geoestadistica i - 1era monografia 2015-ii

7/21/2019 Geoestadistica i - 1era Monografia 2015-II

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Este trabajo lo dedico a

mis padres y hermanos que

con sus palabras de apoyo me

motivan a seguir estudiando.



i

INTRODUCCIÓN

El estudio de fenómenos con correlación espacial, por medio de métodos geoestadísticos, surgió a partir de los años sesenta, especialmente con elpropósito de predecir valores de las variables en sitios no muestreados. Comoantecedentes suelen citarse trabajos de Sichel (1947; 1949) y Krige (1951). Elprimero observó la naturaleza asimétrica de la distribución del contenido de oroen las minas surafricanas, la equiparó a una distribución de probabilidadlognormal y desarrolló las fórmulas básicas para esta distribución. Ello permitióuna primera estimación de las reservas, pero bajo el supuesto de que lasmediciones eran independientes, en clara contradicción con la experiencia deque existen “zonas” más ricas que otras. Una primera aproximación a la

solución de este problema fue dada por geólogo G. Krige que propuso unavariante del método de medias móviles, el cual puede considerarse como elequivalente al krigeado simple que, como se verá más adelante, es uno de losmétodos de estimación lineal en el espacio con mayores cualidades teóricas.La formulación rigurosa y la solución al problema de predicción (estimación enmuchos textos geoestadísticos) vinieron de la mano de Matheron (1962) en laescuela de minas de París. En los años sucesivos la teoría se fue depurando,ampliando su campo de validez y reduciendo las hipótesis necesarias (Sampery Carrera, 1990). De la minería las técnicas geoestadísticos, se han

"exportado" a muchos otros campos como hidrología, física del suelo, cienciasde la tierra y más recientemente al monitoreo ambiental y al procesamiento deimágenes de satélite.



ÍNDICE

INTRODUCCIÓN i

1.- FORMULACION DEL PROBLEMA 2

2.- FUNDAMENTO TEORICO 2

3.- DEFINICIÓN DE VARIABLES 4

4.- DIAGRAMA DE FLUJO 5

5.- ALGORITMO 6

6.- CODIFICACIÓN 6

7.- CORRIDA DEL PROGRAMA, RESULTADOS 9

8.- ANÁLISIS Y COMENTARIOS 12

9.- CONCLUSIONES 13

10.- RECOMENDACIONES 13

11.- BIBLIOGRAFÍA 13



2

1.- FORMULACION DEL PROBLEMA

El siguiente trabajo tiene como objetivo calcular el variograma promedio de una

red bidimensional de longitudes a y b para diferentes casos mediante el modeloesférico asumiendo valores para las constantes del modelo C y a. el valor hserá hallando para los 5 casos siguiendo una relación geométrica de distanciasentre puntos de la red bidimensional.

2.- FUNDAMENTO TEORICO

EL VARIOGRAMA

El Variograma es una herramienta que permite analizar el comportamiento

espacial de una variable sobre una zona dada y modela como dos valores enel espacio se ponen en correlación. Es un estimador de la varianza poblacional,por lo tanto debe tener una tendencia de estacionaridad y es un soporte paralas técnicas del Kriging ya que permite representar cuantitativamente lavariación de un fenómeno regionalizado en el espacio. El variograma estárelacionado con la dirección y la distancia (h).

El variograma se ve limitado porque es un estadístico de dos puntos y ademásporque es extremadamente sensible a valores extremos.

El variograma está formado por los siguientes elementos:

Fuente: Geoestatistics for Natural Resources Evaluation, Goovaerts

Autor: Evelyn Véliz



3

¿Por qué determinar tal ecuación?

Porque, en las diversas aplicaciones Geoestadística, por ejemplo, la estimación

de la variable en un punto a través del krigeaje necesita de la utilización delsemivariograma que contenga información en todos los puntos de análisis yeste dato lo puede proporcionar sólo el variograma teórico, además es evidenteque el trabajo se tornará más confiable, óptimo y cómodo de trabajar con unaecuación que con datos brutos.

De la serie de variogramas teóricos, se tiene que escoger aquel que se ajustemejor a nuestro variograma experimental, sobre todo en las proximidades delorigen porque es la zona más confiable del variograma.

Existen muchos métodos de modelos teóricos para fines de este trabajo setrabajar ay describirá el modelo esférico

MODELO ESFÉRICO

En este modelo, La intersección de la tangente en el origen, h=0, con la mesetase sitúa a 2/3 del alcance.Demostraremos la validez de esta relación:La ecuación de la tangente T , en h = 0.

Derivando con respecto a h se obtiene:



4

3.- DEFINICIÓN DE VARIABLES

Las variables utilizadas en este problema son:

h : distancia entre punto y punto

γ (h) : Variograma de h

Z(x) : Punto o valor en la posición X

Z(x+h) : Punto o valor en la posición X+h

a : Alcance del Modelo Esférico

C : constante del Modelo Esférico



5

4.- DIAGRAMA DE FLUJO

INGRESO DE DATOS

C (constante)

a alcance

INICIO

ELEGIR TIPO DE

VARIOGRAMA

(A O B)

CALCULO DE LASDISTANCIAS h y

VARIOGRAMAS v

RESULTADO

CURVAS TIPO A

CALCULO DE LOS

VARIOGRAMAS

PROMEDIOS VPG

RESULTADO

CURVAS TIPO B

FIN

¿C y aóptimos

?



6

5.- ALGORITMO

Dependiendo del tipo de grafico vamos a tomar los h para luego hallar calcular

los VPG (variograma promedio general) según la dirección de ordenamiento.

6.- CODIFICACIÓN

Código creado en el programa Matlab R2015a:

6.1.- TIPO A

clc; clear;

disp('PROGRAMA PARA HACER UN VARIOGRAMA PROMEDIO');disp('TIPO A');

disp('%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%');

disp('%%%para una malla de 5x5 datos%%%');

disp('%%%para un modelo esferico%%%')

a=[0:5];

b=[0:5];

c=input('ingresar la constante C = ');

alcance=input('ingresar el alcance a = ');

%%%%%%PROCEDIMIENTO%%%%%

a1=length(a);

b1=length(b);

for a=1:a1

for b=1:b1

rx=zeros(a,b);

ry=zeros(a,b);

r=zeros(a,b);

for i=1:a

for j=1:b

ry(i,j)=ry(i,j)+j;

rx(i,j)=rx(i,j)+i;

end

end

A

B

C

D

E



7

h=ones(a,b);

for p=1:a

for q=1:b

h(p,q)=h(p,q)*(sqrt(((a-rx(p,q))^2)+(ry(p,q)-1)^2));end

end

v=zeros(a,b);

for l=1:a

for k=1:b

if h(l,k)==0

v(l,k)=(c*((((3/2)*(h(l,k)/alcance))-

((1/2)*((h(l,k)/alcance)^3)))));

end

if h(l,k)<=alcance

v(l,k)=(c*((((3/2)*(h(l,k)/alcance))-((1/2)*((h(l,k)/alcance)^3)))));

else

v(l,k)=c;

end

end

end

%FUNCION VARIOGRAMA PROMEDIO GENERAL

VPG(a,b)=((sum(sum(v)))/(2*a*b));

end

end

%CURVAS ISOVALORICAS figure(1)

[x,y]=meshgrid(0:5);

z=VPG;

[c1,h1]=contour(x,y,z,20), axis square;

clabel(c1,h1);

title('CURVAS ISOVALORICAS PARA LA FUNCION TIPO A');

grid on;

shg;

6.2.- TIPO B

clc; clear;

disp('PROGRAMA PARA HACER UN VARIOGRAMA PROMEDIO');

disp('TIPO B');

disp('%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%');

disp('%%%para una malla de 5x5 datos%%%');

disp('%%%para un modelo esferico%%%')

a=[0:5];

b=[0:5];

y=[0:5];

c=input('ingresar la constante C = ');

alcance=input('ingresar el alcance a = ');



8

%%%%%%PROCEDIMIENTO%%%%%

a1=length(a);

b1=length(b);

for a=1:a1for b=1:b1

rx=zeros(a,b);

ry=zeros(a,b);

r=zeros(a,b);

end

for i=1:a

for j=1:b

ry(i,j)=ry(i,j)+j;

rx(i,j)=rx(i,j)+i;

end end

h=ones(a,b);

for p=1:a

for q=1:b

h(p,q,y+1)=h(p,q).*(sqrt((((a-y)-rx(p,q)).^2)+(ry(p,q)-

1).^2));

end

end

v=zeros(a,b);

for l=1:a

for k=1:bif h(l,k,y+1)==0

v(l,k,y+1)=v(l,k)+(c.*((((3/2).*(h(l,k,y+1)./alcance))-

((1/2).*((h(l,k,y+1)./alcance).^3)))));

end

if h(l,k,y+1)<=alcance

v(l,k,y+1)=v(l,k)+(c.*((((3/2).*(h(l,k,y+1)./alcance))-

((1/2).*((h(l,k,y+1)./alcance).^3)))));

else

v(l,k,y+1)=v(l,k)+c;

end

end %FUNCION VARIOGRAMA PROMEDIO GENERAL

A1=v(:,:,1);

A2=v(:,:,2);

A3=v(:,:,3);

A4=v(:,:,4);

A5=v(:,:,5);

A6=v(:,:,6);

VPG=(A1+A2+A3+A4+A5+A6)./(2*a*b)

end

end

%CURVAS ISOVALORICAS



9

figure(2)

[x,y]=meshgrid(0:5);

z=VPG;

[r1,s1]=contour(x,y,z,10), axis square;clabel(r1,s1);

title('CURVAS ISOVALORICAS PARA LA FUNCION TIPO B');

grid on;

shg;

7.- CORRIDA DEL PROGRAMA, RESULTADOS

Para C=5 y a=5:

VPG =

[ 0 0.3700 0.7200 1.0350 1.3000 1.50000.3700 0.6281 0.9163 1.1916 1.4285 1.60700.7200 0.9163 1.1531 1.3874 1.5907 1.74221.0350 1.1916 1.3874 1.5836 1.7525 1.87701.3000 1.4285 1.5907 1.7525 1.8904 1.99201.5000 1.6070 1.7422 1.8770 1.9920 2.0767]



10

Para C=5 y a=5:

VPG =

[0.2500 0.4167 0.4167 0.4167 0.4167 0.41670.2011 0.2449 0.3095 0.3679 0.4167 0.41670.1750 0.2220 0.2938 0.3606 0.4045 0.41670.1750 0.2220 0.2938 0.3606 0.4045 0.41670.2011 0.2449 0.3095 0.3679 0.4167 0.41670.2500 0.4167 0.4167 0.4167 0.4167 0.4167]

Para C=6 y a=6:

VPG =

[ 0 0.3715 0.7292 1.0625 1.3611 1.61460.3715 0.6318 0.9285 1.2232 1.4947 1.72770.7292 0.9285 1.1754 1.4310 1.6711 1.87811.0625 1.2232 1.4310 1.6511 1.8597 2.03871.3611 1.4947 1.6711 1.8597 2.0382 2.18971.6146 1.7277 1.8781 2.0387 2.1897 2.3174]



11

Para C=4 y a=3:

VPG =

[ 0 0.4815 0.8889 1.1667 1.3333 1.44440.4815 0.8088 1.1268 1.3451 1.4761 1.56340.8889 1.1268 1.3641 1.5231 1.6185 1.68211.1667 1.3451 1.5231 1.6423 1.7139 1.76151.3333 1.4761 1.6185 1.7139 1.7711 1.80921.4444 1.5634 1.6821 1.7615 1.8092 1.8410]



12

Para C=6 y a=6:

VPG =

[ 0 0.3715 0.7292 1.0625 1.3611 1.61460.3715 0.6318 0.9285 1.2232 1.4947 1.72770.7292 0.9285 1.1754 1.4310 1.6711 1.87811.0625 1.2232 1.4310 1.6511 1.8597 2.03871.3611 1.4947 1.6711 1.8597 2.0382 2.18971.6146 1.7277 1.8781 2.0387 2.1897 2.3174]

8.- ANÁLISIS Y COMENTARIOS

- Se obtienen los variogramas promedios para cada coordenada de a y bentre 5x5 en los gráficos a y b.

- El variograma promedio se puede definir como el promedio ponderadode los variogramas individuales tomando en cuenta el número de

parejas.



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9.- CONCLUSIONES

- Lo que se busca con esta monografía es desarrollar en Abaco de la

función auxiliar F de Matheron.

- El Variograma es demasiado sensible a valores extremos es por ello elcambio en la gráfica.

10.- RECOMENDACIONES

- En el tema de software otra manera de hacerlo es exportar los datos h,

VPG al programa surfer 10 y poder hacer las curvas isovaloricas.

- Para el grafico de las curvas TIPO B se debe elegir un valor “C y a”

cercanos a las dimensiones de la columna o fila para así visualizar lascurvas isovaloricas.

- Generar más no es conveniente ya que no se aprecia el valor de estasen la imagen, para esta monografía se dibujó solo 20 curvas en ambas.

11.- BIBLIOGRAFÍA

- Apuntes de clases de Geoestadística I del Ph.D Marín Suarez Alfredo.

- Apuntes de clases de Geoestadística I del Ing. Tevez Rojas Augusto.

- HOLLY MOORE. Matlab para Ingenieros. Edición 2007. EditorialPearson Educación-México

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