gabriel soler lópez 21 de septiembre de...

Problemas entregables de Matemáticas

Gabriel Soler López

21 de septiembre de 2015

Índice general

I Ejercicios de prácticas 5

Ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ejercicio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Ejercicio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Ejercicio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Ejercicio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Ejercicio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Ejercicio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Ejercicio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Ejercicio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Ejercicio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Ejercicio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Ejercicio 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Ejercicio 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149Ejercicio 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Ejercicio 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Ejercicio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182Ejercicio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193Ejercicio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204Ejercicio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215Ejercicio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Ejercicio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237Ejercicio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248Ejercicio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259Ejercicio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270Ejercicio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281Ejercicio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Ejercicio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303Ejercicio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314Ejercicio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325Ejercicio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336Ejercicio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347Ejercicio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358Ejercicio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369Ejercicio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380Ejercicio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391Ejercicio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402Ejercicio 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413Ejercicio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424Ejercicio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435Ejercicio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446Ejercicio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

2

ÍNDICE GENERAL 3

Ejercicio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468Ejercicio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479Ejercicio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490Ejercicio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501Ejercicio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512Ejercicio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523Ejercicio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534Ejercicio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545Ejercicio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556Ejercicio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567Ejercicio 53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578Ejercicio 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589Ejercicio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600Ejercicio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611Ejercicio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622Ejercicio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633Ejercicio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644Ejercicio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655Ejercicio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666Ejercicio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677Ejercicio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688Ejercicio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699Ejercicio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710Ejercicio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721Ejercicio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732Ejercicio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743Ejercicio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754Ejercicio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765Ejercicio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776Ejercicio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787Ejercicio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798Ejercicio 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809Ejercicio 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820Ejercicio 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831Ejercicio 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842Ejercicio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853Ejercicio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864Ejercicio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875Ejercicio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886Ejercicio 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897Ejercicio 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908Ejercicio 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919Ejercicio 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 930Ejercicio 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941Ejercicio 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952Ejercicio 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963Ejercicio 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974Ejercicio 90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985Ejercicio 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996Ejercicio 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007Ejercicio 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018Ejercicio 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029Ejercicio 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040

ÍNDICE GENERAL 4

Ejercicio 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1051Ejercicio 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062Ejercicio 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073Ejercicio 99 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084Ejercicio 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095Ejercicio 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106Ejercicio 102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117Ejercicio 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1128Ejercicio 104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139Ejercicio 105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1150Ejercicio 106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161Ejercicio 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172Ejercicio 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183Ejercicio 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194Ejercicio 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205Ejercicio 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216Ejercicio 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227Ejercicio 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238Ejercicio 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249Ejercicio 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1260Ejercicio 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1271Ejercicio 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282Ejercicio 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1293Ejercicio 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304Ejercicio 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315

Parte I

Ejercicios de prácticas

5

Ejercicio número 1 de prácticas. Curso 2015-16

Ejercicio número 1 de prácticas. Curso 2015-16Nombre y apellidos:E-mail:Titulación:Firma:

Observaciones

1 . El ejercicio se debe entregar el día del examen parcial.

2 . Se tiene que entregar por un lado las soluciones del test (primera página del ejercicio) y por otrolado el enunciado del ejercicio grapado con las soluciones que justi�can las soluciones del test.

3 . No te equivoques de tus ejercicios asignados, en caso contrario no se te podrá puntuar el trabajo

Soluciones del test

Pregunta Opción elegida

1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 662 1 2 3 4 5 663 1 2 3 4 5 664 1 2 3 4 5 665 1 2 3 4 5 666 1 2 3 4 5 667 1 2 3 4 5 668 1 2 3 4 5 669 1 2 3 4 5 670 1 2 3 4 5 671 1 2 3 4 5 672 1 2 3 4 5 673 1 2 3 4 5 674 1 2 3 4 5 675 1 2 3 4 5 676 1 2 3 4 5 677 1 2 3 4 5 678 1 2 3 4 5 679 1 2 3 4 5 680 1 2 3 4 5 681 1 2 3 4 5 682 1 2 3 4 5 683 1 2 3 4 5 684 1 2 3 4 5 685 1 2 3 4 5 686 1 2 3 4 5 687 1 2 3 4 5 688 1 2 3 4 5 689 1 2 3 4 5 690 1 2 3 4 5 6

6 Problemas para entregar. Matemáticas.


para evitar que el punto se ponga en medio

Introducción a wxMaxima

1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10 − 19x9 + 156x8 − 730x7 + 2161x6 − 4239x5 + 5594x4 −4916x3 + 2760x2 − 896x+ 128Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 5)2 (x− 3)3 x3 (x+ 1)2

2) (x− 10)2 (x− 5)5 (x− 4)3

3) (x− 6)2 (x− 3)3 (x− 2)2 (x− 1)3

4) (x− 8)3 (x− 7)2 (x− 3)3 (x− 2)2

5) (x− 4)2 (x− 2)3 (x− 1)5

6) (x− 8)3 (x− 5)2 (x− 4)5

2 . Calcula la suma de los números impares comprendidos entre 1 y 17

Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) 76

2) 87

3) 81

4) 82

5) 79

6) 84

3 .

Suma los múltiplos de 6 comprendidos entre 1 y 43


1) 173

2) 168

3) 175

4) 167

5) 170

6) 165

4 .

Calcula, mediante un bucle for, la suma siguiente:∑21

n=11n5.


1) 1.436926587246225

2) 0.53692658724622

3) 1.736926587246225

4) 1.036926587246225

5) 1.236926587246225

6) 0.73692658724622

5 .

Calcula el número de números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extremos)


1) 18 2) 7 3) 20 4) 12 5) 13 6) 10

6 .

Calcula la suma de los números primos comprendidos entre 176 y 246 (incluyendo estos extre-mos)


1) 2748

2) 2737

3) 2750

4) 2741

5) 2746

6) 2743


Álgebra lineal



Considera en los siguientes ejercicios las bases

βP = {[0, 0, 0, 2] , [−1, 4, 1, 0] , [0, 1, 1, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[2, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 5]},

los vectores u = [1, 1, 4, 2]βR , v = [1, 1, 2,−1]βP , w = [0, 1,−1, 4]βQ y la aplicación lineal

f : R4 → R4 de�nida por: MβP βP (f) =

0 0 0 06 −4 −1 0

−22 17 5 −1−16 15 4 −1

.7 . Calcula la matriz MβP βQ


1)

0 12

12 0

−2 0 0 08 1 0 16 1 1 1

2)

12 0 0

12

−2 2 0 09 −8 −1 17 −6 −1 2

3)

12 0 −

12

12

0 0 2 01 −1 −9 12 −1 −7 1

4)

12 −

12 −

12

12

0 2 0 01 −9 −1 01 −7 −2 1

5)

12 −

12 −

12 0

0 0 0 20 −1 −1 −81 −2 −1 −6

6)

0 −12 −

12 0

2 0 0 0−8 −1 0 −1−6 −1 −1 −1

8 . Calcula la matriz MβQβR


1)

0 −12 −

12

12

5 1 −2 20 −1 2 −2−5 −1 2 −1

2)

12 −

12 0 −

12

2 −2 −5 6−2 2 0 −1−1 2 5 −6

3)

−12 0 −

12 0

6 −5 −2 0−1 0 2 0−6 5 1 1

4)

0 −12

12 −

12

0 −2 −6 10 2 1 −11 1 6 −1

5)

12 0 −

12 0

2 0 1 5−2 0 −1 0−2 1 −1 −5

6)

−12 0

12 0

−2 0 −1 −52 0 1 02 −1 1 5

9 . Calcula la matriz MβQβR(f)


1)

43 −

23 −1

13

0 1 0 043

43 2 −

23

0 0 0 0

2)

23 −

43 −

13 −

23

1 0 0 083 −

43

23

43

0 0 0 0

3)

−23 −

13 −

23 −

23

0 0 −1 143

23 −

83

43

0 0 0 0

4)

−23 −

23

23 −1

1 −1 0 043 −

83 −

43 2

0 0 0 0

5)

−1 23

23 −

43

0 0 −1 02 −43 −

43 −

43

0 0 0 0

6)

−43

23 1 −

13

0 −1 0 0−43 −

43 −2

23

0 0 0 0

10 . Calcula las coordenadas del vector u en la base βP .




1)(5 3 −11 −14

)βP

2)(2 5 −14 −3

)βP

3)(11 −3 5 2

)βP

4)(−3 2 −3 11

)βP

5)(14 11 2 −3

)βP

6)(−5 −3 11 14

)βP

11 . Calcula las coordenadas del vector v en la base βR.


1)(−85

25 6 1

)βR

2)(1 6 2 25

)βR

3)(−2 −85 1 −5

)βR

4)(−6 −5 −85 −2

)βR

5)(−25 −2 −5 −6

)βR

6)(−1 −6 −2 −25

)βR

12 . Calcula las coordenadas del vector w en la base βP .


1)(0 0 5 4

)βP

2)(0 0 4 −1

)βP

3)(−5 −1 0 0

)βP

4)(0 0 −1 −5

)βP

5)(−4 −5 0 0

)βP

6)(0 0 −5 −4

)βP

A partir de ahora se trata de hacer la diagonalización de la matrizA =

42 10 −5 0

−144 −34 20 0−8 −2 7 00 0 0 2

.13 . Calcula el polinomio característico pA(x).


1) (x− 6) (x− 5) (x− 1)2

2) (x− 9) (x− 8) (x− 4)23) (x− 4) (x− 3) (x+ 1)2

4) (x− 11) (x− 10) (x− 6)25) (x− 2) (x− 1) (x+ 3)2

6) (x− 7) (x− 6) (x− 2)2

La matriz A tiene tres valores propios. Uno de ellos que llamaremos λ tiene multiplicidad 2 yse puede ver que el espacio invariante asociado tiene dimensión 2, luego A es diagonalizablepor ser los demás valores propios simples.

14 . Calcula una base de Vλ.


1) {[−1, 4, 0, 8] , [1,−4, 0, 4]}2) {[1,−3, 1, 16] , [2,−6, 2,−4]}3) {[1,−3, 1,−20] , [5,−15, 5, 8]}

4) {[−4, 12,−4,−28] , [7,−21, 7,−32]}5) {[−11, 33,−11, 4] , [−1, 3,−1,−88]}6) {[−23, 69,−23,−80] , [−10, 30,−10, 92]}

15 . De las siguientes elige cuál es la matriz diagonal D.


1)

1 0 0 00 1 0 00 0 5 00 0 0 6

2)4 0 0 00 4 0 00 0 8 00 0 0 9

3)2 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 7



4)

6 0 0 00 6 0 00 0 10 00 0 0 11

5)−3 0 0 00 −3 0 00 0 1 00 0 0 2

6)8 0 0 00 8 0 00 0 12 00 0 0 13

16 . De las siguientes elige cuál es una matriz de paso P para la que P−1AP = D.


1)

−1 0 0 −14 −1 0 41 −2 0 00 0 −4 4

2)

0 −1 0 −10 4 −1 40 0 −2 14 0 0 0

3)

−1 1 1 −13 −4 −4 4−1 −1 0 00 0 −4 0

4)

−1 1 1 04 −4 −3 −10 0 1 −20 −4 0 0

5)

0 1 1 0−1 −3 −4 0−2 1 0 00 0 0 −4

6)

0 1 0 10 −4 1 −40 0 2 −1−4 0 0 0

Comprueba que el polinomio característico de la matrizB =

44 10 −5 0

−144 −32 20 0−8 −2 9 00 0 0 4

es pB(x) =x4 − 25x3 + 224x2 − 848x + 1152 = (x− 9) (x− 8) (x− 4)2, si éste polinomio lo aplicamosa la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 25B3 + 224B2 −848B+1152I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería la matriz nula.

17 . Calcula la matriz K = (B − 4I4)2.


1)

0 −25 −200 2500 100 736 −9200 25 72 −900 0 0 0

2)

250 −200 0 −25−920 736 0 100−90 72 0 250 0 0 0

3)

200 50 −25 0−736 −184 100 0−72 −18 25 00 0 0 0

4)

50 −250 25 −25

−184 920 −100 100−18 90 −25 250 0 0 0

5)

−25 25 −50 −200100 −100 184 73625 −25 18 720 0 0 0

6)

−200 −50 25 0736 184 −100 072 18 −25 00 0 0 0

18 . Calcula la matriz L = B − 8I4.


1)

0 −5 −36 460 20 144 −1840 1 8 −10−4 0 0 0

2)

46 −36 0 −5

−184 144 0 20−10 8 0 10 0 4 −4

3)

−5 0 −46 1020 0 184 −401 0 10 −2−4 4 0 0

4)

36 10 −5 0

−144 −40 20 0−8 −2 1 00 0 0 −4

5)

−5 5 −10 −3620 −20 40 1441 −1 2 80 4 0 0

6)

−36 −10 5 0144 40 −20 08 2 −1 00 0 0 4

19 . Calcula la matriz M = B − 9I4.




1)

0 −5 −35 450 20 144 −1850 0 8 −10−5 0 0 0

2)

35 10 −5 0

−144 −41 20 0−8 −2 0 00 0 0 −5

3)

−5 0 −45 1020 0 185 −410 0 10 −2−5 5 0 0

4)

10 −45 5 −5−41 185 −20 20−2 10 0 00 0 5 0

5)

−5 5 −10 −3520 −20 41 1440 0 2 80 5 0 0

6)

−35 −10 5 0144 41 −20 08 2 0 00 0 0 5

20 . Calcula la matriz KLM .


1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0


Aplicaciones del cálculo integral

Cálculo de la longitud de una curva.

Consideremos la curva de�nida por la función derivable f : [a, b] → R. Entonces la longitud dedicha curva es:

L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx

Cálculo del área de una super�cie plana.

Recordemos que por de�nición de la integral de Riemann, si f : [a, b] → R con f(x) ≥ 0 paratodo x ∈ [a, b] es integrable, entonces el área delimitada por la grá�ca de f(x), el eje Ox ylas rectas x = a y x = b es

∫ ba f(x)dx. Como consecuencia de esto, si f, g : [a, b] → R son

integrables con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces el área delimitada por las grá�cas def(x) y g(x), la recta x = a y la recta x = b es:

A =

∫ ba(f(x)− g(x))dx

Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox. Consideremos elsólido tridimensional que se obtiene al girar la grá�ca de la función f : [a, b] → R derivable ycon derivada continua sobre el eje Ox. Entonces el área de la super�cie exterior de dicho sólidoes:

A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx

Cálculo del área de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx

Suponemos que dicha grá�ca no corta al eje Oy



Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Ox.

Consideremos el sólido tridimensional que se obtiene al girar la grá�ca de la función f : [a, b] →R integrable sobre el eje Ox. Entonces el volumen de dicho sólido es

V = π

∫ baf(x)2dx

Cálculo del volumen de un sólido de revolución al girar sobre el eje Oy.

V = 2π

∫ baxf(x)dx

Conviene tener en cuenta que el comando integrate sólo nos resuelve la integral cuandoel programa es capaz de calcular una primitiva de la función involucrada. Por lo tanto sehará necesario recurrir a la integración numérica en muchos casos. Éstos métodos numéricosestán integrados en wxMaxima, por ejemplo, en el comando quad_qags. Explicamos su uso,la función quad_qags devuelve una lista de cuatro elementos: la aproximación de la integral,el error absoluto estimado de la aproximación, el número de evaluaciones del integrando y uncódigo de control de errores que toma valores entr 0 y 6. Cuando dicho código toma el valor 0 esque el programa no ha encontrado ningún problema a la hora de realizar la integral. Tambiénpuede devolver 1 si se utilizaron demasiados intervalos, 2 si se encontraron muchos errores deredondeo, 3 si el integrando tiene un comportamiento extraño frente a la integración, 4 si hayfallo de convergencia, 5 si la integral es divergente o de convergencia lenta, 6 si los argumentosde entrada no son válidos.

Veamos un ejemplo:

quad_qags(4*sqrt(1+di�(f(x),x)�2),x,0,a) =[13.36489322055496, 5.52971002321101× 10−10, 315, 0

]Mientras que el uso de integrate devolvería:

integrate(4*sqrt(1+di�(f(x),x)�2),x,0,1) = 4∫ 10

√9x2

1− x2+ 1 dx

21 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x2 − 6x + 5 yg(x) = x3 − 12x2 + 41x− 30. Haz un dibujo del área que estás calculando.


1) 14832) 1543

3) 13934) 1603

5) 13336) 1663

22 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x4−19x3+125x2−317x+ 210 y g(x) = x3 − 12x2 + 41x− 30. Haz un dibujo del área que estás calculando.


Suponemos que dicha grá�ca no corta al eje Ox



1) 55732) 5663

3) 55134) 5723

5) 54536) 5603

23 . Calcula el área encerrada por la elipse de semiejes 1 y 6.


1) 19.84955592153876

2) 16.84955592153876

3) 18.84955592153876

4) 22.84955592153876

5) 13.84955592153875

6) 12.84955592153875

24 . Calcula la longitud de la elipse de semiejes 1 y 6.


1) 24.90007959002977

2) 26.90007959002977

3) 27.90007959002977

4) 20.90007959002977

5) 29.90007959002977

6) 18.90007959002977

25 . Calcula el volumen que se obtiene al girar al elipse de semiejes 1 y 6 alrededor del eje Ox.


1) 47.0π

2) 48.0π

3) 45.0π

4) 52.0π

5) 53.0π

6) 42.0π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 2 y centro (0, 6) alrededor del ejeOy.


1) 10.66666666666666π

2) 8.666666666666666π

3) 13.66666666666666π

4) 14.66666666666666π

5) 15.66666666666666π

6) 4.666666666666666π

27 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 2 y centro (0, 10) alrededor deleje Ox (volumen de una rosquilla).


1) 788.5683520871487π

2) 787.5683520871487π

3) 792.5683520871487π

4) 785.5683520871487π

5) 784.5683520871487π

6) 789.5683520871487π

28 . Calcula la super�cie del sólido de revolución que se obtiene al girar el círculo de radio 2 ycentro (0, 11) alrededor del eje Ox (super�cie de la rosquilla).


Recuerdo que la ecuación de esta elipse es x2

a2+ y

2

b2= 1.



1) 868.5251872958034π

2) 866.5251872958034π

3) 871.5251872958034π

4) 872.5251872958034π

5) 863.5251872958034π

6) 862.5251872958034π


Métodos numéricos para el cálculo de integrales

La regla del trapecio Dada una función f : [a, b] → R integrable, la regla del trapecioconsiste en aproximar la integral de�nida

∫ ba f(x)dx por

∫ ba P1(x)dx, donde P1(x) es el único

polinomio de grado 1 (recta) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Así que:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))

y el error que cometemos en dicha aproximación, si la función f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)3f ′′(c),

donde c es un punto del intervalo (a, b).El error anterior puede reducirse si utilizamos la regla del trapecio compuesta, ésta consiste endividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud h = b−an y aplicar la regla del trapeciosimple a cada uno de los intervalos [a+ jh, a+(j+1)h] con j ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. Este métodoproporciona la aproximación:∫ b

af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),

para esta aproximación el error que se comete, si f es de clase C2, es:

E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),

siendo c un punto del intervalo (a, b).La regla de Simpson. La idea de esta regla es aproximar la función f : [a, b] → R a integrarpor el polinomio de grado 2 (único) que pasa por los puntos (a, f(a)), (a+b2 , f(

a+b2 )) y (b, f(b)).

De esta manera, se obtiene la aproximación:∫ baf(x)dx ≈

∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).

Además, si la función es de clase C4, existe c ∈ (a, b) tal que, el error que se comete en laaproximación es:

E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).

Al igual que en la regla del trapecio, si subdividimos el intervalo [a, b] en n partes (con n númeropar) y aplicamos a cada una de ellas la regla de Simpson, se obtiene una mejor aproximaciónde la integral:

∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)

,con un error, si f es de clase C4, dado por:

E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),

estando c en (a, b).



29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 20 senx+ cosx+ e

xdx usando 10 particiones en laregla del trapecio compuesta.


1) 8.628026378114109

2) 8.928026378114108

3) 8.428026378114108

4) 9.128026378114109

5) 8.728026378114108

6) 9.328026378114108

30 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 20 senx + cosx + e

xdx usando 10 particiones laregla de Simpson compuesta.


1) 8.6145776540705

2) 8.914577654070498

3) 8.414577654070498

4) 9.1145776540705

5) 8.2145776540705

6) 8.7145776540705


Resolución de ecuaciones por el método de bipartición

Dada una ecuación f(x) = 0 con f continua en [a, b] y tal que f(a)f(b) < 0 y con una raízúnica r en [a, b], el método de bipartición consiste en realizar los siguientes pasos:

1) Calcular el punto medio entre a y b, es decir m0 = a+b2 ,

2) Si f(m) = 0 entonces r = m0,

3) En caso contrario tomamos el intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b] entre [a,m0] o [m0, b]. Elegimosaquél en el que la función toma en los extremos puntos opuestos, es decir, r ∈ [a1, b1].

4) Volvemos al primer paso y repetimos la operación hasta que r = mn (puede que no seconsiga).

Si no conseguimos la raíz en un número �nito de pasos, al menos tendremos una sucesión deintervalos encajados en la que se encuentra la raíz:

r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 9) (x− 5) (x− 4) (x− 3) (x− 2) (x− 1) x tiene claramente como raí-ces al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 9}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 0.5 y b = 7.0.


1) 0

2) 3

3) 2

4) 4

5) 5

6) 9


El método de Newton-Raphson



Suponemos aquí que la función f es derivable. La idea de este método es utilizar las tangentesa la curva y = f(x) como aproximación de la curva.

Se trata en este método de iterar la función g(x) = x− f(x)f ′(x) . Es decir, construimos una sucesión(xn)n que satisfaga xn+1 = g(xn), sucesión que bajo ciertas hipótesis converge a una raíz dela ecuación f(x) = 0. Fijado un error E > 0 consideraremos que el método ha encontrado lasolución cuando encontremos el primer xn para el que |f(xn)| < E.

32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cosx sen (4x) + senx cos (4x) tomando como punto inicial x0 = 0.47123889803846. Fijamosel error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.6383185332384

2) 0.6083185332384

3) 0.5983185332384

4) 0.6683185332384

5) 0.6283185332384

6) 0.6883185332384




Observaciones




Soluciones del test


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 662 1 2 3 4 5 663 1 2 3 4 5 664 1 2 3 4 5 665 1 2 3 4 5 666 1 2 3 4 5 667 1 2 3 4 5 668 1 2 3 4 5 669 1 2 3 4 5 670 1 2 3 4 5 671 1 2 3 4 5 672 1 2 3 4 5 673 1 2 3 4 5 674 1 2 3 4 5 675 1 2 3 4 5 676 1 2 3 4 5 677 1 2 3 4 5 678 1 2 3 4 5 679 1 2 3 4 5 680 1 2 3 4 5 681 1 2 3 4 5 682 1 2 3 4 5 683 1 2 3 4 5 684 1 2 3 4 5 685 1 2 3 4 5 686 1 2 3 4 5 687 1 2 3 4 5 688 1 2 3 4 5 689 1 2 3 4 5 690 1 2 3 4 5 6





1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10 − 28x9 +337x8 − 2296x7 +9811x6 − 27484x5 +51123x4 −62352x3 + 47736x2 − 20736x+ 3888Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 6)2 (x− 3)3 (x− 2)2 (x− 1)3

2) (x− 12)2 (x− 8)3 (x− 6)2 (x− 5)3

3) (x− 8)2 (x− 3)3 (x− 2)3 x2

4) (x− 11)2 (x− 9)3 (x− 6)3 (x− 3)2

5) (x− 6)3 (x− 4)2 (x− 1)3 x2

6) (x− 9)3 (x− 7)2 (x− 6)3 (x− 4)2



1) 9404

2) 9415

3) 9402

4) 9410

5) 9409

6) 9413

3 .



1) 257

2) 246

3) 259

4) 251

5) 252

6) 248

4 .


n=11n7.


1) 1.508349276101787

2) 0.40834927610178

3) 1.008349276101787

4) 0.90834927610178

5) 1.208349276101787

6) 0.70834927610178

5 .



1) 18 2) 7 3) 20 4) 12 5) 13 6) 10

6 .



1) 3391

2) 3382

3) 3394

4) 3387

5) 3389

6) 3384


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 2] , [−1, 6, 4, 0] , [0, 1, 1, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[2, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 7]},



0 0 0 04 −6 −1 0

−22 40 7 −1−6 18 3 −1



1)

0 12 0

12

0 0 2 −21 0 −12 131 1 −4 5

2)

12 0 0

12

−2 2 0 013 −12 −1 15 −4 −1 2

3)

12 0 −

12

12

0 0 2 01 −1 −13 12 −1 −5 1

4)

12 −

12 −

12

12

0 2 0 01 −13 −1 01 −5 −2 1

5)

12 −

12 −

12 0

0 0 0 20 −1 −1 −121 −2 −1 −4

6)

0 12

12 0

−2 0 0 012 1 0 14 1 1 1



1)

0 −12 −

12

12

7 1 −2 20 −1 2 −2−7 −1 2 −1

2)

12 −

12 0 −

12

2 −2 −7 8−2 2 0 −1−1 2 7 −8

3)

12 0 −

12 0

2 0 1 7−2 0 −1 0−2 1 −1 −7

4)

0 −12

12 −

12

0 −2 −8 10 2 1 −11 1 8 −1

5)

−12

12 0 −

12

1 −8 0 −2−1 1 0 2−1 8 −1 2

6)

−12 0

12 0

−2 0 −1 −72 0 1 02 −1 1 7



1)

13 −

23 −

43 1

0 0 0 1−23

43 −

43 2

0 0 0 0

2)

1 −43 −

13 −

13

1 0 0 02 −43

23

23

0 0 0 0

3)

−13 −

13 −1 −

13

0 0 −1 123

23 −2

23

0 0 0 0

4)

−13 −1

13 −

23

1 −1 0 023 −2 −

23

43

0 0 0 0

5)

−23

13

13 −

43

0 0 −1 043 −

23 −

23 −

43

0 0 0 0

6)

43 −

13 −

23

13

0 1 0 043

23

43 −

23

0 0 0 0





1)(7 5 −29 −17

)βP

2)(2 7 −17 12

)βP

3)(29 12 7 2

)βP

4)(−5 2 12 29

)βP

5)(17 29 2 −5

)βP

6)(−7 −5 29 17

)βP



1)(−197

27 8 2

)βR

2)(−6 2 27 −

197

)βR

3)(−3 −197 2 −6

)βR

4)(−8 −6 −197 −3

)βR

5)(−27 −3 −6 −8

)βR

6)(2 8 3 27

)βR



1)(−1 6 0 0

)βP

2)(0 0 6 −1

)βP

3)(−7 −1 0 0

)βP

4)(0 0 −1 −7

)βP

5)(−6 −7 0 0

)βP

6)(0 0 7 6

)βP


92 20 −10 0

−504 −112 60 0−288 −68 42 00 0 0 2



1) (x− 11) (x− 7) (x− 1)2

2) (x− 12) (x− 8) (x− 2)23) (x− 9) (x− 5) (x+ 1)2

4) (x− 16) (x− 12) (x− 6)25) (x− 7) (x− 3) (x+ 3)2

6) (x− 18) (x− 14) (x− 8)2




1) {[−1, 5, 2, 8] , [1,−5,−2, 4]}2) {[1,−5,−2, 16] , [2,−10,−4,−4]}3) {[1,−5,−2,−20] , [5,−25,−10, 8]}

4) {[−4, 20, 8,−28] , [7,−35,−14,−32]}5) {[−11, 55, 22, 4] , [−1, 5, 2,−88]}6) {[−1, 6, 3, 8] , [1,−6,−3, 4]}



1)

1 0 0 00 1 0 00 0 7 00 0 0 11

2)4 0 0 00 4 0 00 0 10 00 0 0 14

3)−1 0 0 00 −1 0 00 0 5 00 0 0 9



4)

6 0 0 00 6 0 00 0 12 00 0 0 16

5)−3 0 0 00 −3 0 00 0 3 00 0 0 7

6)2 0 0 00 2 0 00 0 8 00 0 0 12



1)

−1 0 0 −16 −1 0 64 −2 0 30 0 −4 4

2)

−1 0 1 −16 0 −6 53 0 −4 24 −4 0 0

3)

−1 1 1 −15 −6 −6 62 −4 −3 30 0 −4 0

4)

−1 1 1 06 −6 −5 −13 −3 −2 −20 −4 0 0

5)

0 1 1 0−1 −5 −6 0−2 −2 −3 00 0 0 −4

6)

0 −1 0 −10 6 −1 60 3 −2 44 0 0 0

Comprueba que el polinomio característico de la matriz B =

94 20 −10 0

−504 −110 60 0−288 −68 44 00 0 0 4

espB(x) = x

4 − 32x3 + 348x2 − 1504x+ 2240 = (x− 14) (x− 10) (x− 4)2, si éste polinomio loaplicamos a la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) = B4 − 32B3 +348B2 − 1504B + 2240I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería lamatriz nula.



1)

0 −100 −900 11000 600 5184 −63480 400 3168 −38960 0 0 0

2)

1100 −900 0 −100−6348 5184 0 600−3896 3168 0 400

0 0 0 0

3)

900 200 −100 0

−5184 −1164 600 0−3168 −728 400 0

0 0 0 0

4)

200 −1100 100 −100

−1164 6348 −600 600−728 3896 −400 4000 0 0 0

5)

−100 100 −200 −900600 −600 1164 5184400 −400 728 31680 0 0 0

6)

−900 −200 100 05184 1164 −600 03168 728 −400 00 0 0 0



1)

0 −10 −84 1040 60 504 −6240 34 288 −356−6 0 0 0

2)

104 −84 0 −10−624 504 0 60−356 288 0 340 0 6 −6

3)

−10 0 −104 2060 0 624 −12034 0 356 −68−6 6 0 0

4)

20 −104 10 −10

−120 624 −60 60−68 356 −34 340 0 6 0

5)

84 20 −10 0

−504 −120 60 0−288 −68 34 00 0 0 −6

6)

−84 −20 10 0504 120 −60 0288 68 −34 00 0 0 6





1)

0 −10 −80 1000 60 504 −6280 30 288 −356

−10 0 0 0

2)

80 20 −10 0

−504 −124 60 0−288 −68 30 00 0 0 −10

3)

−10 0 −100 2060 0 628 −12430 0 356 −68−10 10 0 0

4)

20 −100 10 −10

−124 628 −60 60−68 356 −30 300 0 10 0

5)

−10 10 −20 −8060 −60 124 50430 −30 68 2880 10 0 0

6)

−80 −20 10 0504 124 −60 0288 68 −30 00 0 0 10



1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0





L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx





A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx


A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx






V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 5569122) 558112

3) 5545124) 562912

5) 5521126) 565312

22 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x4−31x3+323x2−1217x+ 924 y g(x) = x3 − 19x2 + 95x− 77. Haz un dibujo del área que estás calculando.





1) 1369152) 137065

3) 1368154) 136965

5) 1367156) 137265



1) 25.13274122871834

2) 27.13274122871834

3) 22.13274122871834

4) 21.13274122871834

5) 30.13274122871834

6) 19.13274122871834



1) 32.74495660019486

2) 34.74495660019486

3) 35.74495660019486

4) 36.74495660019486

5) 27.74495660019486

6) 38.74495660019486



1) 84.33333333333333π

2) 83.33333333333333π

3) 88.33333333333333π

4) 81.33333333333333π

5) 90.33333333333333π

6) 85.33333333333333π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 2 y centro (0, 6) alrededor del ejeOy.


1) 9.666666666666666π

2) 12.66666666666666π

3) 10.66666666666666π

4) 14.66666666666666π

5) 15.66666666666666π

6) 16.66666666666666π



1) 946.4820225045784π

2) 945.4820225045784π

3) 944.4820225045784π

4) 951.4820225045784π

5) 947.4820225045784π

6) 953.4820225045784π




a2+ y

2

b2= 1.



1) 1262.309363339398π

2) 1265.309363339398π

3) 1260.309363339398π

4) 1267.309363339398π

5) 1268.309363339398π

6) 1263.309363339398π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),




29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 20 cos (4x)+ senx+ e

xdx usando 14 particiones enla regla del trapecio compuesta.


1) 7.954228069237518

2) 8.254228069237516

3) 7.754228069237517

4) 8.454228069237517

5) 7.554228069237517

6) 8.054228069237517

30 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 20 cos (4x) + senx+ e

xdx usando 14 particiones laregla de Simpson compuesta.


1) 7.952712937158166

2) 8.252712937158165

3) 7.752712937158166

4) 8.052712937158165

5) 7.552712937158166

6) 8.652712937158165









r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 11) (x− 5) (x− 4) (x− 3) (x− 2) (x− 1) x tiene claramente comoraíces al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 11}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 0.5 y b = 8.0.


1) 0

2) 5

3) 2

4) 3

5) 4

6) 11







32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cosx sen (6x) + senx cos (6x) tomando como punto inicial x0 = 0.33659921288462. Fijamosel error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.45879895231314

2) 0.42879895231314

3) 0.44879895231314

4) 0.48879895231314

5) 0.49879895231314

6) 0.38879895231314




Observaciones




Soluciones del test


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 662 1 2 3 4 5 663 1 2 3 4 5 664 1 2 3 4 5 665 1 2 3 4 5 666 1 2 3 4 5 667 1 2 3 4 5 668 1 2 3 4 5 669 1 2 3 4 5 670 1 2 3 4 5 671 1 2 3 4 5 672 1 2 3 4 5 673 1 2 3 4 5 674 1 2 3 4 5 675 1 2 3 4 5 676 1 2 3 4 5 677 1 2 3 4 5 678 1 2 3 4 5 679 1 2 3 4 5 680 1 2 3 4 5 681 1 2 3 4 5 682 1 2 3 4 5 683 1 2 3 4 5 684 1 2 3 4 5 685 1 2 3 4 5 686 1 2 3 4 5 687 1 2 3 4 5 688 1 2 3 4 5 689 1 2 3 4 5 690 1 2 3 4 5 6





1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10 − 49x9 + 1069x8 − 13673x7 + 113543x6 − 639659x5 +2475943x4 − 6502315x3 + 11088868x2 − 11089680x+ 4939200Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 11)3 (x− 6)2 (x− 3)2 (x+ 2)3

2) (x− 11)3 (x− 8)4 (x− 7)3

3) (x− 11)3 (x− 8)2 x2 (x+ 1)3

4) (x− 11)5 (x− 6)2 (x− 5)3

5) (x− 12)3 (x− 6)2 (x− 3)3 (x− 2)2

6) (x− 7)3 (x− 5)2 (x− 4)3 (x− 3)2



1) 105904677

2) 105904686

3) 105904675

4) 105904681

5) 105904679

6) 105904684

3 .



1) 364

2) 355

3) 367

4) 360

5) 362

6) 357

4 .


n=11

n12.


1) 1.400246086553307

2) 0.5002460865533

3) 1.600246086553308

4) 0.9002460865533

5) 1.000246086553307

6) 0.7002460865533

5 .



1) 10 2) 4 3) 17 4) 8 5) 13 6) 6

6 .



1) 3262

2) 3253

3) 3265

4) 3257

5) 3260

6) 3258


Álgebra lineal




βP = {[0, 0, 0, 8] , [−1, 5, 7, 0] , [0, 1, 7, 0] , [0, 0,−1, 0]},

βQ = {[8, 0, 0, 0] , [0, 1, 0, 1] , [0, 0,−1, 1] , [0, 1, 0, 0]},βR = {[1, 0, 2, 0] , [0, 1, 0, 0] , [−1, 0, 1, 0] , [0, 0, 0, 6]},



0 0 0 0224 −5 −1 0

−1064 32 12 −1−5880 197 77 −7



1)

0 18 0

18

0 0 8 −81 0 −40 417 1 −224 231

2)

18 0 0

18

−8 8 0 041 −40 −1 1231 −224 −7 8

3)

18 0 −

18

18

0 0 8 01 −1 −41 18 −7 −231 7

4)

18 −

18 −

18

18

0 8 0 01 −41 −1 07 −231 −8 1

5)

0 18

18 0

−8 0 0 040 1 0 1224 7 1 7

6)

0 −18 −

18 0

8 0 0 0−40 −1 0 −1−224 −7 −1 −7



1)

18 0 −

18 0

2 0 1 6−2 0 −1 0−2 1 −1 −6

2)

18 −

18 0 −

18

2 −2 −6 7−2 2 0 −1−1 2 6 −7

3)

−18 0 −

18 0

7 −6 −2 0−1 0 2 0−7 6 1 1

4)

0 −18

18 −

18

0 −2 −7 10 2 1 −11 1 7 −1

5)

−18

18 0 −

18

1 −7 0 −2−1 1 0 2−1 7 −1 2

6)

−18 0

18 0

−2 0 −1 −62 0 1 02 −1 1 6



1)

643 −9 −

283

13

0 7 6 0643 18

563 −

23

0 0 0 0

2)

373 −

643 −

13 −9

7 0 0 61183 −

643

23 18

0 0 0 0

3)

−9 −13 −

373 −9

6 0 −7 718 23 −

1183 18

0 0 0 0

4)

−9 −373 9 −

283

7 −7 −6 618 −1183 −18

563

0 0 0 0

5)

−283 9 9 −

643

6 −6 −7 0563 −18 −18 −

643

0 0 0 0

6)

−643 9

283 −

13

0 −7 −6 0−643 −18 −

563

23

0 0 0 0





1)(752 4 −13 −70

)βP

2)(672

752 −70 −57

)βP

3)(13 −57 752

672

)βP

4)(−4 672 −57 13

)βP

5)(70 13 672 −4

)βP

6)(−752 −4 13 70

)βP



1)(43

283 7 7

)βR

2)(0 7 283

43

)βR

3)(−8 43 7 0

)βR

4)(−7 0 43 −8

)βR

5)(7 7 8 283

)βR

6)(−7 −7 −8 −283

)βR



1)(35 41 0 0

)βP

2)(0 0 41 35

)βP

3)(−6 35 0 0

)βP

4)(0 0 6 41

)βP

5)(−41 −6 0 0

)βP

6)(0 0 −6 −41

)βP


416 96 −12 0

−2015 −467 60 0−2656 −632 92 0

0 0 0 8



1) (x− 20) (x− 13) (x− 8)2

2) (x− 22) (x− 15) (x− 10)23) (x− 17) (x− 10) (x− 5)2

4) (x− 24) (x− 17) (x− 12)25) (x− 15) (x− 8) (x− 3)2

6) (x− 26) (x− 19) (x− 14)2




1) {[−1, 4,−1, 128] , [1,−4, 1, 64]}2) {[1,−4, 1, 256] , [2,−8, 2,−64]}3) {[1,−4, 1,−320] , [5,−20, 5, 128]}

4) {[−4, 16,−4,−448] , [7,−28, 7,−512]}5) {[−1, 5, 6, 128] , [1,−5,−6, 64]}6) {[−23, 92,−23,−1280] , [−10, 40,−10, 1472]}



1)

8 0 0 00 8 0 00 0 13 00 0 0 20

2)10 0 0 00 10 0 00 0 15 00 0 0 22

3)5 0 0 00 5 0 00 0 10 00 0 0 17



4)

12 0 0 00 12 0 00 0 17 00 0 0 24

5)3 0 0 00 3 0 00 0 8 00 0 0 15

6)14 0 0 00 14 0 00 0 19 00 0 0 26



1)

−1 0 0 −15 −1 0 57 −8 0 60 0 −64 64

2)

−1 0 1 −15 0 −5 46 0 −7 −164 −64 0 0

3)

−1 1 1 −14 −5 −5 5−1 −7 −6 60 0 −64 0

4)

−1 1 1 05 −5 −4 −16 −6 1 −80 −64 0 0

5)

0 1 1 0−1 −4 −5 0−8 1 −6 00 0 0 −64

6)

0 −1 0 −10 5 −1 50 6 −8 764 0 0 0

Comprueba que el polinomio característico de la matriz B =

418 96 −12 0

−2015 −465 60 0−2656 −632 94 0

0 0 0 10

es pB(x) = x4 − 57x3 + 1170x2 − 10300x + 33000 = (x− 22) (x− 15) (x− 10)2, si éstepolinomio lo aplicamos a la matriz B ∈ M4×4(R) tendríamos que hacer el cálculo pB(B) =B4 − 57B3 + 1170B2 − 10300B + 33000I4 y el resultado, atendiendo al teorema de Cayley-Hamilton, sería la matriz nula.



1)

0 −144 −4896 60480 720 24355 −300900 1008 33272 −411360 0 0 0

2)

4896 1152 −144 0

−24355 −5735 720 0−33272 −7864 1008 0

0 0 0 0

3)

−144 0 −6048 1152720 0 30090 −57351008 0 41136 −78640 0 0 0

4)

1152 −6048 144 −144−5735 30090 −720 720−7864 41136 −1008 1008

0 0 0 0

5)

−144 144 −1152 −4896720 −720 5735 243551008 −1008 7864 332720 0 0 0

6)

−4896 −1152 144 024355 5735 −720 033272 7864 −1008 0

0 0 0 0



1)

0 −12 −403 4990 60 2015 −24950 79 2656 −3288−5 0 0 0

2)

403 96 −12 0

−2015 −480 60 0−2656 −632 79 0

0 0 0 −5

3)

−12 0 −499 9660 0 2495 −48079 0 3288 −632−5 5 0 0

4)

96 −499 12 −12

−480 2495 −60 60−632 3288 −79 790 0 5 0

5)

−12 12 −96 −40360 −60 480 201579 −79 632 26560 5 0 0

6)

−403 −96 12 02015 480 −60 02656 632 −79 00 0 0 5





1)

0 −12 −396 4920 60 2015 −25020 72 2656 −3288

−12 0 0 0

2)

492 −396 0 −12

−2502 2015 0 60−3288 2656 0 72

0 0 12 −12

3)

396 96 −12 0

−2015 −487 60 0−2656 −632 72 0

0 0 0 −12

4)

96 −492 12 −12

−487 2502 −60 60−632 3288 −72 720 0 12 0

5)

−12 12 −96 −39660 −60 487 201572 −72 632 26560 12 0 0

6)

−396 −96 12 02015 487 −60 02656 632 −72 00 0 0 12



1)

0 0 0 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

2)

1 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

3)

0 0 −1 10 0 0 00 0 0 00 0 0 0

4)

1 −1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

5)

0 0 −1 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

6)

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0





L =

∫ ba

√1 + f ′(x)2dx





A =



A = 2π

∫ baf(x)

√1 + f ′(x)2dx


A = 2π

∫ bax√

1 + f ′(x)2dx






V = π

∫ baf(x)2dx


V = 2π

∫ baxf(x)dx


Veamos un ejemplo:




√9x2

1− x2+ 1 dx



1) 394342) 39554

3) 393544) 39634

5) 394746) 39714

22 . Calcula el área del recinto limitado por las grá�cas de las funciones f(x) = x4−64x3+1433x2−13166x+41496 y g(x) = x3−38x2+445x−1596. Haz un dibujo del área que estás calculando.





1) 242283102) 24231310

3) 242263104) 24229310

5) 242243106) 24235310



1) 284.8849314766711

2) 285.8849314766711

3) 288.8849314766711

4) 281.8849314766711

5) 290.8849314766711

6) 279.8849314766711



1) 65.25370742820284

2) 62.25370742820284

3) 64.25370742820284

4) 60.25370742820284

5) 59.25370742820284

6) 70.25370742820284



1) 1578.333333333333π

2) 1575.333333333333π

3) 1577.333333333333π

4) 1573.333333333333π

5) 1582.333333333333π

6) 1571.333333333333π

26 . Calcula el volumen que se obtiene al girar el círculo de radio 8 y centro (0, 24) alrededor deleje Oy.


1) 681.6666666666666π

2) 680.6666666666666π

3) 685.6666666666666π

4) 686.6666666666666π

5) 677.6666666666666π

6) 682.6666666666666π



1) 36635.97153684369π

2) 36633.97153684369π

3) 36632.97153684369π

4) 36639.97153684369π

5) 36640.97153684369π

6) 36641.97153684369π




a2+ y

2

b2= 1.



1) 11368.7842700541π

2) 11371.7842700541π

3) 11369.7842700541π

4) 11365.7842700541π

5) 11374.7842700541π

6) 11375.7842700541π




∫ ba f(x)dx por



∫ baP1(x)dx =

b− a2

(f(a) + f(b))


E = − 112

(b− a)3f ′′(c),


af(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

),


E = − 112

(b− a)h2f ′′(c),


a+b2 )) y (b, f(b)).


∫ baP2(x)dx =

b− a6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).


E = − 12880

(b− a)5f (iv)(c).


∫ baf(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2 n/2∑i=2

f(a+ 2(i− 1)h) + 4n/2∑i=1

f (a+ (2i− 1)h) + f(b)


E = − 1180

(b− a)h4f (iv)(c),




29 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 80 sen (7x)+cos (7x)+e

xdx usando 24 particionesen la regla del trapecio compuesta.


1) 3007.372515718084

2) 3007.672515718084

3) 3007.472515718084

4) 3007.872515718084

5) 3006.972515718084

6) 3008.072515718084

30 . Calcula un valor aproximado de la integral∫ 80 sen (7x)+cos (7x)+e

xdx usando 24 particionesla regla de Simpson compuesta.


1) 2979.984304475797

2) 2980.284304475797

3) 2979.784304475797

4) 2980.484304475797

5) 2980.084304475797

6) 2980.684304475797









r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],

además:

bn − an =b− a2n

.

31 . La función f(x) = (x− 16) (x− 11) (x− 10) (x− 9) (x− 8) (x− 7) x tiene claramente comoraíces al conjunto {0, 7, 8, 9, 10, 11, 16}. En este ejercicio el objetivo es que respondas a qué raízconverge el método de bipartición cuando tomamos como valores iniciales a = 3.5 y b = 13.5.


1) 0

2) 7

3) 11

4) 9

5) 10

6) 16







32 . Encuentra la raíz a la que converge el método de Newton aplicado a la función f(x) =cos (5x) sen (7x) + sen (5x) cos (7x) tomando como punto inicial x0 = 0.19634954084936.Fijamos el error deseado en E = 1.0× 10−7.


1) 0.27179938884933

2) 0.28179938884933

3) 0.29179938884933

4) 0.22179938884933

5) 0.26179938884933

6) 0.32179938884933




Observaciones




Soluciones del test


1 1 2 3 4 5 62 1 2 3 4 5 63 1 2 3 4 5 64 1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 5 66 1 2 3 4 5 67 1 2 3 4 5 68 1 2 3 4 5 69 1 2 3 4 5 610 1 2 3 4 5 611 1 2 3 4 5 612 1 2 3 4 5 613 1 2 3 4 5 614 1 2 3 4 5 615 1 2 3 4 5 616 1 2 3 4 5 617 1 2 3 4 5 618 1 2 3 4 5 619 1 2 3 4 5 620 1 2 3 4 5 621 1 2 3 4 5 622 1 2 3 4 5 623 1 2 3 4 5 624 1 2 3 4 5 625 1 2 3 4 5 626 1 2 3 4 5 627 1 2 3 4 5 628 1 2 3 4 5 629 1 2 3 4 5 630 1 2 3 4 5 6


31 1 2 3 4 5 632 1 2 3 4 5 633 1 2 3 4 5 634 1 2 3 4 5 635 1 2 3 4 5 636 1 2 3 4 5 637 1 2 3 4 5 638 1 2 3 4 5 639 1 2 3 4 5 640 1 2 3 4 5 641 1 2 3 4 5 642 1 2 3 4 5 643 1 2 3 4 5 644 1 2 3 4 5 645 1 2 3 4 5 646 1 2 3 4 5 647 1 2 3 4 5 648 1 2 3 4 5 649 1 2 3 4 5 650 1 2 3 4 5 651 1 2 3 4 5 652 1 2 3 4 5 653 1 2 3 4 5 654 1 2 3 4 5 655 1 2 3 4 5 656 1 2 3 4 5 657 1 2 3 4 5 658 1 2 3 4 5 659 1 2 3 4 5 660 1 2 3 4 5 6


61 1 2 3 4 5 662 1 2 3 4 5 663 1 2 3 4 5 664 1 2 3 4 5 665 1 2 3 4 5 666 1 2 3 4 5 667 1 2 3 4 5 668 1 2 3 4 5 669 1 2 3 4 5 670 1 2 3 4 5 671 1 2 3 4 5 672 1 2 3 4 5 673 1 2 3 4 5 674 1 2 3 4 5 675 1 2 3 4 5 676 1 2 3 4 5 677 1 2 3 4 5 678 1 2 3 4 5 679 1 2 3 4 5 680 1 2 3 4 5 681 1 2 3 4 5 682 1 2 3 4 5 683 1 2 3 4 5 684 1 2 3 4 5 685 1 2 3 4 5 686 1 2 3 4 5 687 1 2 3 4 5 688 1 2 3 4 5 689 1 2 3 4 5 690 1 2 3 4 5 6





1 .

Factoriza el polinomio p(x) = x10 − 53x9 + 1261x8 − 17735x7 + 163270x6 − 1027976x5 +4482528x4 − 13365936x3 + 26079840x2 − 30067200x+ 15552000Elige tu solución correcta entre las siguientes:

1) (x− 11)3 (x− 8)2 (x− 2)2 x3

2) (x− 11)2 (x− 9)5 (x− 6)3

3) (x− 6)5 (x− 5)3 (x− 4)2

4) (x− 11)3 (x− 9)2 (x− 6)5

5) (x− 8)3 (x− 6)2 (x− 4)2 (x− 2)3

6) (x�

gabriel soler lópez 21 de septiembre de...

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