generalitat de catalunya departament d’educació ses pla ...ccubas/1r...

Generalitat de Catalunya Departament d’Educació SES PLA MARCELL

Generalitat de Catalunya Proporcionalitat 118 Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2008-2009 SES PLA MARCELL

PROPORCIONALITAT

Full de treball A

SÓN PROPORCIONALS?

Avui, dissabte, la Marina i la Teresa han quedat davant de la biblioteca per passar l’estona. Quan porten 10 minuts xerrant han decidit comprar una bossa de “xuxes ”. De camí a la botiga, la Marina li explica a la Teresa que a la classe de Matemàtiques del SES estan treballant un nou tema, la Proporcionalitat. La Teresa li contesta que al SUI començaran el tema el proper dilluns i li demana si li pot avançar alguna cosa.

La Marina li posa l’exemple següent:

“Ara anem a comprar “xuxes” i ens faran pagar uns diners per ells. Hi ha dos magnituds que podem mesurar: la quantitat de “xuxes” i els diners que ens faran pagar per ells.

La pregunta que ens van fer a classe és si entre aquests dues magnituds hi ha una relació especial, es a dir, ja saps que si comprem més “xuxes” haurem de pagar més diners, però si encara comprem més “xuxes” augmentaran els diners que hem de pagar de la mateixa manera? O per el contrari, hi haurà una oferta de manera que a pesar de pagar més diners per més “xuxes” no paguem amb el mateix augment de diners que de “xuxes”?”

Si augmenten de la mateixa manera la quantitat de “xuxes” i els diners que paguem per ells, diem que son dues magnituds proporcionals, si no, no ho son.

A.1 A la botiga Xuxelandia, un “núvol” val 0.05€ i a la botiga Tot xuxes un “núvol” val 6 cèntims d’euro, però, en aquesta botiga si compres una bossa amb 20 “núvols” et cobren 0.90€.

a) Si la Marina i la Teresa volen comprar 10 “núvols”, a on els sortirà més barat?

Xuxelandia Tot xuxes

Quantitat de “núvols” Preu en € Quantitat de “núvols” Preu en € 1 1

10 10


b) Si volguessin comprar 40 núvols, a on els sortiria més barat?

Xuxelandia Tot xuxes Quantitat de “núvols” Preu en € Quantitat de “núvols” Preu en €

1 1

10 10

40 40

c) Torna a llegir el que li explica la Marina a la Teresa i digues en quina botiga els diners que paguen aquestes dues noies és proporcional a la quantitat de núvols que compren? Raona l’explicació per escrit.

Quan dues magnituds són proporcionals (com ara els “xuxes” i els diners a la botiga Xuxelandia i , fins els 20 núvols a la botiga Tot xuxes) aleshores:

� A doble quantitat de núvols tindrem que pagar el doble de diners. � A triple quantitat de núvols tindrem que pagar el triple de diners. � Si comprem la meitat de núvols tindrem que pagar la meitat de

diners.

Reconèixer la proporcionalitat entre dues magnituds ens permetrà saber el preu de les “xuxes” independentment de la quantitat que volem comprar.


A.2 Donades les situacions següents, digues si hi ha proporcionalitat o no entre les dues magnituds, a més escriu en cada cas una frase que justifiqui si hi ha proporcionalitat o no entre les dues magnituds:

a) b)

Producció Temps 1000 anelles 2 hores

3000 anelles 6 hores

c)

Quantitat d'aigua Temps 25 l 50 min

100 l 200 min

d)

Edat Pes 2 anys 15 kg

10 anys 25 kg

e)

Benzina gastada Quilòmetres fets 10 litres 120 km

20 litres 240 km

f) Edat Alçada 10 anys 1,20m

30 anys 1,70m

g) Dibuix Realitat 5 cm 100 m

15 cm 300 m

Kg de taronges Preu en € 1 1.5 €

3 4.5 €


h)

Espai recorregut Temps invertit 10 km 15min

40 km 60min

i) Radi Longitud de la circumferència 3 cm 19

6 cm 38

j) àrea preu moqueta

15 m2 40 €

30 m2 80 €

k) Hores de feina Àrea pintada 2 hores 30 m2

6 hores 90 m2

l) Temps per pintar una paret Treballadors 4 hores 2

2 hores 4

m) Alçada proveta Volum

2 cm 5 cl

10 cm 25 cl

n) número d’alumnes que van d’excursió Preu que ha de pagar cadascun

10 4,00 €

40 1,00 €


o) costat d’un quadrat perímetre del quadrat

p)

A.3 Pot ser, desprès d’aquests exemples, et veus amb més capacitat per explicar que vol dir que dues magnituds son o no proporcionals. Hauràs de llegir el que has posat davant de tota la classe.

Costat d’un quadrat Àrea del quadrat


Full de treball B

PROBLEMES DE PROPORCIONALITAT Tornem al problema d’ombres B.1 A les 11 del migdia d’un dia d’estiu la longitud de l’ombra d’un fanal és com la longitud d’un pal de 5 m que té una ombra de 2 m. Si l’ombra del fanal fa 6 m, quina longitud farà el fanal? Explica amb detall el que fas.

Diferents maneres de resoldre un problema de proporcionalitat. A continuació et proposem que estudiïs detingudament tres maneres diferents de resoldre el problema d’ombres B. 1.

1. Comparem alçades amb alçades i llargades d'ombra a mb llargades d'ombra Organitzem les dades del problema en una taula.

llargada ombra alçada pal 2 5

6 m x El que no sabem és l’alçada de el fanal: en direm x. La lletra x representa un valor desconegut. Per això direm que x és desconeguda o incògnita. Podríem haver utilitzat una altra lletra, però s’acostuma a fer servir la lletra x com a incògnita. Si comparem l’ombra de 6 m amb l’ombra de 2 m: 6 : 2 = 3 L’ombra de 6 m és 3 vegades més gran que l’ombra de 2 m. Per tant el fanal també serà 3 vegades més gran: x = 3 • 5 = 15 El fanal farà 15 m.


2. Comparem ombres amb alçades : PAS A LA UNITAT Organitzem també les dades en una taula:

Llargada ombra

Alçada pal

2 5

PAS A LA UNITAT → 1

6 x

Si l’ombra de 2 m és d’un pal de 5 m d’alçada aleshores una ombra de 1 m serà: 5 : 2 = 2,5 m Completa la frase: cada 1 m d’ombra correspon a ............................. (Posa-ho a la taula) Per tant el fanal de 6 m d’ombra farà: x = 6 • 2,5 = 15 m

3. PRODUCTES ENCREUATS Un cop organitzades les dades en la taula

llargada ombra alçada pal 2 5

6 m x

Escrivim una proporció: 2 és a 5 com 6 és a x: x

6

5

2 =

Per la propietat dels productes encreuats ha de ser: 2 • x = 5 • 6 La primera multiplicació no la podem fer però la segona sí,

busquem un nombre x que multiplicat per 2 doni 30: mx 152

6·5 ==

B.2 Digues amb quin dels tres procediments havies resolt el problema B 1. Si no havies usat cap dels tres procediments comenta si té similitud amb algun d’ells i fes-ho saber al professor per tal de comentar-ho a tota la classe.


B.3 Quin dels tres procediments t’ha resultat més fàcil d’entendre? B.4 Quin dels tres procediments et sembla més pràctic ?

En els següents problemes fes els següents passos:

1. Organitza sempre les dades en una taula i posa una x a la dada que has de buscar.

2. Digues si les magnituds del problema són o no proporcionals i justifica-ho amb una frase com per exemple:

"són proporcionals perquè al doble de................... li correspon...................." "no són proporcionals perquè al doble de..................no li Correspon ..........."

3. Si les magnituds són proporcionals, calcula la incògnita per un dels tres mètodes:

- PER COMPARACIÓ - PAS A LA UNITAT - PRODUCTES ENCREUATS indicant quin dels mètodes utilitzes. Si les magnituds no són proporcionals intenta també resoldre el problema si creus que té solució. B.5 En una recepta per fer una paella per 4 persones diu que calen 260 g. d’arròs. Si volem una paella per a 7 persones, quina quantitat d’arròs necessitem? B.6 En una cadena de muntatge cada 2 hores es fabriquen 300 peces. Quantes peces faran en 5 hores?


B.7 Una noia fa 1,2m als 5 anys, quina serà la seva alçada als 10 anys B.8 Si el preu de 3 kg de taronges és de 2,70 euros. Quin és el preu de 8 Kg? B.9 Per preparar l’esmorzar per 5 persones necessitem 3 llaunes de tonyina, i per 10 persones? B.10 Un tren triga 6 h en fer un recorregut de 300 km. Quants quilòmetres farà en 4,5h?


B.11 Per fer melmelada de maduixa hem de posar 75g de sucre per cada 100g de maduixes. Quant sucre necessitarem si tenim 750g de maduixes? B.12 En una font, omplo 4 garrafes en 5 minuts. Quant trigaré a omplir 12 garrafes? B.13 En la construcció d’un edifici, 2 paletes triguen 8 hores en fer una paret. Quant haurien trigat 4 paletes? B.14 En un parc d’atraccions l’entrada val 6 €. Un cop a dins cal pagar una quantitat per cada atracció que es va. Totes les atraccions valen igual. Si sabem que la Rosa va anar al parc i en total li va costar 10 € i va anar a 4 atraccions, quant li va costar a en Joan que va anar a 8 atraccions?


Full de treball C

LES RAONS MÉS USADES: ELS TANTS PER CENT Aquest any els alumnes dels SES de Cardedeu hem anat a esquiar, però alguns no van venir. El profe de Mates ha fet alguns càlculs i la resposta que ha donat és:

Dos de cada cinc és van quedar al SES i no van anar a esquiar

C.1 Explica que creus que significa aquesta frase. C.2 ¿quants alumnes es van quedar si en total el nombre d’alumnes de 1r és:

• cinc alumnes?

• Deu alumnes?

• 25 alumnes?

• 50 alumnes?

• 100 alumnes?

• Un sol alumne? C.3 ¿Quants alumnes es van quedar si realment sou 59 alumnes a 1r d’ESO?


C.4 Gràficament podem veure la equivalència que hi ha entre els resultats anteriors. Si representem per un quadrat el total d’alumnes de 1r d’ESO que hi ha i pintem de color fosc els alumnes que es van quedar sols ens faltarà saber quantes parts he de fer en total per veure quantes queden fosques i quantes clares:

a) Completa el requadre del numerador de la raó o fracció entre la part

ombrejada i el total de les figures següents segons els denominadors que s'indiquen.

b) Fent la divisió que indica cada fracció o raó comprova l’equivalència entre totes elles.

c) Expressa amb paraules l’equivalència anterior continuant la frase següent:

Dos és a cinc com deu és a 25 com ....

Quan al establir una raó per comparar una part respecte el total agafem com a base o denominador de la raó el nombre 100 direm que la raó és un TANT PER CENT o PERCENTATGE i ho escriurem amb el numerador seguit del símbol % . així si tenim la raó 40 és a 100, tenim un tant per cent i ho podem escriure:

%40100

40 = i ho llegirem quaranta per cent

de fet seria "més correcte" dir 40 és a 100 o 40 entre 100 o 40 per cada 100, però tradicionalment es diu tant per cent i així ho hem de dir. Però atenció la paraula PER no significa multiplicar !

5 25 50 100 1


C.5 Tornem a l’esquiada. ¿com caldria que el profe de Mates ens hauria hagut de dir si ho hagués fet amb llenguatge de percentatges? C.6 Explica el significat de les frases següents escrivint una o més noves frases amb el mateix significat però sense ni la paraula "percentatge" ni "tant per cent", tal com podeu veure en el primer exemple.

a) El 15 % de l'alumnat és de Cànoves. El nombre d'alumnes Cànoves és al nombre d'alumnes de tot l'Institut com 15 és a 100. O bé: De cada 100 alumnes de l' Institut, 15 són de Cànoves.

b) El 20 % dels punts de la lliga de bàsquet de l'equip ESPORT B. C. els ha fet la Mireia.

c) He posat uns estalvis al Banc i m'han dit que em donaran un 7 %

d'interès anual. d) La camisa que porto té un 60 % de cotó. e) Aquest matí degut al grip hi ha hagut un 20 % d’absència a classe. f) Aquests pantalons els han rebaixat un 15 %. g) Al preu d'aquesta reparació se li ha d'aplicar un 16 % d'IVA.


h) He tirat una moneda moltes vegades i m'ha sortit un 52 % de cares. i) En una dieta equilibrada l'aportació de calories que provenen de greixos

és recomanable que no superi el 35% de les calories totals ingerides. j) Al paper que embolica un formatge s'hi llegeix 45% de matèria grassa.

ALLÓ QUE REALMENT HAS DE MEMORITZAR ÉS: TOTALPART

. Ara veurem que vol dir

C.7 Comproveu si són certes les frases següents escrivint en cada cas una proporció i comprovant si és certa o falsa. En cas que sigui falsa calculeu el tant per cent perquè sigui correcta.

a) El 15 % de l'alumnat és de Cànoves, perquè hi ha 420 alumnes en total i 63 són de Cànoves.

%1510015.0;15.0420

63 =×==alumnesCánovesde

TOTALPART

b) El 20 % dels punts de la lliga de bàsquet de l'equip ESPORT B. C. els ha fet

la Mireia. La Mireia ha fet 124 punts dels 620 punts de l'equip.

==TOTALPART

c) He posat uns estalvis al Banc i m'han dit que em donaran un 7 % d'interès

anual. Com que hi he posat 2500 € al cap d'un any tindré 2675 €.

==TOTALPART


d) La camisa que porto té un 60 % de cotó. Això vol dir que com que pesa 250

g, porta uns 140 g de cotó. e) Aquest matí degut al grip hi ha hagut un 20 % d'absència a classe, perquè

som 25 i només han vingut 18 alumnes. f) Aquests pantalons els han rebaixat un 15 %, abans valien 42,50 € i ara valen

només 36,13 €. g) Al preu d'aquesta reparació se li ha d'aplicar un 16 % d'IVA. Per tant com

que val sense IVA 150 €, al sumar-li l' IVA seran 180,5 €. h) He tirat una moneda 200 vegades i m'han sortit 105 cares. O sigui que ha

sortit un 50% de cares. i) En una dieta de 3000 kcal (quilocalories) si 900 kcal provenen de greixos,

està al límit del que és recomanable que és com a màxim un 30% de calories aportades per greixos.

j) En una melmelada hi llegim: 60 % de fruita. Per tant si la melmelada pesa

250 g, hi haurà 200 g de fruita.


C.8 Resol els problemes següents escrivint en cada cas una proporció i indica amb una x el que vols trobar.

a) En una classe de 29 alumnes el 55 % són noies. Quantes noies hi ha a la classe?

b) L’equip de handbol de Sant Antoni de Baix ha perdut el 60 % dels partits

que ha jugat aquest any. Quants partits ha perdut si n'ha jugat 45 ? c) L’equip de bàsquet de Sant Antoni de Dalt ha per dut 35 partits dels 45 de la

lliga. Quint tant per cent de partits ha perdut ? d) Al paper que embolica una teula de xocolata diu que porta un 35 % de

cacau. Quant cacau porta si pesa 150 g e) Una jaqueta que valia 95 € l'han rebaixada un 12 %.

Quina quantitat han descomptat? Quin preu té ara la jaqueta?

f) El lloguer d'un autocar per a una sortida val 197 €

sense IVA. Si l'IVA és d'un 16 %, quant valdrà en total el lloguer de l’autocar?


g) Si poso 1350 € a una caixa d'estalvis a un 4,5 % d'interès anual, Quants

diners tindré al cap d'un any? h) En un Institut de 672 alumnes, el 18 % hi va en

bicicleta. Quants alumnes van en bicicleta a aquest institut?

i) En el mateix Institut de 672 alumnes, 51 alumnes hi van en moto. Quin tant

per cent representa? j) Castelltort és un poble

de muntanya que l'any 1980 tenia 210 habitants. Des de llavors la població ha disminuït i ara només hi ha 95 persones. En quin percentatge ha disminuït la població?

k) Una espècie d'ocell en perill d'extinció comptava amb una 480 individus fa 6

anys. Des d'aleshores la població ha sofert una disminució d'un 29 %. Quants ocells hi ha ara d'aquesta espècie.


Full de treball D

EL TANT PER CENT I EL TANT PER U. D.1 Calcula el 15% de 1 Per trobar el percentatge equivalent a una raó podem establir una proporció i calcular el valor que ens falta, però també podem fer-ho calculant el tant per u. Per exemple

15,0100

15%15 == o sigui : 15 és a 100 com 0,15 és a 1

La raó 15 % és equivalent a la raó 0,15 és a 1 que a vegades es llegeix com " 0,15 per 1" i es diu que és un " tant per u". Això d'expressar una raó en tant per u és el que en dèiem pas a la unitat en els problemes de proporcionalitat. Per obtenir el tant per u hem de fer el quocient o divisió entre el numerador i el denominador:

PER PASSAR UNA RAÒ A TANT PER U I A TANT PER CENT

3 és a 4 Com 0,75 és a 1 Com 75 és a 100

4

3

75,0= %75=

raó Tant per u Tant per cent

Divisió 3:4 Multiplicació 0,75·100

Al tant per u també se'n hi diu expressió decimal de la raó i podem escriure-ho sense el denominador 1. Així

0,75 = 75 % i 0,15 = 15 %

Per tant, per passar de tant per u o expressió decimal a tant per cent hem de multiplicar per 100.


D.2 Completa els quadres següents tal com en el primer exemple

RAÓ Expressió decimal

%

4

3 = 0,75 = 75%

5

1 = =

10

1 = =

5

3 = =

D.3 Escriu les raons següents en forma de percentatge seguint rigorosament els passos de l'exercici anterior:

a) =25

2

b) =10

3

c) =250

40

d) =29

2

e) =7

3

f) =245

12

g) =1000

350

h) =89

7

i) =6103

98


D.4 FRASE RAÓ TANT PER 1 % FRASE AMB EL %

1 En un cinema on hi ha 200 seients, 40 estant buits.

2 A la classe hi ha .....noies d'un total de .....alumnes.

3 El Barça va tenir la pilota durant 51 minuts durant el partit que va durar 92 minuts.

4 El Pau Gasol va encistellar 7 tirs lliures d'un total de 10 que en va llançar.

5 En un altre partit en va fer 3 de 3.

6 Una quarta part de les hores d'un dia.

7 Un joc de vídeo que valia 18,50 €, l'he comprat per 2,50 € menys.

8 L'hivern passat hi va haver un dia que a causa del grip va faltar un terç de la classe.

9 Un tipus de gelat que l'any passat valia 1,40 € aquest any s'ha apujat 0,10 €.

10 Un altre gelat que l'any passat valia 1 € també s'ha apujat 0,10 €.


D.5 FRASE RAÓ TANT per 1 % FRASE AMB EL % Tant per mil

1 6 de cada 10 alumnes d'un institut practiquen algun esport

2

Una persona va a un Banc i li diuen que si posa 2000 € durant un any, li donaran uns interessos de 85 €.

3 En un poble de 8300 habitants hi ha 210 persones que practiquen el bàsquet.

4 En el mateix poble hi ha 14 persones que practiquen el golf.

5 En el mateix poble les tres quartes parts no practiquen cap esport.

6 De cada 5 vegades que surto de casa , 4 vegades trobo la Maria.

7 En una enquesta feta 285 persones , n'hi ha 23 que no han volgut contestar.

8 De les 150 vegades que hem tirat un dau, en 23 ha sortit un 5.

9

En una enquesta s'ha preguntat a 725 persones quantes hores dormen al dia. 130 han contestat que en dormen menys de 7.

10 Un terç de la població mundial té dificultats per sobreviure.


D.6 FRASE RAÓ NOMBRE DECIMAL

% FRASE AMB EL %

1

2

3

4

5

6

7


ANNEX 1

Full de treball E

Exercicis de consolidació: Proporcionalitat E.1 6 kg de plàtans costen 12 euros.

a) Quants euros costa un quilo? b) Quants quilos podem comprar amb un euro?

E.2 Completa els valors que falten de les magnituds proporcionals: E.3 Completa la taula d’aquestes magnituds proporcionals:

E.4 Completa aquestes proporcions:

a) 4 ?

10 50=

b) 3 12

5 ?=

c) 60 ?

15 3=

Pes kg 3 8 10 12 Preu ∈ 7

Preu pernil 8 Pes (g) 100 200 400 500 800 1000


Exercicis de consolidació: Percentatge E.5 Calcula aquests percentatges:

a) 25% de 1000

b) 36% de 4500

c) 50% de 2300

E.6 El 38% dels alumnes de primers d’ESO d’una escola fan esports extraescolars. Si en aquest curs hi ha 114 alumnes, quants alumnes fan esports extraescolars? Quants no en fan?

Exercicis de consolidació: Problemes E.7 El dibuix mostra iogurts de marques diferents, presentats en diversos formats. Amb quina de les marques resulta més barat 100 g de iogurt? I amb quina resulta més car? E.8 Una empresa de 250 treballadors vol augmentar la plantilla un 30%. Quants treballadors hi haurà a l’empresa?


E.9 Per pagar una multa de 120 € fora de termini m’han posat un recàrrec del 20%. Quant he hagut de pagar? E.10 En David té 450 € estalviats i vol destinar un 15 % dels seus estalvis a ajudes humanitàries. Quants diners li quedaran a en David després de fer aquesta donació? E.11 Per treballar 30 dies un obrer cobra 841 €. Quant cobrarà en total si treballa 22 dies més? E.12 Una piscina amb una capacitat de 5000 litres d’aigua triga 5 hores a omplir-se. Quants litres hi haurà a la piscina quan hagin passat 3 hores? E.13 En 8 hores una màquina d’envasar arròs ha envasat 1120 paquets. Si funciona durant 25 hores, quants paquets envasarà?


E.14 Un any, el preu d’un cotxe, que és de 9000 €, s’apuja un 10%. L’any següent l’augment del preu és del 5%.

a) Quin és el preu del cotxe el segon any? b) El preu ha augmentat un 15%?

E.15 Per carnestoltes 6 alumnes de 1r C han decidit disfressar-se de bruixes. Per a fer-se les disfresses han hagut de comprar 15 metres de roba negra. A última hora hi ha 14 alumnes més que es volen disfressar de bruixa. ¿quants metres de roba negra hauran de comprar pels 14 alumnes que no en tenen? E.16 Un constructor ha necessitat uns 36 800 totxos per fer 2 pisos i encara li falten per fer 13 pisos més ¿quants totxos més necessitarà?


E.17 Un electricista va haver de posar l’any passat 23700 bombetes per adornar 4 km de carrers per les festes de Nadal. Enguany l’ajuntament ha decidit adornar un total de 6,5 quilometres carrer.¿Quantes bombetes creus que necessitarà l’electricista? E.18 L’Arnau ha calculat que si posa al mòbil 20 € pot parlar un total de 70 minuts aproximadament.

a) ¿quant temps podrà parlar si posa 35 €? b) ¿Quants diners haurà de posar si sap que vol estar 45 minuts parlant?

E.19 Un granger va comprar 400 kg de pinso pels seus animals i se l’han cruspit tot en 14 dies. Una cadena de supermercats li compra tot el bestiar per la secció de carnisseria però l’aniran a buscar d’aquí a 9 dies.

a) ¿quina quantitat de pinso ha de comprar el granger per tal que els animals mengin els 9 dies que queden?

b) Per a que li surti el negoci rentable hauria de comprar sols 230 kg de pinso. ¿quants dies podria alimentar els animals amb aquest 230 kg?


E.20 L’Arnau i la Zaima estan perdudament enamorats i han decidit fer-se un petó per Sant Valentí, però la mare de la Zaima no li deixa surtir al carrer. El pare d’un amic de l’Arnau té un magatzem de construcció i té moltes escales. L’Arnau vol agafar-ne una per pujar al balcó de la Zaima aquesta nit, però no sap quina escala agafar: si és massa curta no arribarà a fer-li el petó i, per altra banda, no vol carregar una escala més llarga del compte. La Zaima s’ha adonat que un fanal del seu carrer és exactament igual de alt que el seu balcó. La Zaima ha mesurat l’ombra del fanal. Aquesta ombra mesura 12 m a les 4 de la tarda, i a la mateixa hora, un bastó de 1,49 m fa una ombra de 84 cm. La Zaima et truca a tu, una alumne del SES especialista en Matemàtiques, i et demana que calculis quina longitud ha de tenir l’escala i escriguis una carta explicant-li molt bé com ho has calculat tot. Escriu aquesta carta i pensa que ha d’estar molt ben explicat doncs l’Arnau és molt desconfiat.

generalitat de catalunya departament d’educació ses pla ...ccubas/1r...

Documents