera diferirán entre si por transformaciones de Möbius de la esfera. Por lo tanto, para verificar si dos

superficies corticales son iguales, bastará con ver si existe una transformación de Möbius entre sus formas

canónicas.

Gatito de género 1

Si consideramos la figura de un gato cuya cola está en contacto con su cabeza, tendremos una superficie de

género uno (figura 4.3, recuperada de [Gu and Yau(2008)]. Al igual que antes, el teorema de uniformización

establece que dicha superficie puede ser embebida en el plano complejo de manera conforme. En concreto,

la superficie del gato puede ser enviada de manera conforme a un paralelogramdo del plano, y la repretición

de estos paralelogramos formarán un embaldosado de todo el plano. Para diferenciar el gato de cualquier

otra superficie M de género uno, será suficiente con verificar si existe una función holomorfa entre las formas

canónicas del gato y la superficie M .

Figura 4.3

73

Bibliografía

[Chen et al.(2006)Chen, Lu, and Tian] Xiuxiong Chen, Peng Lu, and Gang Tian, editors. A note on unifor-

mization of Riemann surfaces by Ricci flow, volume 134, November 2006. Proceedings of the American

Mathematical Society.

[do Carmo(1976)] Manfredo P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1976.

[Gu and Yau(2008)] Xianfeng David Gu and Shing-Tung Yau. Computational conformal geometry, volume 1.

International Press Somerville, MA, 2008.

[Hatcher(2002)] Allen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.

[Jost(2013)] Jürgen Jost. Compact Riemann surfaces: an introduction to contemporary mathematics. Springer

Science & Business Media, 2013.

[Lee(2013)] John M. Lee. Smooth manifolds. Springer, second edition, 2013.

[Munkres(2002)] James R. Munkres. Topology. Prentice Hall, second edition, 2002.

[Pressley(2010)] Andrew N. Pressley. Elementary differential geometry. Springer Science & Business Media,

second edition, 2010.

[Quiroga-Barranco(2010)] Raúl Quiroga-Barranco. Notas de geometría hiperbólica. CIMAT, A. C., 2010.

[Stein and Shakarchi(2010)] Elias M. Stein and Rami Shakarchi. Complex analysis, volume 2. Princeton

University Press, 2010.

[Stetler()] Ben Stetler. The ricci flow on surface and the uniformization theorem. Master’s thesis.

[Topping(2010)] Peter Topping. Lectures on Ricci Flow. Cambridge University Press, 2010.

[Yanakiev(2011)] Petar Yanakiev. The uniformization theorem and universal covers. VIGRE at the University

of Chicago, 2011.

74 BIBLIOGRAFÍA

[Zill and Shanahan(2003)] Dennis G. Zill and Patrick D. Shanahan. A Fisrt Course in Complex Analysis

with Applications. Jones and Barttlet Publishers, 2003.

geometría conforme y teorema de uniformización

Documents