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PARALELEPIPEDO
Calcule el área total de un paralelepípedo rectángulo cuya diagonal mide 13u, las dimensiones de
las bases miden 3u y 4u. (UNMSM 1998)
CEPRE-UNI 2003-2
En un paralelepípedo rectangular su diagonal mide 10 y forma un ángulo que mide 45° con la base yun ángulo que mide 30° con una cara lateral, entonces el volumen limitado por el paralelepípedo
es:
POLIEDROS REGULARES
CEPRE-UNI 2003-2
En un tetraedro regular ABCD de altura AO, si M es punto medio de AO y BD = 2√ 2 , entonces lalongitud de MB es:
CEPRE-UNI 2003-2
En un hexaedro regular ABCD – A’B’C’D’ la longitud de la arista mide 3. Si M ∈ AA’ y N ∈ CC’ y A’M= CN = entonces el área de la región cuadrangular B’MDN es:
CEPRE-UNI 2003-2
En un hexaedro regular ABCD – EFGH de arista “a”, M es punto medio de FG y CM intercepta a BG
en P. Calcule AP.
CEPRE-UNI 2003-2
En un hexaedro regular, la distancia entre los centros de dos caras adyacentes es √ 2. Entonces, elvolumen del hexaedro es:
CEPRE-UNI 2013-1
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I.
El volumen de un octaedro regular es la quinta parte del cubo de la longitud de una de
sus diagonales.
II. El volumen del tetraedro regular inscrito en un hexaedro regular es equivalente a la
tercera parte del volumen del volumen del hexaedro regular.
CEPRE-UNI 2013-1
Dado un octaedro regular y un tetraedro regular, se sabe que el área de la superficie del primero es
seis veces el área de la superficie del segundo. Calcule la relación de las longitudes de sus aristas.
CEPRE-UNI 2003-2
En un prisma triangular regular, los centros de sus caras laterales y el centro de una base son los
vértices de un tetraedro regular cuya superficie total tiene por área 9√ 3, entonces el volumen
del prisma es:
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PRISMA REGULAR RECTO
En un prisma cuadrangular regular, el área del plano diagonal es 36√ 5y la longitud de la aristalateral es el doble de la longitud de la arista básica, calcule el área lateral, el área total y el volumen
del prisma. (UNMSM 2002)
En un prisma regular ABC – DEF,
= √
y la distancia entre los centros de BCFE y DEF es √ 13.
Calcule el área de la superficie total del prisma. (CEPRE-UNI 2013-1)
En un prisma regular cuya altura mide 8u y el desarrollo de su superficie lateral es la región
rectangular cuya diagonal mide 16u. Entonces, el volumen del prisma es: (CEPRE-UNI 2003-2)
En un prisma triangular regular, las áreas de la superficie lateral y superficie total es 36√ 3 60√ 3.Calcule el volumen del prisma.
En un prisma triangular recto ABC – DEF, ME=5 y AB = BC = 6, el ángulo DEF mide 120° y M es punto
medio de AC. Calcule el área lateral, el área total y el volumen del prisma.
Dado un prisma cuadrangular regular ABCD – EFGH, si el ángulo EDG mide 60° y AC = 4√ 2, calculeel volumen del prisma.
CILINDRO RECTO
FORMULAS
CEPRE-UNI 2012-2
Calcule la relación entre los volúmenes de los sólidos limitados, por un hexaedro regular y un
cilindro de revolución inscrito en el hexaedro, de tal manera que ambas bases están inscritas en
caras opuestas del hexaedro.
CEPRE-UNI 2012-2
Al desarrollar la superficie lateral de un cilindro de revolución, se obtiene una región cuadrada de
área . Halle el volumen del sólido limitado por el cilindro.
CEPRE-UNI 2012-2
Tres cilindros tienen la misma altura si las longitudes de los radios son , cuanto mide el radio
del tercero, si su volumen es igual a la suma del volumen de los otros dos.
En un cilindro de revolución la longitud de la generatriz es el triple de la longitud del radio de la
base. En una de las bases se traza la cuerda AB de 2√ 3 de longitud y dista del centro de dichabase 3 . Calcule el área lateral, el área total y el volumen del cilindro.
CILINDRO Y TETRAEDRO
CEPRE-UNI 2012-2
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En un tetraedro regular cuya arista mide “a”, se inscribe un cilindro de revolución de manera que
una de sus bases pasa por los baricentros de las caras laterales. Entonces, el área lateral del cilindro
es:
CILINDRO Y OCTAEDRO
CEPRE-UNI 2012-2
Un octaedro regular de volumen V está inscrito en un cilindro de revolución, tal que 2 vértices
opuestos se encuentran en los centros de las bases. Entonces, el volumen del sólido limitado por el
cilindro es:
CEPRE-UNI 2012-2
Halle la razón de los volúmenes de un octaedro regular y del cilindro de revolución inscrito en el. Si
la generatriz del cilindro es paralela a una diagonal del octaedro y cuyas longitudes están en la
razón de 1 a 3.
PIRAMIDE
CEPRE-UNI 2012-2
El volumen de un cubo es 120 cm3. Halle el volumen del solido cuyos vértices son los puntos medios
de las aristas de una cara y los vértices de la cara opuesta.
CEPRE-UNI 2012-2
En un prisma regular de base triangular ABC – DEF. Se eligen los puntos medios M, N, P de los lados
AB, BC y AC respectivamente. Si AB = 2, AD = 2. Halle el volumen del sólido determinado por MNP –
DEF.
Calcule el volumen de una pirámide triangular en la cual las tres aristas laterales miden 13cm y las
aristas básicas miden 6cm, 8cm y 10cm.
PIRÁMIDE REGULAR
CEPRE-UNI 2012-2
Un hexaedro regularse encuentra inscrito en una pirámide cuadrangular regular, de modo que una
cara del hexaedro está contenido en la base de la pirámide y los vértices correspondientes a la cara
opuesta están en las aristas laterales de dicha pirámide. Si la altura de la pirámide mide (2√ 3 + 4)cm, y el área de la superficie lateral es el doble del área de la base de dicha pirámide. Calcule la
longitud de la arista del hexaedro.
En una pirámide cuadrangular regular, la arista lateral mide 8u y el radio de la circunferencia
circunscrita a la base mide 4u. Calcule el área lateral de la pirámide. (UNMSM 2001)
El área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular es 27y la distancia del centrode la base a una de las caras laterales es 2. Calcule el volumen de dicha pirámide.
En una pirámide triangular regular la suma de las aristas básicas es igual a 18 y la suma de susaristas laterales es igual a 24. Calcule el volumen de dicha pirámide.
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Dada una pirámide cuadrangular regular de volumen igual a 36√ 3. Calcule la altura de dichapirámide, si se sabe además que el área de la superficie lateral es los dos tercios del área total.
En una pirámide cuadrangular regular, el área de la superficie lateral es √ 7 veces el área de la base.Calcule el ángulo entre una arista lateral y el plano de la base.
Dada una pirámide triangular de volumen V, se trazan dos planos paralelos a la base que trisecan a
la altura de la pirámide, si se sabe además que el área de la superficie lateral
TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
CEPRE-UNI 2003-2
En una pirámide O – ABCD de vértice O y de volumen V, el plano secante y paralelo a su base,
biseca a la arista OA, determina un tronco de pirámide cuyo volumen es:
CEPRE-UNI 2003-2
CONO CIRCULAR RECTO
El área de la superficie lateral de un cono circular recto es de 60 y la longitud de la base es de12 . Calcular el volumen de dicho cono.
De un sector circular con ángulo central de 60° se construye la parte lateral de un cono circular
recto. Si el radio de la base del cono mide R. Hallar su altura.
El área lateral de un cono de revolución es el doble del área de su base. Calcular el valor de ángulo
que forma la generatriz con la base.
CEPRE-UNI 2012-2
En la figura se muestra un cilindro circular recto inscrito en un cono circular recto, el cono parcial de
vértice P y el cilindro tienen el mismo volumen. ¿Qué fracción del volumen del cono total es el
volumen de la región comprendida entre el cilindro y el tronco de cono?
CEPRE-UNI 2012-2
En un cilindro circular recto cuyo volumen es V, se construyen dos conos cuyas bases son los
centros de las bases opuestas, entonces el volumen común a los conos es:
CEPRE-UNI 2012-2
En la figura mostrada la región sombreada representa el desarrollo de la superficie total de un cono
recto. Calcule la longitud de la altura del cono.
CEPRE-UNI 2012-2
Se tiene un cono de revolución de vértice V, se traza el diámetro AB de su base cuya prolongación
interseca en P a la mediatriz de AV tal que P dista “d” de AV y AB = 2R. Calcule el producto entre su
volumen y el área de la superficie lateral en términos de “d” y “R”.
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CEPRE-UNI 2012-2
El área lateral de un cono de revolución es S y la distancia del centro de la base a una de las
generatrices es “d”. Halle el volumen del cono de revolución.
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO
CEPRE-UNI 2012-2
Se tiene un tronco de cono recto, si los diámetros AB y CD en las bases del cono miden 3 y 6 cm
respectivamente tal que AD ∩ BC = {}. Entonces, la razón de los volúmenes de los sólidosdeterminados por un plano paralelo a las bases y que contiene al punto O es:
SUPERFICIE ESFERICA
CEPRE-UNI 2012-2
Se tiene una superficie esférica de radio R, inscrita en un cono circular recto. Si la distancia del
vértice del cono hacia el centro de la superficie esférica es igual a 2R, entonces el área del menor
casquete esférico determinado en la superficie esférica por la superficie lateral del cono es:
CEPRE-UNI 2012-2
En un cono equilátero, su altura es el diámetro de una esfera. Halle el área del casquete mayor
determinado, si la altura del cono es: