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MATEMTICAS FINANCIERAS

Guillermo Buenaventura V.

Universidad ICESI

GUILLERMO BUENAVENTURA VERA

Universidad ICESI2000

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MATEMTICAS FINANCIERASGuillermo Buenaventura V.

1. CONCEPTOS1.1 DINEROEl dinero es un medio de pago por el cual se logran realizar transacciones o intercambios de bienes y/o servicios, reemplazando al procedimiento de trueque de los mismos, y de paso agilizando y facilitando las mencionadas transacciones. Un individuo que posea dinero lquido est en capacidad de comprar lo que encuentre ms apropiado para su bienestar, mientras que un individuo que haya invertido su dinero en un bien o en un servicio ya no tiene la capacidad de comprar lo que desee, ya tiene lo que deseaba cuando tena el dinero en su poder. El dinero representa, por los tanto, el PODER de tomar decisiones sobre lo que se puede adquirir, es decir, sobre a qu tipo de beneficio (bien o servicio) acceder por parte de su poseedor. Si bien el dinero por s solo no representa ningn tipo de bienestar (no se puede obtener el goce antes de adquirir el correspondiente bien o servicio que se disfrutar), s constituye una entidad de gran valor debido al poder de decisin de bienestar que representa. Pero este valor est apoyado en dos instancias: - El reconocimiento que el pblico en general le da al dinero, y especficamente a una moneda en particular (digamos el peso colombiano, por ejemplo), el cual depende de la solidez econmica del pas que lo avala. - El reconocimiento que el individuo (o empresa) especficamente le conceda a la posicin de poseer dinero, el cual depende de las oportunidades de uso que el individuo considere tener.

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Cuando un ente poseedor de alguna cantidad de dinero se desprende de ella por algn tiempo, est renunciando al poder decisorio de bienestar que ese dinero le otorga, y por lo tanto esa cesin temporal del dinero est soportada por una motivacin especial, que es a la postre la promesa de obtener un beneficio de goce mayor en el futuro que el que hoy obtendra con el dinero. Esta accin de aplazamiento del beneficio est representada en un rendimiento financiero que la cantidad inicial de dinero le proporciona. El rendimiento que proporciona el enajenamiento temporal del dinero es el INTERS que genera el mismo.

1.2 INTERS1.2.1 Naturaleza El inters es el importe de alquiler del dinero.

1.2.2 Expresin El inters se expresa en MONTO o en PORCENTAJE del capital negociado por perodo. Como importe de alquiler que es, el inters debe referirse a perodos de tiempo, y, segn el capital comprometido, se puede establecer el monto peridico o el porcentaje correspondiente. Ejemplo: Un prstamo de 10 millones de pesos paga un inters del 2% mensual, o sea, un monto de $200.000 mensuales por intereses.

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1.2.3 Tasa de Inters La expresin porcentual del inters se denomina TASA DE INTERS. La tasa de inters aplica al capital comprometido. Ejemplo: Un prstamo de cuatro millones de pesos se cancelar en dos cuotas semestrales iguales de dos millones cada una. Si la tasa de inters es del 8% semestral, calcular los montos de inters que se deben cancelar por perodo: Capital ($) Comprometido Tasa de Inters (%) 8,0 8,0 Monto de Inters ($) 320.000 160.000

Perodo

Primer semestre 4.000.000 Segundo semestre 2.000.000

(Ntese que al final del primer semestre se abonan $2.000.000 al capital comprometido en el prstamo, por lo tanto el saldo de capital por pagar para el segundo semestre es de $2.000.000).

1.3 EQUIVALENCIAEl dinero tiene diferente valor en el tiempo debido precisamente al inters que genera; por lo tanto no es correcto comparar o sumar o restar montos que tengan diferente ubicacin en el tiempo; solo se pueden operar cifras que estn ubicadas en el mismo momento. Para poder operar estas cifras deben posicionarse EQUIVALENTEMENTE en el mismo tiempo. Ejemplo: En principio, no se puede saber cul cifra tiene ms valor, ingresar un milln y medio de pesos hoy o ingresar dos millones de pesos dentro de ocho meses; el resultado depender de la tasa de inters que se aplique.

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1.4 MODALIDADES DE INTERSComo importe de alquiler del dinero que es, el inters se causa generalmente por perodos (en algunos casos excepcionales el perodo llega a tender a cero, generando una modalidad de inters continuo); pero se acepta que el pago de esos intereses causados se pueda hacer en perodos diferentes a los correspondientes a la causacin, dando lugar a la acumulacin de los intereses. Cuando los intereses se acumulan dan lugar a una de dos modalidades de acumulacin: - INTERS SIMPLE, en la que los intereses se acumulan sumndolos simplemente en una cuenta aparte del capital, la que se cancela en el momento estipulado en el contrato o en la situacin. - INTERS COMPUESTO, en la que los intereses, una vez causados se llevan a la cuenta de capital, de tal manera que son objeto de generar ms intereses sobre ellos mismos una vez capitalizados.

Se puede decir, entonces, que la modalidad de Inters Compuesto capitaliza los intereses causados, mientras que la modalidad de Inters Simple no los capitaliza.

Ejemplo:

Un prstamo de 100 millones de pesos se pacta a un ao, al cabo del cual se cancela el capital involucrado y todos los intereses causados con una tasa de inters del 2% mensual. Calcular el monto que se debe pagar al cabo del ao con cada una de las modalidades, Inters simple e Inters compuesto:

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INTERS SIMPLE

Capital Principal = Tiempo = Tasa de inters =

$ 100.000.000 12 meses 2 % mensual

Mes

Capital Inicial ($) 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000

Intereses Generados ($) 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000 2.000.000

Capital Final ($) 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000 100.000.000

Intereses Acum. ($) 2.000.000 4.000.000 6.000.000 8.000.000 10.000.000 12.000.000 14.000.000 16.000.000 18.000.000 20.000.000 22.000.000 24.000.000 24.000.000 124.000.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Final en cuentas Total por cancelar

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INTERS COMPUESTO

Capital Principal = Tiempo = Tasa de inters =

$ 100.000.000 12 meses 2 % mensual

Mes

Capital Inicial ($) 100.000.000 102.000.000 104.040.000 106.120.800 108.243.216 110.408.080 112.616.242 114.868.567 117.165.938 119.509.257 121.899.442 124.337.431

Intereses Generados ($) 2.000.000 2.040.000 2.080.800 2.122.416 2.164.864 2.208.162 2.252.325 2.297.371 2.343.319 2.390.185 2.437.989 2486.749

Capital Final ($) 102.000.000 104.040.000 106.120.800 108.243.216 110.408.080 112.616.242 114.868.567 117.165.938 119.509.257 121.899.442 124.337.431 126.824.180 126.824.180

Intereses Acum. ($) --------------------------126.824.180

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Final en cuentas Total por cancelar

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Como puede observarse en los clculos anteriores, el inters que mes a mes genera la modalidad de Inters Compuesto es mayor que el que genera la modalidad de Inters Simple, debido a que el capital va aumentando en la medida en que los intereses se le acumulan (se capitalizan). Tambin se observa cmo el pago total, involucrando el prstamo y los intereses al final del perodo, resulta mayor en la modalidad de inters Compuesto para las mismas cifras de tasa de inters y de nmero de perodos.

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2. INTERS SIMPLE2.1 CONCEPTOLa modalidad de inters simple no capitaliza intereses, o sea, no considera intereses sobre los intereses.

2.2

FORMULACIONES

2.2.1 Monto de Intereses El monto de los intereses acumulados se obtiene de multiplicar el capital principal por la tasa de inters peridica y por el nmero de perodos por los cuales se acumula el inters.

I = PxixtI: P: i: t: Monto de los intereses ($) Monto del capital principal ($) Tasa de inters por perodo (%/100) Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

Ejemplo:

Calcular el monto de inters que paga un prstamo de $500.000 al 1,5% mensual por un perodo de 18 meses: Capital = Tasa = Tiempo = $500.000 1,5% = 0,015 18 perodos 500.000 x 0,015 x 18 = $ 135.000

Monto de Intereses =

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2.2.2 Equivalencia El concepto de equivalencia permite relacionar montos involucrados en el mismo negocio y ubicados en diferente momento, en diferente tiempo.

2.2.2.1 Relacin entre un monto Presente y un monto Futuro El concepto de equivalencia permite cuantificar el monto total al que equivale (que paga por) un capital principal en el futuro para restituirlo incluyendo sus intereses. El monto futuro equivalente se calcula sumando al monto de capital principal el monto de los intereses generados.

VF = P + I VF = P x (1 + i x t)VF : I: P: i: t: Monto futuro equivalente ($) Monto de los intereses ($) Monto del capital principal ($) Tasa de inters por perodo (%/100) Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

Ejemplo:

Calcular el pago total (o monto futuro equivalente) que cancela un prstamo de $500.000 al 1,5% mensual por 18 meses: Capital = $500.000 Tasa = 1,5% = 0,015 Tiempo = 18 perodos Monto de Intereses = 500.000 x 0,015 x 18 = Monto Futuro = 500.000 + 135.000 =

$ 135.000 $ 635.000

Tambin se puede calcular directamente, as: Monto Futuro = 500.000 x ( 1 + 0,015 x 18) =

$ 635.000

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Dado un monto futuro es posible encontrar el monto presente o monto del capital en el momento presente reacomodando correspondientemente la frmula anterior.

VP = F / ( 1 + i x t)VP : F: i: t: Monto presente equivalente ($) Monto futuro ($) Tasa de inters por perodo (%/100) Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

Ejemplo:

Calcular el valor presente de una deuda que debe cancelar $3.000.000 dentro de 18 meses, si el inters pactado es del 3% mensual: Monto futuro = Tasa = Tiempo = Monto Presente = $3.000.000 3% = 0,03 18 perodos 3.000.000 / (1 + 0,03 x 18) =

$ 1.948.052

2.2.2.2

Clculo de la Tasa de Inters

Teniendo los dems trminos de la ecuacin anterior, es posible calcular la tasa de inters de equivalencia de dichas cantidades.

i = (VF / P - 1) / ti: VF : P: t: Tasa de inters por perodo (%/100) Monto futuro equivalente ($) Monto del capital principal ($) Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.)

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Ejemplo:

Calcular la tasa de inters mensual que se aplica a un prstamo de $1.000.000 que se cancela con $1.750.000 a los 20 meses: Capital = Monto Futuro = Tiempo = 1.000.000 1.750.000 20 meses

Tasa de Inters = ((1.750.000 / 1.000.000) 1) / 20 = 3,75% mensual

2.2.2.3 Clculo del Tiempo Anlogamente se puede despejar la variable tiempo (nmero de perodos) de la ecuacin anterior.

t = (VF / P - 1) / it: VF : P: i: Nmero de perodos (das, meses, aos, etc.) Monto futuro equivalente ($) Monto del capital principal ($) Tasa de inters por perodo (%/100)

Ejemplo:

Calcular el tiempo necesario para que $10.000.000 se conviertan en $15.000.000 a una tasa del 2,5% mensual. Capital = Monto Futuro = Tasa = 10.000.000 15.000.000 1,0 % mensual 50 meses

Tiempo = ((15.000.000 / 10.000.000) 1) / 0,010 =

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2.2.3 Tasa de Inters

La tasa de inters se tiene como porcentaje por unidad de tiempo. Este perodo puede coincidir o no con el perodo que maneje el negocio. Es muy usual enunciar la tasa de inters en trminos anuales (tasa nominal); si se requiere en otra base (tasa peridica) se debe convertir dividiendo la cifra entre el nmero de perodos que comprenda el ao (12 meses, 360 das, etc.).

ip = in / n in = ip x nip : in : n: Tasa de inters peridica (% por da, mes, etc.) Tasa de inters nominal (% anual) Nmero de perodos por ao (das, meses, etc.)

Ejemplo:

Calcular la tasa mensual correspondiente a una tasa del 30% anual: Nmero de perodos = Tasa peridica = 30 / 12 = 12 meses por ao 2,5% mensual

Ejemplo:

Calcular la tasa anual correspondiente a un inters del 7% trimestral: Nmero de perodos = Tasa nominal = 7 x 4 = 4 trimestres por ao 28,0% anual

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3. INTERS COMPUESTO3.1 CONCEPTOLa modalidad de Inters Compuesto, como ya se anot, asume la posicin de que los montos de intereses generados pero no cancelados renten, as como el capital, su misma tasa de inters. Este efecto se obtiene con la accin de CAPITALIZACIN de los intereses causados. Cada vez que se causan y, por lo tanto se calculan, los intereses generados se llevan a la cuenta del capital, de tal modo que si no son cancelados en el momento (porque as se acord en el contrato y no por incumplimiento de este) entran a ser objeto de devengar las tasa de inters pactada, como capital que ya son. Esta modalidad de manejo de los intereses est ms acorde con el concepto de Valor del Dinero en el Tiempo que la modalidad de Inters Simple, en la cual el dinero correspondiente a los montos causados de inters no puede generar ms intereses sobre s, as sea cancelado mucho tiempo despus de su causacin.

3.2 ELEMENTOSLos elementos que intervienen en toda situacin financiera son: - El TIEMPO (tiempo de duracin del negocio y tiempo o perodo de capitalizacin de los intereses). - La TASA de inters que se aplica al perodo. - Los FLUJOS DE FONDOS FLUJOS DE DINERO que se ubican en los diferentes momentos.

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3.2.1 El TiempoNormalmente el tiempo de duracin del negocio se divide en PERODOS (das, meses, aos, etc.) o intervalos, correspondientemente con la forma de capitalizacin convenida. Para el desarrollo de las equivalencias, en principio estos intervalos deben ser de igual longitud, es decir, todos los perodos deben se iguales; aunque en algunos casos se formulan modelos que atienden situaciones de perodos de diferente longitud, esta situacin no se abordar en el tratamiento presentado en este documento, por considerarla de rara ocurrencia. Es usual ayudarse en el anlisis de negocios con GRFICOS de las situaciones. El tiempo se representa en una recta numrica, cuyas divisiones corresponden a los perodos:

0

1

2

n

3.2.2 La Tasa de IntersLa Tasa de Inters representa el costo del alquiler del capital involucrado en un negocio. Normalmente se representa con la letra i, y se da en porcentaje por unidad de tiempo. La tasa de inters se aplica al PERODO DE COMPOSICIN, o sea al perodo en el que se causan los intereses; es importante anotar que esta tasa se denomina TASA PERODICA, y que el perodo para el que ella se declara debe coincidir con el perodo de particin del tiempo para el negocio (aos, meses, das, etc.). La tasa de inters peridica puede aplicarse en forma anticipada o vencida, segn lo estipule el contrato. Es indispensable identificar la tasa en tal situacin; los desarrollos de Equivalencia que se presentarn ms adelante considerarn la tasa de inters como vencida, por lo tanto, si la tasa original fuere de carcter anticipado, requerira de la conversin previa a tasa peridica vencida para operarla en los modelos que se tendrn.

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Ejemplos:

24% anual compuesta trimestralmente 26% efectiva anual 2% mensual 20% anual compuesta mensualmente de manera anticipada

3.2.3 Los Flujos de FondosLos Flujos de Fondos representan os Ingresos y los Egresos en cada uno de los perodos de la vida del negocio. Todas las partidas de un perodo se agrupan y se ubican al final del mismo, por lo tanto los Flujos de Fondos estarn siempre localizados en las divisiones de la recta de tiempo, es decir en los momentos de final de perodo e inicio del siguiente. Por convencin, los Ingresos se representan grficamente por flechas dirigidas hacia arriba, mientras que los Egresos se representan por flechas dirigidas hacia abajo. En cada momento o perodo se pueden considerar los Ingresos y los Egresos por separado o bien, aprovechando que partidas de dinero ubicadas en el mismo momento reconocen el mismo nivel de valor, se pueden considerar los correspondientes Flujos Netos (Ingresos menos Egresos). Ejemplo: La empresa Consolas del Pas S.A. est considerando ingresar en el negocio de los teclados de computador, para lo cual estima una inversin de $100 millones en un proyecto de cuatro aos de vida, con ingresos respectivos de 180, 220, 200 y 170 millones de pesos, y con egresos de 100, 110, 120 y 150 millones de pesos. Consolas del Pas requiere establecer el diagrama de flujos de fondos para el proyecto:DIAGRAMA DE FLUJO DE FONDOS

(FF)

DIAGRAMA

DE

FLUO

DE

FONDOS NETOS (FFN) 180 0 4 1 100 100 110 120 150 100 2 3 4 220 200 200 80 0 110 80 50

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3.3 EQUIVALENCIA3.3.1 Comentarios El concepto de Equivalencia permite mover Flujos de Fondos en el tiempo, conservando su valor, segn la tasa de inters asignada. Para los clculos considera todos los Flujo de Fondos ubicados al final de cada perodo. La tasa de Inters que se emplee debe ser PERIDICA VENCIDA, es decir, corresponder al perodo o divisin del tiempo que se tenga, y aplicarse al finalizar cada perodo. Cualquier otra modalidad de Tasa de Inters deber ser convertida a esta antes de aplicar los modelos. Los modelos posibilitarn poder agrupar todos los Flujos de Fondos de un negocio en un solo momento en el tiempo, para operar matemticamente (sumar y restar) dichos flujos equivalentes y obtener un indicador nico del negocio.

3.3.2 ConvencionesFLUJO: Cantidad de dinero originalmente ubicada en un momento en el tiempo. Cantidad de dinero equivalente en un momento distinto al originalmente ubicado. [P] Fondo ubicado en el momento 0 (cero) o en un momento anterior al cual va a ser trasladado. Fondo ubicado en el momento n (ltimo) o en un momento posterior al cual va a ser trasladado. Serie uniforme (cifras iguales) de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida

VALOR:

PRESENTE:

FUTURO:

[F]

ALCUOTA:

[A]

desde el momento 1 (uno)momento n (ltimo).

hasta

el

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GRADIENTE ARITMTICO: [G] Cantidad constante en la que crece una serie creciente de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida desde el momento 1 (uno) hasta el momento n (ltimo). El gradiente opera a partir del momento 2. GRADIENTE GEOMTRICO: [J] Fraccin o porcentaje constante en el que crece una serie creciente de fondos ubicados de forma consecutiva e ininterrumpida desde el momento 1 hasta el momento n (ltimo). El gradiente opera a partir del momento 2. P P F F

0 0

1 1

2 2

3 3

n n

0 0 1

1 2

n- 2 3

n- 1 n

n

B

A

GB+2G B+(n-1)G

0

1

2

3

n

B B(1+J) B(1+J)2

B(1+J)

n-1

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3.3.3 Equivalencia entre un flujo Presente y un flujo Futuro

3.3.3.1

Valor Futuro de un Flujo Presente

Para trasladar un flujo Presente a un valor Futuro se capitalizan peridicamente los intereses, as: P = Flujo Presente VF = Valor Futuro i = Tasa de inters para aplicar en cada perodo n = Nmero de perodos que separan los momentos de P y de VF Perodo Capital al inicio del perodo P P (1+i) P (1+i)2 * * * P (1+i) n-1 Intereses del perodo Pxi P(1+i) i P(1+i)2 i * * * P(1+i)n-1i Capital al final del perodo

1 2 3 * * * n

P + Pxi = P(1+i) P(1+i) + P(1+i)i = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2 P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3 * * * n-1 P(1+i) + p(1+i)n-1i = P(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n

Al final del perodo n el capital acumulado es P(1+i) n, el cual corresponde al valor futuro del respectivo flujo presente.

VF = P (1+i)nP= VF = i= n= Flujo Presente ($) Valor Futuro ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos que separan los momentos de P y de VF

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Ejemplo:

Un depsito de $5.000.000 se mantiene por cuatro aos en una fiducia, que rinde el 1,5% mensual, capitalizando los intereses. Cunto se retira al final del contrato de fiducia? P = $5.000.000 n = 4 x 12 = 48 meses i = 1,5% = 0,015 VF = 5.000.000 x (1 + 0,015)48 = $ 10.217.391

3.3.3.2

Valor Presente de un Flujo Futuro

Despejando el valor futuro de la frmula anterior se obtiene:

VP = F / (1+i)nF= VP = i= n= Flujo Futuro ($) Valor Presente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos que separan los momentos de VP y de F

Ejemplo:

Calcular el monto de la inversin en un CDT a un ao, para que permita retirar una cantidad de $1.000.000 dentro de doce meses, si el ttulo paga un inters del 1% mensual: F = $1.000.000 N = 12 meses i = 1% 0 0,01 VP = 1.000.000 / (1+ 0,01)12 = $ 887.449

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3.3.3.3

Tasa de Inters Equivalente

Si se tienen los valores presente y futuro de un negocio es posible calcular la tasa de equivalencia entre ellos, despejndola de la ecuacin anterior:

i = (F / P) 1/n - 1F= P= i= n= Flujo Futuro ($) Flujo Presente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos que separan los momentos de VP y de F

Ejemplo:

Calcular la tasa de inters anual que convierte un capital en el doble a los cuatro aos: P= X F = 2X n= 4 i = (2X / X)1/4 - 1 = 21/4 1 = 0,1892 = 18,92% anual

3.3.3.4 Perodo de EquivalenciaConociendo los flujos y la tasa de inters se encuentra el perodo de equivalencia:

n = log (F/P) / log (1+i)F= P= i= n=log =

Flujo Futuro ($) Flujo Presente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos que separan los momentos de VP y de FFuncin logaritmo

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Ejemplo:

En cunto tiempo se triplica un capital al 33% anual? P= F= i= X 3X 33% = 0,33

n = log (3X/X) / log (1+ 0,33) = 0,477 / 0,124 = 3,85 aos

3.3.4 Valor Presente y Valor Futuro de varios Flujos de FondosEs de sentido comn deducir que para obtener el Valor Presente de varios Flujos futuros se deben obtener los valores presentes de cada uno de ellos y despus, todos ubicados en el momento 0 (cero), se deben sumar algebraicamente (positivos los valores presentes de los ingresos, negativos los valores presentes de los egresos). Asimismo, para obtener el Valor Futuro de varios flujos de momentos anteriores se deben obtener los valores futuros de cada uno de ellos y despus, todos ubicados en el momento n, se deben sumar algebraicamente:n

VP =j=1 n-1

FFj / (1 + i ) j

VF =j=0

FFj X (1 + i) n-j

VP = VF = i= n= FFj = =

Valor Presente ($) Valor Futuro ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos que separan los momentos de VP y de VF Flujo de Fondos en el momento j ($) Sumatoria de trminos

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Ejemplo:

Su empresa debe cancelar tres partidas de impuestos, la primera de $15 millones dentro de tres meses, la segunda de $12 millones dentro de seis meses y la tercera de $8 millones dentro de ocho meses. Cunto dinero debe depositar hoy en un fondo de mutuo que otorga un inters del 2% mensual, de tal modo que pueda retirar exactamente el valor de los pagos en los momentos indicados? FF3 = FF6 = FF10 = i = $15.000.000 $12.000.000 $ 8.000.000 2% = 0,02

VP = 15.000.000 / (1+0,02)3 + 12.000.000 / (1+0,02)6 + 8.000.000/ (1+0,02)10 = $ 31.353.278

Ejemplo:

Un empleado necesita contar con $5.000.000 dentro de dos aos para realizar un viaje alrededor del mundo. Estima que puede aportar a un fondo de inversiones que genera el 1.85% mensual de inters sumas de $1.500.000 dentro de 10 meses y de $2.500.000 dentro de 20 meses. Hoy tiene en su poder una suma de $1.000.000, de la cual aportar inmediatamente al fondo lo necesario para que pueda lograr su propsito dentro de dos aos, y el resto lo gastar en vestuario. Cunto dinero puede gastar hoy comprando vestidos? VF24 = FF20 = FF10 = FF0 = i = $5.000.000 $2.500.000 $1.500.000 X 1,85% = 0,0185

5.000.000 = 2.500.000 (1+0,0185)24-20 + 1.500.000 (1+0,0185)24-10 + X (1+0,0185)24-0 5.000.000 = 2.500.000X1,01854 + 1.500.000X1,018514 + XX1,018524 5.000.000 = 4.629.054 + X (1,5526) X = 238.919 Excedente = 1.000.000 238.919 = $ 761.081 para gastar en vestuario

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Aunque con frmulas anteriores se pueden resolver todos los casos de equivalencia, existen otras que atienden al manejo rpido de series conformadas de flujos de fondos en el tiempo, como son las alcuotas y los gradientes, las cuales se discuten a continuacin.

3.3.5 Equivalencia de flujos Alcuotas o Anualidades 3.3.5.1 ConceptoLa Alcuota es el monto de cada cuota homognea (o fija) que conforman una serie ininterrumpida de flujos de fondos, dada desde el momento 1 hasta el momento n inclusive. Esta serie Alcuota suele llamarse tambin de Anualidades, por corresponder en muchos casos a negocios divididos en perodos anuales. Sin embargo, se prefiere el nombre de Alcuota para evitar la disonancia al nombrar perodos distintos al ao (es mejor referirse a alcuota mensual que a anualidad mensual, por ejemplo).

3.3.5.2

Valor Presente de una serie Alcuota

Aplicando el resultado de formular como Valor Presente un conjunto de Flujos de Fondos se puede derivar la expresin que relaciona la serie Alcuota con el Valor Presente:n

VP =

j=1 n

FFj / (1 + i ) j

VP =

j=1

A / (1 + i ) j

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n

VP = A

j=1

1 / (1 + i ) j

VP = A [ 1/(1+i) + 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + + 1/(1+i)n-1 + 1/(1+i)n ]Multiplicando ambos lados de la expresin anterior por el trmino (1+i), lo cual es un artificio matemtico, se tiene:

(1+i) VP = A [ 1 + 1/(1+i) + 1/(1+i)2 + + 1/(1+i)n-2 + 1/(1+i)n-1 ]Restando entre s las dos ltimas expresiones se tiene, por anulacin de trminos semejantes con signo contrario:

(1+i) VP - VP = A [ 1 - 1/(1+i)n ]Y, simplificando:

(1 + i 1) VP = A [ (1+i)n - 1 ] / (1+i)n i VP = A [ (1+i)n - 1 ] / (1+i)nO sea,

VP = AVP = A= i= n=

[ (1+i)n - 1 ]

/ [ i (1+i)n ]

Valor Presente ($) Monto de cada Alcuota ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos de la serie Alcuota

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Ejemplo:

Para cancelar un prstamo al 2,5% mensual Ud. tiene que pagar 20 cuotas mensuales de $256.589 cada una; cunto dinero le prestaron? A = $256.589 i = 2,5% = 0,025 n = 20 meses VP = 256.589 x [(1+0,025)20 1] / [0,025 (1+0,025)20] VP = $ 4.000.000

3.3.5.3

Alcuota de un Flujo Presente

De la ltima frmula se puede calcular el Valor de la Alcuota cuando se desconoce, teniendo la cifra del monto del Capital principal o Flujo Presente:

VA = P

[ i (1+i)n ]

/ [ (1+i)n - 1]

VA = P= i= n=

Valor de la Alcuota ($) Flujo Presente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos de la serie Alcuota

Ejemplo:

Su amiga Zoila Alegra compr un automvil Zamda de $20 millones, cancelando $9 millones y financiando el resto al 1,49% mensual por tres aos, pagadero en alcuotas mensuales. Cul es el monto de cada alcuota, sin incluir la cuota del costo de los seguros? P= n= i= 20.000.000 9.000.000 = $11.000.000 3 x 12 = 36 meses 1,49% = 0,0149

VA = 11.000.000 [0,0149 (1+0,0149)36] / [(1+0,0149)36 1] VA = $ 397.014

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3.3.5.4

Alcuota y Valor Futuro

Para encontrar la equivalencia entre Alcuota y Valor Futuro se emplea la equivalencia entre Alcuota y valor Presente y luego entre Valor Presente y valor Futuro. En la prctica este procedimiento se utiliza cuando el caso lo requiere, directamente con las cifras del mismo, aunque es posible encontrar las relaciones algebraicas como frmulas, as:

VF = P (1+i)n VP = A [ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ] VF = A (1+i)n [ (1+i)n - 1 ] / [ i (1+i)n ] VF = AVF = A= i= n=

[ (1+i)n - 1 ]

/ i

Valor Futuro ($) Monto de cada Alcuota ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos de la serie Alcuota

Y, por consiguiente:

VA = FVA = F= i= n=

i

/ [ (1+i)n - 1 ]

Valor de la Alcuota ($) Flujo Futuro ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos de la serie Alcuota

Ejemplo:

Encontrar el monto del pago nico que debera efectuar Zoila Alegra, del ejemplo anterior, si contratase la modalidad de cancelar todo el prstamo al final de los tres aos en lugar de hacerlo por alcuotas: A = $397.014 i = 1,49% = 0,0149 n = 36 meses

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Una alternativa es encontrar VP y luego VF: VP = 397.014 x [(1+0,0149)361] / [0,0149 (1+0,0149)36] = 11.000.000 VF = 11.000.000 x (1+0,0149)36 = $ 18.733.959 Otra alternativa de clculo es encontrar VF directamente de A: VF = 397.014 x [(1+0,0149)36 1] / 0.0149 = $ 18.733.959

3.3.5.5

Valor Presente de una Alcuota a Perpetuidad

Un caso de mucha utilidad en Finanzas es considerar la vida del negocio como perpetua (en la realidad, plazos mayores a 20 aos en Colombia y a 50 aos en Estados Unidos se pueden considerar como tales; ms adelante se discutir esta situacin). De la frmula que relaciona partidas presentes (P) y alcuotas (A) se puede obtener la relacin que interesa ahora, aplicando lmites:

VP = A

[ (1+i)n - 1 ]

/ [ i (1+i)n ]

Dividiendo numerador y denominador entre (1+i)n:

VP = A VP = A

[ (1+i)n - 1 ] /(1+i)n / [ i (1+i)n ] / (1+i)n [ 1 - 1/(1+i)n ]

/ i

Tomando el lmite cuando n tiende a infinito:

lm lm lm

n n n

VP = VP =

A

lm n {[1 - 1/(1+i)n ] / i}

A [1 - 1/(1+i) ] / i

VP [1 - 1/ ] / i

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lm lm

n n

VP VP

[1 - 0 ] / i / i

VP = A= i= n=

VP n = A / i

Valor Presente ($) Monto de cada Alcuota ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) (infinito) nmero de perodos de la serie Alcuota

Ejemplo:

Una compaa norteamericana emite bonos perpetuos, los cuales pagan un cupn (monto de inters) de $USD 90 anuales. Hallar el precio actual de cada bono si la tasa de inters de los bonos para hoy es del 8% anual: A = $USD 90 i = 8% anual = 0,08 n= VP = 90 / 0,08 = $USD 1.125

3.3.5.6

Valor Presente de una Alcuota Anticipada

La Alcuota anticipada se da al comienzo de cada perodo; por lo tanto, la serie comienza en el momento 0 y termina en el momento n-1, es decir, la serie se ha desplazado un momento hacia la izquierda frente a la serie alcuota normal que se viene tratando. Esto quiere decir que cuando se halle el Valor Presente con la frmula tradicional, este queda posicionado en el momento 1, debindose multiplicar por el factor (1+i) para levarlo al momento 0:

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VP = A VP = Aa VP = Aa

[ (1+i)n - 1 ] (1+i)x

/ [ i (1+i)n ] / [ i (1+i)n ]

[ (1+i)n - 1 ]

[ (1+i)n - 1 ]

/ [ i (1+i)n-1 ] / [ i (1+i)n-1 ]

VP = Aa

[ (1+i)n - 1 ]

Y,

VAa = P

[i (1+i)n-1]

/ [ (1+i)n - 1]

VP = Aa = i= n=

Valor Presente ($) Monto de cada Alcuota pagadera anticipadamente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero de perodos de la serie Alcuota

Ejemplo:

Para cancelar un prstamo al 2,5% mensual Ud. tiene que pagar 20 cuotas mensuales anticipadas de $256.589 cada una; cunto dinero le prestaron? Aa = $256.589 i = 2,5% = 0,025 n = 20 meses VP = 256.589 x [(1+0,025)20 1] / [0,025 (1+0,025)20-1] VP = $ 4.100.000

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3.3.5.7

Plazo Muerto y Perodo de Gracia

PLAZO MUERTO es un perodo en el cual no se hacen pagos ni se contabilizan intereses en el caso de un prstamo. Para efectos de calcular las cuotas se debe correr (sin modificacin) el capital o Flujo Presente o Principal desde el momento 0 hasta el final del plazo muerto, mientras que el nmero de perodos para pago de cuotas se disminuye justamente en el nmero de perodos que contenga el plazo muerto. PERODO DE GRACIA es un intervalo de tiempo durante el cual no se efectan pagos de un prstamo, pero s se contabilizan intereses. Para efectos de calcular las cuotas se debe mover el Principal hasta el final del perodo de gracia, ajustndolo como un Valor Futuro desde el momento inicial.

VA = P

[ i (1+i)n-PM ]

/ [ (1+i)n-PM - 1] / [ (1+i)n-PG - 1]

VA = P VA = P

(1+i)PG [ i (1+i)n-PG ] [ i (1+i)n ]

/ [ (1+i)n-PG - 1]

VA = P= i= n= PM = PG =

Valor de la Alcuota ($) Flujo Presente ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero total de perodos para el prstamo Plazo Muerto (perodos) Perodo de Gracia (perodos)

Ejemplo:

Hallar el Valor de la Alcuota mensual que paga un prstamo de $10.000.000 a cinco aos, con un inters mensual del 2% y con: a) Un plazo muerto de un ao b) Un perodo de gracia de un ao

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a) P = n= i = PM =

$10.000.000 5 x 12 = 60 meses 2% 12 meses

VA = 10.000.000 [0,02 (1+0,02)60-12] / [(1+0,02)60-12 1] VA = $ 326.018 b) P = n= i = PG = $10.000.000 5 x 12 = 60 meses 2% 12 meses

VA = 10.000.000 [0,02 (1+0,02)60] / [(1+0,02)60-12 1] VA = $ 413.470

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3.3.6 Equivalencia de Gradientes

3.3.6.1

Gradiente Aritmtico

3.3.6.1.1 LA SERIE DE CUOTAS DEL GRADIENTE ARITMTICO

0

1

2

3

n

B

GB+G B+2G B+(n-1)G

La manera de formar una serie de cuotas con Gradiente Aritmtico es como sigue: Momento 1 2 3 4 . . . n Cuota FF1 FF2 FF3 FF4 . . . FFn = = = = Expresin B B+G B + 2G B + 3G . . . B + (n-1)G

=

En general:

FFj = B + (j-1) G

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3.3.6.1.2 EQUIVALENCIA DEL GRADIENTE ARITMTICOPara convertir la serie de la porcin del Gradiente Aritmtico a una serie Alcuota es posible deducir matemticamente la siguiente relacin de equivalencia:

A* = G {1/i - n / [(1+i)n 1]}A* = Valor de la Alcuota equivalente a la serie de Gradientes ($) G = Monto del Gradiente Aritmtico ($) i= Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) n= Nmero total de perodos para el negocio

Ntese que A* representa solo la serie Alcuota del Gradiente, sin incluir la base (B) o monto de alcuotas iguales a la primera cuota, lo que reemplaza la serie inicial por dos series de cuotas, como se muestra en el grfico:

0

1

2

3

n

B

GB+G B+2G B+(n-1)G

0

1

2

3

n

B

A* El Valor de la Alcuota equivalente al plan completo est dado por la suma de las dos series, como se expresa a continuacin:

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VA = B + A*VA = Valor de la Alcuota equivalente a la serie completa de cuotas ($) B = Monto de la primera cuota de la serie original de cuotas ($) A* = Valor de la Alcuota equivalente a la serie de Gradientes ($)

La relacin anterior se emplea como paso intermedio para encontrar uno de los valores Presente (VP), primera cuota (B) o Gradiente (G), segn el caso, aplicando adicionalmente una de las frmulas de equivalencia entre Alcuota y Valor Presente. Ejemplo: Encontrar el valor del prstamo que tom el seor Luis Zea Bueno y que le representa un plan de 72 pagos mensuales cuya primera cuota se tasa en $300.000, incrementndose en $10.000 mensuales, si la tasa de inters que se aplica es del 2% mensual: B = $300.000 G = $10.000 n = 72 i = 2% A* = 10.000 (1/0,02 72/[(1+0,02)72 1)] = $ 272.234 VA = 300.000 + 272.234 = $ 572.274 VP = 572.274 [(1+0,02)72 1] / [0,02 (1+0,02)72 ] = $ 21.735.772

Ejemplo:

Cul es el monto de la ltima cuota que pagar el seor Zea Bueno del ejemplo anterior? B = $300.000 G = $10.000 n = 72 FF72 = 300.000 + (72 - 1) 10.000 = $ 1.100.000

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Ejemplo:

La empresa TOPALFIN Ltda. accede a un prstamo de $500.000.000 que pagar por ocho aos al 2% mensual, comprometiendo un plan de pagos en el que la primera cuota ser de $10.000.000. Calcule : a) La cifra del monto del gradiente mensual. b) El monto correspondiente a la ltima cuota de pago. a) P = $500.000.000 i = 2% mensual n = 8 x 12 = 96 meses VA = 500.000.000 [0,02 (1+0,02)96] / [(1+0,02)96-1] VA = $ 11.756564 B = $10.000.000 A* = VA - B A* = 11.756.564 - 10.000.000 = $ 1.756.564 G = A* / {1/i - n / [(1+i)n 1]} G = 1.756.564 / { 1/0,02 - 96 / [(1+0,02)96 1] } G = $ 53.009 b) FF96 = 10.000.000 + (96 1) 53.009 = $ 15.035.870

Ejemplo:

Si para el caso del ejemplo anterior, TOPALFIN asumiera un gradiente de $100.000 mensuales, calcular: a) El monto correspondiente a la primera cuota. b) El monto correspondiente a la ltima cuota de pago. a) P = $500.000.000 i = 2% mensual n = 8 x 12 = 96 meses VA = 500.000.000 [0,02 (1+0,02)96] / [(1+0,02)96-1] VA = $ 11.756564 G = $100.000 A* = 100.000 { 1/0,02 - 96 / [(1+0,02)96 1] } = $ 3.313.699

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B = VA - A* B = 11.756.564 - 3.313.699 = $ 8.442.865 b) FF96 = 8.442.865 + (96 1) 100.000 = $ 17.942.865

3.3.6.2

Gradiente Geomtrico

3.3.6.2.1 LA SERIE DE CUOTAS DEL GRADIENTE GEOMTRICO0 1 2 3 n

B B(1+J) B(1+J)2

B(1+J)

n-1

La manera de formar una serie de cuotas con Gradiente Geomtrico es como sigue: Momento 1 2 3 4 . . . n Cuota FF1 FF2 FF3 FF4 . . . FFn = = = = Expresin B B (1+J) B (1+J)2 B (1+J)3 . . . B (1+J)n-1

=

En general:

FFk = B (1+ J)k-1

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3.3.6.2.2 EQUIVALENCIA DEL GRADIENTE GEOMTRICOPara convertir la serie completa de cuotas con Gradiente Geomtrico a un solo momento en el tiempo es posible deducir matemticamente la siguiente relacin de equivalencia con el Valor Presente:

VP = B [1/(J-i)] {[(1+J)/(1+i)]n 1}VP = B= J= i= n= Valor Presente ($) Monto de la primera cuota Valor del Gradiente Geomtrico (%/100) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100) Nmero total de perodos para el negocio

Ejemplo:

Encontrar el valor del prstamo que tom el seor Bruno Zea Malo y que le representa un plan de 72 pagos mensuales cuya primera cuota se tasa en $300.000, incrementndose en 1% por mes, si la tasa de inters que se aplica es del 2% mensual: B= J= i= n= $300.000 1% = 0,01 2% = 0,02 72

VP = 300.000 [1/(0,01-0,02)] {[(1+0,01)/(1+0,02)]72 1} VP = $ 15.241.310

Ejemplo:

Cul es el monto de la ltima cuota que pagar el seor Bruno Zea del ejemplo anterior? B= J= i= n= $300.000 1% = 0,01 2% = 0,02 72

FF72 = 300.000 (1+0,01)72-1 =

$ 608.049

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Ejemplo:

La empresa NAPALFIN Ltda. accede a un prstamo de $500.000.000 que pagar por ocho aos al 2% mensual, comprometiendo un plan de pagos en el que cada cuota ser 1,3% ms alta que la anterior. Calcule: a) b) a) El monto correspondiente a la primera cuota. El monto correspondiente a la ltima cuota de pago. P= i= J= n= $500.000.000 2% = 0,02 1,3% = 0,013 8 x 12 = 96 meses

B = P / ( [1/(J-i)] {[(1+J)/(1+i)]n 1} ) B = 500.000.000 / ([1/(0,013-0,02)] {[(1+0.013)/(1+0,02)]96-1}) B = $ 7.235.679 b) FF96 = 7.235.679 (1 + 0,013)961= $ 24.681.787

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3.4 TABLAS DE AMORTIZACIN3.4.1 ConceptoCuando se tienen planes de pago tipo Alcuota o tipo Gradiente para un prstamo, es posible construir una Tabla de Amortizacin, una estructura matricial en la cual se muestran discriminadamente los movimientos (saldos, intereses, pagos y abonos a capital) en cada uno de los perodos involucrados.

3.4.2 Elaboracin Los clculos para los pagos se realizan conforme a las frmulas tratadas anteriormente. Los clculos de actualizacin por perodo son iterativos, y se resumen, de manera genrica en las siguientes frmulas:

INTt = SIt x (1 + i) ABt = At INTt SFt = SIt ABt SIt+1 = SFtINTt = ABt = At = SIt = SFt = i= Monto de los intereses del perodo t ($) Monto del abono a capital para el perodo t ($) Monto del pago para el perodo t ($) Saldo de capital al comienzo del perodo t ($) Saldo de capital al final del perodo t ($) Tasa de inters para aplicar en cada perodo (% perodo/100)

Ejemplo:

Elaborar la Tabla de Amortizacin para un prstamo de $100 millones a cinco aos, pagadero en anualidades vencidas con una tasa de inters del 30% anual: P= n= i= $100.000.000 5 aos 30% anual

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VA = 100.000.000 [0,30 (1+0,30)5] / [(1+0,30)5 1] = $ 41.058.155

TABLACapital Inic. $ 100,000,000 Tasa 30% Perodos 5

Cuota

$ 41,058,155

PERODO

INICIO

FINAL

FINAL

FINAL

FINAL

Capital ($) 1 2 3 4 5 $ 100,000,000 $ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196

Intereses ($) $ 30,000,000 $ 26,682,554 $ 22,369,873 $ 16,763,389 $ 9,474,959

Cuota ($) $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155 $ 41,058,155

Abono ($) $ 11,058,155 $ 14,375,601 $ 18,688,282 $ 24,294,766 $ 31,583,196

Saldo ($) $ 88,941,845 $ 74,566,244 $ 55,877,962 $ 31,583,196 $0

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3.5 MANEJO DE TASAS DE INTERS3.5.1 Concepto de Tasa de IntersLa tasa de inters representa el importe del alquiler del dinero, como ya se dijo al comienzo de esta obra. Dado que los montos de intereses son dinero lo mismo que el capital, este importe se presenta normalmente como un porcentaje que se aplica al capital por unidad de tiempo; a este valor se le denomina tasa de inters. Como ya se estableci en la seccin donde se trabaj el tema de equivalencia, para poder operar la tasa de inters, es decir para poder aplicar las frmulas de equivalencia, es necesario que la base del tiempo para la tasa coincida con el perodo o longitud del intervalo de la lnea del tiempo entre momentos consecutivos. A esta presentacin de la informacin del inters se le llama tasa peridica. El perodo puede ser finito (da, mes, bimestre, trimestre, semestre, ao, etc.) o infinitesimal (cuando tiende a cero), en cuyo caso el tratamiento toma el nombre de inters continuo, y es asistido por una serie de formulaciones que no se tratarn en este documento por considerarlo un tema muy especializado y de poca utilizacin en nuestro medio. Adems de contar con la informacin del inters en tasas peridicas se pueden manejar otras formas, como la tasa nominal y la tasa efectiva, las cuales se discuten enseguida.

3.5.2 Naturaleza de las Tasas de IntersLa declaracin de una tasa de inters lleva implcita dos elementos: Causacin: Informa el momento en el cual el inters se causa o tiene lugar segn se haya estipulado en el contrato o por el negocio en cuestin. Aqu el monto de inters se calcula y se da por cierto, pero no necesariamente se cancela sino que se puede acumular aditivamente (Inters Simple, si se acumula sin capitalizarse) o se puede capitalizar (Inters Compuesto).

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Capitalizacin: Informa el momento en el cual el inters calculado o acumulado aditivamente se lleva a capital, o sea, se capitaliza.

Rigurosamente no tiene que existir coincidencia entre los perodos de Causacin y de Capitalizacin (puede pensarse, por ejemplo, en una tasa de inters del 2% mensual capitalizable trimestralmente); sin embargo, y tal vez por lo imprctico que se tornaran los clculos en ese ambiente, se tiene prcticamente en la totalidad de las situaciones una coincidencia de los dos perodos, en cuyo caso se le denomina perodo de Composicin: COMPONER = CAUSAR y CAPITALIZAR Ntese que en el caso de Inters Simple no hay Capitalizacin y por lo tanto no hay Composicin, solo existe Causacin. El Inters Compuesto, por el contrario, se construye sobre el concepto de Composicin: INTERS SIMPLE INTERS COMPUESTO CAUSACIN COMPOSICIN

CAUSACIN CAPITALIZACIN

An hay ms consideraciones; desde el ngulo de la Causacin, el inters puede exigirse al vencimiento o anticipadamente, segn se estipule en el contrato (as como el canon de arrendamiento se acostumbra cobrar anticipadamente o el salario se acostumbra pagar al vencimiento del perodo), con lo que se puede resumir la naturaleza del inters en el siguiente esquema:

CAPITALIZACIN TASA DE INTERS CAUSACIN

Sin (Simple) Con (COMPUESTA) Continua PERIDICA Anticipada VENCIDA

En la prctica, los modos que se presentan con letras maysculas negras en el esquema anterior son clsicos y se entienden por defecto; es decir, si una tasa no se declara simple, entiende COMPUESTA; si no se declara continua, se entiende PERIDICA; si no se declara anticipada, se entiende VENCIDA.

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3.5.3 Denominaciones de la Tasa de Inters

Segn la manera en la que una tasa de inters proponga la informacin se le denomina de una de estas tres maneras: Peridica: La tasa corresponde al perodo de composicin (% por da, mes, bimestre, trimestre, semestre, ao, etc.). Algunos sectores la conocen como Tasa Efectiva Peridica (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aqu se denominar simplemente Tasa Peridica. Es la expresin anualizada de la Tasa Peridica, contabilizada por acumulacin simple de ella. El tratamiento corresponde al que se present en la seccin de Tasas de Inters en el captulo de Inters Simple. Es la expresin equivalente de una tasa peridica en la que el perodo se hace igual al un ao y la causacin siempre se da al vencimiento. Algunos sectores emplean el nombre de Tasa Efectiva para aplicarla a un perodo distinto del ao (efectiva diaria, efectiva mensual, efectiva trimestral, etc.), pero aqu no se emplear esta denominacin, la cual la llamaremos simplemente Tasa Peridica. La tasa Efectiva se conoce tambin como Tasa Efectiva Anual, Tasa Anual Efectiva o an Tasa Anual.

Nominal:

Efectiva:

Adicionalmente, como ya se indic, la tasa debe definir la forma en que se causa el inters: Anticipada: Cuando el inters se causa en forma anticipada en el perodo. Cabe anotar que la Tasa Efectiva no puede darse, por definicin en forma anticipada, es decir no existe una Tasa Efectiva Anticipada. Vencida: Cuando el inters se causa en forma vencida en el perodo. Cabe anotar que la Tasa Efectiva es siempre vencida y por lo tanto esta ltima palabra se omite en su declaracin.

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3.5.4 Clases de Tasas de IntersDe acuerdo con lo tratado en el numeral anterior se pueden expresar cinco clases de tasa de inters: TASA PERIDICA VENCIDA DE INTERS, expresando la forma de INTERS PERIDICO VENCIDO. TASA PERIDICA DE ANTICIPADA DE INTERS, expresando la forma de INTERS PERIDICO ANTICIPADO. TASA NOMINAL VENCIDA DE INTERS, expresando la forma de INTERS NOMINAL VENCIDO. TASA NOMINAL ANTICIPADA DE INTERS, expresando la forma de INTERS NOMINAL ANTICIPADO. TASA EFECTIVA DE INTERS, expresando la forma de INTERS EFECTIVO. En resumen, la notacin de estas clases de tasas para efectos de la exposicin en este documento es la siguiente:

ipv inv ieipv = ipa = inv = ina = ie =

ipa ina

Tasa de inters peridico vencido (% por perodo vencido) Tasa de Inters peridico anticipado (% por perodo anticipado) Tasa de inters nominal vencido (% anual, compuesto por perodo vencido) Tasa de inters nominal anticipado (% anual, compuesto por perodo anticipado) Tasa de inters efectivo (% anual efectivo)

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3.5.5 Declaracin de las Tasas de IntersCuando se lee una tasa de inters, normalmente no se encuentra expresada con palabras la modalidad de la cual se trata, esta se obtiene de la informacin que acompaa a las cifras de porcentaje, normalmente en siglas. Ejemplo: 30% a.m.v. representa una tasa de inters del 30% anual compuesto mensualmente y causada al vencimiento de cada perodo.

La informacin se estructura en CAMPOS y en SIGLAS siguiendo al signo de porcentaje (%):

3.5.5.1

Campos

3.5.5.1.1 TASAS NOMINALES El primer campo siempre tendr una a. o la palabra anual, representando que es una tasa anualizada. El segundo campo lleva la sigla o la palabra correspondiente al perodo de composicin (por ejemplo m. o mensual, significando que el perodo de composicin corresponde al mes). El tercer campo contiene la informacin correspondiente al momento de causacin del inters; llevar una a. (o la palabra anticipado) si el inters es anticipado, o una v. (o la palabra vencido) o simplemente se deja vaco (informacin por defecto) si el inters es vencido. Ejemplo: 24% a.b.v. representa un inters del 24% anual compuesto bimestralmente al vencimiento. 30% a.s.a. representa un inters del 30% anual compuesto semestralmente y causado anticipadamente, o sea, al comienzo de cada perodo. 26% a.m. representa un inters del 26% anual compuesto mensualmente al vencimiento.

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3.5.5.1.2 TASAS PERIDICAS No llevan el primer campo de las tasas nominales, o sea, no tienen la sigla a. o la palabra anual siguiendo al signo de porcentaje (%), porque no son tasas anualizadas. Los dos campos subsiguientes tienen la misma connotacin de los campos segundo y tercero de las tasas nominales. Ejemplo: 4% b.v. representa un inters peridico vencido del 4%, con un perodo equivalente al bimestre. 15% s.a. representa un inters del 15% semestral causado al comienzo de cada semestre. 2,2% m. representa un inters peridico del 2,2% mensual, causado al vencimiento de cada mes.

3.5.5.1.3 TASA EFECTIVA Se reconoce que una tasa es efectiva cuando solo tiene una de estas siglas: a.e., a., e. Ejemplo: Son declaraciones de tasas efectivas anuales: 23% a.e. 20% a. 30% e.a. 28% e. e.a.,

3.5.5.2 SiglasTASA EFECTIVA Una tasa se denota efectiva si despus del signo de porcentaje lleva una de estas siglas: e.a. a.e. e. solamente a. solamente

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TASAS NOMINALES Y PERIDICAS Una tasa es Nominal o es Peridica si se determina con siglas diferentes a las consignadas inmediatamente antes. Primer campo: a. anual Otra sigla = = = significa que la tasa es anualizada (nominal). significa que la tasa es anualizada (nominal). significa que la tasa es peridica.

Segundo campo (o Primer campo, si la tasa es peridica, es decir no lleva la sigla de anualizacin): Determina el perodo de composicin: d. m. b. t. s. a. da mes bimestre trimestre semestre anual = = = = = = = = = = = = diario mensual bimestral trimestral semestral anual diario mensual bimestral trimestral semestral anual

Tercer campo (o Segundo campo, si la tasa es peridica, es decir no lleva sigla de anualizacin): Determina el modo de causacin: a. = v. = Si se omite = anticipadamente al vencimiento al vencimiento

Ejemplo:

22% e.a. 23% a.m.v. 24% a.b.a. 25% a.s. 6% t.v. 2% m.a.

significa 22% efectiva anual significa 23% anual mes vencido significa 24% anual bimestre anticipado significa 25% anual semestre vencido significa 6% trimestral vencido significa 2% mensual anticipado

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3.5.6 Equivalencia de la Tasas de Inters 3.5.6.1 Tasa Peridica y Tasa NominalComo se estableci en el tratamiento del Inters Simple, la Tasa Nominal representa la anualizacin de la Tasa Peridica por acumulacin simple de esta en cada perodo. Por lo tanto, la Tasa Nominal se obtiene multiplicando la Tasa Peridica por el respectivo nmero de perodos contenidos en el ao; si la Tasa Peridica es anticipada, la Tasa Nominal tambin lo ser, y viceversa; y si la Tasa Peridica es vencida, la Tasa nominal tambin lo ser, y viceversa:

ipv = ipa = inv = inv =ipv: inv: ipa: ina: n:

inv / n ina / n ipv x n ipv x n

Tasa de inters peridica vencida (% por da, mes, etc.) Tasa de inters nominal vencida (% anual) Tasa de inters peridica anticipada (% por da, mes, etc.) Tasa de inters nominal anticipada (% anual) Nmero de perodos por ao (360 das, 12 meses, etc.)

Ejemplo:

Encontrar la tasa peridica correspondiente a una tasa nominal del 24% a.m.v.: inv = 24% a.m.v. n = 12 meses por ao ipv = 24% / 12 = 2% m.v.

Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal correspondiente a una tasa peridica del 10% s.a.: ipa = 10% s.a. n = 2 semestres por ao ipv = 10% x 2 = 20% a.s.a.

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3.5.6.2 Tasa Vencida y Tasa AnticipadaEn la modalidad de inters anticipado, el monto de intereses se paga o se capitaliza al comienzo del perodo. Para encontrar la equivalencia con el inters vencido se emplea la nocin de equivalencia entre un flujo presente y un flujo futuro para un perodo, como sigue: P = X ipa X P = X (1-ipa)

0

1

F=X La tasa de inters aparece como un descuento al monto del Flujo Presente, y por lo tanto no tiene por qu aparecer al final. Aplicando el concepto de Equivalencia se tiene: F = P (1+ipv) Reemplazando por las expresiones de F y de P: X = X (1-ipa) (1+ipv) 1= (1-ipa) (1+ipv)

1 + ipv = 1 / (1-ipa) ipv = 1 / (1-ipa) 1 ipv = (1 1 + ipa) / (1-ipa) O sea,

ipv = ipa / (1-ipa)ipv: ipa: Tasa de inters peridica vencida (% por da, mes, etc.) Tasa de inters peridica anticipada (% por da, mes, etc.)

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De la misma manera es posible despejar el valor de ipa: 1 = (1-ipa) (1+ipv) 1 - ipa = 1 / (1+ipv) ipa = 1 - 1 / (1+ipv) ipa = (1 + ipa - 1) / (1-ipa) O sea,

ipa = ipv / (1+ipv)ipv: ipa: Tasa de inters peridica vencida (% por da, mes, etc.) Tasa de inters peridica anticipada (% por da, mes, etc.)

Ejemplo:

Encontrar la tasa peridica vencida equivalente a una tasa del 4% t.a.: ipa = 4% = 0,04 ipv = 4% / (1 0,04) = 4,17% t.v.

Ejemplo:

Encontrar la tasa peridica anticipada equivalente a una tasa del 9% s.v.: ipv = 9% = 0,09 ipa = 9% / (1 + 0,09) = 8,26% s.a.

Cabe anotar que la equivalencia entre tasas anticipada y vencida solo se da para tasas peridicas. De hecho la Tasa Nominal solo sirve para encontrar la respectiva Tasa Peridica y no puede ser operada directamente bajo el concepto de Equivalencia.

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3.5.6.3 Tasa Efectiva y Tasa PeridicaLa Tasa Efectiva representa una Tasa Peridica Vencida en la cual el perodo es exactamente un ao. Para desarrollar la equivalencia con la tasa peridica se supone que un ao consta de n perodos: P=Xperodos

0

1

2

n

F = X (1+ipv)n P=Xao

0

1

F = X (1+ie) Con la misma inversin P = X, al cabo de un ao se debe tener la misma cantidad de dinero F en los dos planes presentados en el dibujo de flechas: X (1+ipv)n = X (1+ie)

1 + ie = (1 + ipv)n Despejando ie se tiene:

ie = (1 + ipv)n - 1ie: ipv: Tasa efectiva de inters (% anual) Tasa de inters peridica vencida (% por da, mes, etc.)

Despejando ipv se tiene:

ipv = (1 + ie)1/n - 1ie: ipv: Tasa efectiva de inters (% anual) Tasa de inters peridica vencida (% por da, mes, etc.)

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Ejemplo:

Cul es la tasa efectiva anual correspondiente a una tasa del 2% mensual? ipv = 2 % mensual = 0,02 n = 12 meses / ao ie = (1 + 0,02)12 1 = 0,26824 = 26,82% e.a.

Ejemplo:

Cul es la tasa trimestral correspondiente a una tasa del 24% e.a.? ie = 24 % e.a. = 0,24 n = 4 trimestres / ao ipv = (1 + 0,24)1/4 1 = 0,05525 = 5,53% t.v.

3.5.6.4 Ruta de Equivalencia de TasasAunque pueden derivarse ms ecuaciones de relacin, las formulaciones anteriores de equivalencia de tasas se consideran fundamentales y dan lugar a la Ruta de Equivalencia de Tasas@, la cual no es ms que un aspecto nemotcnico para realizar conversin de cualquier clase de tasa de inters a cualquiera otra de una manera sencilla:

RUTA DE EQUIVALENCIA DE TASAS@ m perodos por ao perodos por ao

inv ina@ : Diseo del autor

ipv ipa

ie

ipv ipa

inv ina

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Ejemplo:

Encontrar la tasa nominal mes vencido equivalente a una tasa del 30% a.s.a.: ina = m= = inp = 30% a.s.a. 2 semestres / ao 12 meses / ao ?

Con m = 2 se pasa de una tasa nominal a un tasa efectiva, atendiendo a la ruta de equivalencia de tasas: ipa = 30% / 2 = 15% s.a. ipv = 15% / (1-0,15) = 17,65% s.v. ie = (1+0,1765)2 1 = 38,41% e.a. Ahora, con = 12 se pasa de la tasa efectiva a la correspondiente tasa nominal vencida: ipv = (1+0,3841)1/12 1 = 2,75% m.v. inv = 2,75 x 12 = 32,95% a.m.v.

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3.5.7 Composicin de Tasas de Inters 3.5.7.1 NocinLa composicin de tasas de inters se da cuando dos o ms tasas deben ser aplicadas simultneamente. Esta composicin puede ser aditiva, en el caso de TASAS MIXTAS o puede ser multiplicativa, en el caso de TASAS COMPUESTAS POR CAMBIO DE BASE (o tasas de diferente base).

3.5.7.2 Tasas MixtasUna tasa es mixta cuando se declara como la suma de dos tasas, generalmente una Tasa Variable y otra Tasa Fija. Ejemplo: i = DTF + 5% es una tasa mixta, donde a la tasa de la DTF (variable, segn el mercado) se le adiciona una porcin fija de cinco puntos porcentuales.

El propsito prctico de esta modalidad es evitar el riesgo que el movimiento de las tasas de inters del mercado le concede a un contrato de prstamo con tasa fija, sobretodo en el largo plazo; si las tasas del mercado subieren con el tiempo, quien entrega el dinero en prstamo incurrira en una prdida real de valor, y quien recibe el dinero perdera valor si las tasas del mercado descendieren en el tiempo. Para el clculo de la tasa compuesta debe tenerse en cuenta lo siguiente: Las dos tasas (Fija y Variable) deben referirse al mismo perodo antes de sumarse. Normalmente se acepta la declaracin de la tasa Fija como la gua, debiendo conseguir la informacin de la tasa Variable en esa base. La tasa equivalente global se obtiene simplemente sumando las cifras de las dos partes (Fija y Variable) estando en el mismo perodo base. Si se requiere conocer la Tasa Efectiva global, debe resolverse primero la adicin y luego llevarse a esta modalidad y no sumar las correspondientes tasas efectivas (el resultado no es exactamente igual).

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Ejemplo:

Encontrar la tasa equivalente a DTF + 6% a.t.v., conociendo que la tasa DTF para inversiones trimestrales est en el 12% e.a.: Primero se debe obtener la tasa nominal de la DTF ie = 12% e.a. n = 4 trimestres / ao ipv = (1+0,12)1/4 1 = 2,87% t.v. inv = 2,87% x 4 = 11,49% a.t.v. Ahora se puede realizar la adicin de tasas: i = 11,49 + 6 = 17,49% a.t.v.

Ejemplo:

Para el ejemplo anterior, encontrar la tasa efectiva equivalente: inv = 17,49% ipv = 17,49% / 4 = 4,37% t.v. ie = (1+0,0437)4 1 = 18,68% e.a.

3.5.7.3 Tasas Compuestas por Cambio de BaseUna tasa es compuesta, generalmente por dos tasas, cuando una de ellas se declara sobre una base monetaria diferente a la base de declaracin de la tasa original, debiendo contar entonces con la tasa de relacin entre las dos bases monetarias; veamos: Sean: iU = Tasa de inters basada en la divisa iC = Tasa de incremento de precio de la divisa frente a la moneda local i = Tasa de inters equivalente basada en la moneda local X = Monto inicial en moneda local Y = Tasa de cambio inicial (moneda local / divisa) F = (X/Y) (1+iU)n0 1 2 n (en divisa)

P=X(en moneda local)

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P= X Tasa de cambio inicial = Y P= X/Y F = (X/Y) (1+iU)n Tasa de cambio final = Y (1+iC)n F = (X/Y) (1+iU)n Y (1+iC)n F = X (1+iU)n (1+iC)n F = X [(1+iU) (1+iC)]n Pero, F = X (1+i)n Entonces, X (1+i)n = X [(1+iU) (1+iC)]n (1+i)n = [(1+iU) (1+iC)]n (1+i) = (1+iU) (1+iC) O sea,

(cifras en moneda local) (moneda local / divisa) (cifras en divisa) (cifras en divisa) (moneda local / divisa) (cifras en moneda local) (cifras en moneda local) (cifras en moneda local)

(cifras en moneda local)

i = (1+iU) (1+iC) 1iU = Tasa de inters basada en la divisa (%) iC = Tasa de incremento de precio de la divisa frente a la moneda local (%) i = Tasa de inters equivalente basada en la moneda local (%)

Ejemplo:

Cul es la tasa equivalente en pesos de una inversin que gana el 9% anual en dlares, se espera que la tasa de incremento del precio del dlar frente al peso sea de 15% anual? iU = 9% iC = 15% i = (1+0,09) (1+0,15) 1 = 25,35% anual

(Ntese que este resultado es un tanto mayor que la suma simple de las tasas (9% + 15% = 24%), el cual es un mtodo ms rpido, pero impreciso de componer este tipo de tasas).

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Ejemplo:

Cunto puede retirar al cabo de dos aos de un depsito de un milln de pesos que genera un inters del 1,2% mensual en UVR, si se espera que el UVR incremente su precio a razn de 0,9% mensual? iU = 1,2% iC = 0,9% i = (1+0,012) (1+0,009) 1 P = $1.000.000 n = 24 meses F = 1.000.000 (1+0,0211)24 = = 2,11% mensual

$ 1.650.898

3.5.7.4 Tasas Reales y Tasas CorrientesUna TASA CORRIENTE DE INTERS, llamada por los economistas TASA NOMINAL (aunque no connota lo mismo que la Tasa Nominal financiera), se refiere a una tasa de inters sobre moneda corriente, es decir, sin depurarle el efecto de la inflacin. Una TASA REAL DE INTERS, llamada tambin TASA DEFLACTADA por los financistas representa una tasa de inters sobre moneda constante o deflactada, es decir, que esta tasa est libre del efecto de la inflacin. La relacin entre las tasas corrientes y las tasas reales se obtiene de la relacin de composicin de tasas de diferente base, donde la tasa de inflacin (i f) ahora representa la tasa de cambio de precios (iC) de ese modelo, mientras que la tasa real (iR) ahora, representa la tasa en la divisa (iU) de ese modelo:

i = (1+iU) (1+iC) 1 i = (1+iR) (1+if) 1Y, como lo que se requiere normalmente es encontrar i R, esta se despeja:

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iR = (1+i) / (1+if) 1iR = i= if = Tasa Real de inters (%) Tasa Corriente de inters (%) Tasa de inflacin (%)

Ejemplo:

Cul es la tasa real de un CDT que paga el 12% anual de inters, si la inflacin se estima en un 9,5% anual? i = if = iR = 12% 9,5% (1+0,12) / (1+0,095) - 1 = 2,28% anual

Ejemplo:

Cul es la tasa real de una cuenta de ahorros que paga el 6,5% anual de inters, si la inflacin se estima en un 9,5% anual? i = if = iR = 6,5% 9,5% (1+0,065) / (1+0,095) - 1 = -2,74% anual

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3.6 EVALUACIN DE NEGOCIOS 3.6.1 Conceptos3.6.1.1 ObjetivoEl objetivo de la Evaluacin de negocios es calificar si un negocio es o no es factible desde el punto de vista financiero antes de decidir tomarlo. Esto es, predeterminar si un negocio propuesto en particular conviene o no conviene (solo desde el punto de vista financiero) a una persona (natural o jurdica).

3.6.1.2 Tipos de NegocioExisten dos tipos de negocio:

INVERSIN:

Cuando al inicio del mismo (normalmente en el momento cero) se debe realizar un egreso grande de fondos (Inversin Inicial) con la mira de recuperar como beneficios el valor de dicha erogacin y an ms durante la vida del negocio, recuperacin que est representada por flujos de fondos en su mayora positivos (o ingresos netos)

FFNj = BENEFICIOS

0

1

2

3

4

n

FFN0 = - I0

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FINANCIACIN: Cuando el negocio presenta el gran ingreso al comienzo (se recibe el dinero en prstamo) y los flujos de fondos representan los egresos correspondientes a los pagos de intereses y abonos al capital recibido en prstamo:

FFN0 = P

0

1

2

3

4

n

FFNj = PAGOS

3.6.1.3 Costo de OportunidadEl Costo de Oportunidad se define como el costo (o prdida de beneficios) que representa renunciar a tomar otra alternativa por comprometerse con el negocio en estudio. En un negocio de INVERSIN el Costo de Oportunidad equivale al beneficio dejado de percibir por la alternativa ms rentable, que no implique riesgo ni esfuerzo adicional, al negocio en estudio. En un negocio de FINANCIACIN el Costo de Oportunidad equivale al costo del dinero de la alternativa ms econmica al negocio en estudio. El costo de oportunidad para una persona (natural o jurdica) depende del ambiente (mercado) en el cual se encuentre y de su posicin relativa frente a ese ambiente (inversionista, deudor, poseedor de oportunidades, etc.).

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Ejemplo:

Abel Obeo, un ciudadano comn que no tiene deudas, gan $100 millones jugando a la Lotera. Su costo de oportunidad est representado por la rentabilidad que le proporciona invertir el dinero en un CDT, la aleternativa viable ms prxima a l. Con esta alternativa compara toda oportunidad de negocio que se le presentare. Lola Mentor tiene una deuda de $20 millones. La tasa de inters de la misma representa su costo de oportunidad. Cualquier ingreso adicional lo destinara a cancelar parte de su deuda, a no ser que pudiera rentar un inters mayor que el de ella.

Ejemplo:

3.6.1.4 La Tasa de Oportunidad (i*)La Tasa de Oportunidad representa la tasa de inters correspondiente al Costo de Oportunidad. En un negocio de INVERSIN representa la mayor tasa de rentabilidad, entregada la alternativa de inversin ms atractiva con el mismo nivel de riesgo y corresponde a la Tasa Mnima de Retorno Aceptable (TMRA) para el negocio (proyecto) en estudio. En un negocio de FINANCIACIN representa la menor tasa de costo de las fuentes de prstamos y corresponde la Tasa Mxima de Costo Aceptable (TMCA) para el negocio en estudio. Ejemplo: Para Abel Lobeo, el personaje del ejemplo de la seccin anterior, que gan un premio de $100 millones, la Tasa de Oportunidad corresponde al inters que le conceden los CDTs, o sea la DTF, que actualmente es de aproximadamente 12% e.a. Para Lola Mentor, del ejemplo de la seccin anterior, la Tasa de Oportunidad corresponde a la del inters de los prstamos bancarios, que en la actualidad es de aproximadamente 25% e.a.

Ejemplo:

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3.6.2 Valor Presente Neto (VPN)3.6.2.1 ConceptoEl Valor Presente Neto representa el INCREMENTO de la RIQUEZA (o tenencia o VALOR DE LA EMPRESA) medido en DINERO ACTUAL (pesos de hoy) si se toma el negocio en estudio. Procedimentalmente el VPN se obtiene llevando todos los Flujos de Fondos estimados (desde el momento cero hasta el momento n) del negocio al momento cero (actual) descontados (o trados) con la Tasa de Oportunidad.

3.6.2.2 FactibilidadSi el VPN es positivo quiere decir que se generar riqueza o valor con la aceptacin del negocio. Si el VPN es negativo se perder riqueza, o sea se destruir valor con la aceptacin del negocio.

VPN > 0 VPN < 03.6.2.3 Formulacin

FACTIBLE NO FACTIBIBLE

La formulacin matemtica corresponde a la descripcin del VPN:FFNj

0

1

2

3

4

n

FFN0 = - I0

NEGOCIO DE INVERSIN

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FFN0 = P0 1

NEGOCIO DE IFINANCIACIN

2

3

4

n

FFNj

n

VPN =

j=0

FFNj / (1 + i ) j

VPN =

FFN0 + VP (FFNj),n

j=1

n

VPN = FFN0 +

j=1

FFNj / (1 + i* ) j

FFN0 = -I0 FFN0 = P

INVERSIN FINANCIACIN

VPN = VP = FFNj =

Valor Presente Neto Valor Presente Flujo de Fondos Neto del perodo j

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Ejemplo:

Calcular el VPN de un negocio de la empresa LA INVERTIDA S.A., representado en una inversin de 1.000 millones de pesos que genera unos flujos de fondos estimados de 100, 400, 400, 500 y 100 millones de pesos correspondientemente en cada uno de los cinco aos de vida del proyecto, con i* = 20% anual.

400 400 500 100 100

0

1

2

3

4

5

I0 = 1.000

VPN = -1.000 + 100/(1+0,20) + 400/(1+0,20)2 + 400/(1+0,20)3 + 500/(1+0,20)4 + 100/(1+0,20)5 VPN = -1.000 + 874 VPN = - $ 126.000.000 = -126

Esto quiere decir que el negocio no es financieramente factible, porque los beneficios que se espera generar trados a valor presente no recuperan siquiera la inversin inicial, representando una prdida neta de $12 millones.

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3.6.3 Tasa Interna de Retorno (TIR)

3.6.3.1 ConceptoLa Tasa Interna de Retorno (TIR) representa la rentabilidad de los fondos que permanecen en el negocio. Para un negocio de Inversin la TIR es la tasa de inters que genera el capital que permanece invertido (no se ha recuperado) en l. Para un negocio de Financiacin la TIR es la tasa de inters que se paga por el saldo de deuda.

3.6.3.2 FactibilidadUn negocio de Inversin es financieramente factible si la rentabilidad que ofrece (TIR) es mayor que la rentabilidad que se obtuviese alternativamente (i*),y es no factible en caso contrario. Un negocio de Financiacin es financieramente factible si la tasa de inters que se paga por los saldos de deuda (TIR) es menor que la que se pagase por las fuentes alternativas de financiacin (i*).

INVERSIN:

TIR > i* TIR < i*

FACTIBLE NO FACTIBIBLE NO FACTIBLE FACTIBIBLE

FINANCIACIN: TIR > i* TIR < i*

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3.6.3.3 FormulacinPartiendo del entendimiento de que el punto de indiferencia financiero (en el que da igual tomar o no el negocio) se tiene cuando la rentabilidad del negocio es igual al costo de oportunidad, o sea, TIR = i*, la formulacin de TIR se da en trminos de encontrar una tasa i tal que si ella fuera la tasa de oportunidad (i*), el negocio sera indiferente, o sea, que su Valor Presente sera cero (VPN = 0).

TIRTIR = VPN =

VPN = 0Tasa interna de Retorno Valor Presente Neto

La expresin VPN = 0 representa un polinomio de grado n: VPN = 0 = FFN0 + FFN1/(1+i) + FFN2/(1+i)2 + FFN3/(1+i)3 + . . . + FFNn/(1+i)n, En el cual no se puede despejar la variable i, y es soluble solo por mtodos numricos, como Ensayo y Error. Solo en el caso en el que no existan flujos intermedios entre los flujos de los momentos cero (P) y n (F), es posible deducir por Equivalencia (ver seccin 3.3.3.3) la relacin:

TIR = (F / P)1/n - 1TIR = P= F= Tasa interna de Retorno Flujo de fondos en el momento 0 Flujo de fondos en el momento n

Ejemplo:

Encontrar la TIR para el caso de la empresa LA INVERTIDORA del ejemplo anterior:

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VPN = -1.000 + 100/(1+i) + 400/(1+i)2 + 400/(1+i)3 + 500/(1+i)4 + 100/(1+i)5 El objetivo es ensayar con valores de i hasta que se consiga un valor de VPN muy cercano a cero: I (%) 0 10 13 15 VPN ($mills.) 500 125,6 40 -12

Los dos ltimos datos son cercanos a cero y de signo contrario, permitiendo utiliza un procedimiento de interpolacin: 15 13 = 2% de diferencia en la tasa de inters causa 40 (-12) = 52 mills. de diferencia en el Valor Presente Neto 0 (-12) = 12 mills. se causan con una diferencia en la tasa de inters de : 2% 12/52 = 0,46% TIR(aprox.)

= 15% - 0,46% =

14,54%

Ejemplo:

El fondo mutuo de inversiones SINFONDO, promete reintegra $5 dentro de cinco aos por cada $1 invertido hoy sin retiros parciales durante este perodo. Cul es la TIR de dicha inversin? P = $1 F = $5 n = 5 aos TIR = (5/1)1/5 1 = 37,97% anual.

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Ejercicios S1:

INTERS SIMPLE

1.

Calcule el monto de los intereses que paga un prstamo de $600.000 por un ao al 2% mensual. (Resp. $144.000) Calcule el monto de intereses que Ud. Debe pagar por un crdito estudiantil de $5.000.000 otorgado por cuatro aos al 1% mensual. (Resp. $2.400.000) Ud. Compra un televisor SuperEva por $3.800.000 cancelando $800.000 al momento de cerrar el negocio y comprometiendo el saldo a 10 meses con un inters del 1,9% mensual. Cunto pagar para cancelar ese compromiso?(Resp. $3.570.000)

2.

3.

4.

Ud. necesita cancelar un valor de $2.500.000 dentro de seis meses. Cuenta con $2.250.000 hoy, los que puede colocar a una tasa de inters simple del 2% mensual. Calcule el monto de dinero que le faltar o le sobrar dentro de seis meses al cancelar la cifra mencionada. (Resp. Sobran $20.000) Calcule el valor de la tasa de inters que permitira cancelar exactamente la cifra del pago a seis meses en el problema 4. (Resp. 1,85%) Cuntos aos debe permanecer una inversin al 25% anual de inters simple para doblar el capital? (Resp. 4 aos) Cul es el inters trimestral correspondiente a una tasa del 24% anual?(Resp. 6% trimestral)

5.

6.

7. 8. 9.

Cul es la tasa nominal de un inters del 2,5% mensual?

(Resp. 30% anual)

Establecer la tasa nominal de un prstamo de $4.000.000 que paga $800.000 de intereses en 10 meses. (Resp. 24% anual) Calcular el monto que cancela un prstamo de $1.000.000 de capital inicial por un plazo de 275 das a un inters del 20% anual. (Resp. $1.152.778)

10.

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11.

Electrodomsticos Kanga desea establecer la tasa nominal que debe aplicar a sus crditos (equivalentes al 60% del precio de venta), de tal modo que el monto de inters que aplica en el plazo de 8 meses represente el 12% del precio de venta. (Resp. 30% anual)

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Calcule la tasa de inters mensual simple equivalente a una tasa de inters del 2% mensual compuesta. (Resp. 2,235 % mensual)

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Ejercicios S2:.

INTERS COMPUESTO: EQUIVALENCIA

1.

En el plan BUENABUELO usted deposita un milln de pesos cada ao a partir del momento de inscripcin, hasta completar cuatro depsitos, cuando recibe un ttulo a nombre de su primer nieto, quien lo puede redimir al cumplirse 60 aos de haber realizado el primer depsito. Si el plan ofrece un rendimiento del 26% anual, calcule el monto que le corresponder a su nieto. (R/. $3076.994028.000) En el problema anterior, calcule el monto final si usted deposita los cuatro millones de pesos de una vez. (R/. $4210.102780.000) Fiduciaria TUTELAR ofrece un fondo que renta el 8% semestral. a. Calcule el monto que retira un ahorrador que invierte $10 millones por siete aos. b. Otro inversionista coloca $10 millones en el fondo, retirando $5 millones a los cinco aos y el resto tres aos ms tarde. Calcule el valor de este ltimo retiro. Calcular el valor de la partida de un fondo de pensiones para una oficina gubernamental que estima necesitar 100, 150 y 200 millones de pesos para dentro de 10, 11 y 13 aos respectivamente, si se espera un rendimiento del 24% anual. Asumiendo el precio de la UVR hoy en $112, y una inflacin promedia del 10% anual, calcule el precio de la UVR dentro de 15 aos. (R/. $467,85) Un viejo amigo de su abuelo quiere saldar una deuda de $1.000 que contrajo con l hace 50 aos y que nunca cancel. Calcule el monto actual que Ud. le sugiere pagar, considerando una tasa del 25% anual.R/. $70064.923)

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Calcule el monto de la deuda que tiene un estudiante al cabo de su postgrado, cuando ha recibido un prstamo de 40 millones de pesos de parte del ICTEST para estudiar en el extranjero por tres aos, si el inters pactado es del 12% anual. (R/. $56197.120)

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8.

Un comerciante aprovecha los excedentes de su negocio para realizar depsitos en su cuenta de ahorros, que renta el 1% mensual, as: $5550.000 al abrir su cuenta, $1230.000 a los seis meses y $6000.000 cuatro meses despus. Calcule el monto del inters ganado y el capital reunido al ao de haber abierto la cuenta. Cuntos pesos debe pagar dentro de un ao para cancelar completamente una deuda contrada por 50.000 dlares, si la tasa de cambio hoy es de $2.000/US$, y se espera que suba al 25% anual? (R/. $125000.000) Usted realiza hoy un depsito de cien millones de pesos en un fondo que opera en dlares y que renta el 6% anual en esta moneda. Cunto dinero en pesos retirar dentro de cinco aos, si espera una tasa de incremento de la tasa de cambio del 27% anual? Escoja la mejor alternativa para reclamar el premio QIR-KKO, que acaba de ganar, contando con que Usted puede rentar el dinero al 20% anual: A) Recibir cinco millones de pesos hoy, B) Recibir $10 millones dentro de tres aos, C) Recibir $20 millones dentro de seis aos, D) Recibir $5 millones dentro de tres aos y $10 millones dentro de seis aos. Con una tasa de inflacin promedia del 18% anual, para los ltimos 40 aos en Colombia, establezca a cunto dinero de hace 40 aos equivalen $1 milln de hoy. (R/. $1.332,66) Una pliza de capitalizacin de $10 millones hoy promete devolver $100 millones dentro de 10 aos. Calcule el depsito equivalente en un fondo mutuo que renta el 20% anual, y escoja la mejor opcin para un ahorrador. Un ahorrador invierte $5 millones cada ao por espacio de tres aos en un fondo que renta el 21% anual. Calcule el capital que tendr dentro de 10 aos en el fondo si no retira entretanto ningn dinero. Un usuario de prstamos de vivienda ha tomado una deuda el 2 de enero de 1999, con un ao de gracia. La liquidacin de la deuda segn el sistema UPAC el 2 de enero de 2000 arroja un valor de $90.000.000. Calcule el valor de reliquidacin segn el sistema UVR, si se tiene que la

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correccin monetaria por UAC es del 28% anual, mientras que para el UVR es del 10% anual. 16. Usted va a ausentarse del pas durante cinco aos, pero desea depositar en una cuenta de ahorros una cantidad de dinero tal que a su regreso cuente con $100 millones. Calcule el monto que debe depositar si espera que la cuenta le rente un 11% anual. Calcule en cunto puede venderse un bono de $3 millones pagaderos en el momento de su redencin, exactamente dentro de dos aos, si el inters que da el mercado de bonos es del 12% anual. Calcule el valor de cada una de las tres cuotas anuales que depositadas en un fondo que renta el 15% anual permiten retirar $10 millones dentro de 10 aos. Un automvil se compra hoy en $20 millones; se espera que dentro de cinco aos se pueda vender en $20 millones. Calcular el consumo de capital en $ de hoy, si el valor del dinero se tasa en el 20% anual.Usted debe pagar un prstamo de $10 millones en cuatro cuotas semestrales de $3.500.000. Calcule el depsito equivalente que debe hacer en un fondo que le reconoce el 1% mensual para pagar dicho prstamo. Calcule el sobrecosto del prstamo den $ de hoy. Determine el monto de la alcuota anual que paga un prstamo de $50 millones al 2% mensual por 6 aos. Calcule el monto del principal que tasa una alcuota mensual del $100.000 por 10 aos a un inters del 1,5% mensual. Usted decide manejar su propio fondo que llama MINIETO, depositando cada ao la suma de $1 milln en una cuenta de ahorros que rinde el 10% anual. Calcule el monto que puede retirar su nieto dentro de 40 aos. Calcular el valor de la alcuota que paga un prstamo de $100 millones por 60 meses, suscrito al 2% mensual los primeros tres aos y al 3% mensual el resto.

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Calcule el valor de la anualidad que paga un prstamo de $100 millones a cinco aos, si el inters para el primer ao es del 10% y va incrementndose en 5% cada ao. Para el problema anterior, calcule la tasa nica equivalente a las cinco tasas que se cobran en l. Calcule el valor de cada pago mensual de un prstamo de $50 millones por cinco aos, al 2% mensual, si la alcuota de los ltimos dos aos se debe calcular como el doble de la alcuota correspondiente a los tres primeros aos Calcule el valor de la alcuota mensual que paga un prstamo en 12 meses, con un inters del 2% mensual, si ella se debe pagar anticipadamente cada perodo. Calcule el monto del prstamo al que se le aplica una tasa del 1,5% mensual, si el pago anticipado por cuota fija se tasa en $100,000 por mes, durante 24 meses. La financiera BLANDO & COBRA le otorga un prstamo a su empresa por $1.000 millones para cancelar a 10 aos con un plazo muerto de un ao y un inters del 2% mensual. a. Calcule el valor de la alcuota mensual correspondiente. b. Calcule el valor del pago nico equivalente al final de los 10 aos. Resuelva el problema anterior si el plazo muerto se cambia por un perodo de gracia. Explique por qu, para la misma tasa de inters, es ms conveniente tomar un prstamo con plazo muerto que con perodo de gracia. Calcule la alcuota mensual que paga un bono a perpetuidad de $1 milln, con un inters del 2%. Calcule el precio de un bono a perpetuidad que paga cupones de $100.000 trimestrales, si la tasa de inters en el mercado es del 4% trimestral. El Fondo de Pensiones LALOCURA ofrece tres planes bsicos que debe escoger la persona en el momento de ingresar al fondo, todos bajo los mismos aportes:

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A: Cuota nica de jubilacin de $200.000.000 al cumplimiento de los requisitos. B: Mesada de $3.000.000 durante 10 aos. C: Mensualidad fija de $2.200.000 hasta su muerte (suponga perpetuidad). Escoja el plan ms conveniente para Usted, si espera que la tasa de inters cuando se jubile sea del 1% mensual. 36. Usted suscribe una inversin de capital por cinco aos que le entrega un alcuota anual a un inters del 14% anual; los pagos recibidos los reinvierte en una cuenta de ahorros al 6% anual hasta el final de los cinco aos. a. Calcule el porcentaje de incremento de la cifra inicialmente invertida. b. Calcule la tasa de inters equivalente para la inversin. Diga cul de los planes de inversin es ms atractivo y por qu: A: Inversin al 16% anual por cuatro aos. B: Mitad de la inversin al 20% anual por cuatro aos y mitad de la inversin al 12% anual por cuatro aos. Calcule el nmero de perodos para el cual el valor presente equivalente se hace igual a 10 veces la alcuota, a un inters del 2%. Calcule el monto final equivalente del siguiente plan de inversiones: 10 depsitos mensuales de $1 milln cada uno, un ao sin movimientos y luego 10 depsitos mensuales de $2 millones cada uno, si el fondo gana 2,5% mensual. Calcule el valor presente de un prstamo a cinco aos que establece un gradiente aritmtico de $20.000 mensuales sobre su primera cuota de $120.000, con una tasa de inters del 2% mensual. Calcule los respectivos montos de las cuotas anuales nmeros 1, 5 y 10 de amortizacin de un prstamo por $100 millones pagaderos a 10 aos, a una tasa de inters del 10% anual y gradiente de $500.000 por ao. Calcule le valor del gradiente aritmtico para un prstamo de $80 millones a 10 aos y con una tasa de inters del 1,5% mensual, si se requiere que la primera cuota sea de $400.000. Calcule el monto de la ltima cuota.

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Resuelva el problema anterior, considerando un perodo de gracia de un ao. Resuelva el problema 42, considerando un plazo muerto de 18 meses. Calcule el valor presente de un gradiente geomtrico del 5% por 20 trimestres, sobre una primera cuota de $200.000, con una tasa de inters del 4% trimestral. Calcule el valor de la primera cuota de un prstamo de $25 millones por ocho aos, al 2,1% mensual, de tal manera que se mantenga un gradiente geomtrico del 1% mensual. Muestre porqu en Colombia, para pagos a ms de 20 aos se puede considerar tcnicamente el perodo como infinito. Entre los planes de pago por alcuota, gradiente aritmtico y gradiente geomtrico: a. Explicar cul paga mayor cuota que los dems al comienzo del perodo de amortizacin. b. Explicar cul paga mayor cuota que los dems al final del perodo de amortizacin. Explique si el aumento del precio de la UVR corresponde a un gradiente aritmtico o a un gradiente geomtrico. Explique si la inflacin sigue un patrn de gradiente aritmtico o de gradiente geomtrico.

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Ejercicios S3:

INTERS COMPUESTO: MANEJO DE TASAS

1.

Calcule la tasa de inters efectiva (efectiva anual) de cada una de las siguientes tasas nominales: a. b. c. d. e. 36% anual semestre vencido 30% anual mes vencido 30% anual 25% a.b.v. 20% a.t.v. f. g. h. i. j. 15% (235 das).v. 7,5% a.s.v. 24% a.t.v. 12% a.m.v. 18% a.d.v.

2.

Calcule la tasa efectiva de inters de cada una de las siguientes tasas peridicas: a. b. c. d. e. 5% b.v. 7,5% t.v. 15% s.v. 2% m 60% bianual f. g. h. i. j. 4% b.a. 8% t.a. 2% m.a. 0,01 d.a. 10% s.a.

3.

Calcule la tasa efectiva de inters de cada una de las siguientes tasas nominales: a. b. c. d. e. 30% anual trimestre anticipado 28% anual anticipado 36% anual mes anticipado 18% a.d.a. 24% a.m.a. f. 30% a.s.a. g. 24% a.t.a. h. 24% a.b.a. i. 25% anual bienio antic. j. 12% a.b.a.

4. Encuentre la tasa nominal semestre vencido de: a. 25% anual b. 30% anual trimestre vencido c. 36% anual mes vencido

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Guillermo Buen

gbv-icesi-matematicafinanciera

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