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Cuaderno de Topografa - GeneralidadesUniversidad Nacional de Colombia - Sede Medelln

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PROPUESTA DE MODERNIZACINDE ENSEANZA DE TOPOGRAFA

EN LA FACULTAD DE MINAS

Cuaderno de TopografaGeneralidades

Angela B. Meja G.Profesora Asistente

Felipe Ospina J.Profesor Honorario

Alonso Sierra L.Profesor Asociado

Oscar Zapata O.Profesor AsociadoNivel de precisin Y-Y Dumpy

Teodolto OpticomecnicoKERN DKM-1

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Este material se termin de imprimir enlos talleres del

Centro de Publicaciones de laUniversidad Nacional de Colombia, Sede Medelln

en julio de 2007


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Angela Beatriz Meja GutierrezFelipe Ospina J.Alonso Sierra L.Oscar Zapata O.

Universidad Nacional de Colombia - Sede MedellnCentro de Publicaciones

ISBN : 958-8256-50-4

Diagramacin e impresin : Universidad Nacional de Colombia - Sede MedellnCentro de Publicaciones

Primera Edicin : Febrero de 2005Primera reimpresin: Julio de 2007

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INTRODUCCIN

La serie de cuadernos as presentados pretenden larealizacin del curso de Topografa utilizando documentospreviamente elaborados por los profesores (con informacinbsica, clara, precisa, ordenada, actual, no una lista detemas) que permitan al estudiante opinar, aportar y construirel texto para que descubra los desarrollos y las tecnologasque lo llevarn a conseguir el objetivo que se busca con laTopografa, la medida y su representacin.

A diferencia de la metodologa tradicional permite alestudiante participar en la elaboracin del texto para queaporte, haga confrontaciones, evale lo que sabe, comparesu conocimiento se retroalimente, repita apropiadamentela tecnologa existente y tenga la posibilidad de crear nuevastecnologas.

De esta manera se consigue la revisin permanente yevolucin del texto base del programa, de la tecnologaexistente y del estado del arte en general.

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STANSELL, Thomas. El sistema de navegacin por satlite: Transit. Torrance,Magnavox, 1980. 84 p.

TORRES, A., VILLATE, E. Topografa, Bogot, Escuela Colombiana deIngeniera 2001. 460 p.

VALDS, Francisco Topografa. Barcelona, Ceac, 1981. 352 p.

ZAPATA, O., M Oscar. Ejercicios de topografa Trabajo para a la promocin aprofesor Asistente. Medelln Universidad Nacional , 1992, 144 p.

ZAPATA, O., Oscar. Notas de clase para el curso de topografa. Medelln,U.N. 1993. 105 p.

ZURITA, Jos. Topografa prctica para el constructor. Barcelona, Ceac,1979.185 p.


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CONTENIDO

1. GENERALIDADES ............................................................................. 5

1.1 DEFINICIN ....................................................................................... 5

1.2 HISTORIA ........................................................................................... 5

UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR .................................................... 8

1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFA. FORMA DE LA TIERRA ................... 91.3.1 La geodesia ......................................................................................... 91.3.2 La topografa ...................................................................................... 10

1.4 DIVISIN BSICA DE LA TOPOGRAFA ........................................ 111.4.1 Planimetra. ....................................................................................... 111.4.2 Altimetra. ........................................................................................... 111.4.3 Planimetra y altimetra. ..................................................................... 11

1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFA ............... 141.5.1 El sistema mtrico decimal de medidas. .......................................... 151.5.2 Matemticas para la topografa: ........................................................ 171.5.3 Principios fundamentales de topografa: ........................................... 191.5.4 Escalas ............................................................................................. 25

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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

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BARRY, Austin. Topografa aplicada a la construccin. Mxico, Limusa, 1982.342 p.

BRINKER, R. C., WOLF, P.R. Topografa moderna. Mxico, Harla, 1982. 542 p.

DAVIS, R.E., FOOTE, F.S. Tratado de topografa. Valencia, Aguilar, 1964, 880 p.

DAVIS, R.E., KELLY, J.W. topografa Elemental. Mxico, Continental, 1979.648 p.

DOMINGUEZ, G., Francisco Topografa general y aplicada. Madrid, COSAT.1998 823 p.

GIL, L., Luis. Levantamientos topogrficos, Medelln, Universidad Nacional,2005. 133 p.

GMEZ, T., Ana. Topografa subterrnea. Mxico, Alfaomega Ediciones UPC.1999. 212 p.

IRVINE, W. Topografa. Mxico, Mcgraw - Hill. 1975.259 p.

JORDAN, W., Tratado general de topografa: Planimetra. Barcelona GustavoGilli, 1944. 535 p.

JORDAN, W., Tratado de topografa: Altimetra, fotogrametra y replanteos.Barcelona, Gustavo Gilli, 1944. 572 p.

KISSAM, P., Topografa para ingenieros, Madrid, Castilla, 1967. 64p.

MCCORMAC, J. Topografa. Mxico, Limusa Wiley. 2004. 416 p.

OSPINA, J., Felipe. Prcticas de topografa., Medelln, Universidad Nacional,1975. 144 p.

OSPINA, J., Felipe. Apuntes de topografa, Medelln, Universidad Nacional,1997. 136 p.


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1. GENERALIDADES

1.1 DEFINICIN

La Topografa es una forma de presentar las metodologas con las que seefectan las mediciones necesarias para determinar las posiciones relativasde puntos situados arriba, sobre y debajo de la superficie de la tierra, o bienestablecer puntos en una posicin determinada.

Las medidas de la topografa son, esencialmente, distancia horizontal y vertical,y direccin (ngulo horizontal y vertical).

La etapa de obtencin de datos topogrficos se conoce como trabajo de campo.Los datos tomados deben ser analizados, procesados mediante clculosmatemticos, ajustados y normalmente convertidos a modalidades grficascomo planos, mapas y cartas que conforman los trabajos de oficina. Enalgunos casos sobre los planos se proyectan obras, cuyos puntos es necesarioestablecer en el terreno, en una operacin que se denomina replanteo.

1.2 HISTORIA

Los orgenes de la topografa se confunden con los de la astronoma, laastrologa y las matemticas. Las primeras teoras matemticas sedesarrollaron a partir del uso prctico de los nmeros que se requera en lavida de las comunidades antiguas.

Los egipcios, los griegos y los romanos emplearon la topografa y los principiosmatemticos para el establecimiento de linderos de terrenos, trazo de edificiospblicos y para la medicin y el clculo de superficies.

Se cree que en Egipto se hicieron los primeros trabajos topogrficos deacuerdo con referencias y representaciones de hombres realizandomediciones de terrenos, en dibujos sobre muros, tablillas y papiros.

Posiblemente, a partir de que el hombre se hizo sedentario y comenz acultivar la tierra naci la necesidad de hacer mediciones, pudindose decirque la topografa nace con la sociedad tribal.

Los topgrafos romanos eran conocidos como gromatici por el uso del groma,aparato empleado para establecer en el terreno dos lneas en ngulo recto(precursor del tamanu o escuadra de agrimensor). Empleaban tambin elchorobates como instrumento para nivelar, formado por una tabla con unaranura en el centro que se llenaba con agua. Ver figura 1.1 .

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Los medidores egipcios eran llamados estira cables, por trabajar con cuerdasanudadas.

La relacin ntima entre las matemticas y la topografa la indica el nombredado a una de las ms antiguas ramas de las matemticas, la geometra,que se deriva de las palabras griegas que significan mediciones de la tierra.

Las medidas originaron la necesidad de patrones de medida, para lo cual elhombre emple las cosas que le eran familiares, particularmente su propiocuerpo. Por ejemplo, la distancia entre la punta del dedo medio y el codo, fuedenominada codo. Ver figura 1.2.1. La distancia entre la punta del dedo pulgary la del dedo meique con la mano totalmente extendida, se llam cuarta opalmo y equivali a medio codo. Ver figura 1.2.2. El pie fue otra medidaequivalente a tres cuartas partes del codo. La altura del hombre equivala acuatro codos.

Todas estas medidas diferan dependiendo de las distintas tallas de losindividuos. En Egipto se estableci hacia el ao 3000 antes de Cristo, el codoreal (codo de algn faran) como patrn. Se construy con l un cuadradode un codo real de lado y su diagonal llamada doble ramen se establecicomo patrn de medida de longitud para la medicin de terrenos.

Varias civilizaciones antiguas como los sumerios, persas y griegos usabanunidades como el codo, el dedo, la palma, etc. y otras de mayor longitudcomo la equivalente a una jornada de camino, el sabat, de aproximadamente1.281 metros.

Figura 1.1. Chorobates

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Siendo las dimensiones 2x por x.

rea = 2x2

Por consiguiente:

2x2 = 167.22 mm2

= 83.61 mm2

y as pues x = 3.14 mm2

de modo que el dibujo mide 8.14 mm x 18.29 mm

Se define el mdulo escalar como el inverso de la escala. Si 1/E = ESCALAEl mdulo escalar es E y significa el factor por el que hay que multiplicar ladistancia medida en el plano para encontrar la homloga en el terreno.

Cuestionario:Responder a las siguientes preguntas:

1. Dar tres maneras de expresar la escala de un mapa o plano, sealandobrevemente sus ventajas y desventajas.

2. Un terreno situado entre una va recta y una cerca tiene un rea de 6250metros cuadrados.

a. El rea, medida en un plano viejo cuya escala se ha borrado, da 1000 mm2.Cul es la escala de ese plano?-

b. La lnea principal del levantamiento va a lo largo del borde de la va. Si lasdistancias de los extremos de esta base a la cerca son 36.90 y 25.60 mrespectivamente y en direccin perpendicular a dicha base, calcular lalongitud de sta.

1. En la modernizacin de un centro urbano, se va a sustituir un monumentopor otro de concreto. Un modelo del bloque de concreto a escala 1:5 tiene1 metro de alto por 500 mm ancho por 500 mm de largo. Si el modelo deconcreto pesa 500 Kg, calcular las dimensiones y peso del monumentoverdadero.


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Figura 1.2.1. Codo

Figura 1.2.2 Cuarta

Las unidades lineales modernas tuvieronorigen en la yarda y pie britnico de 1855, yla toise francesa en 1766. En 1889 seadoptaron las normas para el sistemamtrico. En 1960, el metro internacional yla pulgada norteamericana se definieronoficialmente en funcin de longitudes deonda de la luz emitida por el criptn. A partirde 1975 se oficializ el sistema mtrico enEstados Unidos, empezando la transicina este sistema.

En nuestro medio se utiliza el metro comounidad de longitud, como unidad desuperficie la hectrea que equivale a uncuadrado de 100 metros de lado (10.000m) y la cuadra, con 80 metros de lado(6.4000 m). Para superficies grandes elkilometro cuadrado (Km) equivalente a1.000.000 m y a 100 hectreas.

El avance de los aparatos de topografa ysus mtodos est ligado con las guerras,por la necesidad de elaborar planos ymapas con precisin, lo mismo que definir

alcances de armas y sistemas de puntera.

Hoy se cuenta con aparatos electrnicos de alta calidad y el apoyo decalculadoras y computadoras que facilitan notablemente el trabajo y suprecisin.

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1mm (en el plano) = 500 mm (en el terreno)

Por tanto,

1 mm2 (plano) = 500 x 500 mm2 (terreno) 500 x 500= m2

1000 x 1000

= 0.25 m2

rea en el terreno = 2000 m2

As, rea en el plano

2000= mm2 = 8000 mm2 0.25

De otra manera:rea en el plano = rea en el terreno x (fraccin)2

1 1= 2000 x x m2

500 500

1000 1000= 2000 x x m2

500 500

= 8000 mm2

Ejemplo 7.

Un lote de terreno en forma de rectngulo es dos veces ms largo que ancho.Al hacerse el levantamiento, se encontr que tiene 16.722.54 m2 de rea.Calcular las longitudes de los lados en un dibujo a escala 1:10000.

Solucin:rea en el plano = rea en el terreno x (fraccin)2

1= 16.722,54 x m2

10002

16.722,54 x 1000 x 1000 mm2= 10000 x 10000

= 167.22 mm2


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Figura 1.3.1 Teodolito OpticomecnicoK&E

Figura 1.3.2 Teodolito OpticomecnicoKern DKM-1

Figura 1.3.3 TeodolitoOpticomecnico Wild T-16

Figura 1.3.4 Teodolito ElectrnicoTOPCON DT-30

UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR

La magnitud de un ngulo puede expresarse en distintas unidades, la mayorade las cuales se deriva bsicamente de la divisin de la circunferencia envarias formas.

Para un levantamiento topogrfico deben medirse ngulos y distancias, estainformacin se obtiene con un trabajo de campo realizado con instrumentos,como el teodolito, que permiten efectuar con precisin la medida de ngulos.Ver figuras 1.3.1 y 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4.

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Solucin:

a. Fraccin = 1:2000,o sea que

1mm (en el plano) = 2000 mm (en el terreno).Por tanto1mm2 (plano) = 2000 x 2000 mm2 (terreno).

rea en el plano = 175 x 250 mm2.Por tantorea en el terreno= 175 x 250 x 200 x 200 mm2

2000 2000= 175 x 250 x x m2

1000 1000

= 175000m2

b. Mediante la frmula:rea en el plano = rea en el terreno x (fraccin):Por tantorea en el terreno = (175 x 250) x 5002 mm2

500 500= 175 x 520 x x m2

1000 1000

= 10.937,5 m2

Comprobacin de la solucin:La escala (a) es cuatro veces menor que la (b); habr pues diecisis veces elrea en un plano del mismo tamao

10.937.5 x 16 = 175.000 m2

Ejemplo 6:Un terreno tiene 2000 m2 de rea segn levantamiento hecho. Si se lerepresenta en un plano a escala 1:500, cul ser el rea en el plano enmm2?.

Solucin:

Fraccin = 1:500O sea que


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Figura 1.4 Forma de la Tierra

1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFA. FORMA DE LA TIERRA

Las mediciones se llevan a cabo cerca o sobre la superficie. Algunos factorescomo la forma y el tamao de la tierra, afectan las mediciones, los clculos yla representacin. Esto permite clasificar la medicin en dos ciencias bsicasla geodesia y la topografa, de acuerdo con el tamao de la superficieconsiderada.

1.3.1 La geodesia

Considera la forma de la tierra como un geoide, abarca los principios yprocedimientos matemticos para la determinacin precisa de las posicionessobre la superficie terrestre y su representacin. Ver figura 1.4. Lospuntos,generalmente, estn separados por distancias de gran magnitud.Representa reas de considerables extensiones, poblaciones, ciudades,departamentos, pases, continentes, etc. Los trabajos geodsicos son deprecisin y sus puntos sirven de apoyo para los trabajos topogrficos. Hechosprincipalmente por organismos oficiales. Se manejan en el pas por el InstitutoGeogrfico Agustn Codazzi (IGAC), y las Oficinas de PlaneacinDepartamental y Municipal.

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Conversin de reas por fracciones representativas

Si la fraccin que da la escala en un plano es muy grande, 1/4 por ejemplo, loque significa esta fraccin, segn se sabe ya, es que una unidad sobre elplano representa 4 unidades sobre el terreno. Un cuadrado de 1 unidad en elplano representar pues un rea sobre el terreno de (4 unidades x 4 unidades).De lo que se deduce una frmula sencilla:

Escala del plano = 1:4rea en el plano = 1 x 1 unidades cuadradas

Por consiguiente, rea en el terreno =(1 x 4) x (1 x 4) unidades cuadradas= 1 x (4 x 4) unidades cuadradas= 1 x 4: unidades cuadradaso sea que rea en el terrenorea en el plano = 4

o sea que rea en el plano = rea en el terreno x (fraccin de escala)

Ejemplo 4:La escala de un plano es 1:4. Si un cuadrado del plano mide 3 por 3 unidades,cul es el rea de terreno correspondiente?

Escala del plano = 1:4rea en el plano = 3 x 3 = 9 unidades cuadradasrea en el terreno = (3 x 4) x (3 x 4) = 144 unidades cuadradas.

Por la frmula:rea en el plano = rea en el terreno x fraccin de escala)2

19 = x . unidades cuadradas 16

Ejemplo 5.Un rea sobre un plano tiene 250 mm x 175 mm. Calcular el rea en elterreno, en metros cuadrados, si la escala es:a. 1:2000b. 1:500


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1.3.2 La topografa

Estudia la forma de la tierra teniendo en cuenta la superficie media de la tierracomo plana y se define como topografa plana o simplemente topografa. Lasdirecciones se toman matemticamente rectas, los ngulos como ngulosplanos. La direccin de la plomada se considera la misma (vertical) en todoslos puntos dentro de los lmites de un trabajo, con las direcciones paralelasentre s. Se diferencian entonces la geodesia y la topografa por los mtodos,procedimientos de medicin y clculos. La topografa trabaja sobre pequeasextensiones de superficie y la geodesia sobre grandes reas.

La representacin grfica de mediciones geodsicas la hace la cartografa,proyectando sobre un plano la parte o partes del esferoide terrestre. Para latopografa lo hace el dibujo topogrfico que proyecta sobre un plano las medidasde una superficie considerada tambin como plano.

El error que se comete en los trabajos planimtricos al considerar la tierracomo plana es mnimo. Si se tiene en cuenta que un arco de la superficieterrestre de 18 Km de longitud es solamente mayor en 15 mm que la cuerdasubtendida.. La diferencia entre la suma de los ngulos interiores de untringulo esfrico es 1" con el correspondiente tringulo plano, para una reade 200 Km. Ver figura 1.5 .

Figura 1.5. Tringulo esfrico y tringulo plano

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que 1 sun representa 129.600 sun o sea 1 ri; y para nosotros que 1 milmetrorepresenta 129.600 milmetros o sea 129.6 metros.

Conversin de escalas a fracciones

Ejemplo 1:Si 1 centmetro sobre un mapa representa 10 metros en el terreno, la fraccinser:

unidades en el mapa 1 centmetro = = 1:1000unidades en el terreno 10 x 100 centmetros

Ejemplo 2:Si la fraccin que indica la escala en un mapa es 1:120, cuntas unidadesen el terreno representan 2 unidades del mapa?

Escala = fraccin = 1:120

2 unidades de mapa 1 =x unidades de mapa 120

unidades de mapa = 2 unidades de mapa> 120x unidades de mapa = 240 unidades de mapa

Ejemplo 3:Si la fraccin que indica la escala es 1:1200, qu distancia hay entre dospuntos del mapa que en el terreno distan entre s 360 metros?.

El problema se puede resolver mediante el siguiente razonamiento:

Fraccin = 1:1200, o sea que si 1 m sobre el mapa es igual a 1200 m sobre elterreno, entonces x m sobre el mapa son 360 m sobre el terreno, o bien

1 x = metros 1200 360

360y por tanto x = metros 1200

= 0.3 metros= 300 mm


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Figura 1.6. Efecto de la curvatura en altimetra

En la altimetra, solo en distancias pequeas se puede prescindir de lacurvatura. En una distancia de un kilmetro la superficie de nivel est 14 cmpor debajo de la tangente. Ver figura 1.6 .

1.4 DIVISIN BSICA DE LA TOPOGRAFA

1.4.1 Planimetra.Solo tiene en cuenta la proyeccin del terreno sobre un plano horizontal.Representa los accidentes de un terreno sobre un plano en proyeccinhorizontal. Esta proyeccin se denomina base productiva. Figura 1.7 .

1.4.2 Altimetra.Considera la elevacin (altura) a que se encuentran los puntos respecto auna superficie horizontal de referencia (Datum) y la distancia vertical entreellos. Proyecta los puntos sobre el plano vertical. Figura 1.8 .

1.4.3 Planimetra y altimetra.

Tienen en cuenta la posicin del punto sobre el plano horizontal y adems sualtura. Sus mtodos de trabajo y representacin combinan los sistemas dela planimetra y la altimetra. Figura 1.9 .

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Figura 1.22. Escala plena

1. En palabras sencillamente, como 1 centmetro representa 1 metro.Loque, de acuerdo con la definicin de escala, simplemente significa que uncentmetro en el plano representa 1 metro en el terreno.

2. Por una escala dibujadaSe traza un segmento de recta en el plano y se le divide en intervalosadecuados de manera que con l se puedan obtener fcilmente lasdistancias sobre el mapa. Si se emplea una escala en la que 1 centmetrorepresenta 1 metro, se tendra dibujada la siguiente escala.

La figura 1.21 es un ejemplo de escala dividida abierta en la cual se muestrana la derecha del cero las divisiones primarias (1.0 metro). El cero est a unaunidad contando desde la izquierda de la escala, y esta unidad se subdivideen divisiones secundarias.

Figura 1.21. Escala divida abierta

Otro mtodo de dar una escala dibujada es rellenar las divisiones, con lo quese tiene una escala plena, un ejemplo de la cual se ve en la figura 1.22.

3. Mediante una fraccin representativa

En este mtodo de dar la escala, se emplea una fraccin en la que elnumerador representa el nmero de unidades sobre el mapa (siempre una)y el denominador representa el nmero de iguales unidades sobre el terreno.En una escala en la que 1 centmetro representa 1 metro, la fraccin querepresenta la escala ser 1/100, o bien 1:100 como a veces se indica, pueshay 100 centmetros en 1 metro.

Una fraccin representativa es la manera internacional para indicar la escala.As, toda persona que examine un mapa entender al ver la fraccinrepresentativa de la escala que sta indica las unidades a que estacostumbrada. Una escala de 1:29.600 querr decir para un norteamericanoque 1 pulgada representa 129.600 pulgadas o sea 2 millas; para un japons,


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Figura 1.7. Base productiva

Figura 1.8. Datum

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Solucin:

El ngulo mayor ser el ACB, opuesto al lado mayor.

Por la regla del coseno a2 + b2 - c2Cos C = 2ab

2052 + 1102 - 2102 = 2 x 205 x 110

ngulo C = 7709

1.5.4 Escalas

Lo ms corriente es que el propsito de un levantamiento sea hacer algntipo de plano o mapa. El tipo de plano que resulte depende en gran parte dela escala a la cual se trace.

La escala de un mapa es la relacin entre una distancia sobre el mapa y lamisma distancia sobre el terreno. Si en un plano 10 milmetros representanuna distancia en la tierra de 10 kilmetros, la escala sera muy pequea yapareceran pocos detalles, como ocurre en una pgina de un atlas. Pero silos mismos 10 milmetros representaran solamente una distancia de 1 metrosobre la tierra, la escala sera grande y se podran apreciar aun los detallespequeos.

La escala de un mapa depende del objetivo para el cual se va a utilizar. Si seva de paseo en automvil un da de fiesta, es deseable poder manejar confacilidad el mapa dentro del automvil y tener al mismo tiempo una buenadistancia representada en el mismo. Un mapa de 1 metro cuadrado puederepresentar 200 kilmetros cuadrados, con lo que se tendra una escalabastante pequea pero suficientemente grande para que el conductor puedahallar su camino por la regin. Pero un arquitecto al hacer el plano de unacasa tiene que dibujar detalles de puertas, ventanas, etc.; as que una ventanade 1 metro de ancha muy bien puede estar representada en el plano con unancho de 10 milmetros.

Mtodos de dar la escala:

La escala de un mapa o de un plano se puede dar de tres maneras:


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Figura 1.9. Altimetra y planimetra

La topografa es una aplicacin de la geometra, dentro de la cual se tiene unacorrespondencia entre los elementos geomtricos y su materializacin sobreel terreno. En el trabajo se trata siempre de conseguir figuras geomtricas.Por eso un lindero se asimila a una sucesin de tramos rectos (polgonocerrado) con tantos vrtices como cambios de direccin tenga. El eje de unava a una sucesin de tramos rectos y curvas. Cuando la figura geomtricaasignada se aproxime a las caractersticas del terreno, la medida encontradaser representativa.

Los mtodos empleados en topografa son estrictamente geomtricos ytrigonomtricos. Se determinan lneas y ngulos para formar figurasgeomtricas.

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Figura 1.19. Esquema ejemplo 3.

Figura 1.20. Esquema ejemplo 4.

Ejemplo 3.Se ha hecho el levantamiento de un terreno triangular midiendo la distanciaAB = 231 m y la altura 164.0 m. Calcular el rea del terreno en hectreas. Verfigura 1.19.

Solucin:rea de ABC:= 1/2 base x altura= 115.5 x 164 m2

= 18942 m2

= 1.894 hectreas

Ejemplo 4.Los lados de un terrenos triangular son:AB = 210 mAC = 110 mBC = 205 mCalcular el mayor ngulo del tringulo. Ver Figura 1.20


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1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFA

Qu se entiende exactamente por topografa en el trabajo de ingeniera?

Tal vez sea ms fcil responder a esta pregunta si se examinan las tareas deun topgrafo. Entre otras cosas, se le llama para medir alturas y distancias;para localizar sobre el terreno edificaciones, alcantarillados, desages ocarreteras; para que mida reas y volmenes de figuras regulares o irregulares:y para elaborar dibujos detallados.

En estas operaciones se comprenden el empleo de matemticas prcticas,la utilizacin, manejo y conocimiento de diversos tipos de instrumentos, elclculo de las observaciones, y, por ltimo, la presentacin del trabajo enforma de planos.

Para manejar la topografa, el ingeniero necesita conocer principios bsicosde aritmtica, lgebra, geometra y trigonometra, tener una regular habilidadpara dibujar y hacer grficos. Debe conocer el lenguaje del terreno, deltopgrafo, y de la forma como ste hace su trabajo de campo, sus clculosy planos saber por qu y para que se contracta un trabajo; cual es la persona(topgrafo) ms capacitada para hacerlo, el equipo a emplear y losrequerimientos de calidad, con el fin de lograr los objetivos propuestos;controlar y dar el visto bueno a los datos, clculos y planos.

Debe garantizar finalmente que el trabajo cumpla sus expectativas, se hagadurante el tiempo convenido y a costos razonables. Es legalmente responsablede los errores que se generen a partir de l.

El topgrafo tiene que ser pues un matemtico prctico versado en geometray trigonometra, y ha de tener una regular habilidad para dibujar y pintar.

Por lo dicho en los prrafos anteriores, bien podra decirse que la topografaes, en su forma

ms simple, el arte de medir sobre la superficie terrestre y de representarlaen el papel a una escala adecuada.

Todas las mediciones fsicas y su representacin a escala se hacen ahora enel sistema mtrico decimal en la mayora de los pases del mundo, y acasosea conveniente empezar un estudio de topografa revisando ante todo lasunidades de medida ms usadas.

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Figura 1.18. Esquema ejemplo 2

Solucin:En el tringulo:

AC ABABC = (Regla del seno) Sen 83 Sen 32

AB Sen 83AC = Sen 32

En el tringulo:

CE ACACE = (Regla del seno) Sen 57 Sen 62

AC Sen 57CE = Sen 62

En el tringulo:

DE CEDEC = (Regla del seno) Sen 49 Sen 63

Sen 49 Sen 57 Sen 83 x 150.200DE = Sen 63 Sen 62 Sen 32

= 226.36 m


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1.5.1 El sistema mtrico decimal de medidas.

Este sistema mtrico fue implantado oficialmente en Francia el 22 de junio de1799. La unidad fundamental de medida es el metro, y en la poca de suadopcin, se grabaron dos marcas en una barra de platino distantes entre s1/10.000.000 de la longitud del cuadrante de.

la Tierra, es decir, de la distancia del Ecuador al polo norte medida sobre elmeridiano de Pars.

En 1872, en una reunin de las naciones interesadas en Paris, se dispusoque la barra se hara con el 90 por ciento de platino y el 10 por ciento de iridio,y as se le conserva hasta hoy en Sevres, Francia.

En 1960, sin embargo, se defini finalmente el metro como 1650763.73longitudes de onda en el vacio de la radiacin naranja (2P

10 - 5d

3) de un

tomo de kriptn de masa 86.

El sistema mtrico mismo ha sido normatizado recientemente, y el SystemeInternationale (SI) establece las unidades fundamentales y derivadas quese han aprobado internacionalmente. Las unidades siguientes son las msimportantes para la topografa:

Tabla 1.1. Unidades de medida mas comunes en SI

Magnitud Unidad Smbolo

longitud metro m

rea metro cuadrado m2

volumen metro cbico m3

masa Kilogramo kgcapacidad litro l

Tomando como unidad fundamental cualquiera de las magnitudesenumeradas, se deriva una tabla de mltiplos y submltiplos anteponiendoun prefijo a la unidad fundamental como se muestra en la tabla 1.1.

En la tabla 1.1 se observa que slo se recomiendan tres unidades para usogeneral. Lo mismo ocurre para otras magnitudes tambin, y en la tabla 1.2 seda una seleccin breve de las unidades incluidas en el sistema SI que ahorason de empleo corriente (Ver tabla 1.2).

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Figura 1.17. Plano ejemplo 1.

Ejemplo 1.Representar la informacin siguiente a escala de 1:2500 (1 unidad de longitudinterpapel representa 2.500 unidades de longitud) los datos referidos permitenidentificar los puntos.

a. Mediciones de longitudes AB 273.2 mAC 200.0 mCB 244.9 m

b. Mediciones de longitudes AB 273.2 mMediciones de ngulos BAC 60

CBA 45c. Mediciones de longitudes AC 200.0 m

AB 273.2 m Mediciones de ngulos BAC 60 d. Mediciones de longitudes AOB 273.2 m Medic. al punto de desvi AO 100.0 m

Medicin del desvo OC 173.2 m

Solucin:Los puntos se han representado a escala en el dibujo adjunto, y todas lasmedidas se refieren a los mismos puntos. Ver figura 1.17.

Es muy importante que el topgrafo ingeniero tenga un conocimiento firme delas matemticas fundamentales. Los siguientes ejemplos sirven para indicarcasos en que se emplean los cuatro principios bsicos mencionados(trilateracin, rectas triangulacin y coordenadas polares).

Ejemplo 2.En un esquema de triangulacin sencillo se han reunido varios tringulospara dar la figura que sigue. Ver figura 1.18. La base AB se ha medido concinta mtrica y los ngulos de los distintos tringulos mediante un teodolito.Lo buscado es la distancia DE a travs del ro.


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Tabla 1.2. Mltiplos y submltiplos de las unidades de medida mas comunes en SI

Prefijo Factor Unidad derivada Unidad SI recomendada

kilo 1000 kilmetro Kilmetro (km)hecto 100 hectmetrodeca 10 decmetro

metro metro (m)deci 0.1 decmetrocenti 0.01 centmetromili 0.001 milmetro Milmetro (mm)

Por ltimo, es necesario ver exactamente cmo se relacionan entre s el peso,el volumen y la capacidad. La tabla 1.3 muestra la relacin fundamental de lacual se pueden deducir otras.

Tabla 1.3. Relacin entre unidades de medida

Magnitud Unidad SI recomendada Otras unidades

Longitud Kilmetro(km) centmetro (cm)

metro (m)milmetro (mm)

rea metro cuadrado (m2) centmetrocuadrado(cm2)

milmetro cuadrado(mm2) hectrea(100mx100m)(ha)

volumen metro cbico (m3) decmetro (dm3)milmetro cbico (mm3) centmetro cbico

(cm3)masa kilogramo (kg)

gramo (g)miligramo (mg)

capacidad metro cbico (m3) litro (l)milmetro cbico (mm3) mililitro (ml)

Volumen Peso Capacidad1 metro cbico 1000 kilogramos 1000 litros1decmetro cbico 1 kilogramo 1 litro1centmetro cbico 1 gramo 1 mililitro

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Figura 1.15. Triangulacin: medida de lados y ngulos

Figura 1.16. Coordenadas polares

KMediante mediciones de longitudes y de ngulos:

a. Triangulacin. Midiendo las distancias XY y los ngulos YXZ y ZYX conalgn instrumento para medir ngulos, es posible representar los puntosde diversas maneras. Basta representar XY a escala y trazar valindosedel trasportador los ngulos medidos; o bien se pueden calcular laslongitudes XZ y YZ y trazarlas por trilateracin. Ambos mtodos dan unarepresentacin muy precisa a escala. Ver figura 1.15.

b. Coordenadas polares. Si se miden las distancias XY y XZ como antes, yadems se mide un ngulo, como el YXZ por ejemplo, el levantamiento sepuede representar con escala y trasportador como en la triangulacinanterior. Cuando se miden dos distancias y el ngulo que forman, el mtodode topografa se llama levantamiento poligonal. Ver figura 1.16.

Todos los principios anteriores se utilizan en levantamientos para laconstruccin en una u otra forma y aun en la topografa de un emplazamientopara edificaciones relativamente pequeas se pueden combinar los cuatromtodos.


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Sen A = ab

Cos A = cb

Tan A = ac

Co sec A = =ba Sen A1

Sec A = =bc Cos A1

Co tan A = =ca Tan A1

1

3

5

2

4

6

Figura 1.10. Tringulo rectngulo

1.5.2 Matemticas para la topografa:

Se ha dicho ya que para ejecutar y entender el trabajo de la topografa senecesitan matemticas prcticas . La rama de la matemtica en la cual debetener mejores conocimientos es la trigonometra.

Se dan las frmulas que siguen debido a su utilidad general en situacionesusuales, pero sin de demostrarlas: para ello, o en el caso de que se necesitenotras frmulas, deber consultarse un buen texto.

Relaciones trigonomtricas fundamentales:

En la figura 1.10, el ngulo B es recto. Los lados a, b y c son opuestos a losngulos A, B y C respectivamente.

Tabla 1.4. Relaciones trigonomtricas fundamentales

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Figura 1.13. Trilateracin: medida de lados.

Figura 1.14. Rectas perpendiculares

Pero el topgrafo dedicado a la construccin, tiene que ver con reasrelativamente pequeas, que se pueden tratar como si estuvieran en un planohorizontal sin mayor error.

Si se imaginan tres puntos X, Y, Z situados en el mismo plano, sus posicionesrelativas se pueden determinar de diferentes maneras.

KValindose solamente de longitudes:

a. Trilateracin. La palabra significa medicin de tres lados y aplicandoeneste caso dicho principio, se miden las longitudes XY, YZ y XZ. Si setraza XY sobre el papel a una escala dada, y se

b. describen arcos de radios YZ y XZ, stos se cortarn en el punto Z. Verfigura 1.13.

c. Rectas perpendiculares. Si se miden los segmentos XO y OY sobre larecta XY, y la recta OZ es perpendicular a la anterior, entonces se puededeterminar el punto Z con respecto a XY. Ver figura 1.14.


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Figura 1.11. Tringulo acutngulo

Figura 1.12. Tringulo obtusngulo

En la figura 1.11 todos los ngulos son agudos, y en la figura 1.12 el ngulo Aes obtuso.

Para ambos tringulos son vlidas las frmulas siguientes:

7. Regla del Seno a b c = = = 2RSen A Sen B Sen C

(Siendo R el radio del crculo circunscrito).

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8. Regla del Coseno

a2 = b2 + c2 - 2bc*Cos A

Nota: si A es obtuso, Cos A = -Cos (180-A)

9. Frmula del rea

rea del tringulo ABC = ab Sen C

10. Frmula de la tangente del semitringulo

A - B a - b CTan = Cot 2 a + b 2

Las frmulas en funcin del semipermetro s.

11. rea del tringulo ABC= r s(s-a)(s-b)(s-c)

A s - aCos = r s* 2 bc (a + b + c)s = 2

Otras frmulas trigonomtricas y los teoremas de geometra que seannecesarios aparecern en su debido lugar.

1.5.3 Principios fundamentales de topografa:

Los levantamientos topogrficos se representan a escala en el papel. Talespapeles se llaman planos.

Como en la superficie plana de un trozo de papel solo se puede representarcon fidelidad el plano horizontal, y como la superficie de la Tierra es curva,resulta que no se puede representar exactamente en un mapa, si no esrecurriendo a cierta clase especial de topografa que se llama geodesia.

La geodesia se emplea cuando se trata de representar con precisin grandesextensiones de tierra, como todo un pas por ejemplo. Los institutos catastralesconstruyen mapas a diversas escalas utilizando tcnicas geodsicas, con locual se obtienen los mapas de la mejor calidad posible.

1. GENERALIDADES 1.1 DEFINICIN 51.2 HISTORIA UNIDADES DE MEDIDA ANGULAR 1.3 GEODESIA Y TOPOGRAFA. FORMA DE LA TIERRA 1.3.1 La geodesia 1.3.2 La topografa 1.4 DIVISIN BSICA DE LA TOPOGRAFA 1.4.1 Planimetra. 1.4.2 Altimetra. 1.4.3 Planimetra y altimetra. 1.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE LA TOPOGRAFA 1.5.1 El sistema mtrico decimal de medidas. 1.5.2 Matemticas para la topografa: 1.5.3 Principios fundamentales de topografa: 1.5.4 Escalas

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