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Plan de clase (1/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________ 

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: M

Contenido: 8.1.7 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto,crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

ntenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver problemas relacionados con el interés compuesto y que identifiquen las características de este tipode procedimientos.

Consi!na: En equipo, resuelvan el siguiente problema:

Un grupo de tercer grado está organiando su fiesta de graduaci!n. "es faltan #$% &&&.&& paratodos los gastos previstos y para obtener ese dinero tienen dos opciones, el banco '(E)*E+E

les presta esa cantidad con un interés simple del - bimestral, mientras que el banco /0)/12+E) les ofrece la misma cantidad con un interés compuesto del 3 bimestral. 4i tienenplaneado pagar el préstamo 5unto con los intereses al término de 6$ bimestres, completen lasiguiente tabla y contesten lo que se pide.

PE"#EME$ %&"%C'ME"

imestres'réstamo

inicial(nt. 4imple

-%deudo

total'réstamo inicial

(nt. 1ompuesto3

%deudototal

#$%,&&& #&.&& *2+, #$%,&&& #&.&& *2+,

1 #$%,&&& #$,$%&.&& *2-,2+ #$%,&&& #$,&&&.&& *2-,

2 #$%,&&& #$,$%&.&& *2.,+ #$7,&&& #$,68&.&& *2.,1

0 #$%,&&& #$,$%&.&& *01,-+ #$-,68& #$,99$.3& *01,.28 #$%,&&& #$,$%&.&& *0, #96,-$.3&

+ #$%,&&& #$,$%&.&& *0,2+

#$%,&&& #$,$%&.&& *08,+

- #$%,&&& #$,$%&.&& *,-+

8 #$%,&&& #$,$%&.&& *0,

. #$%,&&& #$,$%&.&& *+,2+

1 #$%,&&& #$,$%&.&& *-,+

11 #$%,&&& #$,$%&.&&

12 #$%,&&& #$,$%&.&&

;3<617'6 de $

a= >En cuál banco les conviene pedir el préstamo?_______________________ b= >1uánto más tendrían que pagar de intereses en el <anco que no les conviene, al término

del plao fi5ado? _____________________________________ 

Consideraciones 3re4ias:

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Una ve que se discutan ampliamente las respuestas es importante concluir que en el caso delinterés simple, a tiempos iguales corresponden crecimientos iguales @#$ $%&.&& cada bimestre=mientras que en el caso del interés compuesto los intereses pasan a formar parte del adeudo total,el cual vuelve a generar nuevos intereses. Es importante seAalar que el interés simple puedeacumularse cada bimestre o bien al final de los 6$ bimestres, en la tabla se va aumentando cadabimestre, sin embargo, podría calcularse el total de los intereses @6$ B # $ $%&= y al resultado

sumarle el importe del préstamo @# $% &&&=, esto no es factible con el interés compuesto, con él senecesita conocer el adeudo total al final de cada bimestre porque a partir de él se calculan losintereses del siguiente bimestre y así sucesivamente, ésta es una característica importante de losprocedimientos recursivos.

Es muy probable que para calcular las cantidades que corresponden al banco /0)/12+E) losalumnos Cagan lo siguiente: calculen el 3 de #$% &&& y sumen este resultado @$ &&&= con #$%&&&. 'ara el siguiente rengl!n calcularán el 3 de #$7 &&& y así sucesivamente. 4i a ningDnequipo se le ocurre, Cabrá que eBplicarles que una manera abreviada de calcular el 3 de #$% &&&y a la ve sumar el porcenta5e con #$% &&&, consiste en efectuar el siguiente producto: $% &&& B6.&3 $7 &&&, esta Dltima cantidad se vuelve a multiplicar por 6.&3 y así sucesivamente. "a ra!nes que en 6.&3 está incluido el 6&& más el 3.

Una característica que Cay que enfatiar en estos tipos de interés es que mientras en el simple ladiferencia entre cualesquier pare5a de valores consecutivos es una constante @#$ $%&.&&=, en elcompuesto, el cociente entre cualesquier pare5a de valores consecutivos, es una constante @6.&3=,por e5emplo: $7 &&&F$% &&&, $- 68&F$7 &&&, etcétera.

Es importante que los alumnos continDen eBplorando diversas situaciones que puedan resolversemediante procedimientos recursivos, para lo cual se puede proponer la siguiente situaci!nproblemática:

El gobierno del estado ha decidido becar a los alumnos de excelencia. onocedor de la

inteligencia de estos alumnos, sólo becará a aquellos que en menos de 1! minutos eli"an la me"or opción de beca, las opciones son las siguientes#

a$ %na beca mensual de &'!!.!! ( un bono anual de &1!!!.!!.b$ %na beca mensual de &'!!.!! más un incremento del 1!) mensual.

4i quieres ser de los becados, >qué opci!n elegirías y por qué?

'5ser4aciones 3osteriores:

6. >1uáles fueron los aspectos más eBitosos de la sesi!n? _________________________________________________________________________ 

 _________________________________________________________________________ 

$. >1uáles cambios considera que deben Cacerse para me5orar el plan de clase? _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________ 

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9. 'or favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Mu6 7til til 9so limitado Po5re

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Plan de clase (2/2)

Escuela: _________________________________________ Fecha: _____________________Profesor (a): __________________________________________________________________ 

Curso: Matemáticas 8 Eje temático: M

Contenido: 8.1.7 Resolución de problemas que impliquen el cálculo de interés compuesto,crecimiento poblacional u otros que requieran procedimientos recursivos.

ntenciones didácticas: Que los alumnos utilicen procedimientos recursivos para resolver problemas relacionados con el crecimiento poblacional.

Consi!na: 2rganiados en equipos resuelvan el siguiente problema:

En el aAo $&6& la poblaci!n mundial de la 0ierra era de 8 3% millones de Cabitantes. 4uponiendoque la tasa de crecimiento durante una década es de 69 y ésta se mantiene constante, *cuálserá la población en los a+os !!, !-! ( !!/

Consideraciones 3re4ias:Gay un antecedente importante en el plan anterior, en donde se utiliaron procedimientosrecursivos para calcular el interés compuesto. /quí, la clave para resolver el problema yrelacionarlo con la recursividad, es identificar que para obtener la poblaci!n en $&& es necesarioconocer la poblaci!n de la década anterior, que para conocer la poblaci!n en $&9& es necesariosaber la poblaci!n en $&$&, etcétera.

Es importante seguir practicando los cálculos mayores al 6&& de una manera directa, en este

caso, para obtener el 669 basta multiplicar por 6.69, así, para calcular el 69 de 8 3% millones,poblaci!n de $&6&, y sumarlo con el 6&&, basta con encontrar el resultado de 8 3% B 6.69,eBpresado en millones. Una ve encontrada la poblaci!n en $&$& @7 7%.&$ millones=, se repite elproceso para encontrar la poblaci!n mundial para $&9& y así sucesivamente.

Una tabla y una calculadora, son dos recursos importantes que permiten ordenar, controlar ycalcular los datos del problema. Una tabla como la siguiente puede ser de utilidad:

P'%C;< M9<#% #E % &E""%%=o Cálculo 3ara la si!uiente d>cada Po5laci?n$&6& 8 3% millones

$&$& 8 3% B 6.69 7 7%.&$ millones$&9&$&&

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1on la finalidad de continuar e5ercitando procedimientos recursivos, se pueden proponer lossiguientes problemas:

1. %na población x tiene ' -08 habitantes en la actualidad, si en los ltimos ' a+os hacrecido a una tasa del 7) anual, *cuántos habitantes ten2a esa población hace ' a+os/

. %na cierta cantidad de agua a una temperatura de 8!3 se pone en un congelador queestá a !3. En el proceso de en4riamiento se observa que la temperatura se reduce en un') por cada minuto que transcurre.

a$ *uál es la temperatura del agua después de minutos/b$ *5espués de cuánto tiempo la temperatura del agua rebasa los '!3/

'5ser4aciones 3osteriores:

6. >1uáles fueron los aspectos más eBitosos de la sesi!n? _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________ 

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$. >1uáles cambios considera que deben Cacerse para me5orar el plan de clase? _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________  _________________________________________________________________________ 

9. 'or favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Mu6 7til til 9so limitado Po5re

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