geodesia física y geofísica i semestre de 2014

Diapositiva 1

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica

I semestre, 2014

Ing. Jos Francisco Valverde CaldernEmail: [email protected] web: www.jfvc.wordpress.com

IntroduccinNota: el grfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!!TerrenoGeoideCuasi-GeoideElipsoideProf: Jos Fco Valverde CaldernhHNHONPara aprovechar las ventajas del posicionamiento GNSS en las aplicaciones prcticas, se requiere determinar el geoide (cuasi-geoide), de forma que:

HO = h-NHN = h - Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20142


Comnmente un modelo geoidal muestran la separacin entre el elipsoide de referencia y el geoide, es decir la ondulacin del geoide Introduccin

Modelo EGG97 (Regional, Europa)

Modelo GCG2011 (Nacional, Alemania)Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Introduccin

Tomado de: http://icgem.gfz-potsdam.de/ICGEM/, 2014Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Prof: Jos Fco Valverde Caldern

IntroduccinCuando se elabora un modelo geoidal, estos deben ser validados. Comnmente esta validacin se hace comparando con alturas conocidasMtodos para el calculo de un modelo geoidal: 1.Mtodos Astro-geodsicos: con base a observaciones astronmicas, se obtiene la desviacin de la vertical2. Mtodos gravimtricos: los cuales analizan la magnitud del vector de aceleracin de la gravedad a travs de la teora del potencial; conduce a obtener de ondulaciones de geoide absolutas3.Aplicando mtodos geomtricos: se basan en la determinacin de alturas elipsoidales h (GNSS), alturas ortomtricas H (nivelacin geomtrica), con lo que se calcula el valor de N.4.Mediante mtodos dinmicos u orbitales: los cuales analizan las desviaciones de las rbitas reales de los satlites artificiales (rbitas perturbadas) en relacin con la orbita terica o calculada5.Mediante altimetra satelital.6.Mediante mediciones satlite satlite.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

IntroduccinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20146La tarea fundamental de la geodesia es determinar la forma y el tamao de la Tierra.Para este fin, se analizan las observaciones efectuadas sobre esta.Esto lleva a la formulacin de un problema de valor limite o de frontera (segn nuestro caso). Este problema es determinar una funcin armnica (T=0), en el exterior de una superficie de frontera S (en este caso, el geoide).En esta superficie S se conocen ciertos valores, como la deflexin de la vertical, nmeros geopotenciales, anomalas de gravedad.Estas cantidades son las observaciones de las cuales se dispone para el calculo del geoide (cuasi-geoide)El potencial gravitacional verdadero V se determina a partir de diferentes tipos de observaciones del campo de gravedad:Directas sobre la superficie terrestre (gravimetra terrestre, area)Mtodos dinmicos (anlisis de las rbitas perturbadas de satlites)Mediciones directas con satlites en el campo de gravedad (Goce)Prof: Jos Fco Valverde Caldern

IntroduccinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20147V se representa comnmente en un desarrollo armnico, el cual describe los componentes espectrales del potencial:Las mediciones satelitales proveen de la onda larga. Estas representan la influencia gravitacional de rasgos globales: achatamiento de la Tierra, cambios densidades, dorsales ocenicasMediciones terrestres regionales proveen de la onda media.Representan los rasgos regionales, por ejemplo, cadenas montaosas. Mediciones terrestres de alta densidad proveen longitudes de onda corta, entre 5-10 km, si se usa gravimetra aerotransportada Representan los rasgos locales (relieve / topografia)

Prof: Jos Fco Valverde Caldern

IntroduccinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20148Potencial de gravedad real (W) es la suma del potencial gravitacional (V) y el potencial centrifugo ().V es armnico fuera de las masas terrestres y dentro de estas satisface la ecuacin de PoissonSe defini el concepto de elipsoide normal, de potencial de gravedad normal (U) y la aceleracin de la gravedad normal ()Es mas simple estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refirindose a un modelo y determinando las diferencias de este en relacin con el GeoideA las pequeas diferencias entre el potencial de gravedad real (W) y el potencial de gravedad normal (U) se le conoce como POTENCIAL ANMALO o POTENCIAL DE PERTURBACIN (T), de manera que:T=W-UPotencial anmalo de la TierraProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20149Considerando el vector de gravedad g en el punto P sobre el geoide y el vector de gravedad normal en el punto Q sobre el elipsoide normal, se define el vector de anomala de gravedad de la siguiente forma:

La diferencia de magnitud del vector de anomala de gravedad se conoce como anomala de gravedad.

A la diferencia de direccin se le conoce como desviacin de la vertical.Anomalas de gravedadProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201410Se puede tambin comparar los valores de la gravedad real y la gravedad normal en el mismo punto P (sobre el terreno).A la diferencia de ambos se le denomina vector de perturbacin de gravedad.

La diferencia de magnitud es la perturbacin de gravedad. La diferencia en direccin es la desviacin de la vertical.Esto debido a que se utiliza el vector de gravedad normal, solo que determinada en puntos distintos.Este vector tiene una importante aplicacin en la determinacin del geoide usando gravimetra aerotransportada

Vector de perturbacin de gravedadProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201411La desviacin de la vertical es la diferencia en la direccin entre el vector de gravedad real y el vector de gravedad normal.Esta conformada por dos componentes: una componente norte-sur, denominada y una componente este-oeste denominada .La direccin de la vertical esta definida directamente por las coordenadas geogrficas latitud y longitud.

Componentes de la desviacin de la verticalDesviacin de la verticalProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201412Desviacin de la verticalProf: Jos Fco Valverde Caldern

Tomado de: http://kartoweb.itc.nl/geometrics/reference%20surfaces/refsurf.html

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201413La gravedad medida en la superficie fsica de la Tierra, no puede compararse con la gravedad normal sobre el elipsoide normal, es necesario reducir el valor de la gravedad g al geoide.

Los objetivos de reducir gravedad son:La determinacin del geoide.Interpolacin y extrapolacin de gravedad.Investigaciones geofsicas.Solo los dos primeros objetivos son de naturaleza geodsica, ya que el tercero es un objetivo netamente geofsico.

Pero, la principal razn (como aplicacin geodsica) es que para usar la integral de Stokes es necesario que las anomalas de gravedad representen valores limites en el geoide.Reducciones de gravedadProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201414El principal objetivo de reducir la gravedad es debido a que se deben cumplir las condiciones de frontera:1. Que la gravedad g este referida al geoide (ver definicin de g)2. Que no hayan masas fuera del geoide (T armnico fuera del geoide)3. Que el geoide encierre las masas terrestres.

Debido a las abruptas variaciones en los valores de densidad (muchas veces esta no se conoce) se asume un valor de = 2.67 gr/cm3.

Procedimiento para reducir la gravedad:Eliminar las masas topogrficas fuera del geoide o correrlas por debajo del nivel del mar.Bajar la medicin gravimtrica del terreno al geoide (de P a P)Restaurar el terreno.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201415Considerar el potencial U y la atraccin vertical A de un cilindro homogneo de radio a y altura b en un punto P situado en el eje del cilindro a una altura c sobre la el cilindro (c b), segn la siguiente figura:


Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201416Considerando un elemento de volumen

El potencial del cilindro es:

Con

Siendo equivalente la expresin:


Reducciones de gravedad

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201417Siendo el resultado de la integral la siguiente expresin:

La atraccin vertical A es la derivada negativa de V con respecto a c

Diferenciando con respecto a c se tiene:


Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201418En caso de que P este en la superficie del cilindro, c = b, por lo que:

La atraccin vertical A ser:

Si P esta dentro del cilindro, c < b, el plano z que pasa por P divide el cilindro en dos partes, como en la siguiente figura:


Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201419

En este caso se calcula el potencial V como la contribucin de estas dos partes:

El termino V1 esta es igual a la expresin para V cuando P esta sobre la superficie del cilindro (se reemplaza el termo b por c) y el termino V2 esta dado por la formula anterior, reemplazando b por el termino b-c. Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201420La atraccin vertical es:


Reducciones de gravedadLa suma es entonces:Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201421El propsito de la reduccin de la placa de Bouguer es la eliminacin de las masas topogrficas, es decir, las masas que estn sobre el geoidePara ello, se considera una placa, llamada PLACA DE BOUGUER

PLACA DE BOUGUERSuponer que el rea alrededor de la estacin gravimtrica P es totalmente plana y horizontal.Suponer que las masas entre en geoide y la superficie terrestre tienen una densidad constante.Se obtiene la atraccin de la placa de Bouguer, haciendo que a tienda al en la ecuacin que permite calcular la atraccin vertical cuando P esta sobre el cilindro.

Reduccin de BouguerProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201422Al evaluar la expresin resultante, se obtiene la atraccin de la placa de Bouguer de radio infinito. Considerando la densidad como = 2.67 gr/cm3, se tiene:La eliminacin de la topografa equivale entonces a restar el efecto de la atraccin de la placa de Bouguer a la gravedad observada. A esta se le llama Reduccin incompleta de Bouguer.Para completar la reduccin, se debe aplicar la reduccin de aire libre, que lleva la estacin del terreno al geoide.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Reduccin de Bouguer

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201423Si g es observado en la superficie de la Tierra, el valor g0 referido al geoide es obtenido mediante una expansin en serie de Taylor:

Reduccin de aire libreDonde H es la altura entre P que es la estacin gravimtrica en el terreno y P que es el punto en el geoide.Suponiendo que no hay masas sobre el geoide y despreciando trminos de grado superior a uno, se tiene:Para una reduccin tericamente correcta de la gravedad al geoide, se necesita conocer el gradiente vertical de la gravedad (g/H).


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201424Al trmino F se le conoce como REDUCCION DE AIRE LIBRE al geoideConsiderar que asumir la no existencia de masas sobre el geoide se interpreta como que tales masas han sido matemticamente removidas, por lo que esta reduccin es en efecto realizada en aire libreProf: Jos Fco Valverde Caldern

Reduccin de aire libreTerrenoGeoideElipsoideP gP gQ Resumen del concepto de la reduccin de Bouguer y la correccin de aire Libre

Bouguer remover la atraccin de las masas sobre el geoide

Aire Libre llevar la gravedad real de P a PGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201425Si se efecta un proceso en el cual se eliminan las masas topogrficas y se aplica la reduccin de aire libre, esta se conoce como la Reduccin Completa de Bouguer. El resultado es la gravedad de Bouguer sobre el geoide:

Donde g es la gravedad medida, F es la reduccin de aire libre y AB es la reduccin de la placa de Bouguer


Reduccin de aire libreGravedad medida en el terreno gMenos la atraccin de la placa de Bouguer -0,1119HMas la reduccin de aire libre +0,3086H

Gravedad de Bouguer en el Geoide gB = g + 0,1967HGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201426Como ya se tiene el valor de la gravedad en el geoide, se obtiene el valor de la anomala de gravedad al restar el valor de gB y el valor de la gravedad normal:

Anomalas de Bouguer

Sin embargo, el uso de la reduccin de la placa de Bouguer trae un inconveniente: al considerar el terreno plano, habrn desviaciones entre la topografa real y la placa de Bouguer

El considerar esto es lo que se conoce como CORRECCIN DE TERRENO


Reducciones de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201427Si a la gravedad observada se le suma la reduccin de aire libre, se tiene:

Se tiene la siguiente anomala de gravedad

A esta se le conoce como ANOMALIA DE AIRE LIBRE. La anomala de aire libre refiere el valor de gravedad al nivel del mar.

Reducciones de gravedadProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201428Correccin de Terreno


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201429

Para mejorar la reduccin de Bouguer, debido a la no eliminacin de masa existente o a la eliminacin de masa inexistente, se aplica la CORRECCIN DE TERRENO:Correccin de TerrenoProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201430En A se elimina la masa excedente m que atrae hacia arriba, haciendo que el valor de la gravedad aumente en P (este excedente de masa provoca el aumento en la gravedad).En el punto B se compensa el dficit de masa -m, haciendo que la gravedad aumente nuevamente en P.Para una masa excedente (m), h hp, c=0.Para un dficit de masa (-m), h < hp, por lo que b = c = hp h.Para aplicar la correccin de terreno se tiene:

Se define la anomala de gravedad de Bouguer refinada como:

Correccin de TerrenoProf: Jos Fco Valverde Caldern


Tomado de: Nuevos mapas de anomalas de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Mapa de anomalas de Bouguer, derivadas del modelo EGM08Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualizationProf: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Tomado de: Nuevos mapas de anomalas de gravedad del Caribe. Arnaiz-Rodriguez M y Garzon Y. 2012 Prof: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Mapa de anomalas de Aire Libre, derivadas del modelo EGM08Tomado de: http://bgi.omp.obs-mip.fr/data-products/Toolbox/Anomaly-maps-visualizationProf: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014La idea de que las montaas no son excesos de carga situadas sobre la superficie, sino que su masa visible es compensada por un defecto de masa en la profundidad, es la teora de la isostasia.La compensacin del exceso de masa en superficie por una reduccin de masa en profundidad es la compensacin isosttica. Se puede suponer que las masas topogrficas se encuentran superpuestas sobre una corteza homognea.La reduccin de Bouguer eliminara las irregularidades principales del campo de gravedad, debido a que las anomalas de gravedad serian muy pequeas y tenderan a cero.Ocurre todo lo contrario, ya que en las reas montaosas, de forma de sistemtica, las anomalas de Bouguer son negativas.Estas puede adquirir valores de hasta 100 mGal por cada 1000 m de elevacin.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

IsostasiaGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201436La nica explicacin posible es que debajo de las montaas hay algn dficit de masa, lo que quiere decir que las masas topogrficas estn de alguna forma compensadas.Hay dos teoras principales que tratan de explicar esta situacin:

1. Pratt-Hayford2. Airy-Heiskanen

La teora de Pratt indica que las montaas surgieron del subsuelo como si fuera una masa en fermentacinSegn la teora de Airy, las montaas estn flotando sobre una lava fluida de mayor densidad, de manera que mientras mas altas sea la montaa, mas se hundirn.


IsostasiaGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201437El sistema de compensacin fue ideado por Pratt y formulado de forma matemtica por Hayford, quien lo utiliz para fines geodsicos.

Teora de Pratt-HayfordSe establece un nivel que se llama nivel de compensacin. Debajo de este nivel, la densidad es uniforme.Se definen columnas, las cuales tienen una densidad constante y estas se encuentran sobre el nivel de compensacin.Ntese que entre mayor la altura, menor la densidad.


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201438La masa de cada columna de la misma seccin transversal es equivalente.Se llama D la profundidad del nivel de compensacin desde el geoide (profundidad de compensacin).La densidad 0 representa la densidad de una columna de altura D.La densidad de una columna con una altura D+h satisface la condicin:

Esta expresa la condicin de igualdad de masasDe la expresin anterior, se puede concluir la densidad es ligeramente menor al valor de 0. Por consiguiente, hay un dficit de masa, que se puede expresar como:

Teora de Pratt-HayfordProf: Jos Fco Valverde Caldern


Se puede suponer el valor de 0 = 2.67 gr/cm3Despejando el valor de , obtenemos la siguiente expresin:

En la prctica, el modelo compensacin ha sido idealizado, ya que en la naturaleza, se cumple de forma aproximada. El nivel de compensacin se ha adoptado como D = 100 km

Teora de Pratt-HayfordProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201440Airy propuso el mtodo y Heiskanen le dio la formulacin matemtica y la aplic con fines geodsicos.Teora de Airy-HeiskanenProf: Jos Fco Valverde Caldern

A diferencia del mtodo de Pratt, en el mtodo de Airy las montaas tienen una densidad constante, igual a 2.67 gr/cm3.Estas estn flotando sobre un substrato mas espeso de densidad constante, igual a 3.27 gr/cm3.Mientras mas alta sea la montaa, mas se hunde. Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201441Por lo tanto, existen formaciones de races debajo de las montaas y antirraices o antiroots debajo de los ocanos.

La diferencia de densidad se expresa como:

El espesor de la corteza terrestre se denota por T y se adopta para T el valor de 30 km. El espesor de la corteza debajo de las montaas esta dado por la expresin:T + h + t

Teora de Airy-Heiskanen


Denotando como h la altura de la topografa y t el espesor de la raz correspondiente, entonces, la condicin de flotabilidad esta dada por la expresinGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201442

Resumen de anomalas de gravedadProf: Jos Fco Valverde Caldern

Definicin de anomala de gravedadGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

44A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones:

Se tiene que:

Con base a las anteriores relaciones

Dado que:

Se tiene la siguiente relacin:

Determinacin del GeoideProf: Jos Fco Valverde Caldern


45Despejando el valor de N

La anterior frmula se conoce como ECUACIN DE BRUNS o FORMULA DE BRUNS Su importancia radica en que relaciona la ondulacin del geoide con el potencial anmalo.

Ecuacin de BrunsProf: Jos Fco Valverde Caldern

Siendo equivalente para la altura anmala: Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201446Breve introduccin a las Ecuaciones diferencialesProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Muchas leyes en la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, esto debido a que si f(x) es una funcin, f(x) (primera derivada) se interpreta como la razn de cambio del fenmeno.Comnmente lo que se conoce de un fenmeno es su razn de cambio (derivada), por lo que buscar la expresin que describe el fenmeno, implica determinar y resolver una ecuacin diferencialDefinicin: Una ED es una ecuacin que relaciona un funcin desconocida y una o mas derivadas de esta funcin desconocida con respecto a una o mas variables independientesSi la funcin desconocida depende de una variables: ED ordinariaSi la funcin desconocida depende de dos o mas variables: ED parcial

ED ordinaria

ED Parcial47Al resolver ecuaciones diferenciales parciales, que dan solucin a problemas ya sean fsicos o geomtricos, se establecen condiciones iniciales o condiciones limite.En el caso de que la condicin limite sea un dato, una medicin u observacin, sobre una superficie limite, conduce a diferentes tipos de problemas de valores limitesLa gravedad y el potencial gravitacional de la Tierra, pueden ser descritos por ecuaciones que contienen derivadas parciales de tiempo o espacio, cuyas variables desconocidas necesitan ser encontradas.La variable que es diferenciada se denomina variable dependiente y frecuentemente corresponde con la solucin a determinar.La variable con la cual la diferenciacin es hecha, es la variable independiente y en geodesia fsica por lo general corresponde con las coordenadas donde la condicin limite es conocida.

Problemas de valores de fronteraProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201448Las derivadas parciales con respecto a variables de tiempo son llamadas condiciones iniciales.Las derivadas parciales con respecto a variables de posicin, sobre una superficie limite son llamadas condiciones limite.Cuando derivadas con respecto a variables de posicin son considerados en la solucin de problemas, nos enfrentamos a Problemas de valores limites o BVP.Considerar ahora el potencial de la Tierra como un fenmeno fsico no variable en el tiempo.Se ha de considerar la determinacin del campo de gravedad terrestre como un problema de valores limites (geodsico, GBVP) con condiciones limites conocidas (observaciones o datos) sobre cierta superficie que necesita ser encontrada: el geoide


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201449Problema de Dirichlet: conocido como el primer problema de valores limites de la teora del potencial: Conocida una funcin arbitraria dada en una superficie S, determinar una funcin V que sea armnica ya sea dentro o fuera de S y que en S asuma los valores de la funcin preestablecida Problemas de valores de frontera

Este problema surge cuando la ondulacin del geoide es obtenido de altimetra satelital. La solucin de este problema en la esfera esta dada por la integral de Poisson, que provee la continuacin ascendente o descendente del potencial.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201450Es decir, si S es igual a x+y, encontrar una funcin V que sea armnica y en S la funcin V es igual a x+yProblema de Neuman: conocido como el segundo problema de valores limites de la teora del potencial: Conocida la derivada normal V/n en la superficie S en lugar de la funcin V, encontrar V fuera de S. La derivada normal es la derivada a lo largo de la normal superficial n a S, en direccin hacia afuera.

Se problema se tiene cuando se conoce el vector de perturbacin de gravedad sobre la superficie limite (el geoide) y la solucin para el potencial de gravedad externo fuera de la superficie limite tiene que ser encontrado.Problemas de valores de fronteraProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201451Problema de Robin: conocido como el tercer problema de valores limites de la teora del potencial: Dada una combinacin lineal de V y su derivada normal, encontrar V fuera de S

h y k son constantes


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201452Resumen de los problemas de valores de frontera:

Problema de Dirichlet (o BVP de primera clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados sus valores en todo lugar de la frontera.

Problema de Newman (o BVP de segunda clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados los valores de sus derivadas normales en todo lugar de la frontera.

Problema de Robin (BVP mixto o BVP de tercera clase): Solucionar para V en es espacio exterior, dada una combinacin lineal de si misma y su derivada normal en la frontera.


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201453Recordando las definiciones de aceleracin de la gravedad y aceleracin de la gravedad normal:

Se puede escribir el vector de perturbacin como:

Luego


Ecuacin fundamental de la G.F

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201454Por lo tanto, se tiene elvector de perturbacin como:

Siendo equivalente a:

Como la elevacin h se calcula a lo largo de la normal, tambin se puede escribir:

Considerando ahora que


Ecuacin fundamental de la G.F

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201455Siendo equivalente a:

Y a:

Considerando la definicin de anomala de gravedad y la ecuacin de Bruns, tenemos las siguientes relaciones:


Ecuacin fundamental de la G.FGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201456Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Otra forma equivalente es:

A la anterior frmula se le conoce como ECUACIN FUNDAMENTAL DE LA GEODESIA FSICA porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anmalo desconocido T.

Ecuacin fundamental de la G.FGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201457Solo se conoce g a lo largo de una superficie, la cual es el geoide (luego de reducir las observaciones gravimtricas al mismo)La E.F.G.F solo puede usarse como una condicin de frontera, pero no es suficiente para calcular el valor del potencial anmalo T.Otro elemento a considerar es que se asume que no existen masas sobre el geoide y que el valor de la gravedad se mide sobre este.Esto no es cierto; las observaciones de gravedad se hacen sobre la superficie terrestre, por lo que existen masas que influyen sobre las observaciones de gravedad.Se recurre entonces a tcnicas de clculo para eliminar el efecto de las masas.Esto permite suponer que las masas estn encerradas en el geoide.Al considerar que la densidad es cero en todas las partes fuera del geoide, el potencial anmalo es armnico y satisface la ecuacin de Laplace.Determinacin del GeoideProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201458Expresando la condicin limite de la siguiente forma:

Y como se supone que se conoce g para todos los puntos del geoide, se observa que la combinacin lineal de T y T/n esta representada sobre esta superficie (el geoide).Recordar el tercer problema de los valores limites. El tercer problema de valores limites es de particular importancia para la geodesia fsica, ya que la determinacin de las ondulaciones de geoide a partir de las anomalas de gravedad es precisamente un problema de este tipo.


Determinacin del GeoideGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201459La determinacin de T constituira una solucin al tercer problema de los valores limites de la teora del potencial.Determinando el valor de T y con base al conocimiento del campo de gravedad del elipsoide normal, se puede determinar el valor de la ondulacin del geoide a partir de la ecuacin de Bruns.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Determinacin del GeoideGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201460



Determinacin del Geoide

Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real (W) en la superficie.Por tanto:W(P) = U(Q) y W(P0) = U(Q0)Interpretacin geomtrica:Altura ortomtrica: Distancia vertical desde el Geoide al punto PAltura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q.

La gravedad normal se puede calcular con base a frmulas, sin la necesidad de tener que formular hiptesis.La altura anmala es la altura sobre el teluriode.Representa la medida geomtrica de las diferencias entre las superficies del potencial real en la superficie y el mismo potencial de la Tierra normal




Determinacin del GeoideLo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto terico (en este caso Q) en el interior de la corteza.Las alturas normales se trasladan hacia arriba hasta la superficie topogrfica. Se define una nueva superficie, que es el cuasi-geoide, la cual se eleva en el valor de la altura anmala sobre el elipsoide. Ntese que la ondulacin del geoide es la distancia entre dos superficies de idntico potencial U0 = W0.La altura anmala es la distancia entre dos superficies de igual potencial UQ = WP.La relacin entre estas cantidades tambin la da la ecuacin de Bruns:


En el calculo de N, el potencial T corresponde a la diferencia de potencial entre el geoide y la gravedad normal al punto Q0 sobre el elipsoide.En el caso de , el potencial T es elevado al nivel de la superficie y la gravedad normal sobre el punto Q del Teluroide.

Determinacin del GeoideGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014El Teluroide es una superficie conformada por aquellos puntos Q, cuyo valor de potencial normal UQ es idntico al potencial de gravedad real WP de los puntos P correspondientes, ubicados sobre la superficie terrestre.La conexin entre P y Q se por medio de la altura anmala .La altura normal corresponde con la separacin entre el Teluroide y el elipsoide.Si desde la superficie terrestre se descuenta la altura normal a lo largo de la normal al elipsoide, se obtiene el cuasigeoide.Dado que el potencial WP varia de un punto a otro sobre la superficie terrestre, el Teluroide y en consecuencia, el cuasi-geoide, no son superficies equipotenciales y por tanto, no tienen significado fsico directo.El geoide equivale la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre con potencial real W = W0.Prof: Jos Fco Valverde Caldern

ResumenGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Clculo del geoide con base al enfoque de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Si se conoce el valor de la anomalas de gravedad, se puede determinar el potencial anmalo T de la siguiente forma:

La integral de StokesEn el geoide, r = R, por lo que se tiene:


Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201469Considerando la ecuacin de Bruns:

La integral de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern

70La anterior frmula se conoce como INTEGRAL DE STOKES o FRMULA DE STOKES. Fue publicada por Gabriel Stokes en 1849.Se le considera una de las frmulas mas importante de la geodesia fsica ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimtricos.La integral de Stokes asume adems que los datos de anomalas de gravedad estn distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribucin global de los datos.Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolucin, o sea que solamente se tiene informacin de alta frecuencia del potencial anmalo. Para incluir informacin de baja frecuencia (o de longitud de onda larga) se debe hacer uso de la tcnica de remover y restaurar.La integral de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201471En caso de conocer el vector de perturbacin de gravedad g, se utiliza la INTEGRAL DE HOTINE:

Con la funcin de Hotine definida como:

De forma cerrada:

La integral de HotineProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201472Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalas para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma:

Donde gr es la anomala de gravedad y S es la funcin de Stokes, definida como:

La integral de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201473Un mtodo mas comn es usar la transformada rpida de Fourier, ya que la integral de Stokes puede ser expresada como una convolucin en la direccin este-oeste, considerando que el kernel de Stokes es constante para todos los puntos en una paralela pero diferente para puntos en distintas latitudes

Donde F1 y F1-1 denotan el operador de la transformada de Fourier 1D y el operador inverso de la transformada de Fourier 1D La integral de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201474Clculo del cuasi-geoide con base al enfoque de MolodenskyProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Hay dos grandes obstculos en el concepto geodsico clsico:La definicin del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce**El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hiptesis concernientes a la distribucin de densidades dentro de la Tierra. La idea bsica de Molodensky es que no usa (y por no tanto busca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topogrfica de la Tierra como superficie de referencia. Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra.Para referir las alturas, defini una superficie que no tiene significado fsico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llam CUASI-GEOIDE Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Teora de MolodenskyGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201476


Esfuerzos para la estimacin de WoTomado de: http://whs.dgfi.badw.de/index.php?id=5, 2013Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014


Valores publicados de WoTomado de: http://whs.dgfi.badw.de/index.php?id=5, 2013Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teora. Esto debido a que el geoide es la mas real y concreta superficie que se puede usar.

El Teluroide:Teluriode significa terrenal, terrestre. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada Altura anmala.

Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasi-geoide no se postula ninguna hiptesis. Ambas superficies son puramente convencionales (matemticas)Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Teora de MolodenskyGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201479La integral de MolodenskyProf: Jos Fco Valverde Caldern

El calculo del teluriode viene dado por la ecuacin:

Donde: Con:

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201480Que representa la correccin de terreno

La teora de Molodensky conduce a una solucin directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hiptesis.


Teora de MolodenskyGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Solucin moderna: Problema de Molodensky (1945)Alturas anmalas (Cuasi-Geoide)

Potencial anmaloSolucin clsica: Problema de Stokes (1849)Ondulaciones del Geoide (Geoide)

Potencial anmalo:


Comparacin de enfoquesGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Solucin moderna: Problema de Molodensky (1945)Alturas anmalas (Cuasi-Geoide)

Anomalas gravimtricas:

P en el terreno, Q en el teluriode

Solucin clsica: Problema de Stokes (1849)Ondulaciones del Geoide (Geoide)

Anomalas gravimtricas:

P en el geoide, Q en el elipsoideProf: Jos Fco Valverde Caldern

Comparacin de enfoquesGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Solucin moderna: Problema de Molodensky (1945)

Reducciones de gravedad:Ninguna reduccin, ninguna hiptesis

Solucin clsica: Problema de Stokes (1849)

Anomalas gravimtricas:Reducciones de gravedadHiptesis sobre las distribucin interna de masas de la TierraGradiente vertical de la gravedadInfluencia de la topografaProf: Jos Fco Valverde Caldern

Comparacin de enfoquesGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Solucin moderna: Problema de Molodensky (1945)

Solucin clsica: Problema de Stokes (1849)

La solucin incluye solo el primer termino de la solucin de Molodensky


Comparacin de enfoquesGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014El geoide y el cuasi-geoide son idnticos en las zonas marinas.Ac son materializados por la superficie equipotencial del campo de gravedad que coincide con la superficie no perturbaba da de mar.En las reas continentales, el geoide y el cuasi-geoide se diferencian en:

Con:g = gravedad media a lo largo de la lnea de plomada, entre el geoide y el punto de calculo = gravedad normal a lo largo de la lnea de plomada, entre el elipsoide y el teluriode o el cuasi-geoide y el punto de calculo en la superficie terrestre. Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Comparacin de enfoques

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201486Mtodo Remove-RestoreProf: Jos Fco Valverde Caldern

La integral de Stokes presupone que el potencial anmalo T es una funcin armnica fuera del geoideEste supuesto es necesario para resolver problemas de geodsica fsica, como los problemas de valores de frontera en la teora del potencialEsto porque los problemas de valores de frontera siempre involucran funciones armnicas que satisfacen la ecuacin de Laplace.Como en la realidad hay masas sobre el geoide, antes de aplicar la integral de Stokes, hay que remover o mover (compensar) dentro del geoide El resultado es un co-geiode y para convertirlo al geoide, hay que corregir por el llamado efecto indirecto.

Para la reduccin de las observaciones de gravedad hay varios enfoques:Bouguer + Aire libre + IsostaciaEl segundo mtodo de condensacin de HelmertEl mtodo RTM (Residual Terrain Model)Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Mtodo Remove-RestoreProf: Jos Fco Valverde Caldern

El clculo de modelos de geoide locales o regionales se basa en la combinacin de varios elementos:Modelos de geopotencial (globales)Anomalas gravimtricas locales (de alta resolucin)Modelo digitales del terrenoPara combinar estos elementos, se aplica la tcnica remove-restore o remover-restaurarAl determinar modelos locales o regionales, se cuenta con informacin que representan las longitudes de alta frecuencia del geoide.La tcnica se describe de la siguiente forma:

N = Ng + NMG + NIGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Mtodo Remove-RestoreProf: Jos Fco Valverde Caldern

Porque remove-Restore?Remove, porque en el mtodo se eliminan las longitudes de onda larga del potencial gravitatorio, usando un modelo geopotencial global sobre las anomalas de gravedad observadas; Luego se resuelve las ondulacin del geoide local a partir de las anomalas locales reducidas (residuales) Restore, porque una vez calculado el efecto local, se restaura la de onda larga

Hay dos formas de aplicar la tcnica remove-restore:1. Resolviendo la ondulacin del geoide con base a la integral de Stokes, con base a las anomalas de gravedad residuales y luego el calculo del efecto indirecto2. Usando la colocacin por mnimos cuadrados, en el escenario propuesto por Molodensky, aplicando la colocacin por mnimos cuadrados. La colocacin se aplica sobre las anomalas residuales usando el modelo global y el modelo digital del terreno y la posterior transformacin de anomalas de gravedad en ondulaciones geoidales. En general, ambos enfoques proveen los mismos resultadosGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Porque se debe aplicar este mtodo?Los modelos geopotenciales globales se pueden usar para calcular ondulaciones geoidalesEl inconveniente es que estas ondulaciones no son lo suficientemente exactas para los fines de la geodesiaPor otro lado, las anomalas de gravedad observadas cubren un rea limitada, por lo que no pueden usarse para resolver las longitudes de onda larga del campo de gravedadPor tanto, hay que corregir las ondulaciones del campo geopotencial global usando las anomalas de gravedad y es necesario usar el modelo geopotencial global para tomar en cuenta las longitudes de onda larga de este campoPero como interesa calcular el geoide para un rea pequea, comparada con el rea de la Tierra, hay que remover las longitudes de onda larga del campo de gravedad, calcular el geoide para el rea de inters y luego restaurar las longitudes removidas. Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Mtodo Remove-Restore

1. Descomponer el potencial anmalo en componente global, componente local y componente topogrfico2. La componente global NMG es calculada a partir de un modelo geopotencial global; representa la influencia gravitacional de toda la Tierra en el rea de estudio (remove)3. La componente topogrfica NI es calculada a partir de un modelo digital del terreno (remove)4. La componente local Ng es evaluada a partir de las anomalas de gravedad locales, no contenidas en el modelo global y depuradas por el efecto topogrfico. Representa los rasgos caractersticos del rea de estudio que no se tomaron en cuenta en el modelo global5. Una vez calculada la componente local, la nueva suma de las tres componentes da el geoide (cuasi-geoide) resultante (restore): N = Ng + NMG + NIProf: Jos Fco Valverde CaldernGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014

Tomado de: School on Reference Systems, Crustal Deformations and Ionosphere Monitoring. Brunini, Drewes and Sanchez, 2013Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014Mtodo Remove-Restore

Anomala de aire libreAnomala del modelo globalCorreccin de BouguerCorreccin de TerrenoEfecto indirectoProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 20141. Se elimina de las anomalas gravimtricas las componentes de longitud de onda larga (antes de esto, hay que aplicar las reducciones a las anomalas de gravedad, para llevarlas al geoide).Esta es la parte REMOVE:

Donde los subndices se refieren a la anomala reducida y la obtenida del modelo geopotencial global2. Se aplica la integral de Stokes para la determinacin del co-geoide3.Se restauran las componentes retirados RESTORE, de la siguiente forma:

Mtodo Remove-Restore (Otro enfoque)Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201494Separando las integrales

(1)(2)Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Mtodo Remove-RestoreGravedad reducidaGravedad reducidaGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 201495Tericamente 1 y 2 son iguales, sin embargo si hay diferencia y a esta diferencia se llama Efecto indirectoEntonces, con el termino 1 se remueve y con el termino 2 se restaura

Resumen1.Obtener un modelo de Geopotencial Global2.Eliminar los efecto de este modelo en los datos gravimtricos3.Eliminar los efectos de la Topografa local4.Calcular el modelo con las anomalas residuales por el mtodo que se haya definidp (Colocacin por mnimos cuadrados, FFT, FHT, evaluacin numrica de la integral de Stokes,...)5.Restituir todo lo que se ha eliminado.


Mtodo Remove-RestoreGeodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014962 Mtodo de condensacin de HelmertProf: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014El mayor problema del enfoque de Stokes como solucin a los problemas de valores de frontera es la topografa; la presencia de masas sobre el geoide invalida la presuncin bsica de que el potencial anmalo es armnico en la superficie limite (el geoide)Helmert sugiri que la topografa de la Tierra puede ser reemplazada por una capa de longitud infinitencimalmente delgada, con una densidad igual al producto de la densidad media de la topografa real y la alturaEsta capa, llamada capa de condensacin puede ser localizada en cualquier parte por debajo del geoide sin invalidar el requerimiento de que T armnicoEn el 1 mtodo de condensacin de Helmert, las masas topogrficas son condensadas en una superficie paralela al geoide, localizada a 21 km por debajo del geoide (diferencia entre el semieje mayor y el semieje menor del elipsoide que tom como referencia).Prof: Jos Fco Valverde Caldern

Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014En el segundo mtodo de condensacin que Helmert formul, la capa de condensacin es localizada debajo del geoide.Cuando se combina el mtodo de condensacin de Helmert, con el enfoque de Stokes para resolver el problema de valores de frontera geodsico, el nombre que recibe la combinacin de estas dos ideas es El mtodo Stokes-HelmertEl mtodo de Helmert consiste entonces en que la distribucin de masas dentro del geoide coincide con la distribucin de masas real.




Geodesia Fsica y Geofsica I semestre de 2014La eliminacin de las masas en que se basan las reducciones de la gravedad cambia el potencial de la gravedad y por consiguiente el potencial del geoide.Con cada reduccin se tiene una nueva distribucin de masas, haciendo que el geoide cambie, implicando este elemento que las masas tienen que ser colocadas de nuevo.Un geoide determinado a partir de anomalas de gravedad reducidas utilizando la integral de Stokes se le conoce como COGEOIDE, el cual tiene que se corregido para llegar al geoide.Esto implica que con cada reduccin tenemos un Cogeoide, dado que con cada reduccin se modifica el potencial de la gravedad.A la diferencia entre el geoide y el cogeoide se le llama EFECTO INDIRECTO.Efecto indirectoProf: Jos Fco Valverde Caldern

101Sea NC a la ondulacin del cogeoide.La ondulacin del geoide se determina entonces de la siguiente manera:

Donde el termino N es el efecto indirecto,el cual esta dado por la expresin:

El termino N se calcula como:


Efecto indirecto102

De manera que el clculo del geoide se usando la integral de Stokes viene dada por:

La evaluacin de la anterior frmula se puede hacer de forma anloga a como se evala la integral de StokesProf: Jos Fco Valverde Caldern

Efecto indirecto103Un aspecto importante antes de liberar a los usuarios un modelo geoidal, es evaluar la calidad del mismo. Esta comparacin se puede efectuar a varios niveles:1. Evaluacin con otro modelo geoidales2. Efectuando mediciones GNSS sobre banco de nivel con altura ortomtrica (normal) conocida y comparando este dato con la obtenida del modelo geoidal (cuasi-geoidal)

Evaluacin de modelos geoidalesProf: Jos Fco Valverde Caldern

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geodesia física y geofísica i semestre de 2014

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