geoestadistica basica
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teoria de krige ordinario y su solucionTRANSCRIPT
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KRIGE PUNTUAL
Opera atreves de la utilización de factores de ponderación para obtener el valor de la variable.
Repasar matrices.
Se calcula a partir de un sistema de ecuaciones denominadas krige en los que las incógnitas para resolver el sistema se obtienen a partir del vario grama modelizado.
Por ejemplo para estimar a partir de cuatro puntos de muestreo se plantea el siguiente sistema de ecuaciones.
K1Υ11 + K2Υ12 + K3Υ13 + K4Υ14 + μ = Υ01
K1Υ21 + K2Υ22 + K3Υ23 + K4Υ24 + μ = Υ02
K1Υ31 + K2Υ32 + K3Υ33 + K4Υ34 + μ = Υ03
K1Υ41 + K2Υ42 + K3Υ43 + K4Υ44 + μ = Υ04
K1 + K2 + K3 + K4 = 1.
Donde K son los factores de ponderación mientras que μ es un valor determinado (parámetro de lagrange) sin mayores trascendencias para el cálculo de factores de ponderación, el valor estimado del punto desconocido en base a los cuatro puntos conocidos esta dado por la siguiente ecuación.
Xo = K1X1 + K2X2 + K3X3 + K4X4
X1 , X2 , X3 , K4 es el valor de la muestra que ya conocemos y lo que buscamos con la ecuación de Krige es el valor de K en el punto desconocido es Xo.
|K1Υ11 + K2Υ12 + K3Υ13 + K4Υ14 ….. + 1 | | K1 | |Υ01 ||K1Υ21 + K2Υ22 + K3Υ23 + K4Υ24 …… + 1 | | K2 | |Υ02 ||K1Υ31 + K2Υ32 + K3Υ33 + K4Υ34 …… + 1 | x | K3 | =|Υ03 ||K1Υ41 + K2Υ42 + K3Υ43 + K4Υ44 ……+ 1 | | K4 | |Υ04 |
Ejemplo: se tiene un conjunto de muestras de un yacimiento de zinc cuyas leyes son:
X1=8.2%, X2=9.6%, X3=13.1%, X4=6.4% su posición en el plano es la que refleja en la figura, el variograma se ajusta a un modelo esférico, cuyo alcance es de 250 mt. El efecto pepita de 17 mt. y meseta 66 mt.
Calcular el valor de la ley.
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|Υ11 + Υ12 + Υ13 + Υ14 ….. | | K1 | |Υ01 ||Υ21 + Υ22 + Υ23 + Υ24 … | | K2 | |Υ02 ||Υ31 + Υ32 + Υ33 + Υ34 …| x | K3 | =|Υ03 ||Υ41 + Υ42 + Υ43 + Υ44 … | | K4 | |Υ04 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 1 + 1 + 1 + 1 … | | μ | | 1 |
Para calcular los variograma utilizaremos:
Υ=Co +C[3/2 (h/a) -1/2(h/a)^3] h<=a
Υ=Co +C h>a
Υ11 = 0 = Υ22 = Υ33 = Υ44
Υ12 = Υ21 Υ13 = Υ31 Υ14 = Υ41
Calculamos los Variogramas
Calculamos Υ12
X12 = √(200^2 + 100^2) = 223.61
Υ12 = 17 +66*[3/2*(223.61/250)-1/2*(223.61/250)^3] h<=a
Υ12 = 81.93
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[ε2 γ12 γ13 ⋯ γ 1n 1
γ21 ε2 γ23 ⋯ γ 2n 1
γ31 γ32 ε2 ⋮ ⋮⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮γ n1 γ n2 γ n3 ⋯ ε2 1
1 1 1 ⋯ 1 0] .[ λ1
λ2
⋮⋮λnμ
]=[γ1
γ2
⋮⋮γn1
]
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Calculamos Υ13
X13 = √(150^2 + 100^2) = 180.28
Υ13 = 17 +66*[3/2*(180.28/250)-1/2*(180.28/250)^3] h<=a
Υ13 = 76.02
Calculamos Υ14
X14 = √(200^2 + 100^2) = 223.61
Υ14 = 17 +66*[3/2*(223.61/250)-1/2*(223.61/250)^3] h<=a
Υ14 = 81.93
Calculamos Υ21
X21 = √(200^2 + 100^2) = 223.61
Υ21 = 17 +66*[3/2*(223.61/250)-1/2*(223.61/250)^3] h<=a
Υ21 = 81.93
Calculamos Υ23
X23 = √(100^2 + 150^2) = 111.8
Υ23 = 17 +66*[3/2*(111.8/250)-1/2*(111.8/250)^3] h<=a
Υ23 = 58.32
Calculamos Υ24 h>a
Υ24 = 17 +66
Υ24 = 83.00
Calculamos Υ31 ES IGUAL A Υ13
Υ21 = 76.02
Calculamos Υ32 ES IGUAL A Υ23
Υ32 = 58.32
Calculamos Υ34
X21 = √(200^2 + 50^2) = 206.16
Υ21 = 17 +66*[3/2*(206.16/250)-1/2*(206.16/250)^3] h<=a
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Υ21 = 80.14
Calculamos Υ41 ES IGUAL A Υ14
Υ14 = 81.93
Calculamos Υ42 ES IGUAL A Υ24
Υ42 = 83.00.
Calculamos Υ43 ES IGUAL A Υ34
Υ42 = 80.13.
Calculamos Υ01
X21 = 100
Υ21 = 17 +66*[3/2*(100/250)-1/2*(100/250)^3] h<=a
Υ21 = 54.49.
Calculamos Υ02
X21 = 200
Υ21 = 17 +66*[3/2*(200/250)-1/2*(200/250)^3] h<=a
Υ21 = 79.30.
Calculamos Υ03
X21 = √(100^2 + 50^2) = 111.8
Υ21 = 17 +66*[3/2*(111.8/250)-1/2*(111.8/250)^3] h<=a
Υ21 = 58.32.Calculamos Υ04
X21 = √(100^2 + 100^2) = 141.42
Υ21 = 17 +66*[3/2*(141.42/250)-1/2*(141.42/250)^3] h<=a
Υ21 = 67.03.
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ENTONCES EL SISTEMA DE ECUALCIONES LINEALE AQUEDA ASI:
0 81.93 76.02 81.93 1 K1 54.4981.93 0 58.32 83.OO 1 K2 79.3076.02 58.32 0 80.14 1 x K3 = 58.3281.93 83.00 80.14 0 1 K4 67.021 1 1 1 0 μ 1
Resolviendo este sistema de ecuaciones lineales de 05 x 05 con las siguientes incógnitas K1, K2, K3, K4 y μ.
Calculando se obtuvo el valor de los siguientes incógnitas.
K1= 0.393K2=0.022K3=0.329K4=0.256
|μ=6.66.
ENTONCES SOLUCIONAMOS LA ECUACIÓN Xo
Xo = K1X1 + K2X2 + K3X3 + K4X4
Xo = 0.393*8.2 + 0.022*9.6 + 0.329*13.1 + 0.256*6.4
Xo=9.3821
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