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GEOESTADSTICA PARA EXPLORACIONES
ProEXPLO 2013
Instituto de Ingenieros de Minas del Per
Lima, Per
17 y 18 de Mayo, 2013
Mario E. Rossi, MSc. Geoestadstica, Ing. de Minas.
GeoSystems International, Inc.

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BREVE RESUMEN DE LA TEORIA DEL MUESTREO: INTRODUCCIN
Toda muestra entonces lleva un error. Es medida en
un porcentaje muy pequeo de la muestra original, que a su vez se supone representa un volumen mucho mayor!
Los errores siempre ocurren; la clave es como se manejan, lo que requiere diferenciacin y cuantificacin.
Recordar precisin y certeza: repetibilidad y exactitud.

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ERRORES (1)
Hay dos tipos de errores bsicos:
El primero se debe a caractersticas propias del material. Por ejemplo, la mineralizacin de Au es mas heterognea que la de Cu.
El segundo tipo surge de los procedimientos de muestreo, preparacin de la muestra, y el anlisis qumico.
Tambin existe el error de representatividad espacial. La
aglomeracin de las perforaciones de exploracin y de las muestras metalrgicas. Representan todos los tipos de mineralizacin que existe en el yacimiento?

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ERRORES (2)
Los errores pueden ser aleatorios, con una media de 0 (sin sesgo).
Tambin pueden ser aleatorios con media diferente de cero (con sesgo).
Pueden ser sistemticos (no aleatorios); generalmente la media no es cero.
Pueden tambin ser ocasionales o accidentales, a veces difciles de rastrear, y no repetitivos, sean aleatorios o no.

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DEFINICIONES (1)
Componente: Elemento de inters en el lote. Normalmente un contenido mineral, pero puede ser tambin humedad, porcentaje de finos, dureza, o cualquier otra propiedad del lote que debe ser medida.
Contenido Crtico, a: Proporcin de un componente que debe ser estimado; el contenido crtico de un lote es aL, de una muestra es aS, etc.
Tamao del Fragmento d(cm): Tamao real del fragmento, pero a veces
tambin el tamao promedio de un grupo de fragmentos dentro del incremento .
Critical Content a Weight of critical component in lot LWeight of all components in lot LL
=

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DEFINICIONES (2) Heterogeneidad: No todos los fragmentos de lote son idnticos.
Hay dos tipos de heterogeneidad: Heterogeneidad Constitucional (CH): son las diferencias entre la
composicin de cada fragmento dentro del lote. Los factores que se deben considerar son: tamao, forma, densidad, composicin qumica, y composicin mineralgica del fragmento. Este tipo de heterogeneidad genera el error fundamental de muestreo.
Heterogeneidad Distribucional (DH): son las diferencias de un grupo a otro dentro del lote. Los factores que contribuyen, adems de la CH, son la distribucin espacial, la forma del lote o subgrupos debido a la gravedad, etc.

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DEFINICIONES (3) Incremento, I: Un grupo de fragmentos extrados de un lote, en
una operacin nica, utilizando un aparato o mtodo de muestreo especfico.
Lote, L: Material del cual incrementos (o muestras) son seleccionadas. Este es un batch, como una bolsa, camin, vagoneta de mina, vagn de tren, etc.
Tamao nominal del fragmento, d (cm): Tamao de fragmento mximo en el lote, usualmente definido como el tamao de malla cuadrado (pasante 95%).

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DEFINICIONES (4) Seleccin Probabilstica: El proceso de seleccin incluye una
componente aleatoria. La seleccin perfecta probabilstica es una distribucin uniforme para todas las unidades dentro del lote, y probabilidad cero si no pertenece al lote. Muestreo manual generalmente no es probabilstico; buen ejemplo de cmo no muestrear.
Muestra: Una muestra es el agrupamiento de varios incrementos, y representa el lote. Submuestras (tambin llamadas muestras) se obtienen extrayendo porciones de la muestra original.

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DEFINICIONES (5)
Protocolo de Muestreo: Una serie de procedimientos bien definidos y especficos para el muestreo, la preparacin, y el anlisis de la muestra. Normalmente se intenta optimizar para minimizar los errores de muestreo, y debe ser especfico para cada elemento y depsito.
Espcimen: Una mala muestra. No es representativa, no se ha
extrado utilizando reglas de delimitacin y extraccin aceptada.

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TIPOS DE ERROR (1) Error Fundamental (EF): No puede ser eliminada por medio de un
muestreo perfecto. Es funcin de la heterogeneidad constitucional (CH) y puede ser estimado antes del muestrear. Los errores que genera (asumiendo un muestreo perfecto) es aleatoria con una media de 0.
Error de Delimitacin del Incremento (DE): La forma del volumen a partir del cual se toma el incremento no es la correcta. Por ejemplo, no tomar la seccin completa en una cinta transportadora, o un cono de detrito de pozo de tronadura. Los errores tienden a ser aleatorios, con medias diferente de cero (con sesgo).

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TIPOS DE ERROR (2) Error de Extraccin del Incremento (EE): No todos los fragmentos
que pertenecen al incremento son tomados. Los errores tienden a ser aleatorios con una media diferente de cero.
Estos ltimos dos tipos de errores se pueden eliminar (o minimizar) utilizando procedimientos adecuados (ptimos) de muestreo.
Los errores accidentales pueden ser crticos, pero no pueden ser analizados estadsticamente por no ser aleatorios. Solamente la supervisin de la correcta implementacin de los debidos procedimientos pueden eliminar estos errores.

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TIPOS DE ERROR (3)
Los errores se interpretan como Variables Aleatorias, y se asumen independientes. Por lo tanto, los errores son cumulativos:
Error Total de Muestreo (TE) FE DE EE ...= + + +
{ } { } { } { }E TE E FE E DE + E EE ...= + +
{ } { } { } { } 2 2 2 2TE FE DE + EE ...= + +

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TIPOS DE ERROR (4)
Combinando los conceptos de precisin y certeza, es posible definir:
O sea, si el error de muestreo es menor a un estndar pre-
establecido, la muestra puede ser considerada representativa.
{ } { } { }r SE m SE s SE r2 2 2 o2= +

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL (1)
El CH genera el Error Fundamental de Muestreo (FSE).
Heterogeneidad es proporcional a la diferencia entre el contenido crtico de un fragmento (ai) y el contenido crtico del lote (aL):
hi
( )a aa
i L
L

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La varianza del CH se define como: La que tambin se llama el CHL del Lote. NF es el nmero de
fragmentos en el lote, y Mi y ML son las masas promedio del fragmento y del lote, respectivamente.
CHL = =
2
2 2
2 2( )( )h N a a M
a Mi F
i L i
L Li

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Pero como no podemos contar todos los fragmentos, definimos la Heterogeneidad Intrnseca (IHL):
Este es un factor constante de CH, con unidades de masa.
IH CHL= LM
Na a M
a ML
F
i L i
L Li=
( )
2 2
2

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En la prctica se introducen varios conceptos adicionales y simplificaciones para obtener IHL.
El desarrollo completo para llegar a la frmula final de IHL se la puede encontrar en el libro de F. Pitards.

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Las suposiciones bsicas son:
1. Hay generalmente una fuerte correlacin entre el contenido crtico del fragmento y su densidad; pero hay una menor correlacin entre el contenido crtico del fragmento y su tamao.
2. Lo mismo se pueden extender a las fracciones, dado que el contenido crtico vara mas de una densidad de fraccin a la otra, que de un tamao al otro. Por lo tanto, los valores individuales del contenido crtico pueden ser reemplazados por el valor promedio del contenido crtico de la fraccin de densidad.

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3. La razn de las masas de las fracciones
dentro del lote a la masa total del lote no vara mucho de una fraccin de densidad a otra. Por lo tanto, se puede utilizar una razn promedio.

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Se puede escribir IHL entonces como:
Donde v y son el volumen y densidad de la fraccin, a y aL
son los contenidos crticos de la fraccin y del lote, y ML y ML las masas correspondientes.
IHL=v M
Ma a M
a ML
L
L L
LL
( )2
2

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR DE FORMA (8)
El factor de forma f es una medida de la desviacin del fragmento de la forma cbica perfecta. Si los fragmentos son todos cubos perfectos, entonces f=1.
El volumen v es entonces f*d3. Si los fragmentos son todas esferas, el volumen de la esfera es 4/3**r3; para un radio r=1, f=0.523.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR DE FORMA (9)
El factor de forma f es a-dimensional y determinado experimentalmente, con la mayora de sus valores cerca de 0.5. Hay excepciones notables, como minerales escamosos como la mica, con f0.1; pepitas de oro (slidos blandos), f0.2; minerales aciculares (como asbestos), con f>1 y hasta f10.0.
El factor de forma f es relativamente constante para distintas fracciones de tamao, tal que f=f.

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HETEROGENEIDAD CONSTITUCIONAL: FACTOR GRANULOMTRICO (10)
El factor granulomtrico g es una medida de las variaciones (rango) de los tamaos de fragmentos en la muestra. Junto con el tamao nominal del fragmento d,

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