Unidad 2. El punto y la recta en el espacioActividad 3. CosenosAngélica María González BlancarteAL11509712

Resuelve los siguientes problemas.

1. El segmento de una recta tiene puntos extremos A (–1, 8, 3) y B (9, –7, –2). Halla sus cosenos directores si:

a) La dirección es de AB

d=√(−1−9 )2+(8−(−7 ) )2+(3−(−2 ) )2

d=√100+225+25=√350

cos∝=−1−9√350

= −10√350

cos β=8−(−7 )√350

= 15√350

cos∝=3−(−2 )√350

= 5

√350

b) La dirección es de BA

d=√(9−(−1))2+(−7−8 )2+(−2−3 )2

d=√100+225+25=√350

cos∝=9−(−1)√350

= 10√350

cos β=−7−8√350

= −15√350

cos∝=−2−3√350

= −5√350

2. Halla los números directores de un segmento de recta que va de P1 (1, –2, 3) a P2 (0, 5, –1).

a=x2−x1 b= y2− y1 c=z2−z1

a=0−1 b=5−(−2) c=−1−3

a=−1 b=7 c=−4

Unidad 2. El punto y la recta en el espacioActividad 3. CosenosAngélica María González BlancarteAL11509712

∴los numeros directores son [−1 ,7 ,−4 ]

3. Sean [2, –3, 1] los números directores de una recta. Encuentra sus cosenos directores.

cos∝=± a

√a2+b2+c2=± 2

√22+(−3 )2+12= 2

√4+9+1=± 2

√14

cos β=± b

√a2+b2+c2=± −3

√14=∓ 3

√14

cos γ=± c

√a2+b2+c2=± 1

√14

4. Los cosenos directores de una recta son –1/2 y 1/3. Responde ¿cuál es el tercer coseno director?

 La única condición para los cosenos directores es que estén comprendidos entre -1 y 1 y que

el módulo del vector formado por los tres sea 1, entonces:

cos2∝+cos2β+cos2 γ=1

−12

2

+ 13

2

+cos2 γ=1

14+ 19+cos2γ=1

cos2 γ=1−14−19=

(36−9−4−9 )36

=2336

cosγ=±√ 23365. El segmento dirigido AB tiene cosenos directores 6/7, –2/7 y 3/7. La distancia de A a B es 7 y el punto B tiene coordenadas (8, –2, 12). Calcula las coordenadas de A.

Si trasladamos el origen del sistema de coordenadas al punto B, obtenemos las coordenadas del punto A en este nuevo sistema; llamémoslas A₁, A₂, A₃:

Unidad 2. El punto y la recta en el espacioActividad 3. CosenosAngélica María González BlancarteAL11509712

A₁ = 7*(6/7) = 6

A₂ = 7*(-2/7) = -2

A₃ = 7*(3/7) = 3

Que sumado a A nos dará el punto B

(x,y,z) + (6, -2, 3) = (8, -2, 12)

(x,y,z) = (8, -2, 12) - (6, -2, 3) = (2, 0, 9)

Luego el punto A es (2,0,9)